长沙市周南中学2020届高三第2次月考理科数学试题
2020年湖南高三二模数学试卷(理科)
当
时， 有两个零点；
当
时， 无零点．
（2）
．
解析:
（ 1 ）方法一：
，
，
若
，则
，在
上单调递增，且
，
此时 存在唯一零点；
若
，令
，得
；
当
，
， 单调递增；当
时，
，
时，
， 单调递减，
∴
，且当
时，
，当
，
，
所以当
，即
时， 无零点；
当
，即
时， 有一个零点；
当
，即
时， 有两个零点．
综上：当
或
时， 有一个零点；
当
时， 有两个零点；
，且当
时，
，则函数
9. 设 ， 满足约束条件
A. B. C. D.
，则
的取值范围是（ ）．
10.
2
若函数 A. B. C. D.
在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）．
11.
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 为
的外心，则
（ ）．
A.
B.
C.
D.
12. 已知函数 取值范围是（ ） A. B. C. D.
．
故选： ．
6
7. A 解析:
所以当
时，
又因为
，
∴
，
所以 的最小正周期为 ，
当
时，
，
所以 在
上为减函数．
故选 ．
，其图象关于直线
对称，
，
，
，
8. C
解析:
偶函数 满足
，故函数的周期为 ．
湖南省长沙市周南中学2020届高三下学期第二次模拟考试理科数学试题
9．已知函数 ， ， ，若 的最小值 ，且 的图象关于点 对称，则函数 的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（）
A． B． C． D．
10．若过抛物线 ： 焦点的直线与 相交于 ， 两点 ）
①求这500支该项质量指标值的样本平均值 （同一组的数据用该组区代表间的中点值）
②由直方图可以认为，新冠疫苗的该项质量指标值 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ，经计算可得这500支新冠疫苗该项指标值的样本方差 .现有5名志愿者参与临床试验，观测得出该项指标值分别为：206，178，195，160，229，试问新冠疫苗的该项指标值是否正常，为什么？
参考数据： ，若 ，则 ， ，
21．已知函数 ．
（1）若 ，证明： ．
（2）若函数 在 处有极大值，求实数 的取值范围．
22．在极坐标系 中，直线 过点 与点 .
（1）求直线 的极坐标方程；
（2）已知圆 ： .若曲线 与 ， 相交于 ， 两点；曲线 与 ， 相交于 ， 两点， ， 异于极点 ，求证： .
湖南省长沙市周南中学2020届高三下学期第二次模拟考试理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 （）
A． B． C． D．
2．已知直线 ： ， ： ， ，则“ ”是“ ”的（）
A． B． C． D．
11．已知三棱锥 中， ， ， ， .有以下结论：①三棱锥 的表面积为 ；②三棱锥 的内切球的半径 ；③点 到平面 的距离为 ；其中正确的是（）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
湖南省长沙市周南教育集团2025届高三上学期10月第二次月考地理试题(含答案)
A.技术、劳动力B.交通、劳动力C.原料、交通、市场D.水源、地形、原料
2.华美食品（河北）工业园所在的开发区，其主要功能区有（ ）
A.工业区、仓储区、居住区B.工业区、商贸区、居住区
C.大学城、仓储区、工业区D.科技园、仓储区、大学城
3.为促进企业发展，华美食品集团适宜扩张布局的区域还有（ ）
6.引起莫诺纳湖湖水温度分异和底层水温骤升的主要原因是（）
①湖面结冰②径流减少③气候回暖④大风天气
A.①④B.②③C.①③D.②④
7.未来冬季盐径流含盐量继续不断增加，整体上会使得莫诺纳湖（）
A.湖泊咸淡性质转变B.水温分异时间缩短
C.底层水温提前骤升D.底层水温骤升放缓
土壤孔隙度即土壤中孔隙体积占土壤总体积的百分数，它是影响土壤蓄水能力的重要指标。下表为我国南方某山地不同植被土壤孔隙度情况。据此完成下面小题。
4.维持老年人口迁移Ⅲ型的省份，在空间分布上呈现（）
A 均衡性B.分散性C.临近性D.集中性
5.与1995年相比，2020年老年人口迁移分型向上的省份，多数（）
A.空间位置邻近B.经济发展模式相似
C.产业部门接近D.位于中西部地区
莫诺纳湖位于美国的五大湖区，平均湖深22米。每年冬春季，莫诺纳湖都要经历一次湖水温度分异和底层水温骤升事件。据研究，莫诺纳湖冬季存在盐径流注入，与周边水体混合慢，近年来盐径流含盐量不断增加。下图示意2020年1~5月莫诺纳湖底表层湖水水温变化。完成下面小题。
土壤孔隙度
针阔混交林
常绿阔叶林
楠竹林
灌木林
总孔隙
60
62
50
77
非毛管孔
17
湖南省2020届高三上学期月考数学(理)试卷
2020届高三月考理科数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．设集合}2)1(log |{2<+=x x A ，{}162x B y y ==-，则()A B =I R ð（ ）A. ()0,3B. []0,4C. [)3,4D. ()1,3-2. 已知复数15i z a =-在复平面上对应的点在直线520x y +=上，复数152iz z +=（i 是虚数单位），则2017z =（ ）A ．1B ．1-C ．i -D ．i3. 若tan 2α=，则22cos 23sin 2sin ααα+-的值为（ ）A ．25 B ．25- C ．5 D ．54. 在[][]4,6,2,4x y ∈∈内随机取出两个数，则这两个数满足30x y -->的概率为（ ）A ．14 B ．18 C ．110 D ．1165. 若圆2212160x y x +-+=与直线y kx =交于不同的两点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(3,3)-B ．(5,5)C ．55(D ．33( 6. 70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏.这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N ，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成31N +；如果是个偶数，则下一步变成2N.不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N 是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1.准确地说，是无法逃出落入底部的421--循环，永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按照这种运算，自然数27经过十步运算得到的数为 ( ) A ．142B ．71C ．214D ．1077. 在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2223323sin a b c bc A =+-，则C 的值为（ ） A ．3π B ．6π C ．4π D ．32π8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为203，则图中x 的值为（ ）A ．3B ．1 C.2 D ．529. 运行如下程序框图，如果输入的[]0,5t ∈，则输出S 属于（ ）A ．[)4,10-B ．[]5,2-C ．[]4,3-D ．[]2,5-10.已知向量3OA =u u u r ，2OB =u u u r ，OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，若OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为60°，且OC AB⊥u u u r u u u r ，则实数m n的值为（ ） A. 16 B. 14C. 6D. 411．如图，在四边形ABCD 中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，DA DC =.现沿对角线AC折起，使得平面DAC ⊥平面ABC ，且三棱锥D ABC -的体积为43，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的体积是（ ）A ．92π B ．823π C ．272π D ．12π 开始输入t2?t ≥24S t t =- 5S t =输出S 结束是否12.已知函数()2ln f x ax x x =--存在极值，若这些极值的和大于5ln 2+，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),4-∞B ．()4,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若()()62701271x a x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，其中()πsin cos d a x x x =-⎰，则0126a a a a +++⋯+的值为 .14. 已知函数()1,022,0xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩错误!未找到引用源。
长沙市周南中学2020届高三第2次月考理科数学试题(参考答案)
3
试卷第 6页，总 7页
得 y 0 ∴过点 (0,0) 且斜率为 1 的切线倾斜角最小，∴直线 l 的方程是 y x 。
14．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，S17=170，a20=20，则 S28=______.
