高二数学选修1、3-3-2函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数
( 人教A版)高中数学选修22：1.3.3函数的最大(小)值与导数课件 (共38张PPT)
1．求下列函数的最值． (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]； (2)f(x)＝sin 2x－x，x∈－π2，π2.
解析：(1)f(x)＝2x3－12x， ∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)， 令 f′(x)＝0 解得 x＝－ 2或 x＝ 2.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
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2．函数 f(x)＝x3－3x(－1<x<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0 0，a＋a b
f′(x)
－
a a＋b
0
a＋a b，1 1 ＋
f(x)
(a＋b)2
从上表可知当 x＝a＋a b时， f(x)有最小值 fa＋a b＝(a＋b)2， 在 x∈(0,1)上，函数无最大值．
求函数的最值的方法： (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值； (3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论．
4．若函数 f(x)＝x3－3x－a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为 M，N，则 M－N 的值为________． 解析：f′(x)＝3x2－3.令 f′(x)＝0 得 x＝±1，但 x∈[0,3]，因此只取 x＝1.又 f(0)＝－a， f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a，故 f(x)在[0,3]上的最大值、最小值分别为 18－a 和－2－a， 即 M＝18－a，N＝－2－a，M－N＝20. 答案：20
高中数学3.3.2函数的最大(小)值与导数课件新人教版选修1-1
yf(x)
O
由f ( x) x , 得f ' ( x) 3x ，
2
x
a
在x 0处，f（ ' 0） 0,
f (x2)=0 f (x3)=0
O
x1
f (x1)=0
x2 x
x x b 3 0是极值点吗？
结论:极值点处，如果有切线，切线水平的.即: f (x)=0
思考;若 f (x )=0，则x0是否为极值点？
(-∞，-4) -4 0 (-4，2) 2 0 (2，+∞)
区间 f ’(x) f(x)
+
-
+
f(x) 在(-∞， -4)、 -2)>0 (2，＋∞ )内单调递增， f ’(x)>0 (x+4)(x x<-4 或x>2 f(x) 在(-4， 2)内单调递减。 f ’(x)<0 (x+4)(x -2)<0 -4<x<2 求导数—求临界点—列表—写出单调性
f ( x) f ( x0 ) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极
y
f ( x3 )
f ( x4 O
a
x1
x2
x3
x4
b
x
观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
总结
• 1．理解极值概念时需注意的几点 • (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅 对某一点的左右两侧附近的点而言的． • (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定 义域的端点绝不是函数的极值点． • (3) 若 f(x) 在 [a ， b] 内有极值，那么 f(x) 在 [a ， b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上 的单调函数没有极值．
高二数学选修3-3-2函数的极值与导数函数的最大值与导数
A 版
数
f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
学
第三章 导数及其应用
由上表可见，f(x)取得极大值和极小值的点各有 1 个．
(2)解：由(1)可知 f(x1)＝a1x＋1＋x21b＝－1，f(x2)＝a1x＋2＋x22b＝
1⇒－x12－1＝ax1＋b 且 1＋x22＝ax2＋b，两式相加，得 x22－
因此，当 x＝－13时，y 有极大值，并且 y 极大值＝191.
而当 x＝13时，y 有极小值，并且 y 极小值＝79.
人
教
A
[点评] 熟记极值的定义是做好本题的关键，要利用
版 数
学
求函数极值的一般步骤求解．
第三章 导数及其应用
函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有 A．极大值为5，极小值为－27 B．极大值为5，极小值为－11 C．极大值为5，无极小值 D．极大值为－27，无极小值 [答案] C
令 f′(x)＝0，有 3x2－4x＝0.解得 x＝0，43. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
第三章 导数及其应用
人
教
A
故f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.
版 数
学
[点评] 利用求最值的步骤求解．
函数最大值及最小值点必在下面各种点之中：导数等
于0的点、导数不存在的点或区间的端点．
教 A
版
3．当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否存在极大
数 学
(小)值的方法是：
(1)如果在x0附近的左侧 f′(x)>0 f′(x)<0 ，那么f(x0)是极 大 值；
，右侧
第三章 导数及其应用
(2)如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧
高中数学(新课标)选修2课件1.3.2函数的极值与导数
知识点一 极值点与极值
1．极小值与极小值点 如图，若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附 近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 _f_′__(x_)_<_0_，右侧_f′__(_x_)>__0_，则把点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
类型三 函数极值的综合应用
例 3 已知函数 f(x)＝13x3－12ax2，a∈R. (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程； (2)讨论 f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】 (1)由题意 f′(x)＝x2－ax， 所以，当 a＝2 时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x， 所以 f′(3)＝3， 因此，曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是 y＝3(x－3)， 即 3x－y－9＝0.
