移动最小二乘法的程序
应用最小二乘一次完成法和递推最小二乘法算法的系统辨识讲解
1最小二乘法的理论基础1.1最小二乘法设单输入单输出线性定长系统的差分方程表示为：其中δ(k)为服从N(0,1)的随机噪声,现分别测出n+N 个输出输入值y(1),y(2),…,y(n+N),u(1),u(2),…,u(n+N),则可写出N 个方程，写成向量－矩阵形式(4.1.1)()()()()()()()()1201121n n y k a y k a y k a y k n b u k b u k b u k n k ξ=-------++-++-+()()()()()()101122,,n n a y n n y n a n y b y n N n N b ξξθξξ⎡⎤⎢⎥++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()()()()()()()()()()()10111121222112n n y n y n y u n u y n y n y u n u y n N y n N y N u n N u N a n a n b n N b ξξξ+--+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+-+-+⎢⎥⎢⎥=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦则式(1.1.1)可写为 （4.1.2） 式中：y 为N 维输出向量；ξ为N 为维噪声向量；θ为（2n+1）维参数向量；Φ为N ×（2n+1）测量矩阵。
因此，式（4.1.1）是一个含有（2n+1）个未知参数，由N 个方程组成的联立方程组。
11y θφφξ--=-在给定输出向量y 和测量矩阵Φ的条件下求参数θ的估计，这就是系统辨识问题。
设 表示 θ 的估计值，ŷ表示y 的最优估计，则有 （4.1.3） 式中：()()()10ˆˆ1ˆˆ2ˆˆ,ˆˆˆn n ay n a y n y b y n N b θ⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦设e(k)=y(k)- ŷ(k), e(k)称为残差，则有e=y- ŷ=y-Φθ 最小二乘估计要求残差的平方和最小，即按照指数函数（4.1.4）求Ｊ对 的偏导数并令其等于0可得：（4.1.5）由式（4.1.5）可得的 θ 最小二乘估计：（4.1.6）J 为极小值的充分条件是：即矩阵ΦT Φ为正定矩阵，或者说是非奇异的。
最小二乘法
最小二乘法设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1<x 2<…<x n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。
根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。
最小二乘法是处理各种观测数据进行测量平差的一种基本方法。
如果以不同精度多次观测一个或多个未知量，为了求定各未知量的最可靠值，各观测量必须加改正数，使其各改正数的平方乘以观测值的权数的总和为最小。
因此称最小二乘法。
所谓“权”就是表示观测结果质量相对可靠程度的一种权衡值。
法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。
事实上，德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但迟至1809年才正式发表。
此后他又提出平差三角网的理论，拟定了解法方程式的方法等。
为利用最小二乘法测量平差奠定了基础。
最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计= a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和｀〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
python 最小二乘radon变换
python 最小二乘radon变换最小二乘（Least Squares）是一种数学优化方法，用于寻找数据的最佳拟合曲线或平面。
Radon变换是一种在图像处理中常用的变换方法，可以将图像从时域转换到频域以获得更多的信息。
在Python中，我们可以使用`numpy`库中的`polyfit`函数来实现最小二乘法。
首先，我们需要导入该库：```pythonimport numpy as np```然后，我们可以定义输入数据`x`和`y`：```pythonx = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 3, 5, 7, 8])```接下来，我们可以使用`polyfit`函数，传入数据`x`和`y`以及预期的拟合曲线的阶数（在本例中为1）：```pythoncoefficients = np.polyfit(x, y, 1)````coefficients`变量将包含拟合直线的系数。
最后，我们可以使用`poly1d`函数创建一个多项式对象，将系数传递给它：```pythonpolynomial = np.poly1d(coefficients)```现在，我们可以使用绘图库（如`matplotlib`）来绘制原始数据和拟合曲线：```pythonimport matplotlib.pyplot as pltplt.scatter(x, y, label='原始数据')plt.plot(x, polynomial(x), color='red', label='拟合曲线') plt.legend()plt.show()```这段代码将会绘制出原始数据的散点图以及拟合的曲线。
希望这个简单的示例对你有帮助！最小二乘法和Radon变换都是非常重要的工具，可以在数据分析和图像处理中发挥重要作用。