1 ，故选
C.
12．在三棱锥 A BCD 中， BAC BDC 60 ，二面角 A BC D 的余弦值为
1 ，当三棱锥 A BCD 的体积的最大值为 6 时，其外接球的表面积为（ ）
3
4
A． 5
B． 6
C． 7
D． 8
【详解】
如图，设球心 O 在平面 ABC 内的射影为 O1 ，在平面 BCD 内的射影为 O2 则二面角 A BC D 的平面角为 AMD 点 A 在截面圆 O1 上运动，点 D 在截面圆 O2 上运动， 由图知，当 AB AC ， BD CD 时，三棱锥 A BCD 的体积最大，此时 ABC 与 BDC 是等边三角形 设 BC a ，则 AM DM 3 a ，
长沙市周南中学 2020 届高三第 2 次月考 理科数学参考答案
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 M={x||x-1|＞1}，N={x|x²+x-6＜0}，则 M∩N=（ B ）
A．{x|2＜x＜3}
B．{x|-3＜x＜0}
图1
图2
解：（1）CD2 PD2 PC 2 CD PD, 又CD AD，
湖南省长沙市周南中学2020届高三下学期第二次模拟考试理科数学试题
（3）3月16日20时18分，由我国军事科学院军事科学研究院陈薇院士领衔的科学团队，研制重组新型冠状病毒疫苗获批进入临床状态，新疫苗的使用，可以极大减少感染新型冠状病毒的人数，为保证安全性和有效性，某科研团队抽取500支新冠疫苗，观测其中某项质量指标值，得到如下频率分布直方图：
A． B． Βιβλιοθήκη ． D．5．已知数列 的前 项和为 ，且对任意 都有 ，设 ，则数列 的前6项之和为（）
A．11B．16C．10D．15
6．在 的展开式中，含 项的系数为（）
A． B．6C． D．24
7．给出下列命题，其中正确命题的个数为（）
①若样本数据 的方差为2，则数据 的方差为6；
②回归方程为 时，变量 与 具有负的线性相关关系；
20．新型冠状病毒最近在全国蔓延，具有很强的人与人之间的传染性，该病毒在进入人体后一般有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间.假设每位病毒携带者在潜伏期内每天有 位密切接触者，接触病毒携带者后被感染的概率为 ，每位密切接触者不用再接触其他病毒携带者.
（1）求一位病毒携带者一天内感染的人数 的均值；
湖南省长沙市周南中学2020届高三下学期第二次模拟考试理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 （）
A． B． C． D．
2．已知直线 ： ， ： ， ，则“ ”是“ ”的（）
③随机变量 服从正态分布 ， ，则 ；
高三数学理科第二次模拟考试卷试题_1
周南中学2021届高三数学理科第二次模拟考试卷2006-5-29参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么球的外表积公式P (A +B )=P (A )+P (B )S =4πR 2假如事件A 、B 互相HY ，那么其中R 表示球的半径P (A •B )=P (A )•P (B )球的体积公式假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次HY 重复试验中恰好发生k 次的概率334R V π=k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(其中R 表示球的半径一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
〕1．2211(1)(1)i i i i -++=+- 〔 〕A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，∠DAD1＝45°，∠CDC 1＝30°，那么异面直线AD1与DC 1所成角的大小是〔 〕A ．arcsin4B ．2arcsin4C ．D.3．假设动圆的圆心在抛物线x 2=12 y 上，且与直线y +3=0相切，此动圆恒过定点 〔 〕A 〔0,2〕 〔B 〕〔0，－3〕 〔C 〕〔0,6〕 〔D 〕〔0,3〕AA 1BCDD 1B 1C 14．假设21()nx x-展开式中的所有二项式系数和为512，那么该展开式中的常数项为 〔 〕A ．－84B ．84C ．－36D ．365．假设函数()sin cos (0)f x ax ax a =+>的最小正周期为1，那么它的图象的一个对称中心为 A ．(,0)8π-B ．(0,0)C ．1(,0)8-D ．1(,0)86．集合}0))((|{},012|{<--=<+-=b x a x x B x x x A ，假设“2-=a 〞是“∅≠B A 〞的充分条件，那么b的取值范围是〔 〕A ．1-<bB ．1->bC ．1-≥bD ．21<<-b7．函数)(x f 是定义在R 上在奇函数，)(x f 在0<x 时，有反函数)(1x fy -=，且x x f 311log )(=-，那么⎪⎭⎫⎝⎛21f 的值是 〔 〕A ．33 B ．33- C ．3 D ．3-8．身穿红．黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿一样颜色衣服的人不能相邻，那么不同的排法一共有 〔 〕A ．48种B ．72种C ．78种D ．84种9．函数)1(+x f 是偶函数，英才苑且1≤x 时，xx f 2)(=，假设1)(0<x f ，那么0x 的取值范围是A ．)0,(-∞B ．)2,1()0,( -∞C ．),2()0,(+∞-∞D ．),3()0,(+∞-∞0.30.14.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.95.0 5.1 5.2视力频率组距 10．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为（ ）A ．0.27，78B ．0.27，83C ．2.7，78D ．2.7，83二、填空题〔每一小题4分，一共20分.把正确答案填在题中所给横线上〕11．P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆a by a x (12222=+>b>0)上的一点，假设21PF PF ⋅=0，tan ∠PF 1F 2=21，那么此椭圆的离心率为 12．如图，以下四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥MNP 的图形的序号是 〔写出所有符合要求的图形序号〕。
2020年湖南省高三二模理科数学试卷(含答案和解析)
20. 分别过椭圆
左、右焦点 、 的动直线 、 相交于 点，与椭圆
分别交于 、 与 、 不同四点，直线 、 、 、 的斜率分别为 、 、 、 ，且满
4
足
，已知当 与 轴重合时，
，
．
（ 1 ） 求椭圆 的方程． （ 2 ） 是否存在定点 ， ，使得 说明理由．
为定值？若存在，求出 、 点坐标，若不存在，
是纯虚数，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）．
6. 湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为 球前，球面上的点到冰面的最大距离为（ ）． A. B. C. D.
