高二上学期10月月考数学试题
山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024~2025学年高二10月质量检测卷数学（A 卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章～第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为（）A.B.C.D.2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）A. B. C. D.3.在长方体中，为棱的中点.若，，，则（）A. B. C. D.4.两平行直线，之间的距离为（ ）B.3D.5.曲线轴围成区域的面积为（ ）l (A (B l 6π3π23π56πC 2242110x y x y ++--=C ()2,1-()2,1-()4,2-()4,2-1111ABCD A B C D -M 1CC AB a = AD b =1AA c = AM =111222a b c -+ 111222a b c ++12a b c-+12a b c++ 1:20l x y --=2:240l x y -+=y =xA. B. C. D.6.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）A. B.D.37.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.8.在正三棱柱中，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）A.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试数学试题（时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在四面体中，已知点是的中点，记，则等于（ ）A. B.C. D.2.若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）A. B.C. D.3.若直线的一个法向量是，则该直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D.4.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）A. B. C. D.5.设是的二面角内一点，是垂足，，则的长度为（ ）A.B.56.对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ）A.四点共面B.四点共面ABCD E CD ,,AB a AC b AD c === BE 1122a b c -++ 1122a b c -+ 1122a b c -+ 1122a b c -++ αμ l vl αθcos v v μθμ⋅= cos v v μθμ⋅=sin v v μθμ⋅= sin v vμθμ⋅= AB )1a =- 30 60 120 150()()1,1,2,1,2,1a b =-=- a b ()1,1,1-555,,663⎛⎫- ⎪⎝⎭555,,636⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,424⎛⎫- ⎪⎝⎭P 120 l αβ--,,,PA PB A B αβ⊥⊥4,3PA PB ==AB O ,,A B C 2OP PA OB OC =-+ ,,,O A B C ,,,P A B CC.四点共面D.五点共面7.将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论不正确的是（）A.B.，所成角为C.为等边三角形D.与平面所成角为8.正方形的边长为12，其内有两点，点到边的距离分别为3，2，点到边的距离也分别是3和2.如图，现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合.则此时两点间的距离为（ ）二､多项选择题：体题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（ ）A.直线必过定点B.方程是直线的一般式方程C.直线的斜率为D.点到直线的距离为110.已知空间单位向量两两垂直，则下列结论正确的是（ ）A.向量与共线B.问量C.可以构成空间的一个基底,,,O P B C ,,,,O P A B C ABCD BD AC BD⊥AB CD 60︒ADC V AB BCD 60︒11ABB A ,P Q P 111,AA A B Q 1,BB AB AB 11A B ,P Q ()32y ax a a =-+∈R ()3,20Ax By C ++=10x ++=()5,3-20y +=,,i j k i j + k j - i j k ++ {},,i j i j k +-D.向量和11.如图，已知正六棱柱的底面边长为2，所有顶点均在球的球面上，则下列说法错误的是（ ）A.直线与直线异面B.若是侧棱上的动点，则C.直线与平面D.球的表面积为第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是__________.13.若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为__________.14.已知正三棱柱的底面边长为是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线的方程：（1）过定点；（2）斜率为.16.（本小题满分15分）如图，在四面体中，面是的中点，是i j k ++ k ABCDEF A B C D E F ''''-''O DE 'AF 'M CC 'AM MD +'AF 'DFE 'O 18π()1,2A -y kx b =+()1,6B --y kx b =+x 2,3,100y x x y mx ny =+=++=(),m n ABC A B C '-''P MN PM PN ⋅ l l ()3,4A -16ABCD AD ⊥,2,BCD AD M =AD P的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面.17.（本小题满分15分）如图所示，平行六面体中.（1）用向量表示向量，并求；（2）求18.（本小题满分17分）如图，在五棱锥中，平面是等腰三角形.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的大小.19.（本小题满分17分）如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为是边长为2的等边三角形，且，点在棱上运动（包括端点）.请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：BM Q AC3AQ QC=PQ∥BCD1111ABCD A B C D-111ππ1,2,,23AB AD AA BAD BAA DAA∠∠∠======1,,AB AD AA1BD1BD1cos,BD ACP ABCDE-PA⊥,ABCDE AB∥,CD AC∥,ED AE∥,45,24,BC ABC AB BC AE PAB∠====VPCD⊥PACPB PCD111ABC A B C-1,AC CC1,,D E CABC,D ABCV12AA=F11B C（1）若点为棱的中点，求点到平面的距离；（2）求锐二面角的余弦值的取值范围.F 11B C F BDE F BD E --滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试数学试题参考答案一､单选题1.A2.D3.B4.C5.D6.B7.D8.【答案】B【详解】解法一：如图建系设圆柱底面半径为，则，所以，则所以.解法二：如图，设过点且平行底面的截面圆心为，过点且平行底面的截面圆心为，设圆柱底面半径为，则，所以，则，.r 2π12r =6πr =33,3,,9ππQ P ⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭PQ =P 1O Q 2O r 2π12r =6πr =121122222π,,63πO P O Q PQ PO O O O Q +===++222211221212||22PQ PO O O O Q r O O PO O Q∴=++=++⋅ 222266π36262cos 336,ππ3πPQ ⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅⋅=⋅+∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9.AD 10.BCD.11.【答案】AC【详解】对于A ，如图①，连接，则，所以，所以直线与直线共面，故A 错误；对于B ，将平面沿着翻折到与平面共面的位置，得到矩形，如图②所示.因为底面边长为，所以则的最小值为，故B 正确；对于C ，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图①所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面的法向量为，则，即，令，得，所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则，故C 错误；对于D ，如图③，设球的半径为，根据对称性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的连线的中点处.，则，所以球的表面积，故D 正确.,AD A D ''AD ∥,A D A D ''''∥E F ''AD ∥E F ''DE 'AF 'ACC A ''CC 'CDD C ''ADD A ''2π2,3ABC ∠=AC =AM MD +'AD =='F ,,FA FD FF 'x y z ()(()()(2,0,0,,0,0,0,0,,A F F D E '-'(()(,0,,AF FD FE =''=-=- DFE '(),,m x y z = 00FD m FE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩ 00y x =⎧⎪⎨-++=⎪⎩1z =x =DFE ')m = AF 'DFE 'θ1sin 3θO R 12O O 1122,O C O O ==22222211922R OC O C O O ==+=+=O 294π4π18π2S R ==⨯=12.13.【答案】【详解】由解得把代入可得，所以，所以点到原点的距离当时等号成立，此时.所以点到原点的距离的最小值为14.【答案】【详解】由题意知内切球的半径为1，设球心为，则.因为.四､解答题15.【答案】（1）或.（2）或.【详解】（1）由题意知直线的斜率存在，设为则直线的方程为，它在轴，轴上的截距分别是，由已知，得，解得或.故直线的方程为或.（2）设直线在轴上的截距为，则直线的方程是，它在轴上的截距是，8-2,3,y x x y =⎧⎨+=⎩1,2.x y =⎧⎨=⎩()1,240mx ny ++=2100m n ++=102m n =--(),m n d ==4n =-2m =-(),m n []0,4O ()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+ ()2OP PO OM ON OM ON =+⋅++⋅ 2||1PO =- []0,4PM PN ⋅∈ 2360x y +-=83120x y ++=660x y -+=660x y --=l kl ()34y k x =++x y 43,34k k--+()43436k k ⎛⎫+⨯+=± ⎪⎝⎭123k =-283k =-l 2360x y +-=83120x y ++=l y b l 16y x b =+x 6b -由已知，得，所以.所以直线的方程为或.16.解法一：以为坐标原点，所在直线为z 轴，线段的延长线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，由题意得，因为，所以即即所以，所以又因为面BCD 的一个法向量为所以所以又因为面所以面.解法二：66b b -⋅=1b =±l 660x y -+=660x y --=D DA BD 2BD a =()()()10,2,0,0,0,2,0,0,1,0,,2B a A M P a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3AQ QC =34AQ AC = ()()3,,2,,24Q Q Q x y z x y -=-331,,442Q Q Q x x y y z ===331,,442Q x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭33,,044PQ x y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0,1n =0PQ n ⋅= PQ n⊥ PQ ⊄BCDPQ ∥BCD取的中点，连接，因为为BM 的中点，所以，所以平面，过作，交BC 于以为坐标原点，的方向分别为x 轴､y 轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为为中点，设则设点的坐标为.因为，所以.因为为的中点，故，又为的中点，故，所以又平面BCD 的一个法向量为，故，所以又平面BCD ，所以平面BC D.17.【答案】（1）2【详解】（1），BD O OP P OP ∥MD OP ⊥BCD O OE BD ⊥,E O ,,OE OD OP2,AD M =AD 2BD a=()()0,,2,0,,0A a B a -C ()00,,0x y 3AQ QC = 003131,,4442Q x a y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭M AD ()0,,1M a P BM 10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭00313,,0444PQ x a y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0,1n =0PQ n ⋅= PQ n⊥ PQ ⊄PQ ∥111,BD AD AA AB BD =+-= 111BD AD AB AD AA AB =-=+-则，所以.（2）由空间向量的运算法则，可得，因为且，因为是正方形，所以，则.18.【答案】（1）见详解（2）【详解】（1）证明：在中，因为，所以，因此故，所以，即又平面，所以.又平面，且，所以平面.又平面，所以平面平面.（或者建系求法向量，证明法向量垂直，略）（2）由（1）知两两相互垂直，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AB AA =+-=+++⋅-⋅-⋅ 111412*********=+++⨯⨯⨯--⨯⨯⨯=1BD = AC AB AD =+ 11,2AB AD AA ===11ππ,23BAD BAA DAA ∠∠∠===ABCD AC = ()()221111BD AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD AB AD AB ⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅ 22ππππ11cos121cos 21cos 111cos 22332=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯=111cos ,BD AC BD AC BD AC ⋅===⋅ π6ABC V 45,4,ABC BC AB ∠=== 2222cos458AC AB BC AB BC =+-⋅⋅= AC =222BC AC AB =+90BAC ∠= AB AC⊥PA ⊥,ABCDE AB ∥CD ,CD PA CD AC ⊥⊥,PA AC ⊂PAC PA AC A ⋂=CD ⊥PAC CDC PCD PCD ⊥PAC ,,AB AC AP ,,AB AC AP x y z如图所示的空间直角坐标系，由于是等腰三角形，所以.又，因此，.因为，所以四边形是直角梯形.因为，所以，因此，故，所以.因此.设是面的一个法向量，则，解得.取，得.又，设表示向量与平面的法向量所成的角，则，又因为，所以，因此直线与平面所成的角为.PAB V PA AB ==AC =()()0,0,0,A B ()(0,,0,0,C P AC ∥,ED CD AC ⊥ACDE 2,45,AE ABC AE ∠== ∥BC 135BAE ∠= 45CAE ∠= sin452CD AE =⋅== ()D (()0,,CP CD =-= (),,m x y z =PCD 0,0m CP m CD ⋅=⋅= 0,x y z ==1y =()0,1,1m =(BP =- θBP PCD m1cos 2m BP m BP θ⋅==⋅ π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3θ=PB PCD π619.【答案】（1（2）解法一：连接，因为在平面内的射影为，所以平面，由于平面，所以，由于三角形是等边三角形，所以，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，因为所以又因为为中点，所以所以设面的一个法向量为则令，则所以所以点到平面的距离为（2）因为在棱上（包括端点）设12⎡⎢⎣1DC 1C ABC D 1DC ⊥ABC ,AC BD ⊂ABC 11,DC AC DC BD ⊥⊥ABC BD AC ⊥BD ==1DC ==D 1,,DB DA DC x y z (())11,0,1,0,,0,2C C B E ⎛-- ⎝)11C B CB == 1B F 11B C 12F 12BF ⎛= ⎝ BDE ()111,,m x y z =1(0,,2BD ED ⎛== ⎝ 111000x BD m y ED m ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 11z =1y =()m = F BDE BF m m ⋅== F 11B C ()111,01C F C B λλ= ……因为，所以设平面的法向量为，令所以，设锐二面角为，则令，所以，设则二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，该二次函数单调递增，所以当时，该二次函数有最小值，当时，该二次函数有最大值，，即.所以锐二面角的余弦值的取值范围.解法二：（1）连接，因为在平面内的射影为，所以平面，由于平面，所以，)11C B = )1,,0C F λ=BDF ()222,,n x y z = 11,,0),DF DC C F λλ=+=+= 22220000DF n x y x DB n λ⎧⋅=++=⎪⇒⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 2y =2z λ=-()m λ=- F BD E --θ1cos 2θ=[]()32,3t t λ-=∈cos θ==111,,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭cos θ=221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭14s =11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦13s =21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭12s =2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭⎡⎣1cos 2θ⎡∈⎢⎣F BD E --12⎡⎢⎣1DC 1C ABC D 1DC ⊥ABC ,AC BD ⊂ABC 11,DC AC DC BD ⊥⊥由于三角形是等边三角形，所以，又以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，又，故，则设平面的法向量为，则，故可设，又，所以点到平面的距离为.（2）设，则，设平面的法向量为，则令，所以，所以，设锐二面角为，ABC ,BD AC BD ⊥==1DC ==D 1,,DCDB DCx yz (()()11,1,0,0,,2C C E B ⎛ ⎝()11C B CB ==-(11,2B F ⎛-- ⎝()1,,2DE DB ⎛== ⎝ BDE ()111,,m x y z =1111020m DE x z m DB ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩ ()m = 1,2BF ⎛=- ⎝ F BDE BF m m ⋅== ()()1111101,C F C B C B λλ=≤≤=- (()(11111DF DC C F DC C B λλλ=+=+=+-=- BDF ()222,,n x y z =22220000DF n x y y DB n λ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 2x =2z λ=)n λ=F BD E --θ则令，所以，设则二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，该二次函数单调递增，所以当时，该二次函数有最小值，当时，该二次函数有最大值，，即.所以锐二面角的余弦值的取值范围.1cos 2θ=[]()32,3t t λ-=∈cos θ==111,,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭cos θ=221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭14s =11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦13s =21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭12s =2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭⎡⎣1cos 2θ⎡∈⎢⎣F BD E --12⎡⎢⎣。
安徽省阜阳市红旗中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)数学试题
安徽省阜阳市红旗中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题一、单选题1．设,x y ∈R ，向量(),1,1a x =r ，()1,,1b y =r ，()2,4,2c =-r ，且a b ⊥r r ，//b c r r ，则a b +r r 等于（ ） A．BC ．3D ．42．已知向量()()2,1,3,4,2,a b t =-=-r r的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．()10,66,3∞⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭C ．10,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．()10,66,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U3．当直线():10,0x yl a b a b+=>>过点()1,4P ，当a b +取得最小值时，直线l 的方程为：（ ）A ．50x y +-=B ．480x y +-=C ．260x y +-=D ．290x y +-=4．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且6AB AP ==，2AD =，60BAD BAP DAP ∠=∠=∠=︒，E ，F 分别为PB ，PC 上的点，且2PE EB =u u u r u u u r ，PF FC =u u ur u u u r ，EF =u u u r （ ）A ．1BC ．2 D5．点()11,M x y 在函数e x y =的图象上，当[)10,1x ∈时，1111y x +-可能等于（ ） A ．1-或2-B ．1-或3-C ．2-或3-D ．06．已知直线l 过点()0,3，30y -+=及x 轴围成等腰三角形，则l 的方程为（ ）A 30y +-=B 390y -+=30y -+=C 30y -+=D 30y +-=390y -+=7．在正三棱锥P ABC -中，AB ==且该三棱锥的各个顶点均在以O 为球心的球面上，设点O 到平面P AB 的距离为m ，到平面ABC 的距离为n ，则nm=（ ）A ．3BC D 8．古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若1AA 垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，13AA =，4AB =，2CD =，E 为弧11A B 的中点，则直线CE 与平面1DEB 所成角的正弦值为（ ）A B C D二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．23(R)y ax a a =-+∈直线必过定点(2,3)B ．直线12y x +=在y 轴上的截距为1C ．直线30x +=的倾斜角为150︒D ．点(2,3)(3,2)A B ---，，直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是34m ≤或4≥m10．已知单位向量i r ，j r ，k r 两两所成的夹角均为θ（0πθ<<，且π2θ≠），若空间向量a r满足(),,R a xi yj zk x y z =++∈r r r r ，则有序实数组(),,x y z 称为向量a r在“仿射”坐标系O zyz -（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(),,a x y z θ=r，则下列命题正确的有（ ）A ．已知(2,0,1)a θ=-r ，(1,0,2)b θ=r ，则0a b ⋅=r rB ．已知111(,,)a x y z θ=r ，222(,,)b x y z θ=r ，则121212(,,)a b x x y y z z θ-=---rrC ．已知3π(1,0,0)OA =u u u r ，3π(0,1,0)OB =u u u r ，3π(0,0,1)OC =u u u r，则三棱锥O ABC -的体积V =D ．已知π3(,,0)a x y =r，π3(0,0,)b z =r，其中0xyz ≠，则当且仅当x y =，向量a r ，b r 的夹角取得最小值11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点Q 为1C D 的中点，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），过点P 作1PE C D ⊥，点E 为垂足，再过点E 作1EQ CD ⊥，点1Q 为垂足．则（ ）A ．PE ⊥平面11ABC DB ．三棱锥1Q BCP -体积的最大值为124C ．存在点P 使得1//PQ 平面11AB C DD ．存在点P 使得1PQ PQ ⊥三、填空题12．若直线30mx ny ++=在y 轴上的截距为－3y -=角的2倍，则m =，n =．13．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线. 已知ABC V 的顶点()1,0A ，()0,2B ，且AC BC =，则ABC V 的欧拉线的一般式方程为.14．某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为6m 的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中2m AA BB CC DD ''''====），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面ABCD 是正方形，从顶点P 向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为．四、解答题15．已知直线1l ：()1210a x y +--=，直线2l ：()()21210a x a y ---+= (1)若12l l //，求实数a 的值； (2)若12l l ⊥，求实数a 的值．16．已知直线()1:340l kx y k k ---=∈R 过定点P .(1)求过点P 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程；(2)若直线l 过点P 且交x 轴正半轴于点A ，交y 轴负半轴于点B ，记ABC V 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值，并求此时直线l 的方程.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，2,1,,PD AD PD DA PD DC ==⊥⊥，底面ABCD 为正方形，,M N 分别为,AD PD 的中点．(1)求证：PA ∥平面MNC ；(2)求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值；(3)求点B 到平面MNC 的距离．18．如图，在平面四边形ABCD 中，//AB DC ，ABD △是边长为2的正三角形，3,DC O =为AB 的中点，将AOD △沿OD 折到POD V 的位置，PC =(1)求证：PO BD ⊥；(2)若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PDC 所成角的正弦值.19．如图所示，半圆柱1OO 与四棱锥A BCDE -拼接而成的组合体中，F 是半圆弧BC 上（不含,B C ）的动点，FG 为圆柱的一条母线，点A 在半圆柱下底面所在平面内，122,OB OO AB AC ====(1)求证：CG BF ⊥；(2)若//DF 平面ABE ，求平面FOD 与平面GOD 夹角的余弦值； (3)求点G 到直线OD 距离的最大值.。
天津市2023-2024学年高二上学期10月第一次月考数学试题含解析
