人教版八年级数学下册正方形(基础)典型例题讲解+练习及答案.doc

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人教版八级数学下册正方形基础知识精讲及同步练习

学科: 数学年级：初二本周教学内容：4.6 正方形【基础知识精讲】1.什么叫正方形有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.可以看成：(1)有一组邻边相等的矩形(如下图)(2)有一个角是直角的菱形(如下图)(3)一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形2.正方形的性质由于正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身.因此，正方形具有以下性质：(1)两组对边分别平行(2)四个角都是直角，四条边都相等(3)两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角(4)两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的包含关系(如下图)4.关于正方形的判定(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形(一组邻边相等的矩形)(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形(有一个角是直角的菱形)(3)还可以先判定它是平行四边形，再用(1)或(2)进行判定.【重点难点解析】本节重点是正方形的定义，说明正方形与矩形、菱形的关系，是本节学习的难点，因为它们之间的关系重叠交错，容易混淆.例1 下列命题中，真命题是( )A.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D.四条边相等的四边形是正方形分析本题主要考查考生应用平行四边形、矩形、菱形、正方形定义解题的能力.命题B、C、D均易找到反例判断它们是假命题.对于命题A，对照平行四边形的定义及平行四边形的四条判定定理，都不相同，只好自己来证明这个命题了.已知四边形ABCD是AD∥BC，∠B＝∠D(如图)，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵AD∥BC(已知)∴∠A+∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠B＝∠D(已知)∴∠A+∠D＝180°(等量代换)∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形定义)例2 如图，正方形ABCD对角线相交于O，E是OA上任一点，CF⊥BE于F.CF交OB于G，求证：OE＝OG.分析本题是考查正方形的性质、同角的余角相等关系及全等三角形的判定与性质.OG和OE可分别看作是△OGC与△OEB的最短边，若能证两三角形全等，则命题得证.由正方形性质有OC＝OB，∠COG＝∠BOE＝90°而∠1和∠3为∠2的余角，于是∠1＝∠2证明：∵ABCD是正方形∴OB＝OC ∴AC⊥BD∴∠COG＝∠BOE＝Rt∠又∵CF⊥BE ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝Rt∠∴∠1＝∠3 ∴△COG≌△BOE ∴OE＝OG例3 下列四个命题中正确的命题是( )①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形③对角线互相垂直的四边形是菱形④四边相等且对角线相等的四边形是正方形A.①④B.①③C.②③D.③④分析因为命题①就是平行四边形的判定定理3，所以命题①正确.命题④可以理解为是菱形又是矩形的四边形必是正方形.因为四边相等的四边形是菱形，它是特殊的平行四边形，而对角线相等的平行四边形是矩形.因此命题④是正确的命题.因为矩形和菱形都是特殊的平行四边形，而四边形对角线相等或对角线互相垂直不能推出此四边形的对角线互相平分，所以此四边形连平行四边形都不是，就更不可能是矩形或菱形了.因此②、③不正确.解：A例4 如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，AE与BD相交F，求证：CF⊥DE分析本题考查正方形性质及全等三角形的判定与性质，要证CF、DE互相垂直，只需证明∠DGC＝Ｒt∠，可联想∠3与∠4互余.根据正方形性质，容易得到△ABF≌△CBF，△ABE≌△CDE，于是有∠1＝∠2＝∠3，而∠2+∠4＝90°，可得∠3+∠4＝90°证明：∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF， BE＝BE∴△ABF≌△CBF ∴∠1＝∠2∵AB＝CD， BE＝CE，∠ABE＝∠DCE∴△ABE≌△DCE ∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3 又∵∠2+∠4＝90°∴∠3+∠4＝90°∴∠DGC＝180°-(∠3+∠4)＝90°∴CF⊥DE【难题巧解点拨】例1 如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F.求证：(1)DP＝EF；(2)DP⊥EF分析本题主要考查利用正方形的性质解决实际问题的能力.延长FP交AD于G.注意到AEPG是正方形，要证DP＝EF，只要证△DPG≌△FPE.显然这两个三角形全等条件具备.延长DP交EF于H.由于△DPG≌△FPE，可得∠1＝∠2.而∠３＝∠4，这样可证∠2+∠3＝90°.从而DP⊥EF.证明：(1)延长FP交AD于G，延长DP交EF于H.∵四边形AEPG是正方形，∴PG＝PE＝AE＝AG∵正方形ABCD ∴AB＝ADAD-AG＝AB-AE＝GF-PG即 GD＝PF∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠DGP＝∠FPE＝90°∴△DPG≌△FEP ∴DP＝EF(2)∵△DPG≌△FEP ∴∠1＝∠2又∠3＝∠4，∠1+∠4＝90°∴∠2+∠3＝90°∴PH ⊥EF ，即DP ⊥EF例2 如图，已知正方形ABCD ，以对角线AC 为边作菱形AEFC ，BF ∥AC.求证：∠ACF ＝5∠F.分析本题考查特殊平行四边形的判定、性质，四边形内角和定理，30°所对直角边的性质的逆用. 由题意，要证：∠ACF ＝5∠F ，就是要证∠F ＝∠CAE ＝30°，这样就需构造Rt △.辅助线EH ⊥AC 自然作出，问题变为转证EH ＝21AE ＝21AC.由于AC ＝DB ，变为证EH ＝21BD ，即证矩形BOHE ，证明矩形时，若用四边形判定，一定要证出三个直角.证明：过E 点作EH ⊥AC 于H ，连BD ∵正方形ABCD ∴BD ＝AC 且BO ＝21AC ∠BOC ＝90°＝∠DOC∵BF ∥AC ∴∠EBO ＝∠DOC ＝90°1AC∴四边形BEHO为矩形∴EH＝BO＝2又∵菱形AEFC ∴AC＝AE1AE ∴∠CAE＝30°∴EH＝2∵菱形AEFC ∴∠A＝∠F＝30°1＝150°∴∠ACF＝∠AEF＝(360°-2×30°)×2∴∠ACF＝5∠A例3 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ACDE和CBFG是在△ABC外的正方形，△ABC的高CH所1DG，DM＝MG在的直线交DG于点M，求证：(1)DG＝AB (2)CM＝21DG，只需证DM＝MG分析要证DG＝AB，需证△DCG≌△ACB，要证CM＝2证明：(1)∵四边形ACDE和CBFG都是正方形∴∠DCA＝∠GCB＝90°， CD＝CACG＝CB(正方形四个角都是直角，四条边相等)又∵∠ACB＝90°∴∠DCG＝360°-∠DCA-∠ACB-∠GCB＝90°＝∠ACB ∴△DCG≌△ACB ∴DG＝AB(2)∵△DCG≌△ACB ∴∠DGC＝∠ABC又∵MH⊥AB ∴∠HCB+∠ABC＝90°∴∠HCB+∠DGC＝90°∵∠GCB＝90°∴∠MCG+∠BCH＝90°∴∠DGC＝∠MCG ∴MC＝MG同理可证：∠MDC＝∠MCD1DG∴MC＝DM ∴MC＝DM＝MG ∴MC＝2【课本难题解答】求证：矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形.(P159 4.3 B组) 证明：∵四边形ABCD为矩形∴∠DAB＝∠ABC＝90°1∠DAB＝45°∴∠1＝∠2＝21∠ABC＝45°∠3＝∠4＝2∴∠QMN＝90°同理，∠MNP＝90°，∠NPQ＝90°∴四边形MNPQ为矩形又∵∠1＝∠3 ∴AM＝BM∵∠2＝∠4AD＝BC ∴△AQD≌△BNC∴AQ＝BN ∴AQ-AM＝BN-BM即MN＝MQ ∴四边形MNPQ为正方形【命题趋势分析】正方形的定义集平行四边形、矩形、菱形性质于一身，且正方形又是正多边形的典型代表，利用它的这些特殊性，说明边、角相等和直线垂直的重要依据，历来为中考热点，类型多以选择、计算证明等形式出现.【典型热点考题】例1 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.对角线平分一组对角分析本题考查应用正方形、矩形、菱形的性质及其异同点解题的能力.正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形，而且这三者又是特殊的平行四边形.弄清楚他们之间的关系就不难判定.只有C性质正方形具有而菱形不一定具有.其余A 、B 、D 三个性质正方形和菱形都具有.解：C例2 求正方形的对角线与边长的比值分析正方形的边长与对角线构成了等腰直角三角形，其中斜边是对角线，由勾股定理可求解.解：设正方形边长为a ，由勾股定理得，斜边之长为22a a ＝a 2 ∴对角线边长＝2a a ＝21＝22. ∴比值为22例3 某同学根据菱形的面积计算公式，推导出对角线长为a 的正方形面积是S ＝21a 2，对此结论，你认为是否正确?若正确，请给予证明；若不正确，举出一个反例来证明.分析因为正方形是特殊的菱形，所以菱形所具有的性质，正方形都具有.当然，菱形的面积计算公式同样适用于正方形.因此这个结论一定正确.证明：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ＝BD ＝a又∵正方形是菱形，而菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半，∴S ＝21×AC ·BD ＝21a 2.事实上，设正方形边长为x ，由勾股定理可得a 2=x 2+x 2=2x 2代入上式，得：S ＝21×2x 2＝x 2S ＝x 2就是正方形的面积公式.本周强化练习：【同步达纲练习】一、填空1.正方形既是相等的矩形，又是有一个角是的菱形.2.正方形和菱形比较，除具有的性质外，它们具有的共同性质还有：四条边都，对角线 .3.对角线的四边形是正方形.4.正方形和矩形比较，除具有的性质外，它们还具有的共同性质还有：四个角都，对角线.5.如果一个正方形的边长恰好等于边长为m的正方形对角线的长，那么这两个正方形周长和为，面积的和为 .6.如图4.6-12，正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA上的点，并且EF＝AF+CE，∠BEF＝∠BEC，那么∠EBF＝度.7.如图4.6-13，正方形ABCD中，E是CF上的点，四边形BEFD是菱形，那么∠BEF＝度.图4.6-12 图4.6-138.如图 4.6-14，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，若EC＝AC，AE交CD于F，那么∠AFC＝度.图4.6-14 图4.6-159.如图4.6-15，将边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上一点E，若DE为5，则折痕PQ 的长为 .10.P是正方形ABCD内一点，△PAB为正三角形，若正方形的面积为1，则△PAB的面积为 .二、选择题1.下列命题是真命题的是( )A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.正方形具有而矩形不一定具有性质是( )A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直3.下列命题中，错误的是( )A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.两组对边分别相等的四边是平行四边形C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.四个角相等的菱形是正方形4.如图，正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM是( )A.45°B.55°C.65°D.75°5.下列命题正确的是( )A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.以一条对角线所在直线为对称轴的平行四边形是菱形C.顺次连结矩形四条边中点所得的四边形仍是矩形6.下列命题中，假命题是( )A.矩形的对角线相等B.菱形的对角线互相垂直C.正方形的对角线相等且互相垂直D.梯形的对角线互相平分7.在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使AE＝AB，作EF⊥AC交BC于F，则下列关系式成立的是( )A.BF＝ECB.BF≠ECC.BF＜ECD.BF＞EC8.以正方形ABCD的边AB向外作等边三角形ABE，BD、CE交于F，则∠AFD的度数为( )A.50°B.60°C.67.5°D.75°9.在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的三等分点，则四边形EFGH是( )A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形10.给出下列结论：(1)正方形具有平行四边形的一切性质，(2)正方形具有矩形的一切性质，(3)正方形具有菱形的一切性质，(4)正方形共有两条对称轴，(5)正方形共有四条对称轴，其中正确的结论有( )A.2B.3个C.4个D.5个三、解答题1.在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，求∠AFD的度数?2.如图所示，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M、D在AK的同旁，连结BK和DM，求证：BK＝DM.3.如图，已知正方形ABCD，在BC上取一点E，延长AB至F，使BF＝BE，AE的延长线交CF于G，求证AG ⊥CF.4.如图，E为正方形ABCD的边AB延长线上一点，DE交AC于F，交BC于G，H为GE的中点.求证：BF⊥BH.5.如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF.【素质优化训练】如图，M为正方形ABCD的AB边上的中点，MN⊥DM，BN平分∠CBG.求证：DM＝MN【生活实际运用】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O.点O是正方形A′B′C′O的一个顶点.如果两个正方形的边长相1，等，那么正方形A′B′C′O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的4想一想这是为什么.【知识探究学习】如图，已知E是正方形ABCD的边BC上的中点，F是CD上一点，AE平分∠BAF，求证：AF＝BC+CF. 参考答案一、1.邻边相等直角 2.平行四边形相等互相垂直且平分每一组对角 3.相互平分相等互相垂3直 4.平行四边形是直角互相垂直 5.4(2+1)m 3m2 6.45°7.150° 8.112.5° 9.13 10.4二、1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.C三、1.67.5° 2.提示：证△MAD≌△KAB(SAS) 3.提示：证△ABE≌△CBF，再证∠AGC＝∠ABE＝90° 4.先证△BCF≌△DCF，得：∠CDF＝∠CBF，进而证∠GBF＝∠HBG，得：∠FBG+∠GBH＝∠GBH+∠HBE＝90°，得BF⊥BH 5.提示：延长CB到G，使BG＝FD，证△ABG≌△ADF，得：∠BAG＝∠DAF，再证△AEF≌△AEG，得EF ＝EG＝EB+BG＝EB+DF【素质优化训练】提示：取AD的中点E，连EM.【生活实际运用】略.【知识探究学习】提示：延长FC交AE的延长线于H.专项训练二概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A．通常加热到100℃时，水沸腾 B．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( ) A.316 B.38 C.58 D.1316第7题图第8题图 8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________．三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格：事件A 必然事件随机事件(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15．解：(1)4 2或3 (2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14；(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16；(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 52 2 23 2 5 2 3 2 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。

人教版八年级数学下册正方形课后练习题 (Word版含答案)

