五年级数的整除
五年级数的整除
576、525、3051、3775、6237、7510、7885、83250、 87208、73282、7964619、81828384、143143143 找出能被11整除的数。 6237、 87208、 73282、 143143143
铺垫：求出能同时被2、3、5整除的最小的三位数是多少？ 百 十 个 1 2 0 例3：从0、 5、7 、3四个数字中选出三个数字组成一个三位数，使 组成的数能同时被2、3和5整除。 百 十 个 7 5 5 7 0
四位数751□能被2和3整除，□中应填的数字是几？ 7512、7518、
第三组： 能被8（125）整除的数的特征： 末三位能被8（125）整除 解释理由： 8×125=1000 用3125解释： 3125=3000+125； 用2008解释： 2008=2000+008；
576、525、3051、3775、6237、7510、7885、83250、 87208、73282、7964619、81828384、143143143
请你在心中想一个三位数，不要说出来。现在把你的三位数的三 个数字加起来，记住这个和。用原来的三位数减去这个和，请不 要说出最后的差。请学生说出他结果中两个数字，老师准确的猜 出所缺的第三个数字。
数的整除的概念：如果a÷b=c其中a、b、c为整 数，b≠0，那么就说a能被b整除，或b能整除a。 记作：b∣a 12÷3=4 用整除解释式子
12能被3整除
3能整除12 下面哪些式子可以表示整除，并用整÷20=0.5
18÷1=18
2÷0.5=4
100÷1=100 总结： ①整除算式中被除数、除数和商必须都是整 数；
②任何一个整数都能被1整除。
复习能被2、3、5整除的数的特征：
五年级(上)第4讲 数的整除性
u-math Thought training Mr Hu优数思维训练数的整除性一、知识概述1、整除的概念及性质如果整数a除以整数b（b≠0）,所得的商是整数而没有余数，我们就说数a能被数b整除。
▶▷▷如果两个整数a、b（a＞b）都能被c整除，那么a与b的和与差也能被c整除。
▶▷▷如果两个整数a、b都不能被c整除．那么a与b的和（或差）能或不能被c整除．这是一个不肯定的结论。
▶▷▷如果a、b、c这三个数中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（这是整除的传递性）。
▶▷▷一个数同时被a、b整除，且a、b互质，则这个数能被a与b的积整除。
2、能被（2、3、5、7、9、11、13、……）整除的数的特征：①如果一个整数的个位数字是0、2、4、6、8，那么这个整数能被2整除；②如果一个整数的个位数字是0、5，那么这个整数能被5整除；③如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数能被3（或9）整除；④如果一个整数的末尾两位数能被4（或25）整除，那么这个整数能被4（或25）整除；⑤如果一个整数的末尾三位数能被8（或125）整除，那么这个整数能被8（或125）整除；⑥如果一个整数的末尾四位数能被16（或625）整除，那么这个整数能被16（或625）整除；⑦如果一个整数的奇位上的数字和与偶位上的数字和的差能被11整除，那么这个整数能被11整除；⑧如果一个整数的末三位与末三位数以前的数字组成的数的差能被7（或13）整除，那么这个整数能被7（或13）整除；二、例题精学1、217□是一个四位数，使得它能被3整除，那么填入□中的数字最多有种情况。
2、四位数841□能被2和3整除，□中应该填。
3、五位数73□28能被9整除，□里应该填几？4、四位数7a2b能被2、3、5整除，求a、b的值。
5、被2、3、5整除的三位数最大是多少？最小是多少？6、已知整数1χ2χ3χ4χ5能被11整除，求所有满足这个条件的整数。
五年级数学讲义数的整除
数的整除月日姓名【知识要点】1．整除概念：一个整数除以另一个整数，得到的商也是一个整数，叫做整除。
2．较常见数的整除特征：（一）能被2、5、4、25、8、125整除的数的特征：①末一位能被2或5整除；②末两位能被4或25整除；③末三位能被8或125整除。
（二）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
（三）能被6整除数的特征：既能被2整除又能被3整除。
3．能同时被2、5、3、9整除的数满足。
①末尾是0。
②各个数位上的数字之和能被9整除。
【典型例题】例1 谁能又快又好的写出下面的答案.（千万不要落下一个噢）26□4能被2整除. 259□能被5整除2□93能被3整除 6□93能被9整除51□4能被4整除 63□□能被25整除61□6能被8整除 98□□□能被125整除例2 5□4□（1）能同时被5和9整除（2）能被45整除呢？例3ab25这个四位数，能同时被2，3，5，9整除，则此四位数是_________.例 4 一位马虎的采购员买了72只桶,洗衣服时将购货票,洗坏了,只能看到:72只桶.共□67.9□元,请你帮他算一下这次采购一共用了多少钱?随堂小测月日姓名 1.下列数中12、25、100、36、18、99、111、250能被2整除的有（）.能被3整除的有（）.能被6整除的有（）.能被9整除的有（）.能被25整除的有（）.2．四位数BA18能同时被5、6整除，这个四位数是_________.3．7□11□能被12整除，则此5位数是__________.4 AB45这个四位数，同时能被2，3，4，5，9整除，求此四位数。
课后作业月日姓名1．填出所有的情况下的数。
762□能被2整除870□能被5整除93□76能被2整除9□391能被9整除87□4能被4整除81□5能被25整除7312□能被8整除73□25能被地125整除2．四位数392□能被6整除的所有符合条件的数。
3．五位数7□36□同时能被2.5和9整除，则此五位数是_________.。
