第23课 平面向量的平行与垂直
平面向量的平行和垂直关系的判定方法
平面向量的平行和垂直关系的判定方法在平面向量的学习中，我们经常需要判定两个向量是否平行或垂直。
正确判定两个向量的平行和垂直关系对于解决向量的运算和几何问题至关重要。
本文将介绍平面向量的平行和垂直关系的判定方法，并提供相应的示例来加深理解。
1. 平行关系的判定方法(1) 两个向量的方向相同或相反，则它们平行。
(2) 两个向量的标量倍数关系相等，则它们平行。
示例1:已知向量a(2, 3)和向量b(-4, -6)，我们要判定它们是否平行。
分析：由于向量a和向量b的方向相反，并且它们的标量倍数关系相等（-2），所以a和b是平行的。
示例2:已知向量c(3, -2)和向量d(-6, 4)，我们要判定它们是否平行。
分析：向量c和向量d的方向不相同，并且它们的标量倍数关系也不相等，所以c和d不是平行的。
2. 垂直关系的判定方法(1) 两个向量的数量积（内积）等于0，则它们垂直。
(2) 两个向量的方向余弦之积等于0，则它们垂直。
示例3:已知向量e(4, 3)和向量f(-3, 4)，我们要判定它们是否垂直。
分析：计算向量e和向量f的内积：4*(-3) + 3*4 = 0，所以e和f是垂直的。
示例4:已知向量g(2, 5)和向量h(-4, 3)，我们要判定它们是否垂直。
分析：计算向量g和向量h的方向余弦之积：(2/√29)*(-4/√25) +(5/√29)*(3/√25) = 0，所以g和h是垂直的。
需要注意的是，对于平面向量的垂直关系，除了以上的方法外，我们还可以通过计算向量的斜率（梯度）来判定。
当斜率互为相反数时，两个向量垂直。
在实际问题中，我们常常需要判定多个向量之间的平行和垂直关系。
此时，我们可以将向量写成分量形式或向量方程形式，进而进行运算和判定。
总结：判定平面向量的平行和垂直关系的方法基于向量的方向、标量倍数、数量积（内积）和方向余弦之积。
通过正确应用这些方法，我们可以准确判定向量之间的关系，为解决向量运算和几何问题提供有力支持。
平面向量的垂直与平行
平面向量的垂直与平行教案主题：平面向量的垂直与平行导语：平面向量是数学中的重要概念，其性质与运算有着广泛的应用。
垂直与平行是平面向量的两个重要关系，对于解决几何问题和计算向量的性质都有着重要的帮助。
本节课将着重介绍平面向量的垂直与平行的概念、特性及其应用。
一、定义与性质1. 平面向量的垂直关系：- 定义：两个向量u和v垂直，记作u⊥v，当且仅当它们的数量积u·v=0。
- 性质1：零向量与任何向量都垂直，即0⊥v。
- 性质2：若u⊥v，则-v⊥u。
- 性质3：若u⊥v且v⊥w，则u与w平行。
2. 平面向量的平行关系：- 定义：两个向量u和v平行，记作u∥v，当且仅当存在实数k，使得u=kv。
- 性质1：任何向量与其自身平行，即v∥v。
- 性质2：若u∥v，则kv∥u，其中k为任意实数。
- 性质3：若u∥v且v∥w，则u∥w。
二、判断垂直与平行1. 判断两个向量是否垂直的方法：- 方法1：计算向量的数量积，若u·v=0，则u⊥v。
- 方法2：利用向量的坐标表示，若坐标满足x1x2+y1y2=0，则向量垂直。
2. 判断两个向量是否平行的方法：- 方法1：利用向量的坐标表示，若坐标满足x1/x2=y1/y2=z1/z2，则向量平行。
- 方法2：利用向量的数乘关系，若两个向量的比值相等，则向量平行。
三、垂直与平行的应用1. 向量的垂直与平行在几何问题中的应用：- 判断线段是否垂直或平行。
- 判断线段是否为某个图形的对角线。
2. 求解平面向量的垂直与平行关系：- 已知向量u和v，求垂直于u的向量v的分解。
- 求解平面上满足垂直或平行关系的向量。
3. 平面向量的垂直与平行在物理问题中的应用：- 向量拆分与合成，分解力为平行与垂直方向上的分力。
- 力的合成与分解，求解力的平行与垂直分量。
四、例题讲解与拓展1. 例题1：已知向量u=(2,-4)和v=(-1,2)，求它们是否垂直或平行。
- 解：计算u·v=2*(-1)+(-4)*2=-10，不等于0，故u和v不垂直。
高中数学《空间向量的平行和垂直问题》课件
1.法向量一定是非零向量;
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量m是与平面平行或在平面
内，则有 n m 0
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的 向量的坐标a (a1,b1, c1),b (a2,b2, c2 ) (3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的 方程组n • a 0
X
D
C Y
B
解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), E(0, 1 , 1 ), B(1,1，0) 22
PA (1, 0, 1), DE (0, 1 , 1 )
22
Z DB =(1,1，0)
设PA xDE yDB
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ； 线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直1 2 n1 n2 n1 n2 0.