18.2.3正方形课后练习题一、选择题1．下列说法正确的是（）A．平行四边形的对角线互相平分且相等B．矩形的对角线相等且互相平分C．菱形的对角线互相垂直且相等D．正方形的对角线是正方形的对称轴2．如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边CD、AD上,BE与CF交于点G．若BC＝8,DE＝AF＝2,则FG的长为（）A．B．C．D．3．如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为AB,AD的中点,CE,BF相交于点G,AB＝2,则CG＝（）A．B．C．D．4．如图,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE＝22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF 的长为（）A．4﹣2B．3﹣4 C．1 D．5．如图,有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD,将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点,两条直角边分别与CD交于点F,与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是（）A ．13B ．14C ．15D ．166．如图,正方形ABCD 的边长为6,将正方形折叠,使顶点D 落在BC 边上的点E 处,折痕为GH ,若BE ：EC =2：1,则线段CH 的长是（）A ．B ．C ．3D ．3.57．如图,正方形ABCD 的边长为2,E 是BC 的中点,点P 是AC 边上的一个动点,连结BP ,EP ,则BP ＋EP 的最小值为（）AB C D ＋18．如图,正方形ABCD 的边长为1,取AB 中点E ,取BC 中点F ,连接DE ,AF ,DE 与AF 交于点O ．连接OC ,则OC ＝（）52835322A ．1B ．C ．D ．9．如图,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 、BD 的交点,△DCE 为Rt △,∠CED ＝90°,OE ＝2,若CE •DE ＝4,则正方形的面积为（）A ．5B ．6C ．7D ．810．如图,正方形ABCD ,对角线,AC BD 相交于点O,过点D 作ODC ∠的角平分线交OC 于点G,过点C 作CF DG ⊥,垂足为F,交BD 于点E,则:ADG BCE S S 的比为（）A ．21):1B ．(221):1C ．2∶1D ．5∶2二、填空题11．顺次连接四边形ABCD 各边中点E 、F 、G 、H ,得到四边形EFGH ,只要添加___条件,就能保证四边形EFGH 是矩形．12．如图,正方形ABCD 和正方形CEFG 中,点D 在CG 上,AD DG ＝,H 是AF 的中点,那么CH 的长是_____．2213．正方形ABCD 的边长为4,则图中阴影部分的面积为 _____．14．如图,在正方形ABCD 中,AB ＝4,E 为对角线AC 上与A ,C 不重合的一个动点,过点E 作EF ∶AB 于点F ,EG ∶BC 于点G ,连接DE ,FG ,下列结论：∶DE ＝FG ；∶DE ∶FG ；∶∶BFG ＝∶ADE ；∶FG 的最小值为3．其中正确结论的序号为__．15．如图,E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点,对角线AC 、BD 的长分别为7和9,则四边形EFGH 的周长是______．三、解答题16．已知：如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,CD 是ABC 的角平分线,DE BC ⊥,DF AC ⊥,垂足分別为E 、F ．求证：四边形CEDF 是正方形．17．如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,连接AE ,过点B 作射线BM 交CD 于点F , 交AE 于点O,且BF ⊥AE ．(1)求证：BF ＝AE ；(2)连接OD ,猜想OD 与AB 的数量关系,并证明．18．如图,点P （3m -1,-2m +4）在第一象限的角平分线OC 上,AP ⊥BP ,点A 在x 轴正半轴上,点B 在y 轴正半轴上．(1)求点P 的坐标．(2)当∠APB 绕点P 旋转时,①OA +OB 的值是否发生变化？若变化,求出其变化范围；若不变,求出这个定值． ②请求出OA 2+OB 2的最小值．19．如图,Rt △ABC 中,,CD 是斜边AB 上的中线,分别过点A ,C 作,,两线交于点E ．90ACB ∠=︒AE DC ∥CE AB ∥(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若∠B ＝45°,CD ＝2,求四边形AECD 的面积．20．如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,B A ∠>∠,点D 为边AB 的中点,//DE BC 交AC 于点E ,//CF AB 交DE 的延长线于点F ．（1）求证：DE EF =；（2）当Rt ABC 满足什么条件时,四边形ADCF 是正方形？请证明你的结论．21．提出问题：（1）如图1,已知在锐角ABC 中,分别以AB 、AC 为边向ABC 外作等腰直角ABD △和等腰直角ACE ,连接BE 、CD ,则线段BE 与线段CD 的数量关系是；（2）如图2,在ABC 中,90ACB ∠=︒,分别以边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ,连接CE ,BG ,EG ．猜想线段CE 与线段BG 的有什么关系？并说明理由．（提示：正方形的各边都相等,各角均为90︒）（3）在（2）的条件下,探究ABC 与AEG △面积是否相等？说明理由．【参考答案】1．B 2．A 3．D 4．A 5．D 6．B 7．A 8．A 9．D 10．D11．AC BD⊥1213．814．∶∶∶15．1616．证明：∶CD平分ACB∠,DE BC⊥,DF AC⊥,∶DE DF=,90DFC∠=︒,90DEC∠=︒,又∶90ACB∠=︒,∶四边形DECF是矩形,∶DE DF=,∶矩形DECF是正方形．17．(1)证明：在正方形ABCD中,∶ABC=∶C=90°,AB=BC,∶∶BAE+∶AEB=90°,∶BF∶AE,∶∶EOB=90°,∶∶CBF+∶AEB=90°,∶∶BAE=∶CBF,∶∶ABE∶∶BCF,∶BF=AE；(2)解：OD=AB,理由如下：如图,延长AD交射线BM于点G,由（1）得：∶ABE∶∶BCF,∶BE=CF,∶E是BC的中点,∶,∶CF=DF,∶AD∶BC,∶∶DGF=∶CBF,101122CF BE BC CD===在∶DGF 和∶CBF 中,∶∶DGF =∶CBF ,∶DFG =∶BFC ,DF =CF ,∶∶DGF ∶∶CBF ,∶DG =BC ,∶DG =AD ,即OD 为∶AOG 的中线,∶BF ∶AE ,∶． 18．(1)解：∶点P （3m -1,-2m +4）在第一象限的角平分线OC 上, ∶3m -1=-2m +4,∶m =1,∶P （2,2）；(2)∶过点P 作PM ∶y 轴于M ,PN ∶OA 于N ．∶∶PMO =∶PNO =∶MON =90°,∶四边形OMPN 是矩形,∶OP 平分∶MON ,PM ∶OM ,PN ∶ON ,∶PM =PN ,∶四边形OMPN 是正方形,∶P （2,2）,∶PM =PN =OM =ON =2,∶AP ∶BP ,∶∶APB =∶MPN =90°,∶∶MPB +∶BPN =∶BPN +∶NP A =90°,∶∶MPB =∶NP A ,在△PMB 和△PNA 中,, ∶∶PMB ∶∶PNA （ASA ）,∶BM =AN ,∶OB +OA =OM -BM +ON +AN =2OM =4．12OD AG AD AB ===MPB NPA PM PN PMB PNA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∶连接AB ,∶∶AOB =90°,∶OA 2+OB 2=AB 2．∶∶BP A =90°,∶AB 2=P A 2+PB 2=2P A 2,∶OA 2+OB 2=2P A 2,当P A 最小时,OA 2+OB 2也最小．根据垂线段最短原理,P A 最小值为2．∶OA 2+OB 2的最小值为8．19．(1)证明：∶AE∥DC ,CE∥AB ,∶四边形AECD 是平行四边形,∶Rt∶ABC 中,,CD 是斜边AB 上的中线, ∶CD =AD ,∶四边形AECD 是菱形．(2)解：∶Rt∶ABC 中,,CD 是斜边AB 上的中线, ∶CD =AD=DB=2,∶∶B =∶BCD =45°,∶∶CDA =∶B +∶BCD =90°,∶四边形AECD 是正方形,∶ S 正方形AECD = CD 2=4．21．解：（1）如图（1）所示：∵点(),0B b ,()0,D d ,∴OB b =,OD d =,∵四边形OBCD 是矩形, 90ACB ∠=︒90ACB ∠=︒∴CD OB b ==,BC OD d ==,∴点(),C b d ；（2）如图（2）所示：∵四边形ABCD 是菱形,∴OA OC =,OB OD =,∵点(),0C c ,()0,D d ,∴OA OC c ==,OB OD d ==,∴点(),0A c -,点()0,B d -；（3）如图（3）所示：∵四边形OBCD 是正方形,∴OB BC CD OD ===,∵点()0,D d ,∴OD d =,∴OB BC CD d ===,∴点(),0B d ,点(),C d d ．23．解：（1）∶∶ABD 和∶ACE 都是等腰直角三角形, ∶AB ＝AD ,AC ＝AE ,∶DAB ＝∶CAE ＝90°, ∶∶DAC ＝∶BAE ,∶∶ADC ∶∶ABE （SAS ）,∶BE ＝CD ,故答案为： BE CD =；（2）CE BG =,CE BG ⊥；理由如下：如图,设AB 与CE 的交点为P ,∶四边形ACFG 和四边形ABDE 是正方形, ∶AB ＝AE ,AC ＝AG ,∶EAB ＝∶GAC ＝90°,, EAB BAC GAC BAC ∴∠+∠=∠+∠,EAC BAG ∴∠=∠,在EAC ∆和BAG ∆中,EA BA EAC BAG AC AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()EAC BAG SAS ∴∆≅∆,CE BG ∴=,AEC ABG ∠=,90AEC APE ∠+∠=︒,APE BPC ∠=∠, 90BPC ABG ∴∠+∠=︒,CE BG ∴⊥；即：CE BG =,CE BG ⊥；（3）如图,过点E 作EH AG ⊥交GA 延长线于H ；90EHA BCA ∴∠=∠︒=∠,90EAH BAH ∠+∠=︒,90BAC BAH ∠+∠=︒, EAH BAC ∴∠=∠,在EHA ∆和BCA ∆中,EHA BCA EAH BAC AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, EHA BCA ∴∆≅∆,EH BC ∴=,AC AG =1122ABC S AC BC AC EH ∆∴=⨯=⨯, 1122AGE S AG EH AC EH ∆=⨯=⨯ ABC AGE S S ∆∆∴=。

八年级数学正方形的判定和性质(人教版)(基础)(含答案)

正方形的判定和性质（人教版）（基础）一、单选题(共9道，每道11分)1.如果要证明四边形ABCD为正方形，我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )A.AC与BD互相垂直平分B.∠A=∠B且AC=BDC.AB=AD且AC=BDD.AB=AD且AC⊥BD答案：C解题思路：A：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A不能；B：一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，故B不能；C：对角线相等的平行四边形是矩形，一组邻边相等的矩形为正方形，故C可以；D：一组邻边相等的平行四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形也是菱形，故D不能。

故选C试题难度：三颗星知识点：略2.四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定四边形是正方形的条件是( )A.AC=BD，AB=CD，AB∥CDB.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDC.AD∥BC，∠A=∠CD.AO=CO，BO=DO，AB=BC答案：B解题思路：先画草图，再依图分析；A：若AB=CD，AB∥CD，可判断是平行四边形，再由AC=BD，可判断是矩形，则A错；B：若AO=BO=CO=DO，可判断是矩形，再由AC⊥BD，可判断是正方形，则B对；C：若AD//BC，∠A=∠C，可判断是平行四边形，则C错；D：若AO=CO，BO=DO，可判断是平行四边形，再由AB=BC，可判断是菱形，则D错．故选B．试题难度：三颗星知识点：略3.学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．上述四名同学的说法中，正确的是( )A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙、丁D.甲、乙、丙、丁答案：D解题思路：甲：根据判定定理有一个角是直角的菱形是正方形，可判断甲正确；乙：根据判定定理有一组邻边相等的矩形是正方形，可判断乙正确；丙：由对角线互相垂直平分判定为菱形，再加上对角线相等可判定为矩形，综合可得四边形为正方形，故丙正确；丁：有一个角是直角的平行四边形是矩形，再加上有一组邻边相等可判断为正方形，故丁正确。

人教版八年级数学下册正方形知识点及同步练习、含答案

学科：数学教学内容：正方形【学习目标】1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系． 3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 3．正方形的判定（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．【基础知识精讲】1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行⎭⎬⎫)()2()()1(正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2．正方形的性质可归纳如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．【例题精讲】［例1］如图4－50，已知矩形ABCD 中，F 为CD 的中点，在BC 上有一点E ，使AE ＝DC ＋CE ，AF 平分∠EAD ．求证：矩形ABCD 是正方形．图4—50剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．∵DF＝CF，∴GF＝CF．∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，∴Rt△GFE≌Rt△CFE．∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．∴矩形ABCD是正方形．说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．图4—51对上述命题的证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．∴∠3＋∠2＝90°，∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．∴∠1＝∠2，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图4—52剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，∴∠OFA＋∠FAE＝90°又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，∴∠OEB＝∠OFA，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．图4—53剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的2倍，而正方形的对角线是边长的2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．【同步达纲练习】1．选择题（1）下列命题中，假命题的个数是（）①四边都相等的四边形是正方形②对角线互相垂直的平行四边形是正方形③四角都相等的四边形是正方形④对角线相等的菱形是正方形A．1 B．2 C．3 D．4（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直平分B．对角线相等C．邻边相等D．每条对角线平分一组对角（3）正方形的对角线与边长之比为（）A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．2∶1（4）以等边△ABC的边BC为边向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°，②∠ACD＝150°，③∠DAE＝30°，④△ABE≌△ACD，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（5）在正方形ABCD中，P、Q、R、S分别在边AB、BC、CD、DA上，且AP＝BQ＝CR＝DS ＝1，AB＝5，那么四边形PQRS的面积等于（）A．17 B．16 C．15 D．9（6）如图4－54，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于（）图4—54A．7 B．5 C．4 D．3（7）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A．213+B．213-C．3 D．2（8）如图4－55，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于（）图4—55A．45°B．55°C．65°D．75°2．填空题（1）已知正方形的面积是16 cm2，则它的一边长是_____，一条对角线长是_____．（2）已知正方形的对角线长为22，则此正方形的周长为_____，面积为_____．（3）在正方形ABCD 中，两条对角线相交于O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，若正方形ABCD 的周长是16 cm ，则DE ＝_____cm ．（4）在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，那么∠AFC 等于_____度．3．如图4－56，已知正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF ．图4—56（1）求证：△BCE ≌△DCF ；（2）若∠BEC ＝60°，求∠EFD 的度数．4．已知：如图4－57，在正方形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，EB ＝21BC ，如果F 是AB 的中点，请你在正方形ABCD 上找一点，与F 点连结成线段，并证明它和AE 相等．图4—575．以△ABC 的AB 、AC 为边，向三角形外作正方形ABDE 及ACGF ，作AN ⊥BC 于点N ，延长NA 交EF 于M 点．（1）求证：EM ＝FM ；（2）若使AM ＝21EF ，则△ABC 必须满足什么条件呢？图4—586．如图4－58，已知正方形ABCD 中，M 、F 分别在边AB 、AD 上，且MB ＝FD ，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，MN 与∠CBE 的平分线相交于N ．求证：DM ＝MN ．7．如图4－59，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE和BCFG．图4—59求证：AF＝DB；若点C在线段AB的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请加以证明，如果不正确，请说明理由．【思路拓展题】你会设计吗今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出如图4－60的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）图4—60参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A（8）B2．（1）4 42（2）8 4 （3）4 （4）112.53．（1）略（2）15°4．连结CF，可证△ABE≌△CBF或连结DF，让△ABE≌△DAF。