，深
的空穴，则取出该
7. 已知函数 A. 的最小正周期为 ，且在 B. 的最小正周期为 ，且在 C. 的最小正周期为 ，且在 D. 的最小正周期为 ，且在
（ 1 ） 求数列 （2） 设
的通项公式． ，求数列
的前 项和 ．
【答案】
（1）
．
（2）
．
解析: （ 1 ）由
，两边平方并整理得：
∴
，又
，∴
当
时，
由① ②得
，∴
，
又因为
，所以
，
∴数列 的首项为 ，公差为 等差数列，∴
（2）
，
∴
，
．
① ②
．
两式相减得
，
∴
．
11
19. 如图，在梯形
中，
，
形，平面
平面
，
2
由命题的否定的定义可知 正确．
5. 若复数 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】 B
解析:
， ∴ 故选 ．
湖南省长沙市长沙县2020届高三上学期第二次月考数学（理）试卷
（理科）数学试题卷满分l50分 考试时间120分钟 班级 姓名第Ⅰ卷(选择题 共60分)一．选择题（12×5＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合A =｛x ∈Z|x 2－4x +3≤0｝，集合B ={2，3，4，5}，则A B =（ ）A ．φB ．{2}C ．{2，3}D ．{2，3，4}2．命题：“∀x ＞0，x 2+x ≥0”的否定形式是（ ） A ．∀x ≤0，x 2+x ＞0B ．∀x ＞0，x 2+x ≤0C ．∃x 0＞0，x 02+x 0＜0D ．∃x 0≤0，x 02+x 0＞03.函数()2lg(31)1f x x x=++-的定义域为（ ）A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭4.设函数()1x 22,x 1,f x 1log x,x 1,-⎧≤=⎨->⎩则满足f(x)≤2的x 的取值范围是（ ）A ．[-1,2]B ．[0,2]C ．[1,+∞)D ．[0,+∞)5.以下命题正确的个数为（ ）① 若5>x 是a x >的充分条件，则实数a 的取值范围为(－∞，5]；②记可导函数()f x 的导函数为()f x '，则“函数()f x 在0x 处取得极值”是“()00f x '=”的充分不必要条件;③命题P ：“若x ＞1，则x 2＞1”，则命题P 以及它的否命题、逆命题、逆否命题这4个命题中真命题的个数为2个④若命题“非p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题。
A ．1B ．2C ．3D ．46.下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 12x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x37．函数()2ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．已知函数ln y x x =在点P 处的切线方程是1y x =-，则点P 的坐标为（ ） A ．()0,1 B ．)(1,2C ．()1,-e eD ．（-1，-2）9.函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( ) A ．1－eB ．－1C ．－eD ．010．若函数cos 2sin =+f a x x x （）在区间63ππ（，）单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1[)2+∞，B ．1()2+∞，C ．)6+∞D ．1[)4+∞，11．设函数1sin )1()(222+++=x xx x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．-212．偶函数)(x f 满足)1()1(+=-x f x f ,且在x ∈[0,1]时,f (x )=x ,则关于x 的方程f (x )=110x⎛⎫⎪⎝⎭,在x ∈[0,4]上解的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题（本题共4小题，满分20分） 13、下列曲线.0,23,2,cos ====y x x x y ππ所围成的图形的面积为 14、函数的(2)()log 2x a f x x -=-的图像必经过定点 15、已知bx x f -=3)((2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为16、已知f （x ）=x x ln 3，g （x ）=﹣x 2+ax ﹣4，对一切x ∈（0，+∞），f （x ）≥g （x ）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内。
2020届湖南师大属中高三上学期第二次月考数学(理)试题
A ．[3， ＋∞ ) B． (3， ＋∞ )
C．(－∞ ， － 1]∪[3 ，＋∞ ) D． (－∞ ， －1)∪ (3， ＋∞ ) 2． 已知函数 f(x)＝ x2＋bx＋ c， 则“c<0”是“ ? x0∈ R， 使 f(x0)<0 ”的 (A)
A ．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3． 设 a＝ log4 8， b＝ log 0.48， c＝20.4， 则 (A)
-4-
∴动点 M 的轨迹就是平面 DCH 与内切球 O 的交线 ，
∵正方体 ABCD － A1B1C1D1 的棱长是 2 2，
2
22
∴O 到平面 DCH 的距离为 d＝ 5， 截面圆的半径 r＝ R2－ d2＝ 5 ，
所以动点 M 的轨迹的长度为截面圆的周长
4 10π 2πr＝ 5 .
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
∵a＝ x3－ 6x2＋ 9x－2 在 (0， ＋ ∞)上有两解 ，∴a＝ 2. 16．点 M 为棱长是 2 2的正方体 ABCD －A1B1C1D1 的内切球 O 球面上的动点 ，点 N 为 B1C1 的中点 ，
4 10π 若满足 DM ⊥ BN， 则动点 M 的轨迹的长度为 __ 5 __．
【解析】 如图 ，正方体 ABCD － A1B1C1D1 的内切球 O 的半径 R＝ 2， 由题意 ， 取 BB1 的中点 H， 连接 CH ， 则 CH ⊥NB ，DC⊥ NB， ∴NB⊥平面 DCH ，
6． 如果执行如图所示的程序框图 ， 则输出的数 S 不可能是 (A)
-1-
A ．0.7 B． 0.75 C．0.8 D． 0.9 7． 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数
2020-2021年湖南省长沙市高三(下)2月月考数学试卷人教A版(2019)
2020-2021年湖南省长沙市高三（下）2月月考数学试卷一、选择题1. 已知集合M ={x|x 2≤4}，N ={x|2x <4}，则M ∩N =( ) A.{x|x ≤−2} B.{x|−2≤x <2} C.{x|−2≤x ≤2} D.{x|0<x <2}2. 已知复数z 满足z(2+i)=3−4i （i 为虚数单位），则|z|=( ) A.√3 B.√5 C.2√3 D.53. 已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为( )A.√33πB.√33C.√3πD.√34. a 是f (x )=(13)x−log 2x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( ) A.f (x 0)的符号不确定 B.f (x 0)<0 C.f (x 0)=0 D.f (x 0)>05. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BD ，则AE →⋅EC →=( )A.1225 B.2425C.125 D.456. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆x 2+(y −2√3)2=4相交于A ，B 两点，若|AB|=2，则C 的离心率为( ) A.2√33B.√3C.2D.47. 已知函数f(x)=sin (πx +φ)某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是f(x)图象的最高点与最低点，C 是f(x)图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC =( )A.12B.47C.25√5D.765√658. 概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是( ) A.甲48枚，乙48枚 B.甲64枚，乙32枚 C.甲72枚，乙24枚 D.