高考数学模拟复习试卷试题模拟卷21612
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷12912
高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1．理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件．3.了解复数的代数表示形式及其几何意义．4.会进行复数代数形式的四则运算．5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义． 【重点知识梳理】 1．复数的有关概念内容 意义备注复数的概念 形如a ＋bi(a ∈R ，b ∈R)的数叫复数，其中实部为a ，虚部为b若b ＝0，则a ＋bi 为实数；若a ＝0且b≠0，则a ＋bi 为纯虚数复数相等 a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d 共轭复数a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d(a ，b ，c ，d ∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ →对应的复数为z ＝a ＋bi ，则向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋bi 的模|z|＝|a ＋bi|＝a2＋b2 2.复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z ＝a ＋bi复平面内的点Z(a ，b)(a ，b ∈R)．(2)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)平面向量OZ →.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ；②减法：z1－z2＝(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i ； ③乘法：z1·z2＝(a ＋bi)·(c ＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ； ④除法：z1z2＝a ＋bi c ＋di ＝（a ＋bi ）（c －di ）（c ＋di ）（c －di ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic2＋d2(c ＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C ，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量OZ1→，OZ2→不共线，则复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．②复数减法的几何意义：复数z1－z2是OZ1→－OZ2→＝Z2Z1→所对应的复数． 【高频考点突破】 考点一 复数的概念【例1】 (1)设i 是虚数单位．若复数a －103－i (a ∈R)是纯虚数，则a 的值为()A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)若3＋bi 1－i＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则a ＋b ＝________．【答案】(1)D(2)3规律方法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．【变式探究】 (1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －为() A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i(2)复数z ＝12＋i(其中i 为虚数单位)的虚部为________．【答案】(1)D(2)－15 考点二 复数的运算【例2】 (1)(·安徽卷)设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z －＝() A ．－2 B ．－2i C ．2 D ．2i(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 014＝________．【答案】(1)C(2)0规律方法 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．(2)记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i ；②1＋i1－i ＝i ；③1－i 1＋i＝－i ；④a ＋bi i ＝b －ai ；⑤i4n ＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N)．【变式探究】 (1)(·天津卷)i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i ＝()A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________．【答案】(1)A(2)－1＋i 考点三 复数的几何意义【例3】 (1)(·重庆卷)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)复数z ＝（2－i ）2i (i 为虚数单位)，则|z|＝() A ．25 B.41 C ．5 D.5【答案】(1)A(2)C规律方法 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征． 【变式探究】(1)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是()A ．AB ．BC ．CD ．D(2)i 为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i ，则z2＝________．【答案】(1)B(2)－2＋3i 【真题感悟】1.【高考新课标1，文3】已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（） （A ）2i --（B ）2i -+（C ）2i -（D ）2i + 【答案】C2.【高考山东，文2】若复数Z 满足1zi-i =，其中i 为虚数单位，则Z=( ) （A ）1i -（B ）1i +（C ）1i --（D ）1i -+ 【答案】A3.【高考湖南，文1】已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z = ( )A 、1i +B 、1i -C 、 1i -+D 、1i -- 【答案】D4.【高考湖北，文1】i 为虚数单位，607i =（ ） A ．i - B ．i C ．1-D ．1【答案】A .5.【高考广东，文2】已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i【答案】D6.【高考福建，文1】若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ）A ．3,2-B ．3,2C ．3,3-D ．1,4- 【答案】A7.【高考安徽，文1】设i 是虚数单位，则复数()()112i i -+=（ ） （A ）3+3i （B ）1+3i （3）3+i （D ）1+i 【答案】C8.【高考北京，文9】复数()1i i +的实部为． 【答案】1-9.【高考重庆，文11】复数(12i)i 的实部为________. 【答案】210.【高考四川，文11】设i 是虚数单位，则复数1i i-＝_________. 【答案】2i11.【高考天津，文9】i 是虚数单位,计算12i2i-+的结果为． 【答案】i12.【高考上海，文3】若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z . 【答案】i 2141+（·浙江卷）已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋bi)2＝2i”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A（·全国卷）设z ＝10i 3＋i ，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i 【答案】D（·北京卷）复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________．【答案】－1（·福建卷）复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i 【答案】C（·广东卷）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3＋4i B ．－3－4i C ．3＋4i D ．3－4i 【答案】D（·湖北卷）i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i 【答案】A（·湖南卷）满足z ＋iz ＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i 【答案】B10．（·江西卷）z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i 【答案】D11．（·辽宁卷）设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i 【答案】A12．（·新课标全国卷Ⅰ] （1＋i ）3（1－i ）2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 【答案】D13．（·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i ，则z1z2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i 【答案】A14．（·山东卷）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋bi 互为共轭复数，则(a ＋bi)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i 【答案】D15．（·四川卷）复数2－2i 1＋i ＝________．【答案】－2i16．（·天津卷）i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i＝( )A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i 【答案】A17．（·新课标全国卷Ⅰ] 若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D.45 【答案】D18．（·安徽卷）设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z·zi ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 【答案】A19．（·北京卷）在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D20．（·福建卷）已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D21．（·广东卷）若复数iz ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2，4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4，2)【答案】C22．（·湖北卷）在复平面内，复数z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D23．（·湖南卷）复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B24．（·江苏卷）设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 【答案】525．（·江西卷）已知集合M ＝{1，2，zi}，i 为虚数单位，N ＝{3，4}，M∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i 【答案】C26．（·辽宁卷）复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22 C. 2 D ．2 【答案】B27．（·全国卷）(1＋3i)3＝()A．－8 B．8C．－8i D．8i【答案】A28．（·山东卷）复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为()A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i【答案】D29．（·陕西卷）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22【答案】D30．（·四川卷）如图1－1所示，在复平面内，点A表示复数z，则图1－1中表示z的共轭复数的点是()A．A B．B C．C D．D【答案】B31．（·天津卷）已知a，b∈R，i是虚数单位，若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.【答案】1＋2i32．（·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()A．－1＋i B．－1－iC．1＋i D．1－i【答案】A33．（·浙江卷] 已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝()A．－3＋i B．－1＋3iC．－3＋3i D．－1＋i【答案】B34．（·重庆卷）已知复数z＝5i1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________．【答案】5【押题专练】1．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝() A．1 B．2 C. 2D.32．已知复数z ＝－2i ，则1z ＋1的虚部为() A.25i B.25 C.255iD.255【答案】B3．设z 是复数，则下列命题中的假命题是()A ．若z2≥0，则z 是实数B ．若z2＜0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z2≥0D ．若z 是纯虚数，则z2＜0【答案】C4．设z ＝11＋i ＋i ，则|z|＝()A.12B.22C.32 D ．2【答案】B5．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－bi ，则(a ＋bi)2＝() A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3i D ．4＋3i【答案】A6．设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B7．下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p1：|z|＝2; p2：z2＝2i ；p3：z 的共轭复数为1＋i; p4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为() A ．p2，p3B ．p1，p2C ．p2，p4D ．p3，p4【答案】C8．设f(n)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n(n ∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为() A ．1B ．2C ．3D ．无数个【答案】C9．复数3＋ii2(i 为虚数单位)的实部等于______．【答案】－310．若复数(m2－5m ＋6)＋(m2－3m)i(m 为实数，i 为虚数单位)是纯虚数，则m ＝________．【答案】211．已知复数z1＝－2＋i ，z2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R)．若z1z2为实数，则a 的值为________．【答案】412．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎫－∞，2313．已知复数z ＝i ＋i2＋i3＋…＋i2 0141＋i，则复数z 在复平面内对应的点为________．【答案】(0，1) 14．定义运算|abcd|＝ad －bc.若复数x ＝1－i1＋i ，y ＝|4ixi2x ＋i|，则y ＝________．高考模拟复习试卷试题模拟卷【答案】－2高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
2021年山东(新高考)高三数学模拟仿真考试卷(二)(附解析)
3
2
4．【答案】B
【解析】由题意得 y2 3x 3 x2 0 ， 0 x 2 ， 2
因此 x2 y2 3x 1 x2 1 x 32 9 ，
a sin B b cos( A π ) ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． 6
问题：△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 2a b 2c ，______，求 A 和 C ．
注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．
18．（12 分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每
（1）求证： MN∥平面 FCB ； （2）若直线 AF 与平面 FCB 所成的角为 60°，求平面 MAB 与平面 MAC 所成锐二面角的余弦值．
19．（12 分）如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为等腰梯形，且 AB 2CD 2 ， ABC 60 ，四边形 ACFE 为矩形，且 FB 2 ，M，N 分别为 EF ， AB 的中点．
1．已知 ， N 均为 R 的子集，且 M ðR N ，则 ðR M N （ ）
A．
B． M
C． N
D． R
2．若复数 z 满足 2i z
1 2
3 i ，则 z （ 2
）
A． 1 2
B． 1 2
C． 1 i 2
D． 1 i 2
3． △ABC 中，A，B，C 是 △ABC 的内角，则“ A π ”是“ cos A 1 ”的（ ）
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷21112
高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 【热点题型】题型一平面向量的有关概念 【例1】给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. 其中正确命题的序号是()A ．②③B ．②④C ．③④D ．②③④【提分秘籍】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a|的关系：a|a|是与a 同方向的单位向量．【举一反三】 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 ①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量． 答案 C题型二 平面向量的线性运算【例2】 (1)在△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a·b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD →＝() A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b(2)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．解析 (1)∵a·b ＝0，∴∠ACB ＝90°，∴AB ＝5，CD ＝255， ∴BD ＝55，AD ＝455，∴AD ∶BD ＝4∶1. ∴AD →＝45AB →＝45(CB →－CA →)＝45a －45b. (2)因为ABCD 为平行四边形， 所以AB →＋AD →＝AC →＝2AO →， 已知AB →＋AD →＝λAO →，故λ＝2.答案 (1)D(2)2 【提分秘籍】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．【举一反三】(1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝()A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b(2)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则()A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0解析 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a.(2)由题意知：AD →＝FE →，BE →＝DF →，CF →＝ED →，而FE →＋ED →＋DF →＝0，∴AD →＋BE →＋CF →＝0. 答案 (1)D(2)A题型三共线向量定理的应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b)．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．【提分秘籍】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．【举一反三】(1)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋mj ，AD →＝ni ＋j.若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是()A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(2)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．解析 (1)由A ，B ，D 共线可设AB →＝λAD →，于是有i ＋mj ＝λ(ni ＋j)＝λni ＋λj.又i ，j 不共线，因此⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝1，λ＝m ， 即有mn ＝1.(2)设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b)，PQ →＝OQ →－OP →＝nb －ma ，PG →＝OG →－OP →＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即nb －ma ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m ＝3.答案 (1)C(2)3 【高考风向标】1.【高考安徽，文15】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）①a 为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4(。
2022年高考数学模拟试卷(含答案)
高考数学模拟试卷一一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，则A∩B=．2．（5分）若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=．3．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为．4．（5分）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．5．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．6．（5分）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是．7．（5分）已知F为双曲线C：2x2﹣my2=4m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为．8．（5分）与的大小关系是．（用“＞”或“＜”连接）9．（5分）为了得到y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，则φ的最小值为．10．（5分）若函数f（x）=，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为．11．（5分）已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有=，则=．12．（5分）如图，在圆O：x2+y2=4上取一点A（﹣，1），E、F为y轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN．则直线MN的斜率为．13．（5分）如图，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，则•=．14．（5分）已知正实数a、b、c满足+=1，++=1，则实数c的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．16．（14分）如图，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：AE⊥平面ABC．17．（14分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，，．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元．试问当θ为多少时，年总收入最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：+y2=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t=﹣1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：+定值；（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．19．（16分）已知数列{a n}，{b n}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，a n2+b n a n﹣12=2n+1．（1）若b n=（﹣1）n，求的值；（2）若数列{a n}的各项均为正数，且a1=2，b n=﹣1．设S n=，T n=，试比较S n与T n的大小，并说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．（10分）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=AB•ED．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：++≥．解答题25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp （λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．26．（10分）在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）=n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（2016•南通模拟）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，则A∩B= {0，1} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，∴A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}2．（5分）（2016•南通模拟）若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=1．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】根据纯虚数的定义，得到实部为0，虚部不为0列出不等式和方程，解不等式组求出a的值．【解答】解：∵复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数∴解得∴a=1故答案为：13．（5分）（2016•南通模拟）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为32．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题．【分析】由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数．【解答】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，则有：，解得：x=0.2，∴中间一组的频数=160×0.2=32．故填：32．4．（5分）（2016•江苏模拟）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】根据互斥时间的概率公式计算即可．【解答】解：从5个球中任意取两个共有C52=10种，两球颜色相同的有2种，两球颜色不同的概率是1﹣=，故答案为：．5．（5分）（2016•南通模拟）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为205．【考点】顺序结构．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值，∵i+2=101时，满足条件，∴输出的S值为S=2×101+3=205．故答案为：205．6．（5分）（2016•南通模拟）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是3+．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题．【分析】先求面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形的面积，再求正三角形△ABC的面积，求解即可．【解答】解：设侧棱长为a，则a=2，a=，侧面积为3××a2=3，底面积为×22=，表面积为3+．故答案为：3+．7．（5分）（2016•南通模拟）已知F为双曲线C：2x2﹣my2=4m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的标准方程，根据焦点在x轴上的双曲线的焦点到渐近线的距离为b 进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，双曲线的焦点在x轴，则a2=2m，b2=4，则b=2，设焦点在x轴的双曲线的方程为=1，设焦点F（c，0），双曲线的一条渐近线方程为y=x，即bx﹣ay=0则点F到C的一条渐近线的距离d==2故答案为：28．（5分）（2016•南通模拟）与的大小关系是＞．（用“＞”或“＜”连接）【考点】不等式比较大小．【专题】转化思想；数学模型法；不等式．