数的整除问题
五年级数的整除问题基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。
举例2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
举例性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
举例性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
举例性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
举例3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
举例②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
举例③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
举例④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
举例⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
举例⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
判断123456789这九位数能否被11整除？解：再例如：判断13574是否是11的倍数？解：⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
五年级上册数的整除
五年级上册数的整除在我们五年级上册的数学学习中，“数的整除”可是一个非常重要的知识板块。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开数学世界里一扇又一扇神秘的大门。
什么是数的整除呢？简单来说，就是一个整数除以另一个整数，如果商是整数且没有余数，我们就说第一个整数能被第二个整数整除。
比如说，12÷3 ＝ 4，商 4 是整数，没有余数，所以 12 能被 3 整除。
整除有很多有趣的性质和规律。
首先，能被 2 整除的数，个位上一定是 0、2、4、6、8。
比如 10、12、14 等等。
那能被 5 整除的数呢？个位上一定是 0 或 5，像 15、20 都能被 5 整除。
能被 3 整除的数就有点特别啦。
它不是看个位，而是要看这个数各个数位上的数字之和。
如果数字之和能被 3 整除，那么这个数就能被 3 整除。
比如 123，1 ＋ 2 ＋ 3 ＝ 6，6 能被 3 整除，所以 123 也能被 3 整除。
还有能被 9 整除的数，也是看各个数位上的数字之和。
如果数字之和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除。
在数的整除中，还有一些重要的概念，比如因数和倍数。
如果 a×b ＝ c（a、b、c 都是非 0 的整数），那么 a 和 b 就是 c 的因数，c 就是 a 和 b 的倍数。
比如 2×3 ＝ 6，2 和 3 是 6 的因数，6 是 2 和 3 的倍数。
一个数的因数是有限的，其中最大的因数就是它本身；而一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数也是它本身。
质数和合数也是数的整除中很关键的概念。
一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数。
像 2、3、5、7 都是质数。
一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
比如 4、6、8、9 都是合数。
1 既不是质数也不是合数，这是个很特殊的存在，一定要记住哦。
了解了这些知识，我们在解决数学问题时就会更加得心应手。
比如，要判断一个数能不能被另一个数整除，或者找出一个数的因数和倍数，再或者判断一个数是质数还是合数。
五年级数学教案之整除法
五年级数学教案之整除法教学目标：1. 理解整除的概念，能正确判断一个数是否是另一个数的倍数。
2. 掌握整除法的运算方法，能进行简单的整除计算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 整除的概念和判断方法。
2. 整除法的运算方法。
教学难点：1. 理解整除的概念，判断一个数是否是另一个数的倍数。
2. 进行复杂的整除计算。
教学准备：1. 黑板、粉笔。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾因数和倍数的概念，让学生举例说明。
2. 提问：如果一个数能被另一个数整除，这两个数之间有什么关系？二、讲解整除的概念（10分钟）1. 解释整除的概念，即一个数能被另一个数整除，没有余数。
2. 举例说明整除的概念，如10能被2整除，因为10÷2=5，没有余数。
3. 强调整除的条件，即被除数、除数和商都是整数，且没有余数。
三、判断一个数是否是另一个数的倍数（10分钟）1. 解释倍数的概念，即一个数是另一个数的整数倍。
2. 引导学生通过试除法判断一个数是否是另一个数的倍数。
3. 举例说明，如判断12是否是4的倍数，可以12÷4=3，没有余数，12是4的倍数。
四、整除法的运算方法（10分钟）1. 讲解整除法的运算方法，即被除数÷除数=商。
2. 举例说明整除法的运算过程，如20÷4=5，36÷6=6。
3. 强调整除法运算的注意事项，如除数不能为0。
五、练习题（10分钟）1. 布置一些简单的整除练习题，让学生独立完成。
2. 选取一些学生的作业进行讲解和分析。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了整除的概念和判断方法，以及整除法的运算方法。