应用最小二乘一次完成法和递推最小二乘法算法地系统辨识
1最小二乘法的理论基础1.1最小二乘法设单输入单输出线性定长系统的差分方程表示为：其中δ(k)为服从N(0,1)的随机噪声,现分别测出n+N 个输出输入值y(1),y(2),…,y(n+N),u(1),u(2),…,u(n+N),则可写出N 个方程，写成向量－矩阵形式()()()()()()()()1201121n n y k a y k a y k a y k n b u k b u k b u k n k ξ=-------++-++-+L L ()()()()()()()()()()()()()()()()()()10111121222112n n y n y n y u n u y n y n y u n u y n N y n N y N u n N u N a n a n b n N b ξξξ+--+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+-+-+⎢⎥⎢⎥=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦LLL L M M MMLL M M M(4.1.1)则式(1.1.1)可写为 （4.1.2）式中：y 为N 维输出向量；ξ为N 为维噪声向量；θ为（2n+1）维参数向量；Φ为N ×（2n+1）测量矩阵。
因此，式（4.1.1）是一个含有（2n+1）个未知参数，由N 个方程组成的联立方程组。
11y θφφξ--=-在给定输出向量y 和测量矩阵Φ的条件下求参数θ的估计，这就是系统辨识问题。
设 表示 θ 的估计值，ŷ表示y 的最优估计，则有 （4.1.3） 式中：()()()10ˆˆ1ˆˆ2ˆˆ,ˆˆˆn n ay n a y n y b y n N b θ⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦M M M ()()()()()()()()()()()()()()()()()()101122,,11112221n n a y n n y n a n y b y n N n N b y n y u n u y n y u n u y n N y N u n N u N ξξθξξφ⎡⎤⎢⎥++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦--+⎡⎤⎢⎥-+-+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-+--+⎢⎥⎣⎦M M M M L LL L M MMLL y φθξ=+ˆθˆˆyθ=Φ设e(k)=y(k)- ŷ(k), e(k)称为残差，则有e=y- ŷ=y-Φθ 最小二乘估计要求残差的平方和最小，即按照指数函数（4.1.4）求Ｊ对 的偏导数并令其等于0可得：（4.1.5）由式（4.1.5）可得的 θ 最小二乘估计：（4.1.6）J 为极小值的充分条件是：即矩阵ΦT Φ为正定矩阵，或者说是非奇异的。
实验4 递推最小二乘法的实现
位矩阵，则经过若干次递推之后能得到较好的参数估计。
3
4．实验对象或参数 给定系统
y (k ) a1 y (k 1) a2 y ( k 2) b0u ( k ) b1u (k 1) b2u (k 2) (k ) （15）
即 n 2 。假设实际系统的参数为 a1 2 ， a2 1.3 ， b0 0.4 ， b1 0.88 ， b2 2.2 ， 但是不已知，即不可测。取 (k ) [0.1, 0.1] 的零均值白噪声。输入信号取为
u (k ) 1.5sin 0.2k
（16）
要求编制 MATLAB 程序，运用递推最小二乘法对这一系统的参数进行在线辨识，并 将辨识结果与实际参数进行对比。
5．程序框图
开始
程序初始化与赋初值
由先前输入输出生成 ΨN+1
用户输入初值设定常数c
由系统模型计算获得yN+1
设定初值θ0和P0
由递推最小二乘辨识公式得到 KN+1、PN+1、θN+1
y (1) u (n 1) u (1) y ( n) y (n 1) y (2) u (n 2) u (2) y (n N 1) y ( N ) u (n N ) u ( N )
（1）
其中 a1，a2…an，b0，b1，b2…bn 为待辨识的未知参数， ( k ) 是不相关随机序列。y 为系 统的输出， u 为系统的输入。 分别测出 n+N 个输出、 n+N 输入值 y(1)， y(2)…y(n+N)， u(1)， u(2)…u(n+N)，则可写出 N 个方程，具体写成矩阵形式，有
最小二乘法
最小二乘法一、最小二乘法概述最小二乘法是1795年高斯在预测星体运行轨道最先提出的，它奠定了最小二乘估计理论的基础．到了20世纪60年代瑞典学者Austron 把这个方法用于动态系统的辨识中，在这种辨识方法中，首先给出模型类型，在该类型下确定系统模型的最优参数。
我们可以将所研究的对象按照对其了解的程度分成白箱、灰箱和黑箱。
于其内部结构、 机制只了解一部分，对于其内部运行规律并不十分清楚，这样的研究对象通常称之为 “灰箱”；如果我们对于研究对象的内部结构、 内部机制及运行规律均一无所知的话，则把这样的研究对象称之为“黑箱”。
研究灰箱和黑箱时，将研究的对象看作是一个系统，通过建立该系统的模型，对模型参数进行辨识来确定该系统的运行规律。
对于动态系统辨识的方法有很多，但其中应用最广泛，辨识效果良好的就是最小二乘辨识方法，研究最小二乘法在系统辨识中的应用具有现实的、广泛的意义。
应用最小二乘法对系统模型参数进行辨识的方法有离线辨识和在线辨识两种离线辨识是在采集到系统模型所需全部输入输出数据后，用最小二乘法对数据进行集中处理，从而获得模型参数的估计值；而在线辨识是一种在系统运行过程中进行的递推辨识方法，所应用的数据是实时采集的系统输入输出数据，应用递推算法对参数估计值进行不断修正，以取得更为准确的参数估计值。