【分析】由于=＞=＞，即可得出．【解答】解：∵==＞=＞，∴＞，故答案为：＞．9．（5分）（2016•南通模拟）为了得到y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，则φ的最小值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】将y=sinx化为y=cos[（x﹣π）]，再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可．【解答】解：∵y=sin=cos（﹣）=cos[（x﹣π）]，∴将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象对于的解析式为：y=cos[（x ﹣π+φ）]，又∵y=cos（﹣）=cos[（x﹣）]，∴由题意可得：（x﹣π+φ）=（x﹣）+2kπ，k∈Z，解得：φ=4kπ+，k∈Z，∵φ＞0∴当k=0时，φ的最小值为．故答案为：．10．（5分）（2016•南通模拟）若函数f（x）=，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】当x≤0时，f（x）=x+2x，单调递增，由f（﹣1）f（0）＜0，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；x＞0时，f（x）=ax﹣lnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根．令g（x）=，求出导数，求得单调区间，极值，即可得到a的值．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+2x，单调递增，f（﹣1）=﹣1+2﹣1＜0，f（0）=1＞0，由零点存在定理，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；则由题意可得x＞0时，f（x）=ax﹣lnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根．令g（x）=，g′（x）=，当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．即有x=e处取得极大值，也为最大值，且为，如图g（x）的图象，当直线y=a（a＞0）与g（x）的图象只有一个交点时，则a=．故答案为：．11．（5分）（2015•淮安模拟）已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有=，则=9．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，利用=，求出q=9，q′=3，可得=3，即可求得结论．【解答】解：设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，∵=，∴n=1时，a1=b1．n=2时，．n=3时，．∴2q﹣5q′=3，7q′2+7q′﹣q2﹣q+6=0，解得：q=9，q′=3，∴．故答案为：9．12．（5分）（2016•南通模拟）如图，在圆O：x2+y2=4上取一点A（﹣，1），E、F为y 轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN．则直线MN的斜率为﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】不适一般性，取特殊点，即可得出结论．【解答】解：由题意，取M（0，2），AM的斜率为，∵AE=AF，∴AN的斜率为﹣，过原点，∴N（（，﹣1），∴直线MN的斜率为=﹣．故答案为：﹣．13．（5分）（2016•南通模拟）如图，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，则•=﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】取PC中点D，连结BD，设BD=x．利用三角形中位线定理与含有45°角的直角三角形的性质，算出∠BDC=135°，CD=PD=x．在△BCD中利用余弦定理，结合题中数据建立关于x的方程，解出x，从而得出PA，PC．最后利用数量积的公式加以计算，可得则•的值【解答】解：取PC中点D，连结BD．设BD=x，∵BD是△PAC的中位线，∴BD∥PA且BD=PA．∵∠APB=90°，∴△PBD中，∠PBD=∠APB=90°，∵∠BPD=45°，BD=x，∴PD=x，CD=PD=x，△BDC中，∠BDC=∠APC=90°+450°=130°，BC=1，由余弦定理，得BC2=BD2+CD2﹣2BD•CDcos∠BDC=1，即x2+2x2﹣2x•xcos135°=1，解之得x=，即BD=，∴PA=2BD=，PC=2×=，∴•=||•||cosAPC=××（﹣）=﹣，故答案为：﹣14．（5分）（2016•南通模拟）已知正实数a、b、c满足+=1，++=1，则实数c 的取值范围是（1，] ．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由于+=1，++=1，可得，化为．由于正实数a、b满足+=1，利用基本不等式的性质可得ab≥4，据此可得c的取值范围．【解答】解：∵++=1，∴，化为．∵正实数a、b满足+=1，∴，化为ab≥4．则c==1+，ab﹣1≥3，则1＜c≤．故答案为：（1，]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2011•宝山区二模）已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）当时，求出向量、，利用数量积的坐标运算求出向量•，从而求出向量、的夹角θ；（2）向量，，代入函数，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果．【解答】解：（1）当时，，所以，因而；（2），，因为，所以，当λ＞0时，，即，当λ＜0时，，即，所以．16．（14分）（2016•南通模拟）如图，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：AE⊥平面ABC．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）取BC中点F，连结AF，可证AF⊥BC，由平面ABC⊥平面DBC，且交线为BC，可证AF⊥平面DBC，从而AF∥DE，即可证明DE∥平面ABC．（2）连结DF，可证DF⊥平面ABC，AE∥DF，从而有AE⊥平面ABC．【解答】解：（1）取BC中点F，连结AF，因为AB=AC，所以，AF⊥BC，又因为平面ABC⊥平面DBC，且交线为BC，所以，AF⊥平面DBC，因为DE⊥平面DBC，所以，AF∥DE，而AF在平面ABC内，DE在平面ABC外，所以，DE∥平面ABC；（2）连结DF，∵DB=DC，F为BC中点，∴DF⊥BC，∵平面ABC⊥平面DBC，DF⊂平面DBC，可证DF⊥平面ABC，∵AE∥DF，∴AE⊥平面ABC．17．（14分）（2016•南通模拟）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，，．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元．试问当θ为多少时，年总收入最大？【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】导数的综合应用；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求区域Ⅱ的总面积；（2）建立三角函数关系式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．【解答】解：（1）因为BD=AC，OB=OA，所以OD=OC．因为，DE∥OA，CF∥OB，所以DE⊥OB，CF⊥OA．又因为OE=OF，所以Rt△ODE≌Rt△OCF．所以．…（2分）所以．所以，所以，．…（6分）（2）因为，所以．所以=，…（10分）所以，令y'=0，则．…（12分）当时，y'＞0，当时，y'＜0．故当时，y有最大值．答：当θ为时，年总收入最大．…（15分）18．（16分）（2016•南通模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：+y2=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t=﹣1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：+定值；（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由题意得l：y=﹣x+1，由此能求出t的值．（2）直线AC：y=k1（x+2），与联立得C：，同理得D：，由此能证明=﹣4（定值）．（3）要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O．【解答】（1）解：由题意：椭圆：+y2=1上顶点C（0，1），右焦点E（﹣，0），所以l：y=﹣x+1，令x=2，得t=1﹣．…（2分）（2）证明：直线AC：y=k1（x+2），与联立得C：，同理得D：，…（4分）由C，D，P三点共线得：k CP=k DP，得=﹣4（定值）．…（8分）（3）证明：要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O，设点P（2，t），则OP：y=x，分别与直线AC：y=k1（x+2）与AD：y=k2（x+2）联立得：x E=，x F=，下证：x E+x F=0，即+=0化简得：t（k1+k2）﹣4k1k2=0…（12分）由（2）知C：，D：，由C，D，P三点共线得：k CP=k DP，得t（k1+k2）﹣4k1k2=0，所以四边形AFBE为平行四边形．…（16分）19．（16分）（2016•南通模拟）已知数列{a n}，{b n}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，a n2+b n a n﹣12=2n+1．（1）若b n=（﹣1）n，求的值；（2）若数列{a n}的各项均为正数，且a1=2，b n=﹣1．设S n=，T n=，试比较S n与T n的大小，并说明理由．【考点】数列递推式；数列与函数的综合．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列的递推关系时，即可得到a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，…a182+a172=37，累加即可，（2）根据数列的递推关系求出a n=n+1，n∈N，再分别表示出S n与T n，分别计算它们的平方，n=1，2，3，4，5，6，当n≥6时，构造数列c n=，利用换元法和作差法得到数列{c n}为递增数列，问题得以解决．【解答】解：（1）由题意可得a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，…a182+a172=37，将上面的式子相加得到=5+9+13+…+37=189，（2）∵a n2+b n a n﹣12=2n+1，a1=2，b n=﹣1∴a n2﹣a n﹣12=2n+1，n≥2，∴a22﹣a12=5，a32﹣a22=7，a42﹣a32=9，a n2﹣a n﹣12=2n+1，将上面的式子相加得到a n2﹣a12=，∴a n2=（n+1）2，n≥2，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n=n+1，当n=1时，也成立，∴a n=n+1，n∈N*，∴S n==2n﹣1，T n==，下面比较S n与T n的大小，取n=1，2，3，4，5，6，∴S12＜T12，S22＞T22，S32＞T32，S42＞T42，S52＞T52，S62＜T62，当n≥6时，令c n=，则=设2n=t≥64，则（n+2）（2n﹣1）2﹣（2n+1﹣1）2=8（t﹣1）2﹣（2t﹣1）2=4t2﹣12t+7＞0∴当n≥6时，数列{c n}为递增数列，∴c n≥c6=＞1，∴n≥6时，S n2＜T n2，综上所述：当n=2，3，4，5时，S n＞T n，当n=1，n≥6时，S n＜T n．20．（16分）（2016•南通模拟）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】分类讨论；分析法；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．（10分）（2016•南通模拟）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O 相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=AB•ED．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】连接BD，证明△EAD∽△DBA．即可证明AD2=AB•ED．【解答】证明：连接BD，因为直线AE与圆O相切，所以∠EAD=∠ABD．…（4分）又因为AB∥CD，所以∠BAD=∠ADE，所以△EAD∽△DBA．…（8分）从而=，所以AD2=AB•ED．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）（2016•南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【考点】逆变换与逆矩阵．【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】在直线x+y﹣2=0上取两点M（2，0），M（0，2）．在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．推导出M′、N′的坐标，由题意，M′、N′在直线x+y﹣2=0上，列出方程组求出A=，由此能求出矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：在直线x+y﹣2=0上取两点M（2，0），M（0，2）．M，N在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．∵=，∴M′的坐标为（2，2b）；=，∴N′的坐标为（2a，4）．由题意，M′、N′在直线x+y﹣2=0上，∴．解得a=﹣1，b=0．∴A=，∵→→．∴A﹣1=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2015•淮安模拟）已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】选作题；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，可得F的坐标，直线l经过点（m，0），可求m的值；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得，∴a=5，b=3，c=4，则点F的坐标为（4，0）．∵直线l经过点（m，0），∴m=4．…（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（9cos2α+25sin2α）t2+72tcosα﹣81=0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|•|FB|=|t1t2|=．…（8分）当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值9；当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•南通模拟）已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：++≥．【考点】不等式的证明．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得（a+2b+3c）（++）≥（++）2，化简整理，结合条件即可得证．【解答】证明：由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得：（a+2b+3c）（++）≥（++）2=（++）2=1，由a+2b+3c=9，可得++≥，当且仅当a=3b=9c，即a=，b=，c=时，等号成立．解答题25．（10分）（2016•南京三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l 的距离为d，且d=λp（λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可知x1=1﹣，A点坐标为（1﹣，1），将A点坐标代入抛物线方程求得p的值，写出抛物线的标准方程；（2）直线AB过M（﹣，0），设直线AB的方程为y=k（x+），代入抛物线方程y2=2px，消去y，整理得，解出x1、x2，将d=x1+，代入d=λp，得，+λ=，可知，，将x1、x2代入，即可解得，可证直线AB的斜率为定值．【解答】解：（1）由条件知，x1=1﹣，则A点坐标为（1﹣，1），代入抛物线方程得p=1，∴抛物线方程为y2=2x，（2）证明：设B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+），将直线AB的方程代入y2=2px，消去y得：，解得：x1=，x2=．∵d=λp，∴，+λ=，，∴p=x2﹣x1=，∴，∴直线AB的斜率为定值．26．（10分）（2015•淮安模拟）在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）=n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出；（2）类比（1）即可得出；（3）：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则，可得，利用，即可得出．【解答】（1）解：∵数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，∴P3（1）=3；（2）解：=；（3）证明：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则有，故，又∵，∴．令，则a n=na n﹣1，且a1=1．于是a2a3a4…a n﹣1a n=2a1×3a2×4a3×…×na n﹣1，左右同除以a2a3a4…a n﹣1，得a n=2×3×4×…×n=n!∴．高考数学模拟试卷二第Ⅰ卷（必做题，共160分）??一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 已知{}2A x x =＜，{}1B x x =＞ ，则A B = ▲ ．2． 已知复数z 满足(1i)2i z -=+，则复数z 的实部为 ▲ ． 3． 函数5()log (9)f x x =+ 的单调增区间是 ▲ ．4． 将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ▲ ．5． 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是 ▲ ．6． 一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm2）分别为：9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则这组样本数据的方差为 ▲ ．7． 已知函数()sin()(030)f x x ωϕωϕ=+<<<<π，．若4x π=-为函数()f x 的一个零点，3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则ω的值为 ▲ ． 8． 已知1==a b ，且()()22+⋅-=-a b a b ，则a 与b 的夹角为 ▲ ．9． 已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知关于x 的一元二次不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，其中a b c ，，为常数．则不等式2 0cx bx a ++≤的解集为 ▲ ．11．已知正数x ，y 满足121x y +=，则22log log x y +的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22280x y x ++-=，直线l ：(1) ()y k x k =-∈R 过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则三角形AEC 的周长为 ▲ ． 13．设集合{}*2n A x x n ==∈N ，，集合{}*n B x x b n ==∈N ， 满足A B =∅，且*A B =N ．若对任意的*n ∈N ，1n n b b +<，则2017b 为 ▲ ．14．定义：{}max a b ，表示a ，b 中的较大者．设函数{}()max 11f x x x =-+，，2()g x x k =+，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．（第5题）（第17题）二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知cos cos 02C C +=．（1）求C 的值．（2）若c =1，三角形ABC ，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABC —DEF 中，若AB//DE ，BC//EF ． （1）求证：平面ABC//平面DEF ；（2）已知CAB ∠是二面角C-AD-E 的平面角． 求证：平面ABC ⊥平面DABE ． 17．（本小题满分14分）如图，长方形ABCD 表示一张6⨯12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P ）到外边框AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米． 现欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M N ，分别在AB ，AD 上．设AM ，AN 的 长分别为m 分米，n 分米．（1）为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确 定m ，n 的值；（2）求剩下木板MBCDN 的外边框长度（MB ， BC CD DN ，，的长度之和）的最大值．18．（本小题满分16分）AFED CB（第16题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：2221x y a +=（a ＞1）.（1）若椭圆C 的焦距为2，求a 的值；（2）求直线1y kx =+被椭圆C 截得的线段长（用a ，k 表示）；（3）若以A （0，1）为圆心的圆与椭圆C 总有4个公共点，求椭圆C 的离心率e 的 取值范围. 19．（本小题满分16分）已知函数32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，． （1）若函数()f x 为奇函数，且图象过点(12)-，，求()f x 的解析式； （2）若1x =和2x =是函数()f x 的两个极值点． ①求a ，b 的值；②求函数()f x 在区间[03]，上的零点个数．20．（本小题满分16分）设等差数列{}n a 与等比数列{}n b 共有m *( )m ∈N 个对应项相等． （1）若110a b =>，11110a b =>，试比较66a b ，的大小； （2）若34n a n =-，()12n nb -=--，求m 的值．（3）若等比数列{}n b 的公比0q >，且1q ≠，求证：3m ≠．【参考结论】若R 上可导函数()f x 满足()()f a f b =（a b <），则()a b ξ∃∈，，()0f ξ'=．（第18题）（第21-A 题）第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.A ，（选修4-1；几何证明选讲） 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ．求证：AE 是四边形ABCDB ．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB 的逆矩阵．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，求圆24sin 50ρρθ--=截直线π()3θρ=∈R所得线段长．D．（选修4-5：不等式选讲）求证：5． 【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．在平面直角坐标系xOy 中，设点2(2)A a a ，，2(2)B b b ，，(12)C ，均在抛物线 22(0)y px p =>上，且90BCA ∠=︒． （1）求p 的值； （2）试用a 表示b ；（3）求直线5x =与直线AB 交点的纵坐标．23． (1)2n n +（2n n ∈*N ≥，）个不同数随机排成如下的一个三角形：k M ()1 k n k ∈*N ≤≤，是从上往下数第k 行中的最大数，n p 为12n M M M <<⋅⋅⋅<的概率． （1）求2p 的值；＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ……………………＊ ＊ … ＊ ＊（2）猜想n p 的表达式，并证明．参考答案一、填空题 1．()12，．A B =()12，．2．12． (2)(1)2i 13.1i (1)(1)2i i i z i i ++++===--+，则复数z 的实部为 12．3．（-9，+∞）．函数5()log (9)f x x =+的单调增区间（-9，+∞）.4． 536．点数之和是6包括(15)(24)(33)(42)(15)，，，，，，，，，共5种情况，则所 求概率是536．5． 8．若613x =，则1326x =>，不符；若513x +=，则82x =>．6． 0. 244．这组数据的平均数为10，方差为222221(109.4)(109.7)(109.8)(1010.3)(1010.8)0.245⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦. 7． 76．函数()f x 的周期4(3T π=⨯)43π7π+=，又Τω2π=，所以ω的值为76. 8． π．依题意，2220+⋅-=a a b b ，又1==a b ，故1⋅=a b ，则a 与b 的夹角为π．9． 113．()()()()11tan tan 25tan tan 111tan tan 125αββααββαββ--+=-+===⎡⎤⎣⎦---⨯-113． 10． 115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．因为不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，所以(1)(5)>0a x x +-，且0a <，即245>0ax ax a --，则45b a c a =-=-，，则2 0cx bx a ++≤即为254 0ax ax a --+≤，从而254 1 0x x +-≤，故解集为115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 11．3．由121x y +=得，02y x y =>-，则()222222222log log log log log 22y y x y xy y y -++===--()224log 24log 832y y ⎡⎤=-++=⎢⎥-⎣⎦≥．12． 5．易得圆C ：22(1)9x y -+=，定点A (10)-，，EA ED =，则3EC EA EC ED +=+=，从而三角形AEC 的周长为5．13． 2027．易得数列{}n b ：1，3，5，6，7，9，10，11，12，13，14，15，17，…，则1137++++…12121k k k ++-=--，当10k =，12120372017k k +--=>，2037201720-=，从而第2017项为1121202027--=． 14．()()5114-∞-，，．{}()max 11f x x x =-+， 2()()g x x k k =+∈R 恰有4个零点，当54k =时，()f x 与()g x 相切．如图，()514，，．二、解答题15． （1）因为cos cos 02C C +=，所以22cos cos 1022C C +-=， 解得cos 12C =-或1cos 22C =， 又0C π＜＜ ，故22C π0＜＜， 从而23C π=，即23C π=． （2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得，221a b ab ++=， ①由三角形ABC 的面积1sin 2ab C =得， 13ab =， ② 由①②得，a b =． 16． （1）因为AB//DE ，又AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以AB//平面DEF ， 同理BC//平面DEF ， 又因为ABBC C =，OAB BC ⊂，平面ABC ，所以平面ABC//平面DEF. （2）因为CAB ∠是二面角C-AD-E 的平面角，所以CA AD BA AD ⊥⊥，， 又因为CA AB A =， AB ，CA ⊂平面ABC ，所以DA ⊥平面ABC ，又DA ⊂平面DABE ，所以平面ABC ⊥平面DABE. 17． （1）过点P 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ， 则△PNF 与△MPE 相似，从而PF NFEM PE =，所以2121n m -=-， 即211m n +=． 欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN 的面积 12S mn=最小．由211m n =+≥得，8mn ≥ （当且仅当21m n =，即4m =，2n =时， “=”成立），此时min 4S =（平方分米）． （2）欲使剩下木板的外边框长度最大，即要m n +最小．由（1）知，()()212333n m m n m n m n m n +=++=++=≥，（当且仅当2n mm n =即2m =，1n =时，“=”成立），答：此时剩下木板的外边框长度的最大值为33-分米． 18． （1）由椭圆C ：2221x y a +=（a ＞1）知，焦距为2=，解得a =因为a ＞1，所以a .（第17题）。
高中高考数学模拟考试卷二模试卷课标 试题