若e (a1, b1, c1), n (a2 , b2 , c2 ),则
AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)
AE = 3 FG AE // FG 2
AE与FG不共
线
A
AE//FG
X
Z
P A(6,0,0), E(3,3,3),
几何法呢？
EG
D
F
B
C Y
例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正 方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， (1)求证：PA//平面EDB.
平面向量的平行与垂直
平面向量"的平行与"垂直基础知识回顾:1.平行（共线）向量定义:方向相同或相反的非零向量叫平行向量。
记作a// b；2.垂直向量定义:若两个非零向量所或角为90° ,则称这两个向量垂直。
记作日丄b一、基础训练1.已知平面向量a = (3,l),b = (x,-3),a//b,Mx 等于「92.已知平面向量a二(1,-3) ,b= (4,-2),篇+B与2垂直，则兄是 ______3.若耳,©是两个不共线的向量已知厢=2&+応，西二£+3©丽二2彳-若AB,D三点共线，则k=-8设A (4, 1) , B (-2, 3) , C (k, -6),若△ABC为直角三角形且ZB二90°求k的值。
解：当ZB = 90° ,BA= (6-2), BC = (k + 2-9)•/ ZB = 90° /. IX丄BC,BA- BC = 6(k + 2) + (-2)(-9) =0.\k = -5.如图所示，已知A(4,5)J B(1>2),C(12J), D(11,6)及P(6,4),求证:B、P、D三点共线，A、P、C 三点共线。
解：丽= (5,2), SB = (10,4) = 2莎AP = (2,-1), AC = (8, -4)二 4丽又丽、而共起点B ,丽、疋共起点A, 则B、P、D三点共线，A、P、C三点共线。
a> b是不共线的两个非零向S,OM=ma ,ON=nb OP = «a + ,其中m、n、仅、0 w R，且nm H 0,若M、P、N三点共线，则纟+炉=1 m n -- •P是ZVLBC所在平面上一点，若口4 • PB = PB • PC=PC•币，则P是厶ABC的________ 心.解析：由题知有丙• (PA~PC) = PB • CA = O.即PB_AC.同理可得PA1BC,PC_AB. :.P是厶ABC的垂心.答案：垂例4：设向量a =(4cosa,sina),b =(sin0,4cos0),—►c = (cos0Tsin0) ⑴若a与B -2c垂直，求tan(<z + 0)的值；(2)若tanciftan p = 16,求证:a//b.⑴由feb-2c垂直,aH^-2c) = aEb-2a^ = 0? 即4 sin(cr +0) — 8 cos(cr + 0) = 0,.・.tan(a + 0) = 2;(2)由tan a tan (3 = 16得sin a sin p = 16 cos a cos 0,艮卩4cosa4cos0-sinasiii0 = 0・・・a //b悸例3)已知平面向量。
平面向量的平行与垂直关系解析
平面向量的平行与垂直关系解析平面向量在数学中起到了重要的作用，它们不仅可以表示物体在平面上的位移和方向，还可以用于求解几何问题、力的分解等。
其中，平行和垂直是向量之间最基本的关系之一。
本文将从解析的角度来探讨平面向量之间的平行与垂直关系。
一、平面向量的表示与基本性质平面向量可以用有序数对(x, y)表示，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的投影。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂)，向量b可以表示为(b₁, b₂)。
平面向量的加法满足交换律和结合律，即(a₁+b₁, a₂+b₂) =(b₁+a₁, b₂+a₂)和[(a₁+b₁)+c₁, (a₂+b₂)+c₂] = [a₁+(b₁+c₁),a₂+(b₂+c₂)]。
二、平行的判定条件两个向量a和b平行的判定条件之一是它们的方向相同或相反。
即，如果向量a可以表示为k乘以向量b，即a = kb，其中k是实数，则向量a与向量b平行。
具体来说，向量a=(a₁, a₂)与向量b=(b₁, b₂)平行的条件为：a₂/a₁ = b₂/b₁，或者a₁b₂ = a₂b₁。
三、垂直的判定条件两个向量a和b垂直的判定条件之一是它们的点乘积为0。
即，如果向量a与向量b的点乘积等于0，则向量a与向量b垂直。
具体来说，向量a=(a₁, a₂)与向量b=(b₁, b₂)垂直的条件为：a₁b₁ + a₂b₂ = 0。
四、平行和垂直的综合运用在解决具体问题时，我们常常需要利用平面向量的平行和垂直关系来求解。
例如，已知向量a=(2, 3)和向量b=(4, -6)，我们希望判断它们之间的关系。
首先，我们可以计算向量a和向量b的方向比，a₁/b₁=2/4=1/2，a₂/b₂=3/(-6)=-1/2。
由于方向比相同且不相反，所以向量a与向量b不平行。
其次，我们计算向量a和向量b的点乘积，a₁b₁ + a₂b₂ = 2*4 +3*(-6) = 8 - 18 = -10。
由于点乘积不为0，所以向量a与向量b不垂直。
平面向量的平行与垂直
平面向量的平行与垂直【考点及要求】1.理解平面向量的坐标表示；2.掌握平面向量的加减及数乘的坐标运算；3.理解向量平行的等价条件的坐标形式．【基础知识】1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，i、j为x轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j成立，即向量a 的坐标是________2.平面向量的坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝___________，a－b＝____________。
3.平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的____坐标减去____坐标.4.实数与向量积的坐标表示：若a＝(x，y)，则λa＝____________5. 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由a∥b⇔x1 y2－x2 y1＝_______【典型例题讲练】例1、已知平行四边形ABCD三个顶点A、B、C坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
变式引申：已知平面上三点的坐标分别A(-2,1),B(-1,3),C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
例2已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且CACN2＝，求M，N＝，CBCM3的坐标和MN的坐标.变式:若向量jiBC+＝，其中i，j分别为x轴，y轴正方向上的单miAB2-＝，j位向量，求使A，B，C三点共线的m值.【课堂小结】设：(x 1, y 1)、b(x 2, y 2)（1）加减法：a ±b =(x 1±x 2,y 1±y 2)(其中a =(x 1,y 2)、b =(x 2,y 2)). （2）数乘：若a =(x,y),则λa =(λx,λy)（3）a∥b(b ≠0)12210a b x y x y λ⇔=⇔-=注：充要条件不能写成：1122x y x y =或1122xy x y =，但在解题中，当分母不为0时常使用；【课堂检测】1．若向量a =(x －2,3)与向量b =(1,y +2)相等，则（ ） A ．x =1,y =3 B ．x =3,y =1 C ．x =1,y =－5D ．x =5,y =－12．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan = （ ）A ．43 B ．43-C ．34 D ．34-3．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB -2BC = 4．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= 5．已知A B C D 中A(3，-2)，B(5，2)，C(-1，4)，则D 的坐标为____________6.设向量a =（1,-3），b =（-2,4），c =（-1,-2），若表示向量4a 、4b -2c 、2（a -c ）、d的有向线段依次首尾相接能构成四边形，则向量d 为（ ） A.（2,6）B.（-2,6）C.（2,-6）D.（-2,-6）7.平面上A （-2，1），B （1，4），D （4，-3），C 点满足21AC =→--→--CB，连DC 并延长至E ，使|→--CE |=41|→--ED |，则点E 坐标为： ( )A 、（-8，35-） B 、（311,38-） C 、（0，1） D 、（0，1）或（2，311）8．