∴f′(x)＝32x2－32.
由题意知，x＝±1 是 f′(x)＝0 的根．
根据 x＝±1 列表分析 f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点．
x (－∞，－1) －1 (－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值 1
极小值－1
由上表可以看出，
当 x＝－1 时，函数有极大值，且 f(－1)＝1；
解析：由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是 左负右正，又函数 f(x)，x∈R 有唯一的极值点，所以当 x∈(－∞， 1)时，f′(x)≤0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.
答案：C
2．下图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，给出下列命 题：
高中数学 北师大选修1-1 3.3.2《函数的极值与导数》
①如果在x0附近的左侧 f (x) 0 右侧 f (x) 0
那么,f(x0)是极大值; 即“峰顶” ②如果在x0附近的左侧 f (x) 0 右侧 f (x) 0 那么,f(x0)是极小值. 即“谷底”
例2、已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1处取得极值： (1)求函数的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间。
例1、求函数f(x)=x3-12x+12的极值.
解：f (x) =3x2-12=3(x-2)(x+2) 令 f (x)=0 得x=2,或x=-2 下面分两种情况讨论： (1)当 f (x) >0即x>2,或x<-2时; (2)当 f (x) <0即-2<x<2时;
当x变化时， , f(x)的变化情况如下表；
在点 x=e 附近的左侧 f (x) >0 在点 x=e 附近的右侧 f (x) <0
极小值点、极大值点统称为极值点 极小值、极大值统称为极值
极大值一定大于极小值吗？
观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法, 看极值与导数之间有什么关系?
y
oa
y
x0 b x
oa x0
bx
x x0左侧
x0 x0右侧
A.1 B.2 C.3 D. 4
y
y f ?(x)
f(x) <0 f(x) >0
b
a
O
x
f(x) =0
注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别
2.函数 f (x) x3 ax2 bx a2 在 x 1 时有极值10，
则a，b的值为（ C ）
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3.比较确定最值。
求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值. 解: y 4 x 3 4 x .
0 x=-1,0,1. 令 y ,解得
当x变化时, x y’ y -2 13
, y y 的变化情况如下表 :
-1 0 4 (-1,0) + ↗ 0 0 5 (0,1) ↘ 1 0 4 (1,2) + ↗ 2 13
解：f
令f
'
'
x 12 3x
2
x 3,3
1.求出所有导数为0的点；
x 0, 解得：x 2或x 2
又f (2) 22，f (2) 10，f (3) 15, f (3) 3 2.计算；
函数f ( x) 6 12 x x3在 3， 3 上的最大值为22， 最小值为 10.
y
y=f(x)
a
x1 x2
x3
o
x4
x5
x6
b
x
观察图象，我们发现， ，
f ( x1 ), f 是函数 ( x3 ), fy=f(x) ( x5 ) 的极小值 f ( x2 ),的 f (极大值 x4 ), f ( x 是函数y=f(x) .6 )
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较 是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
x 0, 3
2 0
4 3
令f ' x 0, 解得：x 2或x 2(舍), 列表
(2,3) + 递增
1 3 4 函数f ( x) x -4x 4在 0， 3 上的极小值为- . 3 3
又f (0) 4，f (3) 1 1 3 4 函数f ( x ) x -4x 4在 0， 3 上的最大值为4，最小值为- . 3 3
高中数学(新课标)选修2课件1.3.3函数的最大(小)值与导数
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
人教版A版高中数学选修2-2：1.3.3 函数的最大(小)值与导数
课后作业
一、必做题： 1、课本书P32第6题（1）、（4）小题；（写作业本上） 2、优化指导P24学业达标测试。 二、选做题：
1、若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3， 最小值是－29，求a，b的值．
2、已知 f(x)＝x3－1x2－2x＋5，当 x∈[－1,2]时，f(x)<m 2
(C)函数的最值一定是极值
(D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值.
