高中数学解题方法系列：定积分在高考中的常见题型解法

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高考数学复习点拨：有关定积分问题的常见题型解析

有关定积分问题的常见题型解析定积分是高中课程中新增加的内容，对函数进行积分运算这类题目占有非常重要的地位，它能解决很多实际应用问题。

在解题时也会出现很多问题，下面研究一下有关定积分的问题的常见题型及注意的一些问题。

题型一用定义求定积分例1、用定义求dx x 301⎰。

分析：利用定义求定积分可分为四步：分割，近似代替，求和，取极限，按步骤求解。

解：（1）分割[0，1]：11210=<-<<<<nn n n n n Λ。

（2）作和 nn i n n n n n n n n i 11121131323⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=Λ。

（因为x 3连续，所以i ξ可随意取而不影响极限，故我们此处将i ξ取为[x i ，x 1+i ]的右端点也无妨。

）（3）取极限()41211112413413lim lim lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=∞→=∞→∑∑n n n i nn n i n n i n n i n 。

（此处用到了求和公式 ()()22333212121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++=+++n n n n ΛΛ。

）因此dx x 301⎰＝41。

评注：求定积分四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限，关键环节是求和。

体现的基本思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，形成整体图形的面积。

题型二利用微积分基本定理求积分例2、求下列定积分：（1）()13031x x dx -+⎰ （2）41dx +⎰ 分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。

解：（1）因为3221312x x x x x '⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()13031x x dx -+⎰=321102x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=32。

（2121x x =+，312222132x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以41dx +⎰=3229211454326x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

求定积分的四种方法

求定积分的四种方法本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值. 分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n．（2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．. 评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值. 分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3求定积分11dx -⎰的值. 分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π．评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰．分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0．评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aa f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。

高中数学常见题型解法归纳求定积分的方法

高中数学常见题型解法归纳求定积分的方法【知识要点】一、曲边梯形的定义我们把由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 二、曲边梯形的面积的求法分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限三、定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：11()()nnn ii i i b aS f x x f n ξ==-=∆=∑∑如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()baS f x dx =⎰，其中⎰是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限，()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区间，()f x dx是被积式.说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 四、定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1()()()bba akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）；性质21212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）；性质3()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）五、定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.（2）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≤，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（3）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续，且函数()y f x =的图像有一部分在x 轴上方，有一部分在x 轴下方，那么定积分()baf x dx ⎰表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积.（4）图中阴影部分的面积S=12[()()]baf x f x dx -⎰六、微积分基本定理一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，我们常把()()F b F a -记成()baF x ，即()()()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰.计算定积分的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 七、公式（1） 1()cx c = （2）1(sin )cos x x = （3）1(cos )sin x x -=( 4)11()(1)1n n m x mx n n +=≠-+ (5)(ln )a a x x '=； (6) x x e e =')(（7）1(sin 2)cos 22x x ¢= （8）1(ln(x 1))1x ¢+=+八、求定积分的方法(1)代数法：利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.【方法讲评】【例1】定积分11(||1)x dx --ò的值为____________.【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分基本原理求解. 【反馈检测1】220sin 2x dx π=⎰ ．【反馈检测2】若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则3()f x dx =⎰( )A ．16B ．18-C ．24-D ．54【例2】计算10(1dx +⎰的结果为（）.A ．1B ．4π C ．14π+ D ．12π+【解析】先利用定积分的几何意义求dx x ⎰-121：令)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图），dx x ⎰-1021即是41圆面积，即4π；所以 1(1dx +⎰=4111121π+=-+⎰⎰dx x dx .【点评】（1）本题中函数1y =所以先利用定积分的性质化简原式，再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图），不是右半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.【反馈检测3】313)___________dx =⎰参考答案【反馈检测1答案】142π-【反馈检测1详细解析】⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2020202022cos 212cos 212sin ππππdx x dx dx x dx x 2140214|sin 21|22020-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=ππππx x 【反馈检测2答案】18-【反馈检测3答案】263π 【反馈检测3详细解析】由于313)dx =ò1⎰+313dx ⎰．其中1⎰值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x 从1到3部分与x 轴所围成的图形的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ =211121212623ππ⨯⨯⨯+⨯=+又313dx ⎰=6，∴313)dx =ò263π+ ．故答案为：263π．。

高中定积分的计算

高中定积分的计算在高中数学学习中，定积分是一个重要的概念和计算方法。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在物理、经济等其他学科中也具有重要意义。

本文将介绍高中定积分的基本概念、计算方法和一些常见的应用场景。

一、定积分的基本概念定积分是微积分中的重要内容，是对曲线下面积的一种度量。

定积分的计算可以理解为将曲线下的面积划分为无限多个无穷小的矩形，并将这些矩形的面积加起来，得到整个曲线下的面积值。

在高中数学中，定积分可以用下面的形式表示：∫[a,b] f(x) dx其中，f(x)表示被积函数，[a,b]表示积分区间，dx表示积分的自变量。

定积分的结果是一个数值，表示被积函数在积分区间内的曲线下面积。

二、定积分的计算方法高中定积分的计算方法主要有三种：几何法、代数法和牛顿-莱布尼茨公式。

1. 几何法：这种方法利用几何图形的面积性质来计算定积分。

常见的几何图形包括矩形、三角形、梯形等。

通过将曲线下的面积分割成这些几何图形，然后计算它们的面积并相加，就可以得到定积分的值。

2. 代数法：代数法是通过对被积函数进行积分运算来计算定积分。

这种方法可以利用积分的基本性质和常见函数的积分公式来进行计算。

通过将被积函数进行积分并确定积分上下限，就可以得到定积分的结果。

3. 牛顿-莱布尼茨公式：这是一种基于导数和原函数的关系来计算定积分的方法。

根据牛顿-莱布尼茨公式，如果一个函数F(x)是f(x)的原函数，那么在积分区间[a,b]上，有：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)这种方法适用于已知被积函数的原函数的情况，可以直接通过求原函数的差值来计算定积分。

三、定积分的应用场景高中数学的定积分不仅仅是一种计算方法，还具有一些实际应用场景。

以下是一些常见的应用示例：1. 面积计算：定积分可以用来计算曲线下的面积，例如计算二次曲线的面积、圆的面积等。

2. 长度计算：通过对曲线方程求导得到曲线的斜率，再利用定积分计算曲线的弧长。

求解定积分的技巧与方法

求解定积分的技巧与方法求解定积分是高中数学和大学数学中不可避免的一个内容。

对于许多学生和学者来说，求解定积分是一个比较棘手的问题，需要灵活的思维和丰富的数学知识。

本文将为大家介绍一些求解定积分的技巧和方法，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。

1. 分段函数法分段函数法是解决经典定积分求解的常用技巧之一。

当我们面对一个比较复杂的积分时，可以尝试将其分解成多个简单的分段函数，进而分别求解。

例如，对于一个形如$y=|x|$ 的函数图像，我们可以将其分区间来讨论，即：当$x\leq0$ 时，$y=-x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{0}-x\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x$当$x>0$ 时，$y=x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x-\int_{-1}^{0}x\,\mathrm{d}x$这样的分段讨论可以使我们更加清晰地理解函数的特性，并且更加方便地求解原函数。

