从“鸡兔同笼”问题教学得到的启示

从“鸡兔同笼”问题教学得到的启示

四川省德昌县乐跃九年制学校罗启华义务教育课程标准实验教科书人教版数学六年级上册第七单元“数学广角”中的教学内容“鸡兔同笼”问题，是一类有名的中国古算题，出自我国1500年前唐代的一部算书《孙子算经》中。原题如下：

“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”

翻译：有若干只鸡和兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？

小学教学常用假设法

分析：

假设这35头全是鸡，那么，脚应是2×35＝70(只)，比实际少94－70＝24(只)脚，这是因为1只兔有4只脚，把它看成是2只脚的鸡了，每只兔少算了2只脚，共少算了24只脚，24里面有几个2，就是几只兔。

解：(94－2×35)÷(4－2)

＝24÷2

＝12(只)---兔

35－12＝23(只)---鸡

答：鸡有56只，兔有24只。

也可以假设35只全是兔，解答如下：

解：(4×35－94)÷(4－2)

＝46÷2

＝23(只)---鸡

35－23＝12(只)---兔

答：鸡有56只，兔有24只。

基本思路：

①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。此类我们称之为“假设

法”，

基本公式：

①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

除了以上方法，在练习中还介绍了砍脚法，抬脚法等。其实单从实际生活中来说，鸡和兔不会关在同一笼子，即使关在一起，也一眼就分清鸡兔各有多少，为何还要去计算呢?这不是没有意义吗?

这些内容安排在这里有什么作用？这些策略蕴含着哪些重要的数学思想方法，又该如何向学生有效渗透这些重要的数学思想方法呢？从下面的延伸题

可知，这个内容重点在于引导学生体验方法策略的多样性，丰富感知，掌握基本的数学思考方法。

延伸题：1、小明参加一次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得10分，错一题扣5分，小明共得了70分，他做对了几道题？

分析：

假设他做对了10道题，那么应得10×10＝100(分)，而实际只得70分，少30分，这是因为每做错一题，不但得不到10分，反而倒扣5分，这样做错一题就会少10＋5＝15(分)，看30分里面有几个15分，就错了几题。

解：(10×10－70)÷(10＋5)

＝30÷15

＝2(道)---错题

10－2＝8(道)

答：他做对了8道题。

2、有面值5元和10元的钞票共100张，总值为800元。5元和10元的钞票各是多少张？

分析：

假设100张钞票全是5元的，那么总值就是5×100＝500(元)

与实际相差800－500＝300元

差的300元，是因为将10元1张的算作了5元的，每张少计算10－5＝5(元) 差的300元里面有多少个5元，就是多少张10元的钞票。

解：(800－5×10)÷(10－5)

＝300÷5

＝60(张)---10元面值

100－60＝40(张)答：有10元的钞票60张，5元的钞票40张

在数学教学中应逐渐让我们的学生学会以下解题方法：

1、由简到繁。将问题的数量适当缩小但不改变问题的结构，由于数量由大到小变化，为分析和解决问题提供了许多方便，同时又降低了难度，学生在解决问题的过程中，经历了由简到繁的思维过程，同时也获得了解决复杂问题的基本方法。

2、猜想方法。波利亚说过：“数学事实首先是被猜想，然后是被证实。”数学猜想是依据已有的材料或知识经验，对研究的数学对象（或数学问题）做出符合一定规律的推测性想象。猜想是一种在已有知识经验的基础上对问题进行直觉试探，从而形成某种假设的一种思维活动和思想方法。由于学生已经具备一定的生活经验和知识，他们会猜测出各种答案（直到全部猜对），这样的猜测不仅为解决问题指明了方向，还增强了学生的数感，发展了推理能力。

3、列举方法。有些实际问题往往无法一时建立合适的数学模型，就可利用已知条件用一一列举的方法将所有可能出现的结果呈现出来，通过比较，从中获得符合条件的答案，为数学模型的建立奠定基础。

4、画图方法。画图的思想方法已成为学生学习数学的一种需要。借助简单图形（示意图），不仅促进了学生形象思维和抽象思维的协调发展，还沟通了数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。运用画直观图的方法解决“鸡兔同笼”问题，有利于学生感悟数学解题策略，发展思维。

5、假设方法。假设思想是解决数学问题的重要思维方式之一。一些比较难的题目，通过恰当假设达到化难为易的目的，使解决问题收到意想不到的效果。

6、数形结合方法。数与形是数学研究的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”把复杂问题简单化，抽象问题具体化，促进学生形象思维与抽象思维协调发展，提高解决问题的能力。

数学思想是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识，数学方法则是数学思想的具体表现形式，数学思想和数学方法合在一起，称为数学思想方法。数学是知识与方法的有机结合，没有不包含思想方法的数学知识，也没有游离于数学知识之外的思想方法。可以说，数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是数学素养的重要内容之一。教学中我们必须深入钻研教材，充分挖掘教材中隐含的数学思想方法，注重展现结论的形成过程，引导学生积极参与，有意识地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的各种思想方法，并通过具体的过程来实现数学思想方法