2.函数 y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是 M，最小值是
A m,若 M=m,则 f ( x) ( )
(A)等于 0 (B)大于 0 (C)小于 0 (D)以上都有可能
A 3.函数 y= 1 x4 1 x3 1 x2 ,在［－1,1］上的最小值为( ) 432
一、复习引入
用导数法求解函数极值的步骤：
(1) 求函数的定义域； (2) 求导函数f/(x)，并解方程f/(x)=0；
(3) 列表； (4) 得结论，由方程f/(x)=0的根的左右的符号， 确定极大值与极小值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
注：导数等于零的点不一定是极值点．
二、新课——函数的最值 y
y
y fx
y
y fx
ao
图1
bx
o a x1 x2 x3
x4 x5 b x
图2
在图1、2中,观察a,b上的函数y f x的图象, 它们在a, b上有最大值、最小值吗? 如果有,
最大值和最小值分别是什么?
思考：
1、函数具备什么条件就一定有最值？
（1）给定函数的区间必须是闭区间； （2）函数的图象在闭区间上必须是一条连续不 断的曲线。 注：在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值, 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.
高中数学人教A版选修2-2课件：1.3.3 函数的最大(小)值与导数
������ ������
������-2������ . 2������
②当 a≤0 时,h'(x)=
故 h(x)的最小值 φ(a)的解析式为 φ(a)=2a(1-ln 2a)(a>0).
������-2������ 2������
> 0, ������(������)在(0,+∞)内递增,无最小值.
令 G(x)= (������2 − ������ ),
题型一
题型二
题型三
题型四
所以 a>− . 所以当 a>− 时,f(x)在 故当 f(x)在 - ,+∞ . (2)令 f'(x)=0,得两根 x1= 所以 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增. 当 0<a<2 时,有 x1<1<x2<4, 所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2). 又 f(4)-f(1)=−
题型一
题型二
题型三
题型四
所以要使f(x)≥-2c2(x>0)恒成立, 只需-3-c≥-2c2即可. 所以要使 f(x)≥-2c2(x>0)恒成立, 只需-3-c≥-2c2 即可.
题型一
题型二
题型三
题型四
与函数最值有关的综合题
【例 3】 已知函数 f(x)= ������, ������(������) = ������ln ������, ������∈R. (1)设函数 h(x)=f(x)-g(x),当 h(x)存在最小值时,求其最小值 φ(a) 的解析式; (2)结合(1)中的 φ(a),证明:当 a∈(0,+∞)时,φ(a)≤1.
人教版数学高二选修2-2教案1.3.3函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、教学目标 知识与技能：1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值概念.2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件.3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤. 过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣. 二、教学重点难点教学重点：利用导数研究函数最大值、最小值的问题 教学难点：利用导数研究函数最大值、最小值的问题 三、教学过程：函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便． 四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距.需要教师指导并借助动画给予直观的认识. 五、教学方法 发现式、启发式新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1．学生的学习准备：2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案. 七、课时安排：1课时 八、教学过程（一）预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性.提问1.极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点.2.极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0).就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点.3.极大值与极小值统称为极值.4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若x 0满足()00f x '=，且在x 0的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.5. 求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ); (2)求方程f ′(x )=0的根;(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值. （二）情景导入、展示目标.设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标.1.