学生在课堂中积极参与，通过试除法和练习题，加深了对整除法的理解和运用。
但在教学过程中，要注意引导学生理解整除的条件，避免出现误解。
可以适当增加一些有趣的例题和练习题，提高学生的学习兴趣。
六、整除法的应用（10分钟）1. 讲解整除法在实际生活中的应用，如计算物品的单价和数量。
小学五年级奥数--数的整除特征
（二） 数的整除性质
• 1、看下面的两个例子： • ⑴ 我们知道 2︱10 ， 2︱6 ，2能整除10
与6的和或者差吗 • 能 。 2︱（10＋6）且 2︱（10－6） • ⑵ 我们再看 5︱25 ， 5︱10 ，5能整除
25与10的和或差吗？ • 能 。 5︱（25＋10）， 5︱（25－10） • 你能从上面的题目中得到上面规律？
• 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
• 即：如果c︱b ， b︱a 那么 c︱a。
（三）数的整除特征
• （一）：能被2、3、5、9、整除的数的整除特征； • （二）①能被4、25整除：末两位数能被4和25整
除； • ②能被8、125整除：末三位数能被8、125整除； • ③能被11整除：奇位数字之和与偶位数字之和的
9□.2□元＝9□2□分
• 解：∵28＝4×7，根据整除的性质③，
•
可知4︱9□2□ 且7︱9□2□
• ∴ 根据4的整除特征可知□可以填0、4、8 ，
•
∵ 7 9020， 7 9424；7 9828。
•
∴ □处应当填 。 ∣
•
÷28＝ 8（分）＝ （元）
• 答：9每82支8钢笔的价格35是1
元3。.51
Thank You
世界触手可及
（德阳市第十届小学生数学邀请赛试题）。
4、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____
5、 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数 能被11整除, 方格内应填_____。
6、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们 分别能被2 3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
携手共进，齐创精品工程
数的整除性质1
(完整版)数的整除的特性(五年级)
第四讲：数论初步（二）——整除问题一、训练目标知识传递：掌握和拓展数的整除特征，根据整除特征灵活应用。
能力强化：分析能力、观察能力、综合能力、判断能力、推算能力。
思想方法：假设思想、对应思想、排除思想、尝试思想、重叠思想。
二、知识与方法归纳1、熟悉并掌握2、3、5、9的倍数的特征。
2、一个数的末两位数能4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。
（4×25=100）。
（8×125=1000。
）3、一个数的末三位数能被8或125整除。
那么这个数就能被8或25整除。
4、一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。
另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（差（7×11×13=1001。
）（很常用，请牢记。
）等于0比较常见）能被11整除，这个数就能被11整除。
5、如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。
即如果ca，c︱b，则c︱（a+b）或c︱（a-b）。
6、如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。
即如果c︱a，b是整数，则c︱ab。
7、如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数也能被第三个数整除。
即如果a︱b，b︱c，则a︱c。
8、如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。
即如果a︱c，b︱c，且a、b互质，则ab︱c。
三、经典例题例1、七位数83□534□能被88整除，两个□中所填数字之和是。
解：答：。
例2、在358后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？解：答：。
体验训练1六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是多少？解：答：。
例3、要使六位数15□□□6能被36整除而且所得的商最大，□□□内应填多少？解：答：。
小学数学部编版五年级下册第六章数的整除
练一练
1、四位数3AA1能被9整除，求A的值。
四位数3AA1要是9的倍数，它的各个数位之和就必须是9的倍数，3 +A+A+1的和可能是9或18
当3 +A+A+1 =9时，A=2.5，2.5不是自然数，不符合题目要求。 当3+A+A+1=18时，A=7，符合题目要求
谢谢观看
小学数学部编版五年级下册
班级：XXX 授课老师：XXX老师
第六章-数的整除
小学数学部编版五年级下册
班级：XXX 授课老师：XXX老师
数的整除是整数内容最基本的问题。本讲内容较为抽象，同学们可以通过 型例题的学习和练习的变式训练提高数感，做到有条理、有根据地思考。
解题时应掌握以下整除的性质和特征
数的整除性质
性质1:如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也 能被 c整除。 {a÷c;b ÷c;(a+b) ÷c} 性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a。 性质3:如果b、c都能整除a,且b与c互质，那么b与c的积也能整除a。