2021年普通高中高考数学模拟考试卷(二模试卷)本套试卷分第一局部〔选择题〕和第二局部〔非选择题〕两局部．第一局部1至2页，第二局部3至4页，满分是150分，考试时间是是120分钟．第一局部〔选择题，一共50分〕参考公式： 假如事件A 、B 互斥，那么球的外表积公式 ()()()P A B P A P B +=+，24πS R =假如事件A 、B 互相HY ，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅，一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．{}R x x y y x A ∈==,|),(2,{}R x x y y x B ∈==,|),(,那么B A 的元素个数为2.=-++-→)1211(lim 21x x xA ．21- B ．2-C ．1-D ．不存在3.设复数：2121),(2,1z z R b bi z i z 若∈+=+=为实数，那么b =A ．2B.1C.－1D.－24.在平面直角坐标系中，函数)0,(31≠∈=-x R x x y 的图象A ．关于x 轴对称B ．关于原点轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =轴对称△ABC 中，D 分BC 21||=DC BD ，那么=AD A ．AC AB 2+ B ．AC AB +2 C ．AC AB 3132+ D ．AC AB 3231+ 6.设三棱锥的3个侧面两两互相垂直，且侧棱长均为32，那么其外接球的外表积为A.π48B. π36C. π32D.π127．集合A {}{}R B ∈>=≤≤>=θθθθπθθθθ,tan sin |,20,cos sin |，那么B A 为区间 A ．),2(ππB. )43,4(ππ C. )6,0(πD.)45,43(ππ 8.设a,b,c 表示三条直线，βα，表示两个平面，以下命题中不正确的选项是A ． ⎭⎬⎫⊥βαα//a β⊥⇒a B.c b a c b a ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥内的射影在是ββb C. ααα////c c b c b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ D. αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //9. 设),(00y x P 是双曲线12222=+by a x 上任一点，过P 作双曲线两条渐近线的平行线分别交另一条渐近线于Q 、R ，O 为坐标原点，那么平行四边形OQPR 的面积为 A ．b B. ab 2 C.ab 2110．定义在R 上的函数)(x f ，满足),)(()()(R y x y f x f y x f ∈+=+，且2)1(=f ，那么在下面四个式子 ①)1()1(2)1(nf f f +++ ②⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2)1(n n f ③)1(+n n ④)1()1(f n n +中与)()2()1(n f f f ++相等的是A ．①③ B. ①② C. ①②③④ D.①②③第二局部〔非选择题，一共100分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在答题卷相应题目上．b x y +=31和3-=bx y 互为反函数，那么a = ，=b . 12.一盒子中有散落的围棋棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子，从中任意取出2粒，假设ξ表示获得白子的个数，那么E ξ等于 ．13.n x x x )1(-的展开式中第5项为含有x1的项，那么展开式中倒数第二项的系数是 ．⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤12020y x y x 下, 22(1)(1)Z x y =-+-的取值范围是________ ． 三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．15．〔此题满分是12分〕函数a x x x f ++=23cos 23sin3)(恒过点)1,3(π-． 〔1〕求a 的值；〔2〕求函数)(x f y =的最小正周期及单调递减区间．16．〔此题满分是13分〕我某校要进展一次月考，一般考生必须考5 门学科，其中语、数、英、综合这四科是必考科目，另外一门在物理、化学、政治、历史、生物、地理、英语Ⅱ中选择.为节时间是，决定每天上午考两门，下午考一门学科，三天半考完．〔1〕假设语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场考试，那么“考试日程安排表〞有多少种不同的安排方法；〔2〕假如各科考试顺序不受限制，求数学、化学在同一天考的概率是多少？17．〔此题满分是13分〕一个计算装置有一个数据入口A 和一输出运算结果的出口B ，将自然数列{}n )1(≥n 中的各数依次输入A 口，从B 口得到输出的数列{}n a ，结果说明：①从 A 口输入1=n 时，从B 口得311=a ；②当2≥n 时，从A 口输入n ，从B 口得的结果n a 是将前一结果1-n a 先乘以自然数列{}n 中的第1-n 个奇数，再除以自然数列{}n 中的第1+n 个奇数．试问：⑴从 A 口输入2和3时，从B 口分别得到什么数？ ⑵从 A 口输入100时，从B 口得到什么数？说明理由.18、〔此题满分是14分〕在棱长为2的正方体ABCD —1111D C B A 中E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE=BF ． 〔1〕求证：E C F A 11⊥；〔2〕当AE 为何值时，三棱锥BEF B 1-的体积最大，求此时二面角1B —EF —B 的大小〔结果用反三角函数表示〕．A 1A B CDD 1C 1B 1F E19、〔此题满分是14分〕如图，E 、F 为平面上的两个定点6||=EF ，10||=FG ，且EG EH =2，HP ·0=GE ，〔G 为动点，P 是HP 和GF 的交点〕〔1〕建立适当的平面直角坐标系求出点P 的轨迹方程；〔2〕假设点P 的轨迹上存在两个不同的点A 、B ，且线段AB 的中垂线与EF 〔或者EF 的延长线〕相交于一点C ，那么||OC ＜59〔O 为EF 的中点〕．20、〔本小题满分是14分〕设函数m n x m x x x f y )()(()(--==、∈n R 〕．〔1〕假设0,≠≠mn n m ，过两点〔0，0〕、〔m ，0〕的中点作与x 轴垂直的直线，与函数)(x f y = 的图象交于点))(,(00x f x P ，求证：函数)(x f y =在点P 处的切线过点〔n ，0〕；〔2〕假设0(≠=m n m 〕，且当]1||,0[+∈m x 时22)(m x f <恒成立，务实数m 的取值范围．GFPHE参考答案一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分. 11．1，3 12．5313．6- 14．1[,2]2三、解答题：15、〔此题满分是12分〕 解〔1〕依题意得1)]3(23cos[)]3(23sin[3=+-⨯+-⨯a ππ-------------------2分解得31+=a---------------------------4分〔2〕由a x x x f ++=23cos 23sin3)(31)623sin(2+++=πx ----6分 ∴函数)(x f y =的最小正周期34232ππ==T -------8分 由23262322πππππ+≤+≤+k x k ，得 98349234ππππ+≤≤+k x k )(Z k ∈---------10分 ∴函数)(x f y =的单调递减区间为)](9834,9234[Z k k k ∈++ππππ----12分16、解：〔1〕语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场考试一共有：44A 种排法， -------------1分其它七科一共有77A 种排法， -------------2分由44A ⨯77A =120960，得 -------------3分“考试日程安排表〞有120960种不同的安排方法．-------------4分〔2〕数学、化学安排第四天上午考一共有：9922A A ⨯ 种方法，---------6分安排前三天同一天考一共有：992313A A C ⨯⨯种方法 ---------8分∴所求的概率1121011233211119923139922=⨯⨯⨯+=⨯⨯+⨯=A A A C A A P -----12分 17、〔此题满分是13分〕 解：〔1〕由题意知 311311⨯==a 5311515112⨯==÷⨯=a a -----------2分7517323⨯=÷⨯=a a -------------3分 所以从 A 口输入2和3时，从B 口分别得到151和351-------4分〔2〕猜测)()12)(12(1*N m m m a m∈+-=---------------6分下面用数学归纳法证明ⅰ〕当1=m 时，猜测显然成立． ---------------7分ⅱ〕假设k m =时，猜测成立， 即)12)(12(1+-=k k a k，那么1+=km 时，=+1k a k a k k 3212+-=)12)(12(13212+-⋅+-k k k k =)32)(12(1++k k ---------------10分猜测成立，因此对一切正整数m ，猜测也成立 当100=m 时，即在从 A 口输入2021时，从B 口得到399991)11002)(11002(1100=+⨯-⨯=a ---------------13分18、〔此题满分是14分〕〔1〕证明：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系．-------1分设 AE=BF=x ，那么)2,0,2(1A 、)0,2,2(x F -、)2,2,0(1C 、)0,,2(x E ， ------------------3分 {}2,2,1--=x F A ，{}2,2,21--=x E C∵F A 1·E C 104)2(22=+-+-=x x ，-----5分 ∴F A 1⊥EC 1----------------6分〔2〕解：记x BF =，y BE =，那么2=+y x ，-----8分三棱锥BEF B -1的体积31)2(3131221312=+≤=⨯⨯=y x xy xy V当且仅当1==y x时，等号成立故当AE=1时，三棱锥BEF B -1的体积获得最大值-----10分此时，1==BF BE ，过B 作EF BG ⊥交EF 于G ，连G B 1，可知EFG B ⊥1，∴GB B 1∠是二面角B EF B --1的平面角，------12分在直角三角形BEF 中，直角边1==BF BE ，BG 是斜边上的高，∴22=BG ，22tan 11==∠BGBB GB B ， 故二面角B EF B --1的大小为22arctan 。
2021-2022年高考数学模拟试题(一)理(含解析)
2021-2022年高考数学模拟试题（一）理（含解析）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M=｛x 丨≥0，x∈R｝，N=｛y 丨y=3x ²+1，x∈R｝，则M∩N 为（ ） A ｛x 丨x ＞1｝ B ｛x 丨x≥1｝ C ｛x 丨x ＞1或x≤0｝ D ｛x 丨0≤x≤1｝2. 已知是实数，是虚数单位，若是纯实数，则=( )A. B. C. D.3. 已知命题p ：存在0≤x≤π，cos2x+cosx-m=0为真命题,则实数m 的取值范围是（ ） A[-,-1] B[-,2] C[-1，2] D[-,+∞]4.如图，若输入n 的值为4，则输出A 的值为A.3B.-2 C- D开始输出输入A 1,3i A ==1AA A A+=-1i i =+结束是否n?i n <5.函数f （x ）=x 丨x+a 丨+b 是奇函数的充要条件为（ ） A ab=0 B a+b=0 C a²+b²=0 D a=b6.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足=+λ()，λ∈（0，+)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A 重心B 垂心C 外心D 内心7.若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( )Ａ Ｂ Ｃ Ｄ8.已知函数f （x ）=在点（1,2）处的切线与f （x ）的切线的图像有三个公共点，则a 的范围（ ）A[-8，-4+2） B （-4-2，-4+2） C （-4+2，8] D （-4-2，-8]9.等差数列｛a ｝的前n 项和为S ，公差为d ，已知（a+1）³+xx（a+1）=1， （a+1）³+xx（a+1）=-1，则下列结论正确的是（ ）A d ＜0，S=xxB d ＞0，S=2013C d ＜0，S=-xxD d ＞0，S=-xx10. 某校在高二年级开设选修课其中数学选修课开了三个班．选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（ ） A 72种 B 54种 C 36种 D18种11.如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作，则、两点间的球面距离为（ ）αCAODBPA 、B 、C 、D 、12.F 是双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于B ，若2=，则C 的离心率为（ ）A B 2 C D第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2021年新高考数学模拟试卷全国卷(附参考答案和详解)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（3）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位，复数3i1i+=-（ ）A.12i +B.24i +C.12i --D.2i -2.设常数a ∈R ，集合{|(1)()0}A x x x a =--≥，{|1}B x x a =≥-，若A B =R ，则a 的取值范围为（ ）A.(,2)-∞B.(,2]-∞C.(2,)+∞D.[2,)+∞3.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（ ）A.2B.1C.0D.2-4.设向量=a (1,cos )θ与b (1,2cos )θ=-垂直，则cos2θ等于（ ）A.2 B.12C.0D.1-5.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“OAB 的面积为12”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2πa B.27π3a C.211π3a D.25πa7.已知命题122121:,,(()())()0p x x f x f x x x ∀∈--≥R ，则p ⌝是（ ） A.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∃∈--≤R B.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∀∈--≤R C.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∃∈--<RD.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∀∈--<R8.函数()2ln f x x =的图像与函数2()45g x x x =-+的图像的交点个数为（ ） A.3B.2C.1D.0二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图．根据这两幅图中的信息，下列统计结论中正确的有（ ）A.样本中的女生数量等于男生数量B.样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C.样本中的男生偏爱理科D.样本中的女生偏爱文科10.已知两定点(1,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点M ，使得||||3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．则下列给出的直线中，是“M 型直线”的有（ ）A.2x =B.3y x =+C.21y x =--D.23y x =+11.如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列判断正确的为（ ）A.MN 与1CC 垂直B.MN 与AC 垂直C.MN 与BD 平行D.MN 与11A B 平行12.下列结论中正确的有（ ） A.命题：”(0,2)x ∀∈，33x x >“的否定是“(0,2)x ∃∈，33x x ≤” B.若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l αC.若随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，且(2)0.8P ξ<=，则(01)0.2P ξ<<=D.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则721S =第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。
高考数学模拟试卷复习试题高三模拟卷理科数学2
高考数学模拟试卷复习试题高三模拟卷理科数学本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
1.已知集合A={(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2=4}，集合B={(x，y)|x，y为实数，且y=x－2}，则A∩B的元素个数为（）A.0B.1C.2D.32.已知i是虚数单位，m和n都是实数，且有=1+ni，则复数m+ni的倒数是（）A．+B．C．+D．3. 在空间中，下列命题正确的是 ( )．A．若两直线a,b与直线l所成的角相等，那么a∥bB．空间不同的三点A、B、C确定一个平面C．如果直线l//平面且l//平面，那么//D．若直线a与平面M没有公共点，则直线a//平面M4. 已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤2)＝0.72，则P(X≤0)＝（）A. 0.22B. 0.28C. 0.36D. 0.645. (改编)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现安岳县)人，,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输人n,x的值分别为4,2 ,则输出0的值为( )A.12B.13C.25D.516.已知实数x,y满足 ,则的最大值为（）D.6A.5B. C.7.将多项式a6x6+a5x5+…+a1x+a0分解因式得（x﹣2）（x+2）5，则a5＝（）A．8B．10C．12D．18.曲线y＝2xlnx在x＝e处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）C．e2D．2e2A．B．9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（）A. 80+8B. 80+4C. 808D. 80410.四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A和区域B标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（）A．B．C．D．11.设双曲线C：＝l（a＞0，b＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点使得四边形OPFQ为矩形，则其离心率为（）A．B．2C．D．12.已知M＝{α|f（α）＝0}，N＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n度零点函数“，若f（x）＝32﹣x﹣1与g（x）＝x2﹣aex 互为“1度零点函数“，则实数a的取值范围为（）A．（，]B．（，]C．[，）D．[，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三数学下学期第二次模拟考试试卷 理(含解析)
2021年高三数学下学期第二次模拟考试试卷理（含解析）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．不等式3x＞2的解为．2．设i是虚数单位，复数（a+3i）（1﹣i）是实数，则实数a= ．3．已知一个关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则x﹣y= ．4．已知数列{an }的前n项和Sn=n2+n，则该数列的通项公式an= ．5．已知展开式中二项式系数之和为1024，则含x2项的系数为．6．已知直线3x+4y+2=0与（x﹣1）2+y2=r2圆相切，则该圆的半径大小为．7．在极坐标系中，已知圆ρ=2rsinθ（r＞0）上的任意一点M（ρ，θ）与点N（2，π）之间的最小距离为1，则r= ．8．若对任意x∈R，不等式sin2x+2sin2x﹣m＜0恒成立，则m的取值范围是．9．已知球的表面积为64πcm2，用一个平面截球，使截面球的半径为2cm，则截面与球心的距离是cm．10．已知随机变量ξ分别取1、2和3，其中概率p（ξ=1）与p（ξ=3）相等，且方差Dξ=，则概率p（ξ=2）的值为．11．若函数﹣4的零点m∈（a，a+1），a为整数，则所以满足条件a的值为．12．若正项数列{a n}是以q为公比的等比数列，已知该数列的每一项a k的值都大于从a k+2开始的各项和，则公比q的取值范围是．13．已知等比数列{a n}的首项a1、公比q是关于x的方程（t﹣1）x2+2x+（2t﹣1）=0的实数解，若数列{a n}有且只有一个，则实数t的取值集合为．14．给定函数f（x）和g（x），若存在实常数k，b，使得函数f（x）和g（x）对其公共定义域D上的任何实数x分别满足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．给出下列四组函数：①f（x）=+1，g（x）=sinx；②f（x）=x3，g（x）=﹣；③f（x）=x+，g（x）=lgx；④f（x）=2x﹣其中函数f（x）和g（x）存在“隔离直线”的序号是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应的位置上，选对得5分，否则一律不得分.15．已知a，b都是实数，那么“0＜a＜b”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．平行或重合 D．平行或相交17．若直线ax+by﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点，设点P的坐标（a，b），那过点P的一条直线与椭圆=1的公共点的个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 1或218．如图，正方体P1P2P3P4﹣Q1Q2Q3Q4的棱长为1，设x=，对于下列命题：①当时，x=1；②当x=0时，（i，j）有12种不同取值；③当x=﹣1时，（i，j）有16种不同的取值；④x的值仅为﹣1，0，1．其中正确的命题是（）A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③④三、解答题（本大题共有5题，满分74分）：解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤.19．已知函数为实数．（1）当a=﹣1时，判断函数y=f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a的不同取值，讨论函数y=f（x）的最小值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面正方形ABCD为边长为2，PA⊥底面ABCD，E为BC 的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求异面直线AE与PD所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点B到平面PCD的距离．21．一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空A′，12：03时卫星通过C点，（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）（1）求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离．（精确到1千米）（2）求此时天线方向AC与水平线的夹角（精确到1分）．22．已知直线l与圆锥曲线C相交于两点A，B，与x轴，y轴分别交于D、E两点，且满足（1）已知直线l的方程为y=2x﹣4，抛物线C的方程为y2=4x，求λ1+λ2的值；（2）已知直线l：x=my+1（m＞1），椭圆C：=1，求的取值范围；（3）已知双曲线C：，试问D是否为定点？若是，求点D的坐标；若不是，说明理由．23．记无穷数列{a n}的前n项a1，a2，…，a n的最大项为A n，第n项之后的各项a n+1，a n+2，…的最小项为B n，令b n=A n﹣B n．（1）若数列{a n}的通项公式为a n=2n2﹣7n+6，写出b1，b2，并求数列{b n}的通项公式；（2）若数列{b n}的通项公式为b n=1﹣2n，判断{a n+1﹣a n}是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若数列{b n}为公差大于零的等差数列，求证：{a n+1﹣a n}是否为等差数列．xx年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．不等式3x＞2的解为x＞log32 ．考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将原不等式两端同时取对数，转化为对数不等式即可．解答：解：∵3x＞2＞0，∴，即x＞log32．故答案为：x＞log32．点评：本题考查指数不等式的解法，将其转化为对数不等式是解题的关键，属于基础题．2．设i是虚数单位，复数（a+3i）（1﹣i）是实数，则实数a= 3 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．解答：解：复数（a+3i）（1﹣i）=a+3+（3﹣a）i是实数，∴3﹣a=0，解得a=3．故答案为：3．点评：本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．3．已知一个关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则x﹣y= 2 ．考点：二阶矩阵．专题：矩阵和变换．分析：由增广矩阵写出原二元线性方程组，再根据方程求解x，y即可．解答：解：由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得x=4，y=2，故答案为：2．点评：本题考查增广矩阵，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义，属于基础题．4．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则该数列的通项公式a n= 2n ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列的前n项和求得首项，再由a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求得a n，验证首项后得答案．解答：解：由S n=n2+n，得a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．当n=1时上式成立，∴a n=2n．故答案为：2n．点评：本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题．5．已知展开式中二项式系数之和为1024，则含x2项的系数为210 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：依题意得，由二项式系数和2n=1024，求得n的值，再求展开式的第k+1项的通项公式，再令通项公式中x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解答：解：依题意得，由二项式系数和 2n=1024，解得n=10；由于展开式的第k+1项为，令20﹣3r=2，解得r=6，∴展开式中含x2项的系数为=210．故答案为：210．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．6．已知直线3x+4y+2=0与（x﹣1）2+y2=r2圆相切，则该圆的半径大小为 1 ．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：由圆的方程求出圆心坐标，直接用圆心到直线的距离等于半径求得答案．解答：解：由（x﹣1）2+y2=r2，可知圆心坐标为（1， 0），半径为r，∵直线3x+4y+2=0与（x﹣1）2+y2=r2圆相切，由圆心到直线的距离d=，可得圆的半径为1．故答案为：1．点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．7．在极坐标系中，已知圆ρ=2rsinθ（r＞0）上的任意一点M（ρ，θ）与点N（2，π）之间的最小距离为1，则r= ．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把元的极坐标方程转化为直角坐标方程，进一步利用两点间的距离公式求出结果．解答：解：已知圆ρ=2rsinθ（r＞0），转化为直角坐标方程为：x2+（y﹣r）2=r2，N（2，π）转化为直角坐标为：（﹣2，0）由于圆上一点（x，y）到点N（﹣2，0）的最小距离为1，所以：，解得：r=，故答案为：点评：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的应用能力．8．若对任意x∈R，不等式sin2x+2sin2x﹣m＜0恒成立，则m的取值范围是（+1，+∞）．考点：三角函数的最值．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用三角恒等变换可得 m＞sin（2x﹣）+1，再根据sin（2x﹣）+1 的最大值为+1，从而求得m的范围．解答：解：不等式sin2x+2sin2x﹣m＜0，即 m＞sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1．由于sin（2x﹣）+1 的最大值为+1，∴m＞+1，故答案为：（+1，+∞）．点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的值域，函数的恒成立问题，属于中档题．9．已知球的表面积为64πcm2，用一个平面截球，使截面球的半径为2cm，则截面与球心的距离是 2 cm．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先求出球的半径，再利用勾股定理，即可求出截面与球心的距离．解答：解：球的表面积为64πcm2，则球的半径为4cm，∵用一个平面截球，使截面球的半径为2cm，∴截面与球心的距离是=2cm．故答案为：2．点评：本题考查截面与球心的距离，考查球的表面积，求出球的半径是关键．10．已知随机变量ξ分别取1、2和3，其中概率p（ξ=1）与p（ξ=3）相等，且方差Dξ=，则概率p（ξ=2）的值为．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：应用题；概率与统计．分析：设p（ξ=1）=p，则p（ξ=2）=1﹣2p，求出Eξ，利用方差Dξ=，求出p，即可得出结论．解答：解：设p（ξ=1）=p，则p（ξ=2）=1﹣2p，所以Eξ=p+2（1﹣2p）+3p=2，所以Dξ=（1﹣2）2×p+（2﹣2）2×（1﹣2p）+（3﹣2）2×p=，所以p=，所以p（ξ=2）=1﹣2p=．故答案为：．点评：本题考查期望与方差的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确计算是关键．11．若函数﹣4的零点m∈（a，a+1），a为整数，则所以满足条件a的值为a=1或a=﹣2 ．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：首先可判断函数﹣4是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数；再结合函数零点的判定定理求解即可．解答：解：易知函数﹣4是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数；又由f（1）=1+1﹣4=﹣2＜0，f（2）=4+﹣4=＞0；故f（1）f（2）＜0，故函数﹣4在（1，2）上有一个零点，故函数﹣4在（﹣2，﹣1）上也有一个零点；故a=1或a=﹣2．