组合变形PPT课件
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工程力学第十一章 组合变形
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。
《材料力学组合变形》课件
这种变形通常发生在承受轴向力 和弯矩的杆件中，其变形特点是 杆件既有伸长或缩短，又有弯曲 。
拉伸与压缩组合变形的分析方法
01
02
03
弹性分析方法
基于弹性力学的基本原理 ，通过求解弹性方程来分 析杆件内部的应力和应变 分布。
塑性分析方法
在材料进入塑性阶段后， 采用塑性力学的基本理论 来分析杆件的承载能力和 变形行为。
材料力学在组合变形中的应用实例
01
02
03
04
桥梁工程
桥梁的受力分析、桥墩的稳定 性分析等。
建筑结构
高层建筑、大跨度结构的受力 分析、抗震设计等。
机械工程
机械零件的强度、刚度和稳定 性分析，如轴、轴承、齿轮等
。
航空航天
飞机和航天器的结构分析、材 料选择和制造工艺等。
材料力学在组合变形中的发展趋势
特点
剪切与扭转组合变形具有复杂性和多样性，其变形行为受到多种因素的影响，如 材料的性质、杆件的长度和截面尺寸、剪切和扭转的相对大小等。
剪切与扭转组合变形的分析方法
1 2 3
工程近似法
在分析剪切与扭转组合变形时，通常采用工程近 似法，通过简化模型和假设来计算杆件的应力和 变形。
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，可以模拟杆件在 剪切与扭转组合变形中的真实行为，提供更精确 的结果。
弯曲组合变形的分析方法
叠加法
刚度矩阵法
叠加法是分析弯曲组合变形的基本方 法之一。该方法基于线性弹性力学理 论，认为各种基本变形的应力、应变 分量可以分别计算，然后按照线性叠 加原理得到最终的应力、应变分布。
刚度矩阵法是通过建立物体内任意一 点的应力、应变与外力之间的关系， 来求解复杂变形问题的一种方法。对 于弯曲组合变形，可以通过构建系统 的刚度矩阵来求解。
拉伸与压缩组合变形的分析方法
01
02
03
弹性分析方法
基于弹性力学的基本原理 ，通过求解弹性方程来分 析杆件内部的应力和应变 分布。
塑性分析方法
在材料进入塑性阶段后， 采用塑性力学的基本理论 来分析杆件的承载能力和 变形行为。
材料力学在组合变形中的应用实例
01
02
03
04
桥梁工程
桥梁的受力分析、桥墩的稳定 性分析等。
建筑结构
高层建筑、大跨度结构的受力 分析、抗震设计等。
机械工程
机械零件的强度、刚度和稳定 性分析，如轴、轴承、齿轮等
。
航空航天
飞机和航天器的结构分析、材 料选择和制造工艺等。
材料力学在组合变形中的发展趋势
特点
剪切与扭转组合变形具有复杂性和多样性，其变形行为受到多种因素的影响，如 材料的性质、杆件的长度和截面尺寸、剪切和扭转的相对大小等。
剪切与扭转组合变形的分析方法
1 2 3
工程近似法
在分析剪切与扭转组合变形时，通常采用工程近 似法，通过简化模型和假设来计算杆件的应力和 变形。
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，可以模拟杆件在 剪切与扭转组合变形中的真实行为，提供更精确 的结果。
弯曲组合变形的分析方法
叠加法
刚度矩阵法
叠加法是分析弯曲组合变形的基本方 法之一。该方法基于线性弹性力学理 论，认为各种基本变形的应力、应变 分量可以分别计算，然后按照线性叠 加原理得到最终的应力、应变分布。
刚度矩阵法是通过建立物体内任意一 点的应力、应变与外力之间的关系， 来求解复杂变形问题的一种方法。对 于弯曲组合变形，可以通过构建系统 的刚度矩阵来求解。
强度理论与组合变形ppt
桥梁监测和维护
通过监测桥梁的变形、裂缝等指标，及时发现 并解决潜在的安全隐患。
3
桥梁修复和加固
根据强度理论分析，针对受损或老化桥梁采取 适当的修复和加固措施。
强度理论在建筑物中的应用
建筑设计
01
考虑建筑物结构的强度、刚度和稳定性，以确保建筑物在使用
过程中的安全性。
抗震设计
02
强度理论在地震作用下用于评估建筑物的抗震性能，设计合理
02
组合变形
组合变形的定义与特点
定义
组合变形是指结构或构件在复杂受力或温度变化等作用下，由平面弯曲、拉 伸、压缩、扭转等基本变形组合而形成的变形形式。
特点
