1.1总体和样本
概率与统计学中的置信区间公式详解
概率与统计学中的置信区间公式详解在概率与统计学中，置信区间是一种常用的统计方法，用于对总体参数的估计和推断。
在进行统计分析时，我们往往只能通过对样本进行观察和测量，并根据样本数据来推断总体的特征。
而置信区间可以给出一个区间范围，来表达对总体参数的估计程度和不确定性。
本文将详解置信区间的概念与公式，并为读者提供详实的例子来解释如何计算和应用置信区间。
一、概念解析1.1 总体与样本在概率与统计学中，我们研究的对象分为总体和样本。
总体是指我们想要研究的所有个体或事件的集合，而样本是从总体中随机抽取出的一部分个体或事件组成的集合。
通过对样本的观察和测量，我们可以推断总体的特征。
1.2 参数与统计量总体的特征可以用参数来描述，参数是总体的指标或特征值。
例如，总体的平均值、方差和比例等都是参数。
而样本的特征可以用统计量来描述，统计量是样本的指标或特征值。
例如，样本的平均值、方差和比例等都是统计量。
通过样本统计量的计算，我们可以对总体参数进行估计和推断。
1.3 置信区间的含义置信区间是对总体参数的估计给出一个区间范围。
假设我们从总体中抽取了一个样本，并计算出样本的统计量，我们可以根据样本数据和统计原理构造一个区间，这个区间可以包含总体参数的真实值。
该区间被称为置信区间。
二、置信区间的计算2.1 正态分布总体的情况当总体满足正态分布的情况下，我们可以利用正态分布的性质来计算置信区间。
以总体均值为例，假设总体的标准差已知为σ，样本的样本均值为x，抽样个数为n，置信水平为1-α（通常取α=0.05），则置信区间的计算公式如下：置信区间 = x ± Zα/2 * (σ/√n)其中，Zα/2是标准正态分布的上侧α/2分位点，反映了置信水平的大小。
在常见的置信水平为95%的情况下，Zα/2大约等于1.96。
2.2 未知标准差的情况当总体的标准差未知时，我们可以利用样本标准差s来近似代替总体标准差σ，并根据样本数据构造置信区间。
数理统计学：统计量与抽样分布
1.1 总体和样本 1.2 统计量与估计量 1.3 抽样分布 1.4 次序统计量 1.5 充分统计量 1.6 常用的概率分布族
数理统计学 是探讨随机现象统计规律性的一门学科, 它以概率论为理论基础,研究如何以有效的方式收集、 整理和分析受到随机因素影响的数据,从而对所研究对 象的某些特征做出判断。
1.1.2 样本
(2) 抽样, 即从总体抽取若干个个体进行检查或观察,用所 获得的数据对总体进行统计推断。 由于抽样费用低,时间 短,实际使用频繁。本书将在简单随机抽样的基础上研究各 种合理的统计推断方法,这是统计学的基本内容。应该说, 没有抽样就没有统计学
1.1.2 样本
• 从总体中抽出的部分(多数场合是小部分)个体组成的集合 称为样本。
(2)
(n 1)s2
2
~χ2(n-1);
(3) x与s2相互独立。
1.3.2 样本方差的抽样分布
例1.3.3
分别从正态总体N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)中抽取容
量为n1和n2的两个独立样本,其样本方差分别
为
s2 1
和
s2 2
。
(1)证明:对α∈(0,1),
s s s 2 2 (1) 2
Fn(x)依概率收敛于F(x)
1.2.3 样本的经验分布函数及样本矩
定理1.2.1(格里汶科定理)
对任给的自然数n,设x1,x2,…,xn是取自总体分布函数F(x) 的一组样本观察值,Fn(x)为其经验分布函数,记
则有
Dn sup Fn x F x
x
P
lim
n
Dn
0
1
1.2.3 样本的经验分布函数及样本矩
0
Fn x k / n
统计有关知识点总结
统计有关知识点总结一、基本概念1.1 总体和样本在统计学中，总体是指研究对象的全部个体或现象的集合，而样本是从总体中随机抽取的一部分个体或现象。
进行统计分析时通常是对样本进行研究，然后通过样本的结果来推论总体的情况。
1.2 变量变量是指在研究中能够发生变化的对象或现象。
变量通常被分为自变量和因变量，自变量是导致因变量变化的原因，而因变量则是受自变量影响而发生变化的对象或现象。
1.3 测度在统计学中，测度是用来描述和衡量变量的概念。
通常包括数值型测度和分类型测度两种类型。
数值型测度是指可以用数字表示、进行算术运算的测度，如身高、体重等；分类型测度是指不能用数字进行运算，只能进行分类的测度，如性别、血型等。
1.4 数据的呈现数据的呈现是指将收集到的数据以直观易懂的方式展现出来，通常包括表格、图表等形式。
常用的数据呈现包括条形图、直方图、饼图、折线图等。
1.5 中心趋势和离散程度中心趋势是指数据的集中程度，可以用均值、中位数、众数来衡量；离散程度是指数据的分散程度，可以用方差、标准差、极差等来衡量。
二、概率论2.1 概率的基本概念概率是指事件发生的可能性大小，通常用P(A)来表示。
概率的基本性质包括0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)等。
2.2 随机变量随机变量是指在一次随机试验中能够取得不同值的变量。
常见的随机变量包括离散型随机变量和连续型随机变量。
