数学概念教学
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数学概念教学
云南师范大学 朱维宗
一、概念
1、涵义 所谓概念就是反映并确定客观对象本 质属性的思维形式概念是思维的基本单位。 由于概念的存在和应用，人们可以对复杂 事物作简单化、概括化或分类的反映，由 于概念是在揭示了经验的内在联系，获得 了事物的本质特征以后形成的，所以概念 增加了经验的意义。
在认知心理学上，把概念定义 为：符号所有代表的具有标准共同 属性的对象、事物、情境或性质。 这里的符号主要是指具有一般意义
在知觉水平的应用、概念表征、概念 在思维水平的应用等四个阶段。
（2）陈述性概念学习的认知分析 认知过程划分：激活 —— 精致 —— 检验 —— 形 成图式 （3）运算性概念学习的认知分析 20 世纪 80 年代，国外数学教育家认为数学 概念具有二重性，即方法性、结构性 过程：指概念含有某种操作（运算）程序。 对象：指数学概念的定义结构和关系。
关于数学思维能力；关于数 学表达能力；关于数学诠释能力； 关于数学应用能力 。
3、数学概念教学中创造性的启蒙
我们在数学概念教学和整个数学教 学中关于创造性培养目标方面的共同要 求，应该有：
第一、 通过数学科学知识的传授， 特别是作为基础传授的概念教学，应 当让学生感受和了解这些知识的发生 和发现过程，从而萌发一种关于数学 知识发生和发现的兴趣、模仿和追求;
第二、通过数学知识和观念的培 养，要让学生形成一种“数学头 脑”，其主要特征是“在观察问题 和提出问题的每一个过程中，不要 轻视简单数学知识和概念的“套” 用。
第三、通过数学知识的传授、数 学观念的发展和数学能力的培养， 要让学生掌握分析问题和解决问题 的基本数学手段和工具
第四、普遍认为，数学教材中数学 习题，特别是应用题的教学，对于培 养学生的创造性开拓精神，应当有着 更直观的作用。
斯法德（ A.Sfard ）对过程向对象 的过渡分了三个阶段： 内化——凝聚——客体化
一个重要的研究课题是：关于运 算性概念学习如何使学生从“过程” 过渡到“对象”？
（4）认知根源
认知根源，是塔尔（ D.O.Tall ） 1989 年提 出的，并且给出最初的概念，即指既是
学习者所熟悉的又是数学发展的一个基
维果斯基将概念分为： 日常概念和科学概念——来源 赫尔斯（S.H.Hulse）将概念分为： 易下定义的概念和难下定义的 概念—本质 奥苏贝尔将概念分为： 初级概念和二级概念——结构 加涅将概念分为： 具体概念和定义概念——结构
布鲁纳将概念分为：合取概念、析 取概念和关系概念
陈述性概念
（喻平）数学概念： 程序性概念 运算性概念
四、数学概念教学与数学素质培养
1、数学概念教学中的数学观念教育
所谓树立数学概念，从外延上说，就 是要求学生通过学习数学而在自己的头脑 中形成和强化如下几种思想、意识： 状态变化观 ；本质结构观 ；时空坐 标观 ；依存关系观 ；系统集合观 ；离散 连续观 ；穷近极限观 ；量化测度观 。
2、数学概念教学中的数学能力 培养
构造性概念
二、数学概念
1、数学概念的定义 概念的定义对明确概念的作用，表 现在以几个方面： 首先，定义对明确概念具有清晰、 扼要、确定和醒目的作用。
其次，定义是关于概念的科学 含义的“法规”，它为人们提供了 一个赖以进行判断、推理、论证的 统一确定的思维标准。定义是判断 概念外延对象的“法定”标准。
础概念。
认知根源的三个特性： 不唯一性、二重性、
辅助性
2、 数学概念的类别 从外延方面的某些特点出发， 数学概念可区分为： 单独概念和普遍概念；种概念 和属概念。
从内涵方面的某些特点出发， 数学概念又可区分为： 组合概念和个体概念； 抽象概念和具体概念； 否定概念和肯定概念； 相对概念和绝对概念。
第五、改革测试、评估模式。
三、数学概念教学的一般程序和措施
1、数学概念课的一般步骤，大致可分解为三 个基本步骤： 感性奠基 理性分析 给概念以定义； 对无定义和不定义概念，则作出相当于定义 的解释或界说。
2、数学概念教学的深化措施
经验常常告诉我们，在日常生活中， 有时侯某些具体事物的具体形象给我们 的印象非常深，使学生对数学概念的抽 象形象在学生的思维中留下更为深刻而 持久的印象？为次来探讨以下这样几个 问题。
的词。
现代认知心理学认为，概念具有
发展性，随着知识结构的不断完善， 学生对概念的理解就从具体水平向抽
象性水平发展，从日常概念向科学概
念发展。 概念通常包括三个方面：概念的
