绝对值不等式的性质及其解法

所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε.
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定理2 如果a, b, c是实数，那么
|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施 工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的 最小值，可用绝对值三角不等式求解。
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练习：课本P20第1、2、3、4、5题
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补充练: 习
1.已知a b,m ab,n ab,则m,n之间的 ab ab
|a|-|b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a-b|, |a|-|b|≤|a-b|.
如果a, b是实数，那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
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例1 已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求证： |2x+3y-2a-3b|<5ε.
证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε.
4.若 关 x的于 不x 等 2x式 1a的 解 则 集 a
的 取 值 _a_范 _3 _围 __是 ___
5.若不等 x式 4x3a的解集为非 , 空
则实a的 数取值范 (C围 ) 是
A. a7
B.1a7
C.a1 D.a1
6.设 m ,0,xa,yb,am ,ym ,
2
2
求x证 yab m
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大小关系 ( D 是 ) A.mn B.mn C.mn D.mn
2.如 果 实 x,y满 数足 coxscoyscoxscoys,且x(,),
2 则(coxscoys)2可 写(D成 )
A.co-csoxsy Bc. osxcoys
C.c oysc oxs
D.c oysc oxs
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3.若r1,r2是方x2程 px80的两个不,则 等 r1r2的取值_范 (_4 _2,围 _)____
|a-b|
x
A(a)
精选课件B(b)
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问题1：从“运算”的角度|a|,|b|,|a+b|具 有怎样的关系？
分ab>0、ab<0和ab=0三种情形讨论：
（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|
O
ab
a+b
x
a+b b a
O
x
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（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0， 如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
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小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成
立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,
(a-b)(b-c)≥0时等号成立）
能应用定理解决一些证明和求最值问题。
作业：课本P20第3、4、5题
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2、绝对值不等式的解法
y
b
ab
当向量a, b共线时， 有怎样的结论？
a
x
O
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定理1的代数证明：
证 明 ： 当 a b 0 时 ， a b |a b |,|a b |(a b )2 a 2 2 a b b 2|a |2 2 |a b | |b |2(|a | |b |)2 |a | |b |
当ab 0时，ab ab,| ab| (ab)2
a2 2abb2 | a |2 2| ab| | b|2
| a|2 2| ab| | b|2 (| a| | b|)2 | a| | b|,
所以 | ab|| a| | b|,
当且仅当ab 0时，等号成立。
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问题2：你能根据定理1的研究思路，探究一下
|a|，|b|，|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-b|，|a+b|,之间的关系吗？
b
a+b O
a
x
如果a<0, b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
a
O
a+b b x
（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：
|a+b|=|a|+|b|
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定理1 如果a, b是实数，对这则值个三不角等式不称等为式绝。 |a+b|≤|a|+|b|
当且仅当ab≥0时，等号成立。
探究： 如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？
绝对值不等式性质及解法
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考纲要求
22．不等式的基本性质和证明的基本方法 （1）理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何
意义证明以下不等式：
① ab a b . ② ab ac cb .
（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
ax b c ; ax b c ; x a x b c.
②分段讨论法：
|a x b | c (c 0 ) a a x x b b 0 c或 a x (a x b b ) 0 c
（3）了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法. 反证法,放缩法
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二、绝对值不等式
1、绝对值三角不等式
实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴
上坐标为a的点A到原点的距离：
|a|=-a(a<0)
|a|=a(a>0)
A(a)
O
x A(a)
任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B， 那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。
例:若xm, ym,下列不等式中的一是 (B定)
Ax. -y
B.xy2
C.xy2
D.xy 精选课件
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例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个 地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第 10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施 工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生 活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工 队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于 何处？
• 复习：如果a>0，则 |x|<a的解集是(-a, a)； |x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)
-a
O
|x|<a
-a
O
精|x选|课>件a
a
x
a
x
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（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的 解法：
①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c型 不等式，然后再求x，得原不等式的解集。