故答案为：a=1或a=﹣2．点评：本题考查了函数的性质的应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题．12．若正项数列{a n}是以q为公比的等比数列，已知该数列的每一项a k的值都大于从a k+2开始的各项和，则公比q的取值范围是（0，）．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据题意，得公比1＞q＞0；列出不等式a k＞，求出公比q的取值范围．解答：解：正项等比数列{a n}中，公比为q，∴q＞0；又数列的每一项a k的值都大于从a k+2开始的各项和，∴a k＞，（q＜1）；即a k＞，∴1＞，∴q2+q﹣1＜0；解得＜x＜，∴公比q的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．点评：本题考查了等比数列的通项公式与前n和的应用问题，是基础题目．13．已知等比数列{a n}的首项a1、公比q是关于x的方程（t﹣1）x2+2x+（2t﹣1）=0的实数解，若数列{a n}有且只有一个，则实数t的取值集合为．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得：t﹣1=0，或△=4﹣4（t﹣1）（2t﹣1）=0，解得t即可得出．解答：解：∵等比数列{a n}的首项a1、公比q是关于x的方程（t﹣1）x2+2x+（2t﹣1）=0的实数解，数列{a n}有且只有一个，∴t﹣1=0，或△=4﹣4（t﹣1）（2t﹣1）=0，解得t=0，t=，且t=1．经过验证满足条件．∴实数t的取值集合为．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的定义、方程的实数根，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．给定函数f（x）和g（x），若存在实常数k，b，使得函数f（x）和g（x）对其公共定义域D上的任何实数x分别满足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．给出下列四组函数：①f（x）=+1，g（x）=sinx；②f（x）=x3，g（x）=﹣；③f（x）=x+，g（x）=lgx；④f（x）=2x﹣其中函数f（x）和g（x）存在“隔离直线”的序号是①③．考点：函数的值域．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：画出图象，数形结合即得答案．解答：解：①f（x）=+1与g（x）=sinx的公共定义域为R，显然f（x）＞1，而g（x）≤1，故满足题意；②f（x）=x3与g（x）=﹣的公共定义域为：（﹣∞，0）∪（0，+∞），当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0＜g（x），当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0＜f（x），故不满足题意；③f（x）=x+与g（x）=lgx图象如右图，显然满足题意；④函数f（x）=2x﹣的图象如图，显然不满足题意；故答案为：①③．点评：本题主要考查函数的性质，数形结合是解题的关键，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应的位置上，选对得5分，否则一律不得分.15．已知a，b都是实数，那么“0＜a＜b”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：若，则，若0＜a＜b，则成立，当a＞0，b＜0时，满足，但0＜a＜b不成立，故“0＜a＜b”是“”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．16．平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．平行或重合 D．平行或相交考点：平面与平面之间的位置关系．分析：分两种情况加以讨论：当A、B、C三点在平面β同侧时，α∥β；当△ABC的中位线DE在平面β内时，满足A、B、C到平面β的距离相等，但此时α与β相交．由此得到正确答案．解答：解：如图所示①当A、B、C三点在平面β同侧时，因为它们到平面α的距离相等，所以α∥β；②当△ABC中AB、AC的中点D、E都在平面β内时，因为BC∥DE，所以BC与平面β平行，故B、C两点到平面β的距离相等，设AA1⊥β于A1，CC1⊥β于C1，由△A1AE≌△C1CE可得AA1=CC1，故A、C两点到平面β的距离相等，即A、B、C到平面β的距离相等，但此时平面α与平面β相交．故选：D．点评：本题给出不共线的三个点到同一平面距离相等，求三点确定的平面与已知平面的位置关系，着重考查了空间直线与平面、平面与平面相交或平行的判断，属于基础题．17．若直线ax+by﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点，设点P的坐标（a，b），那过点P的一条直线与椭圆=1的公共点的个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 1或2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据直线ax+by﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点即为将方程代入圆中消去x得到方程无解，利用根的判别式小于零求出a与b的关系式，得到a与b的绝对值的范围，再根据椭圆的长半轴长和短半轴长，比较可得公共点的个数．解答：解：将直线ax+by﹣3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得（a2+b2）y2﹣6by+9﹣3a2=0．令△＜0得，a2+b2＜3．又a、b不同时为零，∴0＜a2+b2＜3．由0＜a2+b2＜3，可知|a|＜，|b|＜，∵椭圆方程知长半轴a=2，短半轴b=，∴可知P（a，b）在椭圆内部，∴过点P的一条直线与椭圆=1的公共点有2个．故选：C．点评：本题考查学生综合运用直线和圆方程的能力．以及直线与圆锥曲线的综合运用能力，属于中档题．18．如图，正方体P1P2P3P4﹣Q1Q2Q3Q4的棱长为1，设x=，对于下列命题：①当时，x=1；②当x=0时，（i，j）有12种不同取值；③当x=﹣1时，（i，j）有16种不同的取值；④x的值仅为﹣1，0，1．其中正确的命题是（）A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③④考点：平面向量数量积的运算．专题：空间向量及应用．分析：根据题意，建立空间直角坐标系，得出向量、、、的坐标表示，求出x=•的值即可判断所给的结论是否正确．解答：解：根据题意，建立空间直角坐标系，如图所示；①当时，x=•=（﹣1，0，0）•（﹣1，x i，x j）=1，∴①正确；②当 x=0时，i=1、2、3、4，j=1、2、3、4，（i，j）有4×4=16种不同的取值，∴②错误；③当x=﹣1时，i=1、2、3、4，j=1、2、3、4，（i，j）有4×4=16种不同的取值，∴③正确；④当 =时，x=•=1，当 =时，x=•=（﹣1，0，0，）•（0，x i，x j）=0，当 =时，x=•=（﹣1，0，0）•（1，x i，x j）=﹣1，∴x的取值仅为﹣1，0，1，∴④正确．综上，正确的结论是①③④，故选：C．点评：本题考查了空间向量的应用问题，也考查了集合知识的应用问题，是综合性题目．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）：解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤.19．已知函数为实数．（1）当a=﹣1时，判断函数y=f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a的不同取值，讨论函数y=f（x）的最小值．考点：函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）f（x）=|x﹣|=x﹣在（1，+∞）上单调递增，利用f′（x）=1+＞0可得；（2）a≤0时，x=时，函数取得最小值0；a＞0时，f（x）=x+时，利用基本不等式求出y=f （x）的最小值为2．解答：解：（1）f（x）=|x﹣|=x﹣在（1，+∞）上单调递增．∵f′（x）=1+＞0，∴y=f（x）在（1，+∞）上在（1，+∞）上单调递增；（2）a＜0时，x=时，函数取得最小值0；a=0时函数无最小值；a＞0时，f（x）=x+≥2，当且仅当x=时，y=f（x）的最小值为2．点评：本题考查函数的最值，考查导数知识的运用，考查基本不等式，属于中档题．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面正方形ABCD为边长为2，PA⊥底面ABCD，E为BC 的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求异面直线AE与PD所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点B到平面PCD的距离．考点：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据PC与平面PAD所成的角求出PD的大小，进而求PA的大小，从而建立空间直角坐标系，解答即可；（2）利用等积法求点到面的距离即可．解答：解：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂面ABCD，∴CD⊥PA，又在正方形ABCD中，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴PC与平面PAD所成的角为∠CPD，故tan∠CPD==，又CD=2，∴PD=2，PA2+AD2=PD2，∴PA=2，以A为原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则：A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0）∴=（2，1，0），，∴cos＜＞==，所以异面直线AE与PD所成角的大小为arccos；（2）∵V B﹣PCD=V P﹣BCD，设B到平面PCD的距离为d，则有：，即：=，解得d=，所以点B到平面PCD的距离为．点评：本题主要考查线与面的夹角、直线与直线的夹角以及等积法，属于中档题．21．一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空A′，12：03时卫星通过C点，（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）（1）求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离．（精确到1千米）（2）求此时天线方向AC与水平线的夹角（精确到1分）．考点：球面距离及相关计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）求出∠AOC，在△ACO中利用余弦定理，即可求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离；（2）设此时天线方向AC与水平线的夹角为φ，则∠CAO=φ+90°，所以，即可求此时天线方向AC与水平线的夹角．解答：解：（1）设∠AOC=θ，则=9°．在△ACO中，AC2=63702+80002﹣2×6370×8000×cos9°=3911704.327，所以AC≈1978（千米），所以人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离为1978千米；（2）设此时天线方向AC与水平线的夹角为φ，则∠CAO=φ+90°，所以，所以sin（φ+90°）≈0.6327，所以cosφ≈0.6327，所以φ≈50°45′，所以此时天线方向AC与水平线的夹角为50°45′．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．22．已知直线l与圆锥曲线C相交于两点A，B，与x轴，y轴分别交于D、E两点，且满足（1）已知直线l的方程为y=2x﹣4，抛物线C的方程为y2=4x，求λ1+λ2的值；（2）已知直线l：x=my+1（m＞1），椭圆C：=1，求的取值范围；（3）已知双曲线C：，试问D是否为定点？若是，求点D的坐标；若不是，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）将直线y=2x﹣4代入抛物线方程y2=4x，求得交点A，B，再由向量共线的坐标表示，即可得到所求值；（2）联立方程组，利用消元法结合根与系数之间的关系，推出λ1+λ2=﹣4，即可得到结论；（3）设直线为x=my+t，（m≠0）代入双曲线方程，化简整理，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，结合条件即可求得D为定点．解答：解：（1）将直线y=2x﹣4代入抛物线方程y2=4x，可得x2﹣5x+4=0，解得x1=1，x2=4，即有A（4，4），B（1，﹣2），D（2，0），E（0，﹣4），λ1==﹣2，λ2==1，即有λ1+λ2=﹣1；（2）联立方程组，得（m2+2）y2+2my﹣1=0，得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，又点D（1，0），E（0，﹣），由=λ1得到y1+=﹣λ1y1，λ1=﹣（1+），同理由=λ2得到y2+=﹣λ2y2，λ2=﹣（1+•），λ1+λ2=﹣（2+•）=﹣（2+•2m）=﹣4，即λ1+λ2=﹣4，+=﹣==，因为m＞1，所以点A在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知λ1∈（，+∞），所以+∈（﹣∞，﹣2）；（3）设直线为x=my+t，（m≠0）代入双曲线方程，可得（b2m2﹣a2）y2+2b2mty+b2t2﹣a2b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有y1+y2=，y1y2=，又D（t，0），E（0，﹣），由=λ1得到y1+=﹣λ1y1，λ1=﹣（1+），同理由=λ2得到y2+=﹣λ2y2，λ2=﹣（1+•），λ1+λ2=﹣（2+•）=﹣（2+•）=，化简可得，=，解得t=，即有D（±，0），则D为定点，坐标为（±，0），点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，同时考查向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．23．记无穷数列{a n}的前n项a1，a2，…，a n的最大项为A n，第n项之后的各项a n+1，a n+2，…的最小项为B n，令b n=A n﹣B n．（1）若数列{a n}的通项公式为a n=2n2﹣7n+6，写出b1，b2，并求数列{b n}的通项公式；（2）若数列{b n}的通项公式为b n=1﹣2n，判断{a n+1﹣a n}是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若数列{b n}为公差大于零的等差数列，求证：{a n+1﹣a n}是否为等差数列．考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）数列{a n}的通项公式为a n=2n2﹣7n+6，a1=1，﹣，n≥2时为单调递增数列．可得A1=1，B1=a2=0，b1=1，同理可得b2=A2﹣B2=a1﹣a3=﹣2．可得数列{b n}的通项公式b n=A n﹣B n=a n﹣a n+1=﹣4n+5．（2）设d是非负整数，先证明：b n=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n}是公差为d 的等差数列；而数列{b n}的通项公式为b n=1﹣2n，即可{a n+1﹣a n}是公差为2等差数列．（3）由于数列{a n}递增，可得A n=a n，B n=a n+1，b n=A n﹣B n=a n﹣a n+1=﹣（a n+1﹣a n），即可证明．解答：（1）解：数列{a n}的通项公式为a n=2n2﹣7n+6，a1=1，﹣，n≥2时为单调递增数列．∴A1=1，B1=a2=0，b1=A1﹣B1=1﹣0=1，同理可得b2=A2﹣B2=a1﹣a3=﹣2．∴数列{b n}的通项公式b n=A n﹣B n=a n﹣a n+1=2n2﹣7n+6﹣[2（n+1）2﹣7（n+1）+6]=﹣4n+5；（2）解：设d是非负整数，先证明：b n=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；充分性：设d是非负整数，若{a n}是公差为d的等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d，∴A n=a n=a1+（n﹣1）d，B n=a n+1=a1+nd，∴d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．必要性：若b n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．假设a k是第一个使a k﹣a k﹣1＜0的项，则d k=A k﹣B k=a k﹣1﹣B k≥a k﹣1﹣a k＞0，这与d n=﹣d≤0相矛盾，故{a n}是一个不减的数列．∴d n=A n﹣B n=a n﹣a n+1=﹣d，即 a n+1﹣a n=d，故{a n}是公差为d的等差数列．而数列{b n}的通项公式为b n=1﹣2n，b n+1﹣b n=﹣2，∴{a n+1﹣a n}是公差为2等差数列．（3）证明：∵数列{a n}递增，∴A n=a n，B n=a n+1，∴b n=A n﹣B n=a n﹣a n+1=﹣（a n+1﹣a n），∵{a n+1﹣a n}是等差数列，∴{b n}为等差数列．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的定义及其通项公式、“新定义”，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22413 578D 垍34469 86A5 蚥28664 6FF8 濸y20627 5093 傓39296 9980 馀gF39742 9B3E 鬾23222 5AB6 媶25092 6204 戄*37956 9444 鑄Y36532 8EB4 躴。
2021-2022年高三下学期6月模拟考试数学(理)试题含答案
2021-2022年高三下学期6月模拟考试数学（理）试题含答案说明：试题分为第I 卷（选择题）和第I 卷（非选择题）两部分．试题答案请用2B 铅笔或0,5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效，考试时间120分钟．一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项符合题意）l-已知全集U=R ，集合 {}{}3|021,|log 0x A x B x x =<<=>，则 A. B ． C. D. 2．若 ， 则 是 的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充耍条件 D ．既不充分也不必要条件3．复数z 满足 ，则复数 =( ) A. B. C. D.4．执行下图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是A. 1B. 2C. 3D.45.下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度； ②某只股票经历了l0个跌停（每次跌停，即下跌l0%）后需再经 过如个涨停(每次涨停，印上涨10%)就酉以回到原来的净值； ③某校高三一级部和二级部的人数分别是m 、n ，本次期末考试 两级部；学平均分分别是a 、b ，则这两个级部的数学平均分为④某中学采伯系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中 抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497--512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组00l ～016中随机抽到的学生编号是007. 其中真命题的个数是A.0个B.1个C.2个D.3个6．已知函数(其中A>0, )的部分图象如图所示，为了得到g(x)=sin 2x的图象，则只需将f (x)的图象Ａ．向右平移个长度单位Ｂ．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位7．已知数列满足1111,2,n na b a a n N*+==-==∈，则数列的前10项和为A. B. C. D.8．函数的图像大致是9．已知A、B是圆上的两个点，P是AB线段上的动点，当AOB的面积最大时，则的最大值是A. -1B.0C.D.10.已知a>0，b>0，c>0，且，则ab+bc+ac的最大值为A. B. C. 3 D. 4二．填空题（本题包括5小题，每小题5分，共25分）11.已知的最小值是n，则二颈式展开式中项的系数为__________.12.若双曲线与抛物线的准线交于A，B两点，且则m的值是__________.13.若实数x,y满足条件20,0,3,x yx yx+-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z=3x-4y的最大值是__________.14．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为__________.15．用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程的实根个数是__________.三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．16.（本小题满分12分）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角以B, C的对边，且满足sin sintan4cos cos3B cAB Cω+=--．(I)证明：b+c =2a：(Ⅱ)若b=c，设．(0),22OB OBθπ<<==，求四边形OACB面积的最大值．17. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P –ABCD中，PA 平面ABCD，DAB为直角，AB//CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点．( I)证明：AB 平面BEF ：(Ⅱ)设PA =h ，若二面角E-BD-C 大于45 ，求h 的取值范 围．18.（本小题满分12分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为l ，2，3，4，5：4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球． (I)求取出的3个球编号都不相同的概率；（II)记X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望， 19. （本小题满分12分）数列的前n 项和记为 ，等差数列 的各项为正，其前n 项和为 ，且 ，又 成等比数列． (I)求 ，的通项公式} ( II)求证：当n 2时， 20. （本小题满分13分）如图，椭圆 22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为 ，x 轴被曲线 截得的线段长等于的短轴长, 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线 与相交于点A 、B ，直线MA,MB 分别与 相交于点D 、E.(I)求、 的方程； (Ⅱ)求证：MA MB ：(Ⅲ)记MAB ， MDE 的面积分别为 ，若 ，求 的最小值． 21．（本小题满分l4分） 已知函数 1()(1)ln ,()f x ax a x a R x=+-+∈． (I)当a=0时，求 的极值；(Ⅱ)当a<0时，求 的单调区间；(Ⅲ)方程 的根的个数能否达到3，若能请求出此时a 的范围，若不能，请说明理由，第二次模拟试题答案（理科数学） 一、 选择： DDBDC AABCA二、 填空 11. 15；12. 20；13. -1；14. 8：27；15. 3 三、解答题16解：（Ⅰ）由题意知：，解得：， ……………………2分CB CB B A A cos cos 2sin sin sin sin tan --+==∴ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴A C AB A sin 2)(sin )(sin =+++∴……………………………………4分Pa cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴…………………………………………………6分（Ⅱ）因为，所以，所以为等边三角形 …………8分21sin 24OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+ ……………9分， ……………………10分 ,，当且仅当即时取最大值,的最大值为………………12分17.解：（Ⅰ）证：由已知DF ∥AB 且DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而ABBF ． ……(1分)又PA 底面ABCD , ∴平面PAD 平面ABCD ， ……(2分) ∵ABAD ，故AB 平面PAD ,∴ABPD ， ……(3分)在ΔPCD 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF //PD ，……（4分) ∴ ABEF ． ……(5分) 由此得平面．……(6分)（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系，则)21,0(),0,2,1(h=-=……(8分)设平面的法向量为，平面的法向量为，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-0202hzy y x 可取 ……(10分) 设二面角E -BD -C 的大小为，则|||||,cos |cos 212121n n n n ⋅=><=θ224522<+h h ， 化简得，所以…(12分)18解:(I )设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，则“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件，则所以………………（4分）(II ) X 的取值为2,3,4,5211)2(3912222212=+==C C C C C X P ，214)3(3914222412=+==C C C C C X P 73)3(3916222612=+==C C C C C X P ，…………………（8分）的数学期望213574213212=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ………..12分 19解：（Ⅰ）由，得，两式相减得1111+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以 ---------------------------------2分所以 -------------------------------------3分又所以，从而 ----------------5分而，不符合上式，所以 -------------------------------------6分 因为为等差数列，且前三项的和，所以，--------7分可设，由于，于是d b a b a d b a -=+=+-=+10,6,5332211，因为成等比数列，所以，或（舍）所以12)1(21)1(1-=-+=-+=n n d n b b n -----------------------------------9分 （Ⅱ）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=--<-=k k k k k k b k11141)22(211)12(1)12(11222所以，当时22222221)12(13111111-++=+++n b b b n⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<n n 1113121211411 -----------------------------------------------------------12分20.解（1） （1分）又，得22221:1,:12x C y x C y ∴=-+= （3分）（2）设直线1122:,(,),(,)AB y kx A x y B x y =则22101y kxx kx y x =⎧⇒--=⎨=-⎩ （4分） 211221212(,1)(,1)(1)()1MA MB x y x y k x x k x x ⋅=+⋅+=++++=0（6分） （3）设直线1212:1;:1,1MA y k x MB y k x k k =-=-=-1121122110,(,1)111x k y k x x A k k y y k y x ==-⎧⎧=⎧⎪∴-⎨⎨⎨=-=-=-⎪⎩⎩⎩解得或，同理可得 11212S MA MB k == （8分）1212111222221112141120421,(,)11212211212k x y k x k x k k D x y k k k y y k ⎧==-⎧⎪+=⎧-⎪⎪∴⎨⎨⎨=-++-+=⎩⎪⎪=⎩⎪+⎩解得或同理可得212S MD ME ∴== （11分） 2122211212152()(12)(12)9161616k S k k k S λ++++===≥所以的最小值为 ,此时k =1或-1. （13分） 21解：（Ⅰ）其定义域为. ……………1分当时， ，. 令，解得, 当时，；当时，.所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 所以时， 有极小值为，无极大值 ……………3分(Ⅱ) 222211(1)1(1)(1)()(0)a ax a x ax x f x a x x x x x ----+-'=--==> ………4分令,得或当时，，令，得或，令，得；当时，.当时，，令，得或，令，得；综上所述:当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是；当时，的单调递减区间是；当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是 (10)分（Ⅲ）时)0()1)(1()(2>-+='x xx ax x f 仅有1解,方程至多有两个不同的解. (注:也可用说明.)由(Ⅱ)知时,极小值 , 方程至多在区间上有1个解. 时单调, 方程至多有1个解.; 时, ,方程仅在区间内有1个解;故方程的根的个数不能达到3. …………………14分 b27888 6CF0 泰R30567 7767 睧33161 8189 膉39859 9BB3 鮳22083 5643 噃34863 882F 蠯38519 9677 陷@2 22976 59C0 姀v32799 801F 耟。
高中高考数学模拟试卷试题含答案.docx
16.有以下几个命 ：
①曲x2-(y+1)2=1按a=(-1,2)平移可得曲
(x+1)2-(y+3)2=1
②与直相交，所得弦2
③A、B两个定点，m常数，， 点P的 迹
④若 的左、右焦点分F1、F2，P是 上的任意一点， 点F2关于∠F1PF2的外角平分 的 称点M的 迹是
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
5.如图，是一程序框图，则输出结果中（）
.