人教版八级数学下册正方形知识点及同步练习、含答案

学科：数学教学内容：正方形【学习目标】1．探索并掌握正方形的概念及特征，并学会识别正方形．2．能正确理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系．【基础知识概述】1．正方形定义：(1)有一组邻边相等并且有—个角是直角的平行四边形叫做正方形．(2)正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有—个角是直角的菱形．(3)既是矩形又是菱形的四边形是正方形．2．正方形的特征：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．(1)边——四边相等、邻边垂直、对边平行．(2)角——四角都是直角．(3)对角线——①相等；②互相垂直平分；③每条对角线平分一组对角．(4)是轴对称图形，有4条对称轴．3．正方形的识别方法：(1)一组邻边相等的矩形是正方形．(2)—个角是直角的菱形是正方形．4．正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图12-2-13．5．正方形的面积：正方形的面积等于边长的平方或者等于两条对角线乘积的一半．【例题精讲】例1如图12-2-14，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F．试说明AP＝EF．分析：由PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需证AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分知AP＝CP．解：连结AC、PC，∵四边形ABCD为正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP＝CP．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF．注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等．②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中．思考：由上述条件是否可以得到AP⊥EF．提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠NPE＝∠BAN．又∠BAN＝∠BCP，而∠BCP＝∠PFE，故∠NPE＝∠PFE，而∠PFE＋∠PEF＝90°，所以∠NPE＋∠PEF＝90°，则AP⊥EF．例2如图12-2-15，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，试说明四边形BEDF是正方形．解：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AB，同理，DF∥BC，∴BEDF是平行四边形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF．又∵∠ABC＝90°，BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是正方形．思考：还有没有其他方法？提示：(有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE 为菱形，后证一个角为90°可得)注意：灵活选择正方形的识别方法．例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算．在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系．在(1)图中，△ABE和△DCE都是等腰三角形，顶角都是150°，可得底角∠AEB与∠DEC都是15°，则∠BEC为30°．而在(2)图中，等边三角形在正方形内部，△ABE和△DCE是等腰三角形，顶角是30°，可得底角∠AEB和∠DEC为75°，再利用周角可求得∠BEC ＝150°．解：(1)当等边△ADE在正方形ABCD外部时，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠AEB＝15°．同理可得∠DEC＝15°，则∠BEC＝60°－15°－15°＝30°．(2)当等边△ADE在正方形ABCD内部时，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，所以∠AEB＝75°．同理可得∠DEC＝75°，则∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°．【中考考点】会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形．【命题方向】本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现．正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现．【常见错误分析】已知如图12-2-18，△ABC中，∠C＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFH和正方形BCED，HM ⊥BA的延长线于M，DK⊥AB的延长线于K．试说明AB＝DK＋HM．错解：延长DK到S，使KS＝HM，连结SB．∵∠2＝∠3，∠2＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°．在△ABC和△SDB中，∵∠ACB＝∠SBD＝90°，BC＝BD，∠2＝90°－∠4＝∠5∴△ABC与△SDB重合，∴AB＝SD＝SK＋DK，即AB＝HM＋DK．分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以∠2＝∠3的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误．正解：如图12-2-18，延长DK交CB延长线于S，下面证KS＝MH．在△ACB和△SBD中，∵BD＝BC，∠SBD＝∠ACB＝90°，又∠2＝∠3＝∠5，∴△ACB与△SBD重合，∴AB＝DS，BS＝AC＝AH．在△BKS和△AMH中，∵∠1＝∠2＝∠3，∠AMH＝∠SKB＝90°，BS＝AH，∴△BKS与△AMH重合，∴KS＝HM，∴AB＝DK＋HM．【学习方法指导】正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆．故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分．【同步达纲练习】一、填空题1．正方形既是________相等的矩形，又是有一个角是________的菱形．2．正方形ABCD中，对角线AC＝24，P是AB边上一点，则点P到对角线AC、BD的距离和为________．3．已知对角线AC、BD相交于O，(1)若AB＝BC，则是________；(2)若AC＝BD，则是________；(3)若∠BCD＝90°，是________；(4)若OA＝OB，则是________；(5)若AB＝BC，且AC＝BD，则是________．4．在边长为2的正方形中有一点P，那么这个点P到四边的距离之和是________．5．如图12-2-19，正方形ABCD的面积等于2cm4，则阴影部分的面积S＝9，正方形DEFG的面积等于2cm________2cm．6．如图12-2-20，下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现：(1)第4个图形中火柴棒的根数是________；(2)第n个图形中火柴棒的根数是________．7．已知E、F为正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF＝50°，则∠CME＋∠CNF＝________．二、解答题8．如图12-2-21所示，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，求∠AFC的度数．9．如图12-2-22，已知正方形ABCD中，BE∥AC，AE＝AC，试说明CE＝CF．10．如图12-2-23，正方形ABCD中，AC与BD相交于O，E、F分别是DB、BD延长线上的点，且BE＝DF，试说明∠E＝∠F．11．如图12-2-24所示，点G是边长为4的正方形ABCD边上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，已知DG ＝5，求FC的值．参考答案【同步达纲练习】1．邻边，直角2．123．(1)菱形 (2)矩形 (3)矩形 (4)矩形 (5)正方形4．475．26．(1)13 (2)3n＋17．100°8．在正方形ABCD 中，∠ACB ＝45°(正方形的每条对角线平分一组对角)．已知AC ＝CE ，所以∠CAE ＝∠E ，所以∠CAE ＋∠E ＝45°，所以∠E ＝22.5°．因为∠DCE ＝90°，∠AFC ＝∠DCE ＋∠E ＝90°＋22.5°＝112.5°．9．过点E 作EG ⊥AC 于G ，连结BD ，∵EG ⊥AC ，BD ⊥AC ，∴EG ∥BD ．又AC ∥BE ，∴四边形EGOB 是矩形，∴EG ＝BO ．∵BD ＝AC ， ∴AE 21AC 21EG ==， ∴∠EAG ＝30°．∵△ACE 是等腰三角形， ∴︒=︒-︒=∠75)30180(21AEC ． ∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ACB ＝45°．∵∠CFE ＝∠EAC ＋∠FCA ＝30°＋45°＝75°，即∠CFE ＝∠CEF ，∴CF ＝CE ．10．提示：易知OF ＝OE ，且AC ⊥BD 于O ，∴AC 为EF 的中垂线，∴EC ＝CF ，∴∠E ＝∠F ．11．连结AG ，过点A 作AH ⊥GD ，过点G 作GP ⊥AD ，垂足分别为H 、P ，易知AH ＝FG ，PG ＝AB ，所以依题意有PG AD 21AH DG 21S AGD ⨯⨯=⨯⨯=∆，即4421AH 521⨯⨯=⨯⨯，所以AH ＝3.2，即FG ＝3.2．专项训练二概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A ．通常加热到100℃时，水沸腾B ．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D ．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( ) A.316 B.38 C.58 D.1316第7题图第8题图 8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________．三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格：事件A 必然事件随机事件(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15．解：(1)4 2或3 (2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14；(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16；(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 52 2 23 2 5 2 3 2 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。