若向量a =(x －2,3)与向量b =(1,y +2)相等，则（ ） A ．x =1,y =3 B ．x =3,y =1 C ．x =1,y =－5 D ．x =5,y =－19．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan = （ ） A ．43 B ．43-C ．34 D ．34-10．若向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x= 11．已知三点P (1,1)、A (2,-4)、B (x ,-9)在一条直线上，求x 的值.12．已知向量a =(2x －y +1,x +y －2), b=(2,－2),x 、y 为何值时，(1)a b = ； (2) //a b13．平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==c b a ，回答下列问题： （1）求满足c n b m a +=的实数m,n ； （2）若()()a b c k a -+2//，求实数k ；14.(2005湖北)．已知向量||).,5(),2,2(b a k b a +=-=若不超过5，则k 的取值范围是15.设→--OA =（3，1），→--OB =（-1，2），→--OC ⊥→--OB ，→--BC ∥→--OA ，O 为坐标原点，则满足→--OD +→--OA =→--OC 的→--OD 的坐标是＿＿＿＿。
《平行与垂直》课件
物的高度、柱子和横梁等元素可以保持垂直，以实现视觉上的突出和力
量感。
02
城市规划
在城市规划中，垂直线用于划分不同的功能区域和空间层次。例如，商
业区、住宅区和公园等区域可以沿着垂直轴线进行布局，以实现空间的
有效利用和城市的可持续发展。
03
交通工程
在道路和桥梁设计中，垂直线用于支撑和连接不同的交通层面。这样可
如果一条直线与平面内的一条直 线垂直，那么这条直线与该平面
垂直。
斜线与平面
如果一条直线与平面内的两条相交 的直线都垂直，那么这条直线与该 平面垂直。
三垂线定理
如果平面内的一条直线与平面的一 条斜线在平面内的射影垂直，那么 这条直线与斜线垂直。
04
平行与垂直的应用
平行的应用
建筑学
在建筑设计中，平行线可以用来 构建对称、平衡和和谐的外观。 例如，窗户、门和墙面的线条可 以保持平行，以实现视觉上的统
填空题：若直线a与直线b平 行，且被直线c所截，则同位 角____，内错角____，同旁内
角____。
答案
判断题：错。应该是两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
选择题：B。
填空题：相等，相等，互补。
THANKS
感谢观看
一和美感。
交通工程
在道路和轨道设计中，平行线用 于规划车辆行驶的方向和路线。 这样可以确保交通流畅，减少事
故风险，并提高运输效率。
艺术与设计
在绘画、摄影和图形设计中，平 行线可以用来创造平衡、稳定和 动态的效果。艺术家可以利用平 行线来表达特定的主题和情感。
垂直的应用
01
建筑学
在建筑设计中，垂直线用于构建高大、雄伟和稳定的外观。例如，建筑
向量的平行与垂直及其应用
向量的平行与垂直及其应用一、引言向量是数学中重要的概念之一，它在物理、几何等多个领域中都有广泛的应用。
其中，平行和垂直是向量之间关系的两种基本形式。
本文将介绍向量的平行与垂直的概念、性质以及其在几何和物理中的应用。
二、向量的平行向量的平行是指两个向量的方向相同或相反。
具体来说，如果两个向量的点表示相同或相反，那么这两个向量就是平行的。
向量的平行具有以下性质：1. 平行向量的数量乘积：如果向量a平行于向量b，则对于任意实数k，ka也与b平行。
2. 平行向量的加法性质：如果向量a平行于向量b，向量c平行于向量d，则a+c与b+d也平行。
3. 平行向量的减法性质：如果向量a平行于向量b，向量c平行于向量d，则a-c与b-d也平行。
在几何中，向量的平行可以用于判断线段的平行性、角的平行性等。
例如，在判断一个四边形的对角线是否平行时，可以通过向量方法将对角线表示为向量，并比较其平行性。
三、向量的垂直向量的垂直是指两个向量相互垂直，即它们的内积为零。
对于向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，如果a * b = 0，则a与b垂直。
向量的垂直具有以下性质：1. 垂直向量的数量乘积：如果向量a垂直于向量b，则对于任意实数k，ka也与b垂直。
2. 垂直向量的加法性质：如果向量a垂直于向量b，向量c垂直于向量d，则a+c与b+d也垂直。
3. 垂直向量的减法性质：如果向量a垂直于向量b，向量c垂直于向量d，则a-c与b-d也垂直。
在几何中，向量的垂直可用于判断直线的垂直性、直角三角形等。
例如，在证明两条直线垂直时，可以通过向量方法将斜率为k1和k2的两直线转化为向量形式，然后判断它们的垂直性。
四、向量的应用向量的平行与垂直在几何和物理中有广泛的应用。
以下是一些具体应用实例：1. 二维平面上的向量运算在二维平面上，向量的平行与垂直可用于解决平面几何问题。
例如，通过判断两线段的向量是否平行或垂直，可以判断它们是否相交、是否平行四边形等。
专题三 平面向量的平行与垂直(解析版)
专题三 平面向量的平行与垂直1．平面向量平行(共线)的充要条件的两种形式(1)平面向量平行(共线)充要条件的非坐标形式：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ．(2)平面向量平行充要条件的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0； 至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用(2)．这是代数运算，用它解决平面向量平行(共线)问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．乘积形式可总结为：“相异坐标的乘积的差为0”．2．三点共线的充要条件的三种形式(1)A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)(2)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )(3)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．3．非零向量垂直的充要条件的两种形式(1)平面向量垂直的非坐标形式：a ⊥b ⇔ a ·b ＝0．(2)平面向量垂直的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b ．一般情况涉及坐标的用(2)．坐标形式可总结为：“相应坐标的乘积的和为0”．考点一 平面向量的平行【方法总结】两平面向量平行的充要条件既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当然也可解决三点共线的问题．高考试题中一般是考查已知两向量平行或三点共线求参数，并且以给出向量的坐标为主．解决此类问题的方法是借助两平面向量平行的充要条件列出方程(组)，求出参数的值．注意方程思想和待定系数法的运用．【例题选讲】[例1] (1)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2BF →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直答案 A 解析 由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．(2)已知向量m ＝(1，7)与向量n ＝(k ，k ＋18)平行，则k 的值为( )A ．－6B ．3C ．4D ．6答案 B 解析 因为m ∥n ，所以7k ＝k ＋18，解得k ＝3．故选B ．(3)(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．答案 12 解析 2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2＝4λ，即λ＝12． (4)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B 解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B ．(5)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案 －54解析 AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54． (6)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．答案 (－3，－6) 解析 设B (x ，2x )，则AB →＝(x －3，2x )．∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6)．【对点训练】1．