精品文档
A.B.
C.D.
6．平面的一个充分不必要条件是（）
A.存在一条直B.存在一个平面
C.存在一个平面D.存在一条直
7．已知以F1（-2,0），F2（2,0） 焦点的 与直有且 有一个交点， 的
（）
A．B．C．D．
在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22．（本小题满分10分）
[几何证明选讲]如图，E是圆内两弦AB和CD的交点， 直线EF//CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G，求证：
（1）∽；
（2）EF＝FG.
23.[选修4－4：坐标系与参数方程]
已知曲线C：（t为参数），C：（为参数）.
（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
8.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共 的三个点， 点P足
，p的 迹一定通 △ABC的 （ ）
A.外心B.重心C.内心D.垂心
9. {an}是等差数列，从{a1,a2,a3,⋯,a20}中任取3个不同的数，使3个数仍成等差数列， 不同的等差数列最多有 （ ）
A．90个B．120个C．180个D．200个
2021年高考数学模拟试题二 理(含解析)
2021年高考数学模拟试题二 理（含解析）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．设集合，，若，则的值为（ ） A ． B ．1 C ． D ．0 【答案】D【解析】试题分析：由题意得且，则，，所以． 考点：集合的运算与集合的元素．2．复数为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 试题分析：，共轭复数为，对应的点为． 考点：复数的运算，复平面． 3．已知命题p 、q ，“为真”是“p 为假”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：当为真时为，为假，则为假，故是充分的，但当为假时，为假时它也成立，可能为真，此时为假．故不必要，因此选A ． 考点：逻辑连接词，充分与必要条件． 4．设，若， 则（ ）A ．-1B ．0C ．lD ．256 【答案】B 【解析】 试题分析：00(sin cos )(cos sin )|(cos sin )(cos 0sin 0)k x x dx x x ππππ=-=--=-----⎰，令，则有880128(1)(12)1a a a a k ++++=-=-=，又令得，，故．考点：定积分，二项展开式的系数．5．如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】试题分析：由题意，棱锥的高为，底面面积为，∴． 考点：三视图，体积．6．已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意方程有解，即有解，的取值范围就是函数的值域，当时，，当时，是增函数，取值范围是，即函数的值域是，这就是的取值范围． 考点：方程有解与函数的值域．7．如果执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ） A ．0 B ． C ． D ．【答案】C 【解析】试题分析：本题算法实质是求数列的前项和，根据余弦函数的性质，这人数列是周期为6的周期数列，且，因此20136335332cos coscos 133S S S πππ⨯+===++=- 考点：程序框图，周期数列，数列的和．211 正(主)视图侧(左)视图俯视图8．设其中实数满足，若的最大值为，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：作出可行域如图所示内部（含边界），再作直线，平移直线，过时，取得最大值，所以，，当过时，取得最小值．考点：线性规划．9．函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【答案】C【解析】试题分析：由题意，，所以，，因此从图象上可看出，只要向右平移个单位，就能得到的图象．考点：三角函数的图象．10．在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，x>0，y>0，且x＋y＝1，则·的最大值为 ( ) A．－ B．－ C．－ D．－【答案】D【解析】试题分析：22(1)(1)CA BA xCA x BA x x CA BA=⋅---+-⋅，最小值为．考点：向量的数量积，向量的线性表示．11．设是双曲线的两个焦点，是上一点，，的最小内角为，则曲线的离心率为（）xyO6π-3π1A ．B ．C ．2D ． 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，不妨设，又，所以有，，而，故，由余弦定理得222(2)(4)(2)242cos30a a c a c =+-⋅⋅⋅︒，变形得，．考点：双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率． 12．已知函数，若， 且，则（ ）A ．2B ．4C ．8D ．随值变化 【答案】A 【解析】试题分析：如图是函数的简图，其图象关于直线对称，由 得：，4334log (1)log (1)log (1)(1)0a a a x x x x ⇒-+-=--=， ，同理，所以．考点：函数的性质，对数的符号．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题（题型注释）13．为了解某市甲、乙、丙三所学校高三数学模拟考试成绩，采取分层抽样方法，从甲校的1260份试卷、乙校的720份试卷、丙校的900份试卷中进行抽样调研．如果从丙校的900份试卷中抽取了45份试卷，那么这次调研共抽查的试卷份数为___________ ． 【答案】144 【解析】试题分析：设甲校抽了人，乙校抽了人，则，解得，所以共抽取的试卷数为． 考点：分层抽样．14．已知直线与圆交于、两点，是原点，C 是圆上一点，若 ，则的值为_______ ． 【答案】2 【解析】试题分析：由得四边形是菱形，则，所以． 考点：向量的加法法则与圆的半径．15．设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四点，且满足，的最大值是 _______ ． 【答案】8 【解析】试题分析：由已知得，22211()()822AB AC AB AD AD AC AB AC AD =⋅+⋅+⋅≤⨯++=，当且仅当 时等号成立,因此最大值为8． 考点：球的性质．16．在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则的取值范围是_______ ． 【答案】[2，] 【解析】试题分析：由三角形面积公式知，即，由余弦定理得，所以，变形得 （其中），故最大值为，又，因此所求范围是．考点：三角形的面积，余弦定理，简单的三角恒等变换． 评卷人 得分三、解答题（题型注释）17．数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，． （1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由题中所给条件得，即，这是前项和与项的关系，我们可以利用把此式转化为数列的项的递推式，从而知数列是等比数列，通项易得，这样等差数列的，，由基本量法可求得等差数列的通项公式；（2）数列是由等差数列相邻两项相乘后取倒数所得，其前项和应该用裂项相消法求得，而当求得后，所要证的不等式就显而易见成立了． （1）∵是和的等差中项，∴ 当时，，∴ 当时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ∴ ，即 ∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴， 设的公差为，，，∴ ∴ - 6分 （2）111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+ ∴11111111(1...)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++ ∵,∴ 12分 考点：（1）已知数列前项和与项的关系，求通项公式，等差数列、等比数列通项公式；（2）裂项相消法求和与不等式。
2021年山东省高考数学仿真模拟试卷(二)(附答案详解)
2021年山东省高考数学仿真模拟试卷（二）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|2x 2−7x −4≤0}，B ={x||x|<3}，则A ∩B =( )A. (−2,3)B. (−2,3]C. (−12,2)D. [−12,3)2. 设复数z 满足z(√3−i)=(1+i)2，则|z|=( )A. 12B. √22C. 1D. √323. 关于命题，下列判断正确的是( )A. 命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题B. 命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C. 命题“∀x ∈R ，x 4∈R ”的否定为“∃x 0∈R ，x 04∉R ” D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”4. 已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2<0成立，则a 的取值范围是( )A. a ∈(0,1)B. a ∈[34,1)C. a ∈(0,13]D. a ∈[34,2)5. 函数f(x)=√2sinx −1的奇偶性为( )A. 奇函数B. 既是奇函数也是偶函数C. 偶函数D. 非奇非偶函数6. 已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则( ) A. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y ≤0mx −y ≤0x +y ≤1，其中m <−1，若目标函数y =yx−m 的最大值为2，则m 的值为( )A. −32B. −2C. 12或2D. −32或−28. 2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B 、C 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有( )A. 630种B. 600种C. 540种D. 480种二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n,y n)，则下列说法中正确的是()A. 由样本数据得到的回归方程ŷ=b̂x+â必过样本中心(x−,y−)B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C. 用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D. 若变量y和x之间的相关系数为r=−0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系10.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法正确的是()A. 该截角四面体的表面积为7√3a2B. 该截角四面体的体积为23√212a3C. 该截角四面体的外接球表面积为112πa2D. 该截角四面体中，二面角A−BC−D的余弦值为1311.已知等比数列{a n}的公比q=−23，等差数列{b n}的首项b1=12，若a9>b9且a10> b10，则以下结论正确的有()A. a9⋅a10<0B. a9>a10C. b10>0D. b9>b1012.在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则()A. y1y2=14B. 以AB为直径的圆与直线y=−12相切C. |OA|+|OB|的最小值2√2D. 经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.二项式(2√x −x2)6的展开式中，常数项为______ ．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2=2a2，则cos A的最小值为______ ．15. 过圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)外一点(2,0)引直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，当△AOB的面积取最大值时，直线l 的斜率等于±√33，则r 的值为______ ．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分） 16. 设函数f(x)=x 2+1x，g(x)=x e x ，则函数g(x)=xe x (x >0)的最大值为 (1) ；若对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，则正数k 的取值范围是 (2) ．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足√3c =b(sinA +√3cosA)．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若a +c =2，求b 的取值范围．18. 已知各项均为正数的等差数列{a n }满足a 1=1，a n+12=a n 2+2(a n+1+a n ).(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n =a +a ，求数列{b n }的前n 项和S n ．19. 某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y 的频数分布表．y的分组[−0.4,−0.2)[−0.2,0)[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)企业数3024401610(1)估计这些企业中产值负增长的企业比例(用百分数表示)．(2)估计这120个企业产值增长率的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．(3)以表中y的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查.若采访的企业的增长率y∈[−0.4,−0.2)，则采访价值为1；采访的企业的增长率y∈[−0.2,0)，则采访价值为2；采访的企业的增长率y∈[0,0.6)，则采访价值为3.设选取的两个企业的采访价值之和为X，求X的分布列及数学期望．20.如图所示，四棱锥S−ABCD的底面ABCD为梯形，平面SCD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=∠SCD=90°，CD=1．AB=AD=12(1)求证：平面SBD⊥平面SBC；(2)若二面角A−SB−C的余弦值为−3√20，求SC的长20度．21. 已知圆F 1：(x +1)2+y 2=r 2与圆F 2：(x −1)2+y 2=(4−r)2(1≤r ≤3)的公共点的轨迹为曲线E ． (1)求E 的方程；(2)设点A 为圆O ：x 2+y 2=127上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q两点.试问：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22. 已知函数f(x)=lnx x．(1)若直线y =kx −1是曲线y =f(x)的切线，求实数k 的值； (2)若对任意x ∈(0,+∞)，不等式f(x)≤ax −1−lna x成立，求实数a 的取值集合．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为集合A ={x|2x 2−7x −4≤0}={x|(2x +1)(x −4)≤}={x|−12≤x ≤4}，又B ={x||x|<3}={x|−3<x <3}， 所以A ∩B ={x|−12≤x <3}. 故选：D ．先分别求出集合A 和集合B ，然后利用集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由z(√3−i)=(1+i)2=2i ， 得z =3−i=√3+i)(3−i)(3+i)=−12+√32i ， ∴|z|=12)(√32)=1．故选：C ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词，是全称命题，所以A 不正确； 命题“有一个素数不是奇数”是存在量词命题，所以B 不正确；命题“∀x ∈R ，x 4∈R ”的否定为“∃x 0∈R ，x 04∉R ”，满足命题的否定形式，所以C正确；命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，所以D 不正确； 故选：C ．利用量词判断AB 的正误；命题的否定判断CD 的正误．本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．4.【答案】C【解析】解：∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13， ∴a 的取值范围是(0,13]． 故选：C ．根据条件可知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，解出a 的范围即可．本题考查了减函数的定义，指数函数、一次函数和分段函数的单调性，考查了计算和推理能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，f(x)=√2sinx −1，必有2sinx ≥1，即sinx ≥12， 则有2kπ+π6≤x ≤2kπ+5π6，k ∈Z ，即函数f(x)的定义域为[2kπ+π6,2kπ+5π6]，k ∈Z ，定义域不关于原点对称，则f(x)为非奇非偶函数， 故选：D ．根据题意，求出函数的定义域，分析可得其定义域不关于原点对称，结合函数奇偶性的定义分析可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数定义域的分析，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以点P 为△ABC 的重心， 延长PA 交BC 于点M ，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =B ⃗⃗ C −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23B ⃗⃗ A −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．利用已知条件确定点P 为△ABC 的重心，然后利用重心的几何性质以及平面向量基本定理求解即可．本题考查了平面向量基本定理的应用，解题的关键是确定点P 为三角形的重心，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由约束条件{x −y ≤0mx −y ≤0x +y ≤1，其中m <−1作出可行域如图，联立{x +y =1mx −y =0，解得A(11+m ,m1+m )，由图可知，要使目标函数y =yx−m 的最大值为2， 即可行域内的动点与定点P(m,0)连线斜率的最大值为2， 则P 在直线x =11+m 的左边，此时k PA =m 1+m 11+m−m =m 1−m−m 2=2，解得m =12(舍)或m =−2． 故选：B ．由约束条件作出可行域，再由yx−m 的几何意义，即可行域内的动点与定点P(m,0)连线斜率列式求解．本题考查简单的线性规划，考查数学转化思想与数形结合的解题思想，是中档题．8.【答案】C【解析】解：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：C 61C 51C 44A 22⋅A 33=90种，把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：C 62C 42C 22A 33⋅A 33=90种，把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：C 61C 52C 33⋅A 33=360种，综上，不同的安排方式共有90+90+360=540种， 故选：C ．把6名工作人员分别分为(1,1，4)，(2,2，2)，(1,2，3)三种情况讨论，然后分别计算即可求解．本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了分类讨论思想以及学生的运算能力，属于基础题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A ，由样本数据得到的回归方程y ̂=b ̂x +a ̂必过样本中心(x −,y −)，故选项A 正确；对于B ，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故选项B 正确；对于C ，用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，故选项C 错误；对于D ，若变量y 和x 之间的相关系数为r =−0.9362，r 的绝对值接近于1，则变量y 和x 之间具有线性相关关系，故选项D 正确． 故选：ABD ．利用回归分析中的基本概念和原理对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了回归分析的基本知识的理解，涉及了回归方程、残差平方和、相关指数的理解和应用，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：题中截角四面体由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成，故S =4×√34a 2+4×6×√34a 2=7√3a 2，故选项A 正确；因为棱长为a 的正四面体的高ℎ=√63a ，所以V =13⋅√34⋅(3a)2⋅√63⋅(3a)−4⋅13⋅√34a 2⋅√63a =23√212a 3，故选项B 正确‘因为截角四面体上下底面距离为√6a −√63a =2√63a ， 所以√R 2−O′C 2+√R 2−O′H 2=2√63a ， 所以√R 2−a 23=2√63a −√R 2−a 2，即R 2−a 23=83a 2+R 2−a 2−4√63a ⋅√R 2−a 2，所以R 2=118a 2，故S =4πR 2=112πa 2，故选项C 正确；二面角A −BC −D 的余弦值应该为负值，故选项D 错误． 故选：ABC ．确定截角四面体是由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积、体积、外接球的表面积，即可判断选项A ，B ，C ，然后由二面角的余弦值的正负判断选项D ．本题以命题真假的判断为载体考查了空间几何体的表面积和体积的求解，解题的关键是分析出截角四面体的结构特征，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：数列{a n }是公比q 为−23的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则a 9=a 1(−23)8，a 10=a 1(−23)9，∴a 9⋅a 10=a 12(−23)17<0，故A 正确；∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10>b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9>b 9且a 10>b 10，则a 1(−23)8>12+8d ，a 1(−23)9>12+9d ， 可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d <0， 即有a 9>b 9>b 10，故D 正确． 故选：AD ．设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D正确．本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及单调性的判断，考查运算能力和推理能力，是中档题．12.【答案】ABD【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(0,12)，显然过焦点F的直线的斜率显然存在，设直线l的方程为：y=kx+12，联立{y=kx+12x2=2y，整理可得：x2−2kx−1=0，可得x1+x2=2k，x1x2=−1，所以y1+y2=k(x1+x2)+1=2k2+1，y1y2=x12x224=14；所以A正确；以AB为直径的圆的圆心坐标为：(x1+x22,y1+y22)，即(k,k2+12)，半径|AB|2=y1+y2+12=k2+1，所以圆心到直线y=−12的距离为：k2+12+12=k2+1等于半径，所以圆与直线相切，所以B正确；当直线AB与x轴平行时，|OA|=|OB|=√52，|OA|+|OB|=√5<2√2，所以|OA|+|OB|的最小值不是2√2，故C不正确；直线OA的方程为：y=y1x1x=x12x，与x=x2的交点坐标为：(x2,x1x22)，因为x1x22=12，所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点在定直线y=−12上，故D正确；故选：ABD．由抛物线的方程可得焦点，设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得A正确；可得AB的中点的坐标，及弦长|AB|的值，进而求出圆心到直线y=−12的距离恰好等于半径，可得与直线相切；当直线AB与x轴平行时可得|OA|=|OB|的值，可得|OA|+|OB|的最小值不为2√2，判断C不正确，设过B的直线与直线OA的直线的交点的纵坐标为定值，可得D正确．本题考查直线与抛物线的综合，命题真假的判断，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(√x )6−r⋅(−x2)r=C6r⋅26−2r⋅(−1)r x3r−62，令3r−62=0，解得r=2，所以展开式的常数项为C62⋅22⋅(−1)2=60，故答案为：60．先求出通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．14.【答案】12【解析】解：∵b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时取等号，∴12bc ≥1b2+c2，且b2+c2=2a2，∴根据余弦定理，有cosA=b2+c2−a22bc ≥2a2−a2b2+c2=a22a2=12，当且仅当b=c=a时等号成立，∴cosA的最小值为12．故答案为：12．根据条件，利用不等式b2+c2≥2bc和余弦定理，即可求出cos A的最小值．本题考查了余弦定理和重要不等式，考查了计算能力，属于中档题．15.【答案】√2【解析】解：S△AOB=12|OA||OB|sin∠AOB=12r2sin∠AOB，当∠AOB=90°时，△AOB面积最大，此时圆心O到直线AB的距离d=√22r，设直线AB的方程为y=k(x−2)，k2=13，则d=√k2+1=√22r，∴4k2k2+1=12r2，将k2=13代入，解得r=√2．故答案为：√2．利用三角形面积公式可知，当∠AOB=90°时，△AOB面积取得最大值，再利用点到直线的距离公式求得结果．本题考查直线与圆的位置关系，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】1e[12e −1,+∞)【解析】解：g(x)=xe x 的导数为g′(x)=1−x e x，则0<x <1时，g′(x)>0，g(x)递增；x >1时，g′(x)<0，g(x)递减， 可得g(x)在x =1处取得极大值，且为最大值1e ；又x >0时，f(x)=x +1x ≥2√x ⋅1x =2，当且仅当x =1时取得最小值2，由对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，可得1ek ≤2k+1，由k >0，可得k ≥12e−1， 故答案为：1e ；[12e−1,+∞)．求得g(x)的导数，可得单调区间和极值、最值，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，可得1k g(x)max ≤1k+1f(x)min ，结合基本不等式可得所求范围． 本题考查函数的导数的运用：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理知，b sinB =csinC ，∵√3c =b(sinA +√3cosA)， ∴√3sinC =sinB(sinA +√3cosA)，又sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ， ∴√3sinAcosB =sinBsinA ， ∵sinA ≠0，∴tanB =√3， ∵B ∈(0,π)，∴B =π3．(Ⅱ)由余弦定理知，b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =(a +c)2−2ac −2ac ⋅cos π3=(a +c)2−3ac ， ∵a +c =2，∴b2=4−3ac，即ac=4−b23，而ac≤(a+c)24=1，当且仅当a=c=1时，等号成立，∴4−b23≤1，解得b≥1，又b<a+c=2，∴1≤b<2，故b的取值范围为[1,2)．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求出tan B的值，从而得解；(Ⅱ)由余弦定理可推出b2=4−3ac，再利用基本不等式可得ac≤1，然后结合b<a+c，得解．本题主要考查解三角形，还涉及基本不等式，熟练掌握正弦定理、余弦定理与两角和的正弦公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)各项均为正数的等差数列{a n}满足a1=1，a n+12=a n2+2(a n+1+a n)，整理得(a n+1+a n)(a n+1−a n)=2(a n+1−a n)，由于a n+1+a n≠0，所以a n+1−a n=2(常数)，故数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列．所以a n=2n−1．(2)b n=√a+a =√2n−1+√2n+1=√2n+1−√2n−12，所以S n=12×(√3−1+√5−√3+...+√2n+1−√2n−1)=12(√2n+1−1)．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(2)利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)产值负增长的企业频率为：30+24120=0.45=45%，用样本频率分布估计总体分布得这些企业中产值负增长的企业比例为45%．(2)企业产值增长率的平均数y−=1120(−0.3×30−0.1×24+0.1×40+0.3×16+0.5×10)=0.02；(3)企业的增长率y∈[−0.4,−0.2)的概率为30120=14，企业的增长率y∈[−0.2,0)的概率为24120=15，企业的增长率y∈[0,0.6)的概率为40+16+10120=1120，由题意可得X的可能取值为2，3，4，5，6，则P(X=2)=14×14=116，P(X=3)=2×14×15=110，P(X=4)=15×15+2×14×1120=63200，P(X=5)=2×15×1120=1150，P(X=6)=1120×1120=121400，所以X的分布列为：X 2 3 4 5 6P116110632001150121400故E(X)=2×116+3×110+4×63200+5×1150+6×121400=235．【解析】(1)根据频数分布表计算即可；(2)根据平均值的计算公式代入数据计算即可；(3)先求出各个对应的概率，然后求出X的可能取值，由此求出对应的概率，进而可以求解．