组合变形具有复杂性、多变性、综合性等特点，变形形式多种多样，影响因 素较为复杂，需要综合考虑多种因素进行分析和计算。
组合变形的影响因素
材料性质
组合变形对强度理论的影响
组合变形过程中，材料内部的应力 、应变和裂缝等状态是不断变化的 ，这些因素对强度理论的应用和验 证产生一定的影响。
VS
在复杂应力状态下，材料的强度和 稳定性受到多种因素的影响，因此 需要综合考虑各种因素来评估材料 的强度和稳定性。
强度理论与组合变形的相互作用
强度理论是组合变形的基础，它为组合变形的分析 和设计提供了重要的理论依据。
强度理论分类
根据不同的破坏特征和受力条件，强度理论可分为最大拉应 力理论、最大伸长线应变理论、最大剪切应力理论和形状改 变比能理论等。
强度理论的重要性
强度理论是工程应用中设计、制造、使用和维护各种材料的 关键依据之一，可以指导人们合理地选择材料、制定工艺和 优化结构。
强度理论能够为各种工程结构的分析、设计和优化提供理论 基础，从而提高工程结构的可靠性、安全性和经济性。
通过监测桥梁的变形、裂缝等指标，及时发现 并解决潜在的安全隐患。
3
桥梁修复和加固
根据强度理论分析，针对受损或老化桥梁采取 适当的修复和加固措施。
强度理论在建筑物中的应用
建筑设计
01
考虑建筑物结构的强度、刚度和稳定性，以确保建筑物在使用
过程中的安全性。
抗震设计
02
强度理论在地震作用下用于评估建筑物的抗震性能，设计合理
02
组合变形
组合变形的定义与特点
定义
组合变形是指结构或构件在复杂受力或温度变化等作用下，由平面弯曲、拉 伸、压缩、扭转等基本变形组合而形成的变形形式。
特点
组合变形具有复杂性、多变性、综合性等特点，变形形式多种多样，影响因 素较为复杂，需要综合考虑多种因素进行分析和计算。
组合变形的影响因素
材料性质
组合变形对强度理论的影响
组合变形过程中，材料内部的应力 、应变和裂缝等状态是不断变化的 ，这些因素对强度理论的应用和验 证产生一定的影响。
VS
在复杂应力状态下，材料的强度和 稳定性受到多种因素的影响，因此 需要综合考虑各种因素来评估材料 的强度和稳定性。
强度理论与组合变形的相互作用
强度理论是组合变形的基础，它为组合变形的分析 和设计提供了重要的理论依据。
强度理论分类
根据不同的破坏特征和受力条件，强度理论可分为最大拉应 力理论、最大伸长线应变理论、最大剪切应力理论和形状改 变比能理论等。
强度理论的重要性
强度理论是工程应用中设计、制造、使用和维护各种材料的 关键依据之一，可以指导人们合理地选择材料、制定工艺和 优化结构。
强度理论能够为各种工程结构的分析、设计和优化提供理论 基础，从而提高工程结构的可靠性、安全性和经济性。
组合变形(工程力学课件)
偏心压缩（拉伸）
轴向拉伸（压缩）
偏心压缩
F2 F2e
轴向压缩（拉伸）和 弯曲两种基本变形组合
偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
双向偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
外力
内力
平移定理
应力
+
=
弯矩
轴力
max
min
FN A
Mz Wz
【例 1】求横截面上的最大正应力
F 50 kN
e 10 mm
组合变形的概念 及其分析方法
杆件的四种基本变形
轴向拉压 剪切 扭转
F
F
F
F
Me
Me
沿轴线的伸长或缩短 相邻横截面相对错动 横截面绕轴线发生相对转动
Me
弯曲
Me
F
轴线由直线变为曲线 横截面发生相对的转动
两种或两种以上基本变形的组合，称为组合变形
常见的 组合变形
（1）拉（压）弯组合 （2）斜弯曲（弯、弯组合） （3）偏心压缩（拉伸） （4）弯扭组合
24 106 401.88 103
64
4.3 59.7 64 [ ] 满足强度要求
59.7 55.4
斜弯曲
平面弯曲
作用线与截面的 纵向对称轴重合
梁弯曲后挠曲线位于外力F所在的纵向对称平面内
斜弯曲
作用线不与截面 的对称轴重合
梁弯曲后挠曲线不再位于外力F所在的纵向平面内
图示矩形截面梁，应用叠加原理对其进行分析计算：
3、应力分析
( z,y)
横截面上任意一点 （ z, y） 处 的正应力计算公式为
Mz
z
O
x
1.拉伸正应力
N
建筑力学课件 第十三章 组合变形
max
M
m
ax
cos Iz
ymax
s in
Iy
z
m
ax