已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________．1．答案 6 解析 ∵a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．122．答案 A 解析 ∵a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4，2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4 ＝0，解得λ＝－2，故选A ．3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________．3．答案 5 解析 因为a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，所以a －c ＝(3－k ，－6)．因为(a －c )∥b ，所 以1×(－6)＝3×(3－k )，解得k ＝5．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________．4．答案 1 解析 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1．5．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( )A ．4B ．－5C ．6D ．－65．答案 D 解析 a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6．故选D ．6．已知向量a ＝(λ＋1，1)，b ＝(λ＋2，2)，若(a ＋b )∥(a －b )，则λ＝________．6．答案 0 解析 因为a ＋b ＝(2λ＋3，3)，a －b ＝(－1，－1)，且(a ＋b )∥(a －b )，所以2λ＋3－1＝3－1，所 以λ＝0．7．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2，3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A ．25B ．－25C ．35D ．－357．答案 B 解析 解法一：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，因为a ＋λb 与c 共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a ＋λb ＝μc ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，4＋λ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝65，λ＝－25.解法二：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，由a ＋λb 与c 共线可知3(2－λ)＝2(4＋λ)，得λ＝－25． 8．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则m n＝________． 8．答案 －13 解析 由2－1≠32，所以a 与b 不共线，又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0．那么 当m a ＋n b 与a －3b 共线时，有m 1＝n －3，即得m n ＝－13． 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (0，1)，B (1，－2)，C (m ，0)．若OB →∥AC →，则实数m的值为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2 9．答案 C 解析 因为OB →＝(1，－2)，AC →＝(m ，－1)．又因为OB →∥AC →，所以m 1＝－1－2，m ＝12．故选C ． 10．已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的关系式为________．10．答案 a ＋b ＝2 解析 由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →．∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2．11．已知点A (0，1)，B (3，2)，C (2，k )，且A ，B ，C 三点共线，则向量AC →＝( )A ．⎝⎛⎭⎫2，23B ．⎝⎛⎭⎫2，53C ．⎝⎛⎭⎫23，2D ．⎝⎛⎭⎫53，2 11．答案 A 解析 AB →＝(3，1)，AC →＝(2，k －1)，因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB →＝λAC →，即(3，1)＝λ(2，k －1)，所以2λ＝3，即λ＝32，所以AC →＝1λAB →＝⎝⎛⎭⎫2，23． 12．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0．若a ∥b ，则m n＝________． 12．答案 －2 解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．13．答案 12 解析 ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得 ⎩⎨⎧ λ＝12，t ＝12.14．已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．14．答案 (3，3) 解析 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3)． 法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y ．又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3)．15．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1，1)，且a ∥b ，则向量a 的坐标是__________．15．答案 ⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22 解析 a ＝(x ，y )，因为平面向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(1，1)，且 a ∥b ，所以x 2＋y 2＝1，且x －y ＝0，解得x ＝y ＝±22．所以a ＝⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22． 16．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是__________．16．答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45 17．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D17．答案 B 解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．18．已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B ．43C ．12D ．1318．答案 A 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23． 19．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．219．答案 B 解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ．又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1．20．设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( )A ．－3B ．－2C ．2D ．320．答案 A 解析 由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n －1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n ＝1．2m ＋1＋2n ≥22m＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3．考点二 两个非零向量的垂直【方法总结】两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数．