2.3 概率分布概率分布是指随机变量可能取值的概率分布规律。
常见的概率分布有二项分布、正态分布、泊松分布等。
2.4 独立性与相关性在概率论中，独立性是指两个随机事件之间的独立性，相关性是指两个随机事件之间的相关程度。
2.5 大数定律和中心极限定理大数定律是指在独立重复试验中，随着试验次数的增多，样本均值逐渐接近总体均值；中心极限定理是指在很多相互独立但分布相同的随机变量之和的分布在样本量大的情况下趋近于正态分布。
统计学原理第七版课后答案
统计学原理第七版课后答案1. 样本与总体。
1.1 什么是样本？什么是总体？样本是指从总体中抽取出来的一部分个体或观测值，而总体则是指研究对象的全体个体或观测值的集合。
在统计学中，我们通常通过对样本进行统计分析来推断总体的特征。
1.2 为什么要使用样本？使用样本可以节约时间和成本，同时也可以减小调查的难度。
通过对样本的分析，我们可以得出对总体的推断，从而更加高效地进行统计研究。
2. 描述统计与推断统计。
2.1 描述统计和推断统计有什么区别？描述统计是通过对样本数据的整理、分析和总结，来描述数据的基本特征和规律。
而推断统计则是通过对样本数据的分析，来推断总体的特征和规律。
2.2 描述统计和推断统计各自的应用场景是什么？描述统计主要用于对已有数据进行整理和总结，以便更好地理解数据的特征；而推断统计则主要用于从样本数据中推断总体的特征，以便对总体进行更深入的研究和分析。
3. 概率分布。
3.1 什么是概率分布？概率分布是指描述随机变量可能取值的概率规律的数学函数。
常见的概率分布包括正态分布、泊松分布、均匀分布等。
3.2 为什么要研究概率分布？研究概率分布可以帮助我们更好地理解随机变量的性质和规律，从而为后续的统计推断和分析提供基础。
4. 参数估计与假设检验。
4.1 参数估计和假设检验的基本思想是什么？参数估计的基本思想是通过样本数据对总体参数进行估计，从而对总体的特征进行推断；而假设检验的基本思想是在已知总体参数的情况下，通过样本数据来检验总体参数的假设。
4.2 参数估计和假设检验的应用范围有哪些？参数估计和假设检验在统计学中有着广泛的应用，包括医学、经济学、社会学等各个领域。
5. 方差分析。
5.1 什么是方差分析？方差分析是一种用于比较两个或多个总体均值是否相等的统计方法，常用于实验设计和数据分析中。
5.2 方差分析的原理是什么？方差分析的原理是通过比较组内变异和组间变异的大小，来判断总体均值是否存在显著差异。
spss 实战与统计思维 第1章 核心统计概念
1.5 同质与变异（homogeneity and variation）
• （一）同质：
• 是指观察单位所受的影响因素相同。而我们科研的观察单位所 受的影响因素只可能相对的相同，不可能绝对的相同，因此， 同质是相对的。我们科研所确定的总体或者样本，在某些因素 上必须是同质的，我们才能将其作为一个群体进行研究。
• 随机化原则是指我们在选择受试对象、对 受试对象分组以及对受试对象施加不同的 干预措施时，受试对象被抽到的概率、被 随机分到各组的概率以及接受不同干预措 施的概率是相等的。
• 统计学中随机化具体体现包括随机化抽样、随 机化分组和随机化顺序。
• 随机化抽样：是指我们从研究总体中抽取研究 样本时，总体中的任何一个个体被抽到作为样 本进行研究的概率相等。
计数变量
• 计数变量反映的是无不相容的属性和类别， 反映的是一种我中无你，你中无我的关系。 常通过计数的方式获得。如血型（A、B、O 和AB）、性别（男、女）、生肖属相、民 族等。计数变量之间支持不等号（≠）。计 数变量又称为分类变量，无序分类变量。
等级资料
• 等级变量具备计数变量的性质，同时具有 半定量比较的性质，如病情（轻、中、 重）、职称（初级、中级、高级）、学历 （文盲、小学、中学、本科及以上）、福 利待遇（好、中、差）。这类资料各水平 之间互不相容，但又有级别上的轻重关系。 等级变量支持大于号和小于号（＞/＜）。
• （二）变异
• 变异：是指观察单位在同质的基础上的个体差异。很多哲言或 谚语都在说明变异的存在，如天底下没有两片完全一样的树叶； 一个人不可能两次踏入同一条河流；刚才说话的我已经不是现 在说话的我了；以及天下唯一不变的就是变化。因此，变异是 绝对的。
1.6 随机• 因素是可能对应变量有影响的变量，而分析的目的
医学统计学基础
医学统计学基础医学统计学是一门研究医学中数据的收集、分析和解释的科学。
它在医学研究中扮演着至关重要的角色，并且对医学实践和决策具有深远影响。
本文将介绍医学统计学的基本概念、常用的统计方法以及其在医学领域的应用。
一、基本概念1.1 总体与样本在医学统计学中，我们常常需要研究某个感兴趣的群体，这个群体被称为总体。
总体可以是人群中的所有个体，也可以是其他单位，如医院、地区等。
由于总体往往很大，我们无法对其进行全面的研究，因此我们从总体中选取一部分个体进行研究，这部分个体称为样本。
1.2 数据类型医学研究中常见的数据类型包括定性数据和定量数据。
定性数据是描述性质或属性的数据，如性别、病情分类等；定量数据是可度量或计数的数据，如年龄、生命体征等。
了解数据类型对选择合适的统计方法至关重要。
