线性代数习题2015及参考答案

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线性代数习题2015及参考答案

线性代数习题2015及参考答案

线性代数练习题(答案)一、填空题:1. 五阶行列式中,项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为 负 。

2. 行列式某两行(列)元对应成比例,则行列式的值 0 。

3. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=162131A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则AB 等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛--42146 . 4. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322013,且秩(A)=2,则t = 6 .5. 已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1Ac bE aA )(+6.4阶行列式4713482475010532--中(3,2)元素的代数余子式A 32是 -223 .7.向量组(Ⅰ)α1 , α2 ,…, αr 与向量组(Ⅱ)β1,β2,…, βs 等价,且组(Ⅰ)线性无关,则r 与s 的大小关系为 s r ≤ .8. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500030201,A *为A 的伴随矩阵,则| A *|= 225 .9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是 13 .10.四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =是 24 项的代数和,其中含11a 的项共6项。

11. 任意一个数域都包含 有理 数域.12. 设λ1, λ2 ,…, λn 是矩阵A 的n 个特征值,则λ1 λ2…λn= | A| 。

13. 设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,那么矩阵A 的列向量组的秩为 2 .14.设向量α=(1,2,3,4),则α的单位化向量为 30)4,3,2,1( .15.设A ,B 均为三阶方阵,且|A |= -3,|B |=6,则|AB |= 18 . 16. 设)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ是3F 的一个基,则3F 的自然基321,,εεε到321,,βββ的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011110101 .16. 在欧氏空间4R 中,()1,0,0,1=α,()0,1,0,1=β,则α与β的夹角等于3π. 17.已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=710321A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则A-2B 等于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12163209 . 18. 与矩阵101032120-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭A 对应的二次型是x x x x x x x x x f 32312221321423),,(-++-= .19. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 4x x x x 4x 3x 2x +--+-的对称矩阵为___⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322220201_____ . 20. 若二次型f(x 1,x 2,x 3, x 4)的正惯性指数为3,符号差为2,则f(x 1,x 2,x 3 ,x 4)的规范型为yy y y 24232221-++二、单项选择题:1. 设2阶方阵A 可逆,且A=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173,则A -1=( A )。

线代参考答案(完整版)

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线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一.选择题1.若行列式x52231521- = 0,则=x [ C ] (A )2 (B )2- (C )3 (D )3- 2.线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ,则方程组的解),(21x x = [ C ](A )(13,5) (B )(13-,5) (C )(13,5-) (D )(5,13--)3.方程093142112=x x根的个数是 [ C ] (A )0 (B )1 (C )2 (D )34.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 [ A D ] (A )665144322315a a a a a a (B )655344322611a a a a a a (C )346542165321a a a a a a (D )266544133251a a a a a a 5.若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的值及该项的符号为[ B ](A )3,2==l k ,符号为正; (B )3,2==l k ,符号为负; (C )2,3==l k ,符号为正; (D )2,3==l k ,符号为负6.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1.行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2.排列36715284的逆序数是 133.已知排列397461t s r 为奇排列,则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ,t = 8,5,2 4.在六阶行列式ij a 中,623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。

2015年11月CAP线性代数考试参考答案(深度解析版)

2015年11月CAP线性代数考试参考答案(深度解析版)

当 k = −2 时,r(A, b) = 3 > r(A) = 2, 方程组无解。 当 k ̸= 1, −2 时,r(A, b) = 3 = r(A) = 3, 方程组有唯一解,其解为 k+1 , x = −k +2 1 x2 = x = 3 λ 1 0
1 , k+2 (k+1)2 k+2
2 二、 (15 分) k 取何值时,下述线性方程组有无穷多解、唯一解、或无解? 有解时求 出所有的解。 kx + x2 + x3 = 1, 1 x1 + kx2 + x3 = k x + x + kx = k 2 1 2 3
解:
设方程组的系数矩阵为 A,增广矩阵为 (A, b). 对增广矩阵作行初等变换 1 1 k k2 1 1 k k2 −→ 0 k − 1 1 − k k − k 2 (A, b) −→ (5分) 1 k 1 k k 1 1 1 0 1 − k 1 − k2 1 − k3 当 k = 1 时,上述矩阵为 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
2) 反证:若 β + kα ∈ U , 则由 α ∈ U 以及 U 是线性子空间,得 β = (β + kα) − kα ∈ U, 矛盾。故对任何实数 k , β + kα ̸∈ U . (2分)
如果有两个不同实数 k1 , k2 , 使得 β + k1 α, β + k2 α ∈ W , 则 (k1 − k2 )α ∈ W , 矛 盾。 3) (证法一) 对真子空间的个数 s 用数学归纳法。当 s = 1 时, 3)显然成立。假定命题对 s 成立,下设 V 有 s + 1 个真子空间 V1 , V2 , · · · , Vs , Vs+1 , 不妨假定他们两两不 同。由归纳假设,对任何 i = 1, 2, · · · , s + 1,存在向量 αi , 当 j ̸= i 时,αi ∈ / Vj . 如果 V = V1 ∪ V2 ∪ · · · ∪ Vs ∪ Vs+1 , 那么 αi ∈ Vi . 考虑无穷多个向量 α1 + kα2 (k ∈ R),其中一定有两个不同向量 α1 + k1 α2 , α1 + k2 α2 属于同一个子空间 Vt , (3分)

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集(含答案)第一章【1】填空题(1) 二阶行列式2a abbb=___________。

(2) 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。

(3) 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。

(4) 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。

(5) 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。

答案:1.ab(a-b);2.1;3.()2a b -;4.3333x y z xyz ++-;5.4abc 。

【2】选择题(1)若行列式12513225x-=0,则x=()。

A -3;B -2;C 2;D 3。

(2)若行列式1111011x x x=,则x=()。

A -1,; B 0, C 1, D 2,(3)三阶行列式231503201298523-=()。

A -70;B -63;C 70;D 82。

(4)行列式00000000a ba b b a ba=()。

A 44a b -;B ()222a b-;C 44b a -;D 44a b 。

(5)n 阶行列式0100002000100n n -=()。

A 0;B n !;C (-1)·n !;D ()11!n n +-∙。

答案:1.D ;2.C ;3.A ;4.B ;5.D 。

【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案:提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和,即得结果。