函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数f (x )在上必有最大值与最小值． ⑴在开区间(a ,b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数f (x )在闭区间上连续，是f (x )在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.2.利用导数求函数的最值步骤:⑴求f (x )在(a ,b )内的极值；⑵将f (x )的各极值与f (a )、f (b )比较得出函数f (x )在上的最值（三）合作探究、精讲点拨.例1：求函数f (x )＝－x 3＋2x 2＋3在上的最大值与最小值. 解：f ′(x )＝－3x 2＋4x ，由f ′(x )＝x (4－3x )＝0，得x ＝0，43.当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：单调递减当x ＝0或x ＝2时，f (x )取最小值3.例2：已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9. 令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， ∴f (2)＞f (－2)．于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2. ∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2. ∵在(－1,3)上f ′(x )＞0， ∴f (x )在上单调递增． 又由于f (x )在上单调递减，∴f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间上的最大值和最小值． ∴f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间上的最小值为－7.多媒体展示探究思考题.在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导.（四）反思总结，当堂检测.教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测.设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正.（五）发导学案、布置预习.设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高.教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练.九、板书设计1.函数的最大值和最小值2.利用导数求函数的最值步骤:十、教学反思本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方.课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的.。
高中数学选修1-1：3.3.2极大值与极小值
极大值与极小值[ 学习目标 ] 1.认识函数极值的观点，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵巧应用 .2.掌握函数极值的判断及求法 .3.掌握函数在某一点获得极值的条件．活动一知识梳理引入新课知识点一极值点与极值的观点(1)极小值点与极小值如图，函数 y＝ f(x)在点 x＝ a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 邻近其余点的函数值都小， f ′(a)＝0；并且在点 x＝ a 邻近的左边 ________.，右边________.，则把点 a 叫做函数y＝ f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y＝ f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值如(1) 中图，函数 y＝f(x)在点 x＝ b 的函数值 f(b)比它在点 x＝ b 邻近其余点的函数值都大， f′(b)＝0；并且在点 x＝ b 的左边 ________.，右边 ________.，则把点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝ f(x) 的极大值．________.、________.统称为极值点， ________.和 ________.统称为极值．思虑极大值必定大于极小值吗？答案不必定．知识点二求函数 y＝f(x)的极值的方法解方程 f′ (x)＝ 0，当 f′ (x0)＝ 0 时：(1)假如在 x0邻近的左边 f′ (x)＞ 0，右边 f′( x)＜ 0，那么 f(x0)是 ________.(2)(2)假如在 x0邻近的左边 f ′(x)＜ 0，右边 f′ (x)＞ 0，那么 f(x0)是 ________活动二数学应用例 1求函数f(x)＝x22x＋1－2的极值．例 2已知函数f(x) ＝ax3＋ bx2＋ cx(a≠ 0)在 x＝±1 处获得极值，且 f(1)＝－ 1.(1)求常数 a， b， c 的值；(2)判断 x＝±1 是函数的极大值点仍是极小值点，试说明原因，并求出极值．例 3 设函数 f(x)＝ x3－ 6x＋5， x∈R.(1) 求函数 f(x)的单一区间和极值；(2) 若对于 x 的方程 f(x)＝ a 有三个不一样的实根，务实数 a 的取值范围．活动三讲堂反应单1．函数 f(x)的定义域为R ，导函数f′ (x)的图象以下图，则函数f(x)有 ________个极大值点， ________个极小值点．2．已知函数f(x)＝ x3－ px2－ qx 的图象与 x 轴切于点 (1,0)，则 f(x)的极大值为 ________，极小值为 ________．3．已知 f(x)＝x3＋ax2＋ (a＋ 6)x＋1有极大值和极小值，则 a 的取值范围为 ____________．4．设函数 f(x)＝ 6x3＋ 3(a＋ 2)x2＋ 2ax.若 f(x)的两个极值点为x1，x2，且 x1x2＝1，则实数 a 的值为 ________．5．已知对于 x 的函数 f(x)＝－1x3＋bx2＋cx＋ bc，若函数 f(x)在 x＝ 1 处获得极值－4，则 b＝33________，c＝ ________.