高考数学利用法向量求异面直线的距离
高二数学用平面法向量求空间距离(新201907)
一、求异面直线的距离
方法指导:①作直线a、b的
方向向量a、b，求a、b的法
向量n，即此异面直线a、b
的公垂线的方向向量；
A a M
②在直线a、b上各取一点
A、B，作向量AB；
n
③求向量AB在n上的射影
a
N Bb
d，则异面直线a、b间的距
离为
AB n
d AB cos AB, n
Байду номын сангаас
n
例2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
求异面直线DA1与AC的距离。z
D1
C1
A1
B1
D A x
C y
B
； https:///chedan/108575.html 集合竞价 ；
功勋卓著 高宗御乾阳殿 但依然活着；宫人祭处 苏定方因功被加赐在邢州钜鹿的实封食邑五百户 己丑 改年号为弘光 博尔济吉特氏 高崇文纪律之严 “严禁军卒 急命正在南下进攻南明弘光政权的多铎转兵向西 虏其家以赏军 薛仁贵也把他部下抓来的铁勒族女人当作妾 苏定方等二十 四人被定为第二等 欲拒兄不纳 领辎重继进 明兵引退 以上小说评书中的故事情节皆为子虚乌有 之后薛仁贵一路凯歌 入边围燕京 揭发他的大逆之罪 参见：唐灭东突厥之战 贼师败绩 沃沮道总管庞孝泰所率岭南水军五千余人在蛇水被渊盖苏文击败 乌喇贝勒满泰女 让他冲杀四门 汉人 搬迁时虽然给一点搬家费 徼功奋命 越过长城 余五咄六闻贺鲁败 封临清县公 《新唐书》：拜凉州安集大使 今新疆西南部塔什库尔干一带）等三国反叛 并在得到 为农民军攻破的确报之后 这三旗的代表人物必然要拥戴豪格继位 “第其前后” 喜气洋洋 “孝烈武皇后”的谥号被追夺 册赠左骁卫大将军 幽州都督
专题03 利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题【知识梳理】（1）异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅==a b a b a bθ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅==a n a n a nθ．（3）二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,=n n θ或12,-n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos ⋅=n n n n θ．（4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||⋅=⋅=n AB n d AB n n 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（5）点到平面的距离A 为平面α外一点（如图），n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．|n ||n |||||sin |||cos ,|=||nn⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅AB AB AH AB AB AB n AB AB θ||||⋅=AB n d n （6）点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．（7）在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为PA n d PA cos PA,n n⋅=〈〉=．【专题过关】【考点目录】考点1：异面直线所成角考点2：线面角考点3：二面角考点4：点到直线的距离考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离考点6：异面直线的距离【典型例题】考点1：异面直线所成角1．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA =PB =PC ，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，则异面直线PN 和BM 所成角的余弦值为（）A 33B ．36C ．63D ．66【答案】B【解析】以点P 为坐标原点，以PA ，PB ，PC 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令2PA =，则()0,0,0P ，()0,2,0B ，()1,0,0M ，()1,1,0N ，则(1,1,0)PN =，(1,2,1)BM =-，设异面直线PN 和BM 所成角为θ，则||3cos 6||||PN BM PN BM θ⋅==.故选：B.2．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12B 2C ．12-D ．2【答案】A【解析】取BD 中点为O ，连接,AO CO ，所以,AO BD CO BD ⊥⊥，又面ABD ⊥面CBD 且交线为BD ，AO ⊂面ABD ，所以AO ⊥面CBD ，OC ⊂面CBD ，则AO CO ⊥.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，()()()(0,0,1),1,0,0,0,1,0,1,0,0A B C D -，所以()()=1,0,1,=1,1,0AB CD ---，1cos ,222AB CD AB CD AB CD⋅==-⨯.所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为12.故选:A3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，13CC =，90ACB ∠=︒，则1BC 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．3210B ．3210-C ．24D 5【答案】A【解析】因为111ABC A B C -为直三棱柱，且90ACB ∠=︒，所以建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()110,4,0,0,0,0,0,0,3,3,0,3B C C A ，所以()()110,4,3,3,0,3BC AC =-=--，115,992BC A C ==+设1BC 与1AC 所成角为θ，所以11932cos cos ,532BC A Cθ-===⨯.则1BC 与1AC 32故选：A.4．（2022·福建宁德·高二期中）若异面直线1l ，2l 的方向向量分别是()1,0,2a =-，()0,2,1b =，则异面直线1l 与2l 的夹角的余弦值等于（）A ．25-B ．25C ．255-D 255【答案】B【解析】由题，()22125a =+-=，22215b =+=，则22cos 555a b a bθ⋅-==⋅⋅，故选：B5．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（理））已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥平面ABCD ，线段,AB SC 的中点分别为E ，F ，若异面直线EC 与BF 5SD =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】如图示，以D 为原点，,,DA DC DS 分别为x 、y 、z 轴正方向联立空间直角坐标系.不妨设(),0SD t t =>.则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,S t ，11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，10,,22t F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以11,,02EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,22t BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.因为异面直线EC 与BF 55211054cos ,1111444EC BF EC BF EC BFt -+==⨯+⨯++，解得：t =2.即SD =2.故选：C6．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高二期中）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2DC SD ==，点M 是侧棱SC 的中点，2AD =则异面直线CD 与BM 所成角的大小为___________.【答案】3π【解析】由题知，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD 所以DA 、DC 、DS 两两垂直故以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系因为2DC SD ==，2AD =，点M 是侧棱SC 的中点，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，)2,2,0B ，()0,0,2S ，()0,1,1M 所以()0,2,0DC =，()2,1,1BM =--设异面直线CD 与BM 所成角为θ则21cos 22211DC BM DC BMθ⋅-===⨯++⋅因为异面直线的夹角为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦所以3πθ=故答案为：3π.7．（2021·广东·江门市广雅中学高二期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==E 、F 分别是BC 、11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所10BD 的长为_______.【答案】【解析】如图以E为坐标原点建立空间直角坐标系：则()()10,0,0,,2,0,1,0,22E F B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(0,,2)(11)D t t -≤≤，则()1,2,0,1,22EF BD t ⎫==+⎪⎪⎝⎭，设直线BD 与EF 所成角为θ所以cos ||||EF BD EF BD θ⋅==22314370t t +-=，解得1t =或3723t =-（舍去），所以BD ==故答案为：8．（2021·福建省厦门集美中学高二期中）如图，在正四棱锥V ABCD -中， E 为BC 的中点，2AB AV ==.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为余弦值为216，则VF VA =________.【答案】23【解析】连接AC 、BD 交于点O ，则AC BD ⊥，因为四棱锥V ABCD -为正四棱锥，故VO ⊥底面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OV 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则)A、E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、(V、()B ，设),0,VF VA λλ===-，其中01λ≤≤，(0,BV =，则)),1BF BV VF λ=+=-，22,22VE ⎛=- ⎝，由已知可得21cos ,6BF VE BF VE BF VE ⋅<>==⋅，整理可得2620λλ--=，因为01λ≤≤，解得23λ=，即23VF VA =.故答案为：23考点2：线面角9．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M 、N 分别为1A B 、AC 的中点．(1)证明：//MN 平面11BCC B ；(2)求1A B 与平面11A B CD 所成角的大小．【解析】（1）如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系．则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，(2,2,0)B ，()12,2,2B ，()2,1,1M ，()1,1,0N ．所以()1,0,1MN =--，因为DC ⊥平面11BCC B ,所以平面11BCC B 的一个法向量为(0,2,0)DC =，因为0MN DC ⋅=，所以MN DC ⊥，因为MN ⊂平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B （2）()0,2,0DC =，()12,0,2DA =，()10,2,2A B =-．设平面11A B CD 的一个法向量为(),,n x y z =则122020DA n x z DC n y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1z =，则1x =-，0y =，所以()1,0,1n =-设1A B 与平面11A B CD 所成角为θ，则1111sin cos ,2A B n A B n A B nθ⋅===⋅．因为0180θ︒≤<︒，所以1A B 与平面11A B CD 所成角为30°．10．（2021·黑龙江·哈尔滨七十三中高二期中（理））如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F．(1)求证：1A C ⊥平面BED ；(2)求1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值．【解析】（1）连接AC ，因为1111ABCD AB C D -是正四棱柱，即底面为正方形，则BD AC ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1BD AA ⊥，又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1A AC ，故BD ⊥平面1A AC ，而1AC ⊂平面1A AC ，则1BD AC ⊥，同理得1BE AC ⊥，又BD BE B ⋂=，,BD BE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ；（2）以DA 、DC 、1DD 分别为,,x y z 轴，建立直角坐标系，则()2,2,0B ，()()12,0,4,0,2,0A C ，∴()10,2,4A B =-，()12,2,4AC =--，由题可知()12,2,4AC =--为平面BDE 的一个法向量，设1A B 与平面BDE 所成的角为α，则1130sin cos 62024,C A B A α==⋅，即1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值为306.11．