【4】计算下列9级排列的逆序数,从而确定他们的奇偶性: (1)134782695;(2)217986354;(3)987654321。

答案:(1)τ(134782695)=10,此排列为偶排列。

线性代数课后习题答案全习题详解

线性代数课后习题答案全习题详解

线性代数课后习题答案全习题详解(总92页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---; (2)b a c a c b c b a ; (3)222111c b a c b a ; (4)y x y x x y x yyx y x +++. 解 (1)=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++-=4-(2)=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=(3)=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=(4)yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ;(6)1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解(1)逆序数为0(2)逆序数为4:4 1,4 3,4 2,3 2(3)逆序数为5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1 (4)逆序数为3:2 1,4 1,4 3(5)逆序数为2)1(-n n :3 2 1个 5 2,54 2个 7 2,7 4,7 6 3个 ……………… … )12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个 (6)逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2,54 2个 ……………… … )12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2,6 4 2个 ……………… … )2(n 2,)2(n 4,)2(n 6,…,)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解 由定义知,四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -,其中t 为4321p p p p 的逆序数.由于3,121==p p 已固定,4321p p p p 只能形如13□□,即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式:(1)⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214; (2)⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412; (3)⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae acab ; (4)⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a 100110011001 解(1)7110025*******21434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)265232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+ 23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -;(2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=yx z x z y zy x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 .证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立,即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以,对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转,依次得n nn n a a a a D 11111 =, 11112n nn n a a a a D = ,11113a a a a D n nnn =,证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式(阶行列式为k D k ):(1)aaD n 11 =,其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是0;(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示:利用范德蒙德行列式的结果. (4) nnn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 010000000000001000=按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a a a (再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行,得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上,得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始,第1+n 行经过n 次相邻对换,换到第1行,第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…,经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换,得nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) n nnnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式:222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=0432********0122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221展开(由下往上)按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-= 112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507= 51165100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-=1145108065-=--= 51100650000601000051001653=D 展开按第三列5100650006100051650061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+= 51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x . 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解解 μλμμμλ-==12111113D , 齐次线性方程组有非零解,则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证,当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解,则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证,当32,0===λλλ或时,该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1 已知线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y2 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B 求3AB 2A 及A TB解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T4 计算下列乘积(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321((132231)(10)(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x(a 11x 1a 12x 2a 13x 3 a 12x 1a 22x 2a 23x 3 a 13x 1a 23x 2a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=5 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A ⎪⎭⎫⎝⎛=2101B 问(1)AB BA 吗 解 AB BA 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA 所以AB BA(2)(A B)2A 22AB B 2吗 解 (A B)2A 22AB B 2 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫⎝⎛=27151610所以(A B)2A 22AB B 2 (3)(A B)(A B)A 2B 2吗 解 (A B)(A B)A 2B 2因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A故(A B)(A B)A 2B 26 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A 20 则A 0 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 则A 20 但A 0(2)若A 2A 则A 0或A E 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A 则A 2A 但A 0且A E(3)若AX AY 且A 0 则X Y 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y则AX AY 且A 0 但X Y7 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA 求A 2A 3Ak解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A 求A k解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A⎝⎛=kA k k kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫用数学归纳法证明 当k 2时 显然成立 假设k 时成立,则k 1时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219 设A B 为n 阶矩阵,且A 为对称矩阵,证明B T AB 也是对称矩阵证明 因为A T A 所以(B T AB)T B T (B T A)T B T A T B B T AB 从而B T AB 是对称矩阵10 设A B 都是n 阶对称矩阵,证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA 证明 充分性 因为A T A B T B 且AB BA 所以(AB)T (BA)T A T B T AB 即AB 是对称矩阵必要性 因为A T A B T B 且(AB)T AB 所以 AB (AB)T B T A T BA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)⎪⎭⎫⎝⎛5221解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A |A|1 故A 1存在 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225 (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A |A|10 故A 1存在 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A |A|20 故A 1存在因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2a n0)解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 12 解下列矩阵方程 (1)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛12643152X解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311111012112X 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122 (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20143101213 利用逆矩阵解下列线性方程组(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===35321x x x14 设A k O (k 为正整数) 证明(E A)1E A A 2 A k1证明 因为A k O 所以E A k E 又因为E A k (E A)(E A A 2A k 1)所以 (E A)(E A A 2 A k 1)E 由定理2推论知(E A)可逆 且(E A)1E A A 2A k1证明 一方面 有E (E A)1(E A) 另一方面 由A k O 有 E (E A)(A A 2)A 2A k1(A k1A k )(E A A 2 A k 1)(E A)故 (E A)1(E A)(E A A 2 A k 1)(E A) 两端同时右乘(E A)1就有(E A)1(E A)E A A 2A k115 设方阵A 满足A 2A 2E O 证明A 及A 2E 都可逆 并求A 1及(A 2E)1证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 即A(A E)2E 或E E A A =-⋅)(21由定理2推论知A 可逆 且)(211E A A -=-由A 2A 2E O 得 A 2A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E)4E或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A 2E)可逆 且)3(41)2(1A E E A -=+-证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得 |A 2A|2 即 |A||A E|2 故 |A|0所以A 可逆 而A 2E A 2 |A 2E||A 2||A|20 故A 2E 也可逆 由 A 2A 2E O A(A E)2E A 1A(A E)2A 1E)(211E A A -=-又由 A 2A 2E O (A 2E)A 3(A 2E)4E(A 2E)(A 3E)4 E所以 (A 2E)1(A 2E)(A 3E)4(A 2 E)1)3(41)2(1A E E A -=+- 16 设A 为3阶矩阵 21||=A 求|(2A)15A*|解 因为*||11A A A =- 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A|2A 1|(2)3|A 1|8|A|1821617 设矩阵A 可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*)1(A 1)*证明 由*||11A A A =- 得A*|A|A 1所以当A 可逆时 有|A*||A|n |A 1||A|n 1从而A*也可逆 因为A*|A|A 1所以(A*)1|A|1A又*)(||)*(||1111---==A A A A A 所以(A*)1|A|1A |A|1|A|(A 1)*(A 1)*18 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A|0 则|A*|0 (2)|A*||A|n 1证明(1)用反证法证明 假设|A*|0 则有A*(A*)1E 由此得A A A*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O 这与|A*|0矛盾,故当|A|0时 有|A*|0 (2)由于*||11A A A =- 则AA*|A|E 取行列式得到|A||A*||A|n 若|A|0 则|A*||A|n 1若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立因此|A*||A|n119设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A AB A 2B 求B解 由AB A 2E 可得(A 2E)B A 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01132133020 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A 且AB E A 2B 求B解 由AB E A 2B 得 (A E)B A 2E 即 (A E)B (A E)(A E)因为01001010100||≠-==-E A 所以(A E)可逆 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B21 设A diag(1 2 1) A*BA 2BA 8E 求B解 由A*BA 2BA 8E 得(A*2E)BA 8EB 8(A*2E)1A 1 8[A(A*2E)]1 8(AA*2A)1 8(|A|E 2A)18(2E 2A)14(E A)14[diag(2 1 2)]1)21 ,1 ,21(diag 4-=2diag(1 2 1)22已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A且ABA 1BA13E 求B 解 由|A*||A|38 得|A|2 由ABA1BA13E 得AB B 3AB 3(A E)1A 3[A(E A 1)]1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060000660300101001000016123 设P 1AP 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ2001求A 11解 由P 1AP得A P P 1所以A 11 A=P 11P 1.|P|3 ⎪⎭⎫⎝⎛-=1141*P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P而 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273124 设AP P 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511 求(A)A 8(5E 6A A 2) 解 ()8(5E 62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A)P ()P 1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111111425 设矩阵A 、B 及A B 都可逆 证明A 1B 1也可逆 并求其逆阵证明 因为 A 1(A B)B 1B1A1A1B1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积 所以A 1(A B)B 1可逆 即A1B 1可逆(A1B 1)1[A 1(A B)B 1]1B(A B)1A26 计算⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521 27 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A 验证|||||||| D C B A D C B A ≠解41001200210100101002000021010010110100101==--=--=D C B A而01111|||||||| ==D C B A故 |||||||| D C B A D C B A ≠28 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A 求|A 8|及A 4解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A 1682818281810||||||||||===A A A A A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A29 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆 求 (1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-43211C C C C O B A O 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111(2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-43211D D D D B C O A 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A30 求下列矩阵的逆阵(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B 则⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=--8532253811B于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4121031200210001解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1.把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ,求A 。

线性代数课后练习参考答案(初稿)

线性代数课后练习参考答案(初稿)