新人教版数学八年级下《18.2.3正方形》课时练习含答案解析

新人教版数学八年级下册18.2.3正方形课时练习一．选择题（共15小题）1．如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A．12 B．13 C．26 D．30答案：C知识点：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质解析：解答：解：设AB＝3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对．故选C．分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏．2．如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD∵CE＝DF∴DE＝AF∴△ADE≌△BAF∴①AE＝BF，S△ADE＝S△BAF，∠DEA＝∠AFB，∠EAD＝∠FBA∴④S△AOB＝S四边形DEOF∵∠ABF＋∠AFB＝∠DAE＋∠DEA＝90°∴∠AFB＋∠EAF＝90°∴②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．故选A．分析：根据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE＝BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB＝S四边形DEOF；可以证出∠ABO＋∠BAO ＝90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质．3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE 于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④答案：D知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDF＝45°．∵AD＝CD，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF．∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．∵∠ALH＋∠LAF＝90°，∴∠LHC＋∠DAF＝90°．∵∠ECF＝∠DAF，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC．∴FH＝AF．（2）∵FH⊥AE，FH＝AF，∴∠HAE＝45°．（3）连接AC交BD于点O，可知：BD＝2OA，∵∠AFO＋∠GFH＝∠GHF＋∠GFH，∴∠AFO＝∠GHF．∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA＝GF．∵BD＝2OA，∴BD＝2FG．（4）延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则：LI＝HC，根据△MEC≌△MIC，可得：CE＝IM，同理，可得：AL＝HE，∴HE＋HC＋EC＝AL＋LI＋IM＝AM＝8．∴△CEM的周长为8，为定值．故（1）（2）（3）（4）结论都正确．故选D．分析：（1）作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需证明FC＝FH，可证：AF＝FH；（2）由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°；（3）作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD＝2FG，只需证OA＝GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA＝GF，故可证BD＝2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则IL＝HC，可证AL＝HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI＝IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值．解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．4．一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．12答案：D知识点：正方形的性质解析：解答：解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为2＜223＜3，且小方格的对角线长2＜1.5．故该卡片可以按照如图所示放置：图示为n取最大值的时候，n＝12．故选D．分析：要n 取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度．本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n 为最大值，是解题的关键．5．如图，四边形ABCD 是正方形，以CD 为边作等边三角形CDE ，BE 与AC 相交于点M ，则∠AMD 的度数是（）A ．75°B ．60°C ．54°D ．67.5° 答案：B知识点：正方形的性质；线段垂直平分线的性质解析：解答：解：如图，连接BD ，∵∠BCE ＝∠BCD ＋∠DCE ＝90°＋60°＝150°，BC ＝EC ，∴∠EBC ＝∠BEC ＝21（180°－∠BCE ）＝15° ∵∠BCM ＝21∠BCD ＝45°， ∴∠BMC ＝180°－（∠BCM ＋∠EBC ）＝120°，∴∠AMB ＝180°－∠BMC ＝60°∵AC 是线段BD 的垂直平分线，M 在AC 上，∴∠AMD ＝∠AMB ＝60°故选B ．分析：连接BD ，根据BD ，AC 为正方形的两条对角线可知AC 为BD 的垂直平分线，所以∠AMD ＝AMB ，要求∠AMD ，求∠AMB 即可．本题考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得∠AMD ＝∠AMB ，确定AC 和BD 垂直平分是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（）A．13 B．21 C．17 D．25答案：D知识点：正方形的性质；坐标与图形性质解析：解答：解：正方形边上的整点为（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6）；在其内的整点有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）．故选D．分析：根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点．本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键．7．在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（）A．4条B．8条C．12条D．16条答案：D知识点：正方形的性质；点到直线的距离解析：解答：解：符合题目要求的一共16条直线，下图虚线所示直线均符合题目要求．分析：根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，①该直线切割正方形，确定直线的位置；②该直线在正方形外，确定直线的位置．本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键．8．如图，正方形ABCD 的边长为1，E 为AD 中点，P 为CE 中点，F 为BP 中点，则F 到BD 的距离等于（）A ．82B ．102C ．122D ．162 答案：D知识点：正方形的性质；三角形的面积解析：解答：解：连接DP ，S △BDP ＝S △BDC －S △DPC －S △BPC ＝21－21×1×21－21×1×41 ＝81， ∵F 为BP 的中点，∴P 到BD 的距离为F 到BD 的距离的2倍．∴S △BDP ＝2S △BDF ，∴S △BDF ＝161，设F 到BD 的距离为h ，根据三角形面积计算公式，S △BDF ＝21×BD ×h ＝161，计算得：h ＝22161＝162．故选D ．分析：图中，F 为BP 的中点，所以S △BDP ＝2S △BDF ，所以要求F 到BD 的距离，求出P 到BD 的距离即可．本题考查的是转化思想，先求三角形的面积，再根据三角形面积计算公式，计算三角形的高，即F 到BD 的距离．9．搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD ，彩线BD ．AN ．CM 将正方形ABCD 分成六部分，其中M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，AN 与CM 交于O 点．已知正方形ABCD 的面积为576cm 2，则被分隔开的△CON 的面积为（）A ．96cm 2B ．48cm 2C ．24cm 2D ．以上都不对答案：B知识点：正方形的性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质解析：解答：解：找到CD 的中点E ，找到AD 的中点F ，连接CF ，AE ，则CM ∥EA ，AN ∥FC ，△BOM ∽△BKA ， ∴BK BO ＝BABM ＝21，同理可证：DO DK ＝DA DF ＝21，故DK ＝KO ＝OB ， ∴△BOC 和△BOA 的面积和为31正方形ABCD 的面积， ∵CN ＝NB ＝AM ＝BM ，∴△OCN 的面积为41△BOC 和△BOA 的面积和，∴△OCN 的面积为12576＝48cm 2，故选B ．分析：先证明BO 为正方形ABCD 的对角线BD 的31，再求证△CNO ，△NBO ，△AMO ，△BMO 的面积相等，即△CON 的面积为正方形面积的121．本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO ＝31BD ，△OCN 的面积为41△BOC 和△BOA 的面积和． 10．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，在BD 上截取BE ＝BC ，连接CE ，点P 是CE 上任意一点，PM ⊥BD 于M ，PN ⊥BC 于N ，若正方形ABCD 的边长为1，则PM ＋PN ＝（）A ．1B ．2C ．22D ．1＋2答案：C知识点：正方形的性质，三角形的面积解析：解答：解：连接BP ，作EH ⊥BC ，则PM ．PN 分别为△BPE 和△BCP 的高，且底边长均为1，S △BCE ＝1－－S △CDE ，∵DE ＝BD －BE ＝，△CDE 中CD 边上的高为22（2－1）， ∵S △CDE ＝CD ×22（2－1）＝－42； S △BCE ＝1－21－S △CDE ＝42；又∵S △BCE ＝S △BPE ＋S △BPC ＝•BC•（PM ＋PN ）∴PM ＋PN ＝＝．故选C ．分析：连接BP ，PM ．PN 分别为△BPE 和△BCP 的高，且底边长均为1，因此根据面积计算方法可以求PM ＋PN ．本题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转化思想，考查正方形对角线互相垂直且对角线即角平分线的性质，面积转换思想是解决本题的关键．11．顶点为A （6，6），B （－4，3），C （－1，－7），D （9，－4）的正方形在第一象限的面积是（）A ．25B ．36C ．49D ．30 答案：B知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；三角形的面积解析：解答：解：连接OA ，过A ．D 两点的直线方程是69664-6----x y ＝，即y ＝－x 310＋16，解得它与x 轴的交点E 的横坐标是x ＝7.8，同理求得过A ．B 两点的直线方程是y ＝－x 103＋4.2，解得它与y 轴的交点E 的纵坐标是y ＝4.2，∴S △AOE ＝21×7.8×6＝23.4，S △AFO ＝21×4.2×6＝12.6， ∴S △AOE ＋S △AFO ＝23.4＋12.6＝36，即顶点为A （6，6），B （－4，3），C （－1，－7），D （9，－4）的正方形在第一象限的面积是36．分析：根据正方形的顶点坐标，求出直线AD 的方程，由方程式知AD 与x 轴的交点E 的坐标，同理求得AB 与y 轴的交点F 的坐标，连接OA ，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积．解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E ．F 在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果．12．ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则△BPD 的面积为（）A ．41B ．413－C ．81D ．8132－答案：B知识点：正方形的性质；三角形的面积；等边三角形的性质解析：解答：解：△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积因此本题求解△BCP ．△CDP 面积和△BCD 的面积即可，S △BCP ＝4323121＝⨯⨯， S △CDP ＝4121121＝⨯⨯，S △BCD ＝×1×1＝，∴S △BPD ＝413214143－＝－＋．故选B ．分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积的等量关系，并进行求解．本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的等腰直角三角形．解决本题的关键是找到△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积的等量关系．13．如图，正方形ABCD 的面积为16，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线BD 上有一点P ，使PC ＋PE 的和最小，则这个最小值为（）A ．4B ．23C ．26D ．2答案：A知识点：轴对称－最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质解析：解答：解：∵正方形ABCD ，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ，∴C ．A 关于BD 对称，即C 关于BD 的对称点是A ，连接AE 交BD 于P ，则此时EP ＋CP 的值最小，∵C ．A 关于BD 对称，∴CP ＝AP ，∴EP ＋CP ＝AE ，∵等边三角形ABE，∴EP＋CP＝AE＝AB，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝4，∴EP＋CP＝4，故选A．分析：根据正方形的性质，推出C．A关于BD对称，推出CP＝AP，推出EP＋CP＝AE，根据等边三角形性质推出AE＝AB＝EP＋CP，根据正方形面积公式求出AB即可．本题考查了正方形的性质，轴对称－最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP＋CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．14.如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝()A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm答案：A知识点：正方形的性质；翻折变换（折叠问题）解析：解答：解：∵四边形CEFD是正方形，AD＝BC＝10cm，BE＝6cm，∴CE＝EF＝CD＝10－6＝4(cm).分析：根据正方形的性质，即可轻松解答．15.如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为()A.14B.15C.16D.17答案：C知识点：正方形的性质；菱形的性质解析：解答：解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ＝4，∴正方形ACEF 的周长是AC ＋CE ＋EF ＋FA ＝4×4＝16.分析：根据正方形和菱形的性质，即可轻松解答．二．填空题（共5小题）1．如图所示，将五个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，其中点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点、如果有n 个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是___cm 2．答案：41-n 知识点：正方形的性质；探索图形规律解析：解答：解：∵点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点 ∴两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的，即41×1×1＝41，当有三个三角形时，其面积为41＋41＝42 当有四个时，其面积为41＋41＋41＝43 所以当n 个三角形时，其面积为41-n ．故答案为41-n ．分析：求面积问题，因为点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点，所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的41，由此便可求解．熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的计算问题．2．如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系、已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA 沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE＝FP，则P 点坐标为．答案：（0，4）或（0，0）知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：连接EF，∵OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，∵点E是AB的中点，∴BE＝1，∵BF＝AB，∴CF＝BE＝1，∵FE＝FP，∴Rt△FCP≌Rt△FBE，∴PC＝BF＝2，∴P点坐标为（0，4）或（0，0），即图中的点P和点P′．故答案为：（0，4），（0，0）分析：连接EF，CF＝BE＝1，若EF＝FP，显然Rt△FCP≌Rt△FBE，由此确定CP的长．本题考查了三角形翻折前后的不变量，利用三角形的全等解决问题．3．如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O1O2的长为．答案：ab 41 ）＋（22221b a 知识点：正方形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质解析：解答：解：做O 1H ∥AE ，使O 2H ⊥O 1H ，交BG 于P ，K 点，（1）BP ＝，又∵O 2H ⊥HO 1，∴KP ∥HO 2，∴△PKO 1∽△HO 2O 1， ∴ba a HO PO HO KP +＝＝112， KP ＝）（＝b a a ab a b b a a +--⨯+222，阴影部分的面积＝21×BK ×（2b a +）＝21×[2a ＋）（b a a ab +-22]×2b a + ＝82ab ＝4ab ；（2）HO 1＝2b a +，HO 2＝2a b -，根据勾股定理O 1O 2＝2221HO HO + ＝222b a + ＝）（22221b a +．故答案为：ab 41；）＋（22221b a ．分析：阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和，所以求2个三角形面积即可；线段O 1O 2的长根据勾股定理求解．本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质，三角形面积的计算，考查了根据勾股定理计算直角三角形斜边的应用，解决本题的关键是构建直角三角形HO1O2．4．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为和．（只写一组）答案：（1，0）和（1，1）知识点：正方形的性质；坐标与图形性质解析：解答：解：∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），∴BD∥x轴，AC∥x轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，分别为：C（1，0），D（1，1）．故答案为：（1，0），（1，1）．分析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标．本题主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质，确定已知点的坐标，从而根据正方形的性质，确定其它顶点的坐标是解决问题的关键．5．如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有个．答案：5知识点：正方形的性质；三角形的面积解析：解答：解：图中标出的5个点均为符合题意的点．故答案为 5．分析：要使得△ABC 的面积为2，即S ＝ah ，则使得a ＝2、h ＝2或者a ＝4、b ＝1即可，在图示方格纸中找出C 点即可．本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了三角形面积的计算公式，本题中正确地找全C 点是解题的关键，考生容易漏掉一个或者几个答案．三．解答题（共5小题）1．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F ．（1）求证：AC OF AB 21=-；（2）点A 1、点C 1分别同时从A 、C 两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A 1F 1平分∠BA 1C 1，交BD 于点F 1，过点F 1作F 1E ⊥A 1C 1，垂足为E ，请猜想EF 1，AB 与1121C A 三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A 1E 1＝6，C 1E 1＝4时，则BD 的长为．答案：（1）见解析（2）AB －EF1＝A 1C 1 （3）27知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理解析：解答：解：（1）过F 作FG ⊥AB 于G ，∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，∴OF＝FG，∵∠AOF＝∠AGF＝90°，AF＝AF，OF＝FG，∴△AOF≌△AGF，∴AO＝AG，直角三角形BGF中，∠DGA＝45°，∴FG＝BG＝OF，∴AB＝AG＋BG＝AO＋OF＝AC＋OF，∴AB－OF＝AC．（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．同（1）可得EF1＝F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形．∴EF1＝G1F1＝F1H1，即：F1是三角形A1BC1的内心，∴EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①∵A1B＋BC1＝AB＋A1A＋BC－CC1，而CC1＝A1A，∴A1B＋BC1＝2AB，因此①式可写成：EF1＝（2AB－A1C1）÷2，即AB－EF1＝A1C1．（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．∴A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，如果设CC1＝A1A＝x，A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，∴x＝1，在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2＋BC12＝AC12，即：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，解得AB＝7，∴BD＝7．分析：（1）可通过构建全等三角形来求解，过F作FG⊥AB于G，那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出OF＝FG，通过全等三角形AOF和AGF可得出AO＝AG，那么AB＝AO＋OF，而AC＝2OA，由此可得证；（2）本题作辅助线的方法与（1）类似，过F1作F1G1⊥AB，F1H1⊥BC，那么可证得四边形F1G1BH1是正方形，EF1＝F1G1＝F1H1，那么可得出F1就是三角形A1BC1的内心，根据直角三角形的内心公式可得出EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2，然后根据用AB分别表示出A1B，BC1，最后经过化简即可得出AB－EF1＝A1C1；（3）求BD的长，首先要求出AB的长，本题可借助（2）中，F1是三角形A1BC1的内心来解，那么我们不难看出E，G1，H1都应该是切点，根据切线长定理不难得出A1E＋A1G1＝A1C1＋A1B－C1E－BG1，由于C1E＝C1H1，BG1＝BH1，A1E＝A1G1因此式子可写成2A1E＝A1C1＋A1B－BC1，而（A1B－BC1）正好等于2A1A，由此可求出A1A的长，那么可根据勾股定理用AB表示出两条直角边，求出AB的长，然后即可得出BD的值．本题主要考查了正方形的性质，三角形的内接圆与内心等知识点，要注意的是后两问中，结合圆的知识来解会使问题更简单．2．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．答案：见解析知识点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质解析：解答：证明：∵∠FAB＋∠BAE＝90°，∠DAE＋∠BAE＝90°，∴∠FAB＝∠DAE，∵∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE，∴△AFB≌△ADE，∴DE＝BF．分析：由同角的余角相等知，∠FAB＝∠DAE，由正方形的性质知，∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE＝90°，则ASA证得△AFB≌△ADE⇒DE＝BF．此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质．学生对学过的知识要系统起来．3．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF为多少度．答案：45°知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB＝AG，AF＝AF，∠B＝∠G＝90°，∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF＝∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；即∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝∠DAG＋∠BAG＝∠DAB＝45°，故∠EAF＝45°．分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF＝∠GAF，再证明AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；所以可求∠EAF＝45°．主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．4．如图，正方形ABCD中，AB＝，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF ＝15度．（1）求证：DF＋BE＝EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．3答案：（1）见解析（2）30°（3）3知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝∠BAD＝90°，∵BG＝DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∵∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，∴∠FAE＝∠GAE＝45°，∵AE＝AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF＝EG＝GB＋BE＝DF＋BE；（2）∵△AGE≌△AFE，∴∠AFE＝∠AGE＝75°，∵∠DFA＝90°－∠DAF＝75°，∴∠EFC＝180°－∠DFA－∠AFE＝180°－75°－75°＝30°，∴∠EFC＝30°（3）∵AB＝BC＝3，∠BAE＝30°，∴BE＝1，CE＝3－1，∵∠EFC＝30°，∴CF＝3－3，∴S△CEF＝CE•CF＝23－3，由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF＝S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF，S△AEF＝（S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF）＝3－3．分析：（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG．利用正方形的性质，证明△AGE≌△AFE，△FAE≌△GAE，得出DF＋BE＝EF；（2）根据△AGE ≌△AFE 及角之间的关系从而求得∠EFC 的度数；（3）S △AEF ＝S 正方形ABCD －S △ADF －S △AEB －S △CEF ＝S 正方形ABCD －S △AEF －S △CEF ，关键求S △CEF ．解答本题利用正方形的特殊性质，通过证明三角形全等，得出线段间的关系，同时考查了三角函数的运用，及组合图形的面积计算．5．已知正方形ABCD 的边长为4cm ，E ，F 分别为边DC ，BC 上的点，BF ＝1cm ，CE ＝2cm ，BE ，DF 相交于点G ，求四边形CEGF 的面积．答案：518 知识点：正方形的性质；一次函数的性质；两条直线相交或平行的问题解析：解答：解：以B 点为坐标原点建立坐标系，如下图：由题意可得几个点的坐标A （0，4），B （0，0），C （4，0），D （4，4），E （4，2），F （1，0）．设BE 所在直线的解析式是y ＝kx ，因为BE 所在直线经过E 点，因此有4k ＝2，k ＝21，因此BE 所在直线的解析式是y ＝21x （1），同理可得出DF 所在直线的解析式是y ＝34（x －1）（2），联立（1）（2）可解得点G 的坐标为（58，54）．故可求四边形CEGF 的面积S ＝S △BCE －S △BFG ＝21×4×2－21×1×54＝518．分析：本题的关键是求出G点的坐标，那么就要求出BE，DF所在直线的函数解析式，然后联立两个关系式求出交点坐标，再根据GECF的面积＝三角形BEC的面积－三角形BFG 的面积，求出GECF的面积．本题主要考查的是正方形的性质，一次函数等知识点的应用．根据BE，DF所在直线求出交点的坐标是解题的关键．。

