抽样分布和样本分布
第四节抽样分布
（四）t分布表的使用
▪ 左列表示自由度。 ▪ 最上一行表示不同自由度下t分布两端的概率之和，
即在某t值时， t分布两端的概率之和，又称显著 性水平。 ▪ 中间数字：某一自由度和某一显著性水平t的临界 值。
志存高远，顽强拼搏
不管是正态分布，还是 在t分布，都存在标准误问题. 标准误的含义：某种统计量在抽样分布上的标准差,符号
自由度的变化而变化。 ▪ 联系：当自由度趋于无穷大时， t分布接近标准正态分布。
志存高远，顽强拼搏
（三）自由度
▪ 指总体参数估计量中变量值自由变化的个数，用符号df表 示。
▪ 任何变量中可以自由变化的数目 。 ▪ 自由度(degree of freedom, df)在数学中能够自由取值的变
量个数，如有3个变量x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由 度等于2。在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时， 取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。其中n为样本含量， k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用 到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。
在以笔名"Student"发表的一篇论文中推导的一种分布。
志存高远，Hale Waihona Puke 强拼搏（二） t分布的特征
▪ 1. t分布的平均值为0。 ▪ 2. t分布是以过平均值0的垂线为轴的对称分布,分布左侧t
为负值,分布右侧t为正值。 ▪ 3. t变量取值在--∞—+∞之间。 ▪ 4. 当样本容量趋于+∞时,t分布为正态分布。 ▪ 5.t分布的形态随自由度的变化而变化，呈一簇分布形态
▪ （三）无限多个n个随机变量平方和或标准分数 的平方和的分布,称为χ2分布。χ2分布是正偏态分 布；卡方值都是正值；卡方分布的和也是卡方分 布；χ2分布是连续型分布。
抽样分布和七种理论分布
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μ σ2x = σ2 /n由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx ex f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
统计学 第三章抽样与抽样分布
=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
从非正态总体中抽样
结论：
从非正态中体中抽样，所形成 的抽样分布最终也是趋近于正态分 布的。只是样本容量需要更大些。
总结：中心极限定理
设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽 取容量为n的样本，当n充分大时（超过30），样本 均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的
总体
样本
参数
统计量
总体与样本的指标表示法
总体参数
样本统计量
(Parameter) (Sample Statistic)
容量 平均数 比例 方差 标准差
N
n
X
x
p
2
s2
s
小练习
某药品制造商感兴趣的是用该公司开发的某 种新药能控制高血压人群血压的比例。进行了一 项包含5000个高血压病人个体的研究。他发现用 这种药后80%的个体，他们的高血压能够被控制。 假定这5000个个体在高血压人群中具有代表性的 话，回答下列问题： 1、总体是什么？ 2、样本是什么？ 3、识别所关心的参数 4、识别此统计量并给出它的值 5、我们知道这个参数的值么？
正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本 大样本 小样本
正态分布
正态分布
非正态分布
三 中心极限定理的应用
中心极限定理(Central Limit theorem) 不论总体服从何种分布，从中抽取
概率论 第六章 样本及抽样分布
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
样本及其抽样分布基本概念
第六章
样本及抽样分布
第1，2节 基本概念
一、总体、个体 二、随机样本、直方图 三、样本函数与统计量 四、小结
一、总体与个体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体.
总体
总体 …
研究某批灯泡的心每个 个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标 在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有 的数量指标的全体就是总体.
直方图
5
8
4.5
7
4 6
3.5 5
3
2.5
4
2
3
1.5 2
1
1 0.5
0
0
140
150
160
170
180
190
200
147
157
167
177
187
197
三、统计量
由样本推断总体特征,需要对样本进行 “加工”,“提炼”.这就需要构造一些样本的 函数,它把样本中所含的信息集中起来.
1. 代表性： X1,X2,…, Xn中每一个与所考察的 总体X有相同的分布. 2. 独立性： X1,X2,…, Xn是相互独立的随机变量.
满足上述两条性质的样本称为简单随机样本. 获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.
为了使大家对总体和样本有一个明确的 概念,我们给出如下定义:
定义 一个随机变量X或其相应的分布 函数F(x)称为一个总体.