甲80枚，乙16枚二、多选题关于函数f (x )=1x +ln x ，下列说法正确的是( )A.f (1)是f (x )的极小值B.函数y =f (x )−x 有且只有1个零点C.f (x )在(−∞,1)上单调递减D.设g (x )=xf (x )，则g (1e)<g(√e)已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是( )A.若m ⊥α，n ⊥α，则m // nB.若m // α，m // β，则α // βC.若α⊥β，m // β，则m⊥αD.若α // β，m⊥α，则m⊥β若a，b，c都是正数，且4a=6b=9c，那么( )A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.2c =2a+1bD.1c=2b−1a一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是( )A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是35B.从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43C.现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25D.从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627三、填空题(x−1x)(1−x)4的展开式中x3的系数为________.已知tan(α+π4)=2，则sin2α=________.如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB=AC，∠BAC=90∘．定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB=θ，则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________.已知两条抛物线C:y2=2x，E:y2=2px(p>0且p≠1)，M为C上一点（异于原点O），直线OM与E的另一个交点为N．若过M的直线l与E相交于A，B两点，且△ABN 的面积是△ABO面积的3倍，则p=________．四、解答题已知等比数列{a n}的公比为q(q>1)，前n项和为S n，若S5−S2a4=72，且S3+2=a4．(1)求a n；(2)设数列{1S n}的前n项和为T n，求证：34−12n+1≤T n≤1−12n．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设√3b sin A=a(2+cos B)．(1)求B；(2)若△ABC的面积等于√3，求△ABC的周长的最小值．在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2√2的正方形，平面PAC⊥底面ABCD，PA=PC=2√2．(1)求证：PB=PD；(2)点M ，N 分别在棱PA ，PC 上，PM =AM ，PN =CN ，求直线PB 与平面DMN 所成角的正弦值．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2√2，且过点(√2,1)． (1)求C 的方程；(2)若直线l 与C 有且只有一个公共点，l 与圆x 2+y 2=6交于A ，B 两点，直线OA ，OB 的斜率分别记为k 1，k 2．试判断k 1⋅k 2是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x )和物理成绩(y)，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A ，B ．经调查得知，A 考生由于感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：∑x i42i=1=4641，∑y i42i=1=3108，∑x i42i=1y i =350350，∑(x i−x ¯)242i=1=13814.5，∑(y i −y ¯)242i=1=5250，其中x i ，y i 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i =1，2，⋯，42，y 与x 的相关系数r =0.82．(1)若不剔除A ，B 两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为r 0．试判断r 0与r 的大小关系，并说明理由；(2)求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B 考生参加了这次物理考试(已知B 考生的数学成绩为125分)，物理成绩是多少？（精确到个位）(3)从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩ξ服从正态分布N (μ,σ2)．以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数y ¯作为μ的估计值，用样本方差s 2作为σ2的估计值．试求该地区5000名考生中，物理成绩位于区间(62.8,85.2)的人数Z 的数学期望．附：①回归方程 y ̂=a ̂+b ̂x 中，b ̂=∑(ni=1x i −x ¯)(y i −y ¯)∑(n i=1x i −x ¯)2，a ̂=y ¯−b ̂x ¯； ②若ξ∼N (μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544； ③√125≈11.2．已知函数f (x )=ln x −x +a ． (1)讨论函数f (x )零点的个数；(2)若函数f (x )存在两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：2ln x 1+ln x 2<0．参考答案与试题解析2020-2021年湖南省长沙市高三（下）2月月考数学试卷一、选择题 1.【答案】 B【考点】 交集及其运算 【解析】先化简集合M ，N ，再利用集合的交集运算求解即可. 【解答】解：∵ M ={x|x 2≤4}={x|−2≤x ≤2}， N ={x|2x <4}={x <2}， ∴ M ∩N ={x|−2≤x <2}. 故选B . 2.【答案】 B【考点】 复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出． 【解答】解：∵ z(2+i)=3−4i ， ∴ z =3−4i 2+i=(3−4i)(2−i)(2+i)(2−i)=25−115i ，∴ |z|=√(25)2+(−115)2=√5.故选B . 3.【答案】 A【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】首先根据圆锥表面积求出，，然后求出圆锥的高，最后利用圆锥体积公式求出结果. 【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ， 由πl =2πr ，得l =2r .又∵ S =πr 2+πr ⋅2r =3πr 2=3π， 解得r =1， ∴ l =2r =2，∴ 圆锥的高为ℎ=√22−12=√3，∴ 圆锥的体积为V =13πr 2ℎ=13π×12×√3=√33π. 故选A ． 4. 【答案】 D【考点】 函数的零点利用导数研究函数的单调性 【解析】根据0<x 0<a ，f(x)=(13)x −log 2x 的是(0, +∞)上的减函数，f(x 0)=0，可得f(a)的值的符号． 【解答】解：∵ a 为函数f(x)=(13)x −log 2x 的零点，∴ f(a)=0，∵ f(x)=(13)x −log 2x ，且x >0， ∴ f ′(x)=(13)x ln 13−1x ln 2，且f ′(x)<0， ∴ f(x)在(0, +∞)上是减函数.∵ 0<x 0<a ， ∴ f(x 0)>0. 故选D ． 5. 【答案】 D【考点】向量的三角形法则平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ AB =1，AD =2， ∴ AC =BD =√5. ∵ AE ⊥BD ，∴ S △ABD =12AB ⋅AD =12AE ⋅BD ， ∴ AE =AB⋅AD BD =√5=√5，∴ cos ∠CAE =AEAO =AE12AC=2×√5√5=45，∴ AE →⋅EC →=AE →⋅(AC →−AE →) =AE →⋅AC →−AE 2→=√5√5×45−(√5)2=45． 故选D ． 6. 【答案】 C【考点】双曲线的离心率 双曲线的渐近线 点到直线的距离公式【解析】【解答】解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为： bx +ay =0.