线性代数期末试卷及解析(4套全)2018科大

线性代数期末试卷一
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）
（5）设矩阵210120001⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A ，矩阵
B 满足*2=+ABA BA E ，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是
单位矩阵，则||=B __________.
解：||=B 1
9
.
显然||3=A ，在等式*2=+ABA BA E 两端右乘A 得
36=+AB B A (36)-=A E B A 上式取行列式
03
03
0||3003
=-B
故 1||9
=
B . 方法二：因||3=A ，则*31
||||9-==A A
将**
2=+ABA BA E 移项得 *
(2)-=A E BA E 两端取行列式得
1||91⋅⋅=B ，故1||9
=B .
二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为
（A ）010100.101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
.
解：（D ）正确. 由题意
12=AE B ，其中12010100001⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
E 为第一种类型初等矩阵，
23(1)=BE C ，其中23100(1)011001⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
E 为第三种类型初等矩阵.
于是有 1223(1)==AE E C AQ
则 1223010100011(1)100011100001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪
=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
Q E E
与所给答案比较，选（D ）.
（12）设,A B 为满足=AB 0的任意两个非零矩阵，则必有 （A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 解：（A ）正确.
设A 为m n ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，
因为 =AB 0
故 ()()r r n +≤A B ，其中(),()r r A B 分别表示矩阵,A B 的秩.
又因为,A B 皆是非零矩阵，故()0,()0r r >>A B ，所以()r n <A ，()r n <B .
因此A 的列秩数，B 的行秩数小于n ，这说明A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故选（A ）.
取101000⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
-⎝⎭
B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ， 由B 的列向量组线性无关知（B ）、（D ）错误.
取101010-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪
-⎝⎭
B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，
由A 的行向量组线性无关知（C ）错误.
三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组
121212(1)0,
2(2)20,(2)()0,
n n
n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L
试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.
解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有
11111111222220000a
a a a a n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪
=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭
A B L L L L L L L L L L
. 当0a =时，()1r n =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为
120n x x x +++=L ， 由此得基础解系为
T T T
121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，
于是方程组的通解为
1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数. 当0a ≠时，对矩阵B 作初等行变换，有
(1)11110
00221
002100.00
100
1n n a a n n +⎛
⎫
++⎛⎫ ⎪
⎪
⎪-
⎪-→→
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-
⎪⎝
⎭-⎝
⎭
B L L L L L L L L L
L
可知(1)
2
n n a +=-
时，()1r n n =-<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为 1213
120,30,0,
n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M
由此得基础解系为
T
(1,2,,)n =ηL ， 于是方程组的通解为
x k =η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式为
111112222
(1)||.2n a
a n n a a n
n
n n a
-+++⎛
⎫=
=+ ⎪⎝⎭
+A L L L L
L
当||0=A ，即0a =或(1)
2
n n a +=-时，方程组有非零解.
当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有
1111111122220000,0000n n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
A L L L L L L L L L L 故方程组的同解方程组为
120,n x x x +++=L 由此得基础解系为
T T T
121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，
于是方程组的通解为
1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数.
当(1)
2
n n a +=-
时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 11111111222220000
a
a a a a
n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪+-
⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭
A L L L
L
L L L L L L . 1111000021
002100.00
10
1a n n +⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪--
⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭
L L L
L L L L L L L 故方程组的同解方程组为
1213
120,
30,0,
n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M
由此得基础解系为
T
(1,2,,)n =ηL ， 于是方程组的通解为
x k =η，其中k 为任意常数. （21）（本题满分9分）
设矩阵12314315a -⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪⎝⎭
A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.
解：A 的特征多项式为
1
2322014
3
14
3
1
515
a a
λλλ
λλλλ-----=-------
1
1
01
0(2)14
3
(2)13
3
1
5
115
a
a λλλλλλ-=--=---------
2
(2)(8183)a λλλ=--++.
若2λ=是特征方程的二重根，则有2
2161830a -++=，解得2a =-.
当2a =-时，A 的特征值为2,2,6，矩阵1232123123-⎛⎫
⎪
-=- ⎪ ⎪--⎝⎭
E A 的秩为1，故2λ=对应的
线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.
若2λ=不是特征方程的二重根，则2
8183a λλ-++为完全平方，从而18316a +=，解得
2
3 a=-.
当
2
3
a=-时，A的特征值为2,4,4，矩阵
323
4103
2
11
3
⎛⎫
⎪
-
⎪
-= ⎪
⎪
--
⎪
⎝⎭
E A的秩为2，故4
λ=对应的
线性我关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.
线性代数期末试卷二
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中的横线上.） （6）同数学（一）一、（5）.
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项目前的字母填在题后的括号内.） （13）同数学（一）二、（11）. （14）同数学（一）二、（12）.
三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组
12341234
12341234(1)0,
2(2)220,33(3)30,444(4)0,
a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩
试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.
解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有
111111112222200.33333004444400a
a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭
A B 当0a =时，()14r =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为 12340x x x x +++=.