4. 直方图 4.1 频数--频率分布表
样本数据的整理是统计研究的基础，整理数据的最 常用方法之一是给出其频数分布表或频率分布表。
例3 为研究某厂工人生产某种产品的能力， 我们随机调查了20位工人某天生产的该种产品 的数量，数据如下
抽样分布样本统计量的分布及其应用
抽样分布样本统计量的分布及其应用在统计学中，抽样是一种数据分析的方法，它通过对总体中的一部分个体进行观察和测量来推断总体的特征。
而抽样分布是指抽取相同样本量的多个样本后得到的统计量的分布。
样本统计量是对样本数据进行计算得到的统计指标，它可以用来估计总体参数，并进行假设检验。
1. 抽样分布的基本概念抽样分布具有一些基本性质，首先是无偏性。
当样本容量趋向于总体容量时，样本统计量的期望值会无限接近总体参数的真实值。
其次是有效性，即样本统计量的方差趋近于零，它可以用来估计总体参数的精确度。
最后是一致性，样本统计量在样本容量逐渐增大时趋近于总体参数。
2. 抽样分布的常见形式常见的抽样分布有正态分布、t分布和卡方分布。
其中正态分布应用最为广泛，它在中心极限定理的作用下，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
而t分布则适用于当总体标准差未知、样本容量较小的情况下，它的形状比正态分布要略扁平一些。
卡方分布则主要用于样本方差的估计与检验。
3. 抽样分布的应用抽样分布的应用非常广泛，常用于以下几个方面：3.1 参数估计通过抽样分布，我们可以利用样本统计量对总体参数进行估计。
例如，可以利用样本均值估计总体均值，利用样本标准差估计总体标准差。
通过计算置信区间，我们可以得到对总体参数的范围估计。
3.2 假设检验假设检验是统计学中非常重要的一项工具，用于判断样本数据是否支持某个假设。
基于抽样分布，我们可以计算统计量的P值，进而判断样本数据与假设的一致性。
常用的假设检验有均值检验、方差检验、比例检验等。
3.3 质量控制在生产过程中，质量控制是非常关键的。
通过对样本数据进行分析，可以判断生产过程是否正常。
例如，可以通过控制图分析样本均值的变化情况，以判断过程是否处于控制状态。
3.4 统计决策在实际决策中，我们往往需要依据样本数据来进行判断。
抽样分布提供了一种基于统计的决策依据。
例如，在市场调研中，我们可以通过对样本数据进行分析，对市场潜力进行预测，从而指导营销策略的制定。
样本及抽样分布
样本及抽样分布§6.1 基本概念一、总体:在统计学中, 我们把所研究的全部元素组成的集合称作母体或总体, 总体中的每一个元素称为个体。
我们只研究感兴趣的某个或者几个指标(记为X)，因此把这些指标的分布称为总体的分布，记为X～F(x)。
二、样本:设总体X具有分布函数F(x),若X1, X2,…,Xn是具有分布函数F(x)的相互独立的随机向量，则称其为总体F（或总体X ）的简单随机样本, 简称样本,它们的观察值x1,x2, …, xn称为样本观察值, 又称为X 的n 个独立的观察值。
三、统计量:设X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的一个样本, g (X 1, X 2, …, X n )是一个与总体分布中未知参数无关的样本的连续函数，则称g (X 1,X 2,…,X n )为统计量。
统计量是样本的函数,它是一个随机变量，如果x 1, x 2, …, x n 是样本观察值, 则g (x 1, x 2, …, x n )是统计量g (X 1, X 2, …, X n )的一个观察值.四、 常用的统计量:, ,)(x 11s ,,x 1x 1. n12i2n1i 称为样本方差均值仍称为样本它们的观察值为∑∑==--==i i x n n .B ,,1,2,X A ,1k 2.22221S S nn B k ≈-====当样本容量很大时时当时当3.kkkk若总体X 的k 阶矩E(X )存在,则当n时, A .P注：ni i 111. X X ;n ==∑样本均值2n 2i i 112. S (X );n-1X ==-∑样本方差n kk i 113. k A X , k 1, 2,;n i ===∑样本阶原点矩nk i i 114. k B (X ) , k 2, 3,.n k X ==-=∑样本阶中心矩4.