=abcx7x11x13
所以，这个六位数一定能同时被7、11、13整 除的说法是正确的。
4、一个五位数能被72整除，首尾两个数字不知道，千、百、十位上的数 字分别是6、7、9，这个五位数是多少?
能被72整除的数一定可以被9整除，所以这五个数的和能被9整除。设首位数 为x，末位数为y, 6+7+9=22，所以x+y的和只能是5或14，能被72整除的 数也一定能被4整除所以末两位能被4整除，末位数只能是2或者6，代入验算， 这个五位数只能是36792
例二
第3讲 数的整除(讲义)苏教版五年级下册数学
五年级数学第3讲数的整除答疑导入1、整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)。
那么a是b的倍数，b 是a的因数。
他们是相互依存的。
2、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3、一个数如果只有1和它本身两个因数，叫做质数。
4、一个数，如果除了1和它本身，还有别的因数，叫做合数。
5、数的整除特征☆①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8 的整数。
☆②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
☆④能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。
⑥能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
⑦能被11整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
例题分析1、在1到10之间10个数中，( )和( )这两个数既是合数，又是互质数；( )和( )这两个数都是奇数又是互质数；( )和( )这两个数都是质数又是互质数；( )和( )两个数一个是质数，一个是合数，它们是互质数。
2、347至少增加( )才能被3整除，至少减少( )才有约数5，最少增加( )才是2的倍数。
3、与6互质的最小合数是( )。
4、一个三位数，既是6的倍数，又能被5整除，这个数最小是( )。
5、把下列数按要求填入方框中。
2，13，88，9，17，11，76，277，63，91，86，39，160。
6、按要求在里填上适当的数字。
（1）4的倍数：305□ 8□4 62□2 （2）15的倍数：4□3□□68□ 7□08□（3）72的倍数：□679□ 9□32□ 8□27□（4）11的倍数：25□79 3□46 52□197、如果一个五位数6aa27，它是9的倍数，那么a代表的数字是多少？8、在43的右边补上3个数字，组成一个五位数，使这个五位数同时是3、4、5的倍数，并且尽可能小，这个五位数是多少？9、5.一个五位数，各个数位上的数字之和是43，且这个五位数还是11的倍数，这个数可能是多少？（请写出两个符合要求的数）温故知新一．选择题（共8小题）1．下列各式是分解质因数的是（）A．20＝2×2×5×1B．12＝3×4C．15＝3×5D．18＝7+132．下面每组中的两个数有因数和倍数关系的是（）A．2和5B．7和49C．10和2.5D．12和283．2和3是12的（）A．因数B．公因数C．最大公因数D．质数4．相邻两个自然数的和一定是（）A．奇数B．偶数C．合数D．质数5．20以内既是奇数又是质数的数共有（）个。
五年级奥数专题-数的整除
五年级奥数专题-数的整除如果整除a 除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a 能被b 整除,或叫b 能整除a.如果a 能被b 整除,那么,b 叫做a 的约数,a 叫做b 的倍数.数的整除的特征：（1） 能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0,那么这个整数一定能被2整除.（2） 能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除,那么这个整数一定能被3（或9）整除.（3） 能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除,那么这个数就一定能被4（或25）整除.（4） 能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除.（5） 能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除,又能被3整除,那么这个数就一定能被6整除.（6） 能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数,末三位为一个数,其余各位为另一个数,如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数,这个数就能被7（或11或13）整除.（7） 能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么这个数就一定能被8（或125）整除.（8） 能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除,那么它必能被11整除.一、例题与方法指导例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能或又 23056088=2620238568÷88=2711所以,本题的答案是2620或2711.例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.