【新】八年级下册数学人教版矩形、菱形、正方形的知识应用(知识点讲解+练习题)

矩形菱形正方形基本知识教案【知识梳理】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形。

2、性质：⑴矩形的四个角都是；⑵矩形的对角线。

3、判定：⑴用定义判定；⑵有三个角是________的是矩形；⑶对角线的平行四边形是矩形。

特征总结：1、矩形既是又是对称图形，对称轴有条；2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两个全等的三角形；3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等知识解决问题。

二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形。

2、性质：⑴菱形的四条边都；⑵菱形的对角线且每条对角线。

3、判定：⑴用定义判定；⑵对角线互相垂直的是菱形；⑶四条边都相等的是菱形。

特征总结：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是；2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形；3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两条对角线的积来计算；4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形知识计算的题目。

【重点考点例析】考点一、矩形的性质与判定【例1】如图，在△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN ∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE，AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．分析：判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等．考点二：和矩形有关的折量问题【例2】如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．（1）求证：BD=BE；（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．考点三：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题【例3】如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠A BD=34，则菱形ABCD的面积为cm2．考点四：四边形综合性题目：【例5】如图，正方形ABCD与正三角形A EF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是．考点五:矩形、菱形、正方形的判定例1、如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．例2、如图，AB∥CD，∠B = 72°，∠D = 32°，求∠F的度数？变式1、如图，已知∠AEC=∠A+∠C，试说明：AB∥CD．变式2、如图，已知∠1=∠C,∠2=∠3, BE是否平分∠ABC？请说明理由。

人教版八年级数学下册专题08 正方形(题型归纳) (解析版)