1.3 描述统计学与推断统计学描述统计学用于总结和描述已有数据的特征，如均值、中位数、标准差等。
推断统计学则是通过对样本进行分析，推断总体的特征，并对结果进行估计和推断。
推断统计学可通过假设检验和置信区间来实现。
二、常用统计方法2.1 均值与标准差均值是用来描述一组数据集中趋势的指标，一般用于定量数据。
标准差则衡量了数据的离散程度，即数据的波动情况。
2.2 相关分析相关分析用于研究两个变量之间的关系。
通过计算相关系数，可以了解两个变量是正相关、负相关还是无关。
2.3 生存分析生存分析是用来研究事件发生和持续时间的统计方法。
在医学中，生存分析常用于研究患者的生存时间、复发时间等。
2.4 方差分析方差分析用于比较两个或多个组的均值是否存在显著差异。
它适用于一组分类变量和一个连续变量的比较。
三、医学统计学的应用3.1 临床试验设计与分析临床试验是评价药物疗效的重要手段。
医学统计学在临床试验的设计和分析中起到关键作用，如确定样本量、随机分组、双盲试验等。
3.2 流行病学研究流行病学研究可以揭示疾病的发病原因、预后以及控制策略。
医学统计学的方法可以帮助研究者分析大量数据，确定疾病的危险因素和相关性。
高一统计的知识点汇总总结
高一统计的知识点汇总总结高一统计学的知识点汇总总结统计学是一门研究收集、分析、解释和展示数据的学科。
它在日常生活中无处不在，无论是商业领域的市场调研，还是科学研究中的数据分析，都离不开统计学的应用。
在高一阶段的学习中，了解统计学的基本概念和方法对培养学生的科学思维具有重要意义。
本文将对高一统计学的主要知识点进行汇总总结，以供学生们参考。
一、数据的收集和整理统计学的基础是数据收集和整理。
收集数据是为了描述和解释事物，而整理数据则是为了更好地分析和应用数据。
在数据收集和整理过程中，需要注意的几个重要概念和方法包括：1.1 总体和样本：总体是指我们要研究的所有对象或个体的集合，而样本是从总体中选取的一部分对象或个体。
通过对样本的研究，我们可以得出对总体的推断和结论。
1.2 调查方法：调查是数据收集的主要手段之一。
常用的调查方法包括问卷调查、面访调查和电话调查等。
在设计和实施调查过程中，需要注意样本的选择、调查问题的制定和数据的准确性等问题。
1.3 数据整理与描述：数据整理是将原始数据进行分类、排序和汇总的过程。
通过数据描述，我们可以了解数据的分布、中心和变异程度等特征。
描述数据的方法包括用表格和图表展示数据、计算平均数和标准差等。
二、统计推断和假设检验统计推断是通过对样本数据的分析，对总体的特征和关系进行推断和判断。
假设检验是一种常用的统计推断方法，用于验证关于总体的某个特征或假设的真实性。
在进行统计推断和假设检验时，需要注意以下几个关键概念和方法：2.1 参数与统计量：参数是总体的特征的数值度量，如平均数和比例等。
统计量是样本数据的特征的数值度量，如样本均值和样本比例等。
通过从样本中计算统计量，可以对总体的参数进行估计和推断。
2.2 抽样分布：抽样分布是统计量在重复抽样下的理论分布。
常见的抽样分布有正态分布、t分布和F分布等。
通过了解抽样分布的特征，我们可以进行假设检验和参数估计等统计推断。
2.3 假设检验：假设检验是用于验证关于总体的某个特征或假设的真实性的方法。
概率与统计的基本概念和计算方法
概率与统计的基本概念和计算方法概率与统计是数学中的两个重要分支，它们在各个领域中都有广泛的应用。
概率是研究随机事件发生的可能性的数学理论，而统计是通过对数据进行收集、整理、分析，从中得出结果并作出推断的数学方法。
本文将介绍概率与统计的基本概念和常用的计算方法。
一、概率的基本概念：概率是研究随机事件发生的可能性的数学理论。
在概率论中，我们使用概率来描述事件发生的可能性大小。
概率的取值范围是0到1，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
在概率的计算中，我们使用了一些基本概念，如样本空间、随机事件、事件的概率等。
1.1 样本空间：样本空间是指试验中所有可能的结果构成的集合。
以抛硬币为例，其样本空间为{正面，反面}。
1.2 随机事件：随机事件是指在试验中某个特定结果的出现。
以抛硬币为例，正面朝上是一个随机事件。
1.3 事件的概率：事件的概率是指该事件发生的可能性大小。
概率的计算通常使用频率的概念，即事件发生的次数与试验总次数之比。
以抛硬币为例，正面朝上的概率为事件发生的次数除以总次数。
二、统计的基本概念：统计是通过对数据进行收集、整理、分析，从中得出结果并作出推断的数学方法。
在统计学中，我们使用统计量来总结和描述数据的特征。
统计学的基本概念包括总体和样本、参数和统计量等。
2.1 总体和样本：总体是指我们希望研究的全部对象或现象的集合。
样本是从总体中选取的一部分，用于对总体进行推断。
例如，我们希望了解全国人口的平均年龄，可以通过抽取一部分人口作为样本进行研究。
2.2 参数和统计量：参数是总体的特征数值，如总体均值、总体标准差等。
统计量是样本的特征数值，如样本均值、样本标准差等。
通过对样本进行统计分析，可以估计总体的参数。
三、概率的计算方法：在概率的计算中，我们主要使用了加法法则、乘法法则和条件概率等方法。