高考试题中一般是考查已知两向量垂直求参数，如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件(2)，列出相应的关系式，进而求解参数．如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件(1)，列出相应的关系式，进而求解参数．如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标从而把问题转化为已知向量的坐标求参数的问题．注意方程思想和等价转化思想的运用．【例题选讲】[例1](1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC答案 D 解析 在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b|cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D ．(2)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．答案 7 解析 因为a ＋b ＝(m －1，3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7．(3)(2018·北京)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________．答案 －1 解析 由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1．(4)(2020·全国Ⅲ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0．因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22． (5)(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos<m ，n >＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94答案 B 解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t|m ||n |cos<m ，n >＋|n |2＝0．又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4．故选B ． (6)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，则当AE →·DF →＝0时，λ的值所在的区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫18，14B ．⎝⎛⎭⎫14，38C ．⎝⎛⎭⎫38，12D ．⎝⎛⎭⎫12，58 答案 B 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，可得<AD →，BC →>＝60°，所以<AB →，AD →>＝60°，<AB →，BC →>＝120°，所以AB →·AD →＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2，又BE BC ＝AF AB＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →，所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →)＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334∈⎝⎛⎭⎫14，38． 【对点训练】1．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )A ．－23B ．23C ．43D ．631．答案 B 解析 因为a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，所以a －b ＝(－2，m )－(1，3)＝(－3，m －3)．由 (a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，m －3)·(1，3)＝－3＋3m －3＝3m －6＝0，解得m ＝23，故选B ．2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．82．答案 D 解析 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以 (a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝83．设向量a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，若(a －b )⊥a ，则实数m ＝( )A ．12B ．13C ．1D ．2 3．答案 C 解析 因为a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，所以a －b ＝(1，m )－(m －1，2)＝(2－m ， m －2)，又(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，可得(2－m )×1＋m (m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2．当m ＝2时，a ＝b ，不符合题意，舍去，故选C ．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－14．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．5．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．1525．答案 C 解析 ∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0．∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3， －6)．∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0．∴k ＝3．6．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－16．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C ．12D ．357．答案 A 解析 b ＋λa ＝(1，0)＋λ(1，2)＝(1＋λ，2λ)，又c ＝(3，4)，且(b ＋λa )⊥c ，所以(b ＋λa )·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311． 8．在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点 的直角三角形，则t ＝________．8．答案 3 解析 由已知，得BA →·BC →＝0，则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t＝3或t ＝－3，当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去．故t ＝3．9．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________．9．答案 1 解析 ∵a 与b 为两个不共线的单位向量，∴|a|＝|b |＝1，又a ＋b 与k a －b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0，∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0(θ为a 与b 的夹角)，∴(k －1)(1＋cos θ)＝0．又a 与b 不共线，∴cos θ≠－1，∴k ＝1．10．(2013·全国Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．10．答案 2 解析 因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12， 由b ·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2． 11．已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A ．2215B ．103C ．6D ．12711．答案 A 解析 因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215．。
(完整版)平面向量的平行与垂直
AC a b(, R),则A, B,C三点共线的充要条件是
是_______1__.