专题08 正方形（一题三变）【思维导图】◎考点题型1：根据性质求角例．（天津市实验中学滨海学校八年级期中）如图,点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上,AG⊥EF,垂足为G,且AG=AB,则∠EAF=（）度A．30°B．45°C．50°D．60°【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质以及HL判定,可得出△ABF≌△AGF,故有∠BAF=∠GAF,再证明△AGE≌△ADE,有∠GAE=∠DAE,即可求∠EAF=45°解：在正方形ABCD 中,∠B =∠D =∠BAD =90°,AB =AD , ∵AG ⊥EF ,∴∠AGF =∠AGE =90°, ∵AG =AB ,∴AG =AB=AD , 在Rt △ABF 与Rt △AGF 中,AB AGAF AF =⎧⎨=⎩ ∴△ABF ≌△AGF , ∴∠BAF =∠GAF ,同理可得：△AGE ≌△ADE , ∴∠GAE =∠DAE ； ∴∠EAF =∠EAG +∠F AG 1452BAD ︒=∠=, ∴∠EAF =45° 故选：B 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、解题的关键是得出△ABF ≌△AGF ．变式1．（全国·八年级期中）如图,正方形ABCD 的两条对角线AC ,BD 相交于点O ,点E 在BD 上,且BE =AD ,则∠ACE 的度数为（）A ．22.5°B ．27.5°C ．30°D ．35°【答案】A 【解析】【分析】利用正方形的性质证明∠DBC =45°和BE =BC ,进而证明∠BEC =67.5°．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形, ∴BC =AD ,∠DBC =45°,∴BE=BC,∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°,∵AC⊥BD,∴∠COE=90°,∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°,故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质,以及等腰三角形的性质,掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键．变式2．（山西·寿阳县教研室九年级阶段练习）如图,四边形ABCD是正方形,延长BC到E,使CE＝AC,连接AE交CD于点F,则∠E＝（）A．22.5°B．30°C．35°D．45°【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质可得∠ACB＝45°,再根据等腰三角形的性质即可得到结果．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACB＝45°,∴∠E＝∠CAE=45°,∵CE＝AC,∠ACB＝22.5°．∴∠E＝∠CAE＝12故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质,三角形外角的性质,解决本题的关键是掌握正方形的性质．变式3．（山东·青岛市城阳第九中学九年级阶段练习）如图,在正方形ABCD的外侧,作等边ABE△,则AED为（）A ．15°B ．35°C ．45°D ．55°【答案】A 【解析】【分析】根据正方形的四条边都相等,四个角都是直角,等边三角形的三条边都相等,三个角都是60︒求出AD AE =,DAE ∠的度数,然后根据等腰三角形两个底角相等求出AED ∠即可．【详解】解：四边形ABCD 是正方形,AB AD ∴=,90BAD ∠=︒,ABE ∆是等边三角形,AB AE =∴,60BAE AEB ∠=∠=︒,在ADE ∆中,AD AE =,9060150DAE BAD BAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒,()1180150152AED ∴∠=︒-︒=︒, 故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质,等边三角形的性质,等边对等角的性质,熟悉相关性质是解题的关键．◎考点题型2：根据性质求线段长例．（福建三元·九年级期中）如图,O 是正方形ABCD 内一点,四边形OHBE 与OGDF 也都是正方形,图中阴影部分的面积是10,则EG 长为（）A B ．C ．10 D ．20【答案】B 【解析】【分析】先证四边形AHOF是矩形,可得AH=OF,由三角形的面积公式可得OG2+OE2=20,即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD,四边形OHBE,四边形OGDF都是正方形,∴AD∥BC∥HG,AB∥EF∥CD,FO=OG,HO=OE,∴四边形AHOF是平行四边形,又∵∠BAD=90°,∴四边形AHOF是矩形,∴AH=OF,∵阴影部分的面积是10,∴1110 22OG OF OE OH⨯⨯+⨯⨯=,∴2220OG OE+=,∴22220EG OG OE=+=,∴EG=,故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质,矩形的判定和性质,勾股定理,多边形的面积等知识,求出22220EG OG OE=+=是解题的关键．变式1．（四川·隆昌市第二初级中学九年级期中）如图,在正方形ABCD中,AB=E,F分别为边AB,BC的中点,连接AF,DE,点N,M分别为AF,DE的中点,连接MN,则MN的长为（）A B．1C D．2【答案】B【解析】【分析】连接AM,延长AM交CD于G,连接FG,由正方形ABCD推出AB=CD=BC AB∥CD,∠C=90°,证得△AEM≌GDM,得到AM=MG,AE=DG=12AB,根据三角形中位线定理得到MN=12FG,由勾股定理求出FG即可得到MN．【详解】解：连接AM ,延长AM 交CD 于G ,连接FG ,∵四边形ABCD 是正方形,∴AB =CD =BC,AB ∥CD ,∠C =90°, ∴∠AEM =∠GDM ,∠EAM =∠DGM , ∵M 为DE 的中点, ∴ME =MD ,在△AEM 和GDM 中,EAM DGM AEM GDM ME MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△AEM ≌△GDM （AAS ）, ∴AM =MG ,AE =DG =12AB =12CD , ∴CG =12CD∵点N 为AF 的中点, ∴MN =12FG , ∵F 为BC 的中点, ∴CF =12BC∴FG∴MN =1, 故选：B ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质和判定,勾股定理,三角形的中位线定理,正确作出辅助线且证出AM =MG 是解决问题的关键．变式2．（山东·济南市章丘区第四中学九年级阶段练习）根据四边形的不稳定性,当变动∠B的度数时,菱形ABCD的形状会发生改变,当∠B=60°时,如图1,AC；当∠B=90°时,如图2,AC=（）AB．2C．D【答案】B【解析】【分析】在图1中求出菱形的边长,再在图2中利用勾股定理求出AC即可解决问题．【详解】解：如图1、2中连接AC．在图1中,∵AB=BC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC在图2中,∵∠B=90°,AB=BC∴AC．故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,属于基础题,中考常考题型．变式3．（陕西临潼·八年级期末）如图,点E在正方形ABCD的边CD上,若△ABE的面积为8,CE＝3,则线段BE的长为（）A ．5B ．1C ．4D ．6【答案】A 【解析】【分析】根据正方形的性质,可求出正方形的面积,从而确定边长,然后在Rt △BCE 中利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形, ∴12ABESAB AD =,ABCD S AB AD =正方形, ∴22816ABEABCD S S ==⨯=正方形,∴正方形的边长4BC =, 在Rt △BCE 中,BC =4,CE =3,∴5BE =, 故选：A ．【点睛】本题考查正方形的性质,理解正方形的性质以及熟练运用勾股定理是解题关键．◎考点题型3：根据性质求面积例．（山东省青岛第二十六中学九年级期中）正方形ABCD 的一条对角线长为6,则这个正方形的面积是（）A ．B ．18C ．24D ．36【答案】B 【解析】【分析】正方形对角线长相等,因为正方形又是菱形,所以正方形的面积可以根据12S ab =（a 、b 是正方形对角线长度）计算．【详解】解：在正方形中,对角线相等,所以正方形ABCD 的对角线长均为6,∵正方形又是菱形,菱形的面积计算公式是12S ab=（a、b是正方形对角线长度）∴166182S=⨯⨯=,故选：B．【点睛】本题考查了正方形对角线相等的性质,解本题的关键是清楚正方形面积可以按照菱形面积计算公式计算,并熟记菱形的面积计算公式．变式1．（内蒙古赤峰·七年级阶段练习）下图中,每个小正方形的面积均为1cm2,阴影部分的面积是多少平方厘米？（）A．4B．4.5C．5D．9【答案】A【解析】【分析】阴影部分的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积和．【详解】∵每个小正方形的面积均为12cm,∴小正方形的边长为1,∴阴影部分的面积为：3×3-111 (132213) 222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=9-5=4．故选A．【点睛】本题考查了正方形网格上的面积计算,灵活运用图形分割法计算面积是解题的关键．变式2．（2007·江苏连云港·中考真题）如图,直线l上有三个正方形,若a c，的面积分别为5和11,则b的面积为（）A．4B．6C．16D．55【答案】C【解析】【分析】运用正方形边长相等,结合全等三角形和勾股定理来求解即可．【详解】解：∵a、b、c都是正方形,∴AC=CD,∠ACD=90°；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DCE,∵∠ABC=∠CED=90°,AC=CD,∴△ACB≌△DCE,∴AB=CE,BC=DE；在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,即Sb=Sa+Sc=11+5=16,故选C．【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用,结合图形求解,对图形的理解能力要比较强．变式3．（山东·嘉祥县第三中学八年级阶段练习）如图,正方形ABCD的边长为2,点E是AB边上任△的面积是（）一点,以BE为边向外作正方形EFGB,则AFCA．2B．2.4C．4D．S与BE长度有关【答案】A【解析】【分析】延长DA 、GF 交于Q ,则四边形QGCD 是矩形,根据矩形面积,三角形面积求出即可．【详解】延长DA 、GF 交于Q ,则四边形QGCD 是矩形,设正方形EFGB 的边长是x ,则EF =EB =BG =FG =x ,∵正方形ABCD 的边长是2,∴AD =DC =BC =AB =2,∴2,2CG x FQ x =+=-∴AFC QGCD AQF ADC FGC S S S S S =---矩形1112222222222x x x x x =+⋅-⋅--⨯⨯-⋅+⋅=（）（）（）．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的面积的应用,关键是能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积．◎考点题型4：正方形折叠问题例．（全国·八年级专题练习）如图,把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN ,再过点B 折叠纸片,使点A 落在MN 上的点F 处,折痕为BE ,若AB 的长为2,则FM 的长为（）A ．2BCD ．1【答案】B【解析】【分析】由折叠的性质可得11122BM BC AB===,∠BMN=90°,FB=AB=2,由此利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,AB=2,∴11122BM BC AB===,∠BMN=90°,∵四边形ABCD为正方形,AB=2,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,∴FB=AB=2,则在Rt△BMF中,FM=,故选B．【点睛】本题主要考查了正方形与折叠,勾股定理,解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质．变式1．（全国·八年级课时练习）如图,将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E,使5DE=,若折痕为PQ,则PQ的长为（）A．13B．14C．15D．16【答案】A【解析】【分析】过点P作PM⊥BC于点M,由折叠得到PQ⊥AE,从而得到∠AED=∠APQ,可得△PQM≌△ADE,从而得到PQ=AE,再由勾股定理,即可求解．【详解】解：过点P作PM⊥BC于点M,由折叠得到PQ ⊥AE ,∴∠DAE +∠APQ =90°,在正方形ABCD 中,AD ∥BC ,∠D =90°,CD ⊥BC ,∴∠DAE +∠AED =90°,∴∠AED =∠APQ ,∴∠APQ =∠PQM ,∴∠PQM =∠APQ =∠AED ,∵PM ⊥BC ,∴PM =AD ,∵∠D =∠PMQ =90°,∴△PQM ≌△ADE ,∴PQ =AE ,在Rt ADE △ 中,5DE =,AD =12,由勾股定理得：13AE ==,∴PQ =13．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,得到△PQM ≌△ADE 是解题的关键．变式2．（福建·重庆实验外国语学校模拟预测）如图,将正方形ABCD 沿直线DF 折叠,使得点C 落在对角线BD 上的点E 处,则DEC ∠的度数是（）A ．65.5︒B ．67.5︒C ．70︒D ．72.5︒【答案】B【解析】【分析】由正方形的性质,则45BDC ∠=︒,由折叠的性质,得DE =DC ,即可得到DEC ∠得角度．【详解】解：四边形ABCD 是正方形, BD 是正方形的对角线,45BDC ∴∠=︒,折叠,DE DC ∴=,DEC DCE ∴∠=∠,1804567.52DEC DCE ︒-︒∴∠=∠==︒, 故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质,折叠的性质,等腰三角形的性质和三角形的内角和定理,解题的关键是掌握所学的知识,正确得到45BDC ∠=︒．变式3．（湖南祁阳·八年级期末）如图,正方形ABCD 的边长为6,将正方形折叠,使顶点D 落在BC 边上的点E 处,折痕为GH ,若BE ：EC =2：1,则线段CH 的长是（）A ．52B ．83C ．3D ．3.5【答案】B【解析】【分析】根据题意求出CE,根据折叠的性质得到EH=DH,根据勾股定理列方程,解方程得到答案．【详解】解：设CH=x,则DH=6-x,∵BE：EC=2：1,BC=6,∴CE=2,由折叠的性质可知：EH=DH=6-x,在Rt△CEH中,EH2=CH2+CE2,即（6-x）2=x2+22,解得：x=83,即CH=83,故选：B．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用、正方形的性质,根据翻转变换的性质得到EH=DH 是解题的关键．◎考点题型5：求正方形重叠部分面积例．（全国·八年级课时练习）如图,两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心,则两个正方形重叠部分的面积是（）A．0.5B．1C．2D．无法确定【答案】B【解析】【分析】如图：连接ABCD的对角线,根据题意可以推出△COF≌△DOE,所以重合部分的面积为△OCD的面积．【详解】解：如图,∵四边形ABCD 是正方形,∴BO ＝CO ＝DO ,∠BDC ＝∠BCO ＝45°,AC ⊥BD ,∴∠DOC ＝∠EOF ＝90°,∴∠DOE ＝∠COF ,在△COF 和△DOE 中,COF DOE OC ODCOF DOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△COF ≌△DOE （ASA ）,∴S △COF ＝S △DOE ,∴四边形OECF 的面积＝S △OCD ＝14S 正方形ABCD ＝21214⨯=, 故选：B ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质．解题关键在于找到全等三角形进行代换．变式1．（2019·全国·八年级专题练习）将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放,点A ,B ,C 分别是三个正方形的中心,则图中三块重叠部分的面积的和为（）.A ．2B ．3C ．6D ．8【答案】B【分析】如图：连接AP ,AN ,点A 是正方形的对角线的交点,易证PAF ≌NAE ,可得NAP 的面积是正方形的面积的14,即每个阴影部分的面积都等于正方形面积的14,即可解答. 【详解】解：如图,连接AP ,AN ,点A 是正方形的对角线的交点,则AP AN =,45APF ANE ∠∠==,90PAF FAN FAN NAE ∠∠∠∠+=+=,PAF NAE ∠∠∴=,PAF ∴≌NAE ,∴四边形AENF 的面积等于NAP 的面积,而NAP 的面积是正方形的面积的14,而正方形的面积为4, ∴四边形AENF 的面积为21cm ,三块阴影面积的和为23cm ．故选B ．【点睛】本题主要考查了正方形的特性及面积公式,由图形的特点可知,每个阴影部分的面积都等于正方形面积的14,据此解题.解答本题的关键是发现每个阴影部分的面积都等于正方形面积的14．变式2．（2020·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）如图,三个边长均为 2 的正方形重叠在一起,M 、N 是其中两个正方形对角线的交点,则两个阴影部分面积之和是（）A．1B ．2CD ．4【答案】B【分析】连接AN ,DN ,易证ANE DNF ∆≅∆,那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系,同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系,从而得出答案．【详解】解：连接AN ,DN ,如图所示：三个边长均为2的正方形重叠在一起,M 、N 是其中两个正方形对角线的交点,90ANE END ∴∠+∠=︒,90DNF END ∠+∠=︒,ANE DNF ∴∠=∠,四边形ABCD 是正方形,45EAN FDN ∴∠=∠=︒,AN DN =在ANE ∆和DNF ∆中EAN FDN AN DNANE DNF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ANE DNF ASA ∴∆≅∆,∴两个正方形阴影部分ENFD 的面积14ABCD S =正方形, 同理另外两个正方形阴影部分的面积也是14S 正方形ABCD , 1122222S S ∴==⨯⨯=正方形阴影部分．故选：B ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的综合,把阴影部分进行合理转移,得出∴两个正方形阴影部分ENFD 的面积是正方形面积的14是解决本题的难点．变式3．（2019·广东·江门市第二中学一模）如图．边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是( )A ．12B C ．D【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质及正方形的性质分别求得ABC 与'CD E △的面积,从而不难求得重叠部分的面积.【详解】绕顶点A 顺时针旋转45︒,∴45D'CE ∠=︒,∴CD'D'E =,ED'AC ⊥,∴90CD'E ∠=︒,AC ==∴1CD'=,∴正方形重叠部分的面积是)111111122⨯⨯-⨯=. 故选：D .【点睛】本题综合考查了三角形的面积求法、正方形的性质、旋转的性质等知识点的应用,主要培养学生综合运用性质进行推理的能力.◎考点题型6：根据正方形的性质证明例点E 的坐标为()2,3,则点F 的坐标为（）A ．()2,3-B ．()1,5-C ．()5,2-D ．()3,5-【答案】B【解析】【分析】过点E 作ED ⊥x 轴于点D ,过点G 和点F 分别作y 轴和x 轴的平行线,交y 轴和x 轴于点B 和A ,两线相交于点C ,证明△EOD ≌△OGB ,可得ED ＝OB ＝3,OD ＝BG ＝2,可得△EOD ≌△FGC （AAS ）可得ED ＝CG ＝3,OD ＝CF ＝2,进而可得点F 的坐标．【详解】解：如图,过点E 作ED ⊥x 轴于点D ,过点G 和点F 分别作y 轴和x 轴的平行线,交y 轴和x 轴于点B 和A ,两线相交于点C ,∴四边形ACBO 是矩形,∴AC ＝OB ,AO ＝CB ,∵点E 的坐标为（2,3）,∴ED ＝3,OD ＝2,∵四边形OEFG 是正方形,∴∠EOG ＝∠FGO ＝90°,∴∠EOD +∠GOB ＝90°,∵∠GOB +∠OGB ＝90°,∴∠EOD ＝∠OGB ,在△EOD 和△OGB 中,90EOD OGB EDO OBG EO OG ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩,∴△EOD ≌△OGB （AAS ）,∴ED ＝OB ＝3,OD ＝BG ＝2,同理可证：△EOD ≌△FGC （AAS ）, ∴ED ＝CG ＝3,OD ＝CF ＝2,∴AO ＝CB ＝BG +CG ＝3+2＝5,AF ＝AC ﹣CF ＝OB ﹣CF ＝3﹣2＝1, ∴F （﹣1,5）．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质,坐标与图形性质,全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是证明△EOD ≌△OGB ,△EOD ≌△FGC ．变式1．（重庆巴蜀中学八年级期中）如图,正方形OABC ,顶点A 在x 轴上,OA =将正方形OABC 绕原点O 逆时针旋转105︒至正方形OA B C '''的位置,则点B '的坐标为（）A ．()3,3-B ．(-C ．()-D ．⎛ ⎝ 【答案】C 【解析】【分析】连接OB ',并作B D x '⊥轴于D 点,综合正方形以及旋转变化的性质,得到6OB '=,30B OD '∠=︒,从而在Rt B OD '中,3B D '=,OD =即可得出结论．【详解】解：如图所示,连接OB ',并作B D x '⊥轴于D 点,∵正方形OABC 绕原点O 逆时针旋转105︒至正方形OA B C ''',OA =∴105AOA '∠=︒,OA A B '''==6OB '=, ∵由正方形的性质得：45A OB ''∠=︒, ∴150AOB '∠=︒,30B OD '∠=︒,则在Rt B OD '中,132B D OB ''==,OD D '=∴点B '的坐标为()-, 故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质,以及旋转的性质,理解基本性质,熟悉特殊直角三角形中的三边关系是解题关键．变式2．（福建厦门·七年级期末）在平面直角坐标系xOy 中,A （﹣2,2）,B （0,4）,C （2,2）,则正方形ABCD 的顶点D 的坐标是（） A ．（﹣2,4） B ．（2,4） C ．（0,0） D ．（0,﹣2）【答案】C 【解析】【分析】根据A 、B 、C 的坐标和正方形的性质,由平移即可确定点D 的坐标．【详解】解：结合正方形对边平行且相等的性质,(2,2)A -向右平移2个单位、向上平移2个单位可得到(0,4)B ,同理：(2,2)C 向左平移2个单位、向下平移2个单位可得到D ,D ∴的坐标为(0,0),故选：C ．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质,由正方形的对边平行且相等的性质、平移得到D 的坐标是本题的关键．变式3．（全国·九年级专题练习）如图,在扇形OAB 中,已知90AOB ∠=︒,2OA =,过AB 的中点C 作CD OA ⊥,CE OB ⊥,垂足分别为点D ,E ,则图中阴影部分的面积为（）A ．π1-B ．π2-C ．π4-D ．π12-【答案】B【解析】【分析】根据矩形的判定定理得到四边形ODCE 是矩形,连接OC ,根据全等三角形的性质得到OD=OE ,然后得到矩形ODCE 是正方形,最后利用扇形和正方形的面积公式计算即可．【详解】如图所示,连接OC∵90AOB ∠=︒,CD OA ⊥,CE OB ⊥ ∴四边形ODCE 是矩形 ∵点C 是AB 的中点 ∴COA COB ∠=∠ ∴COD COE ≌ ∴OD OE =∴四边形ODCE 是正方形 ∴OD CD = ∴2222OD CD += ∴22OD = 即2ODCE S =正方形由扇形的面积公式可得：AOB S π=扇形 ∴=-2S π阴影故选：B 【点睛】本题主要考查矩形的判定定理和性质、正方形的判定定理和性质、全等三角形的判定和性质、扇形面积的计算公式,熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键．◎考点题型7：判定定理的理解例．（山东东明·九年级期中）如图,将长方形纸片折叠,使A 点落BC 上的F 处,折痕为BE ,若沿EF 剪下,则折叠部分是一个正方形,其数学原理是（）A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形【答案】A【解析】【分析】将长方形纸片折叠,使A点落BC上的F处,可得到BA＝BF,折痕为BE,沿EF剪下,故四边形ABFE为矩形,且有一组邻边相等,故四边形ABFE为正方形．【详解】解：∵将长方形纸片折叠,A落在BC上的F处,∴BA＝BF,∵折痕为BE,沿EF剪下,∴四边形ABFE为矩形,∴四边形ABEF为正方形．故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的判定定理,关键是根据邻边相等的矩形是正方形和翻折变换解答．变式1．（湖南·长沙市南雅中学九年级阶段练习）下列条件中,能判定四边形是正方形的是（）A．对角线相等的平行四边形B．对角线互相平分且垂直的四边形C．对角线互相垂直且相等的四边形D．对角线相等且互相垂直的平行四边形【答案】D【解析】【分析】根据正方形的判定定理进行判断即可．【详解】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形,不符合题意； B 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,不符合题意；对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形,故C 选项不符合题意； D 选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的判定,熟知正方形的判定定理是解本题的关键．变式2．（广东·佛山市华英学校九年级阶段练习）下列命题中,真命题是（） A ．两条对角线相等的四边形是矩形 B ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．两条对角线互相垂直平分四边形一定是正方形D ．连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形【答案】D 【解析】【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定和平行四边形的判定解答即可．【详解】A 、两条对角线相等的平行四边形是矩形,原命题是假命题,不符合题意；B 、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形,原命题是假命题,不符合题意；C 、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,原命题是假命题,不符合题意；D 、连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形,是真命题,符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理,属于基础题,熟练掌握这些命题与定理是解题关键．变式3．（陕西·西北工业大学附属中学九年级期中）如图,如果要证明四边形ABCD 为正方形,那么我们需要在四边形ABCD 是平行四边形的基础上,进一步证明（）A ．AB BD =且AC BD ⊥ B ．90BAD ∠=︒且AB AD = C ．90BAD ∠=︒且AC BD = D ．AC 和BD 互相垂直平分【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质与判定逐项分析即可．【详解】A ．四边形ABCD 是平行四边,AC BD ⊥,AB BD =∴四边形ABCD 是菱形,B.四边形ABCD 是平行四边,AB AD =∴四边形ABCD 是菱形90BAD ∠=︒∴四边形ABCD 是正方形C. 90BAD ∠=︒且AC BD =只能判定四边形ABCD 是矩形；D ．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,对角线互相平分的四边形是平行四边形,所以不能判断四边形ABCD 是正方形．故选B 【点睛】本题考查了菱形,矩形,正方形的性质与判定,掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．◎考点题型8：添加条件成为正方形例．（山东城阳·九年级期中）如图,四边形ABCD 是平行四边形,从下列条件：①AB ＝BC ,②∠ABC ＝90°,③AC ＝BD ,④AC ⊥BD 中,选出其中两个,使平行四边形ABCD 变为正方形．下面组合错误的是（）A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④【答案】D 【解析】【分析】由题意根据要判定四边形是正方形,则需能判定它既是菱形又是矩形进而分别分析即可得出答案．【详解】解：A 、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形, 所以平行四边形ABCD 是正方形,正确,故本选项不符合题意；B 、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形, 所以平行四边形ABCD 是正方形,正确,故本选项不符合题意；C 、由③得对角线相等的平行四边形是矩形,由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形, 所以平行四边形ABCD 是正方形,正确,故本选项不符合题意；D 、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形, 所以不能得出平行四边形ABCD 是正方形,错误,故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查正方形的判定方法：先判定四边形是菱形,再判定四边形是矩形；或先判定四边形是矩形,再判定四边形是菱形；那么四边形一定是正方形；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．变式1．（北京市师达中学八年级阶段练习）在四边形ABCD 中,∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°,如果再添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,这个条件可以是（） A ．BC ＝CD B ．AB ＝CDC ．∠D ＝90°D ．AD ＝BC【答案】A 【解析】【分析】根据正方形的判定方法即可判定；【详解】解：∵∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°, ∴四边形ABCD 是矩形,∴当BC ＝CD 时,四边形ABCD 是正方形, 其余条件均不能推导得出四边形ABCD 是正方形, 故选：A ．【点睛】本题考查正方形的判定,解题的关键是记住正方形的判定方法．变式2．（江苏吴中·八年级期末）下列条件中,能使菱形ABCD 为正方形的是（） A ．AB AD = B ．AB BC ⊥C ．AC BD ⊥D ．AC 平分BAD ∠【答案】B 【解析】【分析】根据有一个角是90°的菱形是正方形,以及对角线相等的菱形是正方形进行判断即可．【详解】解：要使菱形成为正方形,只要菱形满足以下条件之一即可, （1）有一个内角是直角（2）对角线相等．即∠ABC =90°或AC =BD ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了正方形的判定,正确掌握正方形的判定方法是解题关键．变式3．（上海·九年级专题练习）已知矩形ABCD ,下列条件中不能判定这个矩形是正方形的是（） A ．AC BD ⊥ B ．AC BD = C ．AC 平分BAD ∠ D ．ADB ABD ∠=∠【答案】B 【解析】【分析】根据矩形的性质及正方形的判定进行分析即可．【详解】解：四边形ABCD 是矩形,AC BD ⊥,∴矩形ABCD 是正方形；四边形ABCD 是矩形,//AD BC ∴, DAC BCA ∴∠=∠, AC 平分BAD ∠, BAC DAC ∴∠=∠,BAC ACB ∴∠=∠,∴AB BC =,∴矩形ABCD 是正方形；ADB ABD ∠=∠,∴AB AD =,∴四边形ABCD 是矩形,∴矩形ABCD 是正方形；故选：B ．【点睛】本题考查矩形的判定,解题的关键是掌握正方形的判定方法．◎考点题型9：证明四边形为正方形例．（2022·山东南区·九年级期末）已知：在平行四边形ABCD中,分别延长BA,DC到点E,H,使得BE＝2AB,DH＝2CD．连接EH,分别交AD,BC于点F,G．(1)求证：AF＝CG；(2)连接BD交EH于点O,若EH⊥BD,则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时,四边形BEDH是正方形？【答案】(1)见解析(2)当AD时,四边形BEDH是正方形【解析】【分析】（1）要证明AF=CG,只要证明△EAF≌△HCG即可；（2）利用已知可得四边形BEDH是菱形,所以当AE2+DE2=AD2时,∠BED=90°,四边形BEDH是正方形．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∴∠AEF=∠CHG,∵BE=2AB,DH=2CD,∴BE=DH,∴BE-AB=DH-DC,∴AE=CH,∴∠BAD+∠EAF=180°,∠BCD+∠GCH=180°,∴∠EAF=∠GCH,∴△EAF≌△HCG(ASA),∴AF=CG；(2)解：当AD时,四边形BEDH是正方形；理由：∵BE∥DH,BE=DH,∴四边形EBHD是平行四边形,∵EH⊥BD,∴四边形EBHD是菱形,∴ED=EB=2AB,当AE2+DE2=AD2时,则∠BED=90°,∴四边形BEDH是正方形,即AB2+(2AB)2=AD2,∴AD,∴当AD时,四边形BEDH是正方形．．【点睛】本题考查了正方形的判定,菱形的判定,平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,结合图形分析并熟练掌握正方形的判定,平行四边形的性质,是解题的关键．变式1．（全国·九年级课时练习）如图,若四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且====,则四边形ABCD是正方形吗？OA OB OC OD AB【答案】四边形ABCD 是正方形．【解析】【分析】根据平行四边形的判定推出四边形是平行四边形,求出AC ＝BD ,得出四边形是矩形,根据勾股定理的逆定理求出AC ⊥BD ,根据正方形的判定推出即可．【详解】解：四边形ABCD 是正方形, 理由是：∵OA ＝OB ＝OC ＝OD , ∴AC ＝BD ,四边形ABCD 是平行四边形, ∴平行四边形ABCD 是矩形,∵OA OB OC OD AB ====, ∴OA 2＋OB 2＝AB 2, ∴∠AOB ＝90°, 即AC ⊥BD ,∴四边形ABCD 是正方形．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理,平行四边形的判定,矩形的判定,正方形的判定的应用,主要考查学生的推理能力,注意：对角线互相垂直的矩形是正方形,难度适中．变式2．（陕西·咸阳市秦都区电建学校九年级阶段练习）如图,四边形ABCD 是矩形,E 是BD 上的一点,连接AE 、CE ,BAE BCE ∠=∠,AEB CEB ∠=∠,求证：四边形ABCD 是正方形．。