思路导航：因为36=9⨯4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45,由能被9整除的数的特征,（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8,8+1,2+7,7+2,3+6,6+3,4+5,5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…,36,…,72,…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.例3. 下面一个1983位数33…3□…4中间漏写了一个数字(方框),已 991个 991个知这个多位数被7整除,那么中间方框内的数字是_____.思路导航：33...3□44 (4)991个个=33...3⨯10993+3□4⨯10990+44 (4)990个 990个因为111111能被7整除,所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要990个 990个3□4能被7整除,原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.例4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.所以,答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34.[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以,)2+nn+n能被3整除.(+)1(+二、巩固训练1.有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.2.一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.3.任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.4.有0、1、4、7、9五个数字,从中选出四个数字组成不同的四位数,如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来,第五个数的末位数字是_____.1. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79.所以,所求的和是39+79=118.2． 195因为这个数可以分解为两个两位数的积,而且15⨯15=225>200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13⨯13=169不合要求,13⨯15=195适合要求.所以,答案应是195.3. 9根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为3456=384⨯9,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B的各位数字之和C也总是9.4. 9∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五个数的末位数字是9.三、拓展提升1. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？2．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？3． 500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数,既报1又报6的士兵有多少名？4. 试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”,则只要举出一种排法；如果回答：“不能”,则需给出说明.答案1. 如果最小的数是1,则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数,因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察2、3、4、5这四个数,仍不符合要求,因为5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,经试算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7.2. 因为225=25 9,要使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成问题,末两位数75不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把1改为0；把4改为3；把1改为9；把2改为1.3. 若将这500名士兵从右到左依次编号,则第一次报数时,编号能被5整除的士兵报1；第二次报数时,编号能被6整除的士兵报6,所以既报1又报6的士兵的编号既能被5整除又能被6整除,即能被30整除,在1至500这500个自然数中能被30整除的数共有16个,所以既报1又报6的士兵共有16名.4. 不能.假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数,我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组,可得20组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的5个数中都至少有两个数是3 的倍数.从而一共有不少于40个数是3 的倍数.但事实上,在1至100的自然数中有33个数是3的倍数,导致矛盾.。
五年级奥数—数的整除性(一)