样本的联合分布：2) 若总体X 是离散型随机变量，其分布律为 p x =P (X=x ) , x=x 1,x 2,… 则样本X 1, X 2, …, X n 的联合分布:11112(,,)(),,;(1,2,,)nn n i i i i P X y X y P X y y x x i n =======∏其中12n *12i 13)(), ,X , (, ,)()n n i X f x X X f x x x f x ==∏若具有概率密度则的联合概率密度为12121211)(),,,,, ,,,:()()n n n*n i i X ~F x X X X F X X X F x , x ,x F x ==∏若为的一个样本则的联合分布函数为例1：X~U (0,θ),X 1, X 2, …, X n 是来自X 的样本，求（X 1, X 2, …, X n ）的联合密度函数。
随机样本与抽样分布
随机样本与抽样分布一、引言随机样本和抽样分布是统计学中非常重要的概念，它们在统计推断和假设检验中起着核心作用。
本文将从理论和实践两个方面来探讨随机样本和抽样分布的相关知识，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
二、随机样本1. 随机样本的定义随机样本是指从总体中以随机的方式抽取出来的样本。
在实际调查和研究中，通常需要根据一定的规则和方法来获取样本，而随机样本则是保证了每个总体单位有相同被选入样本的机会，从而能够更好地代表总体特征。
2. 随机样本的特点随机样本具有以下特点： - 代表性：通过随机抽样得到的样本能够较好地代表总体特征。
- 可比性：不同的随机样本之间可以进行比较分析，结果具有一定的可靠性。
- 独立性：各个个体之间的选取是相互独立的，不会受到其他因素的影响。
三、抽样分布1. 抽样分布的概念抽样分布是指统计量由一个个样本算出来时所得到的概率分布。
在统计推断中，我们通常需要根据样本来对总体参数进行估计或进行假设检验，而抽样分布则是帮助我们推断出总体参数的分布情况。
2. 常见的抽样分布(1) 正态分布当总体服从正态分布时，根据中心极限定理可知，样本均值的抽样分布也会趋近于正态分布，而且当样本量大于30时，可以认为近似服从正态分布。
(2) t 分布在总体标准差未知且根据小样本得到的数据时，往往使用t分布来进行统计推断。
t分布相较于正态分布，在小样本情况下具有更大的尾部面积，更符合对总体参数进行估计时对抽样误差可能带来的影响。
(3) 卡方分布卡方分布是一种重要的统计分布，在统计学中有着广泛的应用。
在假设检验、方差分析等领域都有着重要作用。
四、随机样本与抽样分布在实际中的应用随机样本和抽样分布在现实生活和科学研究中都有着重要应用。
例如，在医学研究中，需要通过对患者进行随机抽样来获取数据，然后利用抽样分布的知识对药物疗效等进行评估；在市场调查中，通过对消费者群体进行随机抽样，并利用抽样分布进行数据处理和结果推断。
管理统计学(李金林版教材)课后习题答案~~~第六章
管理统计学（李金林版教材）课后习题答案~~~第六章基础习题1. 解释总体分布、样本分布和抽样分布的含义。
答：总体分布：整体取值的概率分布规律，即随机变量X 服从的分布；样本分布：从总体中按照一定的抽样规则抽取的部分个体的分布，若从总体中简单随机抽取容量为n 的样本，则样本分布为(X 1,X 2,...,X n )；抽样分布：样本统计量的分布。
2. 简述卡方分布、t 分布、F 分布及正态分布之间的关系，它们的概率密度曲线各有什么特征？答：若随机变量X 服从N(μ,σ2)，则Z =X−μσ服从N(0,1)；若随机变量X 服从N(0,1)，则Y =∑(X i )2n i=1服从自由度为n 的χ2分布；若随机变量X~N(0,1)，随机变量Y~χ2(n)，且X 与Y 相互独立，则称随机变量T =√Y n⁄服从自由度为n 的t 分布；若随机变量X~χ2(n)，若随机变量Y~χ2(m)，且X 与Y 相互独立，则称随机变量F n,m =X n ⁄Y m ⁄服从第一自由度为n ，第二自由度为m 的F 分布，记为F n,m ~F(n,m)。