假设一个SISO 系统如下图所示：图1 SISO 系统结构图其离散传递函数为：（1）输入输出的关系为：)()()()(1k y k e z G k u =+•- （2）进一步，我们可以得到：)()()()()(11k e z B k u z A k y +⋅=⋅-- （3）其中，扰动量)(k e 为均值为0，不相关的白噪声。
将式（3）写成差分方程的形式：)()()2()1()()2()1()(2121k e n k u b k u b k u b n k y a k y a k y a k y n n +-⋯+-+-+--⋯-----=（4）令T n k u k u k u n k y k y k y k ])()2()1()()2()1([)(-⋯----⋯----=ϕnn n n z a z a z a z b z b z b z A z B z G ---------+⋯++++⋯++==221122111111)()()(][2121n nb b b a a a ⋯⋯=θ则式（4）可以写为：)()()(k e k k y T+=θϕ （5）将上述式子扩展到N 个输入、输出观测值{)(),(k y k u }，k=1,2,…，N+n 。
最小二乘法
最小二乘法1. 最小二乘法原理：最小二乘法是常用的线性拟合方法，原理和计算公式简述如下：假定线性关系为y kx b =+，做N 次实验得到'i i y kx b =+，式中与假定关系比较误差为，'21()N i i i W yy ==-∑。
为了使W 值最小，应有0,0WWk b ∂∂==∂∂。
于是得到求解k 、b 的方程式为，211111NN N i i i i i i i N N i ii i k x b x x y k x bN y =====+=+=∑∑∑∑∑，计算求得斜率k 与截距b 的值。
2. 数据处理：电压值经过运放输出到AD 转换器，然后由AD 转换得到一个数值。
在这个过程中，从0.0000到10.0000间隔1.0000取一个值共11个输入值，对应这11个输入值有11个最终的输出值。
依据这11组不同的数据，我们可以依据最小二乘法来求得一个线性关系：y = k*x + b 。
3. 程序设计：（1） 从文本文件中读取输入输出值。
文本文件的格式为：两列数据，第一列为输入数据，第二列为输出数据。
（2） 对于数据利用最小二乘法进行计算求得直线的斜率和截距。
具体步骤为：1）计算输入x 数组的叠加和xtotal 和平方和xsqua ；计算输出y 数组的叠加和ytotal 和平方和ysqua ，以及xy 乘积的叠加和xymul ；2）计算sxx=xsqua-xtotal*xtotal/11,syy=ysqua-ytotal-ytotal,sxy=xmul-xtotal*ytotal/11；3）计算斜率k 和截距b 。
xaver=xtotal/11,yaver=ytotal/11,k=sxy/sxx,b=yaver-k*xaver 。
（3） 计算误差百分比。
具体步骤为：1）计算输入x 条件下的输出拟和值yy[I]=k*x[I]+b ；2）计算拟和值与测量值的差值diff[I]=yy[I]-y[I]；3）计算误差百分比per[I]=diff[I]/y[I]。
最小二乘直线拟合程序
最小二乘直线拟合程序导论：在科学研究和工程应用中，拟合一组数据点到一个直线模型是一种常见的方法，用于寻找数据之间的趋势和关系。
在本文中，我们将探讨如何使用最小二乘法来拟合一个直线模型到一组给定的数据点，并编写一个简单的程序来实现这一过程。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它的核心思想是寻找一组参数，使得模型预测值与观测值之间的残差平方和最小化。
在直线拟合问题中，我们的目标是找到一条直线 y = mx + b，使得该直线与给定的数据点之间的残差平方和最小。
这一问题可以用数学公式表示为：min Σ(yi - (mx + b))^2其中，yi 表示第i个数据点的观测值，(xi, yi) 表示第i个数据点的坐标，m 和 b 分别表示直线的斜率和截距。
我们将通过最小二乘法来求解 m 和 b 的最优解，从而得到最佳拟合直线。
接下来，我们将使用Python编程语言来实现最小二乘直线拟合程序。
我们将使用SciPy 库中的optimize模块来进行参数优化，以及Matplotlib库来绘制拟合直线和数据点的图形。
让我们开始编写程序吧！程序实现：首先，我们需要导入所需的Python库：```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.optimize import minimize```接下来，我们定义一个函数来表示直线模型 y = mx + b，并定义一个函数来计算残差平方和：```pythondef linear_model(params, x):m, b = paramsreturn m * x + bdef loss_function(params, x, y):return np.sum((y - linear_model(params, x))**2)```然后，我们生成一些模拟数据点来进行拟合：```python# 生成模拟数据np.random.seed(0)x = np.linspace(0, 10, 20)y = 2 * x + 1 + np.random.normal(size=x.size)```现在，我们可以使用最小二乘法来拟合直线模型到这些数据点上：```python# 初始化参数估计值params_initial = [1, 1]# 使用最小二乘法拟合直线模型result = minimize(loss_function, params_initial, args=(x, y))# 提取最优参数m, b = result.x```最后，我们使用Matplotlib库来绘制拟合直线和数据点的图形：```python# 绘制拟合直线和数据点plt.scatter(x, y, label='Data')plt.plot(x, linear_model([m, b], x), color='red', label='Fitted line') plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.legend()plt.show()```运行程序后，我们将得到以下图形，其中红色线表示拟合直线，蓝色点表示数据点：[插入代码运行结果的图形]结论：在本文中，我们介绍了如何使用最小二乘法来拟合一个直线模型到一组给定的数据点，并编写了一个简单的Python程序来实现这一过程。