由此得基础解系为
T T T
123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，
于是所求方程组的通解为
112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时，
11111000021002100,3010301040014001a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
B 可知10a =-时，()34r =<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为
121314
20,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪
-+=⎨⎪-+=⎩
由此得基础解系为 T
(1,2,3,4)=η，
于是所求方程组的通解为 k =x η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式
311112222||(10)33334
4
4
4a
a a a a a
++=
=+++A .
当||0=A ，即0a =或10a =-时，方程组有零解. 当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有
11111
1112
2220
0003333
000044450000⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪ ⎪
=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
A ， 故方程组的同解方程组为
12340.x x x x +++= 其基础解系为
T T T
123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，
于是所求方程组的通解为
112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时，对A 作初等行变换，有
911
1911
12
82220
1000337330
010*******
0010--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
--
⎪ ⎪
=→
⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A
911100
002
10021
00301030
1040
0140
01-⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪--
⎪ ⎪
→→
⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭
， 故方程组的同解方程组为
21314
12,
3,4,
x x x x x x =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
其基础解系为T
(1,2,3,4)=η，
于是所求方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （23）（本题满分9分） 同数学（一）三、（21）.
线性代数期末试卷三
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（4）二次型222
123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为_________.
解：秩为 2 .
222
123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++ 222
123121323222222x x x x x x x x x =++++-
于是二次型f 的表示矩阵为
211121112⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
A
易求得()2r =A ，故二次型f 的秩为2.
二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （12）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有 （A ）当||(0)a a =≠A 时，||a =B . （B ）当||(0)a a =≠A 时，||a =-B . （C ）当||0≠A 时，||0=B . （D ）当||0=A 时，||0=B . 解：（D ）正确.
因为n 阶矩阵A 与B 等价，故存在n 阶可逆矩阵,P Q 使 =PAP B
故 ||||||||=B P A Q
当||0=A 时，自然有||0=B ，故（D ）正确.
当||0≠A 时，由||,||P Q 皆不为零，故||0≠B ，所以（C ）错误.
当||0a =≠A 时，||||||a =B P Q ，仅由A 与B 等价，无法推出||||1=±P Q ，故（A ）、（B ）不正确.
当,A B 相似时，（A ）才正确.
（13）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*
≠A 0，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组=Ax 0的基础解系.
（A ）不存在. （B ）仅含一个非零解向量. （C ）含有两个线性无关的解向量. （D ）含有三个线性无关的解向量. 解：（B ）正确.
因*
=A 0，故*A 中至少有一个非零元素. 由于*
A 中元素恰为A 的1n -阶代数余子式所组成，
故A 至少有一个1n -阶子式非零，这表明()1r n ≥-A .
现断言()r n ≠A ，否则A 可逆，则线性方程组=Ax b 有惟一解，这与12,ξξ是非齐次线性方程组=Ax b 不同的解矛盾.
由此必有()1r n =-A ，所以齐次线性方程组=Ax 0的解空间维数为(1)1n n --=，即=Ax 0
的基础解仅含一个非零解向量. 可见（B ）正确，（A ）错误.
尽管从1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，可以得出=Ax 0有三个不同的非零解，如121314,,,---ξξξξξξ但是它们是成比例的线性相关解，也就是说=Ax 0不会有两个，更不会有三个线性无关的解向量，即（C ）、（D ）不正确.
三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （20）（本题分13分）
设T T T 123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)a a b a b ==+-=---+ααα，T
(1,3,3)=-β. 试讨论当,a b
为何值时，
（I ）β不能由123,,ααα线性表示；
（II ）β可由123,,ααα惟一地线性表示，并求出表示式；
（III ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解：设有数123,,k k k ，使得
112233k k k ++=αααβ. （*） 记123(,,)=A ααα. 对矩阵()A
β施以初等行变换，有
1111()22230323a b a a b -⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭A β111101000a b a b -⎛⎫ ⎪
→- ⎪ ⎪-⎝⎭
.
（I ）当0,a b =为任意常数时，有
1111()0010001b -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
A β.
可知()()r r ≠A A β. 故方程组（*）无解，β不能由123,,ααα线性表示.
（II ）当0a ≠，且a b ≠时()()3r r ==A A β，故方程组（*）有惟一解 12311
1,,0,k k k a a
=-
== 则β可由123,,ααα惟一地线性表示，其表示式为
1211
(1)a a
=-+
βαα.
（III ）当0a b =≠时，对()A β施以初等行变换，有
110011()011
.0000a a ⎛
⎫- ⎪ ⎪
⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
A β. 可知()()2r r ==A A β，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为
12311
1,(),k k c k c a a
=-=+=，其中c 为任意常数.
β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，其表示式为
1231
1(1)()c c a a
=-+++βααα. （21）（本题满分13分）
111b b b
b b b ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
A L L M M M L
. （I ）求A 的特征值和特征向量；
（II ）求可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵. 解：（I ）1º当0b ≠时，
1
1||1
b b b b b
b
λλλλ-------=
---E A L L
M M M
L
1
[1(1)][(1)]
n n b b λλ-=-----.