数的整除性（一）数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（5）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（7）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（8）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（9）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（10）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
五年级数学培优之数的整除
第十八讲数的整除知识要点与学法指导：数的整除性是研究自然数之间关系的学问。
我们在课本中已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这里再补充几个整数整除特征及性质：1. 能被2和5、4和25、8和125整除的数的特征，分别看这个数的末一位、末两位、末三位数是否能被2和5、4和25、8和125整除。
2. 能被9整除的数的特征：这个数各位上的数字的和能被9整除。
3. 能被11整除的数的特征：这个数的奇位上的数字的和与偶位上的数字的和的差能被1l整除。
4. 能被7，1l，13整除的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位前面的数字所组成的数的差(大数减小数)能被7或1l或13整除，那么这个数就能被7或11或13整除。
5. 如果数a，b能被c整除，则（a＋b）与（a一b）也能被c 整除。
这叫做和差的整除性。
6. 如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被b整除，这叫做积的整除性。
7. 如果数a能被b整除，b又能被c整除，则a也能被c整除。
这叫做整除的传递性。
8. 如果数a能同时被b、c整除，且b与c互质，则a一定能被b和c的积整除。
解题时，我们要认真审题，灵活运用性质进行转化，通过推理、计算，求出所有可能的答案。
例1有两堆糖果，第一堆有423块，第二堆有254块，哪一堆平均分给9个小朋友而无剩余?【分析与解答】本题实际就是要判断423和254能否被9整除，而423各位上数字的和是4＋2＋3＝9，能被9整除，254各位上数字的和是2＋5＋4＝11，不能被9整除。
所以第一堆可以平分给9个小朋友而无剩余，第二堆平分给9个小朋友还剩余2块。
试一试1判断128、725能否被25整除?例2四位数 4□2□能同时被2，3，5整除，这样的四位数有哪几个?【分析与解】要使四位数4□2□能同时被2，3，5整除，这个四位数就要具备同时能被2，3，5整除的数的特征。
能同时被2，5整除的数的个位上是0，因此可以确定这个四位数个位上的数字是0。
小学五年级逻辑思维学习—数的整除
小学五年级逻辑思维学习—数的整除知识定位本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。
本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。
另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对与学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。
知识梳理1.常见数字的整除判定方法（1）. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；（2）. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；（3）. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.（4）. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）注：在给学生讲解常见数字的判定性质时，要分系列来讲，例如有2系列，5系列，3系列和7,11,13系列，便于记忆。
对于11的单独判定特性需要重点讲解。
2.整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．注：在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和(a+b)或差(a-b)能被c整除，这两个数不一定能被c整除．如5 ︱(26+24)，但526，524．可以引入下面的问题2∣12，12∣36．2能否整除36？显然，回答是肯定的．这是因为36是12的倍数，12又是2的倍数，那么36一定是2的倍数．由此我们又可以得出：性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么ac｜bd；3．重点难点解析（1）.常见数字的整除判定性质（2）．将不具有整除判定性质的数字进行分解判定其整除性（3）．代数式之间整除性的判断，代数思想的应用（4）．试除法的理解和应用4.竞赛考点挖掘（1）.与数字谜或算式迷结合的整除判断特性题目（2）.代数式之间的整除性问题例题精讲【题目】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【题目】173□是个四位数字。
五年级数学教案之整除法
五年级数学教案之整除法一、教学目标：1. 让学生理解整除的概念，能判断一个数是否是另一个数的倍数。
2. 让学生掌握整除法的运算方法，能正确进行整除运算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 整除的概念：如果一个整数a除以一个整数b，商是整数且没有余数，我们说a能被b整除，b能整除a。