名称、定义、属性。
2、概念的内涵
概念的内涵：一个概念所 概括或涉及到的具体对象的全 体。
3、概念的外延
概念的外延：一个概念的本 质属性的全体。
概念间的上述关系，叫 做概念的内涵与外延之间的 反比关系
3、 概念的结构 目前，在认知心理学领域，对概念 结构的研究存在多种理论，其中具有代 表性的是特征表说和原型说。
特征表说认为概念或概念的表征 是由两个因素构成： ①定义性特征，即一类个体具有的 共同的有关属性； ②定义性特征之间的关系，即整合 这些特征的规则。
一般地说，一个概念的内 涵越大（本质属性越多），它 的外延则越小（即包括的对象 越少）；
反之，一个概念的内涵越小 （即本质属性越少），它的外延 则越大（即包括的对象越多）。
内涵越大，外延越小，概 念则越是处于特殊地位。
数学语言中所谓某概念是某 概念的特例，正是因为前者的外 延小于后者的外延，或者，前者 的内涵大于后者的内涵。
3、数学概念的符号 数学概念的符号，一般有两种含义： 一是单指数学概念的符号； 二是泛指整个数学符号体系，即不仅 包括表示数学概念的符号，也包括表示 数学命题和数学论证使用的一切符号， 以及它专用符号，等等。
4、数学概念间的关系
数学概念之间的关系，主要是从外 延方面来着手的，根据数学教学实践中 提出的问题，也将是进行外延之外的某 种角度的探讨： 主要有以下几个关系：同一关系、 主从关系、交叉关系、并列关系、对立 关系、矛盾关系、整分关系。
原型说的主要代表Rosch认为，概 念主要是以原型即它的最佳实例表征 出来的，人们主要是从能最好说明一 个概念的实例来理解该概念。
4、 概念的分类
所谓的概念分类，就是依照某种标 准，将事物划分为若干个类别，而这
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些类别之间是有内在联系性的。因此，
按照不同的标准，心理学家对概念作 出了不同的分类。
为概念下定义，还要遵守一定的 规则： 首先，定义的“两端”必须对称的； 其次，定义不准许“恶性循环”； 再有，除区已经明确的矛盾概念外， 概念的定义一般不准采取否定式的叙述； 最后，定义必须是简要、精练的。
2、
数学概念学习的认知分析
（1）数学概念学习的认知模式 从概念学习的心理过程划分，可
将数学概念学习分为概念获得、概念
云南师范大学 朱维宗
一、概念
1、涵义 所谓概念就是反映并确定客观对象本 质属性的思维形式概念是思维的基本单位。 由于概念的存在和应用，人们可以对复杂 事物作简单化、概括化或分类的反映，由 于概念是在揭示了经验的内在联系，获得 了事物的本质特征以后形成的，所以概念 增加了经验的意义。
在认知心理学上，把概念定义 为：符号所有代表的具有标准共同 属性的对象、事物、情境或性质。 这里的符号主要是指具有一般意义
在知觉水平的应用、概念表征、概念 在思维水平的应用等四个阶段。
（2）陈述性概念学习的认知分析 认知过程划分：激活 —— 精致 —— 检验 —— 形 成图式 （3）运算性概念学习的认知分析 20 世纪 80 年代，国外数学教育家认为数学 概念具有二重性，即方法性、结构性 过程：指概念含有某种操作（运算）程序。 对象：指数学概念的定义结构和关系。
关于数学思维能力；关于数 学表达能力；关于数学诠释能力； 关于数学应用能力 。
3、数学概念教学中创造性的启蒙
我们在数学概念教学和整个数学教 学中关于创造性培养目标方面的共同要 求，应该有：
第一、 通过数学科学知识的传授， 特别是作为基础传授的概念教学，应 当让学生感受和了解这些知识的发生 和发现过程，从而萌发一种关于数学 知识发生和发现的兴趣、模仿和追求;
第二、通过数学知识和观念的培 养，要让学生形成一种“数学头 脑”，其主要特征是“在观察问题 和提出问题的每一个过程中，不要 轻视简单数学知识和概念的“套” 用。
第三、通过数学知识的传授、数 学观念的发展和数学能力的培养， 要让学生掌握分析问题和解决问题 的基本数学手段和工具
第四、普遍认为，数学教材中数学 习题，特别是应用题的教学，对于培 养学生的创造性开拓精神，应当有着 更直观的作用。
斯法德（ A.Sfard ）对过程向对象 的过渡分了三个阶段： 内化——凝聚——客体化
一个重要的研究课题是：关于运 算性概念学习如何使学生从“过程” 过渡到“对象”？
（4）认知根源
认知根源，是塔尔（ D.O.Tall ） 1989 年提 出的，并且给出最初的概念，即指既是
学习者所熟悉的又是数学发展的一个基