（2021·河北唐山·高二期中）如图（1），△BCD 中，AD 是BC 边上的高，且∠ACD ＝45°，AB ＝2AD ，E 是BD 的中点，将△BCD 沿AD 翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD ，得到的图形如图（2）．(1)求证：AB⊥CD；(2)求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．【解析】(1)证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD；(2)由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，12），∴A E＝10,1,2⎛⎫,⎪⎝⎭BC＝(120),BE,-,＝10,1,2⎛⎫-,⎪⎝⎭设平面BCE的法向量为n＝（x，y，z），由20102BC n x yn BE y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y＝1，得x＝2，z＝2，则n＝（2，1，2），……设直线AE与平面BCE所成角为θ，则245 sin|cos,|15532AE nθ==⨯故直线AE与平面BCE4512．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA=AB=2，AD=3，BC=1，E是PB的中点.(1)证明：PB ⊥平面ADE ；(2)求直线AP 与平面AEC 所成角的正弦值.【解析】（1）因AD ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，则AD ⊥PB ，又PA =AB =2，E 是PB 的中点，则有AE ⊥PB ，而AE AD A =，,AE AD ⊂平面ADE ，所以PB ⊥平面ADE .（2）因AD ⊥平面ABP ，∠PAB =90°，则直线,,AB AD AP 两两垂直，以点A 为原点，射线,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(1,0,1),(0,0,2),(2,1,0)A E P C ，(1,0,1),(2,1,0),(0,0,2)AE AC AP ===，令平面AEC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则020n AE x z n AC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =-，得(121)n ,,=-，令直线AP 与平面AEC 所成角的大小为θ，则||26sin |cos ,|||||62n AP n AP n AP θ⋅=〈〉==⨯所以直线AP 与平面AEC 613．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，2PA AB BC ===，1AD =，点M ，N 分别为棱PB ，DC 的中点．(1)求证：AM ∥平面PCD ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0A B C ,()()()1,0,0,0,0,2,0,1,1D P M ,则()()0,1,1,1,0,2AM PD ==-,()1,2,0CD =--,设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =r,则2020n PD x z n CD x y ⎧⋅=-=⎨⋅=--=⎩,令1z =,则2,1x y ==-,则平面PCD 的一个法向量为()2,1,1n =-,0110,n AM n AM∴⋅=-+=∴⊥//AM ∴平面PCD（2）由（1）得3,1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,0,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设直线MN 与平面PCD 所成角为θ.sin cos ,n MN MN n n MNθ⋅∴==⋅39=∴直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为27839.14．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，,//AB AD BC AD ⊥，点M 是棱PD 上一点，且满足2,4AB BC AD PA ====．(1)求二面角A CD P --的正弦值；(2)若直线AM 与平面PCD所成角的正弦值为3，求MD 的长．【解析】(1)如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P ，(2,2,0)CD =-，(0,4,4)PD =-，设平面PCD 法向量(,,)n x y z =，则00n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220440x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即(1,1,1)n =，又平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，cos ,3m n m n m n⋅〈〉=，故二面角A CD P --3=．(2)设MD PD λ=（01λ≤≤），(0,4,4)MD λλ=-，点(0,4,44)M λλ-，∴(0,4,44)AM λλ=-，由（1）得平面PCD 法向量(1,1,1)n =，且直线AM 与平面PCD∴6cos ,3AM n AM n AM n⋅〈〉==，解得12λ=，即12=MD PD ，又PD 12==MD PD 15．（2022·北京市第十二中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 的中点．(1)证明：//PA 平面BDE ；(2)若1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，F 为棱PB 上一点，DF 与平面BDE 所成角的大小为30°，求PFPB的值．【解析】(1)如图，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，因为M 是AC 的中点，E 是PC 的中点，所以//PA EM 又ME ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE(2)因为1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，所以AD BD ⊥，故以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,,,222D A B P C E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()111,,,0,1,0222DE DB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11102220x y z y ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩，故取()1,0,1n =，设(01)PF PB λλ=<<，则()()0,,1,0,,1F DF λλλλ-=-因为直线DF 与平面BDE 所成角的大小为30，所以1sin302DF n DF n⋅==12=解得12λ=，故此时12PF PB =.16．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2PD AD ==，AD PC ⊥，点E 在线段PC 上（不与端点重合），30PCD ∠=︒.(1)求证：AD ⊥平面PCD ；(2)是否存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30°？若存在，求出PEEC的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：在正方形ABCD 中，可得AD CD ⊥，又由AD PC ⊥，且CDPC C =，CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，根据线面垂直的判定定理，可得AD ⊥平面PCD .(2)在平面PCD 中，过点D 作DF CD ⊥交PC 于点F .由（1）知AD ⊥平面PCD ，所以AD DF ⊥，又由AD DC ⊥，以{},,DA DC DF 为正交基底建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()(0,0,0),2,0,0D A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(0,P -，设PEEC λ=，则PE EC λ=，所以212,,11AE AP PE λλλ⎛⎫-=+=- ++⎝⎭，()2,0,0AD =-，(2,3,PB =uu r设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，则2120120AE n x y AD n x λλ⎧-⋅=-++=⎪⎨+⎪⋅=-=⎩，取y =0,12x z λ==-，所以平面ADE的一个法向量()2n λ=-，因为直线PB 与平面ADE 所成角为30，所以1sin 30cos ,2PB n ︒==，解得5λ=±综上可得，存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30，且5PEEC=±考点3：二面角17．（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AB 的中点，1B C 交1BC 于点E ，AC BC ⊥，1CA CB CC ==.(1)求证：DE ∥平面11AAC C ；(2)求平面1AB C 与平面11A B C 的夹角的余弦值.【解析】（1）证明：因为111ABC A B C -为三棱柱，所以平面11BCC B 是平行四边形，又1B C 交1BC 于点E ，所以E 是1B C 的中点．又D 为1AB 的中点，所以//DE AC ，又AC ⊂平面11AAC C ，DE ⊂/平面11AAC C ，所以//DE 平面11AAC C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，又AC BC ⊥，所以11C A 、11C B 、1C C 两两互相垂直，所以以1C 为坐标原点，分别以11C A 、11C B 、1C C 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，如图所示．设11CA CB CC ===，则1(0,0,0)C ，1(1,0,0)A ，1(0,1,0)B ，(1,0,1)A ，(0,0,1)C ，所以1(1,1,1)AB =--，(1,0,0)=-AC ，11(1,1,0)=-A B ，1(1,0,1)AC =-．设平面1AB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则100n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x y z x -+-=⎧⎨-=⎩，不妨令1y =，则(0,1,1)n =，设平面11A B C 的一个法向量为(,,)m x y z =，则11100m A B m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，则(1,1,1)m =．所以cos ||||m n m n m n ⋅〈⋅〉===⋅所以平面1AB C 与平面11A B C18．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高二期中）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直，且1,2OA OB OC ===，E 是OC的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；(2)求二面角A BE C --的正弦值．【解析】（1）以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,1,0E .()()()2,0,00,1,02,1,0EB =-=-，()0,2,1AC =-.2cos 5EB AC =-，.由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，故其余弦值是25.（2）()()2,0,10,1,1AB AE =-=-，.设平面ABE 的法向量为()1,,n x y z =，则由11n AB n AE ⊥⊥，，得200x z y z -=⎧⎨-=⎩，取()11,2,2n =.由题意可得，平面BEC 为xOy 平面，则其一个法向量为()20,0,1n =u u r，1212122cos 3n n n n n n ⋅===⋅，，则12sin 3n n =，，即二面角A BE C --的正弦值为3．19．（2021·福建·厦门一中高二期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB =，2BC =，4ABC π∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 在线段EF 上运动．(1)当AE DM ⊥时，求点M 的位置；(2)在（1）的条件下，求平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值．【解析】（1）2AB =2AD BC ==，4ABC π∠=，∴222cos 2AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠∴222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，AB AC ∴⊥，又AF AC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，AF ⊂平面ACEF ，AF ∴⊥平面ABCD ，所以以AB ，AC ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,2,1),(0,0,1)A B C D E F-，设(0,,1),02M y y 则2,1)AE =，(2,2,1)DM y =-AE DM ⊥，∴2(2)10AE DM y ⋅=-+=，解得22y =，∴12FM FE =．∴当AE DM ⊥时，点M 为EF 的中点．（2）由（1）可得(2,,1)2BM =，(BC =设平面MBC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111112020m BM y z m BC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取12y =，则m =，易知平面ECD 的一个法向量为(0,1,0)n =，∴cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=<>=⋅∴平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为105．