线性代数课后习题参考答案(初稿)习题一1. 用行列式定义计算下列各题(1)4245322635-=-⨯-⨯=-(2)12130111110101(1)(1)21011110++=-+-=(3)1312001002020030(1)3002(1)243000040040004++=-=⨯-=- (4)11121310000230234645(1)4562(1)3(1)4045681089891078910+++=-=⨯-+⨯-= 2. 利用行列式的性质计算下列各题(1)214121413121506201232123250625062-== (2)28512851105131025319061906512511310805120512121100107609712--------==---=----=----------(3)111111111abac aebcebdcdde adf b c e adfbce bfcfef b c e ----=-=----111024020adfbce adfbce -== (4)3300011()()01000a b b b a b b b ab a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b a b a b a -==--=-------- (5)x a a aa x aa a ax a a a ax =(1)(1)(1)(1)x n a a aax n a x a ax n a a x a x n a a ax+-+-+-+- =[(1)]x n a+-1111a aa x a a a x a a ax=[(1)]x na +-1001001001x ax a x a---[(1)]x n a =+-1()n x a --(6)22222222222222222222(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++(7)12311000011231110001223110200(1)!1232110020123111001n n n n n n n n n n n n n nn -+-+-==--+----+-(8)0121111110001012111112002131111122012301230123241n n n n n n n n n n n n n --------==-----------------12(1)2(1)n n n --=--3. 证明下列各题(1)111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++111111111111112222222222222233333333333333a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a ++=+++=+++ 1112223332a b c a b c a b c = (2)00()()()()00x y z x z yx y z y z x z x y x y z y z x z y x =-+++-+-+-(证明略)(3)11111111111111111110111111111110111111111110111x x x x x y y y y y y+---=++++--- 21000111111111001111110111001111110111000x x x x y xy x y y y y y y y-⎛-⎫- ⎪=++=++++ ⎪ ⎪---⎝⎭- 222222210011001100y xy x y x xy xy x y x y y y ⎛⎫+ ⎪=+-=-+= ⎪- ⎪-⎝⎭(4)设01211000100010n n n a a x D a x a x----=-, 则按最后一行展开,可得01113210001101(1)0011n n n n n a a x xD a x a x x a x+-------=-+--211122122()n n n n n n n n a xD a x a xD a xa x D --------=+=++=++. 332123223321123210n n n n n n n n n n n a xa a x a xx D a xa a x a x a x a x -----------==+++++=++++++4. 解法参考例 1.11.5. 问齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ 有非零解时,必须满足什么条件? 解:齐次线性方程组有非零解,当且仅当1242310111λλλ---=-. 又124111111231231012111112403(1)(3)λλλλλλλλλλλλ-----=--=--------+-(2)(3)0,λλλ=---=解得,0,λ=或2λ=,或3λ=.所以,当0,λ=或2λ=,或3λ=,齐次线性方程组有非零解.习题二 1. 1654127,2211210712A B A B -⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2. 解:由A X B +=, 得020133.221X B A -⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 3. 解:213220583221720,0564292290T AB A A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 4. 解:(1)()31,2,32132231101⎛⎫ ⎪=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ (2)()22411,212336-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, (3)12110162134021311491231042217--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4) 131********78113413120510402⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭5. 解: (1) 错误,令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有AB BA ≠;(2)错误,令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有222()2.A B A AB B +≠++(3) 错误,令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可得22()().A B A B A B +-≠- (4) 错误, 设00,10A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有20A =,但0.A ≠(5)错误, 设10,00A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有2A A =,但.A I ≠6. 解:2221010(),0101AB A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭7. 证明: 因为A 为对称矩阵,所以T A A =. 故(),T T T T T B AB B A B B AB ==因此,T B AB 是对称矩阵.8. 证明: 因为(),(),T T T T T T A A A A AA AA == 所以,T T A A AA 是对称矩阵.9. 解: 由32,A X B -=得43/211(3)15/2127/211/25/2X B A -⎛⎫ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎝⎭. 10. 2cos 2sin 2,sin 2cos 2A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭对n 作数学归纳法. 当2n =时,22222cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin A θθθθθθθθθθθθ-⎛⎫--⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 结论成立. 假设, 当n k =时, 结论成立, 即cos sin sin cos k k k A k k θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 下证1n k =+结论成也立. 由归纳假设可得,1k A+=cos sin cos sin sin cos sin cos k k k A A k k θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫=⎪+-⎝⎭cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k θθθθ+-+⎛⎫=⎪++⎝⎭因此,由归纳法可得cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 11. (1)解: 由初等行变换可得,11103111031110311007221240012200122001043314500244000390001311118002150000000000A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)解: 由初等行变换可得,111111107125016016234000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭12. 解法见第38页 例2.14. 13. (1)解:22222311111111111011111110111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭, 当2λ=-时, 方程组无解, 当1λ=时,方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 12,k k 为任意常数, 当1λ≠, 且2λ≠-时,方程组有唯一解,221211(1)(1),,222x x x λλλλλλλ+++=-=-+=-+++(2)解:322111************213221λλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 112111210111011101(2)(1)2(1)00(1)(3)1λλλλλλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-+--→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭当1λ=时,方程组无解,方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 12,k k 为任意常数,当3λ=时,方程组无解,当3λ≠且1λ≠时,方程组有唯一解,123411,,.33x x x λλλ-=-==-- 14. 解: 通过初等变换,可得A 的标准型矩阵为,17100010101002800105100015⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭15. 解析:通过初等行变换可将矩阵()A I 化为()()A I I B →,则1A B -= 例如(1)通过初等行变换,121012101052250101210121-⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故 112522521--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭相类似的方法可求的其余矩阵的逆矩阵,答案见教材第177页. 16. 解: 原线性方程组可写成123123122103430x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此,11231123132210234301x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.(1) 由原矩阵方程可得121122111321182431511133X --⎛⎫-⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭⎝⎭, (2) 由原矩阵方程可得1111143120112011104X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)由原矩阵方程可得11010143100210100201001134001120010102X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18证明: 因为21()()k k I A I A A A I A I +-++++=-=, 所以12()()k I A I A A A --=++++19. 解: 由220A A I --=, 得()2A I AI -=,3(2)4A IA I I -+=-, 因此,1(),2A I A --=13(2)4A IA I --+=- 20. 证明: 由220A AB B ++=, 且B 可逆得,22[()],()A A B B E B A A B E ---+=-+=,因此,,A A B +可逆,且1212(),().A A B B A B B ----=-++=-21. 令11123,01121001B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,则111311044,0111100122B C --⎛⎫-⎛⎫- ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭, 因此1111130004411000002200001100001101B B A A A ----⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 22. 证明: 若,B C 可逆,则有11000B C I CB --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以A 可逆,且1110.0C A B---⎛⎫= ⎪⎝⎭ 反之,若A 可逆, 设其逆为XY Z V ⎛⎫⎪⎝⎭, 则, 000B X Y I o C Z V I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因此,,BZ I CY I ==, 因此,B C 可逆.23. 证明:用反证法. 假设A 是奇异矩阵,则由2A A =, 得211A A AA --=, 即A E =, 这与已知条件矛盾,所以A 是非奇异矩阵.习题三 1. (3,8,7)T β=2. 解: 设11223344,x x x x βαααα=+++ 即12341111121111,1111111111x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解得, 12345111,,,4444x x x x ===-=-, 因此12345111.4444βαααα=+--3. 解: 由3(),αβαβ-=+ 得117(1,,2,)222T αα=-=---. 4. 类似第2题的解法,可得1234243.βαααα=+-+ 5. (1) 解: 设1122330,x x x ααα++= 即1231111260133x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 上面方程组只有零解,所以123,,ααα线性无关. (2) 因为111111111141406120612117024000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以秩(A)=2, 故123,,ααα线性相关. 6. 用反证法容易证明结论成立.7. 证明: (1) 设11220,m m x x x βββ+++= 则有11220,m m x x x ααα+++= 又因为12,,,m ααα线性无关, 所以120,m x x x ==== 因此12,,,,mβββ线性无关.(2) 若12,,,,m βββ线性相关, 则存在不全为零的数12,,,,m x x x 使得11220,m m x x x βββ+++= 因此11220,m m x x x ααα+++= 故而12,,,m ααα线性相关.8. 证明: ()⇒设112223331()()()0,k k k αααααα+++++= 整理得,131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=,因为123,,ααα线性无关, 所以131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 又因为1011100011≠, 所以上面方程组只有零解, 故122331,,αααααα+++线性无关.()⇐ 设1122330,k k k ααα++= 整理得,123121232312331111()()()()()()0,222k k k k k k k k k αααααα+-++-++++-++= 又因为122331,,αααααα+++线性无关, 所以123123123(000k k k k k k k k k +-=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 解得上面方程组只有零解, 因此,123,,ααα线性无关. 证明: 9.(⇒)设1mi i i k αα==∑, 和10.mi i i l α==∑ 则,111()mmmi i i i i i i i i i k l k l αααα====+=+∑∑∑,又α的表达式唯一,因此,i i i k l k += 即0,i l = 故,12,,,m ααα 线性无关.(⇐)设11m m i i i i i i k l ααα====∑∑, 则1()0mi i i i k l α=-=∑,因为12,,,m ααα 线性无关,所以,,i i k l =故α的表达式唯一.10. 证明:因为12,,,m ααα 线性相关, 则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得,10.mi i i k α==∑若有某个0i k =, 不妨设10k =,则有20,mi i i k α==∑ 又任一1m -向量都线性无关,因此230m k k k ====, 这与12,,,m k k k 不全为零矛盾,因此12,,,m k k k 全不为零, 命题得证. 11. 答案见教材178页. 12. 解: (1) 因为13213213221307107132076005A c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以, 当50,c -+≠ 即5c ≠时,123,,ααα线性无关.(2 ) 当5c =时,123,,ααα线性相关, 且312111.77ααα=+ 13. 解: (1)因为234411231123112311232344050100501032613261050100000102110210120000A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此,向量组1234,,,αααα的秩为2, 12,αα是一个极大线性无关组, 且314122,2.ααααα==-+用类似的方法可求(2), (3), 答案见教材.14. (1) 因为120131(,)1224αα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 有一个二阶子式01331=--,所以秩(12,αα)=2, 即12,αα线性无关.(2) 容易计算124,,ααα线性无关. 15. 答案见教材.16. (1)任取()()12121,,,,,,,,,n n x x x y y y V k R ∈∈则有11220n n x y x y x y ++++++=,120n kx kx kx +++=所以()()()121211221,,,,,,,,,n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∈,12121(,,,)(,,,)n n k x x x kx kx kx V =∈,因此,1V 是线性空间.(2) 任取()()12122,,,,,,,n n x x x y y y V ∈,则有11222n n x y x y x y ++++++=,因此, ()()()121211222,,,,,,,,,.n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∉ 因此,2V 不是线性空间. 17. 证明: 因为111111101101211110011==-=--,所以123,,ααα线性无关, 即秩(123,,ααα)=3,故123,,ααα生成的子空间就是R .18. 因为 12311160,032-=-≠ 所以,秩(123,,ααα)=3,故123,,ααα是R 的一组基.令1112233k k k βααα=++, 即123(5,0,7)(1,1,0)(2,1,3)(3,1,2).k k k =-++ 因此123123232350327k k k k k k k k ++=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩, 解得,1232,3,1,k k k ===- 所以112323βααα=+-.19. 方法见例3.17. 20. 见教材答案21. 证明: 因为A 是正交阵, 所以21,1T A A A -==.又*,A A A E = 即*1A A A -=.因此,2**()T A A A E E ==, 故*A 是正交阵. 习题四 1. 解(1)1251251251320170171490214000378017000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪---⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以,原方程组与下面方程组同解,1232325070x x x x x ++=⎧⎨-=⎩选取3x 作为自由未知量, 解得基础解系为1971-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因此, 方程组的解为1971k -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2)313411311131159815980467113131340000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 选取选取34,x x 作为自由未知量, 解得基础解系为3/23/43/27/4,1001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的同解为123/23/43/27/41001k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)见教材答案 (4)见教材答案2. (1) 对增广矩阵做行初等变换得1121011210(,)211210*********/200031/2A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解得特解为5/6101/6⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 对应的齐次线性方程组的基础解系为3510-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因此方程组的同解为5/6101/6⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭+3510k -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2) 答案见教材 3. (略)4. 证明: 令i e 为n 阶单位矩阵的第i 列,即(0,0,,1,0,,0)Ti ie =, 则有0,1,2,,i Ae i n ==,因此12(,,,)0,n A e e e AI == 故0A =。

2015年数学二线代大题

2015年数学二线代大题

2015年数学二线代大题1. 计算题(1)已知正整数 $a$ 和 $b$ 满足$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{5}{18}$,求 $a+b$ 的值。

解:两边同乘 $18ab$,得 $18b+18a=5ab$。

移项整理可得 $ab-18a-18b=0$。

根据韦达定理,$a,b$ 是 $x^2-18x$ 的两个根,所以 $a+b=18$。

答案:$a+b=18$。

(2)已知函数 $f(x)=\log_2\left(\dfrac{2^x+1}{2^x-1}\right)$,求$f(2015)$。

解:$$\begin{aligned}f(x)&=\log_2\left(\dfrac{2^x+1}{2^x-1}\right)=\log_2\left(\dfrac{(2^x-1)+2}{(2^x-1)-1}\right)\\&=\log_2\left(1+\dfrac{2}{2^x-1}\right)=\log_2\left(1+\dfrac{1}{2^{x-1}-\frac{1}{2}}\right)\\&=\log_2\left(\dfrac{2^{x-1}+\frac{1}{2}}{2^{x-1}-\frac{1}{2}}\right)=\log_2\left(\dfrac{(2^{x-1}+\frac{1}{2})^2}{(2^{x-1}-\frac{1}{2})(2^{x-1}+\frac{1}{2})}\right)\\&=\log_2\left(\dfrac{2^{2x-2}+2^{x-1}+\frac{1}{4}}{2^{2x-2}-\frac{1}{4}}\right)=2-\log_2\left(2^{2x-2}-\frac{1}{4}\right)\end{aligned}$$因为 $2014=2^1+2^2+\cdots+2^{10}$,所以$2^{2014}=2^{2^1}\times2^{2^2}\times\cdots\times2^{2^{10}}$。

