《信号分析与处理》1-3

还原
f(t)
连续
频谱密度函数：
kΩ0
+ -
Ω
3
F(jΩ) =
f(t)e
-jΩt
dt
第三节 非周期信号的频谱
f p (t) =
k =- +
Fe
k
+
jkΩ0 t
Fk jkΩ0 t = e f0 k =- f 0
+
Fk jkΩ0 t Ω0 1 + Fk jkΩ0 t = e = e ΔΩ 2π 2π k =- f0 k =- f 0
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第三节 非周期信号的频谱
例题1-6：试求钟形信号的频谱宽度。
τΩ - 2
2
F(jΩ) = Kτ π e
钟形信号在时域和频域的波形具有相同形状
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第三节 非周期信号的频谱
例题1-7：试求雷电流的频谱密度。 i(t) =
I(e -α t - e -β t ),
t 0
I(jΩ) =
解：
F1 (jΩ) =
+ - +
f 1 (t)e
-jΩt
dt =
+
- +
δ(t)e -jΩt dt = 1 e
-jΩt
F2 (jΩ) =
-
f 2 (t)e
-jΩt
dt =
-
-1 -jΩt + 2sinΩt dt = e | = lim - t jΩ Ω
= lim 2tSa(Ωt) = 2 δ(Ω)
幅度频谱或幅度谱： F(jΩ) 频谱密度函数的幅值与角频率（或频率）之间的关系。 相位频谱或相位谱： (jΩ) 频谱密度函数的相位与角频率（或频率）之间的关系。 复数
F(jΩ) = F(-jΩ)
偶函数
(jΩ) = - (-jΩ)
奇函数
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第三节 非周期信号的频谱
f(t) = = f(t) = =
+
0
I(e
-α t
-e
-β t
)e
-jΩt
I I dt = α + jΩ β + jΩ
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第三节 非周期信号的频谱
频带宽度：一般将非周期信号频谱密度从零频率到频谱密度 幅度降为其最大值的十分之一的频率之间的频率 范围定义为该信号的频带宽度。
等效脉冲宽度 等效（角）频率宽度 脉冲信号的等效频带宽度为：
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第三节 非周期信号的频谱
频谱搬移技术
cosΩ0 t sinΩ0 t
载频信号
频谱搬移技术在通信系统的调制和解调技术中获得广泛应用。
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第三节 非周期信号的频谱
时域卷积定理：
+
f1 (t)* f 2 (t) =
-
f 1 (τ)f 2 (t - τ)dτ
F [f1 (t)* f 2 (t)] = F1 (jΩ)F2 (jΩ)
+
第三节 非周期信号的频谱
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第三节 非周期信号的频谱
作业 第30页 习题一
1-7,1－12
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编织一张只有一个网眼的渔 网或许也能捞到鱼，但这靠的纯 粹是运气。要想每次都捞到鱼， 那就必须编织一张足够大的网， 尽管每次网到鱼的不过是其中一 个网眼罢了。
选自《读大学，究竟读什么》一书
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1 + j[Ωt+ (jΩ)] F(j Ω ) e dΩ 2π 1 + 1 + F(jΩ) cos[Ωt + (jΩ)]dΩ + j F(jΩ) sin[Ωt + (jΩ)]dΩ 2π - 2π - 1 + F(jΩ) cos[Ωt + (jΩ)]dΩ 2π 1 + F(jΩ) cos[Ωt + (jΩ)]dΩ 0 π
延拓条件下
1 + j Ωt f(t) = F(j Ω )e dΩ 2π -
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第三节 非周期信号的频谱
频域
傅里叶变换FT：
F(jΩ) =
时域
+
-
f(t)e -jΩt dt,- < Ω < +
1 + j Ωt f(t) = F(jΩ)e dΩ 2π -
傅里叶变换存在条件：
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第三节 非周期信号的频谱
矩形信号和采样信号的关系：时频互逆
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第三节 非周期信号的频谱
尺度变换性质：
1 Ω F [f(at)] = F(j ) a a
信号在时域中压缩，则其频谱将在频域扩展 时移性质：
F [f(t - t0 )] = F(jΩ)e
-jΩt0
信号延时后其幅度谱不变，只是其相位谱产生一个 t 0 的相位延迟。
lim f0