χ2分布的概率密度曲线分布在第一象限内，随着自由度n 的增大，曲线向正无穷方向延伸，并越来越低阔，越来越趋近于正态分布的曲线形态。
t 分布的概率密度曲线以0为中心，左右对称，随着自由度n 的增大，t 分布的概率密度曲线逐渐接近标准正态分布的概率密度曲线。
F 分布的概率密度曲线分布在第一象限内，当第一个自由度不变，第二个自由度增大时，曲线越来越向右聚拢，当两个自由度都增加时，F 分布概率密度曲线逐渐接近正态分布的概率密度曲线。
3. 解释中心极限定理的含义。
从均值为μ，方差为σ2的任意一个总体中抽取样本容量为n 的随机样本，则当n 充分大时，样本均值x̅的抽样分布近似服从均值为μ，方差为σ2n ⁄的正态分布，即x̅~N(μ, σ2n ⁄)。
4. 某公司有20名销售员，以下是他们每个人的销售量：3，2，2，3，4，3，2，5，3，2，7，3，4，5，3，3，2，3，3，4。
概率论第六章样本及抽样分布
本相互独立，记
1 n1 X Xi n1 i 1 1 n2 Y Yi n2 i 1
则有 ⑴
2 1 2 2 2 1 2 2
1 n1 S12 ( X k X )2 n1 1 k 1 1 n2 2 S2 (Yk Y ) 2 n2 1 k 1
S / ~ F (n1 1, n2 1) S /
⑵ 当 时
2 1 2 2 2
X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n1 n2
(n1 1) S12
2 1
2 (n2 1) S2
2 2
~ 2 (n1 n2 2)
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
2
又因为
(n 1)S 2
2
~ (n 1)
2
X n1 X n
故 Y
(n 1) S 2
n n 1 ~ t (n 1) /(n 1)
2
X n1 X n Y S
n ~ t (n 1) n 1
例4
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
2
X n1 X n n X 1 , X 2 ,, X n , X n1 , 求 Y 的分布 . S n 1 1 n 1 n 2 2 其中 X n X i , S ( Xi X n ) n i 1 n 1 i 1
1 2 解 由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N ( , ) , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N (0, ) n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1
3样本及抽样分布
x
n n 1 1 2 2 2 2 s ( x x ) [ x n x ] i i n 1 i 1 n 1 i 1
x n
i 1
i
第三章 样本及抽样分布
s
1 2 ( xi x) n 1 i 1
n
§3 抽样分布
1 n k a k x i , k 1,2 n i 1 1 n bk ( x i x ) k , k 1,2 n i 1
2
n
第三章 样本及抽样分布
§3 抽样分布
二、 常用统计量的分布
1) 2 分布 设( X 1 , X n )为来自于正态总体 N (0,1)的样本，
则称统计量：
X X
2 2 1
2
2 n
所服从的分布为自由度 是n的 分布。
记为 ~ (n)
2 2
2 分布具有下面的性质：
t 0.95 (9) 1.___ 8331. 2 __________
第三章 样本及抽样分布
3) F 分布
X / n1 F Y / n2
§3 抽样分布
若 X ~ 2 (n1 ), Y ~ 2 (n2 ), X ,Y 独立， 则 称随机变量
所服从的分布为自由度
是n1 , n2 的 F 分布，记作 F ~ F (n1 , n2 ).
定理：若 F ~ F (n1 , n2 ),则 1 / F ~ F (n2 , n1 ).