2. 换元法换元法是求解复杂定积分的常用方法之一。

通常我们会利用简单的变量替换，将原积分转化为易于处理的形式。

例如，对于$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1+\sin x}\,\mathrm{d}x$这样的积分，我们可以利用以下替换：设$t=\tan\frac{x}{2}$，则有：$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\mathrm{d}x=\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}$将上述变量替换代入原式中，则有：$\int_{-1}^{1}\frac{2}{1+(2t/(1+t^{2}))}\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\in t_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\pi$所以原式的解为$4\pi$。

word完整版定积分在高考中的常见题型

定积分在高考中的常见题型解法贵州省印江一中(555200) 王代鸿定积分作为导数的后续课程，与导数运算互为逆运算，也是微积分基本概念之一，同时为大学数学分析打下基础。

从高考题中来看，定积分是高考命题的一种新方向，在高考复习中要求学生了解定积分的定义，几何意义，掌握解决问题的方法。

一、利用微积分基本定理求定积分1、微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间a,b上的连续函数，并且F (x) f (x)，那么bf(x)dx F(a) F(b).这个结论叫做微积分基本a定理(又叫牛顿-莱布尼兹公式)。

2、例题讲义e1例1、计算1(- 2x)dx1x解：因为(In x x2) 12xxe1所以j (一2x)dx =(|nx x2) I：(In e e2) (In 1 12) e21x【解题关键】：计算b f(X)dx的关键是找到满足F(x) f(x)的函数aF(x)。

跟踪训练：1计算02 (e x cosx)dx二、利用定积分的几何意义求定积分。

1、定积分的几何意义：设函数y=f(x)在a,b上y=f(x)非负、连续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积bS= a f (X)dx2、例题讲义：【解题关键】：将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形，再求面积和4 |例3、求0 . 4(X 2)2dx的值解：令y 4 (x 2)2(y 0)则有y2 4 (x 2)2(y 0)及(x 2)2 y24(y 0)右图所以1-(x 2)2dx - S a A 2 o / 2【解题关键】：将被积函数转化为熟悉的曲线方程，利用曲线图形的特点求其定积分_83(lx+2)2^y2=2,,…y 丄及x 轴所围图形的面积为（） 2 x A. 15 B. 17 C.如 2 4 4 2 三、利用变换被积函数求定积分1从积分变量x 分割的几何图形较多，不容易求其定积分时，就变换被积函数求其定积分。

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

年级高二学科数学内容标题定积分的计算编稿老师马利军一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f（x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3）中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(.3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积）（1）⎰⎰⎰±=±bab aba dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a Fb F dx x f b a x f x f x F ba-==⎰上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰badx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例1．根据⎰=π200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（）A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π20)(dx x f .例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性（1）121=⎰xdx（2）⎰=-1241πdx x .题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分⎰102xdx 表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-121表示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =11221=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=⎰xdx .（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=-1241πdx x解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.例3．利用定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值是函数|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.解：函数|3||1|-+-=x x y 化为⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y由于函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=,31)24(21=⨯+S 2=422=⨯ 由定积分的几何意义知：⎰-+-4|)3||1(|dx x x =10231=++S S S解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e xd x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2πB ．3πC.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x <02cos x 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32B ．1C ．4D.1210．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12 B.14 C.13D.25二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．。