4. 若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2， －1)共线，则实数a的值为________．
5. 平面上三个向量a,b, c 的模均为1，它们相互
之间的夹角均为120°，求证：(a
b)
⊥c
选做题： 在△ABC中,角A,B,C的对边分别 为a,b,c,且cosC= 3
x1y2 xห้องสมุดไป่ตู้ y1 0
(b 0)
ab
a b 0
x1x2 y1y2 0
(a 0, b 0)
一、基础训练
r
r
rr
1.已知平面向量 a (3,1),b (x, 3), a // b,则x
等于_____-_9______
r
r
2.已ar 知br 与平面ar 向垂量直，a=则（1是,－_3_）__，b_-_=1_（_4_,－__2_），
r
b
r
(1, 3r)
c
(k , 2)
，若
10
(a
c)
b
则k= 0
;若(
a ，
c)
∥
b
则k
=
3
． ，
2. 已知向量a (1, 2) b (2,3) 若向量 c 满足(c a) / /b
77
c (a b) ，则c ___(__9_,__3_) _______
3. 已知a,b是不共线的向量，AB a b,
平面向量的平行与垂直
涟水县第一中学
陈刚
基础知识回顾：
1．平行(共线)向量定义：
方向 记作
相ar∥同或br；相反
平面向量的平行与垂直
恒成立，求a的取值范
有 xy
得 k t3 3t
且
4
，
k t2 1 (t2 4t 3) 1 (t 2)2 7
t4
4
故4
有最小值 7
4
4
小结
1.向量的平行（共线）和垂直是向量夹角的两个特殊
情形：两向量平行（共线）即向量的夹角为0或 ，
基础知识回顾：
1．平行(共线)向量定义： 方向 相同或相反 的非零向量叫平行向量。
记作 a∥ b；
2. 垂直向量定义： 若 、两个非零向量所成角为 90 ，则称这两
个向量垂直。记作 a⊥ b
3.平面向量的平行与垂直的判定
向量关系式 坐标关系式
a // b
a b
x1y2 x2 y1 0
△ABC为直角三角形且∠B= 90， 求k的值。
解：当B 90，BA (6,2), BC (k 2,9) B 90 BA BC,
BA BC 6(k 2) (2)(9) 0k 5.
如图所示,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1), D(11,6)及P(6,4),求证:B、P、D三点共线， A、P、C三点共线。 解：BP (5, 2), BD (10, 4) 2BP
。
4. 平面上三个向量 a,b, c 的模均为1，它们相互
之间的夹角均为120°，求证：(a
b)
⊥ c
5. 已知
a(
3,1),
b
(
1 2
,,
3) 2
存在实
数x k和t,y使若得不等x式k
解
a ， b a
高中数学《向量法证明平行与垂直》
( 法一）证明：设正方体棱长为以1D，A，DC,DD1
为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
DA (1, 0, 0)，DE (1,1, , 1)
1
2
z
D1
D1F (0, 2 , 1)
则Ｄ１Ｆ DA 0，Ｄ１Ｆ DE 0
A
1
则Ｄ１Ｆ DA，Ｄ１Ｆ DE．
线面平行：（1）l ∥ a u a u 0 ；
(2)l∥ , AB a∥AB a AB
a
l
u
A
B
面面平行： / / u / /v u v
u
v
探究（二）、垂直关系： 线线垂直：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，则
l m a bab 0
l
a
b
m
法向设量直分线 别为l 的u方，向向量分别为 a ，平面 的
高中数学 向量法证明平行与垂直
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
➳平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线面平行.
复习定理
空间中的平行
2.平面与平面平行的判定
➳判定: 一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行．
线面垂直 ：（1）l ⊥ a ∥ u a k u ；（2）l源自a ABa
AB
0
l
a AC a AC 0
a
u
C A
B
面面垂直 ： u v u v 0
v
u
（经典例题）例1： 四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC 的中点， 求证：PA//平面EDB.