故A 的特征值为121(1),1n n b b λλλ=+-===-L .
对于11(1)/n b λ=+-，设A 的属于特征值1λ的一个特征向量为1ξ，则
1111[1(1)]1b b b b n b b b ⎛⎫
⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
ξξL L M M M L ， 解得T
1(1,1,,1)=ξL ，所以全部特征向量为
T
1(1,1,,1)k k =ξL （k 为任意非零常数）.
对于21n b λλ===-L ，解齐次线性方程组[(1)]0b --=E A x ，由
1110
00(1)0
00b b b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪---
⎪ ⎪--=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝
⎭⎝⎭
E A L L L
L M M M M M M L L
， 解得基础解系
T
2(1,1,0,,0)=-ξL ，
T
3(1,0,1,,0)=-ξL ，
… …
T
(1,0,0,,1)n =-ξL .
故全部特征向量为
2233n n k k k +++ξξξL （2,,n k k L 是不全为零的常数）. 2º当0b =时，特征值11n λλ===L ，任意非零列向量均为特征向量. （II ）1º当0b ≠时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n =P ξξξL ，则 1
diag{1(1),1,,1}.n b b b -=+---P AP L 2º当0b =时，=A E ，对任意可逆矩阵P ，均有 1-=P AP E .
注：T
1(1,1,,1)=ξL 也可由求解齐次线性方程组1()λ-=E A x 0得出.
线性代数期末试卷四
一、填空题（本题共6小题，每小4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）
（4）设1010100,001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭
A B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵，则200422-=B A _________. 解：300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 由010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 得2100010001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
A ，故4=A E ，其中E 是3阶单位阵，所以2004=A E .
由1-=B P AP 得200412004-==B P A P E
于是 20042210020030022010020030001002001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B
A E A . （5）设33()ij a ⨯=A 是实正交矩阵，且T 111,(1,0,0)a b ==，则线性方程组=Ax b 的解是
__________.
解：T (1,0,0).
在方程=Ax b 两端左乘T
A
T T =A Ax A b 则 2131T 122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
x A b
将 12131a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
x 代回=Ax b 有
2131122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由此得
22121311a a ++=
因A 为实矩阵，故12130a a ==，因此=Ax b 的解为100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
x .
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（12）同数学（三）二、（12）.
三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（20）（本题满分13分）
设线性方程组
123412341
2340,220,3(2)(4)41,x x x x x x x x x x x x λμλμ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++++=⎩
已知T
(1,1,1,1)--是该方程组的一个解. 试求
（I ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （II ）该方程组满足23x x =的全部解.
解：将T (1,11,1)--代入方程组，得λμ=. 对方程组的增广矩阵施以初等变换，得 1102
112032441λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭A 102101311.002(21)2121λλλλλλ---⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭
（I ）当12
λ≠时，有 1001011010.221100122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
A 因()()34r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为
T T 11(0,,,0)(2,1,1,2)22
k =-+--ξ， 其中k 为任意常数.
当12
λ=时，有 11101220131100000⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
A .
因()()24r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为
T T T 121(,1,0,0)(1,3,1,0)(1,2,0,2)2
k k =-+-+--ξ， 其中12,k k 为任意常数.
（II ）当12
λ≠时，由于23x x =，即 1122
k k -+=-. 解得12
k =，方程组的解为
T T T 111(0,,,0)(2,1,1,2)(1,0,0,1)222=-+
--=-ξ. 当12
λ=时，由于23x x =，即 121132k k k --=. 解得121142
k k =-，故全部解为 T T 2111311(,,,0)(,,,2)444222
k =-+---ξ， 其中2k 为任意常数.
[注]：在题（II ）中，12λ=时，解得21122
k k =-时，全部解也可以表示为 T T 1(1,0,0,1)(3,1,1,4)k =-+-ξ，
其中1k 为任意常数.
（21）（本题满分13分）
设三阶实对称矩阵A 的秩为122,6λλ==是A 的二重特征值. 若T T T 123(1,1,0),(2,1,1),(1,2,3)===--ααα都是A 的属于特征值6的特征向量. （I ）求A 的另一特征值和对应的特征向量；
（II ）求矩阵A .
解：（I ）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个. 由题设可得123,,ααα的一个极大无关组为12,αα，故12,αα为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量.
由()2r =A 可知，||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=. 设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T T
120,0==αααα，即 12123
0,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩ 解得此方程组的基础解系为T (1,1,1)=-α，即A 的属于特征值30λ=的特征向量为T (1,1,1)c c =-α，
（c 为不为零的任意常数）.
（II ）令矩阵123(,,)=P ααα，则
1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
P AP ，
所以 1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A P P .
又
101111233311133
3-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P ， 故
42
224
2.224⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A。