高中数学考点13 定积分与微积分基本定理

考点13 定积分与微积分基本定理高考对此部分的考查比较少，但定积分的基本计算以及几何意义也会单独考查，复习过程中也不能遗漏，具体要求为：(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. (2)了解微积分基本定理的含义.一、定积分 1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x 所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． (2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v =v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s . 3．定积分的定义和相关概念(1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0<x 1<…<x i −1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i −1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2, …,n )，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰=1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑. (2)在()d baf x x ⎰中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 (1)()()d d bba akf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；(2)[()()]d ()d ()d bb ba aaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；(3)()d =()d +()d bc baacf x x f x x f x x ⎰⎰⎰(其中a <c <b )．【注】定积分的性质(3)称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．5．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ，x =b (a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ，x =b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S ,则 (1)()d ba S f x x =⎰； (2)()d baS f x x =-⎰；(3)()()d d cbacS f x x f x x =-⎰⎰； (4)()()()()d d []d bbbaaaS f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.7．定积分的物理意义 (1)变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即()d bas v t t =⎰.(2)变力做功一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s m ，则力F 所做的功为W =Fs .如果物体在变力F (x )的作用下沿着与F (x )相同的方向从x =a 移动到x =b ，则变力F (x )做的功()d baW F x x =⎰.二、微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么()d baf x x ⎰=F (b )−F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )−F (a )记作()|ba F x ，即()d baf x x ⎰=()|b a F x =F (b )−F (a )．【注】常见的原函数与被积函数的关系 (1)d |(bb a a C x Cx C =⎰为常数)； (2)11d |(1)1bn n ba ax x x n n +=≠-+⎰； (3)sin d cos |bb a a x x x =-⎰； (4)cos d sin |bb a a x x x =⎰； (5)1d ln |(0)bb a ax x b a x=>>⎰； (6)e d e |bx x b a a x =⎰；(7)d |(0,1)ln x bxba a a a x a a a=>≠⎰；(8)322|(0)3b a ax x b a =>≥⎰.考向一定积分的计算1．求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； (2)利用微积分基本定理求定积分；(3)利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分x ⎰的几何意义是求单位圆面积的14，所以0π=4x ⎰.2．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值. 3．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 4．奇偶函数的定积分(1)若奇函数y =f (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则()d 0aa f x x -=⎰； (2)若偶函数y =g (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则0()d 2()d aaag x x g x x -=⎰⎰.典例1 A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】A故选A ．【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.1．已知函数()e3211(1)2f x x dx x f x x'=⋅--⎰，则()()11f f '+=( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2考向二利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略(1)利用定积分求平面图形面积的步骤①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．(2)知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．(3)与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.典例2 设抛物线C：y=x2与直线l：y=1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于A．1 B．1 3C．23D．43【答案】D【解析】由21y xy⎧=⎨=⎩，得1x=±.如图，由对称性可知，123114 2(11d)2(11)33 S x x x=⨯-=⨯-=⎰.故选D.2．如图，已知10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭，点()()000,0P x y x >在曲线2y x 上，若阴影部分面积与OAP △面积相等，则0x =________.考向三定积分的物理意义利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.典例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t +t=-+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【答案】C【解析】令v (t )=0得，3t 2−4t −32=0，解得t =4(83t =-舍去). 汽车的刹车距离是42400253(73)d [725ln(1)]|425ln 5.12t +t t t t t -=-++=++⎰故选C.3．一个物体做变速直线运动，在时刻t 的速度为()32v t t =-+(t 的单位：h ，v 的单位：km/h )，那么它在01t ≤≤这段时间内行驶的路程s (单位：km )的值为( ) A ．23B ．74C ．53D ．21．121(3sin )x x dx --⎰等于( )A ．0B ．2sin1C ．2cos1D ．22．11xe dx -⎰的值为( )A ．2B ．2eC ．22e -D ．22e +3．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为( )A ．16 B 3C ．13D ．234．已知622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项系数为20，则由曲线13y x =和a y x =围成的封闭图形的面积为( )A ．512B ．53 C ．1D ．13125．已知()()ln xxf x e e -=+，201sin 2a xdx π=⎰， 1.112b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23log c =则下列选项中正确的是( ) A ．()()()f a f b f c >> B ．()()()f a f c f b >> C ．()()()f c f f a b >>D ．()()()f c f b f a >>6．一物体在力F (x )＝4x ﹣1(单位：N )的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1m 处运动到x ＝3m 处，则力F (x )所作的功为( ) A ．16J B ．14J C ．12JD ．10J7．函数()()04xf x t t dt =-⎰在[]1,5-上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值8．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C (如图)，然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是( )A ．NM N -B ．MM N -C ．M N N-D ．M N9．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是：( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④10．()102xex dx +⎰= ______ ．11．抛物线22x y =和直线4y x =+所围成的封闭图形的面积是________. 12．已知数列{}n a 是公比120=⎰q x dx 的等比数列，且312a a a =⋅，则10a =________.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,0O ，()2,0A ，()2,1B ，()0,1C ，现在矩形OABC 中随机选取一点(),P x y ，则事件：点(),P x y 的坐标满足22y x x ≤-+的概率为____________.1．(2015年高考湖南卷理科)2(1)d x x -=⎰．2．(2015年高考天津卷理科)曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为． 3．(2015年高考山东卷理科)执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为．4．(2015年高考福建卷理科)如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于．5．(2015年高考陕西卷理科)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．1．【答案】A【解析】【分析】先由微积分基本定理求出函数式中的积分值，然后求导，令1x=可求得(1)f'，再计算(1)f可得结论．【详解】因为e111ln|1edx xx==⎰，所以()()3212f x x x f x'=--，所以()()232'12f x x xf'=--，令1x=，得()()13212f f''=--，解得1(1)3f'=，所以321()23f x x x x=--，14(1)1233f=--=-，()()1411133f f⎛⎫'+=+-=-⎪⎝⎭，故选：A．【点睛】本题考查微积分基本定理，考查导数的运算，解题时计算出积分值，由求导公式求导，令1x=，赋值后就可化未知为已知．2．【解析】【分析】利用定积分求出阴影部分的面积，再建立面积等量关系，即可得答案；【详解】因为点()()000,0P x y x>在曲线2y x上，所以200y x=，则OAP△的面积00011112248S OA x x x==⨯=‖，阴影部分的面积为00233001133x xx dx x x==⎰∣，因为阴影部分面积与OAP△的面积相等，所以31138x x=,即238x=.所以x=【点睛】本题考查定积分求面积，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 3．【答案】B 【解析】【分析】由速度在给定的时间范围内的定积分可得到答案. 【详解】这辆汽车在01t ≤≤这段时间内汽车行驶的路程()113401172d 22444s t t t t ⎛⎫=-+=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰，所以这辆汽车在01t ≤≤这段时间内汽车行驶的路程s 为74. 故选：B. 【点睛】本题考查了定积分在物理中的应用，速度在时间范围内的积分是路程，属于基础题.1．【答案】D 【解析】()()()()()21cos 11cos 1|cos sin 3111132=-+--+=+=-⎰--x x dx x x，故答案为D. 2．【答案】C 【解析】【分析】根据微积分基本定理结合积分的性质计算．【详解】1111222(1)xx x e dx e dx e e -===-⎰⎰．故选：C ．【点睛】本题考查微积分基本定理，属于基础题． 3．【答案】C 【解析】【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】如图所示：由2y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩，根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为)13023210211d 333x x x x ⎛⎫⎰=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力 4．【答案】A 【解析】【分析】先利用二项展开式的通项公式求出a ，再利用牛顿-莱布尼兹公式可求图形的面积. 【详解】622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项为第4项且第4项为()3332462a T C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为系数为20，所以336C 202a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得2a =，由213x x =的0x =或1x =，所以封闭图形的面积为1412333010314135|2x x dx x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰，故选：A . 【分析】本题考查二项展开式的指定项以及平面封闭图形的面积的计算，后者注意积分区间的确定，本题属于中档题. 5．【答案】C 【解析】【分析】先判断()f x 为R 上的偶函数，再利用导数判断出()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，在(],0x ∈-∞上单调递减，化简,,a b c ，利用函数的单调性比较大小即可. 【详解】()()ln x x f x e e -=+，x ∈R ，则()()()ln x x f x e e f x --=+=，所以()f x 为R 上的偶函数，并且()x xx xe ef x e e ---'=+，则[)0,x ∈+∞时，()0f x '≥，当且仅当0x =时，“=”成立，所以()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，在(],0x ∈-∞上单调递减，()22111sin cos 222a xdx x ππ==-=⎰，1.111110222b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221log log 32c ==-，又()22111log 3log 3222f c f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()f c f a f b >>.故选：C 【点睛】本题主要考查了函数导数的应用，函数的奇偶性，函数单调性的应用，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.6．【答案】B 【解析】【分析】由定积分的物理意义，变力F (x )所作的功等于力在位移上的定积分，进而计算可得答案．【详解】根据定积分的物理意义，力F (x )所作的功为()3141x dx -=⎰(2x 2-x )31|=14. 故选B 【点睛】本题主要考查了定积分在物理中的应用，同时考查了定积分的计算，属于基础题 7．【答案】B 【解析】【分析】由定积分的运算，求得()32123f x x x =-，再利用导数求得函数()f x 的单调性与极值，结合端点的函数值，得到函数的最值，得到答案. 【详解】由题意，函数()()323200114(2)|233xxf x t t dt t t x x =-=-=-⎰，则()24(4)f x x x x x '=-=-，当[1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(0,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(4,5]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；又由()713f -=-，()00f =，()3243f =-，()2553f =-，所以函数()f x 的最大值为0，最小值为323-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了定积分的运算，以及利用导数研究函数的最值问题，其中解答中熟记函数的导数与原函数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 8．【答案】D【解析】【分析】利用定积分计算出矩形OABC 中位于曲线xy e =上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于e 的等式，解出e 的表达式即可. 【详解】在函数xy e =的解析式中，令1x =，可得y e =，则点()1,B e ，直线BC 的方程为y e =，矩形OABC 中位于曲线xy e =上方区域的面积为()()111xxS e e dx ex e =-=-=⎰，矩形OABC 的面积为1e e ⨯=，由几何概型的概率公式得1N M e =，所以，Me N=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算e 的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题. 9．【答案】A 【解析】【分析】Gini 越小，不平等区域越小，可知①正确，结合劳伦茨曲线的特点，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可知②错误，结合定积分公式，可求出a 的值，即可判断出③④是否正确，从而可选出答案. 【详解】对于①，根据基尼系数公式Gini a S=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误；对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误；对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选：A. 【点睛】本题考查不等式恒成立，考查定积分的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 10．【答案】e【解析】【分析】利用积分运算得()121002()|xx ex dx e x +=+⎰，计算可得答案.【详解】因为()12102()|xx ex dx e x +=+⎰(1)1e e =+-=. 故答案为：e . 【点睛】本题考查积分的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 11．【答案】18【解析】【分析】根据定积分的几何意义可求得结果. 【详解】联立224x yy x ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2280x x --=，解得2x =-或4x =，所以所求面积是242(4)2x x dx -+-⎰2342(4)26x x x -=+-2344484482626⎛⎫⎛⎫=+⨯---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=.故答案为：18. 【点睛】本题考查了定积分的几何意义，属于基础题. 12．【答案】1013【解析】【分析】先由微积分基本定理求出13q =，再由312a a a =⋅求出首项，进而可求出结果. 【详解】因为等比数列{}n a 的公比123101133q x dx x ===⎰，且2231211a a a a q a q ===， ∴113a =，∴101013a =. 故答案为1013【点睛】本题主要考查等比数列的基本量运算，熟记微积分基本定理，以及等比数列的通项公式即可，属于基础题型. 13．【答案】23【解析】【分析】求出矩形OABC 的面积S ，及22y x x =-+与x 轴围城的封闭图形的面积()22102d S x x x =-+⎰，结合几何概型的概率公式，可求出答案. 【详解】如图，由题意，矩形OABC 的面积212S =⨯=，22y x x =-+与x 轴围城的封闭图形面积为()223210212d 03S x x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭⎰321422033=-⨯+-=，则123S P S ==. 所以在矩形OABC 中随机选取一点(),P x y ，事件：点(),P x y 的坐标满足22y x x ≤-+的概率为23. 故答案为：23.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，弄清随机事件对应的平面区域是关键，本题属于中档题.1．【答案】0【解析】2220011(1)d ()|42022x x x x -=-=⨯-=⎰. 2．【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为122310011111()d ()|23236x x x x x -=-=-=⎰. 3．【答案】116116【解析】开始n =1,T =1,因为1<3,所以11212001131d 1|11222T x x x =+=+=+⨯=⎰,n =1+1=2; 因为2<3,所以13130023313111d |1223236T x x x =+=+=+⨯=⎰,n =2+1=3. 因为3<3不成立,所以输出T ,即输出的T 的值为116.4．【答案】512【解析】依题意知点D 的坐标为(1,4),所以矩形ABCD 的面积S =1×4=4, 阴影部分的面积S 阴影=3222111754d 44333| x x x =-=--=⎰,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P =534S S ==阴影S =534=512.5．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =(0p >)，因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()53235355222240(2)d (2)(255)[255]257575753x x x x ---=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案为1.2． 1．列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量3.等积变形问题：常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝ r2h②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc4．数字问题一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．5．市场经济问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润×100%商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．6．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝18．储蓄问题利润＝每个期数内的利息×100% 利息＝本金×利率×期数本金实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）类型一：列二元一次方程组解决——行程问题【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。