【注】斜弯曲时，梁内剪应力很小 ，通常不予计算。
13.2 斜弯曲
三、强度条件
进行强度计算，首先要确定危险截面和危险点的位置。 对于图13-3所示的悬臂梁，固定端截面的弯矩值最大 ，是危险截面。对矩形、工字形等具有两个对称轴及 棱角的截面，最大正应力必定发生在角点上（图134d）。将角点坐标代入式（13-2）式便可求得任意截 面上的最大正应力值。
13.2 斜弯曲
由式（13-2）可见，应力σ是坐标y、z的线性函数，所以 它是一个平面方程。正应力σ在横截面上的分布规律 可用一倾斜平面表示（如图13-4d）。斜平面与横截
面的交线就是中性轴，它是横截面上正应力等于零的
各点的连线，这条连线也称为零线。零线在危险截面
上的位置可由应力σ = 0的条件确定，即：
与轴力FN (x)对应的正应力为
N
FN (x) A
与弯矩M(x)对应的弯曲正应力为
M
M (x)y Iz
13.3 压缩（拉伸）与弯曲组合
将两项应力叠加后得总应力，即
N
M
FN (x) M (x) y
A
Iz
（13-6）
叠加后的应力分布如图13-9(d)所示。显然，最大拉应力
发生在DD边，最大压应力发生在CC边。对于抗拉
3EI z
因Fz所引起的挠度为
fz
Fzl 3 3EI y
Fl3 sin
3EI y
由叠加原理，自由端的总挠度是两个方向挠度的矢量和(
如图13-6a)，即 f
f
2 y
f
工程力学-组合变形课程课件
离中性轴最远的点，这就是危险点。
令 y0 , z0 代表中性轴上任一点的坐标，
即得中性轴方程
中性轴
z
1 ez z ey y 0
O
Iy
Iz
中性轴在 y , z 两轴上的截距为 D2
ay
D1
az y
ay
iz2 ey
az
iy2 ez
工程力学
第12章 组合变形
例12.6 螺旋夹紧装置如图所示，已知 F 2kN ，
800
D
C
A
2500
B
1500
F
工程力学
第12章 组合变形
1、先计算出CD 的杆长
800
D
C
A
2500
1500
FCD
FAx A
FCDx
FAy
FCDy
l 25002 8002 2620mm 2.62m
2、取AB为研究对象，画受力简图
B
MA 0
F
FCD
2.5 2.5 2.62
F
(2.5 1.5)
中性轴与y 轴的夹角q 为
tanq z0 I y M z I y tan
y0 I z M y I z
式中， 为合弯矩与轴的夹角。
Iz Iy Iz Iy
q q
斜弯曲 平面弯曲
工程力学
中性轴将横截面分为两部分，一部分受 拉应力，一部分受压应力。作平行于中 性轴的两直线，分别与横截面的周边相 切，这两个切点D1，D2就是该截面上拉应 力和压应力为最大的点。将危险点的坐 标代入（12.1）式，即可求得横截面上的 最大拉应力和最大压应力。危险点的应 力状态为单向应力状态或近似当作单向 应力状态，故其强度条件为
《组合变形完整》课件
平移变形
通过在平面上的移动，改变元素的位置并创造新的形状。
旋转变形
通过绕中心点或轴旋转，改变元素的方向和角度。
缩放变形
通过改变元素的尺寸和比例，实现大小的变化。
பைடு நூலகம்
组合变形的应用实例
汽车刹车灯组合变形实例
通过组合和变换不同形状的灯光元素，实现了刹车时的 亮起与变形效果。
纸牌变形实例
将纸牌变形为不同的形状和结构，创造出令人惊叹的魔 术效果和艺术呈现。
《组合变形完整》PPT课 件
组合变形是一种有趣而强大的技术，通过结合和变换不同元素，创造出新的 形状和结构，本课程将带你深入了解组合变形的概念与应用。
什么是组合变形？
组合变形是一种将不同元素通过结合和变换创造新形状和结构的技术。通过 组合和变换，可以实现创造性的设计和工程应用。
组合变形的基本类型
使用编程语言和计算机图形学的知识，实现组合 变形算法并应用于实际项目。
结语
组合变形技术的应用带来了许多好处，从提升设计灵活性到改善工程应用的 效率。展望未来，组合变形将继续发展并创造更多创新和突破。
组合变形在工程上的应用
设计软件的应用
组合变形在设计软件中被广泛应用，用于创建新的形状和结构，提升设计的创意和灵活性。
机器人操作的应用
组合变形技术使机器人能够通过结合和变换不同部件，适应不同的任务和环境，提高机器人 的操作效率。
组合变形的技术细节
1 算法分析
2 编程实现
通过深入研究不同的算法和数学模型，实现高效 且精确的组合变形技术。
