数学物理方法第14章

u = V0 + Cη = V0 + C Im ζ = V0 + C Im z 3 = V0 + C (3 x 2 y − y 3 )
例2 研究平底水槽中的水流动，槽底有一竖立的薄片 阻挡水流（图14 − 5a）
解
这个问题的困难来自槽底的薄片，它的特征是
两边各有一个直角。做变换
z1 = z ,
2
直角加倍成为平角，如图14 − 5b。整个水槽底加上竖立 的薄片变为z1平面的实轴上从 − h 2经原点向 + ∞去的割线两岸， 这样，问题就容易了。
∂u ∂u ∂u ∂v d ′)* = ( C z 2 + h 2 ) +i = − i = (w ∂x ∂y ∂x ∂x dz ( Cz z +h
2 2
) =
*
Cz * ( z* )2 + h2
既已求得流速，运用流体中的伯努利原理还可以计算压强p 为了阐明常数C的意义，考察远离竖立的薄片的地方的流速v 对应于v的复数是
(二)幂函数和根式
幂函数
ζ ( z) = z n
的导数
(14.2.2)
ζ ′( z ) = nz n −1 在原点，导数ζ ′(0) = 0，交角并不保持不变。事实上，
arg ζ = arg( z n ) = n arg z ,
这是说，在原点的交角放大为n倍。在原点以外任一有限远点， 交角保持不变。
根式
ζ ( z) = n z
例1
(14.2.3)
是(14.2.2)的逆变换，在原点的交角缩小为1 / n倍。
一个甚大金属导体，挖去一个二面角，角的大小为 600 让导体充电到电势V0，试求二面角内电场中的电势分布。
解
把导体看做无限长，只需研究一个
横截面，把这横截面叫做z平面。在z平面 上，二面角表现为顶角π / 3的角域(图14 − 4)
ρ
ρ = R2
(14.2.10)
（五）分式线性变换
的分子分母都是线性的，因而称为分式线性变换。条件ad − bc ≠ 0 az + b 十分必要，否则a / c = b / d , 而ζ = = a / c = b / d是常数，于是z cz + d 平面上所有的点都变为同一点ζ = a / c，这样的变换没有意义。
仍然是泊松方程，只是源的强度变为
1
ς ′( z )
2
倍。注意
这个倍数一般说来不是常数而是逐点而异的
现在研究有解析函数 ς = ς（ z）所表征的自变数代换 的基本性质
在z平面上每给一点，ς平面上必有一点ς = ς（z）跟它 相对应。这样，在z平面上每给一根曲线，ς平面必有 一根对应的曲线。在相应的两曲线上各截取相应的 一小段（z , z + ∆z）和（ς , ς + ∆ς） , 则有
(14.1.2)
可以将复杂的边界变成较简单的边界。但是， 还的研究一下经过这样的变换，描述平面标量场的 拉普拉斯方程变成什么样子。事实上，经过变换（ .1.1），百度文库14 拉普拉斯方程u xx + u yy = 0 (14.1.3)
化成
（ξ + ξ ）uξξ + 2(ξ xη x + ξ yη y )uξη + η + η ）uηη （
这可以分解为
b z1 = z + , z 2 = e i arg a z1 , ζ = a z 2 a
从z平面到z1平面，图像作为整体而平移，位移矢量对应于复数b / a； 从z1平面到z 2 平面，图像绕原点旋转 arg a；从z2 平面到ζ平面，图像 放大到 a 倍。线性变换只是把图像变为它的相似形。
lim
z →∞
Cz * (z ) + h
* 2 2
= lim
z →∞
C 1 + (h / z )
* 2
=C
这是说，流速的x分量v x 和y分量v y分别是
vx = C , v y = 0
这样，远离竖立的薄片的地方，水是平行于槽底而流动的， 流速就是C
（三）指数函数和对数函数
指数函数
ζ（z） e z = e x eiy =
∆ς dς ∆ς i (arg ∆ς −arg ∆z ) lim = = lim e ∆z →0 ∆z dz ∆z →0 ∆z
(14.1.8)
由此可见，解析函数的导数具有如下的几何意义：它的模代表的是， 经过该解析函数所表示的变换，无穷小线段元dz变为ς平面上的无穷 小线段元dς，其长度伸缩比；导数的辐角则代表dς相对于dz逆时针 方向转过的角度。