高中数学试题微积分的应用与题型解析

高中数学试题微积分的应用与题型解析*正文*高中数学试题微积分的应用与题型解析微积分是数学中重要的分支之一，它的应用广泛涉及到各个领域，尤其在高中阶段的教育中，微积分的学习成为了学生的必修内容之一。

本文将探讨高中数学试题中微积分的应用，并对常见的微积分题型进行解析。

一、定积分的应用定积分是微积分中的关键概念之一，它在数学问题的解决中具有重要的应用。

其中，定积分在求解物体的面积、体积、曲线长度等问题中常常发挥着重要作用。

以下是几个常见的应用题型：1. 面积问题题目：已知函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，其图像与$x$轴围成的图形的面积为$S$，求$S$的表达式。

解析：根据定积分的定义，该题可表示为$\int_a^b |f(x)| dx$。

根据题目中的条件，将函数$f(x)$的图像划分为正负两个部分，分别计算定积分得到的面积，再取绝对值求和即可得到最终答案。

2. 体积问题题目：已知曲线$y=f(x)$在区间$[a,b]$上连续，将其绕$x$轴旋转一周形成一个旋转体，求旋转体的体积。

解析：根据定积分的应用，该题可表示为$\pi\int_a^b [f(x)]^2 dx$。

将曲线$y=f(x)$绕$x$轴旋转一周，可以得到一个旋转体，利用定积分计算旋转体的截面面积，并对其进行累加，最终得到旋转体的体积。

二、无穷积分与级数无穷积分和级数是微积分领域中的另两个重要概念，在高中数学试题中也经常涉及到。

以下是几个常见的应用题型：1. 平面曲线与曲线下的面积题目：已知函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续且大于等于零，求曲线$y=f(x)$与$x$轴所围成的图形的面积。