通过在平面上的移动，改变元素的位置并创造新的形状。
旋转变形
通过绕中心点或轴旋转，改变元素的方向和角度。
缩放变形
通过改变元素的尺寸和比例，实现大小的变化。
பைடு நூலகம்
组合变形的应用实例
汽车刹车灯组合变形实例
通过组合和变换不同形状的灯光元素，实现了刹车时的 亮起与变形效果。
纸牌变形实例
将纸牌变形为不同的形状和结构，创造出令人惊叹的魔 术效果和艺术呈现。
《组合变形完整》PPT课 件
组合变形是一种有趣而强大的技术，通过结合和变换不同元素，创造出新的 形状和结构，本课程将带你深入了解组合变形的概念与应用。
什么是组合变形？
组合变形是一种将不同元素通过结合和变换创造新形状和结构的技术。通过 组合和变换，可以实现创造性的设计和工程应用。
组合变形的基本类型
使用编程语言和计算机图形学的知识，实现组合 变形算法并应用于实际项目。
结语
组合变形技术的应用带来了许多好处，从提升设计灵活性到改善工程应用的 效率。展望未来，组合变形将继续发展并创造更多创新和突破。
组合变形在工程上的应用
设计软件的应用
组合变形在设计软件中被广泛应用，用于创建新的形状和结构，提升设计的创意和灵活性。
机器人操作的应用
组合变形技术使机器人能够通过结合和变换不同部件，适应不同的任务和环境，提高机器人 的操作效率。
组合变形的技术细节
1 算法分析
2 编程实现
通过深入研究不同的算法和数学模型，实现高效 且精确的组合变形技术。
第五章 应力状态分析 强度理论 组合变形.ppt
2. 求应力：
min
N A
M WZ
130103 0.18h
6 106 0.18h2
6
0
h 276.9mm,取h 280mm
min
N M A WZ
130103 6106 180 280 180 28026Βιβλιοθήκη 0.029MPa28
2 xy
min
x
y
2
x y
2
2
2 xy
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
17
§5.2 平面应力状态分析——解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa xy 30MPa, y 40MPa, 30。
2
2
xy
cos 2
15
§5.2 平面应力状态分析——解析法
2. 主平面和主应力
确定正应力极值
( x
y )
2
( x
y ) cos 2
2
xy
sin
2
d d
2
(
x
y ) sin
2
2
xy cos 2
0
(σx
σy
) s
x 2 xy
y
1
1
2
max min
x
2
y
2
2 xy
23
平面应力状态重要公式
max min
min
N A
M WZ
130103 0.18h
6 106 0.18h2
6
0
h 276.9mm,取h 280mm
min
N M A WZ
130103 6106 180 280 180 28026Βιβλιοθήκη 0.029MPa28
2 xy
min
x
y
2
x y
2
2
2 xy
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
17
§5.2 平面应力状态分析——解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa xy 30MPa, y 40MPa, 30。
2
2
xy
cos 2
15
§5.2 平面应力状态分析——解析法
2. 主平面和主应力
确定正应力极值
( x
y )
2
( x
y ) cos 2
2
xy
sin
2
d d
2
(
x
y ) sin
2
2
xy cos 2
0
(σx
σy
) s
x 2 xy
y
1
1
2
max min
x
2
y
2
2 xy
23
平面应力状态重要公式
max min
《组合变形》PPT课件
0.266q (12 ) 237 106
(21.5103) q
( max )D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q (12 ) 31.5 106
0.456q (12 ) 237 106
(16.02 103) q
危险点在A截面上的外棱角D1和D2处
z
MyA
y
z
MzA
y
D1 z D2
y
32
l 几何参数
A 15103 m2 , zo 7.5 cm, I y 5310 cm4