对于给定的 (0 1)， 称 满 足 条 件 ： P{ F F ( n1 , n2 )}
的点 F (n1 , n2 )为F分布的 上分位点 。
F (n1 , n2 )
随机样本与抽样分布
随机样本与抽样分布随机样本是指从总体中按照一定的概率分布规律随机选择的样本。
在统计学中，随机样本是进行统计推断的基础，通过对随机样本的分析可以得出对总体的推断。
而抽样分布则是指在多次独立重复抽取同样大小的随机样本，并计算所得样本统计量的分布情况。
本文将从随机样本的概念、抽样方法、抽样误差以及抽样分布的特点等方面进行探讨。
一、随机样本的概念随机样本是指从总体中按照一定的概率分布规律随机选择的样本。
在进行统计推断时，我们往往无法对整个总体进行调查，而是通过对随机样本的研究来推断总体的特征。
随机样本的选择要具有代表性和随机性，确保样本能够准确反映总体的特征。
通过对随机样本的分析，可以得出对总体的推断，从而进行决策和预测。
二、抽样方法抽样是指从总体中选择样本的过程，其目的是获取代表性的样本以进行统计推断。
常见的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样和系统抽样等。
简单随机抽样是指从总体中随机选择若干个体作为样本，每个个体被选中的概率相等且相互独立。
分层抽样是将总体按照某种特征分成若干层，然后从每一层中分别进行简单随机抽样。
整群抽样是将总体分成若干群，然后随机选择若干群作为样本。
系统抽样是按照一定的规律从总体中选择样本，如每隔若干个单位选择一个单位作为样本。
三、抽样误差抽样误差是指由于样本选择不足以代表总体而导致的误差。
抽样误差的大小受到多种因素的影响，包括样本容量、抽样方法、总体的特征等。
通常情况下，样本容量越大、抽样方法越科学、总体的特征越均匀，抽样误差就越小。
在进行统计推断时，需要对抽样误差进行估计，并考虑其对推断结果的影响。
四、抽样分布抽样分布是指在多次独立重复抽取同样大小的随机样本，并计算所得样本统计量的分布情况。
常见的抽样分布包括 t 分布、F 分布和χ² 分布等。
其中 t 分布适用于小样本情况下对总体均值的推断，F 分布适用于对总体方差的推断，χ² 分布适用于对总体分布的推断。
四章样本及抽样分布
E(X )
1 n
n i 1
E( X i )
D(X )
1 n2
n
2
D(Xi )
i 1
n
X ~ N(, 2 )
n
X ~ N (0, 1) / n
iid
2.若X1,,X n ~ N (, 2 ), 则 (1) X与S 2相互独立; (2) 2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1);
(3)T X ~ t(n 1).
第四 章 样本及抽样分布
引言 run 随机样本 抽样分布
4.1 随机样本 一、总体与样本
1. 总体：研究对象旳全体。 一般指研究对象旳某项数量指标。 构成总体旳元素称为个体。
从本质上讲，总体就是所研究旳随机变量或 随机变量旳分布。
2. 样本：来自总体旳部分个体X1， … ，Xn 假如满足： （1）同分布性： Xi， i=1,…,n与总体同分布. （2）独立性： X1，… ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 旳简朴随
P{ 1
1
P{ 1 F
F (n2 , n1)}
} 1
F F1 (n1, n2 )
P{ 1
1 }
得证!
F F1 (n1, n2 )
4.3 正态总体旳抽样分布定理
iid
1.若X1 ,,Xn ~ N(, 2 ), 则U
X / n
~
N(0, 1)
证明:
X
1 n
n i 1
Xi
是n 个独立旳正态随 机变量旳线性组合,故 服从正态分布
i 1
称为自由度为n的 2 分布.