维果斯基将概念分为： 日常概念和科学概念——来源 赫尔斯（S.H.Hulse）将概念分为： 易下定义的概念和难下定义的 概念—本质 奥苏贝尔将概念分为： 初级概念和二级概念——结构 加涅将概念分为： 具体概念和定义概念——结构
布鲁纳将概念分为：合取概念、析 取概念和关系概念
陈述性概念
（喻平）数学概念： 程序性概念 运算性概念
四、数学概念教学与数学素质培养
1、数学概念教学中的数学观念教育
所谓树立数学概念，从外延上说，就 是要求学生通过学习数学而在自己的头脑 中形成和强化如下几种思想、意识： 状态变化观 ；本质结构观 ；时空坐 标观 ；依存关系观 ；系统集合观 ；离散 连续观 ；穷近极限观 ；量化测度观 。
2、数学概念教学中的数学能力 培养
构造性概念
二、数学概念
1、数学概念的定义 概念的定义对明确概念的作用，表 现在以几个方面： 首先，定义对明确概念具有清晰、 扼要、确定和醒目的作用。
其次，定义是关于概念的科学 含义的“法规”，它为人们提供了 一个赖以进行判断、推理、论证的 统一确定的思维标准。定义是判断 概念外延对象的“法定”标准。
础概念。
认知根源的三个特性： 不唯一性、二重性、
辅助性
2、 数学概念的类别 从外延方面的某些特点出发， 数学概念可区分为： 单独概念和普遍概念；种概念 和属概念。
从内涵方面的某些特点出发， 数学概念又可区分为： 组合概念和个体概念； 抽象概念和具体概念； 否定概念和肯定概念； 相对概念和绝对概念。
第五、改革测试、评估模式。
三、数学概念教学的一般程序和措施
1、数学概念课的一般步骤，大致可分解为三 个基本步骤： 感性奠基 理性分析 给概念以定义； 对无定义和不定义概念，则作出相当于定义 的解释或界说。
2、数学概念教学的深化措施
经验常常告诉我们，在日常生活中， 有时侯某些具体事物的具体形象给我们 的印象非常深，使学生对数学概念的抽 象形象在学生的思维中留下更为深刻而 持久的印象？为次来探讨以下这样几个 问题。
的词。
现代认知心理学认为，概念具有
发展性，随着知识结构的不断完善， 学生对概念的理解就从具体水平向抽
象性水平发展，从日常概念向科学概
念发展。 概念通常包括三个方面：概念的
名称、定义、属性。
2、概念的内涵
概念的内涵：一个概念所 概括或涉及到的具体对象的全 体。
3、概念的外延
概念的外延：一个概念的本 质属性的全体。
概念间的上述关系，叫 做概念的内涵与外延之间的 反比关系
3、 概念的结构 目前，在认知心理学领域，对概念 结构的研究存在多种理论，其中具有代 表性的是特征表说和原型说。
特征表说认为概念或概念的表征 是由两个因素构成： ①定义性特征，即一类个体具有的 共同的有关属性； ②定义性特征之间的关系，即整合 这些特征的规则。
一般地说，一个概念的内 涵越大（本质属性越多），它 的外延则越小（即包括的对象 越少）；
反之，一个概念的内涵越小 （即本质属性越少），它的外延 则越大（即包括的对象越多）。
内涵越大，外延越小，概 念则越是处于特殊地位。
数学语言中所谓某概念是某 概念的特例，正是因为前者的外 延小于后者的外延，或者，前者 的内涵大于后者的内涵。
3、数学概念的符号 数学概念的符号，一般有两种含义： 一是单指数学概念的符号； 二是泛指整个数学符号体系，即不仅 包括表示数学概念的符号，也包括表示 数学命题和数学论证使用的一切符号， 以及它专用符号，等等。
4、数学概念间的关系
数学概念之间的关系，主要是从外 延方面来着手的，根据数学教学实践中 提出的问题，也将是进行外延之外的某 种角度的探讨： 主要有以下几个关系：同一关系、 主从关系、交叉关系、并列关系、对立 关系、矛盾关系、整分关系。
原型说的主要代表Rosch认为，概 念主要是以原型即它的最佳实例表征 出来的，人们主要是从能最好说明一 个概念的实例来理解该概念。
4、 概念的分类
所谓的概念分类，就是依照某种标 准，将事物划分为若干个类别，而这
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些类别之间是有内在联系性的。因此，
按照不同的标准，心理学家对概念作 出了不同的分类。
为概念下定义，还要遵守一定的 规则： 首先，定义的“两端”必须对称的； 其次，定义不准许“恶性循环”； 再有，除区已经明确的矛盾概念外， 概念的定义一般不准采取否定式的叙述； 最后，定义必须是简要、精练的。
2、
数学概念学习的认知分析
（1）数学概念学习的认知模式 从概念学习的心理过程划分，可
将数学概念学习分为概念获得、概念