交替最小二乘法求解过程
交替最小二乘法求解过程交替最小二乘法（Alternating Least Squares,ALS）是一种用于推荐系统和协同过滤等领域的矩阵分解算法。
在这篇文章中，我们将详细介绍交替最小二乘法的求解过程。
1.引言推荐系统是当代互联网应用中的重要组成部分，它能够根据用户的历史行为和偏好，向用户推荐可能感兴趣的信息，如电影、音乐、商品等。
推荐系统的核心是通过对用户行为数据进行建模，然后根据模型来预测用户对未知项目的兴趣程度。
矩阵分解是一种常用的推荐系统算法，它将用户-项目关系表示为一个低秩的矩阵，通过对这个矩阵进行分解来得到用户和项目的潜在特征。
2.问题定义我们假设有一个用户-项目矩阵R，其中每个元素R(i,j)表示用户i 对项目j的评分，如果用户i没有对项目j进行评分，则R(i,j)为0。
我们的目标是通过矩阵分解，将矩阵R分解为两个低秩矩阵P和Q的乘积，即R≈PQ^T，其中P是用户矩阵，Q是项目矩阵。
3.损失函数为了求解矩阵分解问题，我们需要定义一个合适的损失函数。
常用的损失函数是平方误差损失函数，即最小化实际评分与预测评分之间的差异。
损失函数可以表示为：L(P,Q)=Σ(R(i,j)-P(i,:).Q(j,:)^T)^2其中，P(i,:)表示P矩阵的第i行，Q(j,:)表示Q矩阵的第j行。
4.交替最小二乘法求解过程交替最小二乘法通过交替更新P和Q来最小化损失函数。
具体步骤如下：4.1初始化矩阵P和Q我们首先需要随机初始化矩阵P和Q，使它们具有合理的初始值。
4.2固定Q，更新P在更新P时，固定Q不变，将损失函数对P求导，令导数为0，得到最优解的闭式解。
求解得到的闭式解如下：P(i,:)=(Q^T.Q+λI)^(-1).Q^T.R(i,:)其中，λ是正则化参数，I是单位矩阵。
4.3固定P，更新Q在更新Q时，固定P不变，将损失函数对Q求导，令导数为0，得到最优解的闭式解。
求解得到的闭式解如下：Q(j,:)=(P^T.P+λI)^(-1).P^T.R(:,j)其中，R(:,j)表示R矩阵的第j列。
最小二乘法
最小二乘法最小二乘法历史简介1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”。
但因不为时人所知而默默无闻。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
（来自于wikipedia）最小二乘法原理在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
(式1-4)(式1-5)亦即：m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
uwb定位 c语言 最小二乘法
uwb定位 c语言最小二乘法超宽带（UWB）定位是一种高精度定位技术，通常用于室内定位和室外定位。
在UWB定位中，最小二乘法是一种常用的数据处理方法，用于估计目标的位置。
下面是一个简单的C语言程序，使用最小二乘法进行UWB定位：```cinclude <>include <>define MAX_POINTS 100typedef struct {double x;double y;double z;} Point;typedef struct {Point points[MAX_POINTS];int numPoints;} UWB_Data;double distance(Point p1, Point p2) {return sqrt(pow( - , 2) + pow( - , 2) + pow( - , 2)); }Point leastSquares(UWB_Data data) {double sumX = 0, sumY = 0, sumZ = 0;double sumXX = 0, sumYY = 0, sumZZ = 0;double sumXY = 0, sumXZ = 0;int i;Point result;double det, inv[3][3];for (i = 0; i < ; i++) {sumX += [i].x;sumY += [i].y;sumZ += [i].z;sumXX += pow([i].x, 2);sumYY += pow([i].y, 2);sumZZ += pow([i].z, 2);sumXY += [i].x [i].y;sumXZ += [i].x [i].z;}det = (sumXX sumYY - pow(sumXY, 2)) (sumZZ - pow(sumZ, 2)) - (sumXZ sumXZ - pow(sumX, 2) sumZZ);inv[0][0] = (sumYY - pow(sumXY, 2)) / det;inv[1][1] = (sumZZ - pow(sumXZ, 2)) / det;inv[0][1] = inv[1][0] = -sumXY / det;inv[0][2] = inv[2][0] = -sumX / det;inv[1][2] = inv[2][1] = -sumZ / det;inv[2][2] = (sumX sumX - pow(sumXZ, 2)) / det;= inv[0][0] sumX + inv[0][1] sumY + inv[0][2] sumZ;= inv[1][0] sumX + inv[1][1] sumY + inv[1][2] sumZ;= inv[2][0] sumX + inv[2][1] sumY + inv[2][2] sumZ;return result;} ```。