2015-2016-1线性代数 B卷参考答案

2015-2016-1线性代数 B卷参考答案

拟题学院(系): 数理学院适用专业: 全校 2015-2016学年 1 学期 线性代数(必修)B 卷 试题标准答案(答案要注明各个要点的评分标准)一、填空题(每小题3分,共15分)1. -2M2.11B A --3.111,,336- 4. 0 5. 2k >二、选择题(每小题3分,共15分)1. C2. D3. A4. B5. B三、计算题(每小题10分,共20分)1.解:888811111511151181151115111151115==原式——————————————————————5分11110400851200400004==2. 解:()22AX B X A E X B =+⇒-=1112012,002A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ————————————3分()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭———————————— 8分所以111100101X --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

—————————————————————— 10分四、计算题(第1题10分,第2题15分,第3题15分,共40分)拟 题 人: 周红燕书写标准答案人: 周红燕1.解:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=00000100000120011221~10000500000120011221~13600512000240011221~46063332422084211221),(b A ————————————8分3)(,2)(==B R A R 因此 ——————————————————10分2. 解:111111101152321130012263(,)01226300000054331200000B A b ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭————8分基础解系为123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,特解为23000η-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,—————————————13分通解为112233x k k k ξξξη=+++。

2015版 线性代数 第一章 行列式 答案

2015版 线性代数 第一章 行列式 答案

第一章 行列式第一节 数域与排列 第二节 行列式定义一、填空1.(1)0;(2)5;(3)(1)2n n -;(4)(1)2n n -;(5)(1)n n - 3.11233442a a a a 和14233142a a a a -; (由n 阶行列式的定义) 4. 正 (6(1)-,注意将行标写为标准次序);5. 1(1)n --;6. 2,1i j ==(将行标写为标准次序列标排列的逆序数应为奇数);7. 2- (只有主对角线上的元素相乘为3x ); 8.(1)2n n -; 9. 0; (提示:一元n 次方程n 个根之和为1n -次项的系数,本题1n -次项为2x ,其系数为0,也即0a b c ++=,利用行列式的性质可得结果为0,超纲题);10. (1)2n n t -- 二、1. 0 (直接利用对角线法则,也可用性质计算);2. abcd - (按n 阶行列式的定义,只有一项不为0,乘积abcd 的列标排列为1324,逆序数为奇数,故为 abcd -)。

第三节 行列式的性质 第四节 行列式按行(列)展开一、1. A (B,C,D 为充分条件); 2 . C (由教材P23定理1.4.1可得); 3. C ;4. A (2122232411110********cc c c A A A A +++==) 二、1、0(各列都加到第一列则第一列元素全为0) ;2、(1)na -⋅;(1111det()nij n nn a a a a a =,而1111det()nij n nna a a a a ---=--,每行提公因子1-);3、0(由n 阶行列式的定义);4、15(1212222232324242(1)(5)23071415D a A a A a A a A =+++=-⨯-+⨯+⨯+⨯=);5、m n -, (11121311131311111211122122232123232121222122a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+=-+);6. 85,(12121(1)045x A +=-=,可解得45x =)。

2014-2015第二学期线性代数试卷A 答案

2014-2015第二学期线性代数试卷A 答案

东莞理工学院(本科)试卷( A 卷参考答案)2014 --2015学年第二学期《 线性代数 》试卷开课单位: 计算机学院数学教研室 ,考试形式:闭卷,允许带 入场每题或每空3分,共36分)、设n 元线性方程组Ax b =,其中()(,)R A R A b n ==,则该方程组( B )A .有无穷多解B .有唯一解C .无解D .不确定、设P 为正交矩阵,则P 的列向量( C ) .可能不正交 B. 有非单位向量 C. 组成单位正交向量组 C. 必含零向量 、设A 是m n ⨯型矩阵,B 是s m ⨯型矩阵,则TTA B 是( B )型矩阵 A .m s ⨯ B .n s ⨯ C .m n ⨯ D .s n ⨯ 、如果A 、B 均为n 阶方阵,则下列命题正确的是( D )若0=A ,则必有0A = B.若AX BX =,则A B =( X 也是n 阶方阵)C. 若0AB =,则0A =或0B =D.2B -2(E+B )(E-B)=E (E 为n 阶单位阵) 、已知α=T(1,-1,-1,1),则α=2 ,其单位化向量是()11,1,1,12T-- 、设12,ξξ是线性方程组Ax b =的两个解,则12ξξ-是线性方程组__0Ax =__的解,12ξξ-是线性方程组Ax b =的解.7、12a b A c d λλ⎛⎫=⎪⎝⎭,,是A 的两个特征值,则12λλ+=a d +8、已知二次型()12,3121323,226f x x x x x x x x x =+-,则二次型的矩阵011103130A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭9、 矩阵A 与B 相似, 111021003B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A = 610、矩阵11t A t ⎛⎫=⎪⎝⎭,正定时,t 就满足的条件是 0t > 二、解答题(共37分)1、(10分)设A 为5阶方阵,且3A =,求1A -;A *解:30A =≠ ,A ∴可逆, (1)111,1A A E A A A A E ---=∴=== 又 (2)1113A A--∴== (1)111,A A A A A A-**-=∴= 又 …………….2 511A A A A A -*-== (3)=4A =81 (1)2、(8分)已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102111A ,,201112⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B求(1)2;(2).T A B A B -解:(1).5003332⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-B A (4)(2) 1241321110211.10211113T A B --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ (4)3、(7分)设,100210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求.1-A解:构造矩阵()=E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100100010210001321 (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→100100010210021101 ……………………2 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→100100210010121001 ……………………2 所以,.1002101211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-A ………………………….1 4、(6分)已知矩阵52002100,0012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭求.A解:将矩阵化为分块矩阵12,A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭ (1)则12.A A A =⋅ (2)52121332111-=⋅=⨯= (3)5、(6分)判定向量组()()()1231,0,1,0,1,1,1,0,1T T T ααα===-的线性相关性解:3132101101101010010010111012002A γγγγ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (3)即: ()3n R A == ,则矩阵A 有唯一的0解 .................2 所以向量组是线性无关的 . (1)三、应用题(共27分)1、(12分)求非齐次线性方程组1234123412342142 2221x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩的通解解:对曾广矩阵施行初等行变换,则有:3121123222211112111121101422120001000010,211110002000000A γγγγγγγγ--+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 22110100010,0000γ--⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ ………………………4 可见:()()24R A R A ==<, 故此线性方程组有无穷多解, (2)基础解系中有4-2=2个解, (2)与之同解的方程组是123421x x x x +-=⎧⎨=⎩选取1,3x x 为自由变量,并令1,13212,,x c x c c c R ==∈,则方程组的通解是11213334120x x x x x x x x =⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 向量形式为:121234010121001000x x c c x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4)2、(15分)设二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=,求一个正交变换化此二次型为标准型,并写出标准型.解:二次型的矩阵,320230002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A (1)特征多项式:).5)(2)(1(3223002----=---=-λλλλλλλE A特征值.5,2,1321===λλλ (3)当11=λ时,解0)(=-x E A ,,000110001220220001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1101ξ . (2)当21=λ时,解0)2(=-x E A , ,1000100001202100002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012ξ . (2)当53=λ时,解0)5(=-x E A , ,0001100012202200035⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1103ξ . (2)将上述三个两两正交的特征向量321,,ξξξ单位化,得 ,21210,001,21210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p p p (1)则在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212102121021010y y y x x x (2)二次型的标准形为23222152y y y f ++=. (2)。

2015-16线代A卷答案

2015-16线代A卷答案

一个极大无关组,故所求向量组的秩为 3,且 α1, α2, α3 为它的一个极大无关组.
10 分
4 0 0
20.(本题
10
分)设实对称矩阵
A
0 0
3 1
1 3
,求正交矩阵
P,使 P1AP
.
4 0 0 解 | A E | 0 3 1 (4 )(2 6 8) (2 )(4 )2 0 ,
对于
2
3
4 ,由
(A 2E)x
0
,即
0
1
1
x2
0
,解得基础解系为
0 1 1 x3 0
(1, 0, 0)T , (0,1,1)T ,因为该基础解系中的两个向量恰好正交,只要单位化即得两个正交的单
位特征向量: p2 (1, 0, 0)T , p3 (0,
1, 2
1 )T . 2
0
1
于是可得正交矩阵
3
2
1
2
3
1
1 1 ,2 0 ,3 0 .
6分
0
1
0
0
0
1
1

x3 x4 x5
0 0
,
0
得非齐次方程组的一个特解 0
2
0
0 0
,于是,所求方程
组的通解为 x 0 k11 k22 k33 , (k1, k2, k3 为任意实数).
1 0
0
1 0 -2
-1 5 4
1 0 -1
0 5
2
1 0
0
1 0 0
-1 1 7
1 0 0
0 1
7
1 3 2 2 5 0 2 3 1 5 0 2 3 1 5

线性代数习题2015及参考答案

线性代数习题2015及参考答案

线性代数练习题(答案)一、填空题:1. 五阶行列式中,项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为 负 。