2. 倍数和因数：如果一个数a能被另一个数b整除，a就是b的倍数，b就是a 的因数。
3. 整除法的运算方法：进行整除运算时，先确定被除数和除数的符号，进行除法运算，判断是否有余数。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：让学生掌握整除的概念和整除法的运算方法。
2. 教学难点：判断一个数是否是另一个数的倍数，以及如何进行带有符号的整除运算。
四、教学方法：1. 采用直观演示法，通过实物或图示让学生直观地理解整除的概念。
2. 采用实例教学法，通过具体的例子让学生掌握整除法的运算方法。
3. 采用小组讨论法，让学生在小组内讨论和解决问题，培养学生的合作能力。
五、教学准备：1. 教学课件或黑板、粉笔。
2. 练习题和答案。
3. 计时器。
六、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题引入整除的概念，例如：“小明有12个苹果，他想把它们平均分给他的4个朋友，每个朋友会得到多少个苹果？”2. 新课讲解：讲解整除的概念，通过示例让学生理解整除的含义。
展示如何判断一个数是否是另一个数的倍数，以及如何进行整除运算。
3. 练习巩固：让学生进行一些整除的练习题，并及时给予反馈和讲解。
4. 拓展应用：让学生尝试解决一些实际问题，如购物时如何计算找零等。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调整除的概念和整除法的运算方法。
七、课堂练习：1. 判断题：（1）如果一个整数a除以一个整数b，商是整数且没有余数，我们说a能被b 整除。
（）（2）一个数的倍数一定是它的因数。
（）2. 选择题：八、课后作业：（1）24 ÷6 =（2）36 ÷9 =（3）48 ÷12 =（1）12（2）18（3）20九、教学反思：在课后对自己的教学进行反思，思考是否有效地传达了整除的概念，学生是否掌握了整除法的运算方法。
五年级数论_整除
整除知识点精讲整除的性质（1）末尾判断：2、5末位数字能被2、5整除；4、25末两位数字组成的两位数能被4、25整除；8、125末三位数字组成的三位数能被8、125整除.（2）截断求和：9（或3），一位截断后，各段之和能被9（或3）整除；99（或11、33），两位截断后，各段之和能被99（或11、33）整除；9（或3），乱切后，各段之和能被9（或3）整除.这种方法又叫乱切法.（3）截断作差法：11，一位截断后，奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除；101，两位截断后，奇数段之和与偶数段之和的差能被101整除；1001（或7、11、13），三维截断后，奇数段之和与偶数段之和的差能被1001（或7、11、13）整除.课堂例题与练习<珍惜有限，创造无限>一、整除1.判断306371能否被7整除？能否被13整除？2.已知10□8971能被13整除，求□中的数．3.在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除．4.现有四个数：76550，76551，76552，76554．能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？5. 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？6. 求满足下面条件的整数a 、b ：1）8|375a a 2）72|761a b 3）99|14758a b7. 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是 。
8.设六位数N=y x 3795，又知N 是4的倍数，且被11除余3，那么x +y 等于几？9. 有0~9十个数字组成的十位数成为“十全数”． 那么：（1）能被11整除的最小十全数为 ；（2）能被11整除的最大十全数为 。
10. 将自然数1，2，3，……，依次写下去形成一个多位数“12345678910111213…”．当写到某个数N 时，所形成的多位数恰好第一次被45整除．请问：N 是多少？课后复习与检测课后总结：练习题A B．1.求无重复数字，能被75整除的五位数3652.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问这个数能否被3整除？x y同时是11与25的倍数，求这个五位数．3.一个五位数4754.（1）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0．如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？（2）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？5.在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？思考题6.黑板上写有两个多位数123457和14569，如果从两个数中个取出一个数字并且将它们对调位置，可以使得新的两个数中有一个是9的倍数而另一个是11的倍数，请写出调换后的两位数。
五年级思维拓展- 数的整除特征
数的整除特征知识要点整数是人类最早接触的最简单、最基础的数，因此，也是最早开始研究的数。
研究整数的性质及其运算的科学叫数论。
数的整除是数论的基础知识，熟悉和掌握有关数的整除概念、性质及其特征，为我们解决整除问题带来了方便。
1、整除的概念如果一个自然数a被一个非0自然数b除，余数为0，则称a能被b整除，记作a｜b，如15能被3整除，记作3｜15。
2、整除的性质性质1 如果数a，b都能被c整除，则（a+b）与（a-b）也能被c 整除。
性质2 如果数a能被b整除，c为整数，则积ac也能被b整除。