2.2—分布旳密度函数f(y)曲线
f
(y)
(完整版)样本及抽样分布
第六章样本及抽样分布【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念；2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算；3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论；4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。
【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布，F分布；分位数的理解和计算。
【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。
【学时分配】4学时【授课内容】§6.0 前言前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。
它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。
所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。
其研究方法是归纳法（部分到整体）。
对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。
数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。
§6.1 随机样本一、总体与样本1.总体、个体在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。
例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。
但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。
在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。
在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。
极限定理 样本及抽样分布
f ( y)
n =1
n=5 n = 15
O
y
χ 2 (n)分布具有以下性质 分布具有以下性质:
2 χ2 χ2 χ2 (1)如果 1 ~ χ 2 (n1 ), χ2 ~ χ 2 (n2 )且 1 与 2 相互独立 2 χ2 则 1 + χ2 ~ χ 2 (n1 + n2 )
(2)如果 ~ χ (n), 则有 (χ ) = n, D(χ ) = 2n. χ E
1 n E(S ) = E( Xi2 ) − nE( X 2 ) ∑ n − 1 i=1
2
1 σ 2 2 2 2 = ∑(σ + µ ) − n(µ + n ) = σ n − 1 i=1
n 2
第二节 抽样分布
χ2 分布 1、 、
是来自总体N(0，1)的样本，称统计量 的样本， 设X1,X2…Xn是来自总体 ， 的样本
1 2 2 (∑ Xi + ∑ X − 2∑ Xi X ) = n − 1 i =1 i =1 i =1 n n n 1 2 2 X = ∑ Xi ⇒ ∑X 2 X = 2 X∑Xi ...X 2 = nX 2 = X + X + = nX= ⇒ ∑Xi n i =1 i =1 i =1
n n n
1 2 2 (∑Xi + nX − 2nX 2 ) = n − 1 i =1
定义5.1 设随机变量序列Y 是常数, 定义5.1 设随机变量序列 1 , Y2 …Yn , a是常数, 是常数 对于任意正数ε, 有
n
lim P { Yn − a < ε } = 1, →∞
则称序列 Y1 , Y2 L Yn ... 依概率收敛于 a , 记为 P Yn → a .
几种常用统计量的分布
P{
χ2
χ
2 a
(n)
}
f
a2 (n)
x dx a
的点χa 2(n)称为 χ2 分布单侧 分位点或双侧临界值，如图11-5 所示 .
图11-5
几种常用统计量的分布
定义4
设X ~ N ( ， 2 ) ，样本方差为S 2，则统计量χ2
(n
1)S 2
2
服从自由度为n
1
的χ 2分布，记作
χ2
n
/ n
几种常用统计量的分布
证明
X ~ N ( ， 2 ) ，( X1.，X 2 ， ，X n )是来自总体 X 的样本 ，
X
~
N ( ， 2 )(i 1，2 ，
，n) ，其线性函数 X
1 n
n i 1
Xi
也服从正态分布，即
E X
E1 n
n i 1
Xi
1n E
n i1
Xi
1 n n
(
EX i i 1，2
n) ，
1 n
1
DX
D n
i 1
Xi
n2
n
D Xi
i 1