2. 行列式某两行(列)元对应成比例,则行列式的值 0 。

3. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=162131A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则AB 等于 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--42146 . 4. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322013,且秩(A)=2,则t = 6 .5. 已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1A c bE aA )(+6.4阶行列式4713482475010532--中(3,2)元素的代数余子式A 32是 -223 . 7.向量组(Ⅰ)α1 , α 2 ,…, αr 与向量组(Ⅱ)β1,β2,…, βs 等价,且组(Ⅰ)线性无关,则r 与s 的大小关系为 s r ≤ .8. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500030201,A *为A 的伴随矩阵,则| A *|= 225 .9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是 13 .10.四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =是 24 项的代数和,其中含11a 的项共 6项。

11. 任意一个数域都包含 有理 数域.12. 设λ1, λ 2 ,…, λn 是矩阵A 的n 个特征值,则λ1 λ2…λn= | A| 。

13. 设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,那么矩阵A 的列向量组的秩为 2 .14.设向量α=(1,2,3,4),则α的单位化向量为 30)4,3,2,1( .15.设A ,B 均为三阶方阵,且|A |= -3,|B |=6,则|AB |= 18 . 16. 设)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ是3F 的一个基,则3F 的自然基321,,εεε到321,,βββ的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011110101 .16. 在欧氏空间4R 中,()1,0,0,1=α,()0,1,0,1=β,则α与β的夹角等于3π. 17.已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=710321A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则A-2B 等于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12163209 . 18. 与矩阵101032120-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭A 对应的二次型是x x x x x x x x x f 32312221321423),,(-++-= .19. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 4x x x x 4x 3x 2x +--+-的对称矩阵为___⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322220201_____ . 20. 若二次型f(x 1,x 2,x 3, x 4)的正惯性指数为3,符号差为2,则f(x 1,x 2,x 3 ,x 4)的规范型为yy y y 24232221-++二、单项选择题:1. 设2阶方阵A 可逆,且A=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173,则A -1=( A )。