基本最小二乘算法
基本最小二乘算法最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
在基本最小二乘法中，我们通常有一个因变量和一个或多个自变量，并试图找到自变量的值，使得因变量的观测值与通过自变量得到的预测值之间的差异最小。
基本最小二乘法的步骤如下：确定模型的形式。
这通常是一个线性模型，形式为(Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \ldots + \beta_k X_k)，其中(Y) 是因变量，(X_1, X_2, \ldots, X_k) 是自变量，而(\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_k) 是待估计的参数。
收集数据。
你需要观测的(Y) 和(X) 的值。
建立模型。
使用观测数据来拟合模型。
最小二乘法的目标是最小化(Y) 的观测值与模型预测值之间的平方差之和。
这可以通过解下面的正规方程组来实现：[\sum_{i=1}^{n} (Y_i - (\beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \ldots + \beta_k X_{ki}))^2 = \min]其中(n) 是观测值的数量。
解正规方程组以找到最佳参数值。
正规方程组通常是一个线性方程组，可以使用各种数值方法（如高斯-约旦消元法）来解。
评估模型的拟合优度。
使用诸如(R^2) 之类的统计量来评估模型对数据的拟合程度。
进行预测。
一旦你有了参数的估计值，你就可以使用模型来预测新的(X) 值对应的(Y) 值。
下面是一个简单的Python 代码示例，展示了如何使用最小二乘法来拟合一条直线：最小二乘法是一种强大的数学工具，可用于各种统计和数据分析任务。
它提供了一种系统的方法来估计未知参数，并可以用于预测和决策。
通过最小化误差的平方和，最小二乘法能够找到最佳拟合数据的模型参数。
移动最小二乘
moving least-squares surfaces
moving least squares (mls) approximation
implicit surface definition using a projection operator idea: locally approximate surface with polynomial
compute reference plane compute weighted leastsquares fit polynomial
Gaussian used for locality
moving least-squares surfaces
moving least squares (mls) approximation
Advantage
Exact surface normal Simple, efficient projection operators
ADAMSON A., ALEXA M.: Approximating and intersecting surfaces from points. In Proceedings of the Eurographics Symposium on Geometry Processing (June 2003)
Define the normal
This constrained minimization problem is solved by one of the eigenvectors of the covariance matrix W(x)
The basic projection procedure
Propagation of Orientation
最小二乘算法
为最小，这种得到的拟合函数 ( x) 的方法，通常称为最小二乘法。多项式最小二乘法拟合 的 基 本 原 理 ， 设 函 数 j ( x) x ( j 0,1,……, n) ， 已 知 列 表 函 数
j
yi f ( xi ),(i 0,1,……, m) ，且 n m 。用多项式 pn ( x) 0 1 x ……+ n xn 逼近
最小二乘法在 RSSI 定位中的应用
1、RSSI 定位原理 在无线通信中信号的传播损耗转化为传播距离。 在理想的情况下接受信号的功率 与通信的距离的关系如式 1-1
PR (d0 ) d ( i ) P R (di ) d 0
（1-1）
式 1-1 中 d 0 是参考点到信号发送节点的距离，一般取 d 0 为 1m， PR (d0 ) 为在 d 0 处接受到的 功率 PR (di ) 是在 d i 处接受到的信号功率； 称为路径损耗指数，与实际的环境有关现在我 们用的是视距条件下，式 1-1 中的参考点的功率 PR (d0 ) 可以通过式 1-2 得出
A ( PR )dBm 10
这里我们设 d 0 =1m 那么我们得到的 d i 为 di 10
A ( PR )dBm 10
2、最小二乘算法原理
定 义 ： 设 有 函 数
1 ( x), 2 ( x),……n ( x)
线
性
无
关
，
span{1 ( x), 2 ( x), 3 ( x),……,n ( x)} ，
40
60
图一、不同的衰落系数的仿真 通过分析误差我们可以得到如图二的累计分布函数，在分布函数中我们看到误差在 1.28 米 处的概率分布是 50%，1.32 米一下的误差概率为 90%。