向量的平行与垂直总结
向量的平行与垂直总结在线代数学习中，向量是一个基础而重要的概念。
研究向量的性质和关系，我们经常会遇到向量的平行和垂直。
本文将对向量的平行和垂直进行总结，并探讨其相关性质和运用。
一、向量的平行关系向量的平行是指两个向量的方向相同或者相反，即它们具有共线的性质。
当两个向量的方向相同或相反时，它们可以表示为倍数关系。
1.1 向量的判断为了确定两个向量的平行关系，可通过比较它们的方向向量或零向量。
如果两个向量的方向向量相等，或者其中一个向量为零向量，那么它们是平行的。
1.2 平行向量的性质平行向量具有以下性质：1) 平行向量的倍数仍然是平行向量，即向量a与向量b平行，则ka 与kb也平行，其中k是一个实数。
2) 平行向量的和向量与差向量也是平行向量。
即向量a与向量b平行，则a+b与a-b也平行。
3) 平行向量的零向量也是平行向量。
即向量a与零向量平行。
1.3 平行向量的应用平行向量的概念在几何、物理等学科中具有广泛的运用。
在几何中，平行向量可用于判断线段、直线等的平行性。
在物理中，平行向量可表示物体的运动方向和速度大小等。
二、向量的垂直关系向量的垂直是指两个向量之间的夹角为90度，即它们的方向互相垂直。
垂直向量之间的性质与平行向量有所不同。
2.1 向量的判断为了确定两个向量的垂直关系，可通过求它们的点积是否为零来判断。
如果两个向量的点积为零，则它们是垂直的。
2.2 垂直向量的性质垂直向量具有以下性质：1) 垂直向量的和向量为零向量，即向量a与向量b垂直，则a+b为零向量。
2) 垂直向量的倍数仍然是垂直向量。
即向量a与向量b垂直，则ka与kb也垂直，其中k是一个实数。
2.3 垂直向量的应用垂直向量的概念在几何、物理等学科中也有重要的应用。
在几何中，垂直向量可用于判断线段、直线等的垂直性。
在物理中，垂直向量可用于描述力的正交性、力矩等。
三、平行和垂直的关系平行和垂直是两种特殊的向量关系，它们之间有一些相互关联的性质。
向量的平行与垂直及其应用
向量的平行与垂直及其应用在数学中，向量是一个既有大小又有方向的量。
向量可以通过空间中的两个点表示，其中起点被称为原点，终点被称为终点，并用箭头表示方向。
在向量的运算中，平行和垂直是非常重要的概念。
本文将介绍向量的平行和垂直的定义和性质，并探讨它们在几何和物理中的应用。
一、向量的平行和垂直的定义和性质1. 向量的平行如果两个向量的方向相同或相反，我们称它们为平行向量。
具体而言，设有向量a和向量b，若存在实数k使得a = kb，则向量a和向量b平行。
这里k可以是正数、负数或零。
平行向量具有以下性质：（1）平行向量的模（长度）相等。
（2）平行向量的夹角为零或180度。
（3）平行向量的加减运算：若向量a和向量b平行，则a ± b也与a和b平行。
2. 向量的垂直如果两个向量的方向互相垂直（夹角为90度），我们称它们为垂直向量。
具体而言，设有向量a和向量b，若a·b = 0（a与b的点积等于零），则向量a和向量b垂直。
垂直向量具有以下性质：（1）如果a垂直于b，那么-b也垂直于a。
（2）如果a垂直于b，那么ka与b平行，其中k为任意实数。
（3）如果a垂直于b，那么a+b与b平行。
二、向量的平行和垂直的应用向量的平行和垂直概念在几何和物理中有广泛的应用。
下面将介绍其中一些常见的应用场景。
1. 几何中的平行和垂直在几何中，平行和垂直的概念被广泛应用于平面和空间几何的相关问题。
（1）平面的垂直：两个平面互相垂直，意味着它们的法向量互相垂直。
（2）平面的平行：两个平面平行，意味着它们的法向量平行。
（3）直线的平行和垂直：两条直线平行，意味着它们的方向向量平行或共线；两条直线垂直，意味着它们的方向向量垂直。
2. 物理中的平行和垂直在物理学中，平行和垂直的概念也具有重要的物理意义。
（1）力的分解：在物体受到多个力作用时，可以将这些力分解为平行和垂直分量，以便更好地理解和计算。
（2）质量与重力：物体的质量与施加在它上面的重力互相垂直。
向量垂直和平行公式
向量垂直和平行公式在向量的运算中，我们经常会遇到向量的垂直和平行问题。
了解这些问题的公式和性质，可以帮助我们更好地理解向量的运算规律，从而更加得心应手地处理向量的问题。
首先，让我们来看向量的垂直性质。
在平面直角坐标系中，两个向量垂直的条件是它们的数量积为0。
也就是说，若向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)垂直，则有：x1*x2 + y1*y2 = 0这个公式可以形象地理解为，两个向量的夹角为90度。
在三维空间中，向量的垂直公式稍有不同，但核心思想是一致的。
了解了向量的垂直性质，我们再来看向量的平行性质。
两个非零向量平行的条件是它们之间存在一个实数k，使得它们的各个分量之间成比例。
这个条件可以表示为：x1/x2 = y1/y2 = z1/z2 = k （三维空间）或者x1/x2 = y1/y2 = k （二维空间）这个公式也可以形象地理解为，两个向量的方向相同或相反，但可能长度不同。
需要注意的是，两个向量平行的条件不包括零向量，因为零向量可以与任何向量平行。
知道了向量的垂直和平行公式和性质，我们就可以应用它们来解决一些具体问题了。
比如，可以利用垂直性质求两个向量夹角的正弦、余弦、正切等值，或者利用平行性质判断两个向量是否共线或平行。
除了理解公式和应用性质之外，我们还需要知道如何求两个向量的垂直向量和平行向量。
对于平面向量而言，两个向量的和可以分解为它们的平行向量和垂直向量的和。
