2019-2020人教B版数学必修第一册新教材同步讲义：第1章+1.1.2 集合的基本关系和答案

1.1.2 集合的基本关系

1.维恩图

一般地，如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图．

维恩图的优点及其表示

(1)优点：形象直观．

(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．

2．子集、真子集、集合相等的相关概念

思考：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？

(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？

提示：(1)不一定，如集合A ＝{0,1,2}，B ＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含

关系．

(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；

而“⊆”表示集合与集合之间的关系．

3．集合间关系的性质

(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.

(2)对于集合A，B，C.

①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；

②若A B，B C，则A C.

③若A⊆B，A≠B，则A B.

1．下列集合中与{2,3}是同一集合的是()

A．{{2}，{3}}B．{(2,3)}

C．{(3,2)} D．{3,2}

D[与{2,3}是同一集合的是{3,2}．故选D.]

2．下列命题：

①空集没有子集；

②任何集合至少有两个子集；

③空集是任何集合的真子集；

④若∅A，则A≠∅.其中正确的个数是()

A．0B．1 C．2D．3

B[在①中，空集的子集是空集，故①错误；

在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误；

在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；

在④中，若∅A，则A≠∅，故④正确．故选B.]

3．已知集合P＝{x|0≤x≤2}，且M⊆P，则M可以是() A．{0,1} B．{1,3}

C．{－1,1} D．{0,5}

A [A.0∈P ,1∈P ，则M ⊆P 成立，

B ．3∉P ，则M ⊆P 不成立，

C ．－1∉P ，则M ⊆P 不成立，

D ．5∉P ，则M ⊆P 不成立，

故选A.]

4．已知集合A {2 018,2 019}，则这样的集合A 共有________个．

3 [满足A {2 018,2 019}的集合A 为：∅，{2 018}，{2 019}，共3个．]

【例a 的值．

[解] A ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}．

(1)当a ＝0时，B ＝∅⊆A ，符合题意．

(2)当a ≠0时，B ＝{x |ax ＝1}＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a ， ∵1a ≠0，要使A ⊇B ，只有1a ＝1，即a ＝1.

综上，a ＝0或a ＝1.

集合A 的子集可分三类：∅、A 本身、A 的非空真子集，解题中易忽略∅.

1．已知集合A ＝{x |1

[解] (1)当2a －3≥a －2，即a ≥1时，B ＝∅⊆A ，符合题意．

(2)当a <1时，要使A ⊇B ，需⎩⎪⎨⎪⎧ a <1，2a －3≥1，

a －2≤2，

这样的实数a 不存在．

综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}．

【例2(2)若一个集合有n (n ∈N )个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．

[解] (1)∅，{a }，{b }，{c }，{d }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，c ，d }，{b ，c ，d }，{a ，b ，c ，d }．

(2)若一个集合有n (

n ∈N )个元素，则它有2n 个子集，2n －1

个真子集．如

∅，有一个子集，0个真子集．

为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等.

2．适合条件{1}⊆A {1,2,3,4,5}的集合A 的个数是( )

A ．15

B ．16

C ．31

D ．32

A [这样的集合A 有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．]

【例3】 ①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；

⑥0＝{0}

A．1 B．2

C．3 D．4

(2)指出下列各组集合之间的关系：

①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；

②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．

(1)B[对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.]

(2)[解]①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A 与B之间无包含关系．

②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故

A B.

③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.

法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.

判断集合间关系的方法

(1)用定义判断.,首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；,若既有A⊆B，又