l 求内力(作用于截面形心)
取研究对象如图
FN P kN,
M y 42.5 102 P kN.m
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
350
FN
33
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
l FN引起的应力
FN P MPa
u 拉伸、压缩
l 组合变形 有两种或两种以上的 基本变形同时发生。
u 剪切
l 求解组合变形的方法
将载荷分为几组分别产生 基本变形的载荷，然后应 用叠加原理。
u 扭转
u 弯曲
3
2 叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应 力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷 单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而 得到，且与各组载荷的加载次序无关。
'' My z Mz y
Iy
Iz
中性轴的方程：
My F1l
F2 (l a)
Mz
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
5
中性轴的方程：
45-48-第09章-组合变形--王亲猛课件资料
y
应力分布图
s
s
应力: s FN
A
s M max
Wz
叠加：同向应力相加，反向相减
即可得出杆上最大拉、压应力。
（4）强度条件：
s max
s
s max
s
8
例9-1 起重机的横梁用25a号工字钢制成如图，梁长 l 4m，拉杆与横梁夹角 为30，电葫芦自重为 4k，N最大起吊重量为 20k，N许用应力为 [s ] 100MPa
300 500
500
解： （1）外力分析
5kN
d
A
C
B
D
2kN 5kN
2kN
力学简图
1.5kNm 7kN z
1.5kNm
建立坐标系 x
5kN
5kN 7kN
y
22
1.5kNm 7kN z 1.5kNm
5kN y
MT
12kN 1.5kNm
y 5kN 12.5k
N
Mz
z
1.5kNm
7kN
12kN 2.25kNm
A F
m1＝Fr1 A
F F、P 使轴弯曲
m1、m2 使轴受扭
C
E
B
P
m2＝Pr2 E
B
C
P
弯扭组合
(Combination of bending and torsion)
4
9.1 组合变形概述 (Summary)
讨论组合变形强度问题的基本思路 由于材料力学讨论线弹性、小变形，各载荷的
（1）将外力作局用部相等互效独变立换，（互分不解影或响平。移因）此并在分计组算：反使力每、一内组力 只产生力一、种应基力本、变变形形；时都可以应用叠加原理。
第五章 拉弯组合变形.ppt
课间游戏吹泡泡作文
课间活动时间，我和小明、小刚约好来一场吹泡泡比赛。
我们来到操场上。
随着我的一声令下，大家就迫不及待地开始比赛了。
只见小明先打开瓶盖，，将吹泡泡用的小棒沾了一点水，接着用嘴对准棒前面的圈圈用力一吹，一个乒乓球大小的泡泡就诞生了，看到他吹了个这么大的泡泡，我心里可不服气啦。
于是我也用小棒沾了沾水，然后对准圈圈小心翼翼地吹起泡泡来，果然，在我的努力下，一个网球一样大的泡泡飘向空中，看着我的大泡泡，我得意地向小明挑了挑眉毛。
我们三个好朋友不停地吹着泡泡，，不一会儿，我们就置身在泡泡的海洋中。
一个个泡泡就像一个个淘气的胖娃娃，它们在阳光的照耀下仿佛穿上了漂亮的五彩衣，一个个你争我抢的向天空中飘去。
多么迷人的景象，我们欢呼起来。
很快，上课铃声响了，我们依依不舍的回到教室。
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（2）内力分析：距自由端为x的任意截面A上引起 的弯矩分别为：
M y Pz x Px sin
Mz
Py x
Px cos
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
（3）应力分析：对应的应力分布，如图所示。
于是，A截面上任意点处正应力由平面弯曲正应力公 式计算。得：
（M
z
)
Mz Iz
y
（M
y
)
上例中，斜弯曲截面应力分布如图所示
根据中性轴处正应力为零，令（9.3）式等于零便可