线性代数(含全部课后题详细答案)1第一章一元多项式习题及解答.docx

线性代数(含全部课后题详细答案)1第一章一元多项式习题及解答.docx

A 组1.判别Q (厉)二{0 +勿亦|0,处0}是否为数域?解是.2.设/(x) = x3 4-x2 4-x+l, g(兀)=兀2+3兀+ 2,求 /(兀)+ g(x),/(x)-g(x), f(x)g(x). 解/(x) + g (x) = x3 4- 2x2 + 4x + 3 ,/(兀)-g(x)"-2x-l,f(x)g(x) = x5 +4x4 +6兀'+6兀$ +5x + 2 .3.设/(%) = (5x-4),993(4x2 -2x-l),994 (8x3 -1 lx+2)'995,求 /(%)的展开式中各项系数的和.解由于/(兀)的各项系数的和等于/⑴,所以/(I) = (5-4严3(4-2- 1尸94(8-11 + 2)1995 =-1.4.求g(兀)除以/(兀)的商q(x)与余式心).(1)f (x) —— 3%2— x — 1, g(兀)=3F - 2兀+1 ;(2)/(x) = x4 -2x4-5, g(x) = x2 -x + 2 .解(1)用多项式除法得到x 73x~ — 2x +13_93X + 3—x —x-i3 37 ° 14 7-- 无_+ —x --3 9 926 2-- X ---9 9所以'恥)十岭心)W(2)用多项式除法得到x4— 2x + 5兀4 —”丫" + 2 兀2— 2x~ — 2 兀+5 jy?—兀~ + 2 兀-x2-4x4-5-兀? + X - 2—5x + 7所以,q(x) = x2 +x-l, r(x) = -5x + 7 .5.设是两个不相等的常数,证明多项式/(兀)除以(x-a)(x-b)所得余式为af(b)_bg)a-b a-h证明依题意可设/(x) = (x - a)(x - b)q(x) + cx+d,则”(a) = ca + d,[f(b) = cb + d.解得F=(/a) --,\d = (af(b)-bf(a))/(a-b).故所得余式为a-b a-b6.问m,p,q适合什么条件时,/(兀)能被g(x)整除?(1) /(x) = x3 + px + q , g(x) = x2 + nvc-1;(2) f(x) = x4 + px2 +q , g(兀)=x2 + mx+l.解(1)由整除的定义知,要求余式r(x) = 0 .所以先做多项式除法,3x2 + mx -1x-in“+ “X + q3 2x + mx^ - x-mx1 +(〃 + l)x + g2 2一 mx_ — m^x + m°(# +1 + 加〜)兀 + (g —m)要求厂(x) = (/? + l +加2)兀+ (§ —加)=0 ,所以(“ + 1 +加2) = 0, q-m = 0.即p = -l-m2, q - m时, 可以整除.(2)方法同上.先做多项式除法,所得余式为厂(兀)=加(2 — ”一nr )兀+ (1 + @ —卩一加〜),所以 m (2-p-/772) = 0, 1 + ^ - p - m 2= 0 ,即 m = 0, p = q + \ 或“二 2— 加[q = l 时,可以整除.7. 求/(兀)与gCr )的最大公因式:(1) f (x) — x 4 + — 3%2 — 4x — 1, g (x)=兀彳 + — x — 1 ; (2) f(x) = x 4— 4x 3+ 1, g(x) = x 3— 3x 2+1 ;(3) /(x) = x 4 -10x 2 +1, g(x) = x 4 -4A /2X 3 +6X 2 +4A /2X +1 .解(1)用辗转相除法得到用等式写出來,就是所以(/(x),g(x)) = x + l ・(2)同样地,<8 4 / 3 3= -X + — — -X-—(3 344-2x 2-3x-l1 1 --- X 4——2 -- 4 X 3+ X 2- X - 1 x 4 + x 3- 3x 2- 4x- 11 2 3 , -2x 2 — 3兀—12 21 2 3 1 -- X ----- X ---—2兀~ — 2兀2 4 433-- X ----X -144一丄 184—X H - 3 3 0心宀丄兀2 24 3 2牙+牙-X - Xf(x) = xg(x)^(-2x 2-3x-l),g(x) =所以(/⑴,g (兀)) = 1.⑶ 同样用辗转相除法,可得(/(x),g(x)) = F —2血兀一1.8.求 w(x),仄兀)使 w(x) f\x) + v(x)g(ji) = (/(x), g(%)):(1) f (x) = %4 4- 2x^ — %2 — 4x — 2, (x) = %4 + x — x~ — 2x — 2 : (2) /(x) = 4x 4-2x 3-16x 2+5x4-9, g(x) = 2兀3-x 2-5x+4:(3) /(x) = x A-x 3-4x 2 +4x + l, g (兀)=x 2 -x-l.解(1)利用辗转相除法,可以得到/(x) = g (A :) + (x 3-2x)'g (兀)=(x+l)(x 3 - 2x) + (x 2 -2),x — 2兀=x(^x~ — 2).因而,(/(x),g(x)) = x 2-2,并且(/(兀),g (兀))=/ 一 2 = g (兀)_ (兀+1)(疋 _ 2兀) =g (兀)一(X +1) (f(x) -g (兀))=(一兀 一 1)/(兀)+ (兀+2)g(x),所以 u(x) = -x-\, v(x) = x + 21 10 -- X H --- 3 9x 3 - 3x 2x-13 1 2 2X H —X X 3 3 10 2 2~~'- ---- X H 兀+ 13 -- 3 10 ° 10 20 X --- 兀 3 9 916~~1T —X ------ 9 927 441 --------- X ---------------16 256-3x 2+—x1649一一539 兀+ --- 27 256(2)利用辗转相除法,可以得到/(x) = 2xg(x)-(6x 2 +3兀-9),(\ 1Ag(x) = —(6x_ + 3兀一9) ——% + — — (% — 1), —(6x - + 3x — 9) = —(x —1)(6% + 9).因而,(/⑴,g(Q) = x-1,并且(1 1 …厶— —X + _ f (x) + _兀_—x~\ I 3 3丿 (3 3丿] 1 2 7 2fi/f 以 W (X )= X H —, V (X )= — --- X — \ •3 3 3 3(3) 利用辗转相除法,可以得到fM = X —3)g(x) + (x — 2),g(x) = (x+l)(x-2) + l ・因而( f(x), g(x)) = 1 ,并且(/(兀),g(x)) = 1 = g(x) - (x+1)(兀一 2)=g (兀)-(兀+1)(/(兀)-(x 2 一3)gCr))—(—兀―1) f (x) + (兀'+ 兀2 — 3兀—2)g(x),所以u (兀)= -x-l, v(x) = x 3 +x 2 -3x-2.9.设/(x) = %3+ (14-t)x 2+ 2x + 2w, g(x)二F+zx + u 的最大公因式是一个二次多项式,求/,凤的值.解利用辗转相除法,可以得到/(%) = g(x) + (l + /)兀2 +(2-/)兀 + « ,(/(x), g(x)) = x-l = -(6x 2+ 3x-9)+ | _g(x)I d J J(I ] \= (/(x)-2xg(x)) --x+- -g(x)\ 3丿 <2 o 2 d ,、 U 3 广—---- 兀+ (1 + r t-2(l +r)2(尸 + r—w)(i+r) + (t— 2)~u[(l + t)2 — (r —2)]由题意,/(x)与g(Q的最大公因式是一个二次多项式,所以(广 + / —w)(l + /) + (f— 2)~(T H?皿(l + r)2-(r-2)] A ;=0,(l + O2解得u = o^t = -4.10.设(x —I)[(A/+ B F+I),求A和B.由题意要求知解用(兀一1)2 去除f\x) = Ar4 + Bx2 +1 ,得余式”(x) = (4A + 2B)兀+1 -3人一B,斤(兀)=0,即4A + 2B = 0,1-3A-B = O,解得A = l,B = -2.11.证明:如果(/(x),g(x)) = l, (/(x),/z(x)) = l,那么(/(x), g(x)/z(x)) = l. 证明由条件可知,存在络(兀)和片⑴ 使得旳(兀)/(兀)+岭⑴g(x) = l,存在如(兀)和卩2(兀)使得u2(x)f(x) + v2(x)h(x) = 1.用/?(兀)乘以第一式得坷(x)f(x)h(x) + V, (x)g(x)h(x) = h(x),代入第二式得u2(x)f(x) + v2 (x) [u t (x)f(x)h(x) 4-Vj (x)g(x)/z(x)] = 1, 即[w2(兀)+ u\ (x)v2(x)h(x)]f(x) + [v, (x)v2(x)]g(x)h(x) = 1,所以(/(x),g(x)/z(x)) = l.12.证明:如果/(x)与g(x)不全为零,且/心)/(兀)+ 咻)g(兀)=(/(%), g(Q),证明由于w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x),g(x)), /(X )与 g(x)不全为零,所以(/(x),g(x))HO.两 边同时除以(/(Hg(Q)HO,有所以(弘(兀),咻)) = 1 .13.证明:如果〃(兀)|/(兀),〃(兀)|g(x),且〃(兀)为/(兀)与g(x)的一个组合,那么〃(兀)是/G)与 g(x)的一个最大公因式.证明由题意知d(x)是/(X )与g(x)的公因式.再由条件设d(x) = w(x)/(x) + v(x)^(x) •又设h(x) 为/(x)与g(x)的任一公因式,即/z(x)|/(x), h(x)\g(x),则由上式有h(x)\d(x).故而”(兀)是/(兀)与 g(x)的一个最大公因式.14.证明:(.fO)/2(X ), gO)/2(X )) = (.f(X ), g(x))〃(x),其中力(兀)的首项系数为 1.证明显然(/(x), g(x))/?(x)是f{x)h{x)与g(x)h(x)的一个公因式.下面來证明它是最大公因式. 设 /心),v(x)满足 w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x), g(X>),贝iJu(x)f(x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = (/(x),g(x))/z(x).由上题结果知,(/(兀),g(X ))/7(X )是/(X )/?(X )与g(JC”7(X )的一个最大公因式,又首项系数为1,所以(/(x)A(x), ^(%)/?(%)) = (/(x), ^(x))/i(x)・/⑴ g (兀)、(/(兀),g (兀))’(f(x),g(x))丿证明设〃(兀)=(/(兀),g(x)),则存在多项式M (x), v(x),使d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)・因为/(X )与g (尢)不全为零,所以d(x)HO.上式两边同时除以〃(兀),有故 /(兀) _____________ g (x)l (/(x),g(x))‘(/(x),g(x))‘u(x) /(X ) (/(%), g(x)) + v(x) g(x) (y (x ),^(x ))15.设多项式/(x)与gS)不全为零,证明1 = u(x)/(兀)(/(兀),g(x))+咻)g(x) (/(兀),g(x))=1成立.16. 分别在复数域、实数域和有理数域上分解兀4+ 1为不可约因式之积.在有理数域上兀°+1是不可约多项式.否则,若+ +1可约,有以下两种可能.(1) 兀4+1有一次因式,从而它有有理根,但/(±1)工0,所以卍+1无有理根.(2) x 4+ 1 无一次因式,设x 4+1 = (x 2+处 +方)(F +cx + d),其中 a,b y c,cl 为整数.于是a + c = O, b+ 〃 + ac = O, cut + be = 0 , bd = \,又分两种情况:① b = d = \,又 a = —c,从而由 b + 〃 + ac = O,得 a 2=2,矛盾; ② b = d = — \,则 a 2= —2 ,矛盾.综合以上情况,即证.17. 求下列多项式的有理根: (1) /(x) = x 3-6x 2+15兀一 14 ;(2) ^(X ) = 4X 4-7X 2-5X -1;(3) /z(x) = x 5+ %4— 6x^ — 14x~ — 1 lx — 3 ・解(1)由于/(x)是首项系数为1的整系数多项式,所以有理根必为整数根,且为-14的因数.-14的 因数有:±1, ±2, ±7, ±14,计算得到:/(D = -4, /(-1) = -36, /(2) = 0, /(-2) = -72,/(7) = 140, /(-7) = -756, /(14) = 1764, /(一 14) = —4144,故x = 2是/(兀)的有理根.再由多项式除法可知,x = 2是于(兀)的单根.⑵ 类似(1)的讨论可知,g(x)的可能的有理根为:故x = --是巩兀)的有理根.再由多项式除法可知,兀二-丄是/(劝的2重根.2 2⑶ 类似地,加兀)的可能的有理根为:±1,±3,计算得到解在实数域上的分解式为X4+ 1 = (X 2 + 1)2-2X 2 =(X 2+V2X + 1)(X 2-V2X +1).在复数域上的分解式为x + ----------1 2 2%4+ 1 = f亠迈亠近、X ---------- 12 2/±1, ±1 ±?计算得到g(l) = -9,g(-1) = 1, g(]、r 、171=-5, g —=0, g — 一 —‘ g —〔2< 264 ,4丿11A(l) = -28, /?(-l) = 0,(3) = 0,加一3) = -96.故x = -l, x = 3是//(兀)的有理根.再由多项式除法可知,x = -\是/z(x)的4重根,兀=3是//(兀)的单根.18.若实系数方程x34- px + q = 0有一根a + bi (a,b为实数,/?工0),则方程x3 + px-q = 0有实根2—证明设原方程有三个根不失一般性,令=a + bi,从而有a2 =a-bi,由根与系数的关系可知0 = $ + 冬 + 他=(° + 勿)+ (a - bi) + ,所以冬二-2d,即(-2a)‘ + /?(-2a) + g = 0,故(2a)' + p(2a)-q = 0.这说明x3 + /zr-g = 0有实根2a .19.证明:如果(%-i)|/(r),那么证明因为u-i)|/(z),所以/(r)= /(i)= 0.因此,令y(x)=(x-i)g(x),则有E =(*-i)g(;),即(伙-1)|/(疋).20.下列多项式在有理数域上是否可约?(1)土 (%) = F+1;(2)/;(X)= X4-8?+12X2+2;(3)人(x) = x" +『+1 ;(4)厶(无)=* + "; + 1,门为奇素数;(5)厶(兀)=兀°+4尬+ 1, A为整数.解(1) ./;(兀)的可能的有理根为:±1,而/(±1) = 2,所以它在有理数域上不可约.(2)由Eisenstein判别法,取素数p = 2,则2不能整除1,而2|(-8), 2|12, 2|2,但是2?不能整除2,所以该多项式在有理数域上不可约.(3)令x=y + l,代入厶(x) = P+x'+l有^(y) = ^(y + l) = / + 6/+15/+21/+18y24-9y4-3.取素数0 = 3,由Eisenstein判别法知,g(y)在有理数域上不可约,所以/(兀)在有理数域上不可约.(4)令兀= y_l,代入f4(x) = x p 4-px + 1,得g(y)=厶(y j) = -+ cy~2——C;-2y2 + (Cf* + p)y-p,取素数p,由Eisenstein判别法知,g(y)在有理数域上不可约,所以£(兀)在有理数域上不可约.(5)令x=y + l,代入农(兀)=兀4+4Ax+l,得g(.y)=厶(y +1) = y" + 4y‘ + 6y2 + (4k + 4)y + 4R + 2 ,収素数p = 2,由Eisenstein判别法知,g(y)在有理数域上不可约,所以点(兀)在有理数域上不可约.1•设/(X),g(X),加兀)是实数域上的多项式,(1)若/2U) = xg2(x) + x/z2(x),则/(x) = g(x) = h{x) = 0 .(2)在复数域上,上述命题是否成立?证明(1)当g(兀)=/2(兀)=0时,有严⑴=0,所以/(%) = 0 ,命题成立.如果g(x), /z(x)不全为零,不妨设g(x)H0・当h(x) = 0时,a(xg2(x) + x/i2U)) = l + 2a^(x)为奇数;当加兀)工0时,因为g(x),瓜兀)都是实系数多项式,所以Xg2(x)与兀胪(兀)都是首项系数为正实数的奇次多项式,于是也有d(xg2(x) + x/『(x))为奇数.而这时均有/2(x)^0 ,且df\x) = 2df(x)为偶数,矛盾.因此有g(兀)=力(兀) = 0,从而有f(x) = 0 .(2)在复数域上,上述命题不成立.例如,设f(x) = 0 , g(x) = x\ h(x) = ix,1,其中斤为自然数, 有/2 (x) = xg2 (x)xh2 (x),但g(x) / 0 ,力(兀)工0.2.设/(x), g(x)9 h(x)e P[x],满足(x2 4-l)h(x)4-(x-l)/(x) + (x+2)g(x) = 0,(x2 + l)/?(x) + (x+ l)/(x) + (x - 2)^(%) = 0.证明(X2+1)|(/U), g(X))・证明两式相加得到2(x2 + l)h(x) + 2x(/(x) + g(兀))=0.由(x2+l,兀)=1可知(x2 + l)|(/(x) + g(x)).两式相减得到-2f(x) + 4g(x) = 0, f(x) = 2g(x).故(x2 + l)|/(x), (x2+l)|g(x), BP(X2+1)|(/(X),g(x)).3・设gi(x)g2(x)\f{(x)f2(x),证明(1)若/(x)|g](x),/(X)H0,则g2(x)\f2(x);(2)若g2(x)|/;(x)/;(x),是否有g2(x)\f2(x)?解(1)因为gi(兀)g2(兀)庞(兀)£(兀),/O)|gi(X),故存在多项式h(x), h}(x)使得fl(x)f 2(x) = g](x)g 2(x)h(x\ g](兀)=Z (x)h }(x).于是/;(兀)£(兀)=/(兀)人(兀)g2(x)力(兀)•由于 土(兀)工0,故有 f 2(x) = h l (x)g 2(x)h(x),即g 2(x)\f 2(x).(2)否•例如取 g {(x) = x-2 , ^2(X ) = X 2-1 , (x) = (x-l)(x-2), (x) = (x + l)(x4-2).虽 然 gSx)g 2(x)\f^x)f 2(x)且 g 2(x)\f {(x)f 2(x),但 g 2(x)不能整除 f 2(x).4.当R 为何值时,/(x) = X 2 +伙+ 6)x + 4k + 2和g(x) = F+(£ + 2)x + 2R 的最大公因式是一次 的?并求出此吋的最大公因式.解 显然 g(x) = (x + £)(x+2).当(/(x),g(Q) = x + 2时'/(一2) = 4 — 2伙+ 6) + 4£ + 2 = 0‘ 则k = 3.当(于(兀),g(Q )=兀 + £ 时’/(一灯=k 2 - k(k + 6) + 4Z: + 2 = 0 ‘ 则 k = l.这时(/(x), g(x))=兀+1. 5.证明:对于任意正整数斤,都有(/(x),g(Q)"=(/"(x),g"(x))・证明 由题意可知/(%)与&(兀)不全为零.令(/(x), g(x)) = d(x),Z 、” g(x) 、d(x)丿/心)/"(兀)+ 咚)g"(兀)=d\x).又由 d(x)\f(x), d(x)|g(x),有 d n (x) f l \x), d"(x) g"(x),因此 d"(x)是厂(x)与 g"(x)的首项系数为1的最大公因式,从而有(广(x),g"(x))= 〃"(兀)=(/(x),g(x))" •6.设 / (x) = af(x) + bg(x), g[ (x) = c/(x) + dg(x),且 ad - be H 0 ,证明(/(x),g(x)) = (/](x), g](X ))・证明设(/(x), g(x)) = d(x),则 d(x)\f(x\d(x)\g(x).由于 “所以对任意正整如,有爲J 寫〕"卜 于是有u{x) +咻) 则〃(兀)工0,从而fi (兀)=妙(x) + bg(x) , g] (x) = (x) + dg (x),故d (x)| (x), d (x)|g t (x).又设h(x)\ (x), /z(x)|(x),由上式及ad-bc^O ,可得从而/?(x)|/(x), h(x)\g(x),于是h(x)\d(x),即〃(兀)也是/;(兀)和g|(x)的最大公因式,即(/(x), g(x)) = (/;(x),&(兀))・7.设 /(x) = t/(x)/(x), g(Q 二 dCr)g](x),且/O)与 gd)不全为零,证明〃(兀)是/O)与 gCO的一个最大公因式的充分必要条件是(/(劝,g|(x)) = 1.证明必要性.若〃(x)是/(兀)与g (兀)的一个最大公因式,则存在多项式w(x),v(x)使W (x)/(x) +v(x)g(x) = d(x),于是u(x)d(x)f t (x) + v(x)d(x)g l (x) = d(x).由/(力与g (兀)不全为零知如工0,因此有u(x)f l (x) + v(x)g l (x) = l f 即(土(兀),g©))i •充分性.若(f l (x),g l (x)) = l ,则存在多项式u(x),v(x),使 u(x)f l (x)+ v(x)g l (x) = l. 两边同吋乘〃(兀)有u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)・由d(x)是/(x)与g(x)的一个公因式知,d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.8.设于(兀)和g(x)是两个多项式,证明(f(x), g(x)) = l 当且仅当(f(x)-l-g(x), f(x)g(x)) = l. 证明 必要性.设(f(x)9g(x)) = l,若f(x) + g(x)与/⑴g(x)不互素,则有不可约公因式p(x), 使p(x)lf(x)g(x)f所以 p(x)| /(X )或 0(x)|g(x).不妨设 p(x)\ /(x),由 P (x)|(/(x) + g (兀))可知 p(x)|g(x),因此 P (兀)是 /(兀)和g“)的公因式,与/(%), g (x)互素矛盾,故 蚀+g (兀)与蚀g (兀)互素.充分性.设(/(兀)+ gO) J(x)g (兀)) = 1,则存在w(x), v(x)使(/(兀)+ g (兀))心)+ /(x)g(x)v(x) = 1 , f(x)u(x) + g (兀)(臥兀)+d ad-be zw- h ad 一gi (兀), g(x) -c ad -be a ad -be g](x),/(x)v(x)) = 1, 上式说明(/(兀),g(兀)) = 1.9.如果(x2 +x + l)|/j(x3) + x/^(x3),那么(x-l)|/;(x), 0 — 1)|/;(兀)・T;®所以,^3=£23 = 1.证明X2+X + l的两个根为£\= 士护和£2=因为U2+x+l)|(/;(^3) + x/;(^3)),所以(兀一£|)(x - £2)|/;(X')+/(F),故有y 窗)+ £/(郃)=0,[爪哥)+ £2£(哥)=0,即解得/(l) = /;(l) = o,从而(兀—1)|久(兀),(x-1)|/;(%).10.若f(x)\f(x H),则/(x)的根只能是零或单位根.证明因为f(x)\f(x n),故存在多项式g(x),使/(x n) = /(x)^(x).设。