而对于三维向量而言，两个向量的和可以分解为它们的平行向量和垂直向量的和，其中平行向量由两个向量的叉积得到，垂直向量由两个向量的量积得到。
综上所述，向量的垂直和平行公式和性质是向量运算中非常重要的内容，我们需要认真理解和掌握它们，以便更好地处理向量问题。
同时，我们还需要知道如何应用这些公式和性质求解具体问题，才能在实践中灵活运用。
平面向量垂直和平行公式
平面向量的垂直和平行公式如下：
向量垂直（垂直关系）：
- 两个非零向量a = (x1, y1) 和b = (x2, y2) 垂直的充要条件是它们的内积为0，即：
a·b = x1 x2 + y1 y2 = 0
向量平行（共线关系）：
- 若向量a ≠ 0，向量b ≠ 0，并且它们平行，则存在一个实数λ（λ≠0），使得：
b = λa
或者等价地，在坐标表示下，如果：
(x2, y2) = λ(x1, y1)
即它们对应坐标的比值相等。
另外，有一种判断两向量平行的几何直观方法，通过计算交叉乘积来验证。
但要注意在二维空间中，通常不使用交叉乘积来判断平行（因为二维向量没有外积的概念），而是直接用上述比例关系。
而三维空间中的向量可以通过叉乘来判断是否垂直，但在二维平面中，直接看内积是否为零即可判断垂直。
关于交叉乘积用于判断平行的一般是指三维空间的情况，而非二维平
面上的向量。
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第23课 平面向量的平行与垂直
一、学习目标
1、熟练掌握向量平行与垂直的坐标表示；
2、熟练掌握有关平行与垂直的计算问题。
二、激活思维
1、已知向量a =(3，1)，b =(2，λ).若a ∥b ，则实数λ= .
2、已知向量a =(5，12)，b =(sin α，cos α)，若a ∥b ，则t a n α= .
3、设x ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(3，-2)，若a ⊥b ，则x = .
4、已知向量a =(-3，4)，向量b ∥a ，且|b |=1，那么b = .
5、已知向量a =(-3，1)，b =(1，-2)，若(-2a +b )⊥(k a +b )，则实数k = .
三、典型例题
例1、设向量a =(1，2)，b =(1，1)，c =a +k b .若b ⊥c ，则实数k 的值为 .
例2、设向量=OA (k ，12)，OB =(4，5)，=OC (10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线?
例3、已知向量a =(m ，-1)，)2
3,
21(=b . （1）若a ∥b ，求实数m 的值；
（2）若a ⊥b ，求实数m 的值； （3）若a ⊥b ，且存在非零实数k ，t ，使得[a +(t 2
-3)b ]⊥(-k a +t b )，求t t k 2
+的最小值.
四、课堂评价
1、已知向量a=(2x-1，-1)，b=(2，x+1)，若a⊥b，则实数x=.
2、已知向量a=(2，1)，b=(0，-1).若(a+λb)⊥a，则实数λ=.
3、已知向量a=(1，2)，b=(0，-1)，c=(k，-2)，若(a-2b)⊥c，则实数k=.
4、已知向量a=(1，1)，b=(-1，1)，设向量c满足(2a-c)·(3b-c)=0，则|c|的最大值为.
5.已知向量a=(4，3)，b=(-1，2)，m=a-λb，n=2a+b.
(1)若m⊥n，求实数λ的值；
(2)若m∥n，求实数λ的值.
五、作业
1、已知向量a =(2，-3)，b =(3，λ).若a ∥b ，则实数λ= .
2、已知向量a =(sin x ，cos x )，b =(1，-2)，且a ∥b ，那么t a n x = .
3、已知向量)2
,8(x a ，b =(x ，1)，其中x >0，若(a -2b )∥(2a +b )，则实数x = .
4、已知向量a =(1，2)，b =(m ，4)，且a ∥(2a +b )，则实数m 的值为 .
5、已知向量a =(2，m )，b =(-1，m ).若(2a -b )⊥b ，则|a |= .
6、已知向量a ，b 满足|a |=1，b =(2，1)，且λa +b =0(λ∈R )，那么|λ|= .
7、设向量a =(3，3)，b =(1，-1).若(a +λb )⊥(a -λb )，则实数λ= .
8、在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若向量p =(a +c ，b )，q =(b -a ，c -a )，且p ∥q ，则角C= .
9、平面内给定三个向量a =(3，2)，b =(-1，2)，c =(4，1).试回答下列问题：
（1）若(a +k c )∥(2b -a )，求实数k 的值；
（2）设向量d =(x ，y )满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1，求d .
10、已知向量a =(sin θ，cos θ-2sin θ)，b =(1，2).
（1）若a ∥b ，求t a n θ的值；
（2）若|a |=|b |，0<θ<π，求θ的值.
11、在△ABC 中，已知角6π=
C ，向量m =(sin A ，1)，n =(1，cos B)，且m ⊥n . （1）求角A 的大小；
（2）若点D 在边BC 上，且=3，13=AD ，求△ABC 的面积.。