解析：根据无穷积分的定义，该题可表示为$\int_a^{+\infty} f(x)dx$。

由于区间为无穷大，我们需要先判断积分的收敛性。

若积分收敛，则利用定积分的方法计算出积分的值；若积分发散，则无法计算出面积。

2. 级数求和题目：计算级数$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$的和。

高考数学新课标定积分应用例题、习题及详解

图3定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续曲线()(()0),y f x f x x a x b =≥==及及x 轴所围成的平面图形面积为()baA f x dx =⎰②设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为： dx x f x f S ba ⎰-=)]()([下上.③连续曲线()(()0),x y y c y d φφ=≥==及y 及y轴所围成的平面图形面积为()d cA y dy φ=⎰④由方程1()x y φ=与2()x y φ=以及,y c y d==所围成的平面图形面积为12[()()]dcA y y dy φφ=-⎰ 12()φφ>例１计算两条抛物线2x y =与2y x =所围成的面积．解求解面积问题，一般需要先画一草图（图3），我们要求的是阴影部分的面积．需要先找出交点坐标以便确定积分限，为此解方程组：⎩⎨⎧==22y x x y得交点(0,0)和(1,1)．选取x 为积分变量，则积分区间为]1,0[，根据公式(1) ，所求的面积为31)3132()(103102=-=-=⎰x x x dx x x S ．一般地，求解面积问题的步骤为：(1) 作草图，求曲线的交点，确定积分变量和积分限． (2) 写出积分公式． (3) 计算定积分．例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图.(2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ.(4)计算积分⎰--+=422)214(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y .例3 求在区间[21,2 ]上连续曲线 y=ln x ,x 轴及二直线 x =21,与x = 2所围成平面区域（如图2）的面积。

高考数学复习解题方法与解题模板专题讲解14---定积分求值问题

0
2
=
9π 2 2
+
1 sin 2t 2
π 2 0
=
9π 4
考点：定积分及运算．
【变式演练 10】 ∫1( 1− x2 + x + x3)dx = ______. 0
【答案】 π + 3 【解析】 4
试题分析：因为，， ∫ ∫ ∫ ∫ 1 (
1− x2 + x + x3)dx =
1
1− x2 dx +
B． π + 3 2
D． π + 3 4
试题分析： ,故选 A． ∫ ∫ ∫ 2 f (x)dx = −1
1 −1
1− x2 dx +
2 1
(x2
−1)dx
=
1 2
π
×12
+
(1 3
x3
−
x)
|12
=
π 2
+
4 3
考点：定积分．
【变式演练 9】定积分 ∫3 9 − x2dx 的值为（） 0
A． 9π
B． ln 2 − 7 2
C． ln 2 − 5 8
D． ln 2 − 17 8
考点：定积分的应用.
【变式演练 4】若 ∫a (2x + 1)dx = 3+ ln 2(a >1) ，则a 的值是___________．
1
x
【答案】a = 2
【解析】
试题分析：由，得，所以． ∫a 1
(2x
+
1 x
第二步求方程 f '(x) = 0 的根；第三步判断 f '(x)在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值. 例 1 ∫π sin xdx 的值为（）

高考定积分应用常见题型大全(含答案)

高考定积分应用常见题型大全（含答案）一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）A．B．C．D．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln25．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A．1B．C．D．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．47．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）A．2B．4C．5D．8 8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（）A．∫01e x dx＜∫01e x dx B．∫01e x dx＞∫01e x dxC．（∫01e x dx）2=∫01e x dx D．∫01e x dx=∫01e x dx9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0 10．的值是（）A．B．C．D．11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣e B．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5 D．4.513．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5 D．6.5 14．积分=（）A．B．C．πa2D．2πa215．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2A．4B．C．D．2π17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．20 D．2219．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=高考定积分应用常见题型大全（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用；几何概型．专题：计算题．分析：根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．解答：解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两部分用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积．解答：解：根据题意作出函数的图象：根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=故选C点评：本题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档题．解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln2考点：定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可．解答：解：=（x2+lnx）|12=（22+ln2）﹣（12+ln1）=3+ln2故选B．点评：本题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于基础题．5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）考点：定积分；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．解答：解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=∫01（﹣x2）dx=故选：C点评：考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．4考点：微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于F（x）=x2+sinx为f（x）=x+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫a b f（x）dx=F（x）|a b公式即可求出值．解答：解：∵（x2++sinx）′=x+cosx，∴（x+cosx）dx=（x2+sinx）=2．故答案为：2．点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道基础题．7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）考点：定积分的简单应用．分析：根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b满足的条件，画出平面区域，即可求解．解答：解：由图可知[﹣2，0）上f′（x）＜0，∴函数f（x）在[﹣2，0）上单调递减，（0，4]上f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，4]上单调递增，故在[﹣2，4]上，f（x）的最大值为f（4）=f（﹣2）=1，∴f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）⇒表示的平面区域如图所示：故选B．点评：本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题．解决时要注意数形结合思想应用．8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（）A．∫01e x dx＜∫01e x dx B．∫01e x dx＞∫01e x dxC．（∫01e x dx）2=∫01e x dx D．∫01e x dx=∫01e x dx考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：根据积分所表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x或y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可．解答：解：∫01e x dx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，∫01e x dx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，如图∵当0＜x＜1时，e x x＞e x，故有：∫01e x dx＞∫01e x dx点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°．解答：解：∵a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈﹣cos114.6°=sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°，∴b＞a．故选A．点评：本题考查定积分的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．的值是（）A．B．C．D．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：根据积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积即可．解答：解；积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差．故答案选A点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣e B．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到结论．解答：解：===故选C．点评：本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分．12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5 D．4.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题意，，由此可求定积分的值．解答：解：由题意，=+=2﹣+4﹣2=3.5故选C．点评：本题考查定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和．13．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5 D．6.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx，将∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx转化成∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．解答：解：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx=∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx=（2x+x2）|﹣21+（4x﹣x2）|12=7 故选A．点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14．积分=（）考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个圆．解答：解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，故==．故选B．点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．15．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数f（x）的积分，求出所求即可．解答：解：由题意图象与x轴所围成图形的面积为=（﹣）|01+sinx=+1=故选D．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定积分的值，本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好基础知识很重要．16．由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是（）考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：由题意可知函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形可利用定积分进行计算，只要求∫0（1﹣cosx）dx即可．然后根据积分的运算公式进行求解即可．解答：解：由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积，就是：∫0（1﹣cosx）dx=（x﹣sinx）|0=．故选B．点评：本题考查余弦函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分．17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．解答：解：∵y=x3，∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：S=×（1﹣）×1=故选B．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．20 D．22考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积．解答：解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，分别求出它们的面积A1，A2：A1=∫02[]dx=2 dx=，A2=∫28[]dx=所以阴影部分的面积A=A1+A2==18故选B．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．考查学生利用定积分求阴影面积的方法的能力．19．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则==所以阴影部分的面积为，故选C．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为0曲线与坐标轴围成的面积是：S=∫0（﹣）dx+∫dx=∴围成的面积是故选D．点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．解答：解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2=10π解得：r=2．∵点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点．∴3a2=k且=r∴a2=×（2）2=4．∴k=3×4=12，则反比例函数的解析式是：y=．故选C．点评：本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．。