线性代数(含全部课后题详细答案5-1.

线性代数(含全部课后题详细答案5-1.
当 r( A) r n 时,求得基础解系是1 ,2 , ,nr , 则 x k11 k22 knr nr 是AX 0 的解,
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr n。
4 7
4 7

0 0
0 0
0 0
0 0
0 0


x1

13 7

3 7
x3

13 7
x4


x2


4 7

2 7
x3

4 7
x4
25

13 7

令 x3 x4 0,




4 7
0
0
又原方程组对应的齐次方程组的通解是


x1 x3

2x2 3
10 x4
1 5
x4


x2 x4



1
0



1



1 0 0

1

5



x2
x4


0

1


2


0 3


10 1
2
举例说明消元法具体步骤:
例1:解线性方程组

2 4
x1 x1
2 x1
2 1 3
解:(
A,
b)


4 2

北大版线性代数答案

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北大版线性代数答案【篇一:北京大学2015年春季学期线性代数作业答案】class=txt>一、选择题(每题2分,共36分)1.(教材1.1)行列式a.13b.11c.10 (c )。

d.1( a)。

c.0d. 2.(教材1.1)行列式a.b.3.(教材1.2)行列式( b)。

a.40b.-40c.0d.14.(教材1.3)下列对行列式做的变换中,( a)会改变行列式的值。

a.将行列式的某一行乘以3b.对行列式取转置c.将行列式的某一行加到另外一行d.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行5.(教材1.3)行列式(b )。

(提示:参考教材p32例1.3.3)a.2/9b.4/9c.8/9d.0有唯一解,那么(d)。

6.(教材1.4)若线性方程组a.2/3b.1c.-2/3d.1/3【篇二:线性代数期末考试试卷+答案合集】txt>一、填空题(将正确答案填在题中横线上。

每小题2分,共10分)11. 若0?3521x?0,则??__________。

?2?1??x1?x2?x3?0?2.若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0只有零解,则?应满足。

?x?x?x?023?13.已知矩阵a,b,c?(cij)s?n,满足ac?cb,则a与b分别是阶矩阵。

?a11?4.矩阵a??a21?a?31a12??a22?的行向量组线性。

a32??25.n阶方阵a满足a?3a?e?0,则a?1?1. 若行列式d中每个元素都大于零,则d?0。

()2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

()?,am中,如果a1与am对应的分量成比例,则向量组a1,a2,?,as线性相关。

3. 向量组a1,a2,()?0?14. a???0??0100?000??,则a?1?a。

()?001?010?5. 若?为可逆矩阵a的特征值,则a?1的特征值为?。

()三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。

(精选)线性代数课后作业及参考答案

(精选)线性代数课后作业及参考答案

(精选)线性代数课后作业及参考答案《线性代数》作业及参考答案一.单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于()A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003,则A-1等于()A.130012001B.100120013C. 1 3 00 010 00 1 2D. 1 2 00 10013.设矩阵A=312101214---,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是()A. –6B. 6C. 24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有()A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于()A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则()A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中()A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是()A.η1+η2是Ax=0的一个解2η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有()A.秩(A)<n< bdsfid="226" p=""></n<>B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是()A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有()A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是()A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行(列)向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则()A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Am×n,Bm×s,Cs×m,则下列运算有意义的是()。

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北大版线性代数答案【篇一:北京大学2015年春季学期线性代数作业答案】class=txt>一、选择题(每题2分,共36分)1.(教材1.1)行列式a.13b.11c.10 (c )。

d.1( a)。

c.0d. 2.(教材1.1)行列式a.b.3.(教材1.2)行列式( b)。

a.40b.-40c.0d.14.(教材1.3)下列对行列式做的变换中,( a)会改变行列式的值。

a.将行列式的某一行乘以3b.对行列式取转置c.将行列式的某一行加到另外一行d.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行5.(教材1.3)行列式(b )。

(提示:参考教材p32例1.3.3)a.2/9b.4/9c.8/9d.0有唯一解,那么(d)。

6.(教材1.4)若线性方程组a.2/3b.1c.-2/3d.1/3【篇二:线性代数期末考试试卷+答案合集】txt>一、填空题(将正确答案填在题中横线上。

每小题2分,共10分)11. 若0?3521x?0,则??__________。

?2?1??x1?x2?x3?0?2.若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0只有零解,则?应满足。