f0 0
-
f(t)e
-jΩt
dt = 0
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第三节 非周期信号的频谱
周期信号 非周期信号
谱线的频率间隔趋于零，离散谱趋于连续谱，同时， 各次谐波分量即所有谱线的幅值也趋于零。
频谱密度函数的基本含义
各次谐波分量的幅值趋于零，但是，分配在各次谐波频率点上 的谐波分量的频谱密度是一个有限值，并不随着取极限的过程趋于 零。这就启示我们，可以用谐波分量的频谱密度代替谐波分量的频 谱来表达非周期信号的频域特性。当然，在取极限的过程中，所有 离散的谐波分量的频谱密度最终被转化为充满整个频率轴的连续的 频谱密度函数。 7
25
第三节 非周期信号的频谱
例题1-8：求矩形脉冲信号和周期矩形脉冲信号的傅里叶变换， 并画出它们的频谱图。
Ωτ F(jΩ) = τASa( ) 2 τΩ τkΩ0 τkΩ0 1 Fk = 0 ASa( ) = τASa( ) 2π 2 T0 2 τkΩ0 2πτA + Fp (jΩ) = 2π Fk δ(Ω - kΩ0 ) = Sa( )δ(Ω - kΩ0 ) 26 T0 k=- 2 k=-
2
第三节 非周期信号的频谱
T0 Fk -jkΩ0 t 2 = T0 f p (t)e dt,k = 0, 1, 2, ... f0 - 2
T0 Fk 2 = T f p (t)e -jkΩ0 t dt,k = 0, 1, 2, ... 0 f0 2
T0
f p (t)
离散
BΩ f(0) 1 B= = = 2π F(0) τ
时域
频域
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第三节 非周期信号的频谱
非周期信号的能量（帕斯瓦尔定理）：
+
E=
-
1 + 2 f (t)dt = F(jΩ) dΩ 2π -
2
时域
频域
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第三节 非周期信号的频谱
周期信号的傅里叶变换：
f p (t) =
T0 2 T0 2
线性性质：
F [a 1 f 1(t)+a 2 f (t)] 2 = a F1(j 1
Ω)+a 2 F 2 (j Ω)
奇偶性质：
F *(j Ω)= F(-j Ω)
对称性质：
F [F(jt)] = 2 πf(-Ω)
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第三节 非周期信号的频谱
例题1-4：求已知信号的频谱密度。 （1）单位冲激信号 f1 (t ) (t ) f 2 (t ) 1 （2）单位直流信号
t
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第三节 非周期信号的频谱
时域
直流
频域
冲激
单位冲激信号和单位直流信号的波形与频谱图
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第三节 非周期信号的频谱
例题1-5：试求矩形脉冲信号的频谱密度。
τ 2 τ 2 Ωτ j A -j Ωτ dt = (e 2 -e 2 -jΩ
F(jΩ) = Ae
-jΩt
Ωτ sin 2A Ωτ Ωτ 2 )= sin = τA = τASa( ) Ωτ Ω 2 2 2
k=-
周期信号的傅里叶变换是存在的，由一系列冲激函数组成。
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第三节 非周期信号的频谱
傅里叶级数系数与傅里叶变换之间的关系：
1 Fk = T0
T0 2 T0 2
f p (t)e
-jkΩ0 t
1 dt = F(jΩ)|Ω=kΩ0 = f0 F(jΩ)|Ω=kΩ0 T0
周期信号傅里叶级数的展开系数（频谱）与非周期信号傅 里叶变换（频谱密度）的相互转换关系： 周期信号频谱的包络线与截取该周期信号一个周期波形的频谱 密度曲线的形状相同。
1 绝对可积

+
-
f(t) dt <
2 奇异函数，周期函数亦满足要求
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第三节 非周期信号的频谱
周期信号 非周期信号 频谱 Fk
频域分析 对象
频谱密度 F(jΩ)
T0 2 0 T0 2
1 Fk = T0

T0 2 T - 0 2
f p (t)e -jkΩ0 t dt = f
+

f p (t)e -jkΩ0 t dt,k = 0, 1, 2, ...
+ 0
=
2 F(jΩ) cos[Ωt + (jΩ)]df
非周期信号可以被分解为无限多个频率分量的正弦信号的叠加， 由于非周期信号的周期趋于无限大、基波频率趋于零，因此，非 周期信号包含了从零到无限大的所有频率分量的正弦信号，各频 率点的正弦信号的振幅趋于零。 10
第三节 非周期信号的频谱
傅里叶变换的若干基本性质：
信号无失真传输
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第三节 非周期信号的频谱
频移性质：
F [f(t)e±jΩ0 t ] = F[j(Ω Ω0 )]
频移性质在通信技术中重要应用