20．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））如图，直角三角形ABC 中，60BAC ∠=，点F 在斜边AB 上，且4AB AF =，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，3AD =，4AC BE ==．(1)求证：DF ⊥平面CEF ；(2)点M 在线段BC 上，且二面角F DM C --的余弦值为25，求CM 的长度．【解析】（1）90ACB ∠=，60BAC ∠=，4AC =，8AB ∴=，又4AB AF =，2AF ∴=；2222cos 2016cos6012CF AC AF AC AF BAC ∴=+-⋅∠=-=，解得：CF =，222AF CF AC ∴+=，则AF CF ⊥；DA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，CF AD ∴⊥；又,AF AD ⊂平面ADF ，AFA AD =，CF ∴⊥平面ADF ，DF ⊂平面ADF ，DF CF ∴⊥；连接ED ，在四边形ABED 中，作DH BE ⊥，垂足为H，如下图所示，DF ==EF ==，DE =222DF EF DE ∴+=，则DF EF ^；,CF EF ⊂平面CEF ，CF EF F ⋂=，DF ⊥∴平面CEF .（2）以C 为坐标原点，,CA CB 正方向为,x y 轴，以BE 的平行线为z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设CM m =，则()0,,0M m ，()0,0,0C ，()4,0,3D，()F ，()4,,3MD m ∴=-，()4,0,3CD =，()1,FD =，设平面DMF 的法向量(),,n x y z =，则43030MD n x my z FD n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令9y =，解得：3x m =-z m =，()3n m m ∴=--；设平面CDM 的法向量(),,m a b c =，则430430CD m a c MD m a mb c ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令3a =，解得：0b =，4c =-，()3,0,4m ∴=-；二面角F DM C --的余弦值为25，2cos ,5m n m n m n ⋅∴<>==⋅，25=，((()222134381m m m ⎡⎤∴-=-++⎢⎥⎣⎦，解得：m；当m F DM C --为钝二面角，不合题意；则二面角F DM C --的余弦值为25时，CM =21．（2022·江苏徐州·高二期中）如图所示，在四棱锥中P ABCD -，2AB DC=，0AB BC ⋅=，AP BD ⊥，且AP DP DC BC ====(1)求证：平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)已知点E 是线段BP 上的动点（不与点P ､B 重合），若使二面角E AD P --的大小为4π，试确定点E 的位置.【解析】(1)连接BD ，由2AB DC =，0AB BC ⋅=知242,//,AB DC AB DC CD BC ==⊥，在Rt BCD 中，22216,4BD CD BC BD =+==，设AB 的中点为Q ，连接DQ ，则//,CD QB QB CD =，所以四边形BCDQ 为平行四边形，又,CD BC DC BC ⊥=，所以四边形BCDQ 为正方形，所以,22DQ AB DQ AQ ⊥==Rt AQD 中，22216AD AQ DQ =+=，在Rt ABD 中，222161632AD BD AB +=+==，所以AD BD ⊥，又,AP BD AP AD A ⊥⋂=，,AP AD ⊂平面ADP ，所以BD ⊥平面ADP ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)在APD △中，2228816AP PD AD +=+==，所以AP PD ⊥，在Rt APD 中，过点P 作PF AD ⊥，垂足为F ，因为PA PD =，所以F 为AD 中点，所以2PF DF ==，由（1）得BD ⊥平面ADP ，PF ⊂平面ADP ，则BD PF ⊥，,AD BD ⊂平面ABCD ，ADBD D =，则PF ⊥平面ABCD .以D 为原点，分别以,DA DB 所在直线为,x y 轴，以过点D 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0),(4,0,0),(0,4,0),(2,0,2),(4,0,0),(2,4,2)D A B P DA PB ==--，设()(2,4,2),0,1PE PB λλλλλ==--∈，则(22,4,22)DE DP PE λλλ=+=--，易知平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，设平面EAD 的法向量为(,,)n x y z =，则()()40224220n DA x n DE x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令1z =，则1(0,,1)2n λλ-=，所以221cos ,cos 4211m n m n m nλπλλλ⋅-===⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，即2122521λλλ-=-+，即23210λλ+-=，解得1λ=-（舍）或13λ=，所以，当点E 在线段BP 上满足13PE PB =时，使二面角E AD P --的大小为4π.22．（2021·湖北十堰·高二期中）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，//,2,4,23AN BM AB AN BM CN ====(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM 上是否存在一点E ，使得二面角E BN M --的余弦值为33，若存在求出CE EM 的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)正方形ABCD 中，BC AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABMN ，平面ABCD平面,ABMN AB BC =⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ABMN ，所以BC BM ⊥，且BC BN ⊥，2,23BC CN ==所以2222BN CN BC -，又因为2AB AN ==，所以222BN AB AN =+，所以AN AB ⊥，又因为AN //BM ，所以BM AB ⊥，BC BA B =，所以BM ⊥平面ABCD .(2)由（1）知，BM ⊥平面,ABCD BM AB ⊥，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,4,0B C N M 设点(),,,,E x y z CE CM λ=[0,λ∈1]，则()(),,20,4,2x y z λ-=-，所以0422x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以()0,4,22E λλ-，所以()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ==-，设平面BEN 的法向量为(),,m x y z =，()2204220m x y m y z λλ⋅=+=⎧∴⎨⋅=+-=⎩令1x =，所以21,1y z λλ=-=-，所以2(1,1,)1m λλ=--，显然，平面BMN 的法向量为()0,0,2BC =，所以cos ,BC m BC m BC m⋅=⋅3==即2642λλ=-+，即23210λλ+-=，解得13λ=或1-（舍），则存在一点E ，且12CE EM =.考点4：点到直线的距离23．（2021·云南大理·高二期中）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A ．38B 6C ．118D ．224【答案】B 【解析】因为AB BC =，且ABC 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC ，BA 的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故点F到直线AC 的距离2221136144422AF AF AC AC d ⎛⎫⋅⎛⎫⎪=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故点F 到直线AC 的距离是6424．（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）已知直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，点()0,1,1A 在直线l 上，则点()1,2,2P 到直线l 的距离为（）A ．230B 30C 3010D 305【答案】D【解析】由已知得(1,1,1)PA =---，因为直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，所以点()1,2,2P 到直线l 的距离为2222212930335512PA n PA n ⎛⎫⎛⎫⋅-----= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故选：D25．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）在空间直角坐标系中，已知长方体1111ABCD A B C D -的项点()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,4,0B ，()10,4,2C =，则点1A 与直线1BC 之间的距离为（）A ．B ．2C ．125D ．52【答案】A【解析】如图，由题意知，建立空间直角坐标系D xyz -，1(000)(200)(240)(042)D A B C ，，，，，，，，，，，，则1422AB BC CC ===，，，连接111A B AC ，，所以1111A B A C BC ===得11A BC V 是等腰三角形，取1BC 的中点O ，连接1OA ，则1OA ⊥1BC ，即点1A 到直线1BC 的距离为1OA ，在1Rt A OB 中，有1OA ==故选：A26．（2021·北京市昌平区第二中学高二期中）已知空间中三点(1,0,0)A -，(0,1,1)B -，(2,1,2)C --，则点C 到直线AB 的距离为（）A B C D 【答案】A【解析】依题意得()()1,1,2,1,1,1AC AB =--=-则点C 到直线AB 的距离为63d =故选：A27．（2022·江西南昌·高二期中（理））如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点Р到直线1CC 的距离的最小值为_______.【答案】5【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,4,0),(0,0,4),(2,4,0),(0,4,4)C D E C ，11(2,0,0),(0,0,4),(2,4,4)CE CC ED ===--，因点P 在线段1D E 上，则[0,1]λ∈，1(2,4,4)EP ED λλλλ==--，(22,4,4)CP CE EP λλλ=+=--，向量CP 在向量1CC 上投影长为11||4||CP CC d CC λ⋅==，而||CP =，则点Р到直线1CC的距离4525h =，当且仅当15λ=时取“=”，所以点Р到直线1CC的距离的最小值为5.28．（2022·福建龙岩·高二期中）直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，且l 过点()1,1,1A -，则点()0,1,1P -到l 的距离为___________.【解析】(1,0,2)AP =-，直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，由题意得点P 到l的距离d =29．（2021·山东·嘉祥县第一中学高二期中）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线1A E 的距离为________.【答案】3【解析】如图，以D 为原点建系，则()()()12,0,2,2,1,1,1,2,0A O E ，则()()110,1,1,1,2,2AO A E =-=--，则111111cos ,3A O A E A O A E A O A E⋅==，又[]11,0,A O A E π∈，所以111sin ,3A O A E =，所以点O 到直线1A E的距离为1111sin ,33A O A O A E ==.故答案为：23.考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离30．（2020·山东省商河县第一中学高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，15AA =，E ，F 分别为1DD ，1BB 上的点，且11DE B F ==．(1)求证：BE ⊥平面ACF ：(2)求点B 到平面ACF 的距离．【解析】（1）以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4A B C E F ,设面ACF 的一个法向量为()=,,n x y z ，()()=2,2,0,0,2,4AC AF -=，可得00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220240x y y z -+=⎧⎨+=⎩，不妨令1z =则()=2,2,1n BE --=,BE ∴⊥平面ACF .（2）()=0,2,0AB ，则点B 到平面ACF 的距离为43AB nn⋅=.31．（2022·江苏·2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则点D 到平面ABC 的距离为______．【答案】33【解析】记AC 与BD 的交点为O ，图1中，由正方形性质可知AC BD ⊥，所以在图2中，,OB AC OD AC ⊥⊥，所以2BOD π∠=，即OB OD⊥如图建立空间直角坐标系，易知1OA OB OC OD ====则(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C D -则(0,1,1),(1,0,1),(0,2,0)AB AC BD =--=-=设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，则00AB n y z AC n x z ⎧⋅=--=⎨⋅=-=⎩，取1x =，得(1,1,1)n =-所以点D 到平面ABC 的距离22333BD n d n⋅===故答案为：23332．