2023-2024天津市高二年级第一学期第一次阶段性检测数学试卷（答案在最后）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共9个小题，每题5分，共45分.）1.直线0x +-=的倾斜角为()A.6πB.4π C.23π D.56π【答案】D 【解析】【分析】根据直线方程求出直线斜率，再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角．【详解】0x +-=可化为：83y x =-+，∴直线的斜率为3-，设直线的倾斜角α，则tan 3α=-，∵[)0,πα∈，∴5π6α=．故选：D ．2.3a =-是直线()1:130l ax a y +--=与直线()()2:12320l a x a y -++-=互相垂直的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线互相垂直求出a 的值，从而判断结论.【详解】因为直线()1:130l ax a y +--=与直线()()2:12320l a x a y -++-=互相垂直，所以()()()11230a a a a -+-+=，解得1a =或3a =-，所以3a =-是直线()1:130l ax a y +--=与直线()()2:12320l a x a y -++-=互相垂直的充分不必要条件.故选：A .3.设x ，y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===- ，且,a c b c ⊥ ∥，则|2|a b +=（）A.B. C.3D.【答案】B 【解析】【分析】由向量的关系列等式求解x ，y 的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果.【详解】解：向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥ ∥，∴2420124a c x y⋅=-+=⎧⎪⎨=⎪-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩∴2(21,2,3)(3,0,3)a b x y +=++=，∴|2|a b +==B 正确.故选：B ．4.圆2240x x y -+=与圆22430x y x +++=的公切线共有A.1条 B.2条C.3条D.4条【答案】D 【解析】【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线．【详解】2240x x y -+=⇒222(2)2x y -+=圆心坐标为（2，0）半径为2；22430x y x +++=⇒222(2)1x y ++=圆心坐标为(2,0)-，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故本题选D.【点睛】本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数．解决的方法就是利用圆的标准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系．5.已知点M 是圆22:1C x y +=上的动点，点()2,0N ，则MN 的中点P 的轨迹方程是（）A.()22114x y -+=B.()22112x y -+=C.()22112x y ++=D.()22114x y ++=【答案】A 【解析】【分析】设出线段MN 中点的坐标，利用中点坐标公式求出M 的坐标，根据M 在圆上，得到轨迹方程．【详解】设线段MN 中点(,)P x y ，则(22,2)M x y -．M 在圆22:1C x y +=上运动，22(22)(2)1x y ∴-+=，即221(1)4x y -+=．故选：A ．【点睛】本题考查中点的坐标公式、求轨迹方程的方法，考查学生的计算能力，属于基础题．6.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C所成角的余弦值是A.32B.12C.14D.0【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,)B，)12B ，()0,1,0C ，向量)12A B =-,()12B C =-，11cos ,A B B C <> 1111A B B C A B B C ⋅=⨯=14=.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.圆223x y +=与圆223330x y x y m +-+-=的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则m 的值为（）A.3-B.1- C.3D.3或1-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，联立两个圆的方程，可得两圆的公共弦所在的直线的方程，由直线的方程可得该直线与x ,y 轴交点的坐标，进而可得1|1||1|22m m ⨯-⨯-=，解可得m 的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆223x y +=与圆223330x y x y m +-+-=，即2222303330x y x y x y m ⎧+-=⎨+-+-=⎩，两式相减可得：10x y m -+-=，即两圆的公共弦所在的直线的方程为10x y m -+-=，该直线与x 轴的交点为(1,0)m -，与y 轴的交点为(0,1)m -，若公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则有1|1||1|22m m ⨯-⨯-=，变形可得：2(1)4m -=，解可得：3m =或1-；故选：D8.已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =A.2B. C.6D.【答案】C 【解析】【详解】试题分析：直线l 过圆心，所以1a =-，所以切线长6AB ==，选C.考点：切线长9.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是A. B. C. D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()124πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分）10.在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于______________．【答案】【解析】【分析】利用圆的弦长公式，结合点线距离公式即可得解.【详解】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径2r =，它到直线3450x y +-=的距离1d ==，所以弦AB的长AB ==故答案为：11.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=.则yx的最大值为_____________.【解析】【分析】当直线y kx =与圆相切时，k 取得最值，利用切线的性质求出k ；【详解】解：设圆22:410C x y x +-+=，即22(2)3x y -+=．设yk x=，则当直线y kx =与圆C 相切时，直线斜率最大或最小，即k 最大或最小．如图所示：设直线y kx =与圆C 切于第一象限内的点A，则AC =2OC =，1OA ∴=，tan ACk AOC OA∴=∠==，由图象的对称性可知当y kx =与圆C相切于第四象限内时，k =∴yx．【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，点到直线的距离公式的应用，直线和圆相切的性质，属于中档题．12.直线12:310,:2(1)10l ax y l x a y ++=+++=，若12//l l ，则a 的值为______；此时1l 与2l 的距离是______.【答案】①.3-②.12【解析】【分析】由直线平行的判定列方程求参数a ，注意验证排除重合的情况，再根据平行线距离公式求距离.【详解】由12//l l ，则(+1)=6a a ，即2+6=(+3)(2)=0a a a a --，可得3a =-或=2a ，当3a =-时，12:3+3+1=0,:22+1=0l x y l x y --，符合题设；当=2a 时，12:2+3+1=0,:2+3+1=0l x y l x y 为同一条直线，不合题设；综上，3a =-，此时1211:=0,:+=032l x y l x y ---，所以1l 与2l 的距离11|+|2312d .故答案为：3-，1213.如图，在平行六面体中，2AB =，1AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160DAA BAA ∠=∠=︒，点M 为棱1CC 的中点，则线段AM 的长为______．【答案】【分析】利用向量数量积求得向量AM的模，即可求得线段AM 的长【详解】112AM AB BC CM AB AD AA =++=++则AM ==即线段AM14.已知()0,3A ，点P 在直线30x y ++=，圆C ：22420x y x y +--=，则PA PC +最小值是______.【答案】【解析】【分析】求出点A 关于直线30x y ++=的对称点B 的坐标，可得PA PC +的最小值BC .【详解】因为22:420C x y x y +--=可转化为：22(2)(1)5x y -+-=，则圆心为()2,1C ，半径为r =.设A 关于直线30x y ++=的对称点B 的坐标为(),a b ，则：3302231a b b a +⎧++=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得63a b =-⎧⎨=-⎩，即()6,3B --，所以+=+PA PC PB PC 的最小值是==BC故答案为：15.若直线220kx y k ++-=与曲线1x =有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是【答案】[),15,3⎛⎫-∞--⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】1x +=，表示圆心为()1,1C ，半径2r =，在直线1x =及右侧的半圆，作出直线220kx y k ++-=与半圆，利用数形结合即得．【详解】方程220kx y k ++-=是恒过定点(2,2)P -，斜率为k -的直线，1x +=，即22(1)(1)4(1)x y x -+-=≥，表示圆心为()1,1C ，半径2r =，在直线1x =及右侧的半圆，半圆弧端点(1,1),(1,3),A B -在同一坐标系内作出直线220kx y k ++-=与半圆22:(1)(1)4(1C x u x -+-=≥)，如图，当直线220kx y k ++-=与半圆C2=，且0k ->，解得2613k -=+，又5PB k =-，所以13k ->+或5k -≤-，所以13k <--或5k ≥．故答案为：[),15,3⎛⎫-∞--⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．三、解答题.（本大题共5小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知a ，b ，c 分别为锐角三角形ABC 三个内角,,A B C 2sin a C =．（1）求A ；（2）若a =2b =，求c ；（3）若2cos 3B =，求()cos 2B A +的值．【答案】（1）π3（2）3（3）141518+-【解析】【分析】（1）根据题意由正弦定理以及锐角三角形可得π3A =；（2）利用余弦定理解方程可得3c =；（3）根据二倍角以及两角和的余弦公式即可计算出()1cos 218B A ++=-.【小问1详解】由于π02C <<，所以sin 0C ≠，2sin a C =2sin sin C A C =，所以sin 2A =，且三角形ABC 为锐角三角形，即π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以π3A =.【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理知2222471cos 242b c a c A bc c +-+-===，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），故3c =.【小问3详解】由2cos 3B =，可得sin 3B =，所以22451cos 2cos sin 999B B B =-=-=-，2sin 22sin cos 2339B B B ==⨯⨯=()114531415cos 2cos 2cos sin 2sin 929218B A B A B A ++=-=-⨯-⨯=-，即()1cos 218B A ++=-17.如图，在三棱台111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，111112A A A B AC ===，侧棱1A A ⊥平面ABC ，点D 是棱1CC 的中点.（1）证明：1BB ⊥平面1AB C ；（2）求点1B 到平面ABD 的距离；（3）求点C 到直线1B D 的距离.【答案】（1）见解析（2）5（3）7【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直；（2）利用向量法求由点到面的距离公式求解；（3）利用向量中点到直线的距离公式求解.【小问1详解】以点A 为原点，分别以AB ，AC ，1AA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()4,0,0B ，()0,4,0C ，()10,0,2A ，()12,0,2B ，()10,2,2C ，()0,3,1D ，()12,0,2BB =- ，()12,0,2AB =u u u u r ，11440BB AB ⋅=-+= ，10BB AC ⋅= ，∴11BB AB ⊥，1BB AC ⊥，又∴1AB AC A = ，1AB ，AC ⊂平面1AB C ，∴1BB ⊥平面1AB C【小问2详解】设平面ABD 的法向量(),,m x y z = ，取()4,0,0AB = ，()0,3,1AD = 则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即4030x y z =⎧⎨+=⎩，故03x z y =⎧⎨=-⎩令1y =，解得0x =，3z =-故平面ABD 的一个法向量()0,1,3m =- ，点1B 到平面ABD的距离15m d AB m⋅=== .【小问3详解】()12,3,1B D =-- ，()0,1,1CD =- ，∴11CD B D B D⋅== ∴点C 到直线1B D距离7d ===.18.求满足下列条件的直线方程.(1)过点()2,4M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程；(2)已知()3,3A -，()1,1B ，两直线1:240l x y -+=，2:4350l x y ++=交点为P ，求过点P 且与,A B 距离相等的直线方程；(3)经过点()2,1M ，并且与圆2268240x y x y +--+=相切的直线方程.【答案】（1）20x y -=或60x y +-=；（2）20x y +=或30x y -+=；（3）4350x y --=或2x =..【解析】【分析】（1）根据题意，分直线l 过原点和直线l 不过原点时，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解；（2）联立方程组求得()2,1P -，分直线l 过点P 且与AB 平行和直线l 过点P 和AB 中点N ，求得直线l 的斜率，结合点斜式方程，即可求解；（3）根据题意，求得圆心()3,4O ，半径1r =，分切线斜率存在和切线斜率不存在，两种情况讨论，求得切线的方程，即可得到答案.【详解】解：（1）当直线l 过原点时，可得所求直线为2y x =，即20x y -=，满足题意；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x y a a +=，其中0a ≠，代入()2,4M ，可得241a a+=，解得6a =，所以所求直线l 的方程为166x y +=，即60x y +-=，综上可得，直线l 的方程为20x y -=或60x y +-=.（2）由题意，联立方程组2404350x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，所以()2,1P -，当直线l 过点P 且与AB 平行，可得2142AB k ==--，即直线l 的斜率12l k =-，所以直线l 的方程()1122y x -=-+，即20x y +=；当直线l 过点P 和AB 中点N ，因为()3,3A -，()1,1B ，可得()1,2N -，则111PN k ==，所以直线l 的方程12y x -=+，即30x y -+=，综上，满足条件直线方程为20x y +=或30x y -+=.（3）将圆的方程，化为()()22341x y -+-=，可得圆心()3,4O ，半径1r =，将点()2,1M 代入，可得()()2223141-+->，所以点M 在圆外，①当切线斜率存在时，设切线方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，1==，解得43k =，所以所求直线的方程为481033x y --+=，即4350x y --=；②当切线斜率不存在时，此时过点()2,1M 的直线方程为2x =，此时满足圆心到直线2x =的距离等于圆的半径，即直线2x =与圆相切，符合题意，综上可得，所求切线为4350x y --=或2x =.19.如图所示，直角梯形ABCD 中，AD BC ∕∕，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，CF =EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：DF ∕∕平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面EFB 夹角的余弦值；（3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为4，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）53131（3）存在，2BP =【解析】【分析】（1）取BC 中点G ，连接DG ，证明DA 、DG 、DE 两两垂直，建立空间直角坐标系，先证明直线向量与平面法向量数量积为零，进而证明直线与平面平行；（2）利用向量法即可求出二面角的余弦值；（3）假设存在，设(),01DP DF λλ=≤≤，利用向量法根据线面角求出λ，从而可得出答案.【小问1详解】证明：取BC 中点G ，连接DG ，因为112BG BC AD ===，又因为//AD BC ，所以四边形ABGD 为平行四边形，所以DG AB ∕∕，又因为AB AD ⊥，所以DA DG ⊥，因为四边形EDCF 为矩形，所以ED CD ⊥，又因为平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF ⋂平面ABCD CD =，所以ED ⊥平面ABCD ，又,DA DG ∈平面ABCD ，所以ED DA ⊥，ED DG ⊥，于是DA 、DG 、DE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()((1,0,0,1,2,0,,1,2,A B E F -，则(0AB = ，2，0)，(1AE =- ，0，(1DF =- ，2，设平面ABE 的法向量为(m x =，y ，)z，200AB m y AE m x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1z =，m = ，0，1)，因为0DF m ⋅== ，所以DF m ⊥ ，又因为DF ⊂平面ABE ，所以DF ∕∕平面ABE ；【小问2详解】解：(1BE =- ，2-，(2BF =- ，0，设平面BEF 的法向量为(n a =，b ，)c，2020BE n a b BF n a ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取n =，4)，cos ,31m n m n m n ⋅===⋅ ，所以平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为53131；【小问3详解】假设存在，设(),01DP DF λλ=≤≤，则(),2DP DF λλλ==- ，()1,2,0BD =--所以()1,2BP BD DF λλ=+=--- ，因为直线BP 与平面ABE所成角的正弦值为4，所以cos ,4BP m BP m BP m ⋅=== ，解得12λ=或14，当12λ=时，33,1,22BP ⎛=-- ⎝⎭，2BP =，当14λ=时，533,,424BP ⎛=-- ⎝⎭，2BP =，所以存在点P ，使得直线BP 与平面ABE所成角的正弦值为4，2BP =.20.已知圆M与直线340x -+=相切于点(，圆心M 在x 轴上．（1）求圆M 的标准方程；（2）若直线()()():21174l m x m y m m +++=+∈R 与圆M 交于P ，Q 两点，求弦PQ 的最短长度；（3）过点M 且不与x 轴重合的直线与圆M 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 分别与直线=8x 相交于C ，D 两点，记OAB △，OCD 的面积为1S ，2S ，求12S S 的最大值．【答案】（1）22(4)16x y -+=（2）（3）12S S 的最大值为14【解析】【分析】（1）设圆的方程为222()x a y r -+=，再由直线340x +=与圆相切于点，可得关于a 与r 的方程组，求得a 与r 的值，则圆M 的方程可求；（2）直线(21)(1)74()m x m y m m R +++=+∈恒过定点(3,1)，且该点在圆内，当直线截圆的弦以定点(3,1)为中点时，弦长最短；（3）由题意知，π2AOB ∠=，设直线OA 的方程为=y kx ，与圆的方程联立求得A 的坐标，同理求得B 的坐标，进一步求出C 与D 的坐标，写出12S S ，利用基本不等式求最值．【小问1详解】解：由题可知，设圆的方程为222()x a y r -+=，由直线340x +=与圆相切于点，得22(1)+7=11a r a⎧-⎪⎨-⎪-⎩，解得=4a ，4r =，∴圆的方程为22(4)16x y -+=；【小问2详解】解：由直线:(21)(1)74(R)l m x m y m m +++=+∈有：(27)(4)0m x y x y +-++-=；得2+7=0+4=0x y x y -⎧⎨-⎩，即=3=1x y ⎧⎨⎩即直线l 恒过定点(3,1)；又22(34)1216-+=<，即点(3,1)在圆C 内部；圆C 的圆心为(4,0)C ；设直线l 恒过定点(3,1)P ；当直线l 与直线CP 垂直时，圆心到直线的距离最长，此时弦长最短；此时||CP ===【小问3详解】解：由题意知，π2AOB ∠=，设直线OA 的斜率为(0)k k ≠，则直线OA 的方程为=y kx ，由22=+8=0y kx x y x ⎧⎨-⎩，得22(1)80k x x +-=，解得=0=0x y ⎧⎨⎩或228=1+8=1+x k k y k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，则点A 的坐标为2288(,)11k k k ++，又直线OB 的斜率为1k-，同理可得：点B 的坐标为22288(,)11k k k k-++由题可知：8(8,8),(8,C k D k-，∴12||||||||.||||||||S OA OB OA OB S OD OC OC OD ==，又 228||11||81A C x OA k OC x k+===+，同理22||||1OB k OD k =+，∴2142222221112141222S k S k k k k k k==++++⋅+ ．当且仅当||1k =时等号成立．∴12S S 的最大值为14．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查含参直线过定点问题及直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．。
江西省宜春市宜春中学2024-2025学年高二上学期10月第一次月考数学试题(含答案)
2026届高二上学期第一次月考数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、准考证号等信息。
2．请将答案正确填写在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设直线的倾斜角为，则的值为（）AB ．CD ．2．已知直线和，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知圆与轴相切，则（ ）A ．1B ．0或C ．0或1D ．5．如图所示，在四面体中，点是的中点，记，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．6．在圆锥中，轴截面为腰长为的等腰直角三角形，为底面圆上一点，且为线段上一动点，为等腰三角形，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．:220l x y -+=αcos α1:70l x my ++=()2:2320l m x y m -++=1m =-12l l ∥()()1,2,1,1,,1a b x =-=-abx ()2,1-(),1-∞()(),22,1-∞-- ()1,+∞()22420x y mx my m m ++-+=∈R x m =1414A BCD -E CD ,AB a AC b == AD c = BE1122a b c-++ 1122a b c-+1122a b c-+ 1122a b c-++ SO SAC △B E AB ABC △SE CE +)21+)22+7．已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（ ）ABCD8．已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
湖北云学名校联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项考试时间：2024年10月15日15：00-17：00 时长：120分钟满分：150分是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（ ）A. i −B. iC. 1−D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果.【详解】根据复数的乘方可知()50620254i i i i =⋅=，则()()()()20253i 1i 3i 3i32i 12i 1i 1i1i 1i 2+−++−+====−+++−，其虚部为1−. 故选：C2. 已知一组数据：2，5，7，x ，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 6.5C. 6D. 5.5【答案】B 【解析】【分析】先根据平均数求x 的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值. 【详解】因为2571065x ++++=⇒6x =.所以数据为：2，5，6，7，10.又因为560%3×=，所以这组数据的第60百分位数为：676.52+=. 故选：B3. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A 0 B. 1C. 0或1D.13或1 【答案】C.【分析】根据两直线垂直的公式12120A A B B +=求解即可. 【详解】因为1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=垂直， 所以()()3210a a a −+−=， 解得0a =或1a =，将0a =，1a =代入方程，均满足题意， 所以当0a =或1a =时，12l l ⊥. 故选：C .4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（ ）1.4≈1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m【答案】D 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再在Rt ABC △中求AB 即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，所以135CBD ∠=°，又48CD =，由正弦定理得：sin sin CD CBCBD CDB=∠∠⇒12CB=⇒CB =在Rt ABC △中，tan 60AB BC =°=24 1.4 1.7≈××57.12=. 故选：D5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 在圆上D. P 与圆的位置关系不确定 【答案】A 【解析】224a b ∴+，所以点(),a b 在圆外考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】以{},,AB AC AD 为基底，表示出PQ，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图：以{},,AB AC AD 为基底，则6AB AC AD ===，60BAC BAD CAD ∠=∠=∠=°，所以66cos 6018AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=××°=.因为()1223PQ AQ AP AC AD AB =−=+− 211322AB AC AD =−++. 所以22211322PQ AB AC AD =−++222411221944332AB AC AD AB AC AB AD AC AD =++−⋅−⋅+⋅ 169912129=++−−+19=.所以PQ =.故选：D7. 下列命题中正确的是（ ）A. 221240z z +=，则120z z ==； B. 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面；C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件； D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310； 【答案】D 【解析】【分析】举反例说明ABC 不成立，根据古典概型的算法判断D 是正确的.【详解】对A ：若1i z =，22z =，则221240z z +=，但120z z ==不成立，故A 错误； 对B ：如图：四面体S PRT −中，Q 是棱PR 上一点，则点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，但点P 、Q 、R 、S 、T 不共面，故B 错误； 对C ：掷1枚骰子，即事件A ：点数为奇数，事件B ：点数不大于3， 则()12P A =，()12P B =，()()1P A P B +=，但事件A 、B 不互斥，也不对立，故C 错误； 对D ：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有35C 10=种选法， 这三条线段能构成一个三角形的的选法有：{}3,5,7，{}3,7,9，{}5,7,9共3种， 所以条线段能构成一个三角形的的概率为：310P =，故D 正确. 故选：D8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（ ）A. 2πB.4π3C.D.【解析】【分析】结合图形，计算出||BQ =，由点Q ∈平面11BCC B ，得出点Q 的轨迹为圆弧 EQF，利用弧长公式计算即得.【详解】如图，易得AB ⊥平面11BCC B ,因BQ ⊂平面11BCC B ，则AB BQ ⊥，不妨设||BQ r =，则||2AQ r =, ||3AB ==，解得r =又点Q ∈平面11BCC B ，故点Q 的轨迹为以点B EQF,故其长度为π2. 故选：D.二、选择题：本题共36分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=；D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±． 【答案】BD 【解析】【分析】根据直线是否存在斜率判断A 的真假；数形结合求k 的取值范围判断B 的真假；根据截距的概念判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求b 判断D 的真假.【详解】对A ：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−”成立的前提是两条直线的斜率都存若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A 是错误的. 对B ：如图：对直线l ：20kx y k ++−=⇒()21y k x −=−+，表示过点()1,2P −，且斜率为k −的直线， 且()422213APk −==−−，()121112BP k −==−−−， 由直线l 与线段AB 有公共点，所以：203k ≤−≤或102k −≤−<，即203k −≤≤或102k <≤，进而得：2132k −≤≤.故B 正确； 对C ：过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=或2y x =，故C 错误； 对D ：“圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1”可转化为“圆心(1,0)到直线y x b =+的距离等于1”.1⇒1b =−±.故D 正确.故选：BD10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ()13OG OA OB OC =++ ；B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ；D. DH OH ⋅的最小值为1−．【答案】BCD 【解析】【分析】以{},,OA OB OC为基底，表示出相关向量，可直接判断A 的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B 的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD 的真假.【详解】以{},,OA OB OC 为基底，则3OA = ，4OB OC == ，6OA OB OA OC ⋅=⋅= ,0OB OC ⋅=.对A ：因为23AD AC CD AC CB =+=+ ()23AC AB AC =+−2133AB AC +()()2133OB OA OC OA =−+−2133OA OB OC =−++ . 所以12OG OA AG OA AD =+=+ 121233OA OA OB OC =+−++111236OA OB OC =++ ，故A 错误；对B ：当H 是靠近A 的三等分点，即23OH OA =时，DH AH AD =− 121333OA OA OB OC =−−−++221333OA OB OC =−− ，又AB OB OA =−，所以13DH AB OC − .故DH ，AB ，OC 共面.故B 正确；对C ：因为HG OG OH OA AG OH =−=+− 1526OA AD OA =+−12152336OA OA OB OC OA =+−++− 111336OA OB OC =−++，所以：HG OA ⋅= 111336OA OB OC OA −++⋅ 2111336OA OB OA OC OA =−+⋅+⋅1119660336=−×+×+×=，所以HG OA ⊥ ，故GH OA ⊥，故C 正确；对D ：设OH OA λ=，()01λ≤≤.因为：DH OH OD =−()OA OA AD λ=−+ 2133OA OA OA OB OC λ =−−++2133OA OB OC λ=−− .所以DH OH ⋅ 2133OA OB OC OAλλ =−−⋅()2233OA OA OB OA OCλλλ−⋅−⋅296λλ−，()01λ≤≤.当13λ=时，DH OH ⋅ 有最小值，为：1196193×−×=−，故D 正确. 故选：BCD11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（ ） A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8． 【答案】ACD 【解析】【分析】根据点()2,3P 在圆内，列不等式，可求a 的取值范围，在根据弦|AAAA |的最小值为4求a 的值，判断A 的真假；明确圆的圆心和半径，根据1l CP k k ⋅=−，可求直线AB 的斜率，进而求直线AB 的倾斜角，判断B 的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C 的真假；由三角形面积公式和相交弦定理，可求PAC PBC S S ⋅△△的最大值，判断D 的真假. 【详解】对A ：由222382103410a +−×−×−+<⇒8a >. 此时圆C ：()()2245x y a −+−=.因为过P 点的弦|AAAA |的最小值为4，所以CP=又CP =⇒12a =.故A 正确；对B ：因为53142CP k −==−，1l CP k k ⋅=−，所以直线l 的斜率为1−，其倾斜角为135°，故B 错误； 对C ：当|AAAA |=4时，如图：sin ACP ∠==，cos ACP ∠==41cos 1033ACB ∠=−=>， 所以ACB ∠为锐角，又随着直线AB 斜率的变化，ACB ∠最大可以为平角， 所以存在直线l 使得CA CB ⊥.故C 正确； 对D ：如图：直线CP 与圆C 交于M 、N 两点，链接AM ，BN ，因为MAP BNP ∠=∠，APM NPB ∠=∠，所以APM NPB .所以AP MP NPBP=⇒(4AP BP MP NP ⋅=⋅=−+=.又1sin 2PACS PA PC APC APC =⋅⋅∠=∠ ，PBCS BPC =∠ ，且sin sin APC BPC ∠=∠.所以22sin PAC PBC S S PA PB APC⋅=⋅⋅∠ 28sin APC ∠8≤，当且仅当sin 1APC ∠=，即AB CP ⊥时取“=”.故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求PAC PBC S S ⋅△△的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出AP BP ⋅为定值，再结合三角形的面积公式求PAC PBC S S ⋅△△的最大值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______． 【答案】49 【解析】【分析】根据()()2243x y −++几何意义为圆上的点(),x y 与()4,3−距离的平方，找出圆上的与()4,3−的最大值，再平方即可求解.【详解】解：由题意知：设(),p x y ，()4,3A −，则(),p x y 为圆224x y +=上的点， 圆224x y +=的圆心OO (0,0),半径2r =， 则()()2243x y −++表示圆上的点(),p x y 与()4,3A −距离的平方，又因为max 27PA AO r=+=+=, 所以22max749PA==； 故()()2243x y −++的最大值是49. 故答案为：49.13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = ，则BC 的长为______．【解析】【分析】利用正弦定理对()cos 2cos a B c b A =−化简，可得π3A =，再由三角形面积公式求出8bc =，根据题意写出1233AE AB AC =+，等式两边平方后，可求出,b c 的值，由余弦定理2222cos a b c bc A =+−，求出BC 的长.【详解】()cos 2cos a B c b A =−,由正弦定理可得:sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =−，sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=， ()sin 2sin cos A B C A +=，()sin πC 2sin cos C A −=,sin 2sin cos (sin 0)C C A C >，即1cos 2A =,π3A =，1sin 2ABC S bc A == ,得8bc =， ∵2BE EC = ，∴1233AE AB AC =+ ，221233AE AB AC =+， 即2228144cos 3999c b bc A =++，由8bc =，解得42b c = = 或18b c = = ， 根据余弦定理2222cos a b c bc A =+−，当42b c = =时，a =，此时π2B =，不满足题意， 当18b c = =时，a =..14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．