圆x 2+(y −2√3)2=4的圆心为(0,2√3)，半径为2， 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与圆x 2+(y −2√3)2=4相交于A ，B 两点，若|AB|=2， 可得(√3a √a 2+b 22+11=22，12a 2a 2+b 2=3，即：b 2=3a 2，可得c 2−a 2=3a 2， 解得e =c a=2.故选C ． 7. 【答案】 B【考点】正弦函数的周期性 两角和与差的正切公式 【解析】过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C (a,0)，可得CD =32AD =1,DE =12tan ∠CAD =CD AD=32tan ∠EAD =ED AD=12，再利用tan ∠B.AC =tan (∠CAD −∠EAD )计算即可．【解答】解：由题可知，函数f(x)的周期为T =2ππ=2.设C (a,0)，则B (a +12,−1)，A (a +32,1)， ∴ K AC =132=23，K AB =1−(−1)32−12=2.又∵ ∠BAC 为两直线倾斜角的差， ∴ tan ∠BAC =2−231+2×23=47.故选B . 8.【答案】 C【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】根据题意，计算甲乙两人获得96枚金币的概率，据此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，前三局比赛中，甲、乙两人每局获胜的概率均为12，假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率为P1=12+12×12=34，乙获取96枚金币的概率为P2=12×12=14，则甲应该获得96×34=72枚金币，乙应该获得96×14=24枚金币.故选C.二、多选题【答案】A,B,D【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得函数f(x)的定义域为{x|x>0}，故选项C错误；∵f(x)=1x+ln x，∴f′(x)=−1x2+1x=−1+xx2，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)极小值=f(1)=1，故选项A正确；∵y=f(x)−x=1x+ln x−x∴y′=−1x2+1x−1=−x2+x−1x2=−(x−12)2−34x2<0，∴函数y=f(x)−x=1x+ln x−x在(0,+∞)上单调递减，当x=1时，y=0，∴y=f(x)−x有且只有一个零点，故选项B正确；∵g(x)=xf(x)=1+x ln x，∴g′(x)=x⋅1x+ln x=1+ln x，当x∈(e−1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0,e−1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)最小值=g(e−1)=g(1e)，∴g(1e)<g(√e)，故选项D正确．故选ABD．【答案】A,D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系直线与平面垂直的判定平面与平面平行的判定【解析】由直线与平面垂直的性质判断A；由直线与平面平行及平面与平面平行的定义判断B；由平面与平面垂直、直线与平面平行的定义判断C；由直线与平面垂直、平面与平面平行的定义判断D．【解答】解：A，若m⊥α，n⊥α，则m // n，故选项A正确；B，若m // α，m // β，则α // β或α与β相交，故选项B错误；C，若α⊥β，m // β，则m // α或m⊂α或m与α相交，故选项C错误；D，若m⊥α，则m垂直α内的所有直线，又∵α // β，∴m垂直β内的所有直线，∴m⊥β，故选项D正确．故选AD.【答案】A,D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值换底公式的应用【解析】将指数式化为对数式，根据选项中的 运算分别验证即可． 【解答】解：依题意设4a =6b =9c =k ，则a =log 4k ，b =log 6k ，c =log 9k ， 对于A ，ab +bc =2ac ，即bc +ba =2， 因为bc+ba =log 6k log 9k+log 6k log 4k=log 69+log 64=log 636=2，故A 正确，B 错误； 对于C ，2a +1b =2log4k+1log 6k =2log k 4+log k 6=log k 96≠2c=2log k 9=log k 81，故C 错误； 对于D ，2b−1a =2log k 6−log k 4=log k364=log k 9=1c ，故D 正确； 故选AD . 【答案】 A,B,D 【考点】古典概型及其概率计算公式 二项分布的应用对立事件的概率公式及运用【解析】利用古典概型概率公式求解恰有一个白球的概率，判断A 正误；利用独立重复实验，求解每次任取一球，则取到红球次数的方差判断B 正误； 利用条件概率，求出结果判断C 正误；通过对立事件的概率，求出结果判断D 的正误； 【解答】解：A ，所求概率P =C 21C 42C 63=2×620=35，故选项A 正确；B ，取到红球的次数X ∼B(6, 23)， 其方差为6×23×(1−23)=43， 故选项B 正确；C ，设A ={第一次取到红球}，B ={第二次取到红球}， 则P(A)=23，P(AB)=4×36×5=25， 所以P(B|A)=P(AB)P(A)=35，故选项C 错误；D ，每次取到红球的概率P =23，所以至少有一次取到红球的概率为1−(1−23)3=2627， 故选项D 正确． 故选ABD . 三、填空题【答案】 5【考点】二项展开式的特定项与特定系数 【解析】本题考查了二项式定理的应用，求特定项的系数问题，对原式变形，结合二项式定理展开式的通项公司即可得答案． 【解答】解：(x −1x )(1−x)4 =x(1−x)4−1x (1−x)4，含x 3的系数为：C 42⋅(−1)2−C 44⋅(−1)4=5． 故答案为：5． 【答案】35【考点】二倍角的正弦公式 两角和与差的正切公式 三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由条件利用两角和的正切公式求得tan α=13，利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简要求的式子为sin 2α=2tan α1+tan 2α，运算求得结果．【解答】解：∵tan(α+π4)=2，∴tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=2,解得tanα=13，∴sin2α=2sinαcosαcos2+sin2α=2tanα1+tan2α=231+19=35.故答案为：35.【答案】(10000√5+25000)m2【考点】在实际问题中建立三角函数模型三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：在△OAB中，∵∠AOB=θ，OB=100，OA=200，∴AB2=OB2+OA2−2OB⋅OA⋅cos∠AOB，即AB=100√5−4⋅cosθ，∴S四边形OACB=S△OAB +S△ABC=12⋅OA⋅OB⋅sinθ+12⋅AB2，∴S四边形OACB =1002(sinθ−2cosθ+52)，令tanφ=2，则S四边形OACB =1002[√5sin(θ−φ)+52]，∴ “直接监测覆盖区域”面积的最大值为(10000√5+25000)m2．【答案】4【考点】抛物线的性质直线与抛物线的位置关系直线与抛物线结合的最值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，设M(b22,b)，则直线OM的方程为y=2bx，即x=b2y，代入y2=2px(p>0且p≠1)，可得y=pb，x=pb22，即N(pb22,bp).由题意可知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=m(y−b)+b22，即2x−2my+2mb−b2=0，所以点O到直线AB的距离d1=|2mb−b2|2√1+m2，点N到直线AB的距离d2=|2⋅pb22−2m⋅pb+2mb−b2|2√1+m2=22√1+m2=|p−1|⋅22√1+m2.因为S△ABNS△ABO=12|AB|⋅d212|AB|⋅d1=3，所以3⋅22√1+m2=|p−1|⋅22√1+m2.因为2mb−b2≠0，所以|p−1|=3，又因为p>0，所以p=4．故答案为：4.四、解答题【答案】(1)解：由S5−S2a4=a5+a4+a3a4=1q +1+q=72，解得q=2(q>1).又∵S3+2=a4，即7a1+2=8a1，解得a1=2，∴a n=2n．