1 n2 2 (
n2
n
X1 ，X 2 ， X n相互独立) ，
则X ~ N ( ， 2 ) ，故 X ~ N (0 ，1) .
n
/ n
几种常用统计量的分布
例1
解
因为总体 X 服从正态分布N 5 ，9 ，所以 X 服从正态分布N (5 ，9 ) ，故
图11-2
几种常用统计量的分布
显然，f x随着n不同而不同，且f x为偶函数 . 当n 时，有
lim f x
抽样分布公式样本均值样本比例的抽样分布计算
抽样分布公式样本均值样本比例的抽样分布计算抽样分布公式是统计学中常用的一种计算方法，用于估计总体的参数。
在抽样过程中，我们从总体中抽取一部分样本，然后利用样本的统计量来推断总体参数的值。
抽样分布公式包括样本均值的抽样分布和样本比例的抽样分布，下面分别介绍这两种抽样分布的计算方法。
一、样本均值的抽样分布计算当从总体中抽取n个独立观测值时，它们的总体均值为μ，总体标准差为σ。
根据中心极限定理，当样本容量n足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
样本均值的抽样分布计算公式如下：样本均值的抽样分布：样本均值的均值为总体均值（μ），样本均值的标准差为总体标准差除以样本容量的平方根（σ/√n）。
根据这个公式，我们可以计算出样本均值的抽样分布。
例如，从一个服从正态分布的总体中抽取100个样本，样本均值的总体均值为100，总体标准差为20。
根据公式，样本均值的抽样分布的均值为100，标准差为20/√100=2。
这表明，在多次抽样中，样本均值的抽样分布的平均值接近总体均值，标准差越小则样本均值越稳定。
二、样本比例的抽样分布计算在统计学中，样本比例是指样本中具有某种特征或满足某个条件的观测值占样本总数的比例。
比如，在一份问卷调查中，我们想估计整个人群中支持某个政党的比例。
样本比例的抽样分布可以用二项分布进行近似。
样本比例的抽样分布：样本比例的均值为总体比例（p），样本比例的标准差为总体比例乘以（1-总体比例）再除以样本容量的平方根（√(p*(1-p)/n)）。
样本比例的抽样分布的计算方法与样本均值类似。
假设我们从一个总体中抽取了100个样本，并且总体比例为0.5。
根据公式，样本比例的抽样分布的均值为0.5，标准差为√(0.5*(1-0.5)/100)≈0.05。
这说明，在多次抽样中，样本比例的抽样分布的平均值接近总体比例，标准差越小则样本比例越稳定。
总结：抽样分布公式用于计算样本均值和样本比例的抽样分布。
样本均值的抽样分布近似服从正态分布，计算公式为样本均值的均值为总体均值（μ），标准差为总体标准差除以样本容量的平方根（σ/√n）。
第6章抽样分布
* * Xm 的分布已知，故可求出 X 函数的分布，设 m
所以 n! 1 m 1 nm hm ( y ) f ( x)[1 F ( x)] [ F ( x)] (n m)!(m 1)! f ( x) n! y m 1 (1 y ) n m , (n m)!(m 1)! 0 y 1, m 1 ~ n
所以
X 的特征函数为
2 2 t / n iat / n x t exp 2
n
t 2 2 exp iat 2 n
可见 X ~ N ( a,
2
n
) 分布。
（二）样本均值的极限分布 定理：设 X1, X2，…，Xn来自一般总体X,且E(X)=a,
若总体X为连续型随机变量，其密度函数为f (x),则(X1,X2,…，Xn) 的联合密度函数为
§6－2 样本分布
一、频率直方图
二、样本分布函数
如果我们从随机变量X的总体中抽取了一个样本，把样本的n个值
* * * x1，x2，…， xn加以排队 x1 ，并把它看成是某个离散 x2 xn 随
1 n 2 S (Xi X ) n i 1 2 2
_
1 n S* (Xi X ) n 1 i 1
2
2 2 2、设X ~ N ( a1 , 1 ), Y ~ N ( a2 , 2 ), X 1 , X 2 ,..., X n1 及Y1 , Y2 ,..., Yn 2 分别为
—
t 1 式中 ( ) 是 X 的特征函数。 n nn n 1 证： X X i 1 X i ，且 1 X , 1 X ,, 1 X 相互独立 1 2 n n i 1 i 1 n
抽样分布和样本分布
抽样分布和样本分布你们知道抽样分布和样本分布各是什么吗?以下是有店铺为大家整理的抽样分布和样本分布，希望能帮到你。
抽样分布:从已知的总体中以一定的样本容量进行随机抽样，由样本的统计数所对应的概率分布称为抽样分布。
抽样分布是统计推断的理论基础。
如果从容量为的有限总体抽样，若每次抽取容量为的样本，那么一共可以得到N取n的组合个样本(所有可能的样本个数)。
抽样所得到的每一个样本可以计算一个平均数，全部可能的样本都被抽取后可以得到许多平均数。
如果将抽样所得到的所有可能的样本平均数集合起来便构成一个新的总体，平均数就成为这个新总体的变量。
由平均数构成的新总体的分布，称为平均数的抽样分布。