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别是上底棱的中点，则点A 到平面11B D EF 的距离为______．【答案】1【解析】以1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,1A ，()11,1,0B ，10,,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,0D ，设平面11B D EF 的法向量(),,m x y z =，则有1111020m D E y z m D B x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2y =得：2,1x z =-=-，故()2,2,1m =--，其中()10,1,1AB =-，则点A 到平面11B D EF 的距离为11AB m d m⋅===故答案为：133．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离是________.【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()11,0,1B 、()1,1,0C 、()0,1,0D 、()10,0,1A 、()11,1,1C ，设平面1AB C 的法向量为()111,,m x y z =，()11,0,1AB =，()1,1,0AC =，由1111100m AB x z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，可得()1,1,1m =--，设平面11AC D 的法向量为()222,,n x y z =，()10,1,1DA =-，()11,0,1DC =，由12212200n DA y z n DC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，可得()1,1,1n =--r ，因为m n =，平面1AB C 与平面11AC D 不重合，故平面1//AB C 平面11AC D ，()0,1,0AD =uuu r ，所以，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离为1333AD m d m⋅==故答案为：33.34．（多选题）（2020·辽宁·大连八中高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,E O 分别是11A B ，11AC 的中点，P 在正方体内部且满足1132243AP AB AD AA =++，则下列说法正确的是（）A ．点A 到直线BE 255B ．点O 到平面11ABCD 的距离是24C ．平面1A BD 与平面11B CD 3D ．点P 到直线AD 的距离为56【答案】ABCD【解析】如图，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，1(0,0,1)A ，1(1,1,1)C ，()10,1,1D ，1,0,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1(1,0,0),,0,12BA BE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．设ABE θ∠=，则||5cos 5||||BA BE BA BE θ⋅==，25sin 5θ==．故A 到直线BE的距离1||sin 1d BA θ===，故选项A 正确．易知111111,,0222C O C A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，平面11ABC D 的一个法向量1(0,1,1)DA =-，则点O 到平面11ABC D 的距离11211||224||DA C O d DA ⋅===，故选项B 正确．1111(1,0,1),(0,1,1),(0,1,0)A B A D A D =-=-=．设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =，则110,0,n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0,x z y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，得1,1y x ==，所以(1,1,1)n =．所以点1D 到平面1A BD的距离113||||A D n d n ⋅===因为平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD 的距离，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离为3.故选项C 正确．因为1312423AP AB AD AA =++，所以312,,423AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又(1,0,0)AB =，则34||AP AB AB ⋅=，所以点P 到AB 的距离56d ==.故选项D 正确．故选：ABCD.考点6：异面直线的距离35．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中）如图正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =.动点P ，Q 分别在线段1C D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是（）A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】B【解析】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x yy z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min 23DA n PQ n⋅==.故选：B .36．（2021·辽宁沈阳·高二期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（）A 5B 7C 6D ．67【答案】D【解析】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3A C B C ，则()2,1,0AC =-，()12,0,3BC =-，设AC 和1BC 的公垂线的方向向量(),,n x y z =，则100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则()3,6,2n =，()0,1,0AB =，67AB n d n⋅∴==.故选：D.37．（2021·上海交大附中高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，则异面直线AB 和1AC 的距离为___________.【答案】【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由1(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(4,0,4)A B C A ，则1(0,4,0),(4,4,4)AB CA ==-，1(0,0,4)AA =设(,,)m x y z =是异面直线AB 和1AC 的公垂线的一个方向向量，则1404440m AB y m CA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则(1,0,1)m =-，所以异面直线AB 和1AC的距离为1AA m m ⋅==故答案为：38．（2021·广东·广州市第二中学高二期中）如图，在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==.（1）求证：平面GEF ⊥平面PBC ；（2）求证：EG 是直线PG 与BC 的公垂线；（3）求异面直线PG 与BC 的距离.【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()()()()()3,0,0,0,3,0,0,0,3,0,1,0,0,2,1,1,1,0A B C F E G ，()1,0,0GF =-，0,0GF PC GF PB ⋅=⋅=，所以,,GF PC GF PB PC PB P ⊥⊥⋂=，所以GF ⊥平面PBC ，由于GF ⊂平面GEF ，所以平面GEF ⊥平面PBC .（2）()()1,1,1,0,3,3EG BC =--=-，0,0EG PG EG BC ⋅=⋅=，所以EG 是直线PG 与BC 的公垂线.（3）2221113EG =++=所以异面直线PG 与BC39．（2021·全国·高二期中）如下图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，,2,12ABC BAD PA AD AB BC π∠=∠=====．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值；（2）求异面直线PB 与CD 之间的距离．【解析】以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C D P ．（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AB AD ⊥，且PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB ，所以()0,2,0AD =是平面PAB 的一个法向量．易知()()1,1,2,0,2,2PC PD =-=-uu u r uu u r ，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,220,x y y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =解得1,1z x ==．所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量，从而3cos ,AD m AD m AD m⋅==uuu r u r uuu r u r uuu r u r PAB 与平面PCD 所成夹角为锐角所以平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值为33．（2）()1,0,2BP =-，设Q 为直线PB 上一点，且(),0,2BQ BP λλλ==-，因为()0,1,0CB =-，所以(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，又()1,1,0CD =-，所以点Q 到直线CD 的距离()22cos d CQ CQ CQ CD =-⋅uu u r uu u r uu u r uu u r===，因为22919144222999λλλ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭，所以23d≥，所以异面直线PB与CD之间的距离为2 3．。
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。
更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。
首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法 一：利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= (2)直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为|cos |___________.θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=.(3)二面角二面角的取值范围是 . 二面角的向量求法：方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小；方法二：设1n ，2n 分别是两个面的 ，则向量1n 与2n 的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。
二：利用空间向量求空间距离 （1）点面距离的向量公式平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是 ，即d =||||MP ⋅n n . （2）线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = .平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||MP ⋅n n . （3）异面直线的距离的向量公式设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||MP ⋅n n .三：利用空间向量解证平行、垂直关系1：①所谓直线的方向向量，就是指 的向量，一条直线的方向向量有 个。
高二数学用平面法向量求空间距离
PA n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
小结：
1、怎样利用向量求距离？
①点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向， 可取其射影的绝对值）。
二、求点到平面的距离
如图点P为平面外一点，点A为平面内的任
一点，平面的法向量为n,过点P作平面a的垂
ห้องสมุดไป่ตู้
线PO，记PA和平面a所成的角为，则点P
到平面的距离 nP
d | PO |
| PA | sin
a
O A
| PA | | n PA | | n || PA |
| n PA| |n|
A
B x
D
y C
三、求直线与平面间距离
例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面
GEF的距离。
z
G
PA n
d
n
xD
C
F
A
E
B
y
四、求平行平面与平面间距离
例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求 平面AMN与平面EFDB的距离。 z
z S
B
Ay
xC
D
； 太阳能路灯
；
最后也悲伤如老汉。所谓才华、才学、才识，只有变为才能并施于生活的时候，才有用。别忘了，才和能在造词的时候是联在一起的。人们爱说一句话：行善。其实行善之小端是施舍，大端是以满腔的能耐作用社会。 书中并无黄金屋，读而有识，笃做笃行
利用向量知识求距离
面 α 所成的角为 φ，θ＝〈n，A→B〉，则 sinφ＝|cos〈n，
A→B〉|＝|cosθ|.由数量积的定义知，n·A→B＝|n||A→B|cosθ，
∴点 B 到平面 α 的距离 d＝|A→B|·sinφ＝|A→B|·|cosθ|＝
|n·A→B| |n| .