人教版数学八年级下册18.2.3 第1课时正方形的性质2课时练习及答案.doc

18.2.3 正方形第1课时正方形的性质一、填空题1、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝°.2、如图，四边形ABDC是正方形，延长CD到点E，使CE=CB，则∠AEC＝°.3、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：①∠E=22.5°；②∠AFC=112.5°；③∠ACE=135°；④AC=CE；⑤AD∶CE=1∶ 2. 其中正确的有个.4、如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°.5、已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°.6、如图，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）后，与△AED重合，则θ值为°第6题图第7题图第8题图第9题图7、已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为___________.8、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为 .9、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A对应点为A'，且CB'=3，则CN= ；AM的长是 .10、正方形的面积是31，则其对角线长是________.11、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .第1题图第2题图第3题图第4题O2O1第11题图第12题图第13题图第14题图12、如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、A n分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 .13、边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示重叠部分），则这个风筝的面积是 .14、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是 .15、如右图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确的结论是 .（填序号）16、如右图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边△ABE，CE与DB相交于点F，则= 。

2023年人教版八年级下册数学_ 正方形同步典型例题精讲课件

18.2.3 正方形
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STEP2 能力提升与素养
1
3.[2022陕西宝鸡岐山一模]如图，在正方形ABCD中
7
S△BPF.S四边形NFEM＝S四边形PFEQ，S四边形MEDA＝S四边形QEDC，∴图中阴影部
8
分的面积是正方形ABCD面积的一半，即 1 ×2×2＝2.
2
9
18.2.3 正方形
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STEP1 知识理解与运用
1
知识点二正方形的判定
2
5.菱形ABCD添上下列哪个条件，可证明它是正方形( A )
45°＝22.5°.
8
9
18.2.3 正方形 1
STEP1 知识理解与运用
2
4.正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是对角线BD
上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，如图
3
所示，则图中阴影部分的面积之和等于 2 .
4
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5
6
解析：BD是正方形ABCD的对角线，根据对称性可知，S△BNF＝
9
18.2.3 正方形
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STEP1 知识理解与运用
1
2.一个正方形的面积为8 cm2，则它的对角线长为( C )
2
A.2 cm
3
B.2 2 cm
C.4 cm
D.3 cm
4
解析：∵正方形的面积为8 cm2，∴正方形的边长为 8＝2 2 (cm)，
5
∴正方形的对角线长为2 2 × 2 ＝4(cm).
或∠ACB＝45°能使矩形ABCD成为正方形.
7
18.2.3 正方形
STEP2 能力提升与素养
1
2.[2022贵州遵义模拟]如图，正方形ABCD中，点F

初二数学下册知识点《正方形的性质》经典150例题及解析

初二数学下册知识点《正方形的性质》经典150例题及解析副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共52小题，共156.0分）1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了勾股定理的应用有关知识，观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案.【解答】解：如图所示：∵（）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，∴a2+b2=13，∴2ab=21-13=8，∴小正方形的面积为13-8=5．故选C.2.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A. 18B.C.D.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，∴MC=12-5=7．∵ME⊥AM，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°．∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCG，∴=，即=，解得CG=，∴DG=12-=．∵AE∥BC，∴∠E=∠CMG，∠EDG=∠C，∴△MCG∽△EDG，∴=，即=，解得DE=．故选：B．先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论．本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．3.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．4.我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（）A. （，1）B. （2，1）C. （1，）D. （2，）【答案】D【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键．由已知条件得到AD'=AD=2，AO=AB=1，根据勾股定理得到OD'==，于是得到结论．【解答】解：∵AD'=AD=2，AO=AB=1，∴OD'==，∵C'D'=2，C'D'∥AB，∴C'（2，），故选D．5.如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：（1）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．（2）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．（3）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．综上可得，面积关系满足S1+S2=S3图形有4个．故选D．根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b2=c2．（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握6.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，E为OC上一点，OE＝1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（）A. B. C.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△GAO≌△EBO，得到OG=OE=1，证明△BFG∽△BOE，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3，∴∠AOB=90°，AO=BO=CO=3，∵AF⊥BE，∴∠EBO=∠GAO，在△GAO和△EBO中，，∴△GAO≌△EBO，∴OG=OE=1，∴BG=2，在Rt△BOE中，BE==，∵∠BFG=∠BOE=90°，∠GBF=∠EBO，∴△BFG∽△BOE，∴=，即=，解得，BF=.故选A．7.如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选D．8.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别叫BD,CD于G,F两点。

人教版八年级数学下册《正方形》基础练习

《正方形》基础练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE ∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形2．（5分）如图，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D正好分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上．若从上到下每两条平行线间的距离都是2cm，则正方形ABCD 的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．20cm2D．30cm23．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝1，则EF的值为（）A．3B．C．2D．44．（5分）下列说法中，正确的是（）A．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形B．对角线相等的四边形一定是矩形C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．对角线相等的四边形一定是正方形5．（5分）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四个角都是直角B．两组对边分别相等C．对角线平分对角D．内角和为360°二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝50°，∠3＝25°时，那么∠2的度数是．7．（5分）如图，是由直角三角形和正方形拼成的图形，正方形A的边长为5，另外四个正方形中的数字4，x，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是．8．（5分）直线L过正方形ABDC的顶点A，点B，C到直线L的距离分别为1和2，则正方形的边长为．9．（5分）正方形的对角线长为4，则它的边长为．10．（5分）在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．12．（10分）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP＝∠ADP．13．（10分）如图，已知正方形ABOD的周长为4，点P在第一象限且到x 轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等．（1）请你写出正方形ABOD各顶点的坐标；（2）求点P的坐标及三角形PDO的面积．14．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M 作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM＝EF．15．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形．求证：BG＝EC．《正方形》基础练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE ∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．B、如果AD＝EF，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．C、因为AD平分∠EAF，所以∠EAD＝∠F AD，∵∠F AD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA，∴EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．D、如果AD⊥BC且AB＝AC，所以四边形AEDF是菱形，故D选项错误．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点，熟练掌握判定定理是解题的关键．2．（5分）如图，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D正好分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上．若从上到下每两条平行线间的距离都是2cm，则正方形ABCD的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．20cm2D．30cm2【分析】如图作BF⊥l1于F，DH⊥l1于H，可证△ABF≌△AHD，可得HD＝AF ＝2，且BF＝4，根据勾股定理可得AB的长，则可求正方形ABCD的面积．【解答】解：如图作BF⊥l1于F，DH⊥l1于H∵作BF⊥l1于F，DH⊥l1于H∴∠AFB＝∠AHD＝90°∴∠F AB+∠FBA＝90°∵ABCD是正方形∴AB＝AD，∠BAD＝90°∴∠BAF+∠HAD＝90°∴∠HAD＝∠FBA且AB＝AD，∠AFB＝∠AHD＝90°∴AF＝HD＝2cm，且FB＝4cm∴AB＝2cm＝AB2＝20cm2∴S正方形ABCD故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是构造三角形全等．3．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝1，则EF的值为（）A．3B．C．2D．4【分析】根据题意可得AB＝2，∠ADE＝∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF＝1，根据勾股定理可得EF的长．【解答】解：∵ABCD是正方形∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°∵DF⊥DE∴∠EDC+∠CDF＝90°且∠ADE+∠EDC＝90°∴∠ADE＝∠CDF且AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°∴△ADE≌△CDF∴AE＝CF＝1∵E是AB中点∴AB＝BC＝2∴BF＝3在Rt△BEF中，EF＝＝故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键熟练运用这些性质解决问题．4．（5分）下列说法中，正确的是（）A．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形B．对角线相等的四边形一定是矩形C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．对角线相等的四边形一定是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法即可判定．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形一定是平行四边形，正确，符合题意；B、对角线相等的四边形一定是矩形，错误，比如等腰梯形的对角线相等，表示平行四边形，不符合题意；C、对角线互相垂直的四边形一定是菱形，错误．不符合题意；D、对角线相等的四边形一定是正方形，错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．5．（5分）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四个角都是直角B．两组对边分别相等C．对角线平分对角D．内角和为360°【分析】依据正方形的性质和菱形的性质进行判断即可．【解答】解：正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角．故选：A．【点评】本题主要考查的是正方形的性质、菱形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝50°，∠3＝25°时，那么∠2的度数是15°．【分析】根据∠2＝∠BOD+EOC﹣∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解．【解答】解：∵∠BOD＝90°﹣∠3＝90°﹣25°＝65°，∠EOC＝90°﹣∠1＝90°﹣50°＝40°，又∵∠2＝∠BOD+∠EOC﹣∠BOE，∴∠2＝65°+40°﹣90°＝15°．故答案为：15°．【点评】本题主要考查了正方形的性质，角度的计算，正确理解∠2＝∠BOD+EOC﹣∠BOE这一关系是解决本题的关键．7．（5分）如图，是由直角三角形和正方形拼成的图形，正方形A的边长为5，另外四个正方形中的数字4，x，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是x+y＝15．【分析】先由正方形A的边长为5，得出S A＝25，再根据勾股定理的几何意义，得到x+4+（6+y）＝S A，由此得出x与y的数量关系．【解答】解：∵正方形A的边长为5，∴S A＝25，根据勾股定理的几何意义，得x+4+（6+y）＝S A＝25，∴x+y＝25﹣10＝15，即x+y＝15．故答案为：x+y＝15．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理的几何意义，要知道，以斜边边长为边长的正方形的面积是以两直角边边长为边长的正方形的面积之和．8．（5分）直线L过正方形ABDC的顶点A，点B，C到直线L的距离分别为1和2，则正方形的边长为．【分析】作BE⊥直线L，作CF⊥直线L则BE＝1，CF＝2，可证△BEA≌△CAF，可得AF＝BE＝1，根据勾股定理可求正方形的边AC的长．【解答】解：如图：作BE⊥直线L，作CF⊥直线L则BE＝1，CF＝2∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠BAE+∠CAF＝90°∵BE⊥AE∴∠BAE+∠EBA＝90°∴∠CAF＝∠EBA，且AB＝AC，∠BEA＝∠AFC＝90°∴△ABE≌△ACF∴BE＝AF＝1在Rt△ACF中，AC＝＝故答案为【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．9．（5分）正方形的对角线长为4，则它的边长为4．【分析】根据正方形的性质可以直接得到．【解答】解：设正方形的边长为a则a2+a2＝（4）2∴a＝4故答案为4【点评】本题考查了正方形的性质，熟练运用正方形的性质是本题的关键．10．（5分）在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为2．【分析】根据正方形的面积公式可求正方形面积【解答】解：正方形面积＝＝2故答案为2【点评】本题考查了正方形的性质，利用正方形的面积＝对角线积的一半解决问题．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．【分析】通过△AEF≌△ABF，可以求证FE＝FB，然后证得△CEF为等腰直角三角形即可．【解答】解：在Rt△AEF和Rt△ABF中，，∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），∴FE＝FB．∵正方形ABCD，∴∠ACB＝∠BCD＝45°，在Rt△CEF中，∵∠ACB＝45°，∴∠CFE＝45°，∴∠ACB＝∠CFE，∴EC＝EF，∴FB＝EC＝EF．【点评】本题考查了全等三角形的证明，考查了等腰直角三角形的判定，本题求证Rt△AEF≌Rt△ABF是解本题的关键．12．（10分）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP＝∠ADP．【分析】依据四边形ABCD是正方形，即可得出AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，进而判定△ABP≌△ADP（SAS），即可得出∠ABP＝∠ADP．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，∴在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS），∴∠ABP＝∠ADP．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．13．（10分）如图，已知正方形ABOD的周长为4，点P在第一象限且到x 轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等．（1）请你写出正方形ABOD各顶点的坐标；（2）求点P的坐标及三角形PDO的面积．【分析】（1）根据题意可得AB＝AD＝DO＝BO＝，则可求各顶点的坐标．（2）根据题意可得P点坐标（，），则可求△PDO面积．【解答】解：（1）∵正方形ABOD的周长为4∴AB＝BO＝DO＝AD＝∴A（﹣，），B（0，），O（0，0），D（﹣，0）（2）∵点P在第一象限且到x轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等∴P（，）＝×＝1∴S△PDO【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．14．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M 作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM＝EF．【分析】延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，根据正方形的性质可得出：四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，进而可得出AQ＝FM，QM＝ME，结合∠AQM＝∠FME＝90°即可证出△AQM≌△FME （SAS），再利用全等三角形的性质可证出AM＝EF．【解答】证明：延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，点M为对角线BD上一点，∴四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，∴AQ＝PM＝FM，QM＝ME．在△AQM和△FME中，，∴△AQM≌△FME（SAS），∴AM＝EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的性质，利用全等三角形的判定定值SAS证出△AQM≌△FME是解题的关键．15．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形．求证：BG＝EC．【分析】由正方形性质可得，AE＝AB，AG＝AC，∠EAC＝∠BAG，可证△AEC ≌△ABG，结论可得．【解答】证明：∵四边形ABDE，AGFC都是正方形，∴AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠CAG＝90°∵∠EAC+∠CAB＝∠EAB＝90°，∠GAB+∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠BAG在△EAC和△BAG中，∴△EAC≌△BAG（SAS）∴BG＝CE【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，关键是运用正方形的性质解决问题．。