备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题15定积分求值问题Word版含解析

【高考地位】定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等.【方法点评】类型一利用微积分基本定理求定积分使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步求方程'()0f x =的根；第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值.例1 0sin xdx π⎰的值为（）A ．2πB ．πC ．1D ．2 【答案】D 【解析】考点：微积分基本定理．【点评】一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算.【变式演练1】下列计算错误的是（）A ．ππsin 0xdx -=⎰ B ．23=⎰C ．ππ22π02cos 2cos xdx xdx -=⎰⎰D ．π2πsin 0xdx -=⎰【答案】D试题分析：A 选项，()sin cos 0xdx x ππππ--=-=⎰，所以A 正确；B 选项，132002233x ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，所以B 正确；C 选项，根据偶函数图象及定积分运算性质可知，C正确；D 选项错误。

考点：定积分的计算。

【变式演练2】若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为（）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<【答案】B 【解析】【变式演练3】2231111dx x xx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰（）A ．7ln 28+B ．7ln 22-C ．5ln 28-D ．17ln 28- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得2212321111117(ln )|ln 2228dx x x xx x ⎛⎫++=--=+ ⎪⎝⎭⎰，故选A. 考点：定积分的应用. 【变式演练4】若11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰，则的值是___________．【答案】2a = 【解析】试题分析：由22111(2)(ln )|ln 13ln 2aa x dx x x a a x +=+=+-=+⎰，得213ln ln 2a a ⎧-=⎨=⎩，所以考点：定积分的运算．【变式演练5】⎰-=+221)(sin dx x _____________．【答案】【解析】试题分析：由题意得2222(sin 1)(cos )|(cos 22)[cos(2)2]4x dx x x --+=+=+---=⎰．考点：定积分的计算．【变式演练6】设2lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…若((1))1f f =，则a = ．【答案】1 【解析】考点：1．函数的表示；2．定积分运算．【变式演练7】如图，阴影部分的面积是（）A． B． C ．323D ．353【答案】C 【解析】试题分析：面积为()312213332323|33x x x dx x x --⎛⎫--=--+= ⎪⎝⎭⎰．考点：定积分．类型二利用定积分的几何意义求定积分使用情景：被积函数的原函数不易求出解题模板：第一步画出被积函数的图像；第二步作出直线计算函数,,0x a x b y ===所围成的图形；第三步求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.例2 计算定积分dx x ⎰-124.【答案】233+π. 考点：定积分的计算．【变式演练8】设[]2[1,1)()1,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则21()f x dx -⎰的值为（）A ．4+23πB ．32π+C ．443π+D ．34π+【答案】A 【解析】试题分析：212223211111()(1)1()|23f x dx x dx x x π--=+-=⨯+-=⎰⎰⎰4+23π,故选A ．考点：定积分．【变式演练9】定积分⎰的值为（）A ．9πB ．3πC ．94π D ．92π 【答案】C【解析】试题分析：令t x sin 3=,则]2,0[,cos 3,cos 392π∈==-t t dx t x ,则2209cos tdt π=⎰⎰201cos 29199sin 22222240t dt t ππππ⎛⎫+ ⎪==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎰,故应选C ．考点：定积分及运算．【变式演练10】=++-⎰dx x x x )1(312______.【答案】43+π【解析】考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义. 【变式演练11】已知0>a，6)x -展开式的常数项为15，则2(aax x dx -+=⎰___________【答案】2233π+【解析】试题分析：由6)x -的展开式的通项公式为()3662161r r r rr T C a x --+=-，令3602r -=，求得r=2，故常数项为44615C a =，可得a=1，因此原式为((11221022233x x dx x dx π-++=+=++⎰⎰.考点：二项式定理；微积分基本定理【变式演练12】已知数列{}n a 为等差数列，且201320150a a +=⎰，则()20142012201420162a aa a ++的值为（） A ．π B ．2π C ．2π D ．24π 【答案】考点：等差数列性质及定积分．类型三导数与定积分的综合应用例3 如图所示，抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地，其中A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上.已知工业用地每单位面积价值为3a 元(0)a >，其它的三个边角地块每单位面积价值a 元. （1）求等待开垦土地的面积；（2）如何确定点C 的位置，才能使得整块土地总价值最大.【答案】（1）43；（2）点C 的坐标为)0,33(.考点：1.定积分；2.函数的最值.【变式演练13】给定可导函数()y f x =，如果存在0[,]x a b ∈，使得0()()baf x dx f x b a=-⎰成立，则称0x 为函数()f x 在区间[,]a b 上的“平均值点”.(1)函数3()3f x x x =-在区间[2,2]-上的平均值点为； (2)如果函数在区间[1,1]-上有两个“平均值点”，则实数m 的取值范围是.【答案】(1)1；(2),44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由“平均值点”的定义可得，存在0[]x a b ∈，，使得0()()baf x dx f x b a=-⎰成立，结合图像不难得到,44m ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 考点：新定义、定积分的运用、直线与圆的位置关系【变式演练14】已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1()()(0)()g x af x x f x '=+≠' （1）当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;（2）若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求的值;（3）在（2）的条件下,求直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积. 【答案】（1）()a y g x x x ==+；（2）1a =；（3）2ln 23ln 247-+.【解析】试题分析：（1）对的取值分类讨论，化简绝对值求出()'fx 得到0x >和0x <导函数相等，代入到()g x 即可；（2）根据基本不等式得到()g x 的最小值即可求出；（3）根据（2）知()1g x x x=+，首先联立直线与函数解析式求出交点，利用定积分求出直线与函数图像围成的区域的面积即可.（3）由27361y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得2121322,51326x x y y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩∴直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积 232271()()36S x x dx x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎰=2ln 23ln 247-+考点：导数及函数单调性、定积分的应用.【变式演练15】如下图，过曲线C ：xy e =上一点0(0,1)P 作曲线C 的切线0l 交x 轴于点11(,0)Q x ，又过1Q 作 x 轴的垂线交曲线C 于点111(,)P x y ，然后再过111(,)P x y 作曲线C 的切线交x 轴于点22(,0)Q x ，又过2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点222(,)P x y ，，以此类推，过点n P 的切线n l 与x 轴相交于点11(,0)n n Q x ++，再过点1n Q +作x 轴的垂线交曲线C 于点111(,)n n n P x y +++（n ∈N ）．(1) 求1x 、2x 及数列{}n x 的通项公式；(2) 设曲线C 与切线n l 及直线11n n P Q ++所围成的图形面积为n S ，求n S 的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列{}n S 的前n 项和为n T ，求证：11n n n nT x T x ++<(n ∈N *).【答案】(1) 11x =-，22x =-，n x n =-；(2) 212n e e e-⋅；(3)见解析. 【解析】∴直线的方程为11(1)y x e e-=+.令0y =，得22x =-. 一般地，直线n l 的方程为()nn x x n y ee x x -=-，由于点11(,0)n n Q x ++在直线n l 上，∴11n n x x +-=-. ∴数列{}n x 是首项为1-，公差为1-的等差数列.∴n x n =-. （2）11(1)(1)111()()222|nn x x n n n n n n n n n n S e dx x x y e y e e e ------+-+-+=--=-=--⎰ =212ne e e -⋅.（3）证明：1211[1()]2111221(1)1222(1)1n n n n e e e e e T e e e e e e e e e----⎛⎫=⋅+++=⋅=⋅- ⎪-⎝⎭- ,∴111111111111n n n n n n n T e e e T e e e e e+++++---===+---，1(1)11n n x n x n n +-+==+-. 要证明11n n n n T x T x ++<，只要证明111n e e e n+-<-，即只要证明1(1)n e e n e +>-+. 证法1：（数学归纳法）证法2：110111111[1(1)](1)(1)n n n n n n n ee C C e C e +++++++=+-=+-++- 0111(1)1(1)(1)(1)n n C C e n e e n e ++>+-=++-=-+.所以不等式11n n n nT x T x ++<对一切*n N ∈都成立. 证法3:令()()11x f x e e x e +=---,则()()'11x f x e e +=--, 当0x >时, ()()'11x f x e e +=--()110e e >--=>,∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增. ∴当0x >时, ()()00f x f >=. ∵n ∈N, ∴()0f n >, 即()110n e e n e +--->.∴()11n e e n e +>-+. ∴不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N 都成立. 考点：1、利用导数求切线方程；2、数列的运算；3、定积分计算图形面积.【高考再现】1. 【2015高考湖南，理11】20(1)x dx ⎰-= .【答案】.2．【2015高考天津，理11】曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】16()1122300111236S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.3.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】1.2【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积是()baf x dx ⎰．【反馈练习】1. 【2015-2016学年山东省济南一中高二下期末数学试卷，理13】由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为__________．【答案】103【解析】试题分析：很容易算出x y =与轴40<<x 围成的面积为3160432234===⎰x dx x S ．结合图形可知所求图形的面积为3102221316=⨯⨯-,所以应填答案103．考点：定积分及运用．2．【 2015-2016学年吉林省松原油田高中高二下期末数学卷，理8】已知()()⎩⎨⎧<<≤≤-=10101)(2x x x x f ，则()dx x f ⎰-11的值为（）A ．23 B ．32- C ．34- D ．34 【答案】D 【解析】试题分析：()341311013101211=+=+=---⎰⎰⎰x dx dx x dx x f ，故选D.考点：定积分的计算.3．【2015-2016学年山东省曲阜师大附中高二下4月月考理数学试卷，理10】定义{}()2,1min ,min ,,a a b a b f x x b a bx ≤⎧⎧⎫==⎨⎨⎬>⎩⎭⎩，设，则由函数()f x 的图象与轴、直线2x =所围成的封闭图形的面积为（） A ．712 B ．512 C ．1ln 23+ D ．1ln 26+ 【答案】C 【解析】考点：分段函数与定积分运算．4．【 2016届湖南师大附中高三上学期月考六数学试卷，理12】对于区间[],a b 上的函数()f x ，若存在[]0,x a b ∈，使得()()0baf x f x dx =⎰成立，则称0x为函数()f x 在区间[],a b 上的一个“积分点”．那么函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“积分点”为（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π【答案】B 【解析】试题分析：因为22001171cos 2sin 2sin sin 6262662x dx x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰，则()001cos 262f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭．因为00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则072,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以02263x ππ+=，即04x π=，选B ．考点：1、定积分；2、三角函数的性质.5．【2015-2016学年湖南五市十校教改共同体高二下期末数学试卷，理8】如图，设区域{}()|0101D x y x y =≤≤≤≤，，，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线y =与2y x =所围成阴影区域内的概率是（）A.16B.13C.12 D.23【答案】B 【解析】考点：1.定积分的应用；2.几何概型。