得中性轴方程： M y z M z y P x( z sin y cos ) 0
Iy
Iz
Iy
Iz
sin z cos y 0 （9.4）中性轴方程
Iy
Iz
上式为没有截距的直线方程，可见此时中性轴通过截
面形心。如图所示。
§9-2 斜弯曲 9.2.5最大正应力和强度条件
以上一悬臂梁为例，如右图所示
（1）最危险截面：为固定端截面 （2）最危险截点：为正应力最大点
可根据叠加原理分析得出，如下图所示
最大正应力为：
强度条件为：
max
( M y
Mz)Βιβλιοθήκη （9.5）maxWy Wz
max （9.7）
例题9.1
§9-2 斜弯曲
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.4处理组合变形的基本方法
1.外力分析
将外力进行简化分解, 把构件上的外力转化为几个静力 等效载荷，使之每个载荷对应一种基本变形，即将组合 变形分解为基本变形。 2.内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截 面.分别计算在每一种基本变形下构件的应力
§9-2 斜弯曲
9.2.4中性轴分析
设中性轴与y轴的夹角为 ，则由 sin z cos y 0
Iy
Iz
得 tan z I y cot
y Iz
工程中，一般 I y Iz
说明， tan cot
也就是 90
这表明：斜弯曲时，中性轴与加载方向不垂直，这是 斜弯曲与平面弯曲的重要区别之一。
压弯组合变形
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
马达卷扬机
弯扭组合变形
M FR F F
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生 弯曲 + 扭转
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
屋架传来的压力 吊车传来的压力
M I
y y
z
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
（3）应力分析：一点总应力 以截面上第一限点（y，z）为例
压应力
拉应力
（M
z
)
M I
z z
y
利用叠加原理，该点总应力为：
（M
y
)
Myz Iy
M y z M z y P x( z sin y cos ) （9.3）
Iy
Iz
Iy
Iz
§9-2 斜弯曲 9.2.4中性轴分析
3.应力分析
画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形
下的应力叠加,建立危险点的强度条件
§9-2 斜弯曲 9.2.1斜弯曲变形工程实例
檩条受到的荷载作用在铅垂作用面内，然而， 檩条弯曲变形后的轴线并不在铅垂作用面内。因此， 檩条发生斜弯曲变形。
§9-2 斜弯曲 9.2.2斜弯曲变形的前提条件
第九章 组合变形
9.1 组合变形和叠加原理 9.2 斜弯曲 9.3 拉伸或压缩与弯曲的组合 9.4 弯曲和扭转的组合 9.5 偏心压缩和截面核心
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.1四种基本变形： 轴向拉伸与压缩 Axial tension/compression
剪切 Shear
扭转 Torsion
弯曲 Bending 此外，还有组合变形Combined Deformation
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
F M
这类由两种或两种以上基
本变形组合而成的变形，
F
称为组合变形。
拉弯组合变形
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
本章介绍几种常见的组合 变形，分别是：斜弯曲、 拉弯或压弯组合、弯扭组 合、偏心压缩。
§9-1 组合变形和叠加原理
说明:小变形前提
图示纵横弯曲问题,横截面上 内力为 FN P
M x ql x q x2 Pv x
22
当变形较大时,弯矩中与 挠度有关的附加弯矩不能略 去.虽然梁是线弹性的,弯矩、 挠度与P的关系却是非线性的 因而不能用叠加法.除非梁的 刚度较大,挠度很小,轴力引起 的附加弯矩可以略去.