(2)证明：由(1)可知，S n=2n+1−2，∴1S n =12n+1−2>12n+1.又∵1S n =12n+1−2=12n+2n−2≤12n，∴12n+1<1S n≤12n，∴当n=1时，T1=12，∴34−122=12，1−121=12，∴34−121+1≤T1≤1−121成立．当n≥2时，T n>12+123+124+⋯+12n+1=34−12n+1，T n≤12+122+123+⋯+12n=1−12n，综上所述，34−12n+1≤T n≤1−12n．【考点】等比数列的通项公式等比数列的前n项和数列的求和数列与不等式的综合【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由S5−S2a4=a5+a4+a3a4=1q+1+q=72，解得q=2(q>1).又∵S3+2=a4，即7a1+2=8a1，解得a1=2，∴a n=2n．(2)证明：由(1)可知，S n=2n+1−2，∴1S n=12n+1−2>12n+1.又∵1S n=12n+1−2=12n+2n−2≤12n，∴12n+1<1S n≤12n，∴当n=1时，T1=12，∴34−122=12，1−121=12，∴34−121+1≤T1≤1−121成立．当n≥2时，T n>12+123+124+⋯+12n+1=34−12n+1，T n≤12+122+123+⋯+12n=1−12n，综上所述，34−12n+1≤T n≤1−12n．【答案】解：(1)∵√3b sin A=a(2+cos B)，∴√3sin B sin A=sin A(2+cos B)，在△ABC中，sin A>0，∴√3sin B−cos B=2，∴2sin(B−π6)=2.∵B∈(0, π)，∴B−π6=π2，∴B=2π3．(2)由题意可知，S=12ac sin B=√3ac4=√3，∴ac=4，∴a+c≥2√ac=4，当且仅当a=c=2时取等号．由余弦定理可知，b2=a2+c2−2ac cos B=a2+c2+ac≥3ac=12，∴b≥2√3，当且仅当a=c=2时取等号，∴△ABC的周长的最小值为4+2√3．【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式基本不等式在最值问题中的应用余弦定理【解析】（1）先利用边角互化将√3b sin A=a(2+cos B)转化为关于B的方程，求出∠B．（2）因为B已知，所以求面积的最小值即为求ac的最小值，结合余弦定理和基本不等式可以求得．【解答】解：(1)∵√3b sin A=a(2+cos B)，∴√3sin B sin A=sin A(2+cos B)，在△ABC中，sin A>0，∴√3sin B−cos B=2，∴2sin(B−π6)=2.∵B∈(0, π)，∴B−π6=π2，∴B=2π3．(2)由题意可知，S=12ac sin B=√3ac4=√3，∴ac=4，∴a+c≥2√ac=4，当且仅当a=c=2时取等号．由余弦定理可知，b2=a2+c2−2ac cos B=a2+c2+ac≥3ac=12，∴b≥2√3，当且仅当a=c=2时取等号，∴△ABC的周长的最小值为4+2√3．【答案】(1)证明：连接BD，记AC∩BD=O，连接PO，如图所示，∵底面ABCD为正方形，∴OA=OC=OB=OD=2.∵PA=PC，∴PO⊥AC.∵平面PAC∩底面ABCD=AC，PO⊂平面PAC，∴PO⊥底面ABCD．∵BD⊂底面ABCD，∴PO⊥BD，∴PB=PD .(2)解：如图，以O为坐标原点，射线OB，OC，OP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O−xyz.由(1)可知OP=2，∴P(0,0,2)，A(0,−2,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(−2,0,0)，∴M(0,−1,1)，N(0,1,1)，PB→=(2,0,−2)，∴DM→=(2,−1,1)，MN→=(0,2,0)，设平面DMN的一个法向量为n→=(x,y,z)，∵DM→⋅n→=0，MN→⋅n→=0，即{2x−y+z=0,2y=0,令x=1，可得n→=(1,0,−2)，∴ cos ⟨PB →,n →⟩=PB →⋅n→|PB →|⋅|n →|=2√2×√5=3√1010， ∴ 直线PB 与平面DMN 所成角的正弦值为3√1010． 【考点】平面与平面垂直的性质用空间向量求直线与平面的夹角【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：连接BD ，记AC ∩BD =O ，连接PO ， 如图所示，∵ 底面ABCD 为正方形， ∴ OA =OC =OB =OD =2. ∵ PA =PC ， ∴ PO ⊥AC .∵ 平面PAC ∩底面ABCD =AC ，PO ⊂平面PAC ， ∴ PO ⊥底面ABCD ． ∵ BD ⊂底面ABCD ， ∴ PO ⊥BD ， ∴ PB =PD .(2)解：如图，以O 为坐标原点，射线OB ，OC ，OP 的方向 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O −xyz .由(1)可知OP =2，∴ P (0,0,2)，A (0,−2,0)，B (2,0,0)， C (0,2,0)，D (−2,0,0)，∴ M (0,−1,1)，N (0,1,1)，PB →=(2,0,−2)，∴ DM →=(2,−1,1)，MN →=(0,2,0)， 设平面DMN 的一个法向量为n →=(x,y,z )，∵ DM →⋅n →=0，MN →⋅n →=0， 即{2x −y +z =0,2y =0,令x =1，可得n →=(1,0,−2)， ∴ cos ⟨PB →,n →⟩=PB →⋅n→|PB →|⋅|n →|=2√2×√5=3√1010， ∴ 直线PB 与平面DMN 所成角的正弦值为3√1010． 【答案】解：(1)由题意，得{2c =2√2,2a2+1b2=1,a 2=b 2+c 2,解得{a =2，b =√2，c =√2，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 22=1.(2)k 1⋅k 2为定值，且定值为−12.理由如下：①当直线l 斜率不存在时，直线的方程为x =±2， 当x =2时，A(2,√2)，B(2,−√2)， 则k 1⋅k 2=√22×(−√22)=−12；当x =−2时，A(−2,√2)，B(−2,−√2)， 则k 1⋅k 2=−√22×√22=−12；②当直线l 斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，且A (x 1,y 1)， B (x 2,y 2)，联立{y =kx +m,x 24+y 22=1,整理，得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−4=0，∴ Δ=(4km )2−4(1+2k 2)(2m 2−4)=0， 即m 2=4k 2+2.联立{y =kx +m,x 2+y 2=6,整理，得(1+k 2)x 2+2kmx +m 2−6=0， ∴ x 1+x 2=−2km1+k 2，x 1x 2=m 2−61+k 2，∴ k 1k 2=y 1y2x 1x 2=(kx 1+m )(kx 2+m )x 1x 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2x 1x 2=k 2⋅m 2−61+k 2+km ⋅(−2km 1+k 2)+m 2m 2−61+k 2=m 2−6k 2m 2−6=4k 2+2−6k 24k 2+2−6=−12.综上，k 1⋅k 2为定值，且定值为−12. 【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】（1）由题意可得关于a ，b ，c 的方程组，求解a ，b ，c 的值，即可得到椭圆的方程； （2）①当过点P 的直线斜率不存在时，直线的方程为x =±2，求得k 1k 2=−12，②当过P 的直线斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，联立直线方程与椭圆方程，由判别式等于0可得m 2=4k 2+2，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合斜率公式 可得占与为定值−12 【解答】解：(1)由题意，得{2c =2√2,2a 2+1b2=1,a 2=b 2+c 2,解得{a =2，b =√2，c =√2，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 22=1.(2)k 1⋅k 2为定值，且定值为−12.