?x?x?x?023?13.已知矩阵a,b,c?(cij)s?n,满足ac?cb,则a与b分别是阶矩阵。

?a11?4.矩阵a??a21?a?31a12??a22?的行向量组线性。

a32??25.n阶方阵a满足a?3a?e?0,则a?1?1. 若行列式d中每个元素都大于零,则d?0。

()2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

()?,am中,如果a1与am对应的分量成比例,则向量组a1,a2,?,as线性相关。

3. 向量组a1,a2,()?0?14. a???0??0100?000??,则a?1?a。

()?001?010?5. 若?为可逆矩阵a的特征值,则a?1的特征值为?。

()三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。

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线性代数练习题(答案)一、填空题:1. 五阶行列式中,项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为 负 。

2. 行列式某两行(列)元对应成比例,则行列式的值 0 。

3. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=162131A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则AB 等于 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--42146 . 4. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322013,且秩(A)=2,则t = 6 .5. 已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1A c bE aA )(+6.4阶行列式4713482475010532--中(3,2)元素的代数余子式A 32是 -223 . 7.向量组(Ⅰ)α1 , α 2 ,…, αr 与向量组(Ⅱ)β1,β2,…, βs 等价,且组(Ⅰ)线性无关,则r 与s 的大小关系为 s r ≤ .8. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500030201,A *为A 的伴随矩阵,则| A *|= 225 .9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是 13 .10.四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =是 24 项的代数和,其中含11a 的项共 6项。

11. 任意一个数域都包含 有理 数域.12. 设λ1, λ 2 ,…, λn 是矩阵A 的n 个特征值,则λ1 λ2…λn= | A| 。

13. 设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,那么矩阵A 的列向量组的秩为 2 .14.设向量α=(1,2,3,4),则α的单位化向量为 30)4,3,2,1( .15.设A ,B 均为三阶方阵,且|A |= -3,|B |=6,则|AB |= 18 . 16. 设)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ是3F 的一个基,则3F 的自然基321,,εεε到321,,βββ的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011110101 .16. 在欧氏空间4R 中,()1,0,0,1=α,()0,1,0,1=β,则α与β的夹角等于3π. 17.已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=710321A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则A-2B 等于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12163209 . 18. 与矩阵101032120-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭A 对应的二次型是x x x x x x x x x f 32312221321423),,(-++-= .19. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 4x x x x 4x 3x 2x +--+-的对称矩阵为___⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322220201_____ . 20. 若二次型f(x 1,x 2,x 3, x 4)的正惯性指数为3,符号差为2,则f(x 1,x 2,x 3 ,x 4)的规范型为yy y y 24232221-++二、单项选择题:1. 设2阶方阵A 可逆,且A=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173,则A -1=( A )。

A .⎪⎭⎫ ⎝⎛3172 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172 D .⎪⎭⎫ ⎝⎛21732. 设A 为m ×n 矩阵,且非齐次线性方程组AX=b 有无穷多个解,则必有( D ).A .秩(A)=nB .秩(A)=mC .秩(A)<mD .秩(A)<n3. 设1α,2α是非齐次线性方程组AX=b 的解,β是对应的齐次线性方程组AX=0的解,则AX=b 必有一个解是( D ). A .1α+2α B .1α-2α C .β+ 1α+2α D .β+211α+212α 4. 在下列矩阵中,不是初等矩阵的是 ( B ).A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010201 B. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10010101 C. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001 D. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 5. 在下列矩阵中,是初等矩阵的是 ( C ).A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110010101 B. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010101 C. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010101 D. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000111016. 在下列矩阵中可逆的是( D )。

A. 000010001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭B.110220001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 110011121⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D. 100111101⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭7. 设1α=(1,2,1),2α=(0,5,3),3α=(2,4,2),则1α,2α,3α的秩是(C ).A .0B .1C .2D .38. 设A 为4阶矩阵,|A|=31,则|6A*|=(D ).A .6B .C .2D .489. 设A 是m 行n 列矩阵,若η1,η2,……,ηt 是AX=0的基础解系,则秩A=( A ). A .n-t B .m-t C .m-n D .t10. 若向量组(Ⅰ)r ααα,,,21 ,可由向量组(Ⅱ) s βββ,,,21 ,线性表示,且组(Ⅰ)线性无关,则必有( C ).A.秩(Ⅰ)<秩(Ⅱ)B. 秩(Ⅰ)>秩(Ⅱ)C. s r ≤D. r >s11. 设A 是4阶矩阵,则|-A|=( C ). A .-4|A| B .-|A| C .|A|D .4|A|12. 若行列式错误!未找到引用源。

=1,错误!未找到引用源。

= - 2,则行列式错误!未找到引用源。

( D )。

A .- 2B . 1C .0D . - 113. 设A ,B 均为3阶矩阵,若A 可逆,秩(B )=2,那么秩(AB )=( C ). A .0 B .1 C .2D .314. A 是n m ⨯矩阵,P 是m 阶可逆矩阵,则秩(PA)等于( A ). A .秩(A ) B .秩(P ) C .mD .n3115. 设行列式A=33121031--,则A 2的值为( D ).A .0B .1C .6D . 3616. 在R 3中,与向量α1=(1,1,1),α2=(1,2,1)都正交的单位向量是( B ).A .(-1,0,1)B .21(-1,0,1)C .(1,0,-1)D .21(1,0,1)17.与矩阵)。

不相似的矩阵是( 3021⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A (C )。

A . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛3201 B .⎪⎪⎭⎫⎝⎛1053 C .错误!未找到引用源。

D .错误!未找到引用源。

(提示:相似矩阵具有相同的特征值)18.下列矩阵中,不是正定矩阵的是( B )。

A . 错误!未找到引用源。

B .错误!未找到引用源。

C .错误!未找到引用源。

D .错误!未找到引用源。

19.方程组12233121x x ax x a x x -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ 有解的充分必要条件是()a =。

( B )11 (1).133A B C D --20.n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 可对角化的( B )。

A .充分必要条件B .充分而非必要条件C .必要而非充分条件D .既非充分也非必要条件 三、判断题1. 在所有n 级排列中,奇排列的个数和偶排列的个数相等。

(√ )2. 对n 级排列所作的每次对换都改变排列的奇偶性。

( √ )3. 线性无关的向量组中不能包含成比例的向量。

(√ )4. 如果两个向量组等秩,则这两个向量组一定等价。

( ×)5.若含n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组的系数行列式不等于零,则方程组只有唯一零解。

( √ )6. 如果当021====s k k k 时,,02211=+++s s k k k ααα 那么s a αα,,,21 线性无关. ( × ).7. 向量组中任一向量都可经该向量组线性表出。

( √ )8. s(s ≥2)个向量线性相关当且仅当其中某一向量是其余向量的线性组合。

(√ ) 9. 线性无关向量组的部分组线性无关。

(√ ) 10. 线性相关向量组的部分组线性相关。

( × )11. 一个向量组的部分组线性相关,则该向量组线性相关。

(√ )12. 向量组的秩是 r ,则向量组中任意r 个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组.( √ )13. 对任意n 阶方阵A ,B ,C ,若AB=AC ,则一定有B=C. ( × ) 14.一个向量组与它的部分组等价的充分必要条件是它们等秩.( √ ).15.TT T B A AB =)(.( × ) 16. 111)(---=B A AB .( × )17. 若n 阶矩阵A 可表示成一系列初等矩阵的乘积,则A 可逆。

(√ ) 18. 对矩阵施行初等列变换相当于用一个满秩矩阵左乘该矩阵。

( × )19. 任一个n 阶矩阵都可作为向量空间V 的一个基到另 一个基的过渡矩阵。

( × ) 20. 若向量空间V 的每一个向量都可以表成V 中向量1α,2α,…n α的线性组合,那么dimV=n 。

( × )21. 欧氏空间V 的一个正交基到另一个正交基的过渡矩阵是正交矩阵。

(√ ) 22. 正交矩阵是可逆矩阵。

( √ ) 23. 正交矩阵的行列式等于1.( × )24. 若n 阶矩阵A 在给定数域内有n 个特征值,则A 可对角化。

( × ) 四、计算题1、计算4阶行列式 1002812700405134--=D解:原式=8120045131--⨯=8151)1(412---⨯+=122、已知A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1021,B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2135,求满足方程AX B =的矩阵X 。

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-=-10211021||11||*1A A A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-2173213510211B A X3、在3R 中,求与向量12(1,1,1),(1,0,2)=-=a a 正交的所有向量。

解:设向量),,(c b a =β与向量12(1,1,1),(1,0,2)=-=a a 正交,则0,,0,21>=<>=<αβαβ即有⎩⎨⎧=+=+-02c a o c b a ,则为任意常数其中t tc t b t a ,2⎪⎩⎪⎨⎧=-=-= 故 为任意常数其中t ),1,1,2(t --=β为所求。

五、综合题1. 在实数域R 内,试判断矩阵3660203126A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪---⎝⎭是否可对角化,并说明理由。

解:)3)(2(612320663)(+-=+----=λλλλλλλA f故A 的特征值有3,2,0321-===λλλ每个特征值至少有一个特征向量,假设321,,λλλ的特征向量分别为321,,ααα 根据不同特征值的特向量线性无关可知321,,ααα线性无关 设以321,,ααα为列向量为矩阵T ,那么T 必可逆且),,(),,(),,(332211321321αλαλαλαααααα===A A A A AT=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300020000000000),,(321321T λλλααα故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-3000200001AT T ,即A 可对角化。

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