性质3 如果数a能被b整除，b又能被c整除，则a也能被c整除。
性质4 如果数a能同时被b，c整除，且b，c互质，则a能被b，c之积整除。
1、数的整除特征①任何数都不能被0整除，0能被任何数整除。
②任何自然数都能被1整除。
③能被2或5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除。
④能被3或9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
如123的各位数字之和是1+2+3=6,6能被3整除，不能被9整除，则123能被3整除，不能被9整除。
⑤能被4或25整除的数的特征：末两位数能被4或25整除。
如7684的末两位是84，84能被4整除，则7684能被4整除，再如7150的末两位是50，,50能被25整除，则7150能被25整除.⑥能被8、125整除的数的特征：末三位数能被8、125整除。
⑦一个数能够被11整除的特征：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个自然数能被11整除，否则这个数不能被11整除。
⑧能被7、11、13整除的数的特征：如果一个整数的奇千位数之和与偶千位数的数之和的差（大数减小数）能被7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除，否则这个数不能被7、11、13整除。
延伸：对于没有给出的一些数的整除特征，如6,12,15，……如何判断一个数能否被这些数整除呢，显然6=2×3,12=3×4，……等号右边的两个因数之间除1外没有相同因数，于是可以把一个数能否被6整除转化为同时能被2和3整除，把一个数能否被12整除转化为同时能被3和4整除.☜精选例题【例1】：五位数b a135能被9整除，这个五位数是多少？☝思路点拨：由一个数能被9整除的特征，应该有9｜（5+a+1+3+b），即要9｜（a+b）。
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数的整除
一、整除的概念：
a÷b=c，整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数（或者余数为零）就叫做a能被b整除，或者说b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数
二、整除的性质
（1）如果数a是b的倍数，c是整数，那么积ac也是b的倍数
例：24是8的倍数，5是整数，5×24的积也是8的倍数
（2）如果数a和b都是c的倍数，那么（a+b）与（a-b）也是c的倍数
例：24和30都是6的倍数，那么（24+30）与（30—24）也是6的倍数（3）如果a是b的倍数，b又是c的倍数，那么a也是c的倍数
例：24是12的倍数，12又是6的倍数，那么24也是6的倍数（4）如果a同时是b、c的倍数，而且b和c是互质数，那么a一定是bc的倍数例：24是2、3的倍数，2、3互质，24也是2×3的倍数
（5）如果数b是a的因数，或者a含有因数b,那么a就是b的倍数
例：60含有因数15，那么60就是15的倍数
三、整除的特征
（1）4或25的倍数的特征：如果一个自然数的末两位的数字所组成的数能被4、25整除，那么这个数就是4或25的倍数
例：58372的末两位是72, 72是4的倍数，那么58372就是4的倍数57325的末两位是25,25是25的倍数，那么58325就是25的倍数（2）8或125的倍数特征：如果一个自然数的末三位的数字所组成的数能被8、125整除，那么这个数就是8或125的倍数
例：58272的末三位是272, 272是8的倍数，那么58272就是8的倍数57375的末三位是375,375是125的倍数，那么58375就是125的倍数（3）7,11,13的倍数的特征：如果一个自然数的末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7,11,13整除，那么这个数就是7,11,13的倍数
例：1059282是否是7的倍数：把1059282分成1059和282两个数，因为1059-282=777，又777能整除7，所以1059282是7的倍数
若一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，那么这个数就是11,的倍数
例：123456789的奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20，因为25—20=5，因为5不能被11整除，所以123456789不能被11整除
1.判断3546725能否被13整除？
2.一个四位数9（）2（）既有因数2，又是3的倍数，同时又能被5整除，这
四个数最大是多少？
3.378287、ABCABC这两个数能否被7，11,13整除？
4.一个六位数（）6879（）首尾不祥，只知道这个六位数能被72整除，这个六位数是多少？
5.一个整数能被13整除，这个数的最后三位数是339，那么这样的整数中最小的是多少？
6.同时被3、4、5整除的最大四位数是多少？
7.从1到9这九个数字中任选六个数字组成36的倍数，这样的六位数中最大的数是多少？最小的数是多少？
8.已知A是一个自然数，并且它的各数位上的数字只有0和8两数，已知这个数是6 的倍数，A最小是多少？
9.在257后面补上三个数字组成一个各数位上的数字都不相同的六位数，使它能被60整除，这样的六位数中最小的是多少？
10.3（）6（）5是一个五位数，且是75的倍数，若想使3（）6（）5无重复数字，这个五位数是多少？
答案：1.能 2.9720 3. 78287不能能 4.468729 5.1339 6.9960 7.987652 123768 8.8088 9.257160 10.30625 38675 39675。