理由如下：①当直线l 斜率不存在时，直线的方程为x =±2， 当x =2时，A(2,√2)，B(2,−√2)， 则k 1⋅k 2=√22×(−√22)=−12；当x =−2时，A(−2,√2)，B(−2,−√2)， 则k 1⋅k 2=−√22×√22=−12；②当直线l 斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，且A (x 1,y 1)， B (x 2,y 2)， 联立{y =kx +m,x 24+y 22=1,整理，得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−4=0，∴ Δ=(4km )2−4(1+2k 2)(2m 2−4)=0， 即m 2=4k 2+2.联立{y =kx +m,x 2+y 2=6,整理，得(1+k 2)x 2+2kmx +m 2−6=0， ∴ x 1+x 2=−2km 1+k 2，x 1x 2=m 2−61+k 2，∴ k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=(kx 1+m )(kx 2+m )x 1x 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2x 1x 2=k 2⋅m 2−61+k 2+km ⋅(−2km 1+k 2)+m 2m 2−61+k 2 =m 2−6k 2m 2−6=4k 2+2−6k 24k 2+2−6=−12.综上，k 1⋅k 2为定值，且定值为−12.【答案】解：(1)r 0<r ．理由如下：由图可知，y 与x 成正相关关系，①异常点A ，B 会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小． ③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大． ④42个数据点更贴近其回归直线l ． ⑤44个数据点与其回归直线更离散．(2)由题中数据可得：x ¯=142∑x i 42i=1=110.5，y ¯=142∑y i 42i=1=74，所以∑(42i=1x i−x ¯)(y i −y ¯)=∑x i42i=1y i −42xy ¯=350350−42×110.5×74=6916． 又因为∑(x i −x ¯)242i=1=13814.5，所以 b ̂=∑(42i=1x i −x ¯)(y i −y ¯)∑(42i=1x i −x ¯)2=0.501， a ̂=y ¯−b ̂x ¯=74−0.501×110.5≈18.64．所以y ̂=0.50x +18.64．将x =125代入，得y =0.50×125+18.64=62.5+18.64≈81， 所以估计B 同学的物理成绩为81分． (3)y ¯=142∑y i42i=1=74，s 2=142∑(42i=1y i−y ¯)2=142×5250=125，所以ξ∼N (74,125)，又因为√125≈11.2，所以P (62.8<ξ<85.2)=P (74−11.2<ξ<74+11.2)=0.6826. 因为Z ∼B (5000,0.6826)，所以E (Z )=5000×0.6826=3413，所以该地区本次考试物理成绩位于区间(62.8,85.2)的人数Z 的数学期望为3413． 【考点】 相关系数求解线性回归方程 正态分布的密度曲线 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)r 0<r ．理由如下：由图可知，y 与x 成正相关关系，①异常点A ，B 会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小． ③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大． ④42个数据点更贴近其回归直线l ． ⑤44个数据点与其回归直线更离散． (2)由题中数据可得：x ¯=142∑x i 42i=1=110.5，y ¯=142∑y i 42i=1=74，所以∑(42i=1x i −x ¯)(y i −y ¯)=∑x i 42i=1y i −42xy ¯=350350−42×110.5×74=6916． 又因为∑(x i −x ¯)242i=1=13814.5， 所以 b̂=∑(42i=1x i −x ¯)(y i −y ¯)∑(42i=1x i −x ¯)2=0.501，a ̂=y ¯−b ̂x ¯=74−0.501×110.5≈18.64．所以y ̂=0.50x +18.64．将x =125代入，得y =0.50×125+18.64=62.5+18.64≈81， 所以估计B 同学的物理成绩为81分．(3)y ¯=142∑y i 42i=1=74，s 2=142∑(42i=1y i −y ¯)2=142×5250=125，所以ξ∼N (74,125)，又因为√125≈11.2，所以P (62.8<ξ<85.2)=P (74−11.2<ξ<74+11.2)=0.6826. 因为Z ∼B (5000,0.6826)，所以E (Z )=5000×0.6826=3413，所以该地区本次考试物理成绩位于区间(62.8,85.2)的人数Z 的数学期望为3413． 【答案】(1)解：∵ f (x )=ln x −x +a ， ∴ f ′(x )=1x −1=1−x x(x >0)，∴ 当0<x <1时，f ′(x )>0， 当x >1时，f ′(x )<0，∴ f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， ∴ f (x )的最大值为f (1)=a −1. 又∵ 当x →0时，f (x )<0， 当x →+∞时，f (x )<0，∴ 当a −1<0，即a <1时，f (x )没有零点；当a−1=0，即a=1时，f(x)有1个零点；当a−1>0，即a>1时，f(x)有两个零点．(2)证明：由(1)可知，0<x1<1<x2，由f(x1)=f(x2)=0可知，ln x1−x1=ln x2−x2，即ln x2x1=x2−x1.设x2x1=t(t>1)，则ln t=x1(t−1)，故x1=ln tt−1，要证2ln x1+ln x2<0，只需证x12x2<1，即证x13t<1，即t(ln t)3(t−1)3<1，即证t(ln t)3−(t−1)3<0.令g(t)=t(ln t)3−(t−1)3，则g′(t)=(ln t)3+3(ln t)2−3(t−1)2，g′′(t)=3(ln t)2t+6ln tt−6(t−1)=3[(ln t)2+2ln t−2t2+2t]t.令p(t)=(ln t)2+2ln t−2t2+2t(t>1)，则p′(t)=2ln tt +2t−4t+2=2(ln t+1−2t2+t)t．令q(t)=ln t+1−2t2+t(t>1)，则q′(t)=1t−4t+1，∵q′(t)在(1,+∞)上单调递减，∴q′(t)<q′(1)=−2<0，∴q(t)在(1,+∞)上单调递减，即q(t)<q(1)=0，∴p′(t)<0，∴p(t)在(1,+∞)上单调递减，即p(t)<p(1)=0，∴g′′(t)<0，∴g′(t)在(1,+∞)上单调递减，即g′(t)<g′(1)=0，∴g(t)在(1,+∞)上单调递减，∴g(t)<g(1)=0，即t(ln t)3−(t−1)3<0，∴t(ln t)3(t−1)3<1，∴2ln x1+ln x2<0.【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：∵f(x)=ln x−x+a，∴f′(x)=1x−1=1−xx(x>0)，∴当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，∴f(x)的最大值为f(1)=a−1.又∵当x→0时，f(x)<0，当x→+∞时，f(x)<0，∴当a−1<0，即a<1时，f(x)没有零点；当a−1=0，即a=1时，f(x)有1个零点；当a−1>0，即a>1时，f(x)有两个零点．(2)证明：由(1)可知，0<x1<1<x2，由f(x1)=f(x2)=0可知，ln x1−x1=ln x2−x2，即ln x2x1=x2−x1.设x2x1=t(t>1)，则ln t=x1(t−1)，故x1=ln tt−1，要证2ln x1+ln x2<0，只需证x12x2<1，即证x13t<1，即t(ln t)3(t−1)3<1，即证t(ln t)3−(t−1)3<0.令g(t)=t(ln t)3−(t−1)3，则g′(t)=(ln t)3+3(ln t)2−3(t−1)2，g′′(t)=3(ln t)2t+6ln tt−6(t−1)=3[(ln t)2+2ln t−2t2+2t]t.令p(t)=(ln t)2+2ln t−2t2+2t(t>1)，则p′(t)=2ln tt+2t−4t+2=2(ln t+1−2t2+t)t．令q(t)=ln t+1−2t2+t(t>1)，则q′(t)=1t−4t+1，∵q′(t)在(1,+∞)上单调递减，∴q′(t)<q′(1)=−2<0，∴q(t)在(1,+∞)上单调递减，即q(t)<q(1)=0，∴p′(t)<0，∴p(t)在(1,+∞)上单调递减，即p(t)<p(1)=0，∴g′′(t)<0，∴g′(t)在(1,+∞)上单调递减，即g′(t)<g′(1)=0，∴g(t)在(1,+∞)上单调递减，∴g(t)<g(1)=0，即t(ln t)3−(t−1)3<0，∴t(ln t)3<1，(t−1)3∴2ln x1+ln x2<0.。