人教版2023高中数学定积分题型总结及解题方法

(每日一练)人教版2023高中数学定积分题型总结及解题方法单选题1、曲线y =x 2与直线y =3x 围成图形的面积为（）A ．274B ．272C ．92D ．9答案：C解析：先求出两个曲线的交点坐标，进而确定积分区间，再依据函数的图象的上下位置确定被积分函数，最后依据微积分基本定理求解即可得到答案.由直线y =3x 与曲线y =x 2，解得{x =0y =0 或{x =3y =3，所以直线y =3x 与曲线y =x 2的交点为O (0,0)和A (3,3)，因此，直线y =3x 与曲线y =x 2所围成的封闭图形的面积是S =∫(3x −x 2)dx 30=(32x 2−13x 3)|30 =92. 故选：C.小提示：本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中确定积分区间，再依据函数的图象的上下位置确定被积分函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2、∫2x+3x+22−1dx =（）A ．2+ln2B ．3−ln2C ．6−ln2D ．6−ln4答案：D解析：先求出不定积分，再代入上下限来求定积分.由题，∫2x+3x+2d x 2−1=∫(2−1x+2)d x 2−1 =[2x −ln(x +2)]|−12 =(4−ln4)−(−2−ln1)=6−ln4.故选：D小提示：本题考查定积分的运算，属于基础题.3、函数y =−x 3，y =√x 与y =1图象围成区域面积为S ，则（）A ．S >1B ．S <1C ．S =1D ．无法确定答案：A解析：在同一平面直角坐标系中作出三个函数的图象，求出交点坐标，再由定积分的几何意义可得S =∫[1−0−1(−x 3)]d x +∫(1−√x)d x 10，再由微积分基本定理计算S 的值即可求解. 分别作出函数y =−x 3，y =√x 与y =1图象如图所示：y =−x 3，y =√x 都过点O (0,0)，由{y =−x 3y =1得x =−1，所以A (−1,1)，由{y =√x y =1得x =1，所以B (1,1)，所以区域面积为S =∫[1−(−x 3)]d x +0−1∫(1−√x)d x 10 =∫(1+x 3)d x +0−1∫(1−√x)d x 10=(x +14x 4)|−10+(x −23x 32)|01 =0−(−1+14)+(1−23)−0=34+13=1312>1，故选：A.填空题4、在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是______．答案：43解析：以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点P (x,0,z )，则0≤x ≤2，0≤z ≤2，求出点P 的轨迹方程，再利用定积分可求得结果.以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设点P (x,0,z )，则0≤x ≤2，0≤z ≤2，则点P 到直线A 1B 1的距离为2−z ，因为BC ⊥平面AA 1B 1B ，BP ⊂平面AA 1B 1B ，所以，BC ⊥BP ，所以，点P 到直线BC 的距离为|BP⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(x −2)2+z 2，由已知可得√(x −2)2+z 2=2−z ，化简可得z =x −x 24，当x =2时，z =1，即点P 的轨迹交棱BB 1于点(2,0,1)，因此，在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是∫(x −x 24)dx 20=(12x 2−x 312)|02 =43.所以答案是：43.5、设a =∫sinxdx π0，则二项式(a √x √x )6的展开式中含x 2项的系数为__________.答案：−192解析：根据微积分基本定理首先求出a 的值，然后再根据二项式的通项公式求出r 的值，问题得以解决． ∵a =∫sinxdx π0=(−cosx)|x=0x=π=2，∴(a √x √x )6=(2√x √x )6的展开式通项为：T =C 6r (2√x)6−r √x )r =(−1)r 26−r C 6r x 3−r ，令3−r =2，得r =1，故含x 2项的系数为−26−1C 61=−192所以答案是：−192小提示：本题主要考查定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于容易题．。