【答案】72##3.5 【解析】 【分析】多面体EFGHBD 的体积为三棱锥G DEH −与四棱锥E BFGD −的体积之和，根据体积之比与底面积之比高之比的关系求解即可.【详解】连接ED ，EG ，因为H 为AAAA 上的靠近D 的三分点，所以13DH AD =， 因为E 为AAAA 的中点，所以点E 到AAAA 的距离为点B 到AAAA 的距离的一半， 所以16DEH BAD S S = ， 又G 为CCAA 上靠近D 的三分点，所以点G 到平面ABD 的距离为点C 到平面ABD 的距离的13， 所以111119663182G DEH G BAD C BAD V V V −−−==×=×=， 1233BCD FCG BCD BCD BCD BFGD S S S S S S =−=−= 四边形， 所以2211933323E BFGD E BCD A BCD V V V −−−==×=×=， 所以多面体EFGHBD 的体积为17322G DEH E BFGD V V −−+=+=. 故答案为：72. 【点睛】关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．【答案】（1）14 （2）16【解析】【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.【小问1详解】 样本中男生的人数为：100900601500×=；女生的人数为：1006040−=. 所以总样本的平均数为：6013.24015.214100x ×+×=. 【小问2详解】记总样本的方差为2s ， 则()(){}22216013.3613.2144017.5615.214100s =×+−+×+− 16=. 所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=． （1）求点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）(3,4)C ；（2）72130x y −−=【解析】【分析】（1）设(,1)C m m +，则43(,)22m m M −+，代入220x y +−=，求解即可； （2）设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=，在直线10x y −+=取点(0,1)P ，利用点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，求解即可.【小问1详解】解：由题意可知点C 在直线0x y −+=上， 所以设(,1)C m m +，所以AC 中点43(,)22m m M −+， 又因为点43(,)22m m M −+在直线220x y +−=上， 所以34202m m +−+−=，解得3m =， 所以(3,4)C ；【小问2详解】解：因为(3,4)C ，设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=， 又因为(4,2)A −，所以直线AC 的方程为：27220x y −+=， .又因为ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=， 在直线10x y −+=取点(0,1)P ，则点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，=，整理得21453140n n ++=， 解得：72n =−或27n =−， 当72n =−时，所求方程即为直线AC 的方程， 所以27n =−， 所以直线BC 的方程为： 72130x y −−=. 17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AB 的中点G ，连接1,EG A G 证得四边形ADEG 为平行四边形，得到1//DE A G ，利用1A AG ABF ≌，证得90AHG ∠= ，得到1AF A G ⊥，即可证得AF DE ⊥；（2）根据题意，证得11A C ⊥平面11ABB A ，得到1111A C A B ⊥，以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得(0,2,0)AC = ，再取AC 的中点M ，延长,MB DF 交于点N ，得到直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，求得(4,1,0)N −，得到(3,2,0)EN =− ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取AB 的中点G ，连接1,EG A G ，因为E 的中点，可得//EG AC ，且12EG AC =， 又因为1//A D AC ，且112A D AC =，所以1//EG A D ，且1EG A D =， 所以四边形ADEG 平行四边形，所以1//DE A G ，在正方形11ABB A 中，可得1A AG ABF ≌，所以1A GA AFB ∠=∠， 因为90AFB AFB ∠+∠= ，所以190AFB A GA ∠+∠= ，AGH 中，可得90AHG ∠= ，所以1AF A G ⊥，又因为1//DE A G ，所以AF DE ⊥.【小问2详解】解：在直三棱柱111ABC A B C −中，可得1AA ⊥平面111A B C ，因为11AC ⊂平面111AB C ，所以111AA A C ⊥， 又因为11AF A C ⊥，且1AA AF A ∩=，1,AA AF ⊂平面11ABB A ，所以11A C ⊥平面11ABB A ， 因为11A B ⊂平面11ABB A ，所以1111A C A B ⊥，即直三棱柱111ABC A B C −的底面为等腰直角三角形，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12AB AC AA ===，可得(0,0,0),(0,2,0)A C ，则(0,2,0)AC =， 为在取AC 的中点M ，连接,MB DM ，可得1//DM CC 且1DM CC =，因为11//BB DD 且11BB DD =，所以//BF DM ，且12BF DM =， 延长,MB DF 交于点N ，可得B 为MN 的中点，连接EN ，可得EN 即为平面DEF 与平面ABC 的交线，所以直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，又由(0,1,0),(2,0,0),(1,1,0)M B E ， 设(,,)N x y z ，可得MB BN =，即(2,1,0)(2,,)x y z −=−， 可得4,1,0x y z ==−=，所以(4,1,0)N −，可得(3,2,0)EN =− ，设直线EN 与直线AC 所成角为θ，可得cos cos ,AC EN AC EN AC EN θ⋅=== 即直线AC 与直线m18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标； （2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；（3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．【答案】（1）(0,0)或84(,)55（2）过定点(0,2)或42(,)55（3）22173042x y x y +−−+= 【解析】【分析】（1）点M 在直线l 上，设(2,)M m m ，由对称性可知30CMP ∠= ，可得2MC =，从而可得点M 坐标．（2）MC 的中点,12m Q m+，因为MP 是圆P 的切线，进而可知经过C ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MC 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到结果；（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线PQ 的方程，且得直线PQ 过定点13,42R，由几何性质得MN RN ⊥，即点N 在以MR 为直径的圆上，进而可得结果.【小问1详解】（1）直线l 的方程为20x y −=，点M 在直线l 上，设(2,)M m m ， 因为π3PMQ ∠=，由对称性可得：由对称性可知30CMP ∠= ，由题1CP =所以2MC =，所以22(2)(2)4+−=m m ， 解之得：40,5==m m 故所求点M 的坐标为(0,0)或84(,)55． 【小问2详解】 设(2,)M m m ，则MC 的中点(,1)2m E m +，因为MP 是圆C 的切线， 所以经过,,C P M 三点的圆是以Q 为圆心，以ME 为半径的圆，故圆E 方程为：2222()(1)(1)22m m x m y m −+−−=+−化简得：222(22)0x y y m x y +−−+−=，此式是关于m 的恒等式，故2220,{220,x y y x y +−=+−=解得02x y = = 或4525x y = = , 所以经过,,C P M 三点的圆必过定点(0,2)或42(,)55．【小问3详解】 由()22222220,430x y mx m y m x y y +−−++= +−+=可得PQ ：()22320mx m y m +−+−=，即()22230m x y y +−−+=， 由220,230x y y +−= −=可得PQ 过定点13,42R . 因为N 为圆E 的弦PQ 的中点，所以MN PQ ⊥，即MN RN ⊥，故点N 在以MR 为直径的圆上，点N 的轨迹方程为22173042x y x y +−−+=. 19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由． （2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．【答案】（1）存在；1.（2【解析】【分析】（1）先证平面PAD ⊥平面ABCD ，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向量，结合线面角的求法确定点Q 的位置.（2）根据PD 与平面BCD 所成角最大，确定平面PAD ⊥平面ABCD ，利用（1）中的图形，设三棱锥P BCD −的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可.【小问1详解】因为底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，所以60BAD ∠=°，120BCD ∠=°，30CBD ABD ∠=∠=°，所以90ADB ∠=°. 所以BD AD ⊥，又BD PD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，且AD PD D = ，所以BD ⊥平面PAD .又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .取AD 中点O ，因为PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥，平面PAD ∩平面ABCD AD =，所以⊥PO 平面ABCD .再取AB 中点E ，连接OE ，则//OE BD ，所以OE AD ⊥.所以可以O 为原点，建立如图空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0D −，()E ，()1,B −，(P ，()C −.(1,PB =−− .设PQ PB λ= ，可得)()1Q λλ−−所以)()1,1AQ λλ=−−− ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1n = .因为AQ 与平面ABCD ，所以AQ nAQ n ⋅⋅ ，解得12λ=或5λ=（舍去）. 所以：线段PB 上存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD ，此时1PQ QB =. 【小问2详解】当平面PAD ⊥平面ABCD 时, PD 与平面BCD 所成角为PDA ∠.当平面PAD 与平面ABCD 不垂直时，过P 做PH ⊥平面ABCD ，连接HD ，则PDH ∠为PD 与平面BCD 所成角，因为PH PO <，sin PH PDH PD ∠=，sin PO PDA PD∠=，s s n i i n PDA PDH ∠∠<，所以A PDH PD ∠∠<. 故当平面PAD ⊥平面ABCD 时，PD 与平面BCD 所成角最大.此时，设棱锥P BCD −的外接球球心为(),,G x y z ，GP GB GC GD R====,所以(()(()(()2222222222222222121x y z R x y z R x y z R x y z R ++= ++−+= ++−+=+++=，解得20133x y z R = = = = 所以三棱锥P BCD −的外接球的体积为：34π3V R ==. 【点睛】方法点睛：在空间直角坐标系中，求一个几何体的外接球球心，可以利用空间两点的距离公式，根据球心到各顶点的距离相等列方程求解..。
山东省菏泽市定陶第一中学2024-2025学年高二上学期10月测验数学试题(含答案)
2024年10月高二月考数学测验试题一、单选题1．已知直线l 的一个方向向量为，则直线l 的倾斜角（ ）A ．0B．C ．D ．2．若直线l 1：x －3y ＋2＝0与直线l 2：mx －y ＋b ＝0关于x 轴对称，则m ＋b ＝（ ）A ．B ．－1C ．－D ．13．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．4．设动直线l 与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知圆，直线与圆C 相交于两点，若圆C 上存在点P ，使得△ABP 为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．B ．C ．或D ．或6．.若一条光线从点A(−2,−3)射出，经y 轴反射后与圆(x +3)2+(y−2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A. −53或−35B. −32或−23C. −54或−45 D. −43或−347．已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ）.A ．B ．或 θ=π6π4π31313()1,1P 2260x y y +-=AB AB 210x y --=210x y -+=230x y +-=230x y +-=()22:15C x y ++=e ,A B AB 2x y a +=2ax y a +=2ax y +=x ay a+=()22:14C x y -+=:20l x my m -+=,A B 43m =-43m =43m =-0m =43m =0m =21y kx k =++122y x =-+k 1162k -<<16k <-12k >C ．D ．8．已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（ ）A ．[2,32]B ．C ．D ．[2,32)二、多选题9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）A ．在轴上的截距为B ．过点且不垂直x 轴C ．若，则或D ．若，则10． 圆和圆的交点为，，则有（ ）A ．公共弦所在直线方程为B ．线段中垂线方程为C ． P （m,n ）为圆上一动点，则(m+2)2+(n-4)2的最大值为6D ．经过A 、B 两点且圆心在直线x -y -5=0上的圆C 的面积是13π 11．下列结论正确的是（ ）A ．已知点在圆上，则的最大值是4B ．已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离C ． 曲线C 1:x 2+y 2+2x =0与曲线C 2:x 2+y 2−4x−8y +m =0恰有三条公切线，则m =4D ．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是三、填空题12．两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x−y +c2=0上，则m +c 的值等于________．62k -<<12k >1:310(R)l mx y m m --+=∈2:310(R)l x my m m +--=∈P P 0x y +=d()1110l x a y +-+=：2220l ax y ++=：1l x 1-2l ()0,1-12l l //1a =-2a =12l l ⊥23a =221:20x y x O +-=222:240O x y x y ++-=A B AB 0x y -=AB 10x y +-=1O (),P x y ()()22:112C x y -+-=x y +(),P a b 222x y r +=l 2ax by r +=l ()()()222:440M x y r r -+-=>()1,0N r ()4,613．写出圆：与圆：的一条公切线方程 ．14．已知圆C 的方程为x 2+y 2=2，点P 是直线x−2y−5=0上的一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则四边形PACB 的面积的最小值为 ；直线AB 过定点 ．四、解答题15． (1) 若直线l 经过点,且被两条相交直线和所截得的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程．(2) 已知圆C:(x−a )2+(y−b )2=r 2(a >0,r >0)上，且截x 轴的弦长为2，截y 轴的弦长为求圆C 的方程.16．已知圆,直线过点．(1)若直线与圆相切，求直线的方程；(2)若直线l 分别与轴､轴的正半轴交于两点，求△AOB 面积的最小值及此时的直线方程.17．在平面直角坐标系中，三个点到直线l 的距离均为d ，且．(1)求直线l 的方程；(2)若圆C 过点，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 求圆C 的标准方程．18． 已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．(1)求曲线的方程；(2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且证明：直线恒过定点．M ()()22215x y -+-=N ()()22215x y +++=()2,4P -1:220--=l x y 2:70l x y +-=0y +=22:(2)1C x y -+=l ()3,2P l C l x y ,A B (0,0),(2,0),(0,6)O A B -1d <(1,0)AB B ()64，A C AB M()()22421x y -+-=C k l C O E F ，，OE OF ，1k 2k 122k k =．l19．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长AB 为2，宽BC 为1，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此点为M .（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为，（为常数），试用表示点M 的坐标，并求折痕上任一点（x,y ）满足的等式；（3）当时，求折痕长的最大值.参考答案：题号12345678910答案B BBD C D A D ABD ABD 题号11 答案ACD12．【答案】313．（或之一也可以）14． 【答案】 6；(25,−45) 四．解答题15．(1)(2) 16． (1)3x-4y-1=0或 （2）面积最小值12 2x +3y -12=017．(1) (2)18．（1）（1）设，，ABCD AB AD x y A A DC k k k -20k ≤≤20x y +=250x y -+=250x y --=440x y ++=()2214x y -++=（3x =330x y --=22(2)1x y -+=(),A x y ()00,M x y由中点坐标公式得因为点的轨迹方程是，所以，整理得曲线的方程为．（2）设直线的方程为，m ≠0，，，，由，得，所以，，所以，所以，且即，即，所以直线的方程为，即直线过定点．19．（1）； （2）； (3).006,24.2x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩M ()()22421x y -+-=226442122x y ++⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ()2224x y -+=l y kx m =+()11,E x y ()22,F x y 120x x ≠()2224y kx m x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩()()2221220k xkm x m ++-+=()122221km x x k -+=-+21221m x x k=+()()()221212121212121212kx m kx m k x x km x x my y k k x x x x x x +++++===()222222241121km km m k k k m m k -++=+=+=+4m k =Δ0>()()22242410km k m --+>2440m km +-<l ()4y k x =+l ()4,0P --1y x =+2122k y kx =++。
河南省信阳市浉河区信阳高级中学北湖校区2024-2025学年高二上学期10月月考(一)数学试题
河南省信阳市浉河区信阳高级中学北湖校区2024-2025学年高二上学期10月月考（一）数学试题一、单选题1．已知{}35A x x =-<<，{}4B x x =>，则A B =I （ ） A ．{}35x x -<< B ．{}5x x > C ．{}45x x << D ．{}34x x -<<2．抛物线21,(0)y x a a=->的准线方程是（ ） A ．4a y =B ．4y a =-C ．4ay =-D ．4y a =3．若0,0m n >>，且3210m n +-=，则32m n+的最小值为（ ） A ．20B ．12C ．16D ．254．已知21,e e u r u u r 是夹角为60︒的两个单位向量，则12a e e =+r u r u u r 与122b e e =-r u r u u r的夹角是（ ） A ．60︒B ．120︒C ．30︒D ．90︒5．函数()sin 2f x x =的图象向左平移π4个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，得到()g x 的图象，则()g x =（ ） A ．cos 4xB ．cos x -C ．cos4x -D ．sin x -6．已知0x y += ）AB ．CD ．7．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，113CF CC =，则异面直线EF 与11B D 所成角的余弦值为（ ）A ．23B C D 8．已知抛物线x 2＝4y 的焦点F 是椭圆2222y x a b +=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若△F AB 是等边三角形，则此椭圆的离心率为（ ）A B 1 C D 1二、多选题9．若复数z 满足i 1i z =+，则下列命题正确的有（ ）A ．z 的虚部是1-B ．||z =C ．1i z =+D ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限10．设,A B 为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）A ．若A 与B 对立，则()1P AB =B ．若A 与B 互斥，11(),()32P A P B ==，则5()6P A B +=C ．若11(),()32P A P B ==，且1()6P AB =，则A 与B 相互独立D ．若A 与B 相互独立，12(),()33P A P B ==，则1()9P AB =11．下列说法正确的有（ ）A ．直线210x my ++=过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．过点()2,0作圆()2214x y +-=的切线l ，则l 的方程为240x y --=C ．若圆221:230O x y y +--=与圆222:6100O x y x y m +--+=有唯一公切线，则25m =D ．圆()2214x y +-=上存在两个点到直线20x y +-=的距离为212．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点2F 且斜l 交双曲线C 的右支于A 、B 两点，且227AF F B =u u u u r u u u u r，则（ ）A ．双曲线C 的离心率为73B ．12AF F △与12BF F △面积之比为7:1C ．12AF F △与12BF F △周长之比为7:2D ．12AF F △与12BF F △内切圆半径之比为3:1三、填空题13．向量b r与()2,1,2a =-r 共线且满足9a b ⋅=-r r ，则b =r .14．俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮”．但由于臭皮匠太“臭”，三个往往还顶不了一个诸葛亮．已知诸葛亮单独解出某道奥数题的概率为0.8，每个臭皮匠单独解出该道奥数题的概率是0.3．试问，至少要几个臭皮匠能顶个诸葛亮？．15．已知四面体ABCD 的顶点都在球О的表面上，平面ABC ⊥平面BCD ，2BC =，ABC V 为等边三角形，且=90BDC ∠︒，则球O 的表面积为.16．已知直线y kx =与椭圆C ：222212x y b b+=交于A ，B 两点，弦BC 平行y 轴，交x 轴于D ，AD 的延长线交椭圆于E ，下列说法中正确的命题有．①椭圆C ②12AE k k =；③12AE BE k k ⋅=-； ④以AE 为直径的圆过点B ．四、解答题17．甲袋子中装有2个红球、1个白球，乙袋子中装有1个红球、2个白球（袋子不透明，球除颜色外完全一样）.(1)现从甲、乙两个袋子中各任选1个球，求选出的2个球的颜色相同的概率； (2)从甲、乙两袋6个球中任选2个球，求选出的2个球来自同一袋子的概率.18．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c b a c <cos21A A -=， (1)求A 的大小；(2)若sin sin a A c C B +=，求ABC V 的面积．19．著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式S ab π=，（,a b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C ：221189x y +=． (1)求C 的面积；(2)若直线:230l x y +-=交C 于,A B 两点，求AB ．20．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，AB BC ⊥，//AD BC ，且122AB BC BB AD ====．(1)求证：1AB ⊥平面1A BC ；(2)求平面1ACD 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值． 21．已知圆22(2)5C x y +-=：，直线10l mx y ：-+=.(1)求证：对R m ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线l 相交于A B ，两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．22．已知抛物线()2:0C y ax a =>上的点()0,2P x 到焦点F 的距离为02x ．(1)求抛物线C 的方程；(2)点(),4T m 在抛物线上，直线l 与抛物线交于,A B 两点（第一象限），过点A 作x 轴的垂线交于点H ，直线AH 与直线OT 、OB 分别交于点,M N （O 为坐标原点），且2A AM N =u u u r u u u u r ，证明：直线l 过定点．。
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)月考数学试卷
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）月考数学试卷一、单选题1310y -+=的倾斜角是（ ） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m ≤- B ．1m <- C ．1m ≥-D ．1m >-3．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1m =-r ，平面α的一个法向量为1,1,2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，若//l α，则x =（ ）A ．52B ．52-C ．12-D ．124．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（ ） A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB AC 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（ ）A B C ．23D ．126．当点()2,1P --到直线()()():131240l x y λλλλ+++--=∈R 的距离最大时，直线l 的一般式方程是（ ） A ．3250x y +-= B ．2310x y -+= C ．250x y ++=D ．2320x y -+=7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．138．如图，在四裬锥P ABCD -中，PA ⊥平面,90,ABCD BAD BC ∠=o ∥AD ，12,2PA AB BC AD Q ====是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大小为π3，若点M 是PC 中点，则四棱锥M ADQ -体积的最大值是（ ）A B ．43C D ．1二、多选题9．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（ ）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为510．如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,C AC l D αβ∈⊥∈，BD l ⊥，若2,AC AB BD CD ====，则（ ）A ．直线AB 与CD 所成角的余弦值为45o B ．二面角l αβ--的大小为60oC ．三棱锥A BCD -的体积为D ．直线CD 与平面β11．如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，则（ ）A ．当M 在平面1111D CB A 内运动时，四棱锥M ABCD -的体积是定值 B ．当M 在直线11AC 上运动时，BM 与AC 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点M D ．若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN 的三、填空题12．已知空间直角坐标系中的三点()2,0,2A 、()0,0,1B 、()2,2,2C ，则点A 到直线BC 的距离为．13．一条光线从点(4,0)A -射出，经直线10x y +-=反射到圆22:(2)2C x y ++=上，则光线经过的最短路径的长度为．14．已知梯形CEPD 如图1所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．已知当点F 满足(01)AF AB λλ=<<u u u r u u u r 时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为．图1 图2四、解答题15．已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=. (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB V 面积最小时，求AOB V 的周长. 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11AC 的中点.(1)求异面直线AE 与1B C 所成角的余弦值； (2)求三棱锥1A B CE -的体积.17．已知圆满足：截y 轴所得弦长为2；被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， (1)若圆心在直线20x y -=上，求圆的标准方程；(2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线1:20x y -=的距离最小的圆的方程．18．如图，PD ⊥平面,,ABCD AD CD AB ⊥∥,CD PQ ∥,222CD AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.(1)求证：EF ∥平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的余弦值；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.19．如图，在ABC V 中，,2,AC BC AC BC D ⊥==是AC 中点，E F ､分别是BA BC ､边上的动点，且EF ∥AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥P ACFE -；(1)求证：EF PC ⊥；(2)若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正弦值； (3)当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.。
河北省石家庄二中2023-2024学年高二上学期第一次月考(10月)数学试题
B．若
l
=
1 2
,
m
=
1 4
，则
C1P
^
平面
EFD1
C．平面 EFD1 截正方体 ABCD - A1B1C1D1 所得的截面的周长为 5 + 4 2 + 3 5 D．若 l = 1, m = 0 ，则四面体 PEFD1 外接球的表面积为 344π
9
三、填空题
( ) 13．已知圆 C : ( x -1)2 + y2 = 1与圆 E : x2 + y - 3 2 = 1 ，则圆 C 和圆 E 的一条公切线的
理由．
六、解答题 21．在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-2,-3) ,直线 l : y = x - 5 ,设圆 C 的半径为 1 且关于直
线 l 对称.