3.1 加法法则：加法法则用于计算多个事件同时发生的概率。
当事件A和事件B互斥（即不能同时发生）时，事件A或事件B发生的概率等于事件A和事件B分别发生的概率之和。
生物统计学 第五章 t分布
2 =4/16=1/4=(1/2)/2= / n
x 1/ 4 1 2 / 2
2 x
n
n=4时：
x
768 / 256 3
4
2 x 32 / 256 1 / 8 (1 / 2) / 4 2 / n
x 18 12
n
总体 X1 X2 ������1 X3 X4 ������2 f(x) X5 X6 …Xn ������3 …
样本统计量(如������ ) 函数(统计量）
1.3 抽样分布 从一个总体中,按一定的样本容量随机抽取所有可能 的样本，由这些样本计算出的统计量[样本函数f(x); ������, ������ 2 ]必然形成一种分布(亦即一个新的总体),这种分 布称为该统计量的随机抽样分布或抽样分布 。 t分布&t检验
1.显著性检验的意义
饲喂相同饲料，随机抽测10尾甲品种鱼和10尾乙品种鱼 增重情况（g/month），资料如下： 甲型鱼：11，11，9，12，10，13，13，8，10，13 乙型鱼：8，11，12，10，9，8，8，9，10，7 甲型鱼平均增重=11，标准差S1=1.76；甲型鱼平均增重 =9.2，标准差S2=1.549。能否仅凭这两个平均数的差值 11-9.2=1.8，立即得出两品种鱼增重不同的结论呢？ 观测值x i 包含两部分，即x i = + i 。总体平均数 反映了 总体特征， i表示误差。
样本1 样本2（总体） … t检验、 F检验、 2检验
差异：本质 差异（处理 效应）or 试验误差？
t分布&t检验
3.统计假设 无效假设( ������������ )：是直接检验的假设，是对总体 提出的一个假想目标，又称为“零假设”。“无效” 意指处理效应与总体参数之间没有真实的差异，试 验结果中的差异乃误差所致。 无效假设的两原则：无效假设是有意义；据之可 算出因抽样误差而获得样本结果的概率。 备择假设( ������������ ) ：是和无效假设相反的一种假设， 即认为试验结果中差异是由于总体参数不同所引起 的。
统计学核心内容-概述说明以及解释
统计学核心内容-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分内容如下：统计学是一门研究数据分析和推断的学科，通过收集、整理、分析和解释数据来了解和揭示事物之间的关系和规律。
它是一门重要的学科，不仅在学术研究中发挥着重要的作用，也在现实生活中得到广泛应用。
在统计学中，我们通过收集大量的数据来对现象进行研究，然后通过统计分析方法来对数据进行整理、总结和解释。
通过统计学我们可以了解数据的特征、分布、相关性、趋势等等，从而更好地理解和解释现象。
通过统计学，我们可以从数据中发现关键信息，并作出相应的决策和推断。
统计学的核心内容包括统计学的基本概念、数据收集与整理的方法和技巧等等。
在本文中，我们将系统地介绍统计学的核心内容，以帮助读者深入了解统计学的基本原理和方法，并能够灵活运用统计学进行数据分析和推断。
在接下来的章节中，我们将首先介绍统计学的基本概念，例如总体和样本、参数和统计量等等。
然后，我们将详细讨论数据收集与整理的方法和技巧，包括数据的收集方法、数据的整理和清洗、数据的可视化等等。
通过学习这些内容，读者将掌握统计学的基本理论和实际操作技能。
最后，我们将总结统计学的核心内容，并强调应用统计学的重要性。
统计学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和工具，在解决问题和做出决策时都能起到重要的辅助作用。
掌握统计学的核心内容，将有助于我们更好地理解和应用统计学，从而提高我们的数据分析和推断能力。
希望本文能够对读者在学习和应用统计学方面起到实质性的帮助和指导。
1.2 文章结构文章结构是指文章的组织架构和内容安排。
一个良好的文章结构可以使读者更容易理解和跟随文章的思路。
本文的结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们首先进行了概述，介绍了统计学的核心内容及其重要性。
接着，我们明确了文章的结构，让读者知道接下来将会介绍哪些内容。
最后，我们明确了文章的目的，即通过本文让读者了解统计学的核心内容并认识到应用统计学的重要性。
抽样知识点总结
抽样知识点总结一、抽样的基本概念1.1 总体和样本总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体。
总体是研究的对象，样本是研究的实际观察单位。
1.2 抽样误差抽样误差是指由于抽样方法所导致的样本与总体之间的偏差。
抽样误差分为随机误差和系统误差两种，随机误差是由抽样本身的不确定性所引起，系统误差是由于抽样方法的偏差或者样本数据的不准确性所引起。
1.3 抽样分布抽样分布是一组样本统计量的概率分布，它反映了在不同样本情况下的统计量的变动情况。
1.4 抽样方法常见的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、系统抽样、多阶段抽样等。
