测量准确度评估讲座7

测量准确度评估讲座

(7)

中国计量科学研究院 钱钟泰 童光球

哈尔滨理工大学 王学伟 马怀俭

中国计量学院 宋明顺 顾龙方

7-3 不等精度测量列的数据处理

对被测量Y 进行m 次不等精度测量,所得结果为Y i ±U(∆Y i )(i =1~m ),所有i 值的误差估计值U(∆Y i )的覆盖因子均相等。对这样测量列应用最小二乘方法可得出下列计权平均值的处理方法。 对数据Y i 取权p i 为:

p i ＝[1/U(∆Y i )]2／{s m

=∑1[1/U(∆Y s )]2} (7-11)

注意在这样取权的情况下有:

i m =∑1p i ＝1 (7-12)

则处理结果表示式将为: E m Λ

(Y )=i m =∑1p i Y i =E Ym (7-13)

σm Λ(E Ym )2=i m

=∑1[p i (Y i -E Ym )2]／(m -1)=S 0/m 2 (7-14)

σm Λ(∆Y i )2=S m (∆Y i )2＝S 0/m 2/p i ＝S i /m 2 (7-15) ν＝(m -1) (7-16) 这方法同样是应用最小二乘方法的处理结果,因此对任何分布的误差的数据都有效,这就是JJG1027-91“规范”4.7条的内容。 7-4 相关等精度测量列的数据处理

对Y 及∆Q 同时进行m 次测量等精度测量,得到测量列Y i 与∆Q i (i=1~m )；除分别可按(7-2)款处理出E Λ(Y )=Y m ,E Λ(∆Q )＝∆Q m ,S m (Y )及S m (∆Q )外,可按下式计算出两量的协方差Cov (Y ,∆Q )及相关系数ρ(Y ,∆Q )的估计值:

Cov m Λ(Y ,∆Q )=i m

=∑1[(Y i -Y m )(∆Q i -∆Q m )]/(m -1)

＝[i m =∑1Y i ∆Q i －(i m =∑1Y i )(i m

=∑1∆Q i )/m ]／(m -1) (7-17)

ρm Λ (Y ,∆Q )＝Cov m Λ(Y ,∆Q )／[S m (Y ) S m (∆Q )] (7-18)

上两式的自由度ν同样为(m-1)

此外,这可应用最小二乘方法,对Y和∆Q作回归直线的计算。这时测量方程组将为:

a+b∆Q i=Y i±∆Y(i=1~m)(7-19) 则最小二乘方法的处理结果为:

b mΛ=Cov mΛ(Y,∆Q)/[S m(∆Q)]2

a mΛ=E mΛ(Y)-

b mΛE mΛ(∆Q)(7-20)

而a mΛ和b mΛ的实验标准差及相关系数可通过两测量列的相关系数ρ(Y,∆Q)的估计值用下式表示。

b mΛ)＝b mΛ{{[1/ρmΛ(Y,∆Q)]2－1}/(m-2)}1/2

S(a mΛ)＝S(b mΛ){[E mΛ(∆Q)]2+(m-1)[S m(∆Q)]2/m}1/2

Λ(a mΛ,b mΛ)=-E mΛ(∆Q)S(b mΛ)/S(a mΛ)(7-21)

m

式(7-21)是由最小二乘方法用残差表示实验标准差的公式推导出来的,公式中的量都是变量Y和∆Q的统计参数,而不用计算残差,因此是一组很实用的公式。

还可计算出测量方程组误差∆Y的实验标准差S(∆Y)m值: S m(∆Y)＝S m(Y){[1-ρmΛ(Y,∆Q)2](m-1)／(m-2)}1/2(7-22) 这里指出,S m(∆Y)和S m(Y)并非同一量。S m(Y)反映的是Y对其期望值的分散性,而S m(∆Y)则反映量Y对回归直线偏离值的分散性,因此一般情况下有S m(∆Y)<

回归分析的自由度ν为(m-2),因为其未知量是a和b两个。

对于给定的量∆Q可用下式计算相应的量Y的估计值Y m/∆Q:

Y m/∆Q＝a mΛ+b mΛ∆Q(7-23)估计值Y m/∆Q的实验标准差S(Y m/∆Q)可用下式计算:

S(Y m/∆Q)=S(b mΛ)[(∆Q-∆Q m)2+(m-1)S m(∆Q)2/m]1/2(7-24)这是JJG1027-91“规范”第4.6条的内容,在这一“规范”第4条中给出的各种公式中大多数都是最小二乘方法的应用结果其估计值将为由争议时最后判断依据,并不受误差概率分布的约束。

7-5 对测量列自由度的规定

为保证数据处理结果有足够的可靠性,“规范”第4条要求测量列的自由度不得小于5,本办法要求遵照执行。

7-6 覆盖因子的选取及误差中心化极限值的计算

数据处理覆盖因子的选取已于5-2条中作了规定,将所选定的覆

盖因子乘以数据处理标准差估计值,即得相应的中心化极限值。

八、误差的综合方法

8-1. 误差项∆Y k期望估计值EΛ(∆Y k)的综合方法

当误差∆Y按式(3-2)分解成误差项∆Y k(k=1~n):

∆Y＝

k n =

∑

1

∆Y k(3-1) 将各误差项的期望值E(∆Y k)(k=1~n)分别独立估计为

EΛ(∆Y k)(k=1~n),其用式(8-1)表示的估计误差∆EΛk(k=1~n)的极限估计值为U0Λ(∆EΛk) (k=1~n)：

∆EΛk=EΛ(∆Y k)-E(∆Y k)(k=1~n)(8-1) 则误差∆Y的期望值E(∆Y)可估计为式(8-2)的EΛ(∆Y)其用式(8-3)表示的估计误差∆EΛ的极限值估计为式(8-4)的U0Λ(∆EΛ)。

EΛ(∆Y)＝

k n =

∑

1

EΛ(∆Y k)(8-2) ∆EΛ=EΛ(∆Y)-E(∆Y)(8-3)

U0Λ(∆EΛ)＝[

k n =

∑

1

U0Λ(∆EΛk)2]1/2(8-4) 8-2.独立误差项∆Y k中心化极限值U(∆Y k)的综合方法

当误差∆Y按式(3-1)分解成独立的误差项∆Y k(k=1~n),各误差

项的中心化极限值U(∆Y k)(k=1~n)分别估计为UΛ(∆Y k)(k=1~n),则误差∆Y的中心化极限值U(∆Y)可估计为式(8-5)的UΛ(∆Y):

UΛ(∆Y)＝K∆[

k n =

∑

1

UΛ(∆Y k)2]1/2(8-5) 式(8-5)表示的综合方法可称为扩展的方和根法,称式中的系数K∆为“扩大因子”。当按3-4款确定为主要组成项的概率分布清楚时,可按表8-1选择“扩大因子”K∆值,在这条件下式(8-5)表示的综合结果将是足够可靠的。出现按表8-1要求“扩大因子”K∆值大于1的情况的概率是可以忽略的,因此方和根法对于独立的误差项中心化极限值是普遍适用的。为提高综合结果的可靠性,在极限值允许扩大时, “扩大因子”K∆尽量采用1.2。

式(8-5)表示的综合方法可以看作是对“GUM93”规定的特殊执行办法。如果误差∆Y及误差项∆Y k(k=1~n)中心化变量的“覆盖因子”分别用K和K k(k=1~n)表示,即有式(8-6)和(8-7)。如果在执行“GUM 93”评定方法时“覆盖因子”K采用用示式(8-8)通过K k(k=1~n)表示的值,就