(1)若圆心 C 在直线 y = 2x - 6 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程；
(2)点 A
关于点
P(-
3 2
,
-1)
的对称点为
CD = 13 ．求弦长 AB 的最大值．
试卷第71 页，共33 页
1．C
参考答案：
【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】依题意， l1 ： 2x - ay +1 = 0 ， l2 ： (a -1) x - y + a = 0 ，
若两直线平行，则 2´ (-1) = (-a) ´(a -1) ，
C 的中心记为点 C，求VCPQ 面积的最大值，并求此时直线 l 的方程． 19．如图 1，在 VABC 中， D 、 E 分别为 AB 、 AC 的中点， O 为 DE 的中点，
AB = AC = 2 5 ， BC = 4 ．将VADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使得平面 A1DE ^
湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期10月第一次月考数学试题(解析版)
雅礼中学2023年下学期高二10月检测试卷数学时量：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}2log 0A x x =>，{}2,0x B y y x ==≤，则A B ⋃=（）A.∅ B.{}0x x > C.{}01x x <≤ D.{}1x x >【答案】B 【解析】【分析】先分别求出集合,A B ，再根据并集的运算求解．【详解】∵集合{}{}2log 01A x x x x =>=>，{}{}2,001x B y y x y y ==≤=<≤，∴{}0A B x x ⋃=>．故选:B ．2.已知复数()21i =+z ，则z 的虚部是（）A.2B.2- C.2i- D.2i【答案】A 【解析】【分析】根据复数运算求得z ，根据虚部定义求得结果.【详解】()21i 2i z =+=，∴z 的虚部为：2故选：A3.已知向量(),1a m = ，()1,1b = ，则“a ，b的夹角为锐角”是“1m >-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】若a，b的夹角为锐角，则10a b m ⋅=+>且a，b不同向，可得1m >-且1m ≠，故“a ，b的夹角为锐角”是“1m >-”的充分不必要条件．故选：A4.已知a ，b 为两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是（）A.若a ⊥α，a ⊥b ，则b //αB.若a //α，a ⊥b ，则b ⊥αC.若a //α，b //α，则a //bD.若a ⊥α，a //b ，则b ⊥α【答案】D 【解析】【分析】根据线线，线面的位置关系，定义以及判断定理，性质定理，即可求解.【详解】对于A ，若a ⊥α，a ⊥b ，则b //α或b ⊂α，故A 错误；对于B ，若a //α，a ⊥b ，则b //α或b ⊂α，或b 与α相交，故B 错误；对于C ，若a //α，b //α，则a 与b 相交、平行或异面，故C 错误；对于D ，若a ⊥α，a //b ，则由直线与平面垂直的判定定理知b ⊥α，故D 正确．故选：D ．5.在ABC 中，3,5AB AC ==，M 是边BC 的中点，O 为ABC 的外心，则AM AO ⋅=（）A.8B.172C.16D.17【答案】B 【解析】【分析】根据题意可将向量数量积AM AO ⋅转化到向量,AB AC上去，再代入数据即可计算得出结论.【详解】由题意，取AC 的中点为N ，连接ON ，如下图所示：易知ON AC ⊥，()12AM AB AC =+uuur uuu r uuu r；可得()()1122AM AO AB AC AO AB AO AC AO ×=+×=×+×uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，又21cos 2AC AOAC AO CAO AC AN AC =uuu r uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r ，同理212AB AO AB ⋅= ；所以22117()42AM AO AB AC ×=+=uuur uuu r uuu r uuu r 故选：B 6.已知1sin ,123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.29-B.29C.79-D.79【答案】D 【解析】【分析】设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=，则sin 2sin 3223[1πππθα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭化简，由余弦的二倍角公式可得答案.【详解】设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=，从而2[]7sin 2sin 2sin 2cos 212sin 312329ππππθαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D【点睛】关键点睛：本题考查三角函数中知值求值的问题，解答本题的关键是设12παθ=-，然后可得sin 2sin 32]23[1πππθα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，属于中档题.7.在平面中，过定点()2,1P 作一直线交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，OAB 面积的最小值为（）A.2B.C.4D.【答案】C 【解析】【分析】设直线AB 的截距式，再根据面积公式结合基本不等式求解最小值即可【详解】易得直线AB 不经过原点，故设直线AB 的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，因为直线AB 过定点()2,1P ，故211a b +=，所以211a b =+≥=8ab ≥≥.当4,2a b ==时等号成立故142OAB S ab =≥ 故选：C8.已知函数()(),f x g x 的定义域均为()(),32f x f x ++=R ，且()31y f x =-为偶函数，函数()g x 满足()()24g x g x -+-=，对于[]3,1x ∀∈-，均有()()312xf xg x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()()12023g f =（）A.4943-B.4349-C.6544D.4465【答案】A 【解析】【分析】根据(3)()2f x f x ++=可知()f x 是以6为周期的函数，则(2023)(1)f f =，根据函数的对称性可得(1)(3)f f =-.由(2)()4g x g x -+-=可得(3)4(1)g g -=-.结合3(1)(1)2f g +=、(3)(3)19f g -+-=-计算求出(1)f 和(1)g 即可.【详解】(3)()2(6)(3)2f x f x f x f x ++=⇒+++=，两式相减，得(6)()f x f x +=，所以函数()f x 是周期函数，周期6T =，有(2023)(1)f f =.因为(31)y f x =-为偶函数，图象关于y 轴对称，将(31)y f x =-的图象上的点横坐标扩大3倍，纵坐标不变，得(1)=-y f x ，图象关于y 轴对称，再向左平移一个单位长度，得()y f x =，图象关于=1x -对称，有(1)(3)f f =-.又(2)()4g x g x -+-=，令=1x -，则(3)(1)4g g -+=，即(3)4(1)g g -=-.当[3,1]x ∈-时，31()()(2x f x g x x +=+，则13(1)(1)122f g +=+=①，331(3)(3)((3)192f g --+-=+-=-，所以(1)4(1)19f g +-=-，即(1)(1)23f g -=-②，由①②，得432(1)2f =-，解得43(1)4f =-，所以49(1)4g =，又43(2023)(1)4f f ==-，所以49(1)49443(2023)434g f ==--.故选：A.【点睛】方法定睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.9.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）A.()14P A =B.事件A 与事件B 互斥C.事件A 与事件B 相互独立D.()34P A B ⋃=【答案】CD 【解析】【分析】A.利用古典概型的概率求解判断；B.利用互斥事件的定义判断；C.利用独立事件的概率求解判断；D.利用并事件的概率求解判断.【详解】解：依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则()2142P A ==，A 不正确：事件B 含有的基本事件有8个：()1,2，()1,4，()2,1，()2,3，()3,2，()3,4，()4,1，()4,3，其中事件()2,1，()2,3，()3,2，()3,4发生时，事件A 也发生，即事件A ，B 可以同时发生，B 不正确；抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，()81162P B ==，()()()41164P AB P A P B ===，即事件A 与事件B 相互独立，C 正确；()()()()11132244P A B P A P B P AB =+-=+-= ，D 正确.故选：CD.10.如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），h （单位：m ）表示在时间t （单位：s ）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点P 距离地平面50m.最低点Q 距离地平面10m.入口处M 距离地平面20m.当4s t =时，过山车到达最高点P ，10s t =时，过山车到达最低点Q .设()()πsin 0,0,2h t A t B A ωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A.函数()h t 的最小正周期为12B.π6ϕ=C.14s t =时，过山车距离地平面40mD.一个周期内过山车距离地平面低于20m 的时间是4s 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意抽象出函数的最值，列式求,A B ，根据周期求ω，最后根据()020h =求ϕ，再根据函数的解析式判断CD.【详解】由题意可知，周期T 满足10462T=-=，得12T =，所以2π12ω=，得6π=ω，又5010A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得20A =，30B =.所以()π20sin 306h t t ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，又()020h =，即20sin 3020ϕ+=，得1sin 2ϕ=-，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以()ππ20sin 3066h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对于A ，12T =，A 正确；对于B ，π6ϕ=-，B 错误；对于C ，()πππ1420sin 143020sin 3040666h ⎛⎫=⨯-+=+=⎪⎝⎭，C 正确；对于D ，由()20h t <，得ππ20sin 302066t ⎛⎫-+<⎪⎝⎭，即ππ1sin 662t ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，7πππ11π2π2π6666k t k +<-<+，Z k ∈，解得8121212k t k +<<+，Z k ∈，所以一个周期内过山车距离底面低于20m 的时间是()()12128124s k k +-+=，D 正确.故选：ACD.11.已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-+=+相交于A 、B 两点，下列说法正确的为（）A.两圆有两条公切线B.直线AB 的方程为22y x =+C.线段AB 的长为65D.圆O 上点E ，圆M 上点F ，EF 的最大值为3+【答案】AD 【解析】【分析】由圆与圆相交可判断A ；两圆方程作差可判断B ；利用垂径定理可判断C ；转化为圆心间的距离可判断D.【详解】对于A ，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A 正确；对于B ，因为圆22:4O x y +=，圆22:4240M x y x y +-+=+，两圆作差得4244x y -+=-即24y x =+，所以直线AB 的方程为24y x =+，故B 错误；对于C ，圆22:4O x y +=的圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线AB 的距离455d ==，所以455AB ==，故C 错误；对于D ，圆22:4240M x y x y +-+=+的圆心()2,1M -，半径为1，所以max213EFOM =++=，故D 正确.故选：AD.12.如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），P 是棱1CC 的中点，则下列结论正确的是（）A.沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为2B.过,,A B P 三点作正方体的截面，则截面面积为C.三棱锥1B C MD -的体积最大值为13D.若保持PM =M 在侧面11ADD A 内运动路径的长度为π3【答案】ACD 【解析】【分析】作出正方体相邻两个侧面的展开图，对比线段AP 的长度即可得到最短路程，知A 正确；作出截面，由矩形面积公式可求得B 错误；利用体积桥可知当M 与1A 重合时，体积最大，利用割补法可求得C 正确；分析可知点M 轨迹是以1DD 中点Q 为圆心，1为半径的圆在正方形11ADD A 内的部分，结合扇形弧长公式可求得D 正确.【详解】对于A ，将侧面11ABB A 和侧面11BCC B 沿1BB 展成平面，如下图所示，此时2AP ==；将底面ABCD 和侧面11CDD C 沿CD 展成平面，如下图所示，此时132AP ==；131522<，∴沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为132，A 正确；对于B ，取1DD 中点Q ，连接,PQ AQ ，////PQ CD AB ，,,,P Q A B ∴四点共面，则过,,A B P 三点作正方体的截面，截面即为四边形ABPQ ，如下图阴影部分所示，AB ⊥Q 平面11BCC B ，BP ⊂平面11BCC B ，AB BP ∴⊥，//PQ AB ，PQ AB =，∴四边形ABPQ 为矩形，又1AB =，2BP ==，122ABPQ S ∴=⨯= ，B 错误；对于C ，11B C MD M BC D V V --= ，1B CD S 为定值，∴当点M 到平面1B CD 距离最大时，1B C MD V -取得最大值，又点M 为侧面11ADD A （含边界）上的一个动点，∴当点M 与点1A 重合时，点M 到平面1B CD 距离最大，()1111111133max1114141323B C MDA BC D ABCD ABCD A ABD V V V V ----∴==-=-⨯⨯⨯=，C 正确；对于D ，若PM =M 在以P 为半径的球面上，取1DD 中点Q ，则1PQ =，1MQ ∴==，∴点M 的轨迹是以Q 为圆心，1为半径的圆在正方形11ADD A 内的部分，即劣弧ST ，如下图所示，1TQ QS TS === ，π3TQS ∴∠=，∴劣弧ST 的长度为：ππ133⨯=，即点M 在侧面11ADD A 内运动路径的长度为π3，D 正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上.13.已知直线1l ：()220ax a y +++=与2l ：10x ay ++=平行，则实数a 的值为_____.【答案】1-【解析】【分析】根据直线平行的充要条件计算即可.【详解】由题意可知：()21a a a ⨯=+⨯，且121a ⨯≠⨯，解之得1a =-.故答案为：-114.已知点(1,3)A ，(2,1)B --，若直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 相交，则k 的取值范围________．【答案】12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先求出直线过定点(2,1)P ，利用斜率计算公式求出PA k ，PB k ，再数形结合即可得解．【详解】解：直线:(2)1l y k x =-+经过定点(2,1)P ，31212PA k -==-- ，111222PB k --==--，又直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 相交，由图可知122k -，即12,2k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；故答案为：12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．15.已知函数()2log ,05cosπ,03x x f x x x x ⎧>⎪=--≤≤，若方程()f x a =恰有四个不同的实数解，分别记为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是____________【答案】119,612⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】明确分段函数()2log ,05cosπ,03x x f x x x x ⎧>=--≤≤两段的性质，进而作出其图像，将方程()f x a =恰有四个不同的实数解转化为()f x 的图象与直线y a =有4个不同的交点，由图象确定1x ，2x ，3x ，4x 的范围，结合对勾函数单调性性质，即可求得答案.【详解】由题意知()2log ,05cosπ,03x x f x x x x ⎧>⎪=--≤≤，当503x -≤≤时，π()cosπ2sin(π6f x x x x =-=-，令π3ππ62x -=-，则43x =-；当53x =-时，55π(2sin(π)1336f -=--=；当0x >时，2()log f x x =，令2()log 2f x x ==，则14x =或4；令()1f x =，则12x =或2；由此可作出函数()f x的图象如图：由于方程()f x a =恰有四个不同的实数解，分别记为1x ，2x ，3x ，4x ，故()f x 的图象与直线y a =有4个不同的交点，由图象可知12a ≤<，不妨设1234x x x x <<<，则123410242x x x x <<<≤<≤<，且12,x x 关于43x =-对称，所以1283x x +=-，又2324|log ||log |x x =即2324log log x x -=，则2324341l ,og log 0x x x x +=∴=，故123444813x x x x x x +++=-++，由于1y x x=+在[2,4)上单调递增，故44511724x x ≤+<，所以1234119612x x x x -≤+++<，故1234x x x x +++的取值范围是119612,⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故答案为：119612,⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点睛：本题综合考查函数与方程的应用知识，涉及到知识点较多，综合性强，解答的关键时要明确分段函数的性质，进而作出其图象，数形结合，即可求解.16.若圆2221:240(0)C x y ax a a +++-=≥与圆2222:210(0)C x y by b b +-+-=≥外切，则6ba +的最大值为________________.【答案】12【解析】【分析】先根据两圆外切可得229a b +=，再根据0,0a b ≥≥可知，点(),a b 的轨迹为圆弧，圆229a b +=的四分之一，而6ba +表示定点()6,0A -与圆弧229ab +=()0,0a b ≥≥上的动点(),P a b 连线的斜率，然后数形结合即可求出．【详解】由题可得圆()221:4C x a y ++=的圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆()222:1C x y b +-=的圆心为()0,C b ，半径为21r =.因为两圆外切，可得229a b +=，0,0a b ≥≥，6ba +可看作平面直角坐标系中的定点()6,0A -与圆弧229ab +=()0,0a b ≥≥上的动点(),P a b 连线的斜率，结合图形可知，当点P 为()0,3时，6b a +最大，此时其最大值为12．故答案为：12.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，以及利用几何意义求最值，意在考查学生的转换能力和数学运算能力，属于基础题．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知3,cos ,32a A B A π===+.（1）求b 的值；（2）求ABC 的面积.【答案】（1）（2）322.【解析】【分析】（1）根据cos 3A =求出sin A ，根据2B A π=+求出sin B ，根据正弦定理求出b ；（2）先求出sin C ，再利用面积公式即可求出.【详解】（1）在ABC中，由题意知3sin 3A ==，又因为2B A π=+，所有6sin sin(cos 23B A A π=+==，由正弦定理可得63sin 3sin 33a BAb ⨯===.（2）由2B A π=+得3cos cos sin 2(3)B A A π=+=-=-，由A B C π++=,得()C A B π=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+3366(3333=-+⨯13=.因此，ABC的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=.【点睛】本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.18.《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间[)80,90和[]90,100的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件A =“两人的测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100”，求()P A .【答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）()35P A =.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100的人数，按照古典概型计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.测试成绩落在区间[)40,70的频率为()0.0040.0060.02100.3++⨯=，落在区间[)40,80的频率为()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=，所以设第57百分位数为a ，有()0.3700.030.57a +-⨯=，解得79a =；【小问2详解】由题知，测试分数位于区间[)80,90、[)90,100的人数之比为0.2430.162=，所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间[)80,90中3人，用1A ，2A ，3A 表示，在区间[)90,100中2人，用1B ，2B 表示，从这5人中抽取2人的所有可能情况有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31A B ，()32,A B ，()12,B B ，共10种，其中“分别落在区间[)80,90和[)90,100”有6种，所以()35P A =.19.已知圆C ：22230x y x ++-=.（1）求过点(1,3)且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）已知点()4,0A ，()0,4B ，P 是圆C 上的动点，求ABP 面积的最大值.【答案】（1）1x =或512310x y -+=；（2）10+【解析】【分析】（1）将圆化为标准式，求出圆心与半径，讨论直线的斜率存在或不存在，当不存在时，设出点斜式，利用点到直线的距离等于半径即可求解.（2）将问题转化为求圆上的点到直线AB 距离的最大值即可求解.【详解】（1）当直线l 的斜率不存在时：1x =，此时圆心到直线的距离等于半径，满足题意，当直线l 的斜率存在时，设直线方程为：3(1)y k x -=-，圆C ：()2214x y ++=，即2d ==，∴512k =所以直线l 方程为：512310x y -+=.（2）∵()4,0A ，()0,4B ，∴AB ==AB 的方程为：40x y +-=，圆心到直线AB522=，所以点P 到直线AB的距离的最大值为max 22h =+，所以()max 15221022ABP S ⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭.20.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE AD ==，ABC ∆是底面的内接正三角形，且6AB =，P 是线段DO 上一点.（1）若12DP PO =，求三棱锥P -ABC 的体积.（2）当PO 为何值时，直线EP 与平面PBC 所成的角的正弦值最大.【答案】（1）（2）PO =【解析】【分析】（1）应用棱锥的体积公式即可；（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解.【小问1详解】在Rt DOA ，AD =AO =222,6DO AD AO DO =-∴=，因为12DP PO =，23PO DO =，4PO ∴=1116643322P ABC V S ABC PO -=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= 【小问2详解】如图所示，建立以点O 为坐标原点的空间直角坐标系..设PO x =，06x ≤≤，所以()0,0,P x，()E，)B，()C -，所以)3,EP x =-，)PB x =-，()PC x =--，设平面PBC 的法向量为(),,n a b c =，所以300n PB b cx n PC cx ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，所以(,,n x =-.设直线EP 与平面PBC 所成的角为θ，由题意得1sin 3θ===.当且仅当PO x ==EP 与平面PBC 所成的角的正弦值最大.21.已知函数已知函数2()22f x x ax a =-++，（1）若()0f x ≤的解集[0,3]A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若2()()1g x f x x =+-在区间(0,3)内有两个零点()1212,x x x x <，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1115a -<≤（2）1915⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）讨论集合A 是否是空集，从而求解，（2）222221,1()22123,1x ax a x g x x ax a x ax a x ⎧-++≥⎪=-+++-=⎨-++<⎪⎩，首先讨论a 是否是0，在0a ≠时，讨论函数的零点的位置，从而确定实数a 所满足的条件，从而求其范围．【小问1详解】若A =∅，则244(2)4(2)(1)012a a a a a ∆=-+=-+<⇒-<<，若A ≠∅，则Δ0120303112(0)0520(3)09620a a a a a f a f a a ⎧≥≤-≥⎧⎪⎪<<<<⎪⎪⇒⇒≤≤⎨⎨≥+≥⎪⎪⎪⎪≥-++≥⎩⎩或．综上可得：1115a -<≤．【小问2详解】222221,1()22123,1x ax a x g x x ax a x ax a x ⎧-++≥⎪=-+++-=⎨-++<⎪⎩．若0a =，则221,1()3,1x x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，无零点；若0a ≠，则23y ax a =-++在(0,1)单调，∴其在(0,1)内至多有一个零点．①若12013x x <<≤<，则3(3)0(3)(195)0a a a -+<⎧⎨--≤⎩，解得，1935a <≤，经检验，195a =时不成立，②若1213x x <<≤，由2Δ48(1)0132301950a a a a a ⎧=-+>⎪⎪<<⎪⎨⎪-≥⎪->⎪⎩，解得，13a +<≤，综上所述，实数a 的取值范围是1915⎛⎫ ⎪⎝⎭．22.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点O 的圆M （圆心M 在第一象限）与x 轴正半轴交于点A （2，0），弦OA 将圆M 截得两段圆弧的长度比为1：5．（1）求圆M 的标准方程；（2）设点B 是直线l +y =0上的动点，BC 、BD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形BCMD 面积的最小值；（3）若过点M 且垂直于y 轴的直线与圆M 交于点E 、F ，点P 为直线x ＝5上的动点，直线PE 、PF 与圆M 的另一个交点分别为G 、H （GH 与EF 不重合），求证：直线GH 过定点．【答案】（1）22(1)(4x y -+=（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由圆弧的长度比为1:5，可得60OMA ∠=︒，得OMA 为等边三角形，由此求出圆心坐标和半径，则圆M 的方程可求；（2）四边形BCMD 得面积12||22||2S BC BC =⨯⨯=，要使四边形BCMD 面积最小，则||BM 最小即可．此时BM l ⊥（3）设点0(5,)P y ，1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，先分析GH 斜率存在时，设y kx b =+，根据联立方程，由根与系数关系求出k ，b 关系即可得出所过定点，再验证斜率不存在情况即可.【小问1详解】弦OA 将圆M 截得两段圆弧的长度比为1:5，60OMA ∴∠=︒，则OMA 为等边三角形，又||2OA = ，∴圆心M 得坐标为，2r =．∴圆M 的标准方程为22(1)(4x y -+=；【小问2详解】四边形BCMD 得面积12||22||2S BC BC =⨯⨯=，在Rt BCM △中，||BC =，要使四边形BCMD 面积最小，则||BM 最小即可．此时BM l ⊥，∴||min BM =，∴||min BC =．∴四边形BCMD面积的最小值为；【小问3详解】证明：设点0(5,)P y ，1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，由题意知：(E -，F ，∴0113361PE GE y y k k x --===+，032PF FH y k k ==．3PF PE k k ∴=，22121(9(1)y x -=⨯+，① 点G 、H 在圆M 上，∴将2211(4(1)y x =--和2222(4(1)y x -=--代入①整理得：121227()200x x x x -++=，②当斜率k 存在时，设直线GH y kx b =+，联立22(1)(4y kx b x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，得222(1)(22)0k x kb x b ++--+-=．122221kb x x k --+=-+，21221b x x k-=+．代入②整理得：22(71030b k b k +-+-+=．∴(250b k b k ++-=，解得2b k =-或5b k =．当2b k =-时，直线GH的方程为(2)y k x =-；当5b k =-时，直线GH的方程为(5)y k x =-+，过定点．GH 与EF 不重合，∴点不合题意．当斜率k 不存在时，联立222(1)(4x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得(2G，，(2,0)H ．∴点适合．综上，直线GH过定点．。