不同的抽样方法适用于不同的研究问题和数据特点。
二、抽样的基本原则2.1 代表性原则样本应当具有代表性，即能够准确地反映总体的特征和变动情况。
2.2 随机性原则抽样过程应当具有一定的随机性，以消除个体之间的偏好或者主观意愿。
2.3 独立性原则各个样本之间应当是相互独立的，互不影响，以确保样本数据的独立性和可靠性。
2.4 信息量原则样本应当具有足够的信息量，即能够为研究问题提供充足的数据支持。
三、抽样的实施步骤3.1 确定研究目标首先需要确定研究问题，明确所需的样本特征和数据信息。
3.2 制定抽样方案根据研究目标和总体特征，选择合适的抽样方法，并确定抽样的规模和抽样的程序。
3.3 抽取样本按照抽样方案进行抽样，获取符合要求的样本数据。
3.4 数据分析与推断对抽样数据进行分析和推断，从而得出关于总体特征和规律的结论。
3.5 结果解释与应用根据抽样研究的结论和推断结果，进行结果的解释和应用，为决策和实践提供支持和参考。
四、抽样的应用4.1 统计调查抽样是统计调查中常用的一种数据收集方法，可以节省人力物力，减小成本，提高工作效率。
4.2 市场调查在市场营销中，抽样可以帮助企业更加准确地了解消费者的需求和偏好，指导产品开发和促销策略。
4.3 健康调查抽样在健康调查中发挥着重要作用，可以了解社会群体的健康状况和问题，为政府和企业提供决策支持。
应用数理统计(武汉理工大)1-样本及抽样分布
3. X 与S 2独立，且 X ~ t(n 1)
S/ n
第一章 样本与抽样分布
设有两个独立正态总体
X ~ N (1, 12 ),样本 X1,X2,,Xn1，
Y ~ N (2, 22 ) 样本 Y1,Y2,,Yn2，
它们的样本均值及样本方差分别为
1 n1
1 n2
X
n1
如 样本均值, 样本方差, 样本矩
经验分布函数F n ( x )
第一章 样本与抽样分布
顺序统计量
设X1, X2, , Xn是总体X 的样本，将样本的各分量由
小到大的顺序排列成： X (1) X (2) X (n) 称 X (1) X (2) X (n) 为顺序统计量。
X (1) min{X1, X 2 , , X n} X (n) max{X1, X 2 , , X n} 极差 R X (n) X (1)
X
2 n
,
Xi
~ N (0,1)
称 2 服从自由度是 n 的卡方分布。
概率密度为
f
(x
)
n 22
1 ( n )
x
n 1 x
2 e2
,
x
0,
2
0 , x 0
第一章 样本与抽样分布
2 分布的性质
① E ( 2(n ) ) = n， D ( 2(n) ) = 2 n
T
X Y / n 则称 T 服从自由度是n的t 分布
概率密度为
f (t)
( n 1) 2
n ( n )
1
t2 n
n1 2
t 分布的性质
2
统计推断的基本原理与技巧
统计推断的基本原理与技巧统计推断是统计学中的一个重要分支，它通过对样本数据的分析和推断，来对总体特征进行估计和推断。
统计推断的基本原理是建立在概率论和数理统计的基础上的，通过对样本数据的分析，推断总体的特征。
在实际应用中，统计推断可以帮助我们从样本数据中获取有关总体的信息，进行决策和预测。
本文将介绍统计推断的基本原理和常用的技巧。
一、统计推断的基本原理1.1 总体和样本在统计推断中，我们关注的是总体和样本。
总体是我们研究的对象的全体，而样本是从总体中抽取出来的一部分。
通过对样本数据的分析，我们可以对总体的特征进行推断。
总体和样本的关系是统计推断的基础。
1.2 参数估计参数估计是统计推断的重要内容之一。
在统计推断中，我们通常关心的是总体的某个特征，比如总体均值、总体方差等。
参数估计的目的是通过样本数据来估计总体的参数。
常用的参数估计方法包括点估计和区间估计。
1.3 假设检验假设检验是统计推断的另一个重要内容。
在假设检验中，我们对总体的某个特征提出一个假设，然后通过样本数据来检验这个假设的成立性。
假设检验可以帮助我们判断总体的某个特征是否符合我们的假设。
1.4 统计推断的基本原理统计推断的基本原理是建立在概率论和数理统计的基础上的。
通过对样本数据的分析，我们可以对总体的特征进行推断。
统计推断的基本原理包括参数估计和假设检验两个方面，通过这两个方面的分析，我们可以获取有关总体的信息。
二、统计推断的技巧2.1 样本容量的确定在进行统计推断时，样本容量的确定是非常重要的。
样本容量的大小直接影响到参数估计和假设检验的结果。
通常情况下，样本容量越大，估计结果的准确性越高。
因此，在进行统计推断时，我们需要根据具体情况来确定合适的样本容量。
2.2 抽样方法的选择抽样方法是影响统计推断结果的另一个重要因素。
常见的抽样方法包括随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
在选择抽样方法时，我们需要考虑总体的特点和研究的目的，选择合适的抽样方法来保证样本的代表性和可靠性。
第1章应用数理统计
个体 —— 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机 变量 X 的某个取值.用 X i 表示.