换，或保角映象
利用辐角原理（第二章第四节）还可以证明，如果ς (z ) (z 是区域B上的解析函数，则发生：l的内域B变为λ的内域
β，的外域C变为λ的外域γ；如ς ( z )是区域B上的解析函数， 但要除去一个孤立的一阶奇点，则发生：l的内域B变为λ的 外域β，l的外域C变为λ的内域γ
§14.2 某些常用的保角变换
(一)线性变换
线性函数
ζ（z） az + b =
的导数
(a和b是复常数) （ .2.1） 14
ζ ′ z） a （ =
是常数。这是说，长度放大率是常数，图形的各个部分按同样比例 放大因而形状不变。
事实上，
b b i arg a ζ ( z ) = az + b = a( z + ) = a e ( z + ) a a
第十四章 保角变换法 §14.1 保角变换的基本性质 §14.2 某些常用的保角变换
§14.1 保角变换的基本性质
用适当的变换 ς = ς（z）z = z (ς ) ,
即 ξ = ξ（x, y） η = η ( x, y )
x = x(ξ ,η ) y = y (ξ ,η )
(14.1.1)
u = Re(C z 2 ) = Re(C z1 + h 2 ) = Re(C z 2 + h 2 ) = Re(C ( x 2 − y 2 + h 2 ) + i 2 xy ) ( x2 − y 2 + h2 ) + ( x2 − y 2 + h2 )2 + 4x2 y 2 =C 2
至于在各点的流速v = ∇u不难从u推算出，但这计算较繁。利用 复势w( z ) = C z 2 + h 2 来计算方便。
2 x 2 y 2 x 2 y
+ (ξ xx + ξ yy )uξ + (η xx + η yy )uη = 0
(14.1.4)
如果新的自变数ς在所研究的区域上是z的解析函数， 则根据（ .3.1）（ .3.2）（ .3.3）（ .4.1）（ .4.2）和（ .4.3） 1 1 1 1 1 1
ξ + ξ = ς ′（z）
例3 两个同轴圆柱构成柱形电容器，内外圆柱的半径 分别为R 1和R 2 计算每单位长度圆柱电容器的电容量。
解
圆柱电容器的横截面见图14 − 6a。等势线和电力线
构成极坐标网。这提示我们采用对数变换ζ = ln z = ln z + iArgz 对数函数是多值函数， 它把内圆柱变为直线ξ = ln R1，期主值是 0 ≤ η ≤ 2π的一段；它把外圆柱变为直线ξ = ln R2，期主值是 0 ≤ η ≤ 2π的一段。这样，圆柱形电容器变为平板电容器，两极板 的宽度为2π，相距 ln R2 − ln R1 = ln R2 / R1 )如图14 − 6b （ 用国际单位制，平板电容器的电容量为ε 0 A / d，其中A是极板的 面积。以单位长度计算，极板的面积A = 2π，电容量
回到原来的自变数，
u = Re(C z 2 ) = Re(C z1 + h 2 ) = Re(C z 2 + h 2 ) = Re(C ( x 2 − y 2 + h 2 ) + i 2 xy ) ( x 2 − y 2 + h2 ) + ( x 2 − y 2 + h2 )2 + 4 x 2 y 2 =C 2
由于dς / dz的值与 ∆z → 0的方式无关，因此，如 果在z平面上有两根 曲线相交于点 z，则在 ς平面上也有相应的两根 曲线相交于相应的点
ς。从 z平面到 ς平面，两曲线都是逆时 针方向旋转 arg ς ′( z )，所以两 曲线交角不变。因此， 解析函数 ς = ς ( z )所表征的代换叫做保角 变
(14.2.4)
ζ 这是说， = e x , Argζ = y.这样，z平面上平行于实轴的直线
“y = 常数”变为ζ平面上的“Argζ = 常数”，即通过原点 的射线。平面上平行于虚轴的直线“x = 常数”变为ζ平面 上的“ζ = 常数”，即以原点为圆心的圆。
指数函数（ .2.4）具有纯虚数周期i 2π，z平面上x相同 12 而y相差2π的整数倍的那些点变为ζ平面上同一点。z平面 上任何一个平行于实轴而宽度为2π的带域变为ζ的全平 面。带域上的直角坐标网变为ζ平面上的极坐标网。