福建省厦门市同安第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)数学试题
福建省厦门市同安第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（ ） A ．()2,1,4--B ．()2,1,4C ．()2,1,4---D ．()2,1,4-2．若{},,a b c r r r 和{},,a b b c m +-r r r r r 都为基底，则m r不可以为（ ）A ．a rB ．c rC ．a c +r rD ．-r r a c3．若直线3m y x n m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在y 轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线1322y x =+的倾斜角的2倍，则（ ） A ．4m =-，3n =- B ．4m =，3n = C ．4m =，3n =-D ．4m =-，3n =4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11B C 和11A D 的中点，则直线AC 与平面ABEF 所成角的正弦值为（ ）A B C D 5．集合{}6,2,3A =-，集合{}7,1,2B =-，从A ，B 中各任意取一个数相加为a ，则直线1:430l x ay +-=与直线2:440l ax y ++=平行的概率为（ ）A ．19B ．49C ．13D ．296．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC V 是边长为3的正三角形，M 是AB 上一点，12AM MB =u u u u r u u u r ，D 为BC 的中点，N 为PD 上一点且23PN PD =u u u r u u u r ，则MN =（ ）A ．5B ．3 CD 7．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11AC 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得//PQ BDB ．存在点Q ，使得PQ ⊥平面11ABCD C ．三棱锥Q APD -的体积是定值D ．存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π68．设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（ ）A．B ．C ．3D ．6二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充分不必要条件B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．过()()1122,,,x y x y 两点的所有直线，其方程均可写为112121y y x x y y x x --=-- D ．已知()()2,4,1,1A B ，若直线:20l kx y k ++-=与线段AB 有公共点，则21,32k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．若直线l 的方向向量为()2,4,2m =-r ，平面α的一个法向量为()1,2,1n =--r，则l α⊥B ．若空间中任意一点O ，有111362OP OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．若空间向量a r ，b r 满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r 夹角为钝角D ．若空间向量()1,0,1=r a ，()0,1,1b =-r ，则a r在b r 上的投影向量为110,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A ．122CQ AB AD AA =--+u u u r u u u r u u u r u u u rB ．点1C 到直线CQ C ．3CQ =u u u rD ．异面直线CQ 与BD 所成角的正切值为4三、填空题12．求经过()2,2且在两坐标轴上截距相等的直线方程为．13．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r，点N 满足()1BN BA BC λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，当AM 、BN 最短时，AM MN ⋅=uuu r uuu r．14．如图，正四棱锥P ABCD -的棱长均为2，点E 为侧棱PD 的中点．若点M ，N 分别为直线AB ，CE 上的动点，则MN 的最小值为．四、解答题15．在三棱锥P-ABC 中，2AB BC PC PB ====，90ABC ∠=︒，E 为AC 的中点，PB AC ⊥．(1)求证：平面PBE ⊥平面ABC ； (2)求点C 到平面P AB 的距离．16．已知ABC V 的顶点()4,2A -，顶点C 在x 轴上，AB 边上的高所在的直线方程为20x y m ++=．(1)求直线AB 的方程；(2)若AC 边上的中线所在的直线方程为40x y --=，求m 的值．17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，且14AA =，14CC CE =u u u u r u u u r，直线AE 与1AC 交于点F .(1)证明：1AC ⊥平面ABE . (2)求二面角1A BE A --的正弦值.18．在面积为S 的ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭． (1)求C 的值；(2)若c ABC V 周长的最大值；(3)若ABC V 为锐角三角形，且AB 边上的高h 为2，求ABC V 面积的取值范围．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，5AB AD +=，CD 120PAD ∠=︒，=45ADC ∠︒.(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)设AB AP =.①若直线PB 与平面PCD ，求线段AB 的长. ②在线段AD 上是否存在点G ，使得点P ，C ，D 在以G 为球心的球上？若存在，求线段AB 的长；若不存在，说明理由.。
华师一附中2023-2024学年度第一学期高二年级十月月考数学试题及答案
华师一附中2023-2024学年度第一学期高二年级十月月考数学试卷时限：120分钟 满分：150分一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1. 直线l 过点()2,1A ，(),3B m 的直线的倾斜角α的范围是3,44ππ，则实数m 的取值范围是（ ）A. (]0,2B. ()0,4C. [)2,4D. ()()0,22,42. 直线1l ：10ax y +−=，2l ：()1210a x y −−+=，则“1a =−”是“12l l ⊥”的（ ）条件 A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要3. 已知空间向量()()0,1,2,1,2,2a b ==−，则向量a在向量b 上的投影向量是（ ）A. 122,,333− B. 244,,333−C. ()2,4,4−D. 422,,333−4. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，点M 是棱1CC 的中点，连接1B M 、1BC 交于点P ，则（ ）A 12133DP AB AD AA =−+B. 11233DP AB AD AA =−+C. 12233DP AB AD AA =++D. 11122DP AB AD AA =−+5. 将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点()2,0与点()2,4−重合，点()2021,2022与点(),m n 重合，则m n +=（ ） A 1B. 2023C. 4043D. 40466. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为线段1DD 的中点，F 为线段1BB 的中点．直线1FC ..到平面1AB E 的距离为（ ）．A.B.C.23D.137. 过点()3,4P 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（ ） A. 4B. 5C. 6D. 78. 在四棱锥P ABCD −中，棱长为2的侧棱PD 垂直底面边长为2的正方形ABCD ，M 为棱PD 的中点，过直线BM 的平面α分别与侧棱PA 、PC 相交于点E 、F ，当PE PF =时，截面MEBF 的面积为（ ）A. B. 2C. D. 3二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题5分，少选得2分，共20分）9. 下列说法中不正确的是（ ）A. 经过定点000(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x −=−来表示B. 经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+来表示 C. 不与坐标轴重合或平行直线其方程一定可以写成截距式 D. 不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式 10. 下列命题中正确的是（ ）A. 若,,,A B C D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=B. 若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l 与平面α所成的角等于50°C. 已知向量{},,a b c 组是空间的一个基底，则{},,a b b c a b c ++++也是空间的一个基底D. 对空间任意一点O 与不共线的三点,,A B C ，若OP xOA yOB zOC =++（其中,,x y z ∈R,,x y z ∈R ），则,,,P A B C 四点共面11. 已知点()1,1M −，()2,1N ，且点P 在直线l ：20x y ++=上，则（ ）的A. 存在点P ，使得PM PN ⊥B. 存在点P ，使得2PM PN =C. PM PN +的最小值为D. PM PN −最大值为312. 如图，四边形ABCD 中，90BAD ∠=°，AB AD ==，45ACB ∠=°，1tan 2BAC ∠=，将ABC 沿AC 折到B AC ′位置，使得平面B AC ′⊥平面ADC ，则以下结论中正确的是（ ）A. 三棱锥B ACD ′−体积为8B. 三棱锥B ACD ′−外接球的表面积为44πC. 二面角B AD C ′−−D. 异面直线AC 与B D ′所成角的余弦值为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 直线1:230l mx y +−=与直线()2:3160l x m y m +−+−=平行，则m =_________. 14. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D −的底面ABCD是矩形，AB =，AD =，1AA =，且1160A AD A AB ∠=∠=°，则线段1AC 的长为_______________.15. 已知正方形的中心为直线220x y −+=，10x y ++=的交点，正方形一边所在的直线方程为350x y +−=，则它邻边所在的直线方程为___________．的的16. 已知a ，0b R a ∈≠，，曲线221a y y ax b x+==++，，若两条曲线在区间[]34，上至少有一个公共点，则22a b +的最小值为________．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （1）求证：动直线()()222231310m m x m m y m++++−++=（其中R m ∈）恒过定点，并求出定点坐标；（2）求经过两直线1:240l x y −+=和2:20l x y +−=的交点P ，且与直线3:3450x l y −+=垂直的直线l 的方程.18. 在ABC 中，()()()3,4,1,3,5,0A B C −. （1）求BC 边的高线所在的直线的方程；（2）已知直线l 过点A ，且B C 、到l 的距离之比为1:2，求直线l 的方程.19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，BC CD ⊥，π4ABC ∠=，112CDCE BE ===，2PA AD ==，F 为PD 的中点．（1）证明：AB PE ⊥；（2）求二面角A EF D −−的平面角的余弦值．20. 如图1，边长为2的菱形ABCD 中，120DAB ∠=°，E ，O ，F 分别是AB ，BD ，CD 的中点.现沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，连接AC ，如图2.（1）求cos EOF ∠；（2）若过E ，O ，F 三点的平面交AC 于点G ，求四棱锥A OEGF −的体积.21. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合(如图所示).将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上．（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程;（2）当20k −+≤≤时，求折痕长的最大值．22. 如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，且ABD △E 在母线PC 上，且AE =1CE =．（1）求证：直线//PO 平面BDE ，并求三棱锥P BDE −的体积：（2）若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离．1. B 【解析】由直线的倾斜角α的范围是3,44ππ，得直线的斜率存在时，1k <−或1k >. 当2m ≠时，31222k m m −==−−， 212m ∴<−−或212m >−，解得02m <<或24m <<. 当直线的斜率不存在时，2m =符合题意 综上，实数m 的取值范围是()0,4.故选：B 2.B 【解析】直线1l ：10ax y +−=，2l ：()1210a x y −−+=， 当12l l ⊥时,有()120a a −−=，解得2a =或1a =−. 所以“1a =−”时“12l l ⊥”成立，“12l l ⊥”时“1a =−”不一定成立， 则“1a =−”是“12l l ⊥”的充分不必要条件.故选：B 3. B 【解析】由已知可得，6a b ⋅= ，3b = ，所以，向量a 在向量b 上的投影向量是244,,23333a b b b b b − == ⋅⋅. 故选：B . 4. B 【解析】在平行四边形11BB C C 中，因为M 为1CC 的中点，连接1B M 、1BC 交于点P ，且11//BB CC ，所以，11112C P C M BP BB ==，则()()111222333BP BC BC BB AD AA ++， 因此，()11212333DP DA AB BP AD AB AD AA AB AD AA =++=−+++=−+. 参考答案故选：B. 5. C 【解析】解：设()2,0A ，()2,4B −，则,A B 所在直线的斜率为40122AB k −==−−−，由题知过点()2021,2022与点(),m n 的直线与直线AB 平行， 所以202212021n m −=−−，整理得202120224043m n +=+=故选：C 6.D 【解析】11,AE FC FC ⊄ 平面1AB E ,AE ⊂平面1AB E , 1FC ∴ 平面1AB E ,因此直线1FC 到平面1AB E 的距离等于点1C 到平面1AB E 的距离，如图，以D 点为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，1DD 所在的直线为z 轴，建立直角坐标系.则1111(1,0,0),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,),(1,1,)22A B C E F111111(1,0,),(1,0,),(0,1,1),(1,0,0)22FC AE AB C B =−=−==设平面1AB E 的法向量为(,,)n x y z =，则11020n AE x z n AB y z ⋅=−+=⋅=+=，令2z =，则(1,2,2)n =− 设点1C 到平面1AB E 的距离为d ，则1113n C B dn⋅=故直线1FC 到平面1AB E 距离为13. 故选：D. 7. D 【解析】当截距为0时，是直线OP ,只有一条，当截距大于0时，设截距分别为,,a b 则直线方程为1x ya b+=，∵直线过点()3,4P , ∴341+a b =①，∵0,0a b >>,∴3400>,>a b ,结合①可得，34<1<1,a b,∴3,4a b >>,又∵,a b 为整数，45a b ∴≥≥，， 由①解得412433a b a a ==+−−,3a −为12的因数， ∴31,2,3,4,6,12a −=,对应4,5,6,7,9,15a =,相应16,10,8,7,6,5,b = 对应的直线又有6条，综上所述，满足题意的直线共有7条，故选：D. 8. A 【解析】由题意，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形， 如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，则()0,2,0C ，()002P ,,，()2,0,0A ，()0,0,1M ，()2,2,0B ，()2,0,2PA =−，()2,2,1BM =−−，设()2,0,2PEtPA t t ==−，01t ≤≤，则()2,0,22E t t −，又PE PF =，PA PC =，所以()0,2,2PF tPC t t ==− ，则()0,2,22F t t −，由题意，M E B F 、、、四点共面，所以BM xBE yBF =+，的所以2(22)222(22)1(22)(22)t x yx t y t x t y−=−−−=−+− =−+−，解得32,43x y t ===，所以42,0,33E ，420,,33F ，所以2222,2,,2,,3333BE BF =−−=−− ，所以7cos ,11BE BF BEBF BE BF⋅==，即7cos 11EBF ∠=，所以sin EBF ∠所以1144sin 229EBF S BE BF EBF =××∠=×， 又4141,0,,0,,3333ME MF =−=− ，所以1cos ,17ME MF MEMF ME MF⋅==，即1cos 17EMF ∠=，所以sin EMF ∠所以1117sin 229EMF S ME MF EMF =××∠=×， 所以截面MEBF的面积为EBF EMF S S S =+=+= 故选：A 9. ABC 【解析】对于A ，点斜式方程适用斜率存在的直线，故A 错误； 对于B ，斜截式方程适用斜率存在的直线，故B 错误；对于C ，截距式方程适用不与坐标轴重合或平行且不过原点的直线，故C 错误； 对于D ，两点式方程适用不与坐标轴重合或平行的直线，故D 正确；故选：ABC 10. AC 【解析】A ：因为0AB BC CD DA +++=，所以本选项命题正确；B ：因为直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°， 所以直线l 与平面α所成的角等于()9018013040°−°−°=°，因此本选项命题不正确；C ：假设{},,a b b c a b c ++++不是空间一个基底，所以有()()a b cx a b y b c ++=+++成立， 因为{},,a b c组是空间的一个基底，所以可得111x x y y ==+ =，显然该方程组没有实数解，因此假设不成立， 所以{},,a b b c a b c ++++ 也是空间的一个基底，因此本选项命题正确；D ：因为只有当1x y z ++=时，,,,P A B C 四点才共面， 所以本选项命题不正确， 故选：AC 11. BCD 【解析】对于A ：设(),2P a a −−，若1a =−时()1,1P −−，此时PM 斜率不存在，203PN k =≠，PM 与PN 不垂直，同理2a =时PM 与PN 不垂直， 当1a ≠−且2a ≠时31PM a k a −−=+，32PN a k a −−=−， 若PM PN ⊥，则33121PM PN a a k k a a −−−−⋅=⋅=−−+， 去分母整理得22570a a ++=，2Δ54270−××<，方程无解，故PM 与PN 不垂直，故A 错误； 对于B ：设(),2P a a −−，若2PM PN =，则即221090a a ++=，由2Δ10429280=−××=>，所以方程有解，则存在点P ，使得的2PM PN =，故B 正确；对于C ：如图设()1,1M −关于直线l 的对称点为(),M a b ′，则111112022b a a b − = +−++ ++= ， 解得31a b =− =− ，所以()3,1M ′−−，所以PM PN PM PN M N +=+≥=′′，当且仅当M ′、P 、N 三点共线时取等号（P 在线段M N ′之间），故C 正确；对于D ：如下图，3PM PN MN −≤=，当且仅当P 在NM 的延长线与直线l 的交点时取等号，故D 正确.故选：BCD 12. ABC【解析】过B 作BEAC ⊥于E ，在ABC 中，因为1tan 2BAC∠=，所以sinBAC ∠cos BAC ∠由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC=∠∠,=，解得BC =所以sin2BE BC ACB=∠==，2CE=，因为()ABC ACB BACπ∠=−∠+∠,所以sin sin()ABC ACB BAC∠=∠+∠sin cos cos sinACB BAC ACB BAC=∠∠+∠∠=+=，由正弦定理得sin sinAC ABABC ACB=∠∠=6AC=，所以11sin sin(90)22ACDS AC AD DAC AC AD BAC=⋅⋅∠=⋅⋅°−∠11cos61222AC AD BAC=⋅⋅∠=××=，因为平面B AC′⊥平面ADC，平面'B AC 平面ADC AC=，BE AC⊥，所以'B E⊥平面ADC，所以三棱锥B ACD′−的体积为11122833ACDS BE⋅=××=，所以A正确，设O为ACD的外心，ACD外接圆半径为r，由余弦定理得2222cosCD AC AD AC AD DAC=+−⋅∠22222cos(90)2sin36202632AC AD AC AD BACAC AD AC AD BAC+−⋅°−∠=+−⋅∠=+−××所以CD=，由正弦定理得2sinCDrDAC==∠r=取AC的中点M，连接,,OM OE OC，则1OM=，OE，设三棱锥B ACD′−外接球的半径为R，球心为'O，设'OO x=，则222222(2)R OE x R x OC=++ =+ ，即22222(2)10R x R x =++ =+ ，解得1x =，211R =， 所以三棱锥B ACD ′−外接球的表面积为2444R π=π，所以B 正确，过E 作EF AD ⊥于F ，连接'B F ，因为'B E ⊥平面ADC ，AD ⊂平面ADC ，所以'B E AD ⊥，因为'B E EF E = ，所以AD ⊥平面'EB F ，因为'B F ⊂平面'EB F ，所以'B F AD ⊥，所以'B FE ∠为二面角B AD C ′−−的平面角，因为sin 4EF AE DAC =⋅∠=''tan B E B FE EF ∠=C 正确，如图，以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，过D 作DG AC ⊥于G ，则cos 2AG AD CAD =⋅∠==，sin 4DG AD CAD =⋅∠==， 则'(2,0,0),(4,0,0),(2,4,0),(0,0,2)C A D B −−所以'(6,0,0),(2,4,2)AC B D ==−−设异面直线AC 与B D ′所成角为θ，则cos θ，所以D 错误， 故选：ABC13. －2 【解析】由1:230l mx y +−=，得到12:32ml y x =−+，因为12l l //，所以10m −≠，由()3160x m y m +−+−=，得到3611m y x m m −=−−−− 所以3213621mm m m −=− −− ≠− − ，即2603m m m −−= ≠ ，解得2m =−，故答案为：2−.14. 【解析】依题意，11AC AC CC =+ ，得22221111()2AC AC CC AC AC CC CC =+=+⋅+ ， 由底面ABCD为矩形，AB =，AD =222224AC AB AD =+=+= ，显然22118CC AA == ， 又1111()AC CC AB AD CC AB AA AD AA ⋅=+⋅=⋅+⋅1111cos 60cos 60422AB AA AD AA =⋅⋅°+⋅⋅°+= ，因此21424820AC =+×+=，所以1AC = .故答案为：15. 390,330x y x y −+=−−= 【解析】解：22010x y x y −+= ++= ，解得10x y =− =，∴中心坐标为(1,0)M −，点M 到直线1:350l x y +−=的距离d 设与1l 垂直两线分别为34l l 、，则点(1,0)M −，设34,l l 方程为230x y d −+=23d =−或9 ， ∴它邻边所在的直线方程为390,330x y x y −+=−−=．故答案为：390,330x y x y −+=−−= 16.1100【解析】曲线221a yy ax b x+==++，， 221a ax b x+∴=++， 222a ax bx x ∴+=++，()21220x a bx x ∴−++−=， 于是可以看作关于a ，b 的直线方程， 则()a b ，是该直线上的点，22a b ∴+表示原点到点()a b ，的距离的平方，设原点到直线的距离为d ， 根据点到直线的距离公式得到d =()()222222222211x x a b d x x −− ∴+≥== + +， 令[]234t x x =−∈，，，则[]12t ∈，，则2x t =+， ()222222221545214t t a b d t t t t t ∴+≥=== ++++ ++， 设()[]5412f t t t t=++∈，，， 可知函数()f t 在[]12，上为减函数， ∴当1t =时，()()115410max f t f ==++=， ∴当1t =时，22a b +最小值为1100． 故答案为:1100． 17. 【解析】(1)证明：解法一：令0m =，则直线方程为310x y ++= ① 再令1m =时，直线方程为640x y ++=② ①和②联立方程组310640x y x y ++=++=，得12x y =− = ，将点()1,2A −代入动直线()()222231310m m x m my m++++−++=中，即()()()()()22222311231312222130m m m m m m m ++×−++−×++−−+−+++−故动直线()()222231310mm x m m y m ++++−++=恒过定点()1,2A −. 解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理，得()()232310x y m x y m x y −++++++=① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴ 有3020310x y x y x y −+=+=++=，解得12x y =− = ， 故动直线恒过点()1,2A −．(2)解法一：联立方程24020x y x y −+=+−=，解得()0,2P ， 直线3:3450x l y −+=的斜率为34，由3l l ⊥，则直线l 的斜率为43k =−， 故直线l 的方程为4360x y +−=. 解法二：设所求直线方程为430x y m ++=， 将解法一中求得的交点()0,2P 代入上式可得6m =−，故所求直线方程为4360x y +−=. 解法三：设直线l 的方程为()()2420x y x y λ−+++−=， 即()()12420x y λλλ++−+−=，又3l l ⊥， ∴ ()()()31420λλ×++−×−=， 解得11λ=，故直线l 的方程为4360x y +−=. 18. 【解析】（1）设BC 边高线所在的直线为m ，的所以由3011215m BC m m k k k k −⋅=−⇒⋅=−⇒=−−， 所以直线m 的方程为()423220y x x y −=−⇒−−=； （2）当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为3x =， 显然B C 、到l 的距离之比为2:1，不符合题意；当直线l 存在斜率时，设为k ，方程为()43430y k x kx y k −=−⇒−+−=， 因为B C 、到l 的距离之比为1:2，1k =，或15k =−， 方程为10x y −+=，或5230x y +−=， 综上所述：直线l 的方程10x y −+=，或5230x y +−=. 19. 【解析】（1）在四边形ABCD 中，//AD BC ，取BE 中点G ，连接,AG AE ，由112CDCE BE ===，得2CG AD ==，则四边形AGCD 是平行四边形，又BC CD ⊥， 因此AGCD 是矩形，即有AG BC ⊥，有AE AB =，π4AEB ABC ∠=∠=， 从而π2BAE ∠=，即AB AE ⊥，而PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则AB PA ⊥， 又,,PA AE A PA AE ∩=⊂平面PAE ，于是AB ⊥平面PAE ，而PE ⊂平面PAE ， 所以AB PE ⊥.（2）由（1）知,,AG AD AP 两两垂直，以点A 为原点，直线,,AG AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，依题意，(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,1,1)A E D F ，(1,1,0),(1,0,1),(1,1,0)AE EF ED ==−=−，设平面AEF 的一个法向量(,,)m x y z = ，则00m AE x y m EF x z ⋅=+= ⋅=−+= ，令1x =，得(1,1,1)m =− ，设平面DEF 的一个法向量111(,,)n x y z = ，则111100n ED x y n EF x z ⋅=−+= ⋅=−+=，令11x =，得(1,1,1)n = ，因此1cos ,3||||m n m n m n ⋅〈〉==，显然二面角A EF D −−的平面角为钝角， 所以二面角A EF D −−的平面角的余弦值为13−.20. 