人教版八年级下册数学重点知识点练习及答案解析——正方形

人教版八年级下册数学重点知识点练习及答案解析——正方形一、选择题1．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为A．B．C．3 D【答案】A【解析】如图，设BE与AC交于点F（P′），连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度，∵正方形ABCD的面积为12，∴AB又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB故所求最小值为A．2．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于A．1 B．1 2C．13D．14【答案】B【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，∵EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，∴S阴=12S正方形ABCD=12，故选B．3．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD 于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】D【解析】①如图1，连接FC，延长HF交AD于点L，∵在正方形ABCD中，∠ADF=∠CDF=45°，AD=CD，DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴FC=AF，∠ECF=∠DAF，∵∠ALH+∠LAF=90°，∴∠LHC+∠DAF=90°，∵∠ECF=∠DAF，∴∠FHC=∠FCH，∴FH=FC，∴FH=AF；②如图1，∵FH⊥AE，FH=AF，∴∠HAE=45°；③如图2，连接AC交BD于点O，则由正方形的性质可得：BD=2OA，∵HF⊥AE，HG⊥BD，∴∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，∴∠AFO=∠GHF．∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA=GF．∵BD=2OA，∴BD=2FG；④如图3，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，∴∠IMC=∠ECM=45°，由已知条件可得：∠DEM=∠DEA=∠FHC=∠DIC，由此可得∠MEC=∠CIM，又∵MC=CM，∴△MEC ≌△CIM ， ∴CE =IM ，同理，可得：AL =HE ，∴HE +HC +EC =AL +LI +IM =AM =8． ∴△CEH 的周长为8，为定值．故①②③④结论都正确．故选D ．二、解答题4．（1）如图（1）正方形ABCD 中，AE ⊥BF 于点G ，试说明AE =BF ．（2）如果把线段BF 变动位置如图（2），其余条件不变，（1）中结论还成立吗？（3）如果把AE 与BF 变动位置如图（3），结论还成立吗？【解析】（1）AE =BF ，理由是：∵正方形ABCD ，AE ⊥BF ，,90AB BC C ABE AGB ∴=∠=∠=∠=︒，90,90BAE ABG ABG CBF ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，∴∠BAE =∠FBC ，在△ABE 和△BCF 中，ABE CAB BC BAE CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE ≌△BCF ， ∴AE =BF ．（2）结论还成立，理由是：过H 作HM ⊥CD 于M ，∵正方形ABCD ，AE ⊥HG ，,90AB BC HM B APH HMG AHM ∴==∠=∠=∠=∠=︒，90,90 BAE AHP GHM AHP∴∠+∠=︒∠+∠=︒，∴∠BAE=∠GHM，与（1）证法类似：证△ABE≌△HMG，即AE=HG．（3）结论还成立，理由是：过E作EN⊥BC于N，由EN∥AB∥CD，HM∥BC∥AD，EN=AB=BC=HM，90EPH HOE EQP HQN︒∠=∠=∠=∠，，∴∠NEF=∠GHM，在△ENF和△HMG中，ENF HMG EN HMNEF MHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ENF≌△HMG，∴EF=HG．。

【精品人教版】初二八年级数学下册《18.2.3 第2课时正方形的判定》(附答案演示)

第2课时正方形的判定
知识点
正方形的判定
1．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如
果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么
这个条件可以是( D )
A.∠D＝90° B.AB＝CD C.AD＝BC D.BC＝CD
2．(2018· 十堰模拟)满足下列条件的四边形不是正
方形的是【易错6】( C )
∵∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．
∵O为EF的中点，GO＝OD，
∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，
∴四边形EDFG是正方形．
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？
并求四边形EDFG面积的最小值． (2)解：过点D作DE′⊥AC于E′，
那么四边形AEDF是正方形．
8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，
分别过点C、点D作CE∥BD，DE∥AC.求证：四边
形OCED是正方形．
证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，
∴四边形OCED是正方形．
D.AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
5 ．已知
ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，且 ∠BAD＝90°(答案
AC⊥BD，请添加一个条件：
不唯一) ，使得 ABCD为正方形．
6 ．如图，用一张矩形纸片 ABCD 折出一个正方形，
只需把一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的 AF重合，则四边形ABEF就是一个正方形，判断的依
如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形， ∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，

八年级数学下册《正方形》练习题及答案(人教版)

八年级数学下册《正方形》练习题及答案(人教版)A．15 B．20 C．25 D．303A．4 B．8 C．16 D．32A．1 B．2018 C．2019 D．2020 运动时，ABE的面积25A ．B ．C ．D ．二、填空题11．正方形的性质∶①边∶_______都相等且_______；②角：四个角都是_______；③对角线：两条对角线互相_______且_______，并且每一条对角线平分_______；④正方形既是_______图形，又是_______图形，正方形有_______对称轴．12．如图，请给矩形ABCD 添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为________．13．如图，点P 为线段AB 上的一个动点，AB ＝6，以PA 、PB 为边向同侧作正方形APDC 、正方形PBEF ，两正方形的对角线的交点分别记为O 1、O 2，连接O 1O 2，则O 1O 2的最小值为_____．14．如图，正方形111OA B C 的边长为1，以对角线1OB 为边作第二个正方形122OB B C ，再以对角线2OB 为边作第三个正方形233OB B C …则第二个正方形122OB B C 的面积为_____________，第n 个正方形1n n n OB B C 的面积为_____________（用含n 的代数式表示）．15．如图，四边形ABCO是平行四边形，OA＝2，AB＝8，点C在x轴的正半轴上，将平行四边形ABCO绕点A 顺时针旋转得到平行四边形ADEF，AD恰好经过点O，点F恰好落在x轴的负半轴上．则点D的坐标是_____．三、解答题16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？17．如图，大正方形与小正方形的面积之差是50，求阴影部分的面积．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．(1)当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形？(2)当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形？(3)分别求出（2）中菱形AQCP 的周长和面积．19．如图，点E ，F ，G 分别在正方形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上，EF FG ⊥，且EF FG =．求证：BE CF =20．如图，在Rt ABC △中30cm AC =，60A ∠=︒点D 从点C 出发沿CA 方向以2cm /秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以1cm /秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D 、E 运动的时间是t 秒（015t <≤），过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE ，EF(1)求证：AE DF =；(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出t 的值，如果不能，说明理由；(3)在运动过程中，四边形BEDF 能否为正方形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．参考答案1．B2．B3．C4．A5．C6．D7．D8．D9．C10．A∴DE DF∴四边形BEDF不可能为正方形．。

人教版八年级数学下册正方形(基础)巩固练习及答案.doc

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】【巩固练习】一.选择题1. （2016•陕西）如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M ′、N ′，则图中的全等三角形共有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对2. （2015•漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A. 四条边相等B. 对角线互相垂直平分C. 对角线平分一组对角D. 对角线相等3. 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为( )2cm ．A.6B.8C.16D.不能确定4. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是 ( )A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形5.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME ＝MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，则DG 的长为（）A ．31- B.35- C.51+ D. 51-6.如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，则图中的等腰三角形有（）A ．4个B ．6个C ．8个D ．10个二.填空题7．若正方形的边长为a ，则其对角线长为______，若正方形ACEF 的边是正方形ABCD 的对角线，则正方形ACEF 与正方形ABCD 的面积之比等于______．8. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，对角线AC 与BD 相交于点O ，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是_________.9. 如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A B C '''，若两个三角形重叠部分的面积是12cm ，则它移动的距离AA '等于____cm .10. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是_______.11. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______．12.（2015•长春）如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．三.解答题13．（2016•乐山）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF．求证：CE=DF．14．（2015•铁力市二模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？．15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF 交AD于H，求DH的长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，，∴△ABD ≌△BCD ，∵AD ∥BC ，∴∠MDO=∠M ′BO ，在△MOD 和△M ′OB 中，，∴△MDO ≌△M ′BO ，同理可证△NOD ≌△N ′OB ，∴△MON ≌△M ′ON ′，∴全等三角形一共有4对．故选C ．2.【答案】D ；【解析】正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：D ．3．【答案】B ；【解析】阴影部分面积为正方形面积的一半.4.【答案】A ；5.【答案】D ；【解析】利用勾股定理求出CM 5即ME 的长，有DM ＝DE ，所以可以求出DE 51，进而得到DG 的长．6.【答案】C ；二.填空题7.2a ，2∶1 ；【解析】正方形ACEF 与正方形ABCD 2.8.【答案】AC ＝BD 或AB⊥BC；【解析】∵在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA∴四边形ABCD 是菱形∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC ＝BD 或AB⊥BC .9.【答案】1；【解析】移动距离为B C x '=，重叠部分面积为CE ×1B C '=，所以()21x x -=，得()210x -=，所以1x =.10.【答案】1；【解析】由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于三角形BOC 面积．11.【答案】21-；【解析】21D E D C ''==-，重叠部分面积为()12121212⨯⨯⨯-=-. 12.【答案】5；【解析】解：过E 作EM ⊥AB 于M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC=CD=AB ，∴EM=AD ，BM=CE ，∵△ABE 的面积为8，∴×AB ×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．三.解答题13.【解析】证明：∵ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD ，∠EBC=∠FCD=90°，又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴BE=CF ，在△CEB 和△DFC 中，，∴△CEB ≌△DFC ，∴CE=DF ．14.【解析】解：①正确，连接PC ，可得PC=EF ，PC=PA ，∴AP=EF ；②正确；延长AP ，交EF 于点N ，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE ，可得AP ⊥EF ； ③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP ；④错误，PD=PF=CE ；⑤正确，PB 2+PD 2=2PA 2．所以正确的有4个：①②③⑤.15.【解析】解：如图，连接CH ，∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°，∴∠BCF＝30°，则∠DCF＝60°，在Rt△CDH 和Rt△CFH 中，CH CH CD CF =⎧⎨=⎩∴Rt△C DH ≌Rt△CF H ， ∴∠DCH＝∠FCH＝12∠DCF＝30°，在Rt △CDH 中，DH ＝x ，CH ＝2x ，CD ＝33x =，∴DH ＝3.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。