az + b 变换ζ = cz + d
( ad − bc ≠ 0)
(14.2.11)
反演（ .2.6）是分式线性变换的特例，其中a = 0, d = 0, b / c = 是常数 14 变换（ .2.11）可化为 14 a b − ad / c a (bc − ad ) / c 2 ζ = + = + c cz + d c z+d /c 这是说，它可以分解成相继的三个变换： (bc − ad ) / c 2 z1 = z + d / c, z 2 = , ζ = z2 + a / c z1
2 x 2 y 2
η + η = ς ′（z）
2 x 2 y 2
ξ xη x + ξ yη y = 0, ξ xx + ξ yy = 0,η xx + η yy = 0
而（ .1.4）就成为 14
ς ′（z） (u xx + u yy ) = 0
2
(14.1.5)
这是说，如果ς（z）是解析函数，则除了ς ′（z） 0的点之外， = z平面某个区域上的调和函数经过代换（ .1.1）即（ .1.2）之后 14 14 成为ς平面相应区域上的调和函数。
R2
(14.2.8) (14.2.9)
ζ = z1*
变换（ .2.8）将z变为z1 14 − 7）z1中与z辐角相同，这是说， 14 （图 两者位于从原点出发的同一条射线上；z1与z的模之积
z1 • z = R2
这是说，z1与z之中，一个在圆 z = R的内部，另一在此圆外部。 变换（ .2.9）又将z1变为ζ，而ζ与z1相对于实轴对称。这样， 14 反演(14.2.6)将圆 z = R的内部变为外部，而外部变为内部。
割线端点移到原点（图14 − 5c）
z 2 = z1 + h 2 , z1平面的割线端点不再原点，这不大方便。做变换
割线两岸可说是夹角为2π的两根直线。做变换 ζ = z 2
夹角变为1/2倍，等于π，这是说，割线两岸成为ζ平面的 实轴（图14 − 5d）
ζ平面上的速度势u显然是 u = Cζ = Re(Cζ )
C=
ε 0A
d
=
ε 0 2π
ln R2 / R1 ) （
这就是每单位长度圆柱 电容器的电容量。
（四）反演变换
变换
R2 ζ = ( R为实常数) z （ .2.6） 14
iϕ
称为反演变换。采用指数式z = ρe ，则
ζ =
R2
ρ
e − iϕ
(14.2.7)
这可以分解为前后相继的两变换
R2 z1 = e iϕ = * z ρ
对数函数
ζ ( z ) = ln z = ln( z eiArgz ) = ln z + iArgz
(14.2.5)
是（ .2.4）的逆变换。（ .2.5）亦即 Re ζ = ln z , Im ζ = Argz 14 14 这样，z平面上以原点为圆心的圆“ z = 常数”变为ζ平面上 的“Re ζ = 常数”，即平行于虚轴的直线。z平面上通过原点 的射线“Argz = 常数”变为ζ平面上的“Im ζ = 常数”即平行 于实轴的直线。z平面上的极坐标网变为ζ平面上的直角坐标 网。点z的辐角Argz可以加减2π的任意整数倍，所以ζ是z的多 值函数。沿z平面的正实轴作割线，把Argz限制在0与2π之间， 就是说，取ζ的主值，则z的全平面变为ζ平面上0 ≤ Im ζ ≤ 2π 的带域。
这个办法也可用来求解二维泊松方程
u xx + u yy = f ( x, y )
（ .1.1）下，泊松方程（ .1.6）变为 14 14
uξξ + uηη = 1
(14.1.6)
的边值问题。事实上，在解析函数ς = ς（z）的代换
f [ x(ξ ,η ), y (ξ ,η )]
ς ′( z )
2
(14.1.7)
z平面
导体
η
空间
ζ平面
V0
空间
导体
把顶角放大到三倍则成为π，而顶角为π的角域即半平面， 问题容易解得多。
由此可见，应作变换ζ = z 3 .在ζ平面，下半平面是导体，上半 平面是空间。在上半平面的电势分布易于解出为
图14 − 4
V0
导体
V0
ξ
u = V0 + Cη
常数C取决于导体表面的电荷密度。回到z平面，角域中的 电势分布是