【解析】（1）连接OA ，OC ，平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD BD =，OA BD ⊥，OA ⊂平面ABD ，故OA ⊥平面BCD ，分别以OC ，OD ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1A，()0,B ，()1,0,0C，()D ，因为E ，F 分别是AB ，CD的中点，所以10,2OE =，12OF =， 所以334cos 114OE OF EOF OE OF −⋅∠===−×⋅ . 【小问2详解】连接EG ，FG ，AF ， 设平面OEGF的法向量为(,,)n x y z = ，则0n OE ⋅=，0n OF ⋅=，即1111102102y z x y += +=，令1y =，则13x =−，13z =，所以()n =− ， 设A 到平面OEGF 的距离为h，而10,2AE =−，AE nh n ⋅==依题意得四边形OEGF 是一个菱形，()0,πEOF ∠∈，sin EOF ∠，所以2sin OEF OEGF S S OE OF EOF ==⋅⋅∠=四边形，所以1133A OEGF OEGF V S h −=××==四边形. 21. 【解析】解：（1）①当0k =时，此时点A 与点D 重合，折痕所在直线的方程为12y =． ②当0k ≠时，将矩形折叠后点A 落在线段DC 上的点记为(),1G a ，02a <≤，所以点A 与点G 关于折痕所在的直线对称，有1·11OG k k k a k a=−⇒⋅=−⇒=−， 故点G 的坐标为(),1k −，从而折痕所在的直线与OG 的交点(线段OG 的中点)为122k P−,， 故折痕所在直线的方程为122k y k x −=+，即2122k y kx =++．综上所述，折痕所在直线的方程为2122k y kx =++．()2当0k =时，折痕的长为2;当20k −+≤<时，折痕所在的直线交直线BC 于点212222k M k++,，交y 轴于点2102k N + ,．(22027k<≤−+=−,∴(211122=1222k +<≤<×,则N 在AD 上，221132(2)2222k k k ++=+−，20k −+≤<，21222k k ∴++的取值范围为10,2 ，故点M 在线段BC 上．(22222211||224444732222k k MN k k +=+−++=+≤+×−=− ，∴2.=而22>，故折痕长度的最大值为2.22.【解析】（1）设AC BD F ∩=，连接EF ，ABD 为底面圆O的内接正三角形，2AC ∴=，F 为BD 中点，又32AF ==，31222CF ∴=−=，213AO AF ==；AE = ，1CE =，222AE CE AC ∴+=，AE EC ∴⊥，AF AE AE AC= ，AEF ∴ ∽ACE △，AFE AEC ∴∠=∠，EF AC ∴⊥； PO ⊥ 平面ABD ，PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABD ， 平面PAC 平面ABD AC =，EF ⊂平面PAC ，EF ∴⊥平面ABD ， 又PO ⊥平面ABD ，//EF PO ∴，PO ⊄ 平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，//PO ∴平面BDE ；F 为BD 中点，AF BD ∴⊥，即OF BD ⊥，又EF ⊥平面ABD ，,OF BD ⊂平面ABD ，EF OF ∴⊥，EF BD ⊥， EF BD F = ，,EF BD ⊂平面BDE ，OF ∴⊥平面BDE ，EF === EF BD ⊥，113224BDE S BD EF ∴=⋅== ， 又1122OF AF ==，//PO 平面BDE ， 1131133428P BDE O BDE BDE V V S OF −−∴==⋅=××= . （2）12OF CF == ，F ∴为OC 中点，又//PO EF ，E ∴为PC 中点，2PO EF =，PO ∴，2PC =， 以F 为坐标原点，,,FB FC FE 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则30,,02A −，B，E，D ，10,,02O −，10,2P − ，3,02AB ∴，30,2AE =，(OP =，1,02DO=−，3,02DA =−，设()()01OM OP λλ==≤≤，12DM DO OM ∴=+=−；设平面ABE 的法向量(),,n x y z = ，则302302AB n x y AE n y z ⋅=+= ⋅==，令1y =−，解得：x =，z =，n ∴=− ， 设直线DM 与平面ABE 所成角为θ，sin DM n DM n θ⋅∴==⋅令32t λ=+，则[]2,5t ∈，23t λ−∴=， ()()2222222213147174313332t t t t t t t λλ−++−+ ∴===−++， 111,52t ∈ ，∴当127t =，即12λ=时，()22min 313114497324λλ+ +== + ， ()max sin 1θ∴==，此时12DM =−，0,1,MA DA DM ∴=−=− ， ∴点M 到平面ABE的距离MA n d n ⋅== .。
2023—2024学年广西壮族自治区高二上学期新高考10月月考测试数学试题(含答案)
2023-2024学年广西壮族自治区高二上册新高考10月月考测试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}24A x x =≤<，集合{}2320B x x x =-+<，则A B ⋃=（）A.∅B.{}12x x << C.{}24x x ≤< D.{}14x x <<【正确答案】D【分析】将集合A 、B 化简，再根据并集的运算求解即可.【详解】∵集合{}24A x x =≤<，集合{}{}232012B x x x x x =-+<=<<，∴{}14A B x x ⋃=<<．故选：D.2.已知复数3i1iz +=+，则z =（）A.B.C.3D.5【正确答案】B【分析】按照复数的除法运算求出复数z 的代数形式，再根据复数的模长公式求解即可.【详解】()()()()23i 1i 3i 33i i i 42i2i 1i 1i 1i 22z +-+-+--=====-++-.z ∴.故选：B.3.已知1253a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小顺序是（）A.a b c >> B.c a b>> C.c b a>> D.b c a>>【正确答案】D【分析】由11225335-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 4>，333log 3log 7log 9<<判断.【详解】因为112253135a -⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 42b =>=，3331log 3log 7log 92c =<=<=，所以b c a >>故选：D4.已知直线1l ：()220a x ay -++=，2l ：()20x a y a +-+=，则“12l l ⊥”是“1a =-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】当1a =-时，根据斜率的乘积等于1-可得12l l ⊥；当12l l ⊥时，根据()()2120-⨯+-=a a a 求出a ，再根据必要不充分条件的概念可得答案.【详解】当1a =-时，1:32l y x =-+，211:33l y x =-，121313k k ⋅=-⨯=-，所以12l l ⊥；当12l l ⊥时，可得()()()()212210a a a a a -⨯+-=-+=，解得1a =-或2a =，所以“12l l ⊥”是“1a =-”的必要不充分条件．故选：B ．5.已知4a = ，3b = ，6a b ⋅=-，则向量b 在a 方向上的投影向量为（）A.38a- B.38b- C.38a D.38b 【正确答案】A【分析】利用平面向量数量积的几何意义进行求解.【详解】因为4a = ，3b = ，6a b ⋅=-，所以向量b 在a方向上的投影向量为63448a b a a a aa ⋅-⋅=⋅=-⨯.故选：A.6.已知点()2, 2,,3()1A B -，若直线10kx y --=与线段AB 有交点，则实数k 的取值范围是A.3(,4),2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭B.34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C.3(,4],2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭D.34,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【正确答案】C【分析】根据题意知A 、B 两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．【详解】根据题意，若直线l ：kx ﹣y ﹣1＝0与线段AB 相交，则A 、B 在直线的异侧或在直线上，则有（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，即（2k ﹣3）（k +4）≥0，解得k ≤﹣4或k ≥32，即k 的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[32，+∞）．故选C ．本题考查直线与线段AB 相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．7.已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（）A.79-B.79 C.29-D.29【正确答案】A【分析】根据余弦的二倍角公式，结合诱导公式进行求解即可.【详解】因为1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以由11sin cos 26363πππαα⎛⎫⎛⎫+-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，217cos(2)2cos ()1213699ππαα-=--=⨯-=-，故选：A8.已知三棱锥-P ABC 的顶点都在球O 的球面上，,AB AC BC PB ⊥=⊥平面ABC ，若球O 的体积为36π，则该三棱锥的体积的最大值是（）A.3B.5C.3D.83【正确答案】A【分析】将三棱锥-P ABC 放入长方体内，得到PC 为球直径，由基本不等式求出4AB AC ⨯≤，从而求出三棱锥的体积的最大值.【详解】因为,AB AC BC ⊥=ABC 为等腰直角三角形，又PB ⊥平面ABC ，所以PB 为三棱锥-P ABC 的高，则可将三棱锥-P ABC 放入长方体内，如图，长方体的体对角线即为外接球直径，即PC 为球直径，34π36π32PC V ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，解得6PC =，又6PC ===，解得PB =2222BC AB AC AB AC =+≥⨯，所以4AB AC ⨯≤所以三棱锥的体积11323V AB AC =⨯⨯⨯⨯≤，故选：A解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分．9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23D.若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为32【正确答案】AC【分析】分别利用古典概型的计算公式，方差和标准差的计算公式及其百分位数的定义求解即可.【详解】对于选项A ,个体m 被抽到的概率为50.150=，故该选项正确；对于选项B ，126745m ++++=，解得4m =，则方差为()()()()()2222221=1424446474 5.25S ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，故该选项错误；对于选项C ,数据27，12，14，30，14，17，19，23从小到大排列为，12，14，14，17，19，23，27，30，由于870⨯% 5.6=，其中第6个数为23，故该选项正确；对于选项D ,设数据1x ，2x ，…，10x 的均值为x ，则数据121x -，221x -，…，1021x -的均值为21x -，因为数据1x ，2x ，…，10x8=，所以数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为16==，故该选项错误；故选：AC.10.在ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若sin 2sin 2A B =，则ABC 为直角三角形B.若sin cos a b C c B =+，则π4C ∠=C.若12,10,60a b B ===︒，则符合条件的ABC 有两个D.在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立【正确答案】BD【分析】根据正弦定理和余弦定理，逐个判断即可.【详解】对于A ：sin 2sin 2A B =，所以22A B =或者22πA B +=，即A B =或π2A B +=，所以ABC 为等腰三角形或者直角三角形，A 错误；对于B ：sin cos sin sin sin sin cos a b C c B A B C C B =+⇒=+，又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+，代入可得sin sin sin cos B C B C =，所以sin cos C C =，所以π4C =，B 正确；对于C ：由正弦定理可得sinsin a bA B=，代入可得12sin 1sin A A =⇒=，所以符合条件的三角形没有，C 错误；对于D ：ABC 是锐角三角形，所以222222cos 002b c a A b c a bc+-=>⇒+->，D 正确，故选：BD11.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称C.函数()f x 图象向右平移π6个单位可得函数2sin y x =的图象D.若方程()()R f x m m =∈在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不等实数根1x ，2x ，则()121cos 2x x +=．【正确答案】AB【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项．【详解】由图可知2A =，πππ43124T =-=，所以2ππT ω==，于是A 正确，所以2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+，将点π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入得：π2sin 26ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ+=+，Z k ∈，又2πϕ<，所以π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，因为5π5ππ2sin 21263f ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为最小值，所以函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称，故B 正确；对于C ，将函数()f x 图象向右平移π6个单位，可得函数ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 错误；对于D ，由条件结合图象可知12π212x x +=，于是12π6x x +=，所以()12π3cos cos 62x x +==，故D 错误．故选：AB ．12.已知222,0()1ln ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩，若存在123x x x <<，使得()()()123f x f x f x m ===，则下列结论错误的有（）A.实数m 的取值范围为[]1,2B.31e x <≤C.122x x +=-D.12x x 的最大值为1【正确答案】AD【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，再利用方程的根的个数即为函数图象的交点个数，即可求得实数m 的取值范围，再利用图象判断出根的分布情况即可做出判断.【详解】由函数222,0()1ln ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩可知其图象如下图所示，又因为存在123x x x <<，使得()()()123f x f x f x m ===，所以函数()f x 与y m =有三个不同的交点，根据图象可知(]1,2m ∈，故A 错误；根据函数图像可知30x >，所以(]31ln 1,2x m +=∈得30ln 1x ≤<，即31e x <≤，故B 正确；显然120x x <<，且关于=1x -对称，所以122x x +=-，故C 正确；因为120x x <<，且122x x +=-，所以12()2x x -+-=，2121212()()()12x x x x x x -+-⎛⎫=--≤= ⎪⎝⎭，当且仅当121x x ==-时，等号成立；又因为12x x <，所以121x x <，故D 错误；故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点()1,1P 在直线410(0)ax by ab +-=>上，则11a b+的最小值为______．【正确答案】9【分析】先由题意得41a b +=，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】根据点在线上，得到410a b +-=，则41a b +=，又0ab >，故11114()(4)5549.b a a b a b a b a b+=++=++≥+=当且仅当4b a a b =，即123a b ==时，等号成立，故11a b+的最小值为9．故9.14.已知偶函数()f x 在区间[)0,∞+单调递增，则满足()()211f x f -<的x 的取值范围是__________.【正确答案】(0,1)【分析】因为21x -不一定也在单调递增区间[0,)+∞内,所以不能利用函数单调性解函数不等式,所以要用偶函数的性质将(21)f x -变成(|21|)f x -,然后再用函数在[0,)+∞上的单调性解函数不等式.【详解】因为函数()f x 为偶函数,所以(21)(|21|)f x f x -=-,所以不等式()()211f x f -<等价于(|21|)(1)f x f -<,又因为函数()f x 在区间[)0,∞+单调递增,所以|2|11x -<,解得01x <<,所以x 的取值范围是(0,1).故答案为(0,1).本题考查了函数的奇偶性,单调性以及抽象函数不等式的解法,抽象函数不等式的解法,都是用函数的单调性来解,利用函数的单调性时,一定要保证自变量在同一个单调区间内,不满足这一点的,往往利用偶函数的性质变形后,再用函数的单调性解不等式.本题属于中档题.15.在ABC 中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．【正确答案】2【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：1212AD b +===+．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b=由正弦定理可得，2sin 60sin sin b B C == ，解得：62sin 4B +=，2sin 2C=，因为1>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故2．本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P CM⊥，则PBC △的面积的最小值是________．【正确答案】510【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量、三角形的面积公式、二次函数进行求解.【详解】如图，以点D 为空间直角坐标系的原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则点()1,,,[01]P y z y z ∈、，，()10,0,1D 所以()11,,1D P y z =- ，因为()10,1,0,1,0,2C M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,1,2CM =-⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，因为1D P CM ⊥ ，所以()11102y z -+-=，所以21z y =-，因为()1,1,0B ，所以()0,1,21BP y y =-- ，所以()()222121562BP y y y y =-+-=-+，因为01y ≤≤，所以当35y =时，min 55BP =，因为正方体中，BC ⊥平面11,ABB A BP ⊂平面11ABB A ，故BC BP ⊥，所以()min 155=1=2510PBC S ⨯⨯ .故答案为.510四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知直线l 过点()2,1P .（1）若直线l 与3240x y -+=垂直，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【正确答案】（1）2370x y +-=；（2）20x y -=或30x y +-=.【分析】（1）根据互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可；（2）根据直线的截距是否为零分类讨论求解即可.【小问1详解】直线3240x y -+=的斜率为32，与直线3240x y -+=垂直的直线的斜率为23-，过点P 且与直线3240x y -+=垂直的直线的方程为()2123y x -=--，即2370x y +-=.【小问2详解】分两种情况讨论：①当直线在两坐标轴上的截距均为零时，设所求直线的方程为y kx =，将点P 的坐标代入该直线方程得21k =，解得12k =，此时，所求直线的方程为20x y -=；②当直线在两坐标轴上的截距均不为零时，设所求直线的方程为1x y a a +=，即x y a +=，将点P 的坐标代入该直线方程得213a =+=，此时，所求直线的方程为30x y +-=综上所述，所求直线的方程为20x y -=或30x y +-=.18.如图，空间四边形OABC 的各边及对角线长为2，E 是AB 的中点，F 在OC 上，且2OF FC = ，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，（1）用a ，b ，c 表示EF；（2）求向量OA 与向量EF 所成角的余弦值.【正确答案】（1）112223a b c --+ （2）51938-【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解；（2）计算22112223EF a b c ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 的值即可得EF ，再计算OA EF ⋅ 的值，由空间向量夹角公式即可求解.【小问1详解】因为OA a = ，OB b = ，OC c =，所以()2111232223EF OF OE OC OA OB a b c =-=-+=--+ .【小问2详解】因为空间四边形OABC 的各边及对角线长为2，所以四面体OABC 是正四面体，2a b c === ，且a ，b ，c 间的夹角为π3，所以22cos602a b a c b c ⋅=⋅=⋅=⨯⨯= ，2112112223223EF a b c a b OA a a c a ⎛⎫=--+=-⋅⋅⋅⋅-+ ⎪⎝⎭ 211252222233=-⨯-⨯+⨯=-，22222112114122223449233EF a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=--+=+++⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭ 222114122192222224492339=⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=，所以193EF =，所以5,3cos 38193OA EF OA EF OA EF -===-⋅⨯ ，所以向量OA 与向量EF 所成角的余弦值为51938-.19.在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足()(sin sin )()sin a b A B a c C +-=-.（1）求角B 的大小；（2）若c =，求a 的取值范围.【正确答案】（1）3π（2）【分析】（1）先利用正弦定理把已知式子统一成边的关系，再利用余弦定理可求出角B 的大小，（2）由（1）可得23A CB π+=π-=，由正弦定理可得312cos sin 2233sin sin sin sin tan C C C c a A C C C Cπ⎫⎛⎫+⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅===+，然后由ABC 为锐角三角形求出角C 的范围，再利用正切函数的性质可求得结果【小问1详解】因为()(sin sin )()sin a b A B a c C +-=-，所以由正弦定理可得()()()a b a b a c c +-=-，化简得222a c b ac +-=，所以由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为(0,)B π∈，所以3B π=【小问2详解】因为3B π=，所以23A C B π+=π-=,由正弦定理得，sin sin a c A C =，所以12cos sin 2233sin sin sin sin tan C C C c a A C C C Cπ⎫⎛⎫+⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅===，因为ABC 为锐角三角形，所以022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得62C ππ<<，所以3tan 3C >，所以30tan C <<3tan C<+<，a <<，即a 的取值范围为20.某省将实行“312++”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A 、B 、C 、D 、E 共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A 等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B 等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C 等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D 等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E 等级排名占比2%，赋分分数区间是30～40；现从全年级的生物成绩中随机取100学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a 的值，并求抽取的这100名学生的原始成绩的平均数；（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B 等级及以上（含B 等级）？（结果保留整数）（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[)40,50和[)50,60内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在[)40,50内的概率．【正确答案】（1）0.03a =，平均数为71.（2）74（3）35【分析】（1）由频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1，可求出a ，进而可求出平均数.（2）由频率分布直方图结合B 等级及以上排名占比列方程即可得解．（3）列出所有基本事件及满足要求的基本事件，由古典概型概率公式即可得解.【小问1详解】()10.010.01520.0250.00510100.03a ⎡⎤=-+⨯++⨯÷=⎣⎦；平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由已知等级达到B 及以上所占排名等级占比为15%35%50%+=，假设原始分不少于x 分可以达到赋分后的B 等级及以上，由频率分布直方图知[)40,70占比()0.010.0152100.4+⨯⨯=，[]80,100占比()0.0050.025100.3+⨯=，所以7080x <<，且(0.0050.025)10(80)0.030.50x ⨯-=⨯++，解得73.3x ≈（分），所以原始分不少于74分才能达到赋分后的B 等级及以上．【小问3详解】由题知得分在[)40,50和[)50,60内的频率分别为0.1和0.15，由0.120.153=知抽取的5人中，得分在[)40,50内的有2人，记为AB ,得分在[)50,60的有3人，记为cde ，则从5人中抽取两人的基本事件为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A c A d A e B c B d B e c d c e d e 共10种，这2人中恰有一人原始成绩在[)40,50内的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,A c A d A e B c B d B e ，共6种，故所求概率63105P ==.21.每年的3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为45，35；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为p ，q .甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响.（1）若58p =，求甲恰好胜出一轮的概率；（2）若甲、乙各胜出一轮的概率为950，甲、乙都获得优秀的概率为625.（i ）求p ，q ，的值；（ii ）求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率.【正确答案】（1）1740（2）（i ）23p =，34q =；（ii ）223300【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可.（2）（i ）利用对立事件和独立事件的概率公式表示出()P D 和()P E ，即可求解；（ii ）利用对立事件和独立事件的概率公式即可求解.