计算方法最小二乘拟合c语言程序
计算方法最小二乘拟合c语言程序。
运行截图：程序代码：#include <stdio.h>#include <math.h>int N,n,type; //N为数据个数，type为所拟合曲线的代号（详见程序运行截图）void Prin(); //输入提示void ATA(double a[N][n]); //通过正则方程生成所拟合函数系数的线性方程组void Solve(double a[n][n+1]); //列主元素消去法求解方程组void prin1(double a[n][n+1],double b[N][2]); //n次多项式曲线输出函数void prin2(double a[n][n+1],double b[N][2]); //指数型曲线输出函数void prin3(double a[n][n+1],double b[N][2]); //对数型曲线输出函数void prin4(double a[n][n+1],double b[N][2]); //幂函数型曲线输出函数int main(){Prin();int i,j;scanf("%d",&N);double b[N][2];for (i=0;i<N;i++)scanf("%lf %lf",&b[i][0],&b[i][1]);while (1){printf("\n请输入要拟合曲线的代号\n");scanf("%d",&type);if (type!=101&&type!=102&&type!=103) n=type+1;else n=2;if (type<N){double a[N][n+1];for (i=0;i<N;i++)a[i][1]=b[i][0],a[i][n]=b[i][1];for (i=0;i<N;i++)a[i][0]=1;for (j=1;j<n;j++)for (i=0;i<N;i++)a[i][j]=pow(a[i][1],j);ATA(a);Solve(a);prin1(a,b);}if (type==101) //zhishu{double a[N][n+1];for (i=0;i<N;i++)a[i][0]=1,a[i][1]=b[i][0],a[i][n]=log(b[i][1]);ATA(a);Solve(a);prin2(a,b);}if (type==102){double a[N][n+1];for (i=0;i<N;i++)a[i][0]=1,a[i][1]=log(b[i][0]),a[i][n]=b[i][1];ATA(a);Solve(a);prin3(a,b);}if (type==103){double a[N][n+1];for (i=0;i<N;i++)a[i][0]=1,a[i][1]=log(b[i][0]),a[i][n]=log(b[i][1]);ATA(a);Solve(a);prin4(a,b);}}return 0;}void Prin(){printf("请在第一行输入数据对个数n，以下n行输入数据，");printf("最后一行输入要拟合的函数类型代号\n\n");printf("(提示：\nn次多项式的函数类型代号为n\n");printf("指数型函数y=A*e^(Bx)的函数类型代号为101\n");printf("对数型函数y=A+B*lnx的函数类型代号为102\n");printf("幂函数型y=A*x^B的函数代号为103)\n\n");}void ATA(double a[N][n+1]){int i,j,k;double b[n][n+1];for (i=0;i<n;i++){for (j=0;j<n+1;j++){double s=0;for (k=0;k<N;k++)s+=a[k][i]*a[k][j];b[i][j]=s;}}for (i=0;i<n;i++)for (j=0;j<n+1;j++)a[i][j]=b[i][j];}void Solve(double a[n][n+1]){int i,j,k;for (i=0;i<n-1;i++){double max=a[0][i];int maxi=0;for (j=i;j<n;j++)if (a[j][i]>max) max=a[j][i],maxi=j;if (maxi!=i){double temp;for (j=i;j<n+1;j++){temp=a[maxi][j];a[maxi][j]=a[0][j];a[0][j]=temp;}}for(j=i+1;j<n;j++){double x=-a[j][i]/a[i][i];for (k=i;k<n+1;k++)a[j][k]+=a[i][k]*x;}}a[n-1][n]=a[n-1][n]/a[n-1][n-1];for (i=n-2;i>=0;i--){double sum=0;for (j=i+1;j<n;j++)sum+=a[i][j]*a[j][n];a[i][n]=(a[i][n]-sum)/a[i][i];}}void prin1(double a[n][n+1],double b[N][2]){int i,j;double q=0,p=0,c[N][2];for (i=0;i<N;i++)c[i][0]=b[i][1];for (i=0;i<N;i++){double sum=a[0][n];for (j=1;j<n;j++)sum+=a[j][n]*pow(b[i][0],j);c[i][1]=sum;}for (i=0;i<N;i++){q+=(c[i][1]-c[i][0])*(c[i][1]-c[i][0]);if (fabs(c[i][1]-c[i][0])>p) p=fabs(c[i][1]-c[i][0]);}printf("所求拟合的%d次曲线为y=%.4lf",n-1,a[0][n]);for (i=1;i<n;i++){if (a[i][n]>0)printf("+%0.4lfx^%d",a[i][n],i);elseprintf("%0.4lfx^%d",a[i][n],i);}printf("\n");printf("均方误差：%.4lf 最大偏差：%.4lf\n",sqrt(q),p); }void prin2(double a[n][n+1],double b[N][2]){int i;double q=0,p=0,c[N][2];a[0][n]=exp(a[0][n]);for (i=0;i<N;i++)c[i][0]=b[i][1];for (i=0;i<N;i++){c[i][1]=a[0][n]*exp(a[1][n]*b[i][0]);}for (i=0;i<N;i++){q+=(c[i][1]-c[i][0])*(c[i][1]-c[i][0]);if (fabs(c[i][1]-c[i][0])>p) p=fabs(c[i][1]-c[i][0]);}printf("所求拟合的指数型曲线为y=%.4lfexp(%.4lfx)",a[0][n],a[1][n]);printf("\n");printf("均方误差：%.4lf 最大偏差：%lf.4\n",sqrt(q),p);}void prin3(double a[n][n+1],double b[N][2]){int i;double q=0,p=0,c[N][2];for (i=0;i<N;i++)c[i][0]=b[i][1];for (i=0;i<N;i++){c[i][1]=a[0][n]+a[1][n]*log(b[i][0]);}for (i=0;i<N;i++){q+=(c[i][1]-c[i][0])*(c[i][1]-c[i][0]);if (fabs(c[i][1]-c[i][0])>p) p=fabs(c[i][1]-c[i][0]);}if (a[1][n]>0)printf("所求拟合的对数型曲线为y=%.4lf+%.4lf*ln(x)",a[0][n],a[1][n]);elseprintf("所求拟合的对数型曲线为y=%.4lf%.4lf*ln(x)",a[0][n],a[1][n]);printf("\n");printf("均方误差：%.4lf 最大偏差：%lf.4\n",sqrt(q),p);}void prin4(double a[n][n+1],double b[N][2]){int i;double q=0,p=0,c[N][2];a[0][n]=exp(a[0][n]);for (i=0;i<N;i++)c[i][0]=b[i][1];for (i=0;i<N;i++){c[i][1]=a[0][n]*pow(b[i][0],a[1][n]);}for (i=0;i<N;i++){q+=(c[i][1]-c[i][0])*(c[i][1]-c[i][0]);if (fabs(c[i][1]-c[i][0])>p) p=fabs(c[i][1]-c[i][0]);}printf("所求拟合的幂函数型曲线为y=%.4lf*x^(%.4lf)",a[0][n],a[1][n]);printf("\n");printf("均方误差：%.4lf 最大偏差：%lf.4\n",sqrt(q),p);}。
最小二乘法求解 c++代码
最小二乘法求解 c++代码以下是一个简单的C++代码示例，使用最小二乘法来拟合一组数据并计算线性回归线的斜率和截距。
#include <iostream>#include <vector>#include <cmath>using namespace std;// 最小二乘法拟合直线函数void leastSquares(const vector<double>& x, const vector<double>& y, double& slope, double& intercept) {int n = x.size();double sumx = 0.0, sumy = 0.0, sumxy = 0.0, sumx2 = 0.0; for (int i = 0; i < n; i++) {sumx += x[i];sumy += y[i];sumxy += x[i] * y[i];sumx2 += x[i] * x[i];}slope = (n * sumxy - sumx * sumy) / (n * sumx2 - sumx * sumx); intercept = (sumy - slope * sumx) / n;}int main() {vector<double> x = {1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0};vector<double> y = {2.2, 3.3, 4.4, 5.5, 6.6};double slope, intercept;leastSquares(x, y, slope, intercept);cout << "斜率: " << slope << endl;cout << "截距: " << intercept << endl;return 0;}这个示例程序使用了最小二乘法来拟合一组数据，计算了线性回归线的斜率和截距，并输出了结果。
数学建模中的常用最小二乘方法
数学建模中的常用最小二乘方法
韩加坤
【期刊名称】《科教导刊》
【年(卷),期】2018(000)007
【摘要】在数学模型的构建过程中经常会遇到对测量、收集、计算数据的分析、整理等问题.解决这类问题的常用方法便是借助计算程序,把大量实验数据进行可视化或者函数化处理,以期得到直观认识.其中最小二乘法是数据拟合问题中比较常用的一类方法.本文总结对比了最小二乘近似(LS)与移动最小二乘近似[1](MLS)两类常用最小二乘方法.通过数值实验发现,LS相比较而言相对粗糙,不能有效表达大波动奇异数据的特征,建议在数学建模工作中处理该类问题的时候采用MLS方法.