本题考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望、考查了学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：由题意，在底面梯形ABCD中，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=2，∴BD=BC=√2，∵CD=2，∴BD2+BC2=CD2，∴BD⊥BC，∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，且SC⊥CD，SC⊂平面SCD，∴SC⊥平面ABCD，∵BD⊂平面SBD，∴平面SBD⊥平面SBC．(2)由(1)知SC⊥平面ABCD，以C 为坐标坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴， CS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2,1，0)，B(1,1，0)，D(2,0，0)， 设SC =ℎ(ℎ>0)，∴S(0,0，ℎ)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,ℎ)，BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,ℎ)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 由(1)得BD ⊥平面SBC ，∴平面SBC 的一个法向量为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设平面ABS 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n ⃗ ⋅BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −y +ℎz =0，令z =1，得n⃗ =(0,h ，1)， ∴cos <n ⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√2⋅√1+ℎ2=−3√2020，解得ℎ=3，∴SC =3．【解析】(1)根据条件得到BD ⊥BC ，由面面垂直的性质得到SC ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的判定定理，即可证明平面SBD ⊥平面SBC ；(2)由SC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴，CS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用和向量法能求出结果．本题考查面面垂直的证明，二面角和线段长的求法，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．21.【答案】解：(1)设公共点为P ，则PF 1=r ，PF 2=4−r ，所以PF 1+PF 2=4>F 1F 2，故公共点P 的轨迹为椭圆， 则2a =4，所以a =2，又c =1，所以b 2=3， 所以曲线E 的方程为x 24+y 23=1；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，直线PQ 的方程为x =±√127，代入椭圆x 24+y 23=1，y =±√127，所以OP ⊥OQ ；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y =kx +m ， 因为直线PQ 与圆O 相切，所以√k 2+1=r ，解得m 2=127(k 2+1)，将直线PQ 的方程代入椭圆x 24+y 23=1中，可得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 所以x 1+x 2=−8km4k 2+3,x 1x 2=4m 2−124k 2+3，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(k 2+1)(4m 2−12)4k 2+3−8k 2m 24k 2+3+m 2 =7m 2−12(k 2+1)4k 2+3，将m 2=127(k 2+1)代入上式，化简可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故OP ⊥OQ ， 综上所述，恒有OP ⊥OQ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=−127．【解析】(1)设公共点为P ，求出PF 1=r ，PF 2=4−r ，利用椭圆的定义，即可得到点P 的轨迹为椭圆，然后再求解椭圆的标准方程即可；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，可得OP ⊥OQ ；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程与椭圆的方程联立，得到韦达定理，然后利用直线与圆相切得到m 与k 的关系，利用向量的作标表示证明OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而可求得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．本题考查了动点轨迹方程的求解，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵f(x)=lnx x(x >0)，∴f′(x)=1x⋅x−lnx x 2=1−lnx x 2，设切点为(x 0,lnx 0x 0)，则k =f′(x 0)=1−lnx 0x 02，代入直线y =kx −1得：lnx 0x 0=1−lnx 0x 02x 0−1，即lnx 0=1−lnx 0−x 0，∴2lnx 0+x 0−1=0， 令ℎ(x)=2lnx +x −1，有ℎ(1)=0，∴ℎ′(x)=2x +1>0，∴ℎ(x)在(0,+∞)单调递增， ∴方程2lnx +x −1=0有唯一解x 0=1， ∴k =1−lnx 0x 02=1−ln112=1；(2)∵lnx x≤ax −1−lna x，x >0，∴ax 2−x −lnx −lna ≥0恒成立， 设F(x)=ax 2−x −lnx −lna ，则F′(x)=2ax 2−x−1x，令G(x)=2ax 2−x −1，∵a >0，△=1+8a >0，∴G(x)=0有2个不相等实根x1，x2，则x1x2=−12a<0，不妨设x1<0<x2，当x∈(0,x2)，G(x)<0，当x∈(x2,+∞)，G(x)>0，∴F(x)在(0,x2)单调递减，在(x2,+∞)单调递增，∴F(x)min=F(x2)=ax22−x2−ln(ax2)，由G(x2)=2ax22−x2−1=0得到ax2=x2+12x2，∴F(x2)=x2+12−x2−ln x2+12x2=1−x22−ln1+x22x2≥0，令H(x)=1−x2−ln1+x2x=1−x2+ln2x−ln(x+1)，则H′(x)=−12+22x−1x+1=−(x−1)(x+2)2x(x+1)，∴当x∈(0,1)时，H′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，H′(x)<0，则H(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，∴H(x)≤H(1)=0，∵F(x2)=H(x2)≥0，∴F(x2)=0，则x2=1，故a=1，∴实数a的取值集合是{1}．【解析】(1)求出函数的导数，设出切点，代入切线方程，求出切点横坐标，求出k的值即可；(2)问题转化为ax2−x−lnx−lna≥0恒成立，设F(x)=ax2−x−lnx−lna，根据函数的单调性求出F(x)的最小值，确定a的值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是难题．。
高考数学模拟试卷复习试题高三模拟卷科数学2
高考数学模拟试卷复习试题高三模拟卷科数学本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
1.已知复数，则=（）A. B. C. D.2.设集合M{x|xm＜0}，N={y|y=log2x1，x≥4}，若M∩N=Ø，则m的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（∞，1）D．（∞，1]3.将△ABC的各边都扩大3倍，则∠A的三个三角函数值都（）A．扩大3倍B．缩小3倍C．不变D．无法确定4.已知s是正实数，满足不等式组：表示的区域内存在一个半径为1的圆，则s 为最小值为（）A．1+B．C．2+2D．25.一直线与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于E、F，且交其对角线AC于M，若，，，则=（）B. 1C.0D. 3A.6.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影外部（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μδ＜X≤μ+δ）=0.6826，P（μ2δ＜X≤μ+2δ）=0.9544．A．3413B．1193C．2718D．65877.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2+πB．2+4πC．6+πD．6+4π8.已知数列中，，.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第项，则判断框内的条件是（）A. B. C. D.9.二项式（ax+）n（a＞0，b＞0）的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab的值为（）A．4B．8C．12D．1610.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为，若=2，则=（）A.4B. 1C. 2D.311.若定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在三个零点，则a的取值范围是（）A．（∞，2）B．（2，2）C．（2，+∞）D．（2，0）∪（0，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为14.点M是椭圆+=1（a＞b＞0）上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是15.函数f（x）=|lgx|+x2的零点个数是16.已知下列命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的充分不必要条件；④“若，则且”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是__________.三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第1721题为必做题，第2223为选做题，共70分。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷2161 2
高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．【热点题型】题型一 由数列的前几项求数列的通项例1、写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….【提分秘籍】根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．【举一反三】(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是an ＝________.(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an ＝________.题型二由数列的前n 项和Sn 求数列的通项例2 已知下面数列{an}的前n 项和Sn ，求{an}的通项公式：(1)Sn ＝2n2－3n ；(2)Sn ＝3n ＋b.【提分秘籍】数列的通项an 与前n 项和Sn 的关系是an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S1，n ＝1，Sn －Sn －1，n≥2.当n ＝1时，a1若适合Sn －Sn －1，则n ＝1的情况可并入n≥2时的通项an ；当n ＝1时，a1若不适合Sn －Sn －1，则用分段函数的形式表示．【举一反三】已知数列{an}的前n 项和Sn ＝3n2－2n ＋1，则其通项公式为________________．题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式例3 (1)设数列{an}中，a1＝2，an ＋1＝an ＋n ＋1，则通项an ＝________.(2)数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝3an ＋2，则它的一个通项公式为an ＝________.(3)在数列{an}中，a1＝1，前n 项和Sn ＝n ＋23an ，则{an}的通项公式为________．【提分秘籍】已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an ＝an －1＋m 时，构造等差数列；当出现an ＝xan －1＋y 时，构造等比数列；当出现an ＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现an an －1＝f(n)时，用累乘法求解． 【举一反三】(1)已知数列{an}满足a1＝1，an ＝n －1n ·an －1(n ≥2)，则an ＝________.(2)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝2an －1(n ∈N*)，则a5等于( ) A ．－16B ．16C ．31D ．32【高考风向标】【高考安徽，文13】已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于.1．（·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n ∈N*)满足anbn ＋1－an ＋1bn ＋2bn ＋1bn ＝0.(1)令cn ＝an bn ，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn ＝3n －1，求数列{an}的前n 项和Sn.2．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，an≠0，anan ＋1＝λSn －1，其中λ为常数．(1)证明：an ＋2－an ＝λ.(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．3．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1＝1，an ＋1＝3an ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是等比数列，并求{an}的通项公式； (2)证明1a1＋1a2＋…＋1an ＜32.4．（·重庆卷）设a1＝1，an ＋1＝a2n －2an ＋2＋b(n ∈N*)．(1)若b ＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a2n<c<a2n ＋1对所有n ∈N*成立？证明你的结论．5．（·安徽卷）如图1－3所示，互不相同的点A1，A2，…，An ，…和B1，B2，…，Bn ，…分别在角O 的两条边上，所有AnBn 相互平行，且所有梯形AnBnBn ＋1An ＋1的面积均相等，设OAn ＝an ，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．图1－36．（·辽宁卷）下面是关于公差d>0的等差数列{}an 的四个命题：p1：数列{}an 是递增数列；p2：数列{}nan 是递增数列；p3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n 是递增数列； p4：数列{}an ＋3nd 是递增数列．其中的真命题为( )A ．p1，p2B ．p3，p4C ．p2，p3D ．p1，p47．（·全国卷）等差数列{an}前n 项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．【高考押题】1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an 等于( )A.－1n ＋12B ．cos nπ2C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π2．已知数列{an}中，a1＝1，若an ＝2an －1＋1(n≥2)，则a5的值是( )A ．7B ．5C ．30D ．313．若数列{an}的通项公式是an ＝(－1)n(3n －2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－154．若Sn 为数列{an}的前n 项和，且Sn ＝n n ＋1，则1a5等于( ) A.56B.65C.130D ．305．已知数列{an}满足a1＝1，an ＋1an ＝2n(n ∈N*)，则a10等于( )A ．64B ．32C ．16D ．86．若数列{an}满足关系：an ＋1＝1＋1an ，a8＝3421，则a5＝________.7．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n ∈N*，都有a1·a2·a3·…·an ＝n2，则a3＋a5＝________.8．已知{an}是递增数列，且对于任意的n ∈N*，an ＝n2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．9．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝2n ＋1－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝an ＋an ＋1，求数列{bn}的通项公式．10．数列{an}的通项公式是an ＝n2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
高考数学模拟试卷复习试题第二次高考模拟考试数学试卷理科
高考数学模拟试卷复习试题第二次高考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，24小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案的序号填在答题卡相应的位置上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷的整洁. 考试结束后，将答题卷交回。
第一部分 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．设集合{}220,11x A xB x y x x ⎧-⎫=<==-⎨⎬+⎩⎭，则A B =（）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}11x x -≤<D ．{}1,1- 2．“1a =”是“复数2(1)2(1)z a a i =-++（a R ∈）为纯虚数”的 （ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知()f x 在R 上是减函数，若)8(log 21f a =,])21[(31f b =,)2(21-=f c .则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<4．《九章算术》之后，人们学会了用等差数列知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布。
A ．12B ．815C ．1631D ．16295．若动圆的圆心在抛物线2112y x =上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )A.(0,2) B ．(0，－3)C.(0,3) D ．(0,6)6．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的 点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ，y 都为偶数且x≠y”，则A 发生的概率P （A ）为（ ）334俯视图侧视图正视图第10题图A.41B.16C. 31D.1127．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－4，则条件框内 应填写（）A. 3?i >B. 5?i <C.4?i >D.4?i <8．23451+1111x x x x -+--+-（）（）+（）（）展开式中2x 项的系数为（ ） A ．－19 B ．19 C ．20 D ．－209. 已知向量(3,2)a =-，(,1)a x y =-且a ∥b ，若,x y 均为正数， 则32x y+的最小值是 （ ） A ．24 B ．8 C ．38 D ．3510．若几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ) A. π34 B. π35C ．π36D ．π1711．已知双曲线：22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c , 直线3()y x c =+与双曲线的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠, 则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．31+ 12．已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-，当[3,3]x ππ∈-时，方程()()f x g x =根的个数是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共20分.） 13．已知函数()2sin 3πf x ωx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω＝14．已知点A （1，2），点P （,x y ）满足1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，O 为坐标原点，则Z OA OP =•的最大值为15.已知△ABC 中，∠B=900，AB=3, BC=1.若把△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得几何体的体积为 .第7题图第13题图16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，若数列{}an 的前n 项和Sn 满足21n nS a n n=+，则56()()f a f a +＝ 三、解答题（本大题共8小题，共70分.其中17至21题为必做题，22至24题为选做题.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 若3π=∠ABC ,2,7==c b ,D 为BC 的中点.（I ）求cos BAC ∠的值; （II ）求AD 的值.18．（本小题满分12分)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，所得数据如下 列联表：从服药的动物中任取2只，记患病动物只数为ξ；（I ）求出列联表中数据x ，y ，t 的值，并求ξ的分布列和期望；（II ）根据参考公式，求2k 的值（精确到小数后三位）； （Ⅲ）能够有97.5%的把握认为药物有效吗？（参考数据如下）（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++）P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k02.0722.7063.8415.0246.6357.87919、（本小题满分12分)如图1，已知四边形ABCD 为菱形，且︒=∠60A ,2=AB ,E 为AB 的中点。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷219122
高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 【热点题型】题型一 等差数列基本量的运算例1、(1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n ∈N*有2an ＋1＝1＋2an ，则数列{an}前10项的和为( )A ．2B ．10C.52D.54(2)(·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，Sm －1＝－2，Sm ＝0，Sm ＋1＝3，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 (1)C (2)C【提分秘籍】(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a1，an ，d ，n ，Sn ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【举一反三】(1)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于( ) A ．12B ．13C ．14D ．15(2)记等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝12，S4＝20，则S6等于( ) A ．16B ．24C ．36D ．48(3)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是( ) A.12B ．1C ．2D ．3 答案 (1)B (2)D (3)C 解析 (1)由题意得S5＝5a1＋a52＝5a3＝25，故a3＝5，公差d ＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d ＝3＋5×2＝13.(2)∵S4＝2＋6d ＝20，∴d ＝3，故S6＝3＋15d ＝48. (3)∵Sn ＝n a1＋an 2，∴Sn n ＝a1＋an 2，又S33－S22＝1， 得a1＋a32－a1＋a22＝1，即a3－a2＝2，∴数列{an}的公差为2.题型二 等差数列的性质及应用例2、(1)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A ．63B ．45C ．36D ．27(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10(3)已知Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a1＝－，S －S＝6，则S ＝________. 答案 (1)B (2)A (3)解析 (1)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列． 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.【提分秘籍】在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；{Snn}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．【举一反三】(1)设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于()A．14B．21C．28D．35(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.答案(1)C(2)60解析(1)∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.题型三等差数列的判定与证明例3、已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明 因为an ＝2－1an －1(n≥2，n ∈N*)，bn ＝1an －1(n ∈N*)，所以bn ＋1－bn ＝1an ＋1－1－1an －1＝12－1an －1－1an －1＝an an －1－1an －1＝1. 又b1＝1a1－1＝－52.所以数列{bn}是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)知bn ＝n －72， 则an ＝1＋1bn ＝1＋22n －7.设f(x)＝1＋22x －7，则f(x)在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，an 取得最小值－1，当n ＝4时，an 取得最大值3. 【提分秘籍】等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n 都有an ＋1－an 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2an ＋1＝an ＋an ＋2后，可递推得出an ＋2－an ＋1＝an ＋1－an ＝an －an －1＝an －1－an －2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．(3)通项公式法：得出an ＝pn ＋q 后，得an ＋1－an ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出Sn ＝An2＋Bn 后，根据Sn ，an 的关系，得出an ，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．【举一反三】(1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n －1＋2a2n}是( ) A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝12，2an ＋1＝1an ＋1an ＋2(n ∈N*)，则该数列的通项为( )A ．an ＝1nB ．an ＝2n ＋1C ．an ＝2n ＋2D ．an ＝3n答案 (1)C (2)A【高考风向标】【高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）（A ）172（B ）192（C ）10（D ）12 【答案】B【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 【高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为________ 【答案】5【解析】若这组数有21n +个，则11010n a +=，212015n a +=，又12112n n a a a +++=，所以15a =； 若这组数有2n 个，则1101022020n n a a ++=⨯=，22015n a =，又121n n n a a a a ++=+，所以15a =； 故答案为5【高考福建，文16】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．【答案】9【高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a =，d =．【答案】2,13- 【解析】由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 1．（·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.【答案】1【解析】因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又 a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q 的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q ＝1.2．（·北京卷）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n ＝________时，{an}的前n 项和最大．