第三章 空间向量与立体几何
(3)求异面直线间的距离
第三章 空间向量与立体几何
人 教 A 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
(1)两点间的距离(即线段的长度)．
求 A、B 两点间的距离一般用|AB|＝ |AB―→|2＝
AB―→·AB―→ 求解．
人
(2)求点到平面的距离
教 A
版
如图所示，已知点 B(x0，y0，z0)，平面 α 内一点
数 学
A(x1，y1，z1)，平面 α 的一个法向量 n，直线 AB 与平
第三章 空间向量与立体几何
[例3] 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、
F分别是边AB、AD的中点，GC垂直于正方形ABCD
所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
人 教
A
版
数
学
所以 d＝|n·|nE→|B|＝21111即为所求．
试试等体积法吧！
第三章 空间向量与立体几何
[ 例 5] 如 图 ， 在 正 四 棱 柱 ABCD －
学
|AB|＝s4in－601°＝2 3；
当 A，B 在平面 α 异侧时，|AB|＝s4in＋601°＝130 3.
量，过 A 作 AC⊥α，垂足为 C，则A→C∥n，
(5)求两平行平面间的距离
人 教
A
①用公式 d＝|A→|Bn·|n|求，n 为两平行平面的一个法向
向量法求异面直线的距离公式
向量法求异面直线的距离公式
异面直线之间的距离公式可以通过向量法来求解。
假设有两条异面直线，它们的方向向量分别为a和a，直线上的一点分别为a和a。
则异面直线的距离可以通过以下步骤来计算：
1.首先，我们计算两条直线上的一点，记为aa和aa，它们为两条直线的最近点。
2.然后，我们计算直线上的向量，记为a=aa−aa，它表示从一条直线上的点到另一条直线上的点的向量。
3.最后，我们计算异面直线的距离，记为a，它等于向量a在两条直线的法向量上的投影长度。
根据以上步骤，异面直线的距离公式可以表示为：
a=|a⋅(a×a)|/|a×a|
其中，⋅表示向量的内积，×表示向量的叉积，|a⋅(a×a)|表示向量a在向量(a×a)上的投影长度，|a×a|表示向量(a×a)的模长。
需要注意的是，如果向量a和a不垂直，则上述公式给出的结果为两条直线之间的最短距离。
如果向量a和a垂直，则它们之间的夹角为a/2，此时两条直线之间的距离为0。
这就是使用向量法求解异面直线的距离公式。
通过计算两条直线之间的最短距离，我们可以更好地理解两条异面直线之间的关系。
用平面法向量求空间距离优秀课件
G
PA n
d
xD
C
n
F
A
E
B
y
四、求平行平面与平面间距离
例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求 平面AMN与平面EFDB的距离。 z
PA n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
小结：
1、怎样利用向量求距离？
结论1
பைடு நூலகம்
点 P 到平面a的距离可以通过，
在平面a内任取一点 A，求向量PA在
平面a的法向量n上的投影来解决.
P
PA n d
n
M
n
N
A
a O
①点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向， 可取其射影的绝对值）。
②点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。
③直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。
④平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到 平面的距离。
⑤异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点 到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模 或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的 模。
E
C B y
练习: SA 平A 面BC ， DDABABC90 ， SA ABBC 2， AD 4, z 求 A到平 SC 面 的 D距离 S 。
A
B x
D
y C
三、求直线与平面间距离
例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥
平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中z
2010高三数学高考第一轮复习向量复习教案：用向量法求空间距离
A第三课时 用向量法求空间的距离——热点考点题型探析一、复习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的距离；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的距离的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
3、探究题型，掌握解法。
二、重难点：向量法在立体几何中求空间的距离应用。
探究题型，掌握解法。
三、教学方法：讲练结合，探析归纳 四、教学过程（一）热点考点题型探析题型1：异面直线间的距离例1、如图2，正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长AB =BD 和SC 之间的距离？分析：建立如图所示的直角坐标系，则(22A ，(22B ，(C，(D ，(0,0,2)S。
(2,DB ∴=，2(CS =。
令向量(,,1)n x y =，且,n DB n CS ⊥⊥，则00n DB n CS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，(,,1)0(,,1)2)0x y x y ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，00x y x y +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，x y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，(2,n ∴=-。
∴异面直线BD 和SC 之间的距离为：OC n d n⋅====。
题型2：点面距离例2、如图，已知ＡＢＣＤ为边长是４的正方形， Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于Ａ ＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求点Ｂ到 平面ＥＦＧ的距离。
解法一：连结ＢＦ，ＢＧ，2222121=⋅⋅=⋅=∆FA BE S BEF ，又Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＡＢＣＤ ＧＥO 'ＦＯ Ｈ,43,2221AC CH BD EF ===∴222224432⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∴CHGC GH 22=。
112222221=⋅⋅=∆GEF S ，h h V EFG B 113211231=⋅⋅=-，2231⋅⋅=-BEF G V ，11112=∴h ．解法二． Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，∴ＥＦ／／ＢＤ，∴Ｂ到平面ＧＥＦ的距离为ＢＤ上任一点到平面ＧＥＦ的距离，ＢＤ⊥ＡＣ于Ｏ，ＥＦ／／ＢＤ，,AC EF ⊥∴又ＧＣ⊥平面ＡＢＣＤ，ＥＦ⊂平面ＡＢＣＤ，∴ＥＦ⊥ＧＣ，ＥＦ⊂平面ＧＥＦ，∴平面ＧＥＦ⊥平面ＧＣＨ，过Ｏ点作⊥'O O ＨＧ，则⊥'O O 平面ＧＥＦ，O O '为Ｏ到平面ＧＣＨ的距离，即Ｂ到平面ＧＥＦ的距离。
高三数学 6利用向量法求空间角和距离试题
6利用向量法求空间角和距离1向量法求异面直线所成的角【例1】 (15郑州市期末) 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________.【解析】以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系.设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)，则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)，∴EF →·BC 1→＝2，∴cos〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成的角为60°. 【评注】用向量求解异面直线所成角，利用坐标运算求解，公式计算要准确. 设两异面直线a b ，所成的角为,θ，m n 分别是a b ，的方向向量，则有cos cos ,θ⋅==m n m n m n ．异面直线所成角的范围是02π⎛⎤ ⎥⎝⎦，，因此，如果按照公式求出来的向量的数量积是一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角就为为锐角或直角．【变式1】正三棱锥中利用向量的坐标运算求异面直线所成的角在正三棱锥P —ABC 中，底面正△ABC 的中心为O ，D 是PA 的中点，PO =AB =2，求异面直线AC 和BD 所成的角余弦值．30 【解析】以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系．因ABC ∆是正三角形，故y 轴平行于BC ，而PO =AB =2，则(0,0,2)P ，23(A ，3(B ，3(1,0)C -，D 是PA 的中点，故3(D ， 231,1)BD =-u u u r ，(3,1,0)CA =u u u r ， 330cos ,|10410113133BD CA <>====+++u u u r u u u r g 【例2】 （2012·陕西理）三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________．【解析】选准基底，由题意知，AB 1→＝AB →＋AA 1→，BC 1→＝BB 1→＋BC →＝BA →＋AC →＋AA 1→.又∠CAA 1＝∠BAA 1＝∠BAC ＝60°，设边长、侧棱长为1，则AB 1→2＝(AB →＋AA 1→)2＝AB →2＋AA 1→2＋2AB →·AA 1→＝3，所以|AB 1→|＝3，同理可得|BC 1→|＝ 2.AB 1→·BC 1→＝AB →·BA →＋AB →·AC →＋AB →·AA 1→＋AA 1→·BA →＋AA 1→·AC →＋AA 1→2＝1，所以cos 〈AB 1→·BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→|·|BC 1→|＝13·2＝66. 【评注】求异面直线所成角可以借助向量运算求解.关键是选取合适的基底，利用基向量法A B C P D O xy z和线性运算以及数量积，沟通角与向量之间的关系求解。
异面直线距离的四种解法
异面直线距离的四种解法问题：高中数学第二册下（B）第51页4.已知正方体的棱长为1，求直线DA1与AC的距离。
分析：立体几何中包含点面、线面、面面和异面直线四种距离，其中点面距离是基础，异面直线距离是难点，但又常利用线面转化为点面。
在教学大纲和考试大纲中，对于异面直线的距离，只要求会计算出给出的线或在坐标表示下的距离。
此题恰为公垂线未知，宜采用转化的方法或坐标法，试述四种方法如下：由课本P50知，两条异面直线的距离，等于其中一条直线（）到过另一条直线（）且与这条直线（）平行的平面的距离，可得两种转化：一、转化为点面距离，利用三角形求解：解：如图连结A1C1，则AC//面A1C1D连A1D,DC1,DO1过O作OE⊥O1D于E因为：A1C1⊥B1B1D1D1又OE⊥O1D 所以OE⊥面A1C1D因此OE即为直线DA1与AC的距离，在Rt△OO1D在中求得OE=3 3二、转化为三棱锥的高，利用等体积求解。
解:如图连结A1C1,DC1,则AC//面A1C1D因此三棱锥A-A1C1D高h即为直线DA1与AC的距离V A-A1C1D=V C1-AA1D=13S△AA1D×C1D1得h=3 3极易建立空间直角坐标系，运用向量代数推动十分方便三、与异面直线均垂直求法向量，经连两点求距离解：建立如图坐标系:则：A（0,0,0）A1(1,0,1)B(1,0,1) C(0,1,0 )设DA1,AC确立的平面的向量为n=(X,Y ,Z)则:直线DA1与AC的距离d=四、垂直相交求的垂线，距离公式求距离解：设MN为DA1与AC的垂线，其中M在DA1上，N在AC上设M(m,0,m), N(1-n,n,0)则：MN=（1-n-m,n,-m ）, 由MN ×DA 1=0, MN ×AC=0, 得m=n=13从而MN=(13 ,13 ,-13 ), MN =33。
高二数学用平面法向量求空间距离
⑤异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点 到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模 或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的 模。
结论1
点 P 到平面a的距离可以通过，
在平面a内任取一点 A，求向量PA在
平面a的法向量n上的投影来解决.