【总页数】2页(P38-39)
【作者】韩加坤
【作者单位】公安海警学院基础部浙江·宁波 315801
【正文语种】中文
【中图分类】O29
【相关文献】
1.数学建模中常用的预测方法 [J], 张兵
2.数学建模常用程序的结构化设计 [J], 朱小焱;倪致祥
3.偏最小二乘方法在不同白酒香型判别分析中的应用 [J], 魏泉增;范江涛;刘嘉玲;宋丽君;李瑞;谢玉锋
4.中职数学建模教学中常用的变式类型 [J], 徐春红
5.数学建模的几种常用方法 [J], 张婧
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
% xi(nnodes) - Coordinates of nodes used to construct MLS approximation
end
for i = 1 : nnodes
di = x(j) - xi(i);
[wi(i), dwi(i), ddwi(i)] = Weight(wtype, para, di, dm(i));
end
% EVALUATE BASIS p, B MATRIX AND THEIR DERIVATIVES
ddwi = zeros (1, nnodes);
% INITIALIZE SHAPE FUNCTION MATRICES
PHI = zeros(npoints, nnodes);
DPHI = zeros(npoints, nnodes);
DDPHI = zeros(npoints, nnodes);
DDB = p .* [ddwi; ddwi; ddwi];
else
error('Invalid order of basis.');
end
% EVALUATE MATRICES A AND ITS DERIVATIVES
A = zeros (m, m);
DA = zeros (m, m);
DDA = zeros (m, m);
for i = 1 : nnodes
pp = p(:,i) * p(:,i)';
A = A + wi(i) * pp;
DA = DA + dwi(i) * pp;
DDA = DDA + ddwi(i) * pp;
end
AInv = inv(A);
rx = AInv * px;
PHI(j,:) = rx' * B; % shape function
drx = AInv * (dpx -DA * rx);
px = [1; x(j); x(j)*x(j)];
dpx = [0; 1; 2*x(j)];
ddpx = [0; 0; 2];
B = p .* [wi; wi; wi];
DB = p .* [dwi; dwi; dwi];
DPHI(j,:) = drx' * B + rx' * DB; % first order derivatives of shape function
ddrx = AInv * (ddpx - 2 * DA * drx - DDA * rx);
DDPHI(j,:) = ddrx' * B + 2 * drx' * DB + rx' * DDB; % second order derivatives of shape function
% LOOP OVER ALL EVALUATION POINTS TO CALCULATE VALUE OF SHAPE FUNCTION Fi(X)
for j = 1 : npoints
% DETERMINE WEIGHT FUNCTIONS AND THEIR DERIVATIVES AT EVERY NODE
function [PHI, DPHI, DDPHI] = MLS1DShape(m, nnodes, xi, npoints, x, dm, wtype, para)
% SHAPE FUNCTION OF 1D MLS APPROXIMATION
%
% SYNTAX: [PHI, DPHI, DDPHI] = MLS1DShape(m, nnodes, xi, npoints, x, dm, wtype, para)
% DDPHI - Second order derivatives of MLS Shpae function
%
% INITIALIZE WEIGHT FUNCTION MATRICES
wi = zeros (1, nnodes); % Weight funciton
dwi = zeros (1, nnodes);
if (m == 1) % Shepard function
p = [ones(1, nnodes)];
px = [1];
dpx = [0];
ddpx = [0];
B = p .* [wi];
B = p .* [wi; wi];
DB = p .* [dwi; dwi];
DDB = p .* [ddwi; ddwi];
elseif (m == 3)
p = [ones(1, nnodes); xi; xi.*xi]; Biblioteka DB = p .* [dwi];
DDB = p .* [ddwi];
elseif (m == 2)
p = [ones(1, nnodes); xi];
px = [1; x(j)];
dpx = [0; 1];
ddpx = [0; 0];
%
% INPUT PARAMETERS
% m - Total number of basis functions (1: Constant basis; 2: Linear basis; 3: Quadratic basis)
% nnodes - Total number of nodes used to construct MLS approximation
% x(npoints) - Coordinates of points whose MLS shape function to be evaluated
% dm(nnodes) - Radius of support of nodes
% wtype - Type of weight function
% para - Weight function parameter
%
% OUTPUT PARAMETERS
% PHI - MLS Shpae function
% DPHI - First order derivatives of MLS Shpae function