随机样本的任何一种统计数都可以是一个变量，这种变量的分布称为统计数的抽样分布。
样本分布：总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目样本分布是用来估计总体分布的。
样本分布有区别于总体分布，它是从总体中按一定的分组标志选出来的部分样本容量。
实际中很多不确定现象都可以用随机变量描述，而应用中的一个十分重要的问题是找到随机变量的分布或其数字特征。
例如：某进出口贸易公司进口了10万台微型计算器，按产品技术规定，使用寿命小于4000小时即为次品,且次品率大于1% 就不接受这批产品。
如何得知这批产品的次品率呢?是否要测量每一台计算器呢?显然，这是不现实的，解决这个问题的好办法就是随机抽样，然后根据抽样检验得到的次品率来估计整批产品的次品率。
也就是从10万台产品中按随机原则，抽取一部分(假如100件)产品组成一个样本，由样本(100件产品)次品率推断整批产品的次品率。
这里，我们把被观察对象的全体(本例中的10万台计算器)称作总体，把从总体中随机抽取的(被抽中的100台计算器)小群体称作样本，而样本中所包含的个体单位数目称为样本容量(100个)。
对于这批计算器，我们关心的是它的使用寿命(低于4000小时的比例有多少)的分布，设X表示“任一台计算器的使用寿命”，它是一个随机变量，我们把随机抽中的100件产品看作是100个随机变量X1，X2……，X100，每一个计算器的使用寿命都是一个随机变量，一旦测试完毕，测试的结果就是100个观测值x1,x2,……x100, 统计抽样的任务就是根据测试结果x1,x2,……x100来估计总体X的分布情况。
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抽样分布和样本分布
导读：我根据大家的需要整理了一份关于《抽样分布和样本分布》的内容，具体内容：你们知道各是什么吗?以下是有我为大家整理的，希望能帮到你。
抽样分布:从已知的总体中以一定的样本容量进行随机抽样，由样本的统计数所对应的概率分布称为抽样分布。
抽样分布是统...
你们知道各是什么吗?以下是有我为大家整理的，希望能帮到你。
抽样分布:
从已知的总体中以一定的样本容量进行随机抽样，由样本的统计数所对应的概率分布称为抽样分布。
抽样分布是统计推断的理论基础。
如果从容量为的有限总体抽样，若每次抽取容量为的样本，那么一共可以得到N取n的组合个样本(所有可能的样本个数)。
抽样所得到的每一个样本可以计算一个平均数，全部可能的样本都被抽取后可以得到许多平均数。
如果将抽样所得到的所有可能的样本平均数集合起来便构成一个新的总体，平均数就成为这个新总体的变量。
由平均数构成的新总体的分布，称为平均数的抽样分布。
随机样本的任何一种统计数都可以是一个变量，这种变量的分布称为统计数的抽样分布。
样本分布：
总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目样本分布是用来估计总体分布的。
样本分布有区别于总体分布，它是从总体中按一定的分组标志选出来的部分样本容量。
实际中很多不确定现象都可以用随机变量描述，而应用中的一个十分重要的问题是找到随机变量的分布或其数字特征。
例如：某进出口贸易公司进口了10万台微型计算器，按产品技术规定，使用寿命小于4000小时即为次品,且次品率大于1% 就不接受这批产品。
如何得知这批产品的次品率呢?是否要测量每一台计算器呢?显然，这是不现实的，解决这个问题的好办法就是随机抽样，然后根据抽样检验得到的次品率来估计整批产品的次品率。
也就是从10万台产品中按随机原则，抽取一部分(假如100件)产品组成一个样本，由样本(100件产品)次品率推断整批产品的次品率。
这里，我们把被观察对象的全体(本例中的10万台计算器)称作总体，把从总体中随机抽取的(被抽中的100台计算器)小群体称作样本，而样本中所包含的个体单位数目称为样本容量(100个)。
对于这批计算器，我们关心的是它的使用寿命(低于4000小时的比例有多少)的分布，设X表示"任一台计算器的使用寿命"，它是一个随机变量，我们把随机抽中的100件产品看作是100个随机变量X1，X2 (X100)
每一个计算器的使用寿命都是一个随机变量，一旦测试完毕，测试的结果就是100个观测值x1,x2,......x100, 统计抽样的任务就是根据测试结果x1,x2,......x100来估计总体X的分布情况。
我们作如下概括：设X是一个随机变量，X1，X2......，Xn是一组相互独立与X具有相同分布的随机变量，称X为总体，X1，X2......，Xn为来自总体的简单随机样本，简称样本，n为样本容量，称样本观察值为样本值，由于按随机原则取样，在试验之前，人们无法知道试验的结果，
所以X1，X2......Xn，是一组随机变量，而在试验之后，得到一组X1，X2......，Xn的观察值x1,x2,......xn，，它们则是一组确定的数值。