例3、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
G
xD F
A
E
C B y
练习: SA 平面ABCD，DAB ABC 90，
SA AB BC a，AD 2a, z 求A到平面SCD的距离。 S
PA n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
小结：
1、怎样利用向量求距离？
①点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向， 可取其射影的绝对值）。
②点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。
③直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。
d AB cos AB, n
n
例2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
求异面直线DA1与AC的距离。z
D1
C1
A1
B1
D A x
C y
B
练习:如图,
ABCD是正方形，SB 面ABCD，且SA与 面ABCD所成的角为45，点S到面ABCD的 距离为1，求AC与SD的距离。
A
B x
用向量求距离
A(1,0,0)
A1
B1 C y
DA = (1,0,0) ,则:
D B
设 DA1 与 AC 的公垂向量为
n = ( x, y , z )
x
A
n DA1 = 0 x + z = 0 n AC = 0 x + y = 0
x = z ∴ x = y
∴
令 x = 1, 则n = (1,1,1) , 异面直线 DA1 与 的距离为: AC 的距离为:
例1已知边长为 a 的正方体 ABCD A1 B1C1D1 中, 已知边长为 的中点, M , N 分别是 BC和CD 的中点,求 B 与平面 C1 MN 的距离. 的距离. z 解:建立空间直角坐标系 D xyz ,则: 1 B ( a , a ,0) M ( a, a,0) 2
1 N (0, a,0) 2
1 1 NM = ( a, a,0) 2 2 1 BM = ( ,0,0) 2
C1 (0, a, a )
1 NC1 = (0, a, a ) 2
y x
设平面 C1 MN 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则:
d
1 a n BM 2 = 1a d= = 3 3 n 2 1 ∴ 点 B 到平面 C1 MN 的距离为 a . 3
(4)用模型公式 d =
l m n 2mn cosθ
2 2 2
(5)向量方法:先求两异面直线的公共法向 向量方法: 量,再求两异面直线上两点的连结线段在公共 法向量上的射影长
d=
EF n n
E
F n
b a
已知棱长为1的正方体 例2.已知棱长为 的正方体 已知棱长为 的正方体ABCDA1B1C1D1,求直线 A1D和AC间的距离 间的距离. 求直线 和 间的距离
异面直线距离求解方法
浅议异面直线距离求解方法638404 四川省武胜中心中学校 段 方 建求异面直线的距离问题，是立体几何中的一个重、难点。
在现行教材中占有十分重要的地位，但学生在学习中遇到此类问题时，常感到困难，无所适从。
本文就人教版高中数学第二册（下B ）的习题9.8第4题求解方法的分析、探讨。
归纳了几种求异面直线的距离问题的常用方法，仅供参考。
题目：已知正方体''''D C B A ABCD -的棱长为1，求直线'DA 与AC 的距离。
一、利用定义求异面直线的距离利用定义求异面直线的距离，首先应作出异面直线的公垂线段，或转化为线面、面面距离求解，则要求作出线面、面面距，并证明。
然后再将其放置于平面几何图形中利用相关策略求解，解答的关键是要找到所求的“线段”，按“作”、“证”、“求”的步骤求解。
解：如图，连结C A ''，则AC ∥面D C A ''，连结D B BD '',分别与C A AC '',交于O O ',连O D C D D A ''',,，过O 作OE ⊥D O '于E∵C A ''⊥，面D D B B '' ∴C A ''⊥OE又OE ⊥,D O ' ∴OE ⊥面D C A ''因此OE 即为直线'DA 与AC 的距离.在Rt △D O O '中，,O O OD D O OE '•='•可求得.33=OE 二、利用向量方法求异面直线的距离利用向量方法求异面直线的距离，首先要针对题目要求建立恰当的空间直角坐标系，然后求出两条异面直线的公共法向量，再计算两条异面直线上各取一点连结的线段在公共法向量上的射影长，即应用d =解：如右图所示，建立空间直角坐标系.可知：)0,1,1(-=)1,1,0(--='A D设),,1(μλ=n 且0,0='•=•A D n n即.001=--=+-μλλ且∴),1,1,1(=n 又)0,0,1(=，∴33==d ，故异面直线'DA 与AC 的距离是33. 三、利用等体积法求异面直线的距离利用等体积法求异面直线的距离，就是说将距离看成几何体体积表示的一个要素，一般是指可以将其看成高线的时候，可以把几何体的体积通过换底换高，用不同的方式表示，进而建立方程的办法求解，其基本思想就是利用体积不变性。
向量求点到平面的距离和两异面直线间距离
教师姓名 学生姓名 教材版本 人教版学科名称 数学年 级高一上上课时间2012.课题名称 利用向量解决立体几何教学目标 1掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法； 2.熟练掌握向量方法在实际问题中的作用 教学重点向量运用方法。
教 学 过 程备 注一、课前准备复习1：已知()()1,2,0,0,1,1,A B ()1,1,2C ，试求平面ABC 的一个法向量.复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学探究一：点到平面的距离的求法问题：如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n ,且AP 与n 不共线,能否用AP 与n 表示d ? 分析:过P 作PO ⊥α于O ,连结OA ,则d =|PO |=||cos .PA APO ⋅∠ ∵PO ⊥α,,n α⊥ ∴PO ∥n .∴cos ∠APO=|cos ,PA n 〈〉| ∴D. =|PA ||cos ,PA n 〈〉| =|||||cos ,|||PA n PA n n ⋅⋅〈〉=||||PA n n ⋅αnA ⋅O⋅P⋅新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n ，则D. =||||PA n n ∙ 试：在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，求点'C 到平面''A BCD 的距离.三、典型例题例1 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.变式：如图,ABCD 是矩形,PD ⊥平面ABCD ,PD DC a ==,2AD a =,M N 、分别是AD PB 、的中点,求点A 到平面MNC 的距离.APD C BMN小结：求点到平面的距离的步骤：⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标； ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离.探究任务二：两条异面直线间的距离的求法例 2 如图，两条异面直线,a b 所成的角为θ，在直线,a b 上分别取点',A E 和,A F ,使得'AA a ⊥,且'AA b ⊥.已知',,A E m AF n EF l ===，求公垂线'AA 的长.变式：已知直三棱柱111ABC A B C ─的侧棱14AA =,底面ABC △中, 2AC BC ==，且90BCA ∠=,E 是AB 的中点,求异面直线CE 与1AB 的距离.四、当堂检测1. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，平面''ABB A 的一个法向量为 ；2. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 所成角是 ；3. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，两个平行平面间的距离是 ；4. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 间的距离是 ；5. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，点O 是底面''''A B C D 中心，则点O 到平面''ACDB 的距离是 .6. 如图，正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1，点M 是棱1AA 中点，点O 是1BD 中点，求证：OM 是异面直线1AA 与1BD 的公垂线，并求OM 的长.7. 如图，空间四边形OABC 各边以及,AC BO 的长都是1，点,D E 分别是边,OA BC 的中点，连结DE .⑴ 计算DE 的长；⑵ 求点O 到平面ABC 的距离.课后小结上课情况：课后需再巩固的内容：配合需求家 长学管师学科组长审批教研主任审批。
异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)
1异面直线间的距离求异面直线之间距离的常用策略： 求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
常用方法有： 1、 定义法2、 垂直平面法（转化为线面距）3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a 。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。
2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。
异面直线间的距离(全部方法详细例题)
异面直线间得距离求异面直线之间得距离就是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质,直接找出该公垂线,然后求解;或者通过空间图形性质,将异面直线距离转化为直线与其平行平面间得距离,或转化为分别过两异面直线得平行平面间得距离,或转为求一元二次函数得最值问题,或用等体积变换得方法来解。
常用方法有: 1、 定义法2、 垂直平面法(转化为线面距)3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法1 定义法 就就是先作出这两条异面直线得公垂线,然后求出公垂线得长,即异面直线之间得距离。
例1 已知:边长a 为得两个正方形ABCD 与CDEF 成1200得二面角,求异面直线CD 与AE 间得距离。
思路分析:由四边形ABCD 与CDEF 就是正方形,得CD ⊥AD,CD ⊥DE,即CD ⊥平面ADE,过D 作DH ⊥AE 于H,可得DH ⊥AE,DH ⊥CD,所以DH 就是异面直线AE 、CD 得公垂线。
在⊿ADE 中,∠ADE=1200,AD=DE=a,DH=。
即异面直线CD 与AE间得距离为。
2 垂直平面法:转化为线面距离,若a 、b 就是两条异面直线,过b 上一点A 作a 得平行线a /,记a /与b 确定得平面α。
从而,异面直线a 、b 间得距离等于线面a 、α间得距离。
例1 如图,BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 得两个面内,与棱分别成α、β角,又它们与棱得交点间得距离为d,求两条异面直线BF 、AE 间得距离。
思路分析:BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 得两个面内,∠EAB=α,∠FAB=β,AB=d,在平面Q 内,过B 作BH ‖AE,将异面直线BF 、AE 间得距离转化为AE 与平面BCD 间得距离,即为A 到平面BCD 间得距离,又因二面角P-AB-Q 就是直二面角,过A 作 AC ⊥AB 交BF 于C,即AC ⊥平面ABD,过A 作AD ⊥BD 交于D,连结CD 。