工字钢简支梁
l
l
32a工字钢
2
2
P
P
已知：l＝4m， []=160MPa，=5°，P=60kN
求：校核梁的强度。
解：1. 外力分析：
将P沿两主轴分解:
Py Pz
P cos 60 cos 5 P sin 60sin 5
59.77kN 5.23kN
例题9.1
§9-2 斜弯曲
已知：l＝4m， []=160MPa， =5°，P=60kN
压弯组合变形
自重 风 力
牛腿柱
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.3叠加原理
构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的 独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、 应力、应变和位移等是各个单独载荷作用下的值的 叠加
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从胡 克定律; 2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进 行分解与叠加计算,且能保证与加载次序无关.
32a工字钢
求：校核梁的强度。
P
解： 2. 内力分析，危险截面： Py 29kN Pz 7.76kN
简支梁，当小车至梁中点时，Mmax。
∴危险截面是梁跨度中点处的截面。
M z max
Pyl 4
59.77kNm
M
y max
Pzl 4
5.23kNm
§9-2 斜弯曲
例题9.1 D2 已知：l＝4m， []=160MPa， =5°，P=60kN 求：校核梁的强度。
一是载荷作用在一个平面内，但载荷作用面与 梁的纵向对称面不重合（图a）；
二是载荷都作用在对称面内，但不在同一纵向 对称面内（图b）。
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
考察图示矩形截面梁，对其进行分析计算：
（1）外力分析：荷载分解
Py Pz
Pcos
Psin
§9-2 斜弯曲
9.2.3内力与应力计算
解：M zmax 59.77kNm M ymax 7.76kNm 3. 应力分析，危险点：
32a工字钢
Wz 692.2 103 ,
W y 70.8 103
M y Pz x Px sin
Mz
Py x
Px cos
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
（3）应力分析：对应的应力分布，如图所示。
于是，A截面上任意点处正应力由平面弯曲正应力公 式计算。得：
（M
z
)
Mz Iz
y
（M
y
)
上例中，斜弯曲截面应力分布如图所示
根据中性轴处正应力为零，令（9.3）式等于零便可
得中性轴方程： M y z M z y P x( z sin y cos ) 0
Iy
Iz
Iy
Iz
sin z cos y 0 （9.4）中性轴方程
Iy
Iz
上式为没有截距的直线方程，可见此时中性轴通过截
面形心。如图所示。
§9-2 斜弯曲 9.2.5最大正应力和强度条件
以上一悬臂梁为例，如右图所示
（1）最危险截面：为固定端截面 （2）最危险截点：为正应力最大点
可根据叠加原理分析得出，如下图所示
最大正应力为：
强度条件为：
max
( M y
Mz)Βιβλιοθήκη （9.5）maxWy Wz
max （9.7）
例题9.1
§9-2 斜弯曲
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.4处理组合变形的基本方法
1.外力分析
将外力进行简化分解, 把构件上的外力转化为几个静力 等效载荷，使之每个载荷对应一种基本变形，即将组合 变形分解为基本变形。 2.内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截 面.分别计算在每一种基本变形下构件的应力
§9-2 斜弯曲
9.2.4中性轴分析
设中性轴与y轴的夹角为 ，则由 sin z cos y 0
Iy
Iz
得 tan z I y cot
y Iz
工程中，一般 I y Iz
说明， tan cot
也就是 90
这表明：斜弯曲时，中性轴与加载方向不垂直，这是 斜弯曲与平面弯曲的重要区别之一。
压弯组合变形
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
马达卷扬机
弯扭组合变形
M FR F F
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生 弯曲 + 扭转
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