样本 —— 从总体中抽取的部分个体. 用 ( X 1 , X 2 , , X n ) 表示, n为样本容量 称 ( x1 , x2 ,, xn ) 为总体 X 的一个容量为n 的样本观测值,或称样本的一个实现.
例如 (1) 设总体X具有一个样本值 1,2,3, 则经验分布函数F3(x)的 观察值为
0, 1 3 , F3 ( x ) 2 , 3 1, 若x 1, 若1 x 2, 若2 x 3, 若x 3.
(2) 设总体F具有一个样本值 1,1,2, 则经验分布函数F3(x)的观 察值为
解 令
( x1 , x2 ,, x10 ) ( 210 , 243 , 185 , 240 , 215 , 228 , 196 , 235 , 200 , 199 )
1 则 x (230 243 185 240 215 10 228 196 235 200 199) 217.19
存在
(n) 0 满足 2 P{X (n)} ,
2
为 2 (n) 分布的上分位点。 则称 (n)
2
( n)
2
4. t分布
定义1.2.4 若随机变量T具有概率密度 n1 ( ) t 2 n2 1 2 f ( t ; n) (1 ) , t n n n ( ) 2 则称T 服从自由度为n的t分布，记为 T ~ t ( n)
样本空间 —— 样本所有可能取值的集合.
简单随机样本 若总体 X 的样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 满足: (1) X 1 , X 2 ,, X n 与X 有相同的分布
第二语言研究中的统计案例分析
第二语言研究中的统计案例分析第一章统计基本概念万万不能唯“统计结果”马首是瞻。
需要铭记在心的是，研究问题中的变量类型以及研究者所探索的关系才是第一位的，统计是第二位的。
统计推断有犯错误的可能性。
1.1总体、样本、抽样与抽样误差总体population：是我们研究的具有某种共同特征的个体总和。
样本sample:是从总体中按照一定的原则和程序抽取的作为观察对象的一部分个体。
样本容量用n表示，n＞30为大样本；n≤30为小样本（样本容量一般不会低于5）。
抽样sampling：是按照一定的原则从总体中选择个体构成样本的过程。
随机random sampling抽样：总体中每一个体被抽中的机会是相等的，如抽签、随机数字表；系统抽样quasi-random sampling：样本中的第一个个体按照抽签法选取，其余个体则在总体中按照一定的间距抽取，直到达到样本容量为止。
整群抽样cluster sampling：以总体中的群体为单位随机抽取个体。
分层抽样stratified sampling：先把总体按照某一特征的比例分成若干层（子体），再在每个层中随机抽样。
注意:样本的统计量不一定和总体参数完全一致，这种差异不是错误。
而是必然会出现的抽样误差，sampling error。
这种抽样误差是不可避免的。
1.2描述统计与推断统计描述统计descriptive statistics：是指利用统计量（如集中趋势和离散趋势）和/或统计图表展示样本数据的状态（描述数据的现状）。
推断统计inferential statistics：是指按照一定的原理，利用样本统计量对总体参数进行推论的过程。
1.3研究问题与假设统计学是为研究问题服务的，不同的研究问题需要用不同的统计方法（一类是问题现象，一类是研究问题research question--明确指出核心概念和研究焦点的疑问句）。
研究问题在统计实务中以假设的形式出现。
假设hypothesis：根据一定的原理或事实对结果做出的预测。
初步认识统计学的基本概念和方法
初步认识统计学的基本概念和方法统计学是一门研究数据收集、整理、分析和解释的科学。
它运用数字和概率进行数据分析，从而揭示隐藏在数据背后的规律和趋势。
通过初步认识统计学的基本概念和方法，我们能够更好地理解和应用统计数据，为决策和问题解决提供有力的支持。
1. 统计学的基本概念1.1 总体和样本统计学研究的对象可以是整个人群或事物的总体，也可以是从总体中选取的一部分样本。
总体是我们关心的所有元素的集合，而样本是总体中的一个子集。
1.2 参数和统计量统计学中，我们常常关心总体的某个属性，这个属性可以用参数来描述。
而样本则反映了总体的一些特征，样本统计量用于估计总体参数。
1.3 变量与观测值统计学中的变量指的是我们研究的对象在不同情况下可能发生变化的特征。
观测值是对变量的具体测量结果。
变量可以是连续的，如身高、体重，也可以是离散的，如性别、学历。
2. 统计学的基本方法2.1 描述统计描述统计是通过有序、准确的方式对数据进行整理和陈述。
常用的描述统计方法包括计数、百分比、平均数、中位数、众数、方差和标准差等。
通过描述统计，我们可以直观地了解数据的分布、集中趋势和离散程度。