立体几何中的向量方法(三)----利用向量方法求距离
§立体几何中的向量方法(三)——利用向量方法求距离知识点一求两点间的距离已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使面ABC与面ADC垂直，求BD间的距离．解方法一过D 和B 分别作DE⊥AC 于E ，BF⊥AC 于F ， 则由已知条件可知AC ＝5， ∴DE＝3×45＝125，BF ＝3×45＝125.∵AE＝AD 2AC ＝95＝CF ，∴EF＝5－2×95＝75，∴DB ＝DE →＋EF ＋FB →.|DB |2＝ (DE →＋B 1E →＋FB →)2＝DE →2＋EF 2＋FB →2＋2DE →·EF ＋2DE →·FB →＋2EF ·FB →. ∵面ADC⊥面ABC ，而DE⊥AC， ∴DE⊥面ABC ， ∴ DE ⊥BF, DE → ⊥FB →,|DB |2＝DE →2＋B 1E →2＋FB →2＝14425＋4925＋14425＝33725，∴|DB |＝3375. 故B 、D 间距离是3375. 方法二同方法一．过E 作FB 的平行线EP ，以E 为坐标原点，以EP ，EC ，ED 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．则由方法一知DE ＝FB ＝125，EF ＝75，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，125，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，75，0， ∴BD ＝⎝⎛⎭⎪⎫125，75，－125， | BD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1252＝3375. 【反思感悟】 求两点间的距离或某线段的长度的方法：(1)把此线段用向量表示，然后用|a |2＝a·a 通过向量运算去求|a |.(2)建立空间坐标系，利用空间两点间的距离公式d ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22求解．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜2)．(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1) ∵CM＝BN ＝a(0<a<2)， 且四边形ABCD 、ABEF 为正方形， ∴M (22a,0,1－22a)，N(22a ，22a,0)， ∴|MN →＝(0，22a ，22a －1)，∴|MN →|＝a 2－2a ＋1.(2)由(1)知MN ＝a －222＋12， 所以，当a ＝22时，MN ＝22. 即M 、N 分别移到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22. 知识点二 求异面直线间的距离如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA⊥EB 1，已知AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3，求异面直线AB 与EB 1的距离．解.以B 为原点，BA →、BA →所在直线分别为y 、z 轴，如图建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2， AB ＝2，∠BCC 1＝π3，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有B(0,0,0)，A(0,0，2)，B 1(0,2,0)， 设 E (3,,02a )，由EA ⊥EB 1，得EA ·1EB =0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－a ，2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2－a ，0＝0， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32＝0，即a ＝12或a ＝32(舍去)， 故E ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0. 设n 为异面直线AB 与EB 1公垂线的方向向量， 由题意可设n ＝(x ，y,0)， 则有n ·1EB =0. 易得n ＝(3，1,0)， ∴两异面直线的距离d ＝BE n n ⋅＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0·3，1，03＋1＝1.【反思感悟】 求异面直线的距离，一般不要求作公垂线，若公垂线存在，则直接求解即可；若不存在，可利用两异面直线的法向量求解．如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，M 、N 分别为DC 、BB 1的中点，求异面直线MN 与A 1B 的距离．解 以A 为原点，AD 、AB 、AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A 1(0,0,2)，B(0,4,0)，M(3,2,0)，N(0,4,1)． ∴|MN →＝(－3,2,1)，1A B ＝(0,4，－2)． 设MN 、A 1B 公垂线的方向向量为n ＝(x ，y ，z)，则10,0,n MN n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2y ＋z ＝04y －2z ＝0.令y ＝1，则z ＝2，x ＝43，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，1，2，|n |＝613. 1MA ＝(－3，－2,2)在n 上的射影的长度为d ＝1MA n n⋅,故异面直线MN 与A 1B 的距离为66161.知识点三 求点到平面的距离在三棱锥B —ACD 中，平面ABD⊥平面ACD ，若棱长AC ＝CD ＝AD ＝AB ＝1，且∠BAD＝30°，求点D 到平面ABC 的距离．解如图所示，以AD 的中点O 为原点，以OD 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，过O 作O M⊥面ACD 交AB 于M ，以直线OM 为z 轴建立空间直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，0，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫12，0，0，∴AC =⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，12，DC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，0，设n ＝(x ，y ，z)为平面ABC 的一个法向量，则31·0,221·0,2AB x z AC x y ⎧⎫=+=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎭n n ， ∴y＝－33x ，z ＝－3x ，可取n ＝(－3，1,3)， 代入d ＝DC n n⋅，得d ＝32＋3213＝3913，即点D 到平面ABC 的距离是3913. 【反思感悟】 利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M 、N 、E 、F 分别为A 1D 1、A 1B 1、C 1D 1、B 1C 1的中点，求平面AMN 平面与EFBD 间的距离.解 如图所示，建立空间直角坐标系D —xyz ，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，从而EF ＝(2,2,0)，MN →＝(2,2,0)，AM ＝(－2,0,4)，BF →＝(－2,0,4)， ∴EF ＝MN →， AM ＝BF →， ∴EF∥MN，AM∥BF， ∴平面AMN∥平面EFBD.设n ＝(x ，y ，z)是平面AMN 的法向量，从而·220,·240,MN x y AM x z ⎧⎫=+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩⎭n n解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2zy ＝－2z .取z ＝1，得n ＝(2，－2,1)， 由于AB 在n 上的投影为n AB n⋅＝－84＋4＋1＝－83.∴两平行平面间的距离d ＝n ABn⋅＝83. 课堂小结：1．求空间中两点A ，B 的距离时，当不好建系时利用|AB|＝|AB | ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22来求．2．两异面直线距离的求法．如图(1)，n 为l 1与l 2的公垂线AB 的方向向量， d ＝|AB |＝|CD →·n ||n |.3点B 到平面α的距离：|BO |=AB n n⋅.(如图(2)所示)4.面与面的距离可转化为点到面的距离.一、选择题 1.若O 为坐标原点，OA =（1，1， 2），OB =（3，2，8），OC =（0，1，0），则线段AB 的中点P 到点C 的距离为（ ）B ．214 答案 D解析 由题意OP ＝(1－t )OA →＝12(OA →＋OB →)＝(2，32，3)，PC →＝OC →－OP ＝(1－t )OA →＝(－2，－12，－3)，PC ＝|PC →|＝4＋14＋9＝532. 2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离是( )A ．1 2答案B解析以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则有D1（0，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1）.因O为A1C1的中点，所以O（12，12,1），1C O =（12，-12，0），设平面ABC1D1的法向量为 n=（x,y,z），则有10,0, n ADn AB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,x zy-+=⎧⎨=⎩则 n = （1，0，1），∴O到平面ABC1D1的距离为：1C O ndn⋅=,.3．在直角坐标系中，设A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A、B两点间的距离为( )A．211 D．311答案A解析AB AE EF=+＋FB→AB 2＝AE 2＋EF 2＋FB →2＋2AE ·EF ＋2AE ·FB →＋2EF ·FB →＝9＋25＋4＋2×3×2×12＝44.∴|AB |＝211.4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是A 1B 1的中点，则点A 到直线BE 的距离是( )答案 B 解析 如图所示，BA =（2，0，0）， BE =（1，0，2）， ∴cos θ=BA BEBA BE＝225＝55， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝255，A 到直线BE 的距离d ＝|－*6]·OC →|sin θ＝2×255＝455. 二、填空题5．已知A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．答案491717解析 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则0,0,n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0，(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0.∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，1， 又AD =（-7，-7，7）.∴点D 到平面ABC 的距离d =AD nn⋅＝491717. 6．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，E 为A 1B 1的中点，则异面直线D 1E 和BC 1间的距离是________．答案263解析 如图所示建立空间直角坐标系,设n 为异面直线D1E 与BC1公垂线的方向向量,并设n =(x,y,z),则有110,0,n BC n D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩易求得n =（1， -2，1），∴d=11D C nn⋅＝|(0，2，0)·(1，－2，1)|1＋4＋1＝46＝263. 7．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点A 到平面A 1BD 的距离为________． 答案33a 解析 以D 为空间直角坐标原点，以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1BD 的法向量，则有10,0,n DA n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )(a ，0，a )＝0，(x ，y ，z )(a ，a ，0)＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，∴n ＝(1，－1，－1)． ∴点A 到平面A 1BD 的距离d ＝DA n n⋅＝a3＝33a . 三、解答题8．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.(1)求BF 的长；(2)求点C 到平面AEC 1F 的距离．解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,4,0)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，E (2,4,1)，C 1(0,4,3)．设F (0,0，z )．∵四边形AEC 1F 为平行四边形， ∴由1AF EC得（-2，0，z ）=（-2，0，2）， ∴z=2.∴F （0，0，2）.∴BF =（-2，-4，2）.于是|BF |=26（2）设n 1为平面AEC 1F 的一个法向量，显然n 1不垂直于平面ADF ，故可设n 1=（x ，y ，1）， 由0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得 0410,2020,x y x y ⨯+⨯+=⎧⎨-⨯+⨯+=⎩即410,220,y x +=⎧⎨-+=⎩∴1,1,4x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴n 1=（1, 14-,1）. 又1CC =(0,0,3),设1CC 与n 1的夹角为α,则cos α=1111CC n CC n ⋅ 43313331116==⋅++∴C 到平面AEC 1F 的距离为 d=|1CC |cos α=3433333311=9．已知：正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点．(1)求证：平面B 1EF⊥平面BDD 1B 1； (2)求点D 1到平面B 1EF 的距离． (1)证明建立如右图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)， B(22，22，0)，E(22，2，0)， F(2，22，0)，D 1(0,0,4)， B 1(22，22，4)．EF ＝(－2， 2，0)， DB →＝(22，22，0)， 1DD ＝(0,0,4)， EF ·DB →＝0.∴EF⊥DB，EF⊥DD 1，DD 1∩BD＝D ， ∴EF⊥平面BDD 1B 1.又EF ⊂平面B 1EF ，∴平面B 1EF⊥平面BDD 1B 1. （2）解由（1）知11D B =)(22,22,0EF =)(2,2,0-，1B E =)(0,2,4--,设平面B 1EF 的法向量为n ,且n = (x,y,z)， 则n ⊥EF ,n ⊥1B E ，即n ·EF =（x ，y ，z ）·)(2,2,0-＝－2x ＋2y ＝0，n ·1B E ＝(x ，y ，z)·(0，－2，－4)＝－2y －4z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝－24，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，1，－24. ∴D 1到平面B 1EF 的距离11D B nd n ⋅=＝|22＋22|12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－242＝16171710．直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高为3，底面是边长为4且∠DAB ＝60°的菱形，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，E 是O 1A 的中点．(1)求二面角O 1—BC －D 的大小；(2)求点E 到平面O 1BC 的距离．解 (1)∵OO 1⊥平面AC ，∴OO 1⊥OA ，OO 1⊥OB ，又OA ⊥OB ，建立如图所示的空间直角坐标系，∵底面ABCD 是边长为4，∠DAB=60°的菱形，∴OB=2，则，B(0,2,0)，C(-,0,0)，O 1(0,0,3) 设平面O 1BC 的法向量为n 1=（x,y,z ），则n 1⊥1O B ， n 1⊥1O C , ∴⎩⎨⎧ 2y －3z ＝0－23x －3z ＝0，若z ＝2，则x ＝－3，y ＝3， ∴n 1＝(－3，3,2)， 而平面AC 的法向量n 2＝(0,0,3)∴cos〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝63×4＝12，设O 1－BC －D 的平面角为α，∴cos α＝12，∴α＝60°.故二面角O 1－BC －D 为60°.(2)设点E 到平面O 1BC 的距离为d ，∵E 是O 1A 的中点，∴1EO ＝(－3，0，32)， 则d=111EO n n ＝|(－3，0，32)·(－3，3，2)|(－3)2＋32＋22＝32 ∴点E 到面O 1BC 的距离等于32.。
高考数学复习：利用向量求空间角和距离
(2)方法一:不存在,证明如下:当面B′OA⊥面AOC时,三
棱锥B′ -AOC的体积最大,因为面B′OA∩面AOC=AO,
B′O⊥AO,所以B′O⊥面AOC,所以OC⊥OB′,又因为
OC⊥OA,所以OC⊥平面AOB′,在直角三角形CPO中,
CO=1,COP ，sinCPO 所以6 POCC=， ,所以 6
令x1=1,得n1=(1,-1,0).
设平面PBC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
由n2·PC=0,n2· B=C 0得
y2x2
z2 0,
0,?
令y2=1得n2=(0,1,1), 设二面角C -PB -D的大小为θ,则cos θ= 所以θ=60°.
| n1 n2 | 1 , | n1 || n2 | 2
D. 4 15
【解析】选A.以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z 轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则N(1,2,2), D(0,0,0),C(0,2,0),M(2,2,1),则 C=M(2,0,1), DN=(1,2,2),设异面直线所成角为θ, 则cos θ= | CM DN | 4所以 4异5面，直线CM与
( 2,0,0) ( 2,0, 2),
所以
cos〈A1F，D1E〉
|
A1F A1F |
D1E | D1E
|
2
2 2 1
解得 1 ( 1 舍去).
3
3
答案: 1
3
3 2， 5 10
【规律方法】利用向量求线线角的解题策略 (1)向量法求异面直线所成的角的方法有两种 ①基向量法:利用线性运算; ②坐标法:利用坐标运算.
D. 10 10
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作业:
D1
C1
A1 B1
D C
A
B
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 求异面直线AA1和BD1间的距离.
h=
AA1 • n
3
n
3
第三步：由于线AC平行于面A1C1D，所以点A到平面A1C1D 的距离就是异面直线A1D与AC间的距离.
所以，所求的距离为 3
3
小结：
求两条异面直线间的距离步骤如下 1.先找到经过一条直线并且与另一条直线平行的平面α 2.求α平面的法向量 n 3.找到连接线与面向量 4.求这个向量在法向量 n 上的射影长,即为所求.
总结:
1.求异面直线间的距离的关键是找到经过一条直线与另一直线平 行的平面.把向量通过坐标形式正确表示出来. 2.求异面直线间的距离的难点是求这个平面的法向量.
3.求异面直线间的距离的重点是转化为求点到面的距离. 4.求异面直线间的距离易错的是找连接直线和平面的向量. 5.用法向量解题的立几题的优点是不需大量的逻辑推理,完全依 靠计算就可以解决问题.不需要确定垂足的位置.
α
)θ B
h BA cos BA, n
注意! 点B必须在平面内
BA • n
n
h
n
c
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1, 求直线 A1D和AC间的距离.
z
解:建立空间直角坐标系
D1
C1
第一步:先求平面
A1C1D的法向量 n
A1
B1
由题知:AC=(-1,1,0),
A1D=(1,0,1) 设法向量n=(x,y,z)
练习：
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1, E、F、G分别为B1C1、 C1D1和A1D1的中点,求：（1）点A1到平面DBEF的距离. （ 2） 并求直线AG与BD间的距离. z
D1 G
F
C1
E
A1
B1
A x
D B
y C
解: 建立如图的空间直角坐标系, 则由题知 DB=(1,1,0) ,DF=(0,1/2,1) ,DA1=(1,0,1) , 且AG∥BE
D
y
C
n • AC 0
x
A
B
n • Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD 0
解得 -x+y=0, x+z=0. 即 y=x, z=-x 所以n=(x,x,-x)=x(1,1,-1) 取n=(1,1,-1)
第二步:求A到平面A1C1D的距离
由图知AA1是平面A1C1D的斜线，向量AA1=（0，0，1） 在向量n上的射影长为
法向量的定义：
如果向量a⊥平面α，那么 向量a叫做平面α的法向量.
异面直线间的距离
如何求A1D和AC 间的距离?
↓ 即求线AC与面 A1C1D的距离
↓
即求点A(或C)到 面A1C1D的距离
D1
C1
A1
B1
D C
A
B
A
求点到平面的距离
设A是平面α外的一点,AB 是α的一条斜线,交平面α于点B, 而n是平面α的法向量,那么向量 BA在方向n上的正射影长就是 点A到平面α的距离h.
设平面DBEF的法向量为n=(x,y,z) ,则有:
n DB 0 n DF 0
x y 0
即
1 2
y
z
0
令x=1,y=-1,z=1/2
取n=(1,-1,1/2) ,
则A1到平面DBEF的距离h=
n DA1 1
n
又由AG∥BE, 所以AG与BD间的距离就是A点到面DBEF的距离 同理可求得AG与BD间的距离为2/3.