屋架传来的压力 吊车传来的压力
M I
y y
z
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
（3）应力分析：一点总应力 以截面上第一限点（y，z）为例
压应力
拉应力
（M
z
)
M I
z z
y
利用叠加原理，该点总应力为：
（M
y
)
Myz Iy
M y z M z y P x( z sin y cos ) （9.3）
Iy
Iz
Iy
Iz
§9-2 斜弯曲 9.2.4中性轴分析
3.应力分析
画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形
下的应力叠加,建立危险点的强度条件
§9-2 斜弯曲 9.2.1斜弯曲变形工程实例
檩条受到的荷载作用在铅垂作用面内，然而， 檩条弯曲变形后的轴线并不在铅垂作用面内。因此， 檩条发生斜弯曲变形。
§9-2 斜弯曲 9.2.2斜弯曲变形的前提条件
第九章 组合变形
9.1 组合变形和叠加原理 9.2 斜弯曲 9.3 拉伸或压缩与弯曲的组合 9.4 弯曲和扭转的组合 9.5 偏心压缩和截面核心
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.1四种基本变形： 轴向拉伸与压缩 Axial tension/compression
剪切 Shear
扭转 Torsion
弯曲 Bending 此外，还有组合变形Combined Deformation
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
F M
这类由两种或两种以上基
本变形组合而成的变形，
F
称为组合变形。
拉弯组合变形
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
本章介绍几种常见的组合 变形，分别是：斜弯曲、 拉弯或压弯组合、弯扭组 合、偏心压缩。
§9-1 组合变形和叠加原理
说明:小变形前提
图示纵横弯曲问题,横截面上 内力为 FN P
M x ql x q x2 Pv x
22
当变形较大时,弯矩中与 挠度有关的附加弯矩不能略 去.虽然梁是线弹性的,弯矩、 挠度与P的关系却是非线性的 因而不能用叠加法.除非梁的 刚度较大,挠度很小,轴力引起 的附加弯矩可以略去.
工字钢简支梁
l
l
32a工字钢
2
2
P
P
已知：l＝4m， []=160MPa，=5°，P=60kN
求：校核梁的强度。
解：1. 外力分析：
将P沿两主轴分解:
Py Pz
P cos 60 cos 5 P sin 60sin 5
59.77kN 5.23kN
例题9.1
§9-2 斜弯曲
已知：l＝4m， []=160MPa， =5°，P=60kN
压弯组合变形
自重 风 力
牛腿柱
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.3叠加原理
构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的 独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、 应力、应变和位移等是各个单独载荷作用下的值的 叠加
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从胡 克定律; 2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进 行分解与叠加计算,且能保证与加载次序无关.
32a工字钢
求：校核梁的强度。
P
解： 2. 内力分析，危险截面： Py 29kN Pz 7.76kN
简支梁，当小车至梁中点时，Mmax。
∴危险截面是梁跨度中点处的截面。
M z max
Pyl 4
59.77kNm
M
y max
Pzl 4
5.23kNm
§9-2 斜弯曲
例题9.1 D2 已知：l＝4m， []=160MPa， =5°，P=60kN 求：校核梁的强度。
一是载荷作用在一个平面内，但载荷作用面与 梁的纵向对称面不重合（图a）；
二是载荷都作用在对称面内，但不在同一纵向 对称面内（图b）。
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
考察图示矩形截面梁，对其进行分析计算：
（1）外力分析：荷载分解
Py Pz
Pcos
Psin
§9-2 斜弯曲
9.2.3内力与应力计算
解：M zmax 59.77kNm M ymax 7.76kNm 3. 应力分析，危险点：
32a工字钢
Wz 692.2 103 ,
W y 70.8 103