2.2 探索性数据分析探索性数据分析是通过制作图表和绘制统计图形来揭示数据的模式和结构。
常用的探索性数据分析方法包括直方图、散点图、箱线图等。
通过探索性数据分析，我们可以快速发现数据中的异常值、趋势和关联关系。
2.3 推断统计推断统计通过从样本中得出总体的结论。
它基于样本的统计量来进行推断，并利用概率和假设检验的方法对推断结果进行验证。
常用的推断统计方法包括假设检验、置信区间、回归分析等。
通过推断统计，我们可以对总体进行估计和预测，从而得出科学合理的结论。
3. 统计学在现实生活中的应用3.1 经济学和商业统计学在经济学和商业领域有着广泛的应用。
通过收集和分析经济数据，可以评估经济发展的趋势，预测市场走向，并为决策提供数据依据。
3.2 医学和生物学在医学和生物学研究中，统计学用于设计实验、分析数据，帮助识别疾病风险因素和治疗效果，以及解读生物大分子的结构和功能。
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2
3 5 1 2 9 4 1
4
5 -8 0 10 -4 -1 -2
5
-1 2 3 8 2 7 3
0
10 1 6 4 -2 18 -1
4
4
-3 5 10 3 5 6 10 -5 3 3 3 3 7 6
2 -1
3
10
1
6
1
5
4
2
2) 求最大值和最小值. 由上表知，最小值为-8，最大值为18. 3) 分组 a)确定组数和组距. 考虑到样本容量 n=100, 取组数 m=10. 由于 (18+8)/10=2.6, 取组距 . b) 确定各组的上、下界. 取 , 依次得 -5.5, -2.5, 0.5, 3.5, 6.5, 9.5, 12.5, 15.5, 18.5. 4) 计算频率 5) 画直方图. 注意 .
序号k 1 2 3 4 5 6 7 8 9
组 (-8.5,-5.5] (-5.5,-2.5] (-2.5, 0.5] (0.5, 3.5] (3.5, 6.5] (6.5, 9.5] (9.5, 12.5] (12.5, 15.5] (15.5, 18.5]
频数 1 4 12 32 30 12 7 1 1
343 344 342 343 345 339 350 337 345 342
349 336 348 344 345 332 342 341 350 343 347 340 344 353 341 340 353 346 345 346 341 339 342 352 342 350 348 344 350 335 340 338 345 345 349 336 342 338 343 343 341 347 341 347 344 339 347 358 343 347 346 344 345 350 341 338 343 339 343 346
更确切的说，对这批钢筋，我们关心的 是它的强度的分布，如强度低于52kg/mm^2 的比例是多少. 设 X 表示“任一根钢筋的强度”，X 是 一个随机变量. 它的概率分布就反映了这批 钢筋的强度的分布，即把总体看做一个随机 变量。
从总体中抽取一个个体就是做一次随 机试验，而“任取 n 根钢筋，测其强度” 就是做 n 次随机试验，得到容量为 n 的样 本.
例1 对100块焊接完的电路板进行检查，每块板 上焊点不光滑的个数的频数分布表和频率分布表 如下图所示
（不光 1 2 3 4 5 6 滑点的个数）
7
8
9 10 11 12 5 3
合 计 100 1
(频数)
（=
/100）
4 4 5 10 9 15 15 14 9 7
从上表可大体知道这批电路板的不光滑情况，可近似地 作为“每块板上不光滑点个数” X 的分布律.
二、直方图 当总体是连续型随机变量时，可采用直方图 来处理数据(样本值). 设 为给定的一组 样本值，处理步骤如下： 1）简化数据，令 由于数据总在某个某个数值 上下波动，可以选 取适当的常数 ，把样本值化为位数较少的整数， 为方面起见，化简后的数值 仍记为 .
2) 求
中的最大最小值. 记
3) 分组. a) 确定组数和组距. 选定组数 ，取组距 一般情况下， 应取数据的最小单位的整数倍. b) 确定各组的上下界. 取第一组的下界 应略小于 ，使得 落入第 一组内，即 然后令
相互独立,
其中 的二次型。则
是
的秩为
相互独立且 的充要条件是
2、t 分布 定义: 设X～N(0,1) , Y～ 独立，则称变量
, 且X与Y相互
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布. 记为T～t(n). T的密度函数为：
具有自由度为n的t分布的随机变量T的数 学期望和方差为:
E(T)=0; D(T)=n / (n-2) , 对n >2
342 339 343 350 341 346 341 345 344 342
解 1) 简化数据. 取c=340, d=1. 令 简化后的数据如下图
.