【小问1详解】设“甲在第一轮竞赛中胜出”为事件1A ，“甲在第二轮竞赛中胜出”为事件2A ，“乙在第一轮竞赛中胜出”为事件1B ，“乙在第二轮竞赛中胜出”为事件2B ，则1A ，2A ，1B ，2B 相互独立，且()145P A =，()2P A p =，()135P B =，()2P B q =.设“甲恰好胜出一轮”为事件C ，则1212C A A A A =+，12A A ，12A A 互斥.当58p =时，()()()()12121212P A A A A P P C A A P A A +=+=()()()()1212P A P A P A P A =+431517585840=⨯+⨯=.所以当58p =，甲恰好胜出一轮的概率为1740.【小问2详解】由（1）知，（i ）记事件D 为“甲、乙各胜出一轮”，事件E 为“甲、乙都获得优秀”，所以()()12121212D A A A A B B B B =++，1122E A B A B =.因为甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响，所以()()()12121212P P A A A A P B B B D B ⋅=++()()()()12121212A A A A B P P P B B P B ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()12121212P A P A P A P A P B P B P B P B ⎡⎤=++⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()4132911555550p p q q ⎡⎤⎡⎤=-+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()()()()()112211224365525P E P A B A B P A P B P A P B p q ===⨯=，则2481869012q p pq pq --+-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2334p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1332p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）.综上，23p =，34q =.（ii ）设事件G 为“甲获得优秀”，事件H 为“乙获得优秀”，于是G H ⋃=“两人中至少有一人获得优秀”，且()()12815P G P A A ==，()()12920P H P B B ==，所以()()87111515P G P G =-=-=，()()911112020P H P H =-=-=，所以()()()()7112231111520300P G H P GH P G P H ⋃=-=-=-⨯=.故甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率为223300.22.已知四棱锥E —ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，△ADE 为等边三角形，且平面ADE ⊥平面ABCD．（1）求证：AE ⊥BD ；（2）是否存在一点F ，满足EF EB λ= (0＜λ≤1)，且使平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为13．若存在，求出λ的值，否则请说明理由．【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在12λ=使得平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为13.【分析】（1）取AB 的中点G ，连接DG ，证明ABD △是直角三角形，得AD BD ⊥，从而由面面垂直的性质定理得线面垂直，则可得证线线垂直；（2）取AD 的中点H ,连接EH ，证明EH ⊥平面ABCD ，以,DA DB 为,x y 轴，过D 平行于EH 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，由空间向量法求二面角的余弦值，由已知求得λ，说明存在．【详解】（1）取AB 的中点G ，连接DG ,1,//2BG AB CD BG CD == ,∴四边形BCDG 是平行四边形，2DG BC AG AD ====,ADG ∴ 为等边三角形，1,2DG AB ABD =∴△是直角三角形，AD BD ∴⊥， 平面ADE ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ，AD =平面ADE 平面ABCD ,BD ∴⊥平面ADE ,AE ⊂平面ADE ,AE BD∴⊥（2）F 为EB 中点即可满足条件.取AD 的中点H ,连接EH ，则EH AD ⊥，取AD 的中点H ,连接EH ,平面ADE ⊥平面ABCD ，EH ⊂平面EAD ，所以EH ⊥平面ABCD ，EH BD ==如图建立空间直角坐标系D xyz -,则()()()()(0,0,0,2,0,0,0,,,1,0D A B C E -,则()()(()2,0,0,,1,,,,,CB EB EF E D B A λλ===-==-()1,,DF λ=- 设平面ADF 的法向量为111(,,)m x y z = ，平面BCE 的法向量为222(,,)n x y z = ．由00DF m DA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得())11111020x y z x λ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，取()0,12m λλ=- ，；由00CB n EB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2222200x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取()n = ．于是，|65|cos ,|13m n m n m n ⋅〈〉==⋅ ．解得1=2λ或1=-3λ（舍去）方法点睛：本题考查证明线面平行，由二面角求参数．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．所以存在12λ=使得平面ADF 与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为13.。
2023—2024学年广西壮族自治区“贵百河”高二上学期新高考10月月考测试数学试卷
2023—2024学年广西壮族自治区“贵百河”高二上学期新高考10月月考测试数学试卷一、单选题1. 已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2. 已知复数，则（）A．B．C．3D．53. 已知，，，则，，的大小顺序是（）A．B．C．D．4. 已知直线：，：，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．6. 已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是A．B．C．D．7. 已知，则（）A．B．C．D．8. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，若球的体积为，则该三棱锥的体积的最大值是（）A．B．5C．D．二、多选题9. 下列说法正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为3210. 在中，角所对的边为，有如下判断，其中正确的判断是（）A．若，则为直角三角形B．若，则C．若，则符合条件的有两个D．在锐角三角形中，不等式恒成立11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于直线对称C．函数图象向右平移个单位可得函数的图象D．若方程在上有两个不等实数根，，则．12. 已知，若存在，使得，则下列结论错误的有（）A．实数的取值范围为B．C．D．的最大值为1三、填空题13. 已知点在直线上，则的最小值为______ ．14. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的的取值范围是 __________ .15. 在中，，的角平分线交BC于D，则 _________ ．16. 在棱长为1的正方体中，M是棱的中点，点P在侧面内，若，则的面积的最小值是 ________ ．四、解答题17. 已知直线过点.(1)若直线与垂直，求直线的方程；(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.18. 如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，，(1)用，，表示；(2)求向量与向量所成角的余弦值.19. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.(1)求角B的大小；(2)若，求的取值范围.20. 某省将实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A等级排名占比15%，赋分分数区间是86~100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71~85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56~70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41~55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30~40；现从全年级的生物成绩中随机取100学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：(1)求图中a的值，并求抽取的这100名学生的原始成绩的平均数；(2)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数）(3)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率．21. 每年的月日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响.(1)若，求甲恰好胜出一轮的概率；(2)若甲、乙各胜出一轮的概率为，甲、乙都获得优秀的概率为.（i）求，，的值；（ii）求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率.22. 已知四棱锥E—ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，△ADE为等边三角形，且平面ADE⊥平面ABCD．（1）求证：AE⊥BD；（2）是否存在一点F，满足 (0＜≤1)，且使平面ADF与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为．若存在，求出的值，否则请说明理由．。
四川省成都市2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题含解析
成都2023～2024学年度上期高2025届十月考试数学试卷（答案在最后）一､单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.石室中学高一年级有男生570名，若用分层随机抽样的方法从高一年级学生中抽取一个容量为110的样本其中女生53人，则高一年级学生总数为（）A.950B.1000C.1050D.1100【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的抽样比的性质进行求解即可.【详解】设高一年级学生总数为N,根据分层抽样11053110570N-=有，则1100N=.故选：D.2.直线l的方向向量为(1,1)-，则该直线的倾斜角为（）A.π4 B.π3 C.3π4 D.2π3【答案】C【解析】【分析】根据直线的方向向量，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.【详解】由题意知：直线l的斜率为111-=-，则直线l的倾斜角为3π4.故选：C3.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15【答案】B【解析】【分析】已知三次投篮共有20种，再得到恰有两次命中的事件的种数，然后利用古典概型的概率公式求解.【详解】三次投篮共有20种，恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为50.2520p ==故选：B【点睛】本题主要考古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若,m ββα⊥∥，则m α⊥B.若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥C.若//m α且//n α，则//m nD.若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直以及面面垂直的性质判断A ，B ；根据线面平行的性质判断C ；根据线面垂直的性质判断D.【详解】对于A ，若m β∥，βα⊥，则m α⊂或者m α∥或者,m α相交，故A 错误，对于B ，若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊂或者m α∥或者,m α相交，故B 错误，对于C ，若//m α且//n α，则m 与n 可能平行、相交或异面，故C 错误.对于D ，若,m n ββ⊥⊥，则m n ∥，又n α⊥，所以m α⊥，故D 正确，故选：D.5.在ABC 中，3C π∠=，=2AC ，M 为AB 边上的中点，且CM ，则BC =（）A. B.4C. D.6【答案】B 【解析】【分析】分别在AMC 和BCM 中利用余弦定理得到22220BC AB -=，在ABC 中利用余弦定理得到2242220BC BC BC +-=-，然后解方程即可.【详解】在AMC 中，222cos 2AM CM AC AMC AM CM+-∠=⋅；在BCM 中，222cos 2BM CM BC BMC BM CM+-∠=⋅；πAMC BMC ∠+∠= ，∴cos cos AMC BMC ∠=-∠，又AM BM =，22222222AM CM AC AM CM BC AM CM AM CM +-+-∴=-⋅⋅，整理可得：()22222AC BC CM AM +=+，即()22427BC AM +=+，∴22212102AM AB BC ==-，22220BC AB ∴-=，在ABC 中，222222cos 42AB AC BC AC BC C BC BC AB =+-⋅=+-=，2242220BC BC BC ∴+-=-，解得：6BC =-（舍）或4BC =.故选：B.6.十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者.如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法不正确的是（）A.在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高B.在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当C.甲的各项得分比乙的各项得分更均衡D.甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大【答案】C 【解析】【分析】利用雷达图、结合方差、极差的概念逐项判断即可.【详解】对于A ，由图中数据知，在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高，正确；对于B ，由图中数据知，在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当，正确；对于C ，甲的各项得分差异比乙的各项得分差异大，因此乙的各项得分更均衡，不正确；对于D ，甲的各项得分的极差大于400，乙的各项得分的极差小于200，所以乙的各项得分的极差大，正确.故选：C.7.已知ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，O 为ABC 的外心，若16AO mAB AC =+，则m 的值为（）A.49B.29 C.518D.718【答案】A 【解析】【分析】根据三角形外心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】过O 作OD AB ⊥，垂足分别为D ，显然D 为AB 的中点，所以OD AB ⊥ ，即·0OD AB =，因为16AO mAB AC =+，所以有216AO AB mAB AC AB ⋅=+⋅ ，()211111149239996222229AD DO AB m AB m m m +⋅=+⨯⨯⨯⇒=+⇒⨯=+⇒=故选：A.8.已知点()3,5M ，在直线:220l x y -+=和y 轴上各找一点P 和Q ，则MPQ 的周长的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可.【详解】设点()3,5M 关于直线:220l x y -+=的对称点为()1,M x y ，则有()135220225,151132xy M y x ++⎧-⋅+=⎪⎪⇒⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，点()3,5M 关于y 轴的对称点为()23,5M -，如图所示：当21,,,M Q P M 四点共线时，MPQ 的周长的最小，最小值为21MM ==，故选：D二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.甲､乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（）A.事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不是互斥事件B.事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件C.事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件D.事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件【答案】BC 【解析】【分析】根据互斥事件、独立事件和对立事件的定义逐一判断即可.【详解】对于A ，事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不可能同时发生，二者为互斥事件，A 错误；对于B,事件“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”没有影响，二者是相互独立事件，B 正确；对于C ，事件“甲､乙都投得6点”的反面为“至少有1人没有投得6点”，也即“甲､乙不全投得6点”，故事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件，C 正确；对于D ，事件“至少有1人投得6点”包含“甲投得6点且乙没投得6点”的情况，故事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”不是相互独立事件，D 错误，故选：BC10.直线l 过点()1,2A ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 在y 轴上的截距可能是（）A.3B.0C.13D.1【答案】ABD 【解析】【分析】通过讨论直线截距是否为0的情况，即可得出结论【详解】由题意，直线l 过点()1,2A ，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，当直线l 的截距为0时，显然满足题意，为：:2l y x =；当直线l 的截距不为0时，设横、纵截距分别为,a b ，则直线方程为：1x ya b+=，∴121a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：1b =或3，∴直线l 的纵截距可取0,1,3.故选：ABD.11.设12e e ，为夹角为120 的两个单位向量，则（）A.12||2e e -=B.21||e te - 的最小值为12C.212|()|e t e e +- 的最小值为12D.对任意的实数t 有12121||||2e e e te +≤+恒成立【答案】CD 【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义和运算性质逐一判断即可.【详解】因为12e e，为夹角为120 的两个单位向量，所以12111122e e ⎛⎫=⨯⨯⋅-=- ⎪⎝⎭.对A：12e e -==A 错误；对B：21||e te -== 当且仅当12t =-时，21||e te -的最小值为2，故B 错误；对C ：212|()|e t e e +-=== ，当且仅当12t =时取得最小值12，故C 正确.对D ：12121||||2e e e te +≤+ ，两边平方可得：2102t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭对任意的恒成立，故D正确；故选：CD【点睛】关键点睛：本题的关键是利用= a 这一公式、配方法求解最值.12.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，60BAD ∠=,11AB AA==，点P 是经过点1B 的半圆弧 11A D 上的动点（不包括端点），点Q 是经过点D的半圆弧 BC 上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）A.四面体PBCQ 的体积的最大值为13B.1BC A P ⋅的取值范围是[0,4]C.若二面角1C QB C --的平面角为θ，则1tan 2θ>D.若三棱锥P BCQ -的外接球表面积为S ，则[)4π,13πS ∈【答案】ACD【解析】【分析】根据棱锥的体积公式可判断A ；根据向量的相等以及数量积的定义可判断B ；结合二面角平面角定义找出θ，结合解直角三角形判断C ；确定三棱锥P BCQ -的外接球球心位置，列等式求得半径表达式，求得其取值范围，即可求出三棱锥P BCQ -外接球表面积取值范围，判断D.【详解】由题意知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，半圆弧 BC 经过点D ，故2BC =，点P 到底面ABCD 的距离为11AA =，当点Q 位于半圆弧 BC上的中点时BCQ S 最大，即四面体PBCQ 体积最大，则()max 111211323P BCQV -=⨯⨯⨯⨯=，故A 正确；由于11BC AD A D == ，则1111B D C A P A P A ⋅=⋅ ，又在11Rt A PD △中，1111cos A PD AP A D ∠=，故121111111111||||cos 4cos BC A P A D A D D A P D A P A P A P ⋅⋅==∠=∠，因为11π,02D A P ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以()11cos 0,1D A P ∠∈，则()10,4AD A P ⋅∈ ，故B 错误；因为1CC ⊥平面ABCD ，QB ⊂平面ABCD ，故1CC QB ⊥，而QB QC ⊥,11,,C C QC C C QC C =⊂ 平面1C CQ ，故QB ⊥平面1C CQ ，1C Q ⊂平面1C CQ ，故1QB C Q ⊥，所以1C QC ∠是二面角1C QB C --的平面角，则111tan CC C QC CQ CQ ∠==，因为()0,2CQ ∈，所以11tan 2C QC ∠>，故C 正确；设线段BC 的中点为N ，线段11B C 的中点为K ，则三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在NK 上，在四边形1111D C B A 中，1120A MK ∠=,1A K ==,设,(0PK t t =≤<，在Rt OQN △中ON =，在Rt OPK 中OK =，故1ON OK +==，整理得4244t R +=，所以2131,4R ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以外接球的表面积为[)2,4π4π13πS R =∈，D 正确，故选：ACD【点睛】难点点睛：解答本题的难点在选项D 的判断，解答时要发挥空间想象，明确空间的点线面位置关系，确定外接球球心位置，进而找出等量关系，求得球的半径取值范围，即可求解球表面积取值范围.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13.2023年四川省高考分数公布后，石室中学再续辉煌，某基地班的12名同学成绩分别是（单位：分）：673，673，677，679，682，682，684，685，687，691，697，705，则这12名学生成绩的上四分位数为_________.【答案】689【解析】【分析】根据上四分位数的定义进行求解即可.【详解】因为12759100⨯=，所以这12名学生成绩的上四分位数为6876916892+=，故答案为：68914.已知直线1:0,l x ay a +-=()2:2310l ax a y ---=互相垂直，则a 的值为______.【答案】02或.【解析】【分析】根据两条直线垂直的条件，得到a 所满足的等量关系式，解方程，求得a 的值.【详解】因为直线1:0,l x ay a +-=()2:2310l ax a y ---=互相垂直，则有1[(23)]0a a a ⨯+⨯--=，即2230a a a -+=，进一步化简得220a a -=，解得0a =或2a =，故答案是0或2.【点睛】该题所考查的是有关两条直线垂直的条件，利用11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=与垂直的条件是12120A A B B +=，得到关于a 所满足的等量关系式，求得结果.15.已知等腰直角ABC 的斜边AB 在平面α内，AC 与α所成角为030，CD 是斜边AB 上的高，则CD 与平面α所成角的正弦值为______.【答案】2【解析】【分析】过C 作CH α⊥于H ，连接,,AH BH DH ，得直线,,CD CA CB 与平面α所成的角，再设CH m =，求得CD ，然后计算正弦值．【详解】如图所示，过C 作CH α⊥于H ，连接,,AH BH DH ，则CDH ∠为CD 与平面α所成角，同理,CAH CBH ∠∠分别是,CA CB 与平面α所成的角，又DH ⊂平面CDH ，则CH DH ⊥，由题意可得003090CAH CBH ACB ∠=∠=∠=，，设CH m =，则有2,CA CB m AB CD ====，，在Rt CDH △中，sin 2CH CDH CD ∠==.故答案为：2.16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4c =，CD AB ⊥于点D ，且2cos cos()4sin sin sin c C A B c C b A C -+=+，则线段CD 长度的最大值为_________.【答案】【解析】【分析】先利用正弦定理与三角恒等变换推得1cos 2C =，再利用余弦定理与基本不等式求得16ab ≤，从而利用三角形面积相等即可得解.【详解】因为2cos cos()sin sin sin c C A B c c C b A C -+=+，所以由正弦定理得2sin cos cos()sin sin sin sin sin sin C C A B C C C B A C -+=+，由于0πC <<，sin 0C ≠，所以2cos cos()1sin sin sin C A B C B A -+=+，所以22sin sin cos cos()1sin cos cos()cos B A C A B C C A B C=-+-=-+cos [cos()cos ]cos [cos()cos()]2cos sin sin C A B C C A B A B C A B =-+=--+=，由于0π,0π,0πA B C <<<<<<，sin 0,sin 0A B ≠≠，所以1cos 2C =，则3C π=，所以22222162cos 2c a b ab C a b ab ab ab ==+-=+-≥-，得16ab ≤，当且仅当4a b ==时，等号成立，因为CD AB ⊥，所以11sin 22S ab C c CD ==⋅，故π3sin 438ab CD ab ==≤，所以CD 的最大值为故答案为：四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，已知ABC 的顶点为()1,1A -，()3,0C ，1()0,1B 是边AB 的中点，AD 是BC 边上的高，AE 是BAC ∠的平分线．（1）求高AD 所在直线的方程；（2）求AE 所在直线的方程．【答案】（1）4370x y --=（2）340x y --=【解析】【分析】（1）根据互相垂直的直线斜率的性质，结合直线点斜式方程进行求解即可；（2）根据角平分线的性质，结合两点式方程进行求解即可.【小问1详解】因为1()0,1B 是边AB 的中点，所以()1,3B -，因为1BC AD k k ⋅=-，所以3041133AD AD k k -⋅=-⇒=--，因此高AD 所在直线的方程为：41(1)43703y x x y +=-⇒--=；【小问2详解】因为AE 是BAC ∠的平分线，所以2AB BEBEAC EC EC =⇒=，所以23BE BC = ，设(),E x y ，所以()()251,34,3,133x y E ⎛⎫+-=-⇒ ⎪⎝⎭，所以AE 所在直线的方程为：()51334051113x y x y --=⇒--=---.18.某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元，其销售宗旨是当天进货当天销售，若当天未销售完，未售出的全部降价以每千克10元处理完．据以往销售情况，按[0,100),[100,200),[200,300),[300,400),[400,500)进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图求该蔬果日需求量的平均数x （同组数据用区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了250千克蔬果，假设当天的日需求量为x 千克（0500x ≤≤），利润为y 元．①求y 关于x 的函数表达式；②根据频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率．【答案】（1）265千克；（2）①151250,02502500,250500x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；②0.7.【解析】【分析】(1)用频率分布直方图中每一个矩形的面积乘以矩形的底边中点横坐标的和即为平均值；(2)①根据日需求量与进货量250千克的关系，分类讨论即可求出；②由1750y ≥解出日需求量x 的取值范围，再根据频率分布直方图求出对应的面积即可．【详解】(1)x =50×0.001×100+150×0.002×100+250×0.003×100+350×0.0025×100+450×0.0015×100=265故该蔬果日需求量的平均数为265千克．(2)①当日需求量低于250千克时，利润(2515)(250)5y x x =---⨯=151250x -（元）；当日需求量不低于250千克时，利润(2515)2502500y =-⨯=（元），所以151250,02502500,250500x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩．②由1750y ≥，解得200500x ≤≤．所以(1750)P y ≥=(200500)P x ≤≤=0.003100⨯+0.0025100⨯+0.0015100⨯=0.7故根据频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率为0.7【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计样本的平均数，以及分段函数的求法应用，属于基础题．结论点睛：在频率分布直方图中，众数等于最高矩形底边中点横坐标，中位数是把频率分布直方图分成左右两边面积相等的分界对应的数值，平均数等于频率分布直方图中每一个矩形的面积乘以矩形的底边中点横坐标的和．19.石室北湖后勤服务中心为监控学校三楼食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查50名就餐的教师和学生，请他们为食堂服务质量进行评分，师生根据自己的感受从0到100分选取一个分数打分，根据这50名师生对食堂服务质量的评分并绘制频率分布表．下图是根据本学期第二次抽样调查师生打分结果绘制的频率分布表，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），……，[90，100]．分数[40，50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频率0.040.060.220.280.220.18（1）用每组数据的中点值代替该组数据，试估计频率分布表中前三组的平均分；（2）学校每周都会随机抽取3名学生和田校长共进午餐，每次田校长都会通过这3名学生了解食堂服务质量，田校长的做法是让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者“没有出现好评”，田校长会立即责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务情况．若以本次抽取的50名师生样本频率分布表作为总体估计的依据，用频率估计概率，并假定本周和田校长共进午餐的学生中评分在[40，60）之间的会给“差评”，评分在[60，80）之间的会给“中评”，评分在[80，100]之间的会给“好评”，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，试估计本周田校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率．【答案】（1）60.625x=（2）0.396【解析】【分析】（1）根据平均值的定义计算平均值；（2）对3名学生给出好评中评和差评作分类讨论，计算出田校长不会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的事件的概率即可.【小问1详解】由已知得前三组的平均分为450.04550.06650.2260.6250.32x⨯+⨯+⨯==；【小问2详解】由图可知，[40，60）、[60，80）、[80，100]这三组的频率分别为0.1、0.5、0.4；用频率估计概率，即差评、中评、好评的概率分别为0.1、0.5、0.4，以本次抽取的3名学生，让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，记3名学生分别为甲、乙、丙；设本周田校长不会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的事件记为A，则A事件即为：甲好评乙丙中评、甲乙好评丙中评、甲丙好评乙中评、乙好评甲丙中评、乙丙好评甲中评、丙好评甲乙中评、甲乙丙都好评；()0.40.50.50.40.40.50.40.50.40.50.40.50.50.40.40.50.50.40.40.40.40.604P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=即本周田校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率为()10.396P A -=；综上，前三组的平均分为60.625，本周田校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率为0.396.20.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，求m 的值并估计这m 人年龄的第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；（ii ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m 人中35~45岁所有人的年龄的方差.【答案】（1）200m =，第80百分位数为37.5（2）（i ）35；（ii ）10【解析】【分析】（1）根据第一组的人数及所占比例求出200m =，利用百分位数的计算公式求出第80百分位数为37.5；（2）（i ）利用列举法求解甲､乙两人至少有一人被选上的概率；（ii ）结合第四组和第五组的平均数和方差，利用公式求出这m 人中35~45岁所有人的平均数和方差.【小问1详解】由题意，1050.01m=⨯，所以200m =.设第80百分位数为a ，因为0.0150.0750.0650.70.8⨯+⨯+⨯=<，0.0150.0750.0650.0450.90.8⨯+⨯+⨯+⨯=>，故第80百分位数位于第四组：[35，40）内，由()0.050.350.3350.040.8a +++-⨯=，解得：37.5a =，所以第80百分位数为37.5；【小问2详解】（i ）由题意得，第四组应抽取4人，记为,,A B C ，甲，第五组抽取2人，记为D ，乙，对应的样本空间为：()()Ω{,,,,(A B A C A =，甲),(A ，乙()()),,,,,(A D B C B ，甲),(B ，乙），（B ，D ），（C ，甲）()(),,,,C C D 乙，（甲，乙），（甲，D ），（乙，D ）},共15个样本点.设事件M =“甲､乙两人至少一人被选上”，则{(M A =，甲),(A ，乙),(B ，甲),(B ，乙），(C ，甲),(C ，乙），（甲，乙），（甲，),(D 乙，)}D ，共有9个样本点.所以()()()3Ω5n M P M n ==.（ii ）设第四组､第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为45,x x ，方差分别为2245,s s ，则224545537,43,,12x x s s ====，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s .则4542396x x z +==，()(){}222224455142106s s x z s x z ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这m 人中年䍅在3545 岁的所有人的年龄方差约为10.21.如图1，已知平面四边形BCMN 是矩形，//AD BC ，(0)BC kAB k =>，将四边形ADMN 沿AD 翻折，使平面ADMN ⊥平面BCDA ，再将ABC 沿着对角线AC 翻折，得到1AB C V ，设顶点1B 在平面ABCD 上的投影为O .图1图2图3（1）如图2，当2k =时，若点1B 在MN 上，且1DM =，1AB >，证明：1AB ⊥平面1B CD ，并求AB的长度.（2）如图3，当3k =O 恰好落在ACD 的内部（不包括边界），求二面角1B AC D --的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析，2（2）10,.3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由面面垂直的判定定理得到CD ⊥平面1AB D ，从而有1AB CD ⊥，又11AB CB ⊥1AB ⊥平面1B CD 得证；设AB x =，由11ANB B MD 可求出1B D ，在1Rt B CD △中，根据勾股定理解出AB 的长度；（2）作BF AC ⊥，交AC 于E ，交AD 于F ，当点O 恰好落在ACD 的内部(不包括边界)，点O 恰好在线段EF 上，1B EF ∠为二面角1B AC D --的平面角，由此能求出二面角1B AC D --的余弦值的取值范围.【小问1详解】点1B 在平面ABCD 上的射影为O 且点1B 在MN 上，∴点O 恰好落在边AD 上，∴平面1AB D ⊥平面ACD ，又CD AD ⊥，平面1AB D ⋂平面ACD AD=∴CD ⊥平面1AB D ，又1AB ⊂平面1AB D ，1AB CD ∴⊥，又11AB CB ⊥ ，1CD CB C = ，CD ⊂平面1B CD ，1CB ⊂平面1B CD ,1AB ∴⊥平面1B CD ，1B D ⊂平面1B CD ,11AB B D∴⊥设AB x =，BC AD ==，则1NB =，11AB B D ⊥ ，11B ANB MD ∴，111MD B D AB B N ∴=⋅=，在1Rt B CD △中，222)x +=,解得x =，AB ∴=.【小问2详解】作BF AC ⊥，交AC 于E ，交AD 于F，如图：当点O 恰好落在ACD 的内部(不包括边界)时，点O 恰好在线段EF 上，又1B E AC ⊥ ，EF AC ⊥，1B EF ∴∠为二面角1B AC D --的平面角,当k =AEF CEB V :V ,可得13EF EB =，且1B E EB =，111cos 0,3EO B EF B E ⎛⎫∴∠=∈ ⎪⎝⎭，故二面角1B AC D --的余弦值的取值范围为10,.3⎛⎫ ⎪⎝⎭22.如图，已知ABC ，3AC =，D 为边AC 上靠近A 点的三等分点.（1）若34BA BD ⋅= ，90DBC ∠=︒，求cos ABD ∠.（2）若直线BD 平分ABC ∠，求ABD △与CBD △内切圆半径之比的取值范围.【答案】（1）3cos 4ABD ∠=（2）3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据条件，利用向量的线性运算，得到2BD =，在ABD △中，令ABD α∠=，AB m =，根据余弦定理得，2cos α=，再结合条件即可求出结果；（2）根据角平线的性质得出2BC AB =，在ABC中，利用余弦定理和条件得出BD =等面积法得到112r R ⎛⎫=+ ⎝，再结果c 的范围即可求出结果.【小问1详解】由题意，1AD =，2CD =，所以()11312222BA BD DA BD CD BD BD BC BD BC =+=+=+-=- ，因为34BA BD ⋅= ，0BC BD ⋅= ，所以22313133222224BA BD BD BC BD BD BC BD BD ⎛⎫⋅=-⋅=-⋅== ⎪⎝⎭，故21||2BD = ，则2||2BD =，即2BD =，故22BC =，不妨记ABD α∠=，AB m =，则22222112cos 2m AB BD AD AB BD α+-+-==⋅，又3||||cos 4BA BD BA BD α⋅== ，所以2324m ⨯，解得m =3cos 4α==，所以3cos 4ABD ∠=.【小问2详解】设ABD △与CBD △内切圆的半径分别为r 与R ，因为直线BD 平分ABC ∠，所以由角平分线性质定理得12AB AD BC CD ==，记AB c =，则2BC c =，记ABC β∠=，则22222224959cos 2224AB BC AC c c c AB BC c c c β+-+--===⋅⨯⨯，因为()11213333BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+ ，所以2222222241441459||cos 42229999994c BD BA BC BA BC c c c c c c β-=++=+⨯+⨯⨯=- ，因为,AB BC AC BC AB AC +>-<，即23,23c c c c +>-<，则31c >>，所以||BD =BD =设顶点B 到AC 的距离为h ，因为112122ABD BCD AD h S S CD h ⋅==⋅ ，又()()11122ABD S AB BD AD r c r =++= ，()()112222BCD S BC BD CD R c R =++= ，112c r +=，则11122r R ⎛⎫== ⎝，令1t c =+，则1c t =-，24t <<，=，因为24t <<，所以11142t <<，则01<<，故112<+<，所以112<，即112<<，所以311142⎛⎫<+< ⎝，故314r R<<，所以ABD △与CBD △内切圆半径之比的取值范围为3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
海南省华中师范大学琼中附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)数学试题
海南省华中师范大学琼中附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()1,2,3-关于x 轴对称的点为（ ） A ．()1,2,3-B ．()1,2,3--C ．()1,2,3--D ．()1,2,3-2．已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为11AC 的中点，若1AE AA xAB yAD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，（x ，R y ∈）则x ，y 的值分别为（ ）A ．1，1B ．1，12C ．12，12D ．12，13．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OB OC λ=++u u u u r u u u r u u u r u u u r ．若,,MA MB MC u u u r u u u r u u u u r共面，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．512D ．7124．如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立如图空间直角坐标系，若1DB u u u u r 的坐标为()4,3,2，则1AC uuu r的坐标为（ ）A ．()4,3,2B ．()3,4,2-C ．()4,3,2-D ．()3,4;25．如图，三棱锥O ABC -中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，点M 为BC 中点，点N 满足2ON NA =u u u r u u u r，则MN =u u u u r（ ）A ．112233a b c --r r rB ．112233a b c -+r r rC ．211322a b c --r r rD ．121232a b c --+r r r6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB AC 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（ ）A B C ．23D ．137．已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 是BC 的中点，F 在AC 上，且3AF FC =u u u r u u u r ，则A E D F ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．53-B ．14-C ．14D ．538．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，12AC AB AA ===，则点C 到平面1ABD 的距离为（ ）A B C D二、多选题9．在平行六面体1111ABCD A B C D -中与向量AB u u u r相等的向量有（ ） A ．CD u u u rB ．11A B u u u u rC ．11D C u u u u rD ．BC u u u r10．空间直角坐标系O xyz -中，已知()1,2,2A -，()0,1,1B ，下列结论正确的有（ ）A ．()1,1,3AB =--u u u rB ．点A 关于xOy 平面对称的点的坐标为()1,2,2-C ．若()2,1,1m =r ，则⊥u u u r r m ABD ．若(),2,6n a =-r ，n BA u u u r r ∥，则2a =-11．伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．122CG AA PF =-u u u r u u u r u u u rB ．直线CQ 与平面1111DC B A 所成角的正弦值为23C ．异面直线CQ 与BDD ．点1C 到直线CQ三、填空题12．已知向量()2,1,3a =-r ，()1,2,1b =-r，若()a ab λ⊥-r r r ，则λ=.13．若,,a b c r r r为空间两两夹角都是120︒的三个单位向量，则23a b c +-=r r r ． 14．已知空间三点A （0，2，3），B （﹣2，1，6），C （1，﹣1，5），则以AB ，AC 为边的平行四边形的面积是．四、解答题15．已知空间三点()2,0,2A -，()1,1,2B -，()3,0,4C -，设,b AC a AB ==u u ur r u u u r r . (1)求a r和b r的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka b +r r 与2ka b -r r 互相垂直，求k 的值．16．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB AD ⊥，1224AA AB AD CD ====，E ，F ，G 分别为棱1DD ，11A D ，1BB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.(1)若123DP D B =u u u r u u u u r，求P 点坐标；(2)求CG EF ⋅u u u r u u u r的值.17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACB ∠为直角，侧面11BCC B 为正方形，2BC =，C 1A =.(1)求证：1⊥BC 平面1AB C ；(2)求直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.18．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，13AA =，2AB =，E ，F 分别为1BB ，1CC 的中点.(1)证明：1//A F 平面CDE ；(2)求平面1A EF 与平面CDE 夹角的余弦值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，22PD DC AD ===，E 是PC 的中点.(1)求点A 到平面PBC 的距离；(2)在棱PB 上是否存在一点F ，使直线EF 与平面EDB ，若存在，求出求线段BF 的长；若不存在，说明理由.。
海南省海口市海南中学2024-2025学年高二上学期第一次单元测试(10月月考)数学试题
海南省海口市海南中学2024-2025学年高二上学期第一次单元测试（10月月考）数学试题一、单选题1．若直线经过(0,1),A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30oB ．45oC ．60oD ．o 1202．两条平行直线210x y --=和243x y -=-之间的距离是（ ）A ．12B C ．1D 3．一个动圆与圆221:(3)1C x y ++=外切，与圆()222:381C x y +-=内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（ ） A ．2212516y x +=B ．2212516x y +=C ．221169y x +=D ．221169x y +=4．如何计算一个椭圆的面积？这个问题早已在约2000年前被伟大的数学、物理学先驱阿基米德思考过．他采用“逼近法”，得出结论：一个椭圆的面积除以圆周率等于其长半轴长与短半轴长的乘积．即πS ab =．那如何计算它的周长呢？这个问题也在约400年前被我国清代数学家项名达思考过．一个椭圆的周长约等于其短半轴长为半径的圆周长加上四倍的该椭圆长半轴长与短半轴长的差．即()2π4C b a b ≈+-．若一个椭圆的面积为8π，那么其周长的取值范围为（ ）A ．)⎡+∞⎣ B ．()+∞C ．(),+∞D ．),⎡+∞⎣5．设12F F 、是椭圆22:19x C y +=的两个焦点，点P 在椭圆C 上，若12PF F V 为直角三角形，则12PF F V 的面积为（ ）A B ．1C D ．16．已知圆22:(4)(2)4C x y -+-=，若圆C 刚好被直线():10,0l ax by a b +=>>平分，则12a b+的最小值为（ ） A ．8B ．10C ．16D ．8+7．已知圆()221:14O x y -+=与圆222:4230O x y x y +-++=交于,A B 两点，则AB =（ ）AB ．C ．D ．8．已知,M N 是椭圆22:12516x yC +=上关于原点对称的两点，F 是椭圆C 的右焦点，则2||6MF NF +的取值范围为（ ） A ．[]2,26B ．[]51,52C ．[]51,76D ．[]52,76二、多选题9．若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为椭圆，则下列命题正确的是（ ）A ．该椭圆焦距为B ．12t <<表示焦点在x 轴上的椭圆C t 的取值为75或135D ．焦距为10．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线40x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则以下四个命题正确的是（ ）A ．圆C 上有且仅有3个点到直线:0l x y -的距离都等于1B ．圆C 与圆222:680C x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m = C ．不存在点P ，使得60APB ∠=oD ．直线AB 经过定点()1,111．已知P 是椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）位于第一象限上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，122π3F PF ∠=，点Q 在12F PF ∠的平分线上，12F PF ∠的平分线与x 轴交于点M ，O 为原点，1//OQ PF ，且OQ b =，则下列结论正确的是（ ）A ．12PF F V 2B ．CC ．点P 到xD ．OM三、填空题12．若方程2242x y x y m +-+=表示圆，则实数m 的取值范围为.13．若圆()221:19C x y +-=与圆2C 关于直线:4230l x y --=对称，则圆2C 的方程为. 14．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若直线BF 与以A 为圆心半径为13b 的圆相切，则椭圆离心率等于.四、解答题15．已知ABC V 的三个顶点分别为()2,0A ，()2,4B ，()4,2C ，直线l 经过点()1,4D . (1)求ABC V 外接圆M 的方程；(2)若直线l 与圆M 相交于P ，Q 两点，且PQ =l 的方程；(3)若直线l 与圆M 相交于P ，Q 两点，求PMQ V 面积的最大值，并求出直线l 的斜率.16．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()3,1P ，焦距为13-的直线l与椭圆C 相交于异于点P 的,M N 两点，且直线,PM PN 均不与x 轴垂直.(1)求椭圆C 的方程；(2)若MN =MN 的方程；(3)记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，证明:12k k 为定值.17．已知圆22:(1)16A x y ++=和点(1,0)B ，点P 是圆上任意一点，线段PB 的垂直平分线与线段PA 相交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)设动直线l 与坐标轴不垂直，l 与曲线C 交于不同的M ，N 两点，且直线BM 和BN 的斜率互为相反数．①证明：动直线l恒过x轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；面积的最大值．②求OMN。
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高二上学期10月月考数学试题
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高一下·南阳期末) 学校为了解高二年级1201名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）
A . 10
B . 20
C . 30
D . 40
2. （2分）设等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知(a5－1)3＋2 011·(a5－1)＝1，(a2 007－1)3＋2 011(a2 007－1)＝－1，则下列结论正确的是（）
A . S2 011＝2 011，a2 007<a5
B . S2 011＝2 011，a2 007>a5
C . S2 011＝－2 011，a2 007≤a5
D . S2 011＝－2 011，a2 007≥a5
3. （2分） (2018高二上·重庆期中) 已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为
A .
B .
C .
4. （2分）(2019·江南模拟) 如图所示，正方体中，点，，，，分别为棱，，，，的中点.则下列叙述中正确的是（）
A . 直线平面
B . 直线平面
C . 平面平面
D . 平面平面
5. （2分） (2018高二上·霍邱期中) 两条平行直线与之间的距离是（）
A .
B .
C . 2
D . 1
6. （2分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产品数量之比为2；4：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，样本中产品丁有100件，则此样本容量n等于（）
A . 220
B . 240
C . 260
7. （2分） (2019高三上·珠海期末) 已知点满足方程，则点的轨迹为（）
A . 圆
B . 椭圆
C . 双曲线
D . 抛物线
8. （2分）(2019·贵州模拟) 下面的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在“ □”和“ ”两个空白框中，可以分别填入（）
A . 和是奇数
B . 和是奇数
C . 和是偶数
D . 和是偶数
9. （2分） (2018高二上·安庆期中) 如果数据x1 ， x2 ，…xn的平均数为，方差为s2 ，则5x1+2，5x2+2，…5xn+2的平均数和方差分别为（）
A . ，s
B . 5 +2，s2
C . 5 +2，25s2
D . ，25s2
10. （2分） (2018高二上·安庆期中) 直线与圆有公共点，则的最大值为（）
A .
B .
C .
D . 2
11. （2分） (2018高二上·黄山期中) 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面
，则球的体积为（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2018高三上·福建期中) 直线与圆相交于、两点.若
，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2018·自贡模拟) 通常，满分为分的试卷，分为及格线.若某次满分为分的测试卷，人参加测试，将这人的卷面分数按照，，…，分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以取整”的方法进行换算以提高及格率（实数的取整等于不超过的最大整数），如：某位学生卷面分，则换算成分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为________．（结果用小数表示）
14. （1分）(2017·黑龙江模拟) 设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成的，利用下面的随机数表依次选取6个个体，选取方法是从随机数表第一行的第三列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为________．
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238．
15. （1分）(2019·龙岩模拟) 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与抛物线交于两点．若以为直径的圆过点，则的值为________．
16. （1分） (2018高二上·吉安期中) 过直线l：上一点P作圆C：的切线，
，若，关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为________．
三、解答题 (共6题；共60分)
17. （10分） (2018高二上·定远期中) 直线过点P 且与x轴、y轴的正半轴分别交于A ， B两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
18. （10分） (2019高二上·哈尔滨月考) 如图
（1）圆台的较小底面半径为，母线长为，一条母线和底面的一条半径有交点且成，求圆台的侧面积．
（2）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，求该几何体的表面积．
（3）圆台的较小底面半径为，母线长为，一条母线和底面的一条半径有交点且成，求圆台的侧面积．
19. （10分） (2019高三上·杭州月考) 已知两个非零向量，且，
（1）求的夹角；
（2）求的夹角；
（3）若，求的最小值.
（4）若，求的最小值.
20. （10分） (2018高一上·新泰月考) 如图所示，在棱长为2的正方体中， M、N分别是AA1、AC 的中点.
（1）求证：MN∥BCD1A1；
（2）求证：MN∥BCD1A1；
（3）求证：MN⊥C1D；
（4）求证：MN⊥C1D；
21. （10分） (2018高二上·玉溪期中) 设数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=nan﹣2n（n﹣1），首项 =1．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设数列的前n项和为Mn，求证： Mn ．
（4）设数列的前n项和为Mn，求证： Mn ．
22. （10分）已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆.
（1）求实数m的取值范围；
（2）求该圆的半径r的取值范围；
（3）求圆心C的轨迹方程．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、
18-1、18-2、18-3、
19-1、19-2、19-3、19-4、
20-1、20-2、
20-3、20-4、21-1、
21-2、21-3、21-4、22-1、22-2、
22-3、。