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长沙市周南中学2020届高三第2次月考理科数学试题
时量： 120分钟 总分： 150 命题： 审题：
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合M={x ||x -1|＞1}，N={x |x ²+x -6＜0}，则M ∩N=（ ） A ．{x |2＜x ＜3} B ．{x |-3＜x ＜0} C ．{x |0＜x ＜2} D ．{x |-3＜x ＜2} 2．已知31i
z i
=-，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A ．32
-
B ．32
C ．32i -
D ．32
i
3．已知0.2
2x =，2lg 5y =，7
525z ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则下列结论正确的是（ ） A ．x y z << B ．y z x << C ．z y x << D ．z x y <<
4．若,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式
2
1.36
v L h ≈
它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式22
75v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为
（ ） A.
227 B.258 C.15750 D.355
113
6．函数()22
x x
e e
f x x x --=+-的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．执行如图所示的程序框图，若输出的值为﹣1，则判断框①中可以填入的条件是（ ） A ．n ≥999 B ．n ≤1000 C ．n ＜999 D ．n ＞1000
{}{}(
)
项和等于的前数列，则中数列在各项均为正数的定比10log 4.826
5n n
a a a a =
A ．20
B ．10
C ．5
D ．2+log 25
9．袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件A ，用随机模拟的方法估计事件A 发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经18
由此可以估计事件A 发生的概率为（ ） A ．19
B ．2
9
C ．
518
D ．
718
10．已知圆O 1和圆O 2的半径分别为2和4，且|O 1O 2|＝8，若动圆M 与圆O 1内切，与圆O 2外切，则动圆圆心M 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线
11．已知*121
(0)()()(
)(1)()n n a f f f f f n N n
n
n
-=+++
++∈，又函数1
()()12
F x f x =+-是R 上的奇函数，则数列{}n a 的通项公式为（ ）
A ．
n a n = B ．2n a n = C ．1n a n =+ D ．223n a n n =-+
12．在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的
余弦值为13
-，当三棱锥A BCD -球的表面积为（ ） A ．5π B ．6π
C ．7π
D ．8π
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知直线l 是曲线x x y +=33
1的切线中倾斜角最小的切线，则l 的方程是
14．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 17=170，a 20=20，则S 28=______.
15．在一次无平局的比赛中，当比赛进行到其中一人比另一人多胜2场时结束，且胜场多者获胜。
已知在第奇数场时，甲获胜的概率为3
5
；在第偶数场时，乙获胜的概率为35
.则比赛结束时恰进行了四场比赛且甲获胜的概率为________.
16．12,F F 是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，直线l 为
双曲线C 的一条渐近线，1F 关于直线l 的对称点为M ，且点M 在以
2F 为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角. （1）证明：；
（2）求的取值范围. 18．（本小题满分12分）
如图1，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，，CD ⊥AD ，
AD =2DC =2CB=2，△PAD 沿着AD 折起，如图2，使得PC =3． （1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）求二面角A —PB —C 大小的余弦值．
ABC ∆A B C a b c tan a b A =B 2
B A π
-=
sin sin A C +//BC AD
图1 图2
图1
三化螟是水稻的主要害虫之一，在水稻分蘖期危害稻株产生枯心苗. 每只三化螟
.
表中i i y z ln =，∑==1
7i i z z
（1）根据数据判断，bx a y +=与dx ce y =（其中 718.2=e 为自然对数的底数）哪个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程. （计算结果精确到小数点后第三位）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到C 280以上时三化螟虫会造成严重危害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，假设该地区每年平均温度达到C 280以上的概率为p （10<<p ）.
（i ）该地区今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为)(p f ，求)(p f 的最大值，并求出相应概率0p
（ii ）当)(p f 取最大值时，记该地区今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差.
附：对一组数据),(),,(),,(772211y x y x y x ，其回归直线bx a z +=的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：,)
()
)((2
7
1
7
1
^
∑∑==---=i i
i
i i
x x z z
x x b x b z a ^
^-=.
已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线y+2=0相切．
（1）求M 的轨迹方程；
（2）曲线M 在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ．直线y=3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论． 21．（本小题满分12分）
已知0≥a ，函数，记为的从小到大的第个极值点.
（1）当0=a 时，若t s x
x f <<
)(对(0,)2
x π
∈恒成立，求s 的最大值与t 的最小值.
（2）当时，证明数列是等比数列.
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
()sin ([0,))ax f x e x x =∈+∞n x ()f x n *()n N ∈0a >{()}n f x
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==α
α
sin cos 3y x （α为参数），以坐标原
点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+
）=2
．
（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，，且的解集为． （1）求的值；
（2）若都为正数，且，证明：．
()|21|f x m x =--m ∈R 1()02
f x +≥{|11}x x -≤≤m ,,a b c 111232
m
a b c +
+=239a b c ++≥。