2 1
8
6
3
2
6
1
4
8
6 6
3 4 9 -4 7 0 1 -1 0 -2 1 7 6 4
1
2 8 4 2 5 1 5
4
2 4 13 12 5 7 10
称
为奇数 为偶数
为样本中位数. 称 为样本极差，反映了样本的离散 程度，也反映了总体的离散程度.
3. 抽样分布 统计量既然是依赖于样本的，而 后者又是随机变量，故统计量也是随 机变量，因而就有一定的分布，这个 分布叫做统计量的“抽样分布” .
抽样分布就是通常的随机变量函数的分布. 只是强调这一分布是由一个统计量所产生的. 研 究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性， 完全取决于其抽样分布的性质.
频率 0.01 0.04 0.12 0.32 0.30 0.12 0.07 0.01 0.01
三、经验分布函数
对给定的一组样本值，将它们按从小到大的顺序排列： 对任意实数 ，定义
称
为经验分布函数.
例如，给定样本值5, 3, 7, 5, 4. 将它们从小到大 重新排列: 3, 4, 5, 5, 7. 经验分布函数为
3. 单个次序统计量的分布 定理1：设总体X的密度函数为 f (x) ，分布函数为 F(x) ， X 1 , X 2 ,, X n 为样本，则第 k 个次序 统计量的密度函数为 n! f k ( x) [ F ( x)]k 1[1 F ( x)]nk f ( x) (k 1)!(n k )! 推论1 ：最大次序统计量 推论2 ：最小次序统计量 的概率密度函数为
且X与Y独立, X1,X2,…, 是 是取自X的样本, Y1,Y2,…, 分别是这两个样本的 样本 取自Y的样本,
均值, 分别是这两个样本的样本方差,
则有
与
相互独立
定理 5 (两总体样本方差比的分布)
且X与Y独立, X1, X2,…, 是取自X的样本, Y1,Y2,…, 是 分别是这两个样本的 样本 取自Y的样本,
根据经验分布函数的定义，
中不大于x的个数）
记 , 发生的概率 大数定律, 对任意的 , 有
. 根据贝努利
事实上，可以证明下述更强的结论：
定理(格列汶科) 设总体 的分布函数为 ，经验分布函数 以概率1关于 地收敛于 ,即
,当 一致
注：上述定理表明，当样本容量 充分大时, 样本取值的分布相当准确的反映总体的分布.
X的数学期望为:
若n2>2
即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1. 请看演示 F分布
t分布与F分布的关系
由t分布的定义，设
其中 故
且X,Y体为正态分布时，教材上给出了 几个重要的抽样分布定理. 这里我们不加 证明地叙述. 除定理2外，其它几个定理 的证明都可以在教材上找到.
一、总体和样本
1.总体和样本
例 某钢铁厂某天生产10000根钢筋，规定强
度小于52kg/mm^2的算作次品，如何来求这 批钢筋的次品率？是否需要测量每根钢筋的 强度呢？
一般来说是不需要的. 只要从这10000根 钢筋中抽取一部分，比如100根，测量这 100根钢筋的强度，就可以推断出整批钢筋 的次品率了，这就是抽样检验.
为了使每个数据都落入组内，应使分点 小数.
比样本值多一位
4) 计算频率，记 率为
为落入第 个区间的频数，则频
5) 画直方图. 以 为底，
为高画小长方形.
显然，所有小长方形面积之和等于1：
样本直方图与密度函数
的关系？
根据大数定律， 近似等于随机变量 落入区间 内 的概率，即
设
的密度函数为 在区间
，则 内连续
定理 1 (样本均值的分布)
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 的样本，则有
定理 2 (样本方差的分布)
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 的样本, 则有 分别为样本均值和样本方差,
定理 3
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 的样本, 则有 分别为样本均值和样本方差,
与 相互独立
定理 4 (两总体样本均值差的分布)
则称 X(k) 为第 k 个次序统计量( No.k Order Statistic) 特别地，称
X (1) min X i
1i n
为最小顺序统计量(Minimum order Statistic) 称
X ( n ) max X i
1i n
为最大顺序统计量(Maximum order Statistic) 。
t分布的密度函数关于x=0对称，且
当n充分大时，其图形类似于标准正态分 布密度函数的图形.
3、F分布 定义: 设 独立，则称统计量
X与Y相互
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第 一自由度，n2称为第二自由度，记作 F~F(n1,n2) . 由定义可见， ~F(n2,n1)
若X~F(n1,n2)， X的概率密度为
精确抽样分布 （小样本问题中使用） 抽样分布 渐近分布
（大样本问题中使用)
五. 统计三大分布 1、 定义: 设 分布
分布是由正态分布派生出来的一种分布.
相互独立, 都服从正态
分布N(0,1), 则称随机变量：
所服从的分布为自由度为 n 的
记为
分布.
分布的密度函数为
其中伽玛函数 来定义.
通过积分
请看演示
因为抽取是随机的，故可以样本看做 n个随机变量 。 当试验是同重复独立试验时， 与总体 有相的分布，这样的样本称作 简单随机样本。
简单随机样本
(1) (2) 与总体X 有相同的分布 相互独立
一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为 简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽 样代替.而代替的条件是