【答案】8【解析】∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0，∴n ＝8时，数列{an}的前n 项和最大．3．（·福建卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 【答案】C【解析】设等差数列{an}的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S3＝3×2＋3×22d ＝12，解得d ＝2，则a6＝a1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.4．（·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn>60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【解析】(1)设数列{an}的公差为d ， 依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，an ＝2；当d ＝4时，an ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{an}的通项公式为an ＝2或an ＝4n －2.5．（·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1，|an ＋1－an|＝pn ，n ∈N*. (1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a2n －1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式． 【解析】(1)因为{an}是递增数列，所以an ＋1－an ＝|an ＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此a2＝p ＋1，a3＝p2＋p ＋1.又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p ＝0，解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，an ＋1＝an ，这与{an}是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a2n －1}是递增数列，因而a2n ＋1－a2n －1>0，于是(a2n ＋1－a2n)＋(a2n －a2n －1)>0.① 因为122n <122n －1，所以|a2n ＋1－a2n|<|a2n －a2n －1|.②由①②知，a2n －a2n －1>0，因此a2n －a2n －1＝⎝⎛⎭⎫122n －1＝（－1）2n22n －1.③因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n ＋1－a2n<0，故a2n ＋1－a2n ＝－⎝⎛⎭⎫122n＝（－1）2n ＋122n .④ 由③④可知，an ＋1－an ＝（－1）n ＋12n. 于是an ＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an －an －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n 2n －1＝1＋12·1－⎝⎛⎭⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n 2n －1.故数列{an}的通项公式为an ＝43＋13·（－1）n2n －1.6．（·辽宁卷）设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( ) A ．d<0 B ．d>0 C ．a1d<0 D ．a1d>0 【答案】C【解析】令bn ＝2a1an ，因为数列{2a1an}为递减数列，所以bn ＋1bn ＝2a1an ＋12a1an ＝2a1(an ＋1－an)＝2a1d<1，所得a1d<0.7．（·全国卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝1anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.8．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，an≠0，anan ＋1＝λSn －1，其中λ为常数．(1)证明：an ＋2－an ＝λ.(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．9．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝(－1)n －14n anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.【解析】 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×12×2＝2a1＋2， S4＝4a1＋4×32×2＝4a1＋12，由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1， 所以an ＝2n －1. (2)由题意可知， bn ＝(－1)n －14nanan ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1.当n 为偶数时，Tn ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，Tn ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以Tn ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或Tn ＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋1 10．（·陕西卷）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C)； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．11．（·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．【答案】－12【解析】∵S2＝2a1－1，S4＝4a1＋4×32×(－1)＝4a1－6，S1，S2，S4成等比数列， ∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－12.12．（·重庆卷）设a1＝1，an ＋1＝a2n －2an ＋2＋b(n ∈N*)． (1)若b ＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a2n<c<a2n ＋1对所有n ∈N*成立？证明你的结论． 【解析】(1)方法一：a2＝2，a3＝2＋1. 再由题设条件知(an ＋1－1)2＝(an －1)2＋1.从而{(an －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(an －1)2＝n －1，即an ＝n －1＋1(n ∈N*)． 方法二：a2＝2，a3＝2＋1.可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想an ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即ak ＝k －1＋1，则ak ＋1＝（ak －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1， 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以an ＝n －1＋1(n ∈N*)．(2)方法一：设f(x)＝（x －1）2＋1－1，则an ＋1＝f(an)． 令c ＝f(c)，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14. 下面用数学归纳法证明命题 a2n<c<a2n ＋1<1.当n ＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝2－1，所以a2<14<a3<1，结论成立． 假设n ＝k 时结论成立，即a2k<c<a2k ＋1<1. 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f(c)>f(a2k ＋1)>f(1)＝a2，即 1>c>a2k ＋2>a2.再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f(c)<f(a2k ＋2)<f(a2)＝a3<1，故c<a2k ＋3<1，因此a2(k ＋1)<c<a2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 综上，存在 c ＝14使a2n<C<a2a ＋1对所有n ∈N*成立． 方法二：设f(x)＝（x －1）2＋1－1，则an ＋1＝f(an)． 先证：0≤an≤1(n ∈N*)． ① 当n ＝1时，结论明显成立． 假设n ＝k 时结论成立，即0≤ak≤1. 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f(1)≤f(ak)≤f(0)＝2－1<1.即0≤ak ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立． 再证：a2n<a2n ＋1(n ∈N*)． ②当n ＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝2－1，所以a2<a3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a2k<a2k ＋1. 由①及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得 a2k ＋1＝f(a2k)>f(a2k ＋1)＝a2k ＋2， a2(k ＋1)＝f(a2k ＋1)<f(a2k ＋2)＝a2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N*成立． 由②得a2n<a22n －2a2n ＋2－1， 即(a2n ＋1)2<a22n －2a2n ＋2， 因此a2n<14.③又由①②及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得f(a2n)>f(a2n ＋1)，即a2n ＋1>a2n ＋2. 所以a2n ＋1>a22n ＋1－2a2n ＋1＋2－1，解得a2n ＋1>14.④ 综上，由②③④知存在c ＝14使a2n<c<a2n ＋1对一切n ∈N*成立．13．（·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为( )图1－3A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π 【答案】A【解析】由三视图可知该组合体下半部分是一个半圆柱，上半部分是一个长方体，故体积为V ＝2×2×4＋12×π×22×4＝16＋8π.14．（·新课标全国卷Ⅰ] 设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若Sm －1＝－2，Sm ＝0，Sm ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C15．（·广东卷）在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________． 【答案】20【解析】方法一：a3＋a8＝2a1＋9d ＝10，而3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d ＝2(2a1＋9d)＝20. 方法二：3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)＝2(a3＋a8)＝20.16．（·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为An ，第n 项之后各项an ＋1，an ＋2，…的最小值记为Bn ，dn ＝An －Bn.(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N*，an ＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.【解析】(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.(2)(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤….因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1，2，3，…)．(必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1，2，3，…)．所以An＝Bn＋dn≤Bn.又因为an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1.于是，An＝an，Bn＝an＋1.因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，即{an}是公差为d的等差数列．17．（·全国卷）等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．【解析】设{an}的公差为d.由S3＝a22，得3a2＝a22，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得S22＝S1S4. 又S1＝a2－d ，S2＝2a2－d ，S4＝4a2＋2d ， 故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)． 若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d ＝0， 此时Sn ＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)， 解得d ＝0或d ＝2.因此{an}的通项公式为an ＝3或an ＝2n －1.18．（·山东卷）设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1. (1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n 项和为Tn ，且Tn ＋an ＋12n ＝λ(λ为常数)，令cn ＝b2n(n ∈N*)，求数列{cn}的前n 项和Rn.【解析】(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 由S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧4a1＋6d ＝8a1＋4d ，a1＋（2n －1）d ＝2a1＋2（n －1）d ＋1， 解得a1＝1，d ＝2，因此an ＝2n －1，n ∈N*.(2)由题意知Tn ＝λ－n 2n －1，所以n≥2时，bn ＝Tn －Tn －1＝－n 2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故cn ＝b2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝⎛⎭⎫14n －1，n ∈N*.所以Rn ＝0×⎝⎛⎭⎫140＋1×⎝⎛⎭⎫141＋2×⎝⎛⎭⎫142＋3×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n －1，则14Rn ＝0×⎝⎛⎭⎫141＋1×⎝⎛⎭⎫142＋2×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －2)×⎝⎛⎭⎫14n －1＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ， 两式相减得34Rn ＝⎝⎛⎭⎫141＋⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －1－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝14－⎝⎛⎭⎫14n1－14－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝13－1＋3n 3⎝⎛⎭⎫14n ，整理得Rn ＝194－3n ＋14n －1.所以数列{cn}的前n 项和Rn ＝194－3n ＋14n －1.19．（·四川卷） 在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n 项和．【解析】设该数列公差为d ，前n 项和为Sn ，由已知可得2a1＋2d ＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)， 所以a1＋d ＝4，d(d －3a1)＝0.解得a1＝4，d ＝0或a1＝1，d ＝3.即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3. 所以，数列的前n 项和Sn ＝4n 或Sn ＝3n2－n 2.20．（·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为________．【答案】－49【解析】由已知，a1＋a10＝0，a1＋a15＝103d ＝23，a1＝－3，∴nSn ＝n3－10n23，易得n ＝6或n ＝7时，nSn 出现最小值．当n ＝6时，nSn ＝－48；n ＝7时，nSn ＝－49.故nSn 的最小值为－49.21．（·重庆卷）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn 为其前n 项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．【答案】64【解析】设数列{an}的公差为d ，由a1，a2，a5成等比数列，得(1＋d)2＝1·(1＋4d)，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以S8＝8×1＋8（8－1）2×2＝64. 【高考押题】1．已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d 等于( ) A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4 答案 C解析 方法一 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a1＋6d ＝－8，a1＋d ＝2，解得a1＝5，d ＝－3.方法二 a1＋a7＝2a4＝－8，∴a4＝－4， ∴a4－a2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.2．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )A ．a1＋a101>0B ．a2＋a100<0C ．a3＋a99＝0D ．a51＝51 答案 C解析 由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a101 ＝a1＋a1012×101＝0. 所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0.3．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( ) A ．0B ．37C ．100D ．－37 答案 C4．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n 项和Sn 的最大值为( ) A ．S4B ．S5C ．S6D ．S7 答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a4＋a7＝a5＋a6<0，a5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a5>0，a6<0，∴Sn 的最大值为S5.5．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．84 答案 C解析 由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0， ∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60.6．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a22－4，则an＝________.答案2n－1解析设等差数列的公差为d，∵a3＝a22－4，∴1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d2＝4，即d＝±2.由于该数列为递增数列，故d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是________．答案6解析依题意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2>0，a7＝－1<0；又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6.8．已知数列{an}中，a1＝1且1an＋1＝1an＋13(n∈N*)，则a10＝________.答案1 4解析由已知1a10＝1a1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，∴a10＝14.9．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．10．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1<0，S ＝0. (1)求Sn 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使其满足an≥Sn. 解 (1)设公差为d ，则由S ＝0⇒ a1＋×2d ＝0⇒a1＋1007d ＝0， d ＝－11007a1，a1＋an ＝－n 1007a1， ∴Sn ＝n 2(a1＋an)＝n 2·－n 1007a1 ＝a1(n －n2)． ∵a1<0，n ∈N*，∴当n ＝1 007或1 008时，Sn 取最小值504a1. (2)an ＝1 008－n1 007a1，Sn≤an ⇔a12 014(2 015n －n2)≤1 008－n 1 007a1. ∵a1<0，∴n2－2 017n ＋2 016≤0， 即(n －1)(n －2 016)≤0， 解得1≤n≤.故所求n 的取值集合为{n|1≤n≤，n ∈N*}．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
高考数学模拟题复习试卷普通高等学校招生全国统一考试(II卷)理科数学6
高考数学模拟题复习试卷普通高等学校招生全国统一考试（II 卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知i )1()3(-++=m m z 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A. )1,3(-B. )3,1(-C. ),1(+∞D. )3,(--∞2. 已知集合A = {1,2,3}，B = {x | (x + 1)(x 2) < 0，x ∈Z}，则A ∪B =A. {1}B. {1,2}C. {0,1,2,3}D. {1,0,1,2,3}3. 已知向量a = (1, m)，b = (3,2)，且(a + b)⊥b ，则m =A. 8B. 6C. 6D. 84. 圆x2 + y2 2x 8y + 13 = 0的圆心到直线ax + y 1 = 0的距离为1，则a =A. 34-B. 43- C. 3D. 25. 如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最 短路径条数为 A. 24 B. 18 C. 12 D. 96. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. π20B. π24C. π28D. π327. 若将函数y = 2sin2x 的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A. )(62Z ∈-=k k x ππ B. )(62Z ∈+=k k x ππ C. )(122Z ∈-=k k x ππ D. )(122Z ∈+=k k x ππ 8. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。
执行该程序框图，若输入的x = 2，n = 2，依次输入的a 为2、2、5，则输出的s = A. 7 B. 12 C. 17 D. 349. ==-ααπ2sin 53)4cos(，则若A.257 B. 51C. 51- D. 257- 10. 从区间[0,1]随机抽取2n 个数x1、x2、…、xn 、y1、y2、…、yn ，构成n 个数对(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其中两数的平方和小于1的数共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π的近似值为A.m n 4 B. m n 2 C. n m 4 D. nm 2 11. 已知F1、F2是双曲线E ：12222=-b y a x 的左、右焦点，点M 在E 上，MF1与x 轴垂直，sin ∠MF2F1 =31，则E的离心率为A. 2B.23C. 3D. 2 12. 已知函数)(2)())((x f x f x x f -=-∈满足R ，若函数)(1x f y xx y =+=与图象的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xm,ym)，则=+∑=mi iiy x 1)(A. 0B. mC. 2mD. 4m二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．【热点题型】题型一 由数列的前几项求数列的通项例1、写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….【提分秘籍】根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．【举一反三】(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是an ＝________.(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an ＝________.题型二由数列的前n 项和Sn 求数列的通项例2 已知下面数列{an}的前n 项和Sn ，求{an}的通项公式：(1)Sn ＝2n2－3n ；(2)Sn ＝3n ＋b.【提分秘籍】数列的通项an 与前n 项和Sn 的关系是an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S1，n ＝1，Sn －Sn －1，n≥2.当n ＝1时，a1若适合Sn －Sn －1，则n ＝1的情况可并入n≥2时的通项an ；当n ＝1时，a1若不适合Sn －Sn －1，则用分段函数的形式表示．【举一反三】已知数列{an}的前n 项和Sn ＝3n2－2n ＋1，则其通项公式为________________．题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式例3 (1)设数列{an}中，a1＝2，an ＋1＝an ＋n ＋1，则通项an ＝________.(2)数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝3an ＋2，则它的一个通项公式为an ＝________.(3)在数列{an}中，a1＝1，前n 项和Sn ＝n ＋23an ，则{an}的通项公式为________．【提分秘籍】已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an ＝an －1＋m 时，构造等差数列；当出现an ＝xan －1＋y 时，构造等比数列；当出现an ＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现an an －1＝f(n)时，用累乘法求解． 【举一反三】(1)已知数列{an}满足a1＝1，an ＝n －1n ·an －1(n ≥2)，则an ＝________.(2)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝2an －1(n ∈N*)，则a5等于( ) A ．－16B ．16C ．31D ．32【高考风向标】【高考安徽，文13】已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于.1．（·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n ∈N*)满足anbn ＋1－an ＋1bn ＋2bn ＋1bn ＝0.(1)令cn ＝an bn ，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn ＝3n －1，求数列{an}的前n 项和Sn.2．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，an≠0，anan ＋1＝λSn －1，其中λ为常数．(1)证明：an ＋2－an ＝λ.(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．3．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1＝1，an ＋1＝3an ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是等比数列，并求{an}的通项公式； (2)证明1a1＋1a2＋…＋1an ＜32.4．（·重庆卷）设a1＝1，an ＋1＝a2n －2an ＋2＋b(n ∈N*)．(1)若b ＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a2n<c<a2n ＋1对所有n ∈N*成立？证明你的结论．5．（·安徽卷）如图1－3所示，互不相同的点A1，A2，…，An ，…和B1，B2，…，Bn ，…分别在角O 的两条边上，所有AnBn 相互平行，且所有梯形AnBnBn ＋1An ＋1的面积均相等，设OAn ＝an ，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．图1－36．（·辽宁卷）下面是关于公差d>0的等差数列{}an 的四个命题：p1：数列{}an 是递增数列；p2：数列{}nan 是递增数列；p3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n 是递增数列； p4：数列{}an ＋3nd 是递增数列．其中的真命题为( )A ．p1，p2B ．p3，p4C ．p2，p3D ．p1，p47．（·全国卷）等差数列{an}前n 项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．【高考押题】1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an 等于( )A.－1n ＋12B ．cos nπ2C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π2．已知数列{an}中，a1＝1，若an ＝2an －1＋1(n≥2)，则a5的值是( )A ．7B ．5C ．30D ．313．若数列{an}的通项公式是an ＝(－1)n(3n －2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－154．若Sn 为数列{an}的前n 项和，且Sn ＝n n ＋1，则1a5等于( ) A.56B.65C.130D ．305．已知数列{an}满足a1＝1，an ＋1an ＝2n(n ∈N*)，则a10等于( )A ．64B ．32C ．16D ．86．若数列{an}满足关系：an ＋1＝1＋1an ，a8＝3421，则a5＝________.7．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n ∈N*，都有a1·a2·a3·…·an ＝n2，则a3＋a5＝________.8．已知{an}是递增数列，且对于任意的n ∈N*，an ＝n2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．9．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝2n ＋1－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝an ＋an ＋1，求数列{bn}的通项公式．10．数列{an}的通项公式是an ＝n2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