定积分的计算与题型总结

定积分的计算与题型总结本文内容是高等数学中积分相关内容的一个大总结，包括凌乱知识点的总结和一些附带的例子，以及一些常用的和容易出错的细节和结论。

内容主要涉及定积分的计算技巧、结论的运用、定积分的几何和物理应用；多重积分的计算技巧(包括排列和旋转等。

)及其在定积分中的应用；曲线和曲面积分的计算公式和定理总结，各种积分之间的关系，物理和几何的应用。

您现在浏览的内容是此系列的第一篇：定积分的计算与题型总结。

1.定积分的计算(1)直接先计算不定积分，然后使用牛顿-莱布尼茨公式。

这个非常简单，也是最基本的一种方法，不多赘述。

（注意：只适用于所有能简单积分出原函数的题，所以想做好定积分，不定积分首先要过关。

）牛顿-莱布尼茨公式：如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，并且存在原函数 F(x) ，则 \int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a)=F(x)\bigg|_{a} ^{b}(2)利用定义计算。

若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上可积，将区间分为 n 等分:\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x =\lim _{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^{n}f\left[a+\frac{i}{n}(b-a)\right] \frac{b-a}{n}特别注意，根据上述表达式有，当 [a, b] 区间恰好为 [0,1] 区间时，则 [0,1] 区间积分表达式为:\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)例1:用定义计算 \int_{0}^{1}x^2\mathrm{d}x解: \int_{0}^{1} x^2 \mathrm{d} x=\lim _{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^2=\lim _{n \rightarrow\infty} \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2=\lim _{n\rightarrow\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac{1}{3}(3)利用奇偶性计算根据定积分的几何意义(图像和横轴围成的有向面积)，奇函数在正负对称区间的积分为0。

高考数学定积分 Word版含解析

定积分一、基础知识1、相关术语：对于定积分()baf x dx ⎰（1）,:a b 称为积分上下限，其中a b ≥ （2）()f x ：称为被积函数（3）dx ：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：()2bax t x d x+⎰中的被积函数为()2f x x tx =+，而()2baxt x d t +⎰的被积函数为()2f t xt x =+2、定积分()baf x dx ⎰的几何意义：表示函数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积（x 轴上方部分为正，x 轴下方部分为负）和，所以只有当()f x 图像在[],a b 完全位于x 轴上方时，()baf x dx ⎰才表示面积。

()baf x dx ⎰可表示数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：（1）微积分基本定理：如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()'F x f x =，那么()()()()|bb a af x dx F x F b F a ==-⎰使用微积分基本定理，关键是能够找到以()f x 为导函数的原函数()F x 。

所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：()f x C = ()'0f x = ()f x x α= ()'1f x x αα-=()sin f x x = ()'c o s f x x = ()c o s f x x = ()'s i n f x x =- ()x f x a = ()'ln x f x a a = ()x f x e = ()'xf x e= ()log a f x x = ()'1ln f x x a =()ln f x x = ()'1f x x= ① 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：()3f x x =，则判断属于幂函数类型，原函数应含4x ，但()'434xx =，而()3f x x=，所以原函数为()414F x x C =+（C 为常数） ② 如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数C ，例如()2f x x =，则()2F x xC =+，但在使用微积分基本定理时，会发现()()F b F a -计算时会消去C ，所以求定积分时，()F x 不需加上常数。

备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题15定积分求值问题答案解析

【高考地位】定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等.【方法点评】类型一利用微积分基本定理求定积分使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步求方程'()0f x 的根；第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值.例1sin xdx 的值为（）A ．2B ．C ．1D ．2【答案】D 【解析】考点：微积分基本定理．【点评】一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算.【变式演练1】下列计算错误的是（）A ．ππsin 0xdx B ．1023xdxC ．ππ22π02cos 2cos xdx xdx D ．π2πsin 0xdx【答案】D试题分析：A 选项，sin cos 0xdx x ，所以A 正确；B 选项，13122233xdxx，所以B 正确；C 选项，根据偶函数图象及定积分运算性质可知，C 正确；D 选项错误。

考点：定积分的计算。

【变式演练2】若22221231111,,,xS x dx S dx S e dx x则123S S S 的大小关系为（）A ．123S S SB ．213S S SC ．231S S S D ．321S S S 【答案】B 【解析】【变式演练3】2231111dx xxx（）A ．7ln 28B ．7ln 22C ．5ln 28D ．17ln 28【答案】A 【解析】试题分析：由题意得2212321111117(ln )|ln 2228dx xxxxx，故选 A.考点：定积分的应用.【变式演练4】若11(2)3ln 2(1)axdx ax，则a 的值是___________．【答案】2a 【解析】试题分析：由22111(2)(ln )|ln 13ln 2a a xdx xx aa x，得213ln ln 2aa，所以考点：定积分的运算．【变式演练5】221)(sin dxx _____________．【答案】4【解析】试题分析：由题意得2222(sin 1)(cos )|(cos22)[cos(2)2]4x dx x x ．考点：定积分的计算．【变式演练6】设2lg 0()30axxf x x t dtx ,若((1))1f f ，则a．【答案】 1 【解析】考点：1．函数的表示；2．定积分运算．【变式演练7】如图，阴影部分的面积是（）A ．23B ．53C ．323D ．353【答案】C 【解析】试题分析：面积为312213332323|33xxx dxxx ．考点：定积分．。

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