若过点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。
3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.三．拔高题组1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3-<a 或1>aB ．23<aC ．13<<-a 或23>a D ．3-<a 或231<<a 2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=k （ ）A. 3B. 221 C. 22 D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A.（1，3)B. (1,4)C. (2, 3)D. (2, 4)5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．【热点题型】题型一 等差数列基本量的运算例1、(1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n ∈N*有2an ＋1＝1＋2an ，则数列{an}前10项的和为( )A ．2B ．10C.52D.54(2)(·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，Sm －1＝－2，Sm ＝0，Sm ＋1＝3，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 (1)C (2)C【提分秘籍】(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a1，an ，d ，n ，Sn ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【举一反三】(1)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15(2)记等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝12，S4＝20，则S6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48(3)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是( )A.12B ．1C ．2D ．3答案 (1)B (2)D (3)C解析 (1)由题意得S5＝5a1＋a52＝5a3＝25，故a3＝5，公差d ＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d ＝3＋5×2＝13.(2)∵S4＝2＋6d ＝20，∴d ＝3，故S6＝3＋15d ＝48.(3)∵Sn ＝n a1＋an 2，∴Sn n ＝a1＋an 2，又S33－S22＝1，得a1＋a32－a1＋a22＝1，即a3－a2＝2， ∴数列{an}的公差为2.题型二 等差数列的性质及应用例2、(1)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10(3)已知Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a1＝－，S －S ＝6，则S ＝________.答案 (1)B (2)A (3)解析 (1)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.【提分秘籍】在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；{Snn}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．【举一反三】(1)设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于()A．14B．21C．28D．35(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.答案(1)C(2)60解析(1)∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.题型三等差数列的判定与证明例3、已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明 因为an ＝2－1an －1(n≥2，n ∈N*)， bn ＝1an －1(n ∈N*)， 所以bn ＋1－bn ＝1an ＋1－1－1an －1＝12－1an －1－1an －1＝an an －1－1an －1＝1. 又b1＝1a1－1＝－52. 所以数列{bn}是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知bn ＝n －72， 则an ＝1＋1bn ＝1＋22n －7. 设f(x)＝1＋22x －7， 则f(x)在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数． 所以当n ＝3时，an 取得最小值－1，当n ＝4时，an 取得最大值3.【提分秘籍】等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n 都有an ＋1－an 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2an ＋1＝an ＋an ＋2后，可递推得出an ＋2－an ＋1＝an ＋1－an ＝an －an －1＝an －1－an －2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．(3)通项公式法：得出an ＝pn ＋q 后，得an ＋1－an ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出Sn ＝An2＋Bn 后，根据Sn ，an 的关系，得出an ，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．【举一反三】(1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n －1＋2a2n}是( )A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝12，2an ＋1＝1an ＋1an ＋2(n ∈N*)，则该数列的通项为( )A ．an ＝1nB ．an ＝2n ＋1C ．an ＝2n ＋2D ．an ＝3n答案 (1)C (2)A【高考风向标】【高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）（A ）172（B ）192（C ）10（D ）12 【答案】B【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 【高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为________ 【答案】5【解析】若这组数有21n +个，则11010n a +=，212015n a +=，又12112n n a a a +++=，所以15a =； 若这组数有2n 个，则1101022020n n a a ++=⨯=，22015n a =，又121n n n a a a a ++=+，所以15a =； 故答案为5【高考福建，文16】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．【答案】9【高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a =，d =．【答案】2,13- 【解析】由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 1．（·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.【答案】1【解析】因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又 a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q 的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q ＝1.2．（·北京卷）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n ＝________时，{an}的前n 项和最大．【答案】8【解析】∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0，∴n ＝8时，数列{an}的前n 项和最大．3．（·福建卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 【答案】C【解析】设等差数列{an}的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S3＝3×2＋3×22d ＝12，解得d ＝2，则a6＝a1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.4．（·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn>60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【解析】(1)设数列{an}的公差为d ， 依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，an ＝2；当d ＝4时，an ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{an}的通项公式为an ＝2或an ＝4n －2.5．（·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1，|an ＋1－an|＝pn ，n ∈N*. (1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a2n －1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式． 【解析】(1)因为{an}是递增数列，所以an ＋1－an ＝|an ＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此a2＝p ＋1，a3＝p2＋p ＋1.又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p ＝0，解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，an ＋1＝an ，这与{an}是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a2n －1}是递增数列，因而a2n ＋1－a2n －1>0，于是(a2n ＋1－a2n)＋(a2n －a2n －1)>0.① 因为122n <122n －1，所以|a2n ＋1－a2n|<|a2n －a2n －1|.②由①②知，a2n －a2n －1>0，因此a2n －a2n －1＝⎝⎛⎭⎫122n －1＝（－1）2n22n －1.③因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n ＋1－a2n<0，故a2n ＋1－a2n ＝－⎝⎛⎭⎫122n＝（－1）2n ＋122n .④ 由③④可知，an ＋1－an ＝（－1）n ＋12n. 于是an ＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an －an －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n 2n －1＝1＋12·1－⎝⎛⎭⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n 2n －1.故数列{an}的通项公式为an ＝43＋13·（－1）n2n －1.6．（·辽宁卷）设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( ) A ．d<0 B ．d>0 C ．a1d<0 D ．a1d>0 【答案】C【解析】令bn ＝2a1an ，因为数列{2a1an}为递减数列，所以bn ＋1bn ＝2a1an ＋12a1an ＝2a1(an ＋1－an)＝2a1d<1，所得a1d<0.7．（·全国卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝1anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.8．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，an≠0，anan ＋1＝λSn －1，其中λ为常数．(1)证明：an ＋2－an ＝λ.(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．9．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝(－1)n －14n anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.【解析】 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×12×2＝2a1＋2， S4＝4a1＋4×32×2＝4a1＋12，由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1， 所以an ＝2n －1. (2)由题意可知， bn ＝(－1)n －14nanan ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1.当n 为偶数时，Tn ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，Tn ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以Tn ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或Tn ＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋1 10．（·陕西卷）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C)； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．11．（·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．【答案】－12【解析】∵S2＝2a1－1，S4＝4a1＋4×32×(－1)＝4a1－6，S1，S2，S4成等比数列， ∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－12.12．（·重庆卷）设a1＝1，an ＋1＝a2n －2an ＋2＋b(n ∈N*)． (1)若b ＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a2n<c<a2n ＋1对所有n ∈N*成立？证明你的结论． 【解析】(1)方法一：a2＝2，a3＝2＋1. 再由题设条件知(an ＋1－1)2＝(an －1)2＋1.从而{(an －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(an －1)2＝n －1，即an ＝n －1＋1(n ∈N*)． 方法二：a2＝2，a3＝2＋1.可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想an ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即ak ＝k －1＋1，则ak ＋1＝（ak －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1， 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以an ＝n －1＋1(n ∈N*)．(2)方法一：设f(x)＝（x －1）2＋1－1，则an ＋1＝f(an)． 令c ＝f(c)，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14. 下面用数学归纳法证明命题 a2n<c<a2n ＋1<1.当n ＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝2－1，所以a2<14<a3<1，结论成立． 假设n ＝k 时结论成立，即a2k<c<a2k ＋1<1. 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f(c)>f(a2k ＋1)>f(1)＝a2，即 1>c>a2k ＋2>a2.再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f(c)<f(a2k ＋2)<f(a2)＝a3<1，故c<a2k ＋3<1，因此a2(k ＋1)<c<a2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 综上，存在 c ＝14使a2n<C<a2a ＋1对所有n ∈N*成立． 方法二：设f(x)＝（x －1）2＋1－1，则an ＋1＝f(an)． 先证：0≤an≤1(n ∈N*)． ① 当n ＝1时，结论明显成立． 假设n ＝k 时结论成立，即0≤ak≤1. 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f(1)≤f(ak)≤f(0)＝2－1<1.即0≤ak ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立． 再证：a2n<a2n ＋1(n ∈N*)． ②当n ＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝2－1，所以a2<a3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a2k<a2k ＋1. 由①及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得 a2k ＋1＝f(a2k)>f(a2k ＋1)＝a2k ＋2， a2(k ＋1)＝f(a2k ＋1)<f(a2k ＋2)＝a2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N*成立． 由②得a2n<a22n －2a2n ＋2－1， 即(a2n ＋1)2<a22n －2a2n ＋2， 因此a2n<14.③又由①②及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得f(a2n)>f(a2n ＋1)，即a2n ＋1>a2n ＋2. 所以a2n ＋1>a22n ＋1－2a2n ＋1＋2－1，解得a2n ＋1>14.④ 综上，由②③④知存在c ＝14使a2n<c<a2n ＋1对一切n ∈N*成立．13．（·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为( )图1－3A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π 【答案】A【解析】由三视图可知该组合体下半部分是一个半圆柱，上半部分是一个长方体，故体积为V ＝2×2×4＋12×π×22×4＝16＋8π.14．（·新课标全国卷Ⅰ] 设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若Sm －1＝－2，Sm ＝0，Sm ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C15．（·广东卷）在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________． 【答案】20【解析】方法一：a3＋a8＝2a1＋9d ＝10，而3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d ＝2(2a1＋9d)＝20. 方法二：3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)＝2(a3＋a8)＝20.16．（·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为An ，第n 项之后各项an ＋1，an ＋2，…的最小值记为Bn ，dn ＝An －Bn.(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N*，an ＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.【解析】(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.(2)(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤….因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1，2，3，…)．(必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1，2，3，…)．所以An＝Bn＋dn≤Bn.又因为an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1.于是，An＝an，Bn＝an＋1.因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，即{an}是公差为d的等差数列．17．（·全国卷）等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．【解析】设{an}的公差为d.由S3＝a22，得3a2＝a22，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得S22＝S1S4.又S1＝a2－d ，S2＝2a2－d ，S4＝4a2＋2d ，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d ＝0，此时Sn ＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d ＝0或d ＝2.因此{an}的通项公式为an ＝3或an ＝2n －1.18．（·山东卷）设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n 项和为Tn ，且Tn ＋an ＋12n ＝λ(λ为常数)，令cn ＝b2n(n ∈N*)，求数列{cn}的前n 项和Rn.【解析】(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧4a1＋6d ＝8a1＋4d ，a1＋（2n －1）d ＝2a1＋2（n －1）d ＋1， 解得a1＝1，d ＝2，因此an ＝2n －1，n ∈N*.(2)由题意知Tn ＝λ－n 2n －1，所以n≥2时，bn ＝Tn －Tn －1＝－n 2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1. 故cn ＝b2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝⎛⎭⎫14n －1，n ∈N*. 所以Rn ＝0×⎝⎛⎭⎫140＋1×⎝⎛⎭⎫141＋2×⎝⎛⎭⎫142＋3×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n －1，则14Rn ＝0×⎝⎛⎭⎫141＋1×⎝⎛⎭⎫142＋2×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －2)×⎝⎛⎭⎫14n －1＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ， 两式相减得34Rn ＝⎝⎛⎭⎫141＋⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －1－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝14－⎝⎛⎭⎫14n1－14－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n＝13－1＋3n 3⎝⎛⎭⎫14n，整理得Rn ＝194－3n ＋14n －1. 所以数列{cn}的前n 项和Rn ＝194－3n ＋14n －1. 19．（·四川卷） 在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n 项和．【解析】设该数列公差为d ，前n 项和为Sn ，由已知可得2a1＋2d ＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)， 所以a1＋d ＝4，d(d －3a1)＝0.解得a1＝4，d ＝0或a1＝1，d ＝3.即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n 项和Sn ＝4n 或Sn ＝3n2－n 2.20．（·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为________．【答案】－49【解析】由已知，a1＋a10＝0，a1＋a15＝103d ＝23，a1＝－3，∴nSn ＝n3－10n23，易得n ＝6或n ＝7时，nSn 出现最小值．当n ＝6时，nSn ＝－48；n ＝7时，nSn ＝－49.故nSn 的最小值为－49.21．（·重庆卷）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn 为其前n 项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．【答案】64【解析】设数列{an}的公差为d ，由a1，a2，a5成等比数列，得(1＋d)2＝1·(1＋4d)，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以S8＝8×1＋8（8－1）2×2＝64. 【高考押题】1．已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d 等于( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4答案 C解析 方法一 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋a1＋6d ＝－8，a1＋d ＝2，解得a1＝5，d ＝－3.方法二 a1＋a7＝2a4＝－8，∴a4＝－4，∴a4－a2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.2．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )A ．a1＋a101>0B ．a2＋a100<0C ．a3＋a99＝0D ．a51＝51答案 C解析 由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a101 ＝a1＋a1012×101＝0. 所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0.3．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37答案 C4．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n 项和Sn 的最大值为( )A ．S4B ．S5C ．S6D ．S7答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a4＋a7＝a5＋a6<0，a5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a5>0，a6<0， ∴Sn 的最大值为S5.5．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．84答案 C解析 由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60.6．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a22－4，则an＝________.答案2n－1解析设等差数列的公差为d，∵a3＝a22－4，∴1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d2＝4，即d＝±2.由于该数列为递增数列，故d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是________．答案6解析依题意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2>0，a7＝－1<0；又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6.8．已知数列{an}中，a1＝1且1an＋1＝1an＋13(n∈N*)，则a10＝________.答案1 4解析由已知1a10＝1a1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，∴a10＝14.9．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．10．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1<0，S ＝0.(1)求Sn 的最小值及此时n 的值；(2)求n 的取值集合，使其满足an≥Sn.解 (1)设公差为d ，则由S ＝0⇒a1＋×2d ＝0⇒a1＋1007d ＝0，d ＝－11007a1，a1＋an ＝－n 1007a1，∴Sn ＝n 2(a1＋an)＝n 2·－n 1007a1＝a1(n －n2)．∵a1<0，n ∈N*，∴当n ＝1 007或1 008时，Sn 取最小值504a1.(2)an ＝1 008－n 1 007a1，Sn≤an ⇔a12 014(2 015n －n2)≤1 008－n 1 007a1.∵a1<0，∴n2－2 017n ＋2 016≤0，即(n －1)(n －2 016)≤0，解得1≤n≤.故所求n 的取值集合为{n|1≤n≤，n ∈N*}．高考模拟复习试卷试题模拟卷。