活动四讲堂小结1.在极值的定义中，获得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点 x＝ x0处获得极值的充要条件是f′ (x0)＝0 且在 x＝ x0双侧 f′ (x)符号相反．3．利用函数的极值能够确立参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．答案题型一求函数的极值2x例 1求函数 f(x)＝x2＋1－2的极值．解函数的定义域为R .2 x2＋ 1 － 4x2 2 x－ 1 x＋ 1f′ (x)＝x2＋1 2＝－x2＋ 1 2.令 f′( x)＝ 0，得 x＝－ 1，或 x＝ 1.当 x 变化时， f′ (x)， f(x)的变化状况以下表：x(－∞，－ 1)－1(－ 1,1)1(1，＋∞ )f′ (x)－0＋0－f(x)↘－3↗－ 1↘由上表能够看出：当 x＝－ 1 时，函数有极小值，且极小值为f(－ 1) ＝－ 3；当 x＝ 1 时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－ 1.反省与感悟求可导函数f(x) 的极值的步骤：(1)确立函数的定义域，求导数f′ (x)；(2)求方程 f ′(x)＝ 0 的根；(3)用函数的导数为 0 的点，按序将函数的定义域分红若干个小开区间，并列成表格．检测f′ (x)在方程根左右双侧的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处获得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处获得极小值；假如左右不改变符号，那么f( x)在这个根处无极值．追踪训练1求函数f(x)＝3x＋3ln x的极值．3解函数 f(x)＝＋ 3ln x 的定义域为 (0，＋∞ )，3 3 3 x－ 1f′ (x)＝－x2＋x＝x2.令 f′( x)＝ 0，得 x＝ 1.当 x 变化时， f′ (x)与 f(x)的变化状况以下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′ (x)－0＋f(x)3所以当 x＝ 1 时， f(x)有极小值f(1) ＝3.题型二利用函数极值确立参数的值例 2已知函数f(x) ＝ax3＋ bx2＋ cx(a≠ 0)在 x＝±1 处获得极值，且 f(1)＝－ 1.(1)求常数 a， b， c 的值；(2)判断 x＝±1 是函数的极大值点仍是极小值点，试说明原因，并求出极值．解 (1)f′ (x)＝ 3ax2＋ 2bx＋ c.∵x＝±1 是函数 f(x)的极值点，∴x＝±1 是方程 f′ (x)＝ 3ax2＋ 2bx＋c＝ 0 的两根，－2b＝ 0，①由根与系数的关系，得3ac＝－ 1，②3a又 f(1)＝－ 1，∴ a＋ b＋ c＝－ 1.③由①②③ 解得 a＝1， b＝ 0， c＝－3. 22133x，(2) f(x)＝ x －223233∴f ′ (x)＝x－＝(x－ 1)( x＋1)，222当 x<－ 1 或 x>1 时， f′ (x)>0 ，当－ 1<x<1 时， f′ (x)<0，∴函数 f(x) 在(－∞，－ 1)和 (1，＋∞ )上是增函数，在( －1,1)上是减函数，∴当 x＝－ 1 时，函数获得极大值f( －1) ＝1，当 x＝ 1 时，函数获得极小值f(1)＝－ 1.反省与感悟(1) 利用函数的极值确立参数的值，常依据极值点处导数为0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)由于“导数值等于零”不是“ 此点为极值点” 的充要条件，所以利用待定系数法求解后，一定考证根的合理性．追踪训练2已知函数f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx 在 x＝ x0处获得极大值5，其导函数y＝ f′ (x)的图象经过点(1,0)， (2,0)，以下图，求：(1) x0的值；(2) a， b，c 的值．解 (1) 由图象可知，在 (－∞， 1)上 f′ (x) ＞0，在 (1,2)上 f′ (x)＜ 0，在 (2，＋∞ )上 f′ (x)＞0.故 f(x)在 (－∞，1)，(2，＋∞ )上单一递加，在 (1,2)上单一递减，所以 f(x)在 x＝ 1 处获得极大值，所以 x0＝ 1.(2) f′ (x)＝3ax2＋ 2bx＋ c，由 f′(1) ＝ 0， f ′(2) ＝0， f(1) ＝ 5，3a＋ 2b＋c＝ 0，得 12a＋ 4b＋c＝ 0，解得a＝2，b＝－9，c＝12.a＋ b＋ c＝ 5，题型三函数极值的综合应用例 3 设函数 f(x)＝ x3－ 6x＋5， x∈R.(1)求函数 f(x)的单一区间和极值；(2) 若对于 x 的方程 f(x)＝ a 有三个不一样的实根，务实数 a 的取值范围．解 (1)f′ (x)＝ 3x2－ 6，令 f′ (x)＝0，解得 x1＝－2， x2＝ 2.由于当 x> 2或 x＜－2时， f′ (x)＞ 0；当－2＜ x＜2时， f′ (x)＜ 0.所以 f( x)的单一递加区间为(－∞，－2) 和 (2，＋∞ )；单一递减区间为(－2，2)．当 x＝－ 2时， f(x)有极大值 5＋ 4 2；当 x＝ 2时， f(x)有极小值 5－ 4 2.(2)由 (1)的剖析知 y＝ f(x)的图象的大概形状及走向以下图．所以，当 5－ 4 2＜ a＜ 5＋4 2时，直线 y＝ a 与 y＝ f(x)的图象有三个不一样的交点，即方程f(x)＝ a 有三个不一样的实根．反省与感悟用求导的方法确立方程根的个数，是一种很有效的方法．它经过函数的变化情况，运用数形联合思想来确立函数图象与x 轴的交点个数，进而判断方程根的个数．追踪训练3设a为实数，函数f(x)＝－ x3＋ 3x＋ a.(1)求 f(x)的极值；(2) 能否存在实数a，使得方程f(x)＝ 0 恰巧有两个实数根？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明原因．解 (1)f′ (x)＝－ 3x2＋ 3，令 f′ (x)＝ 0，得 x＝－ 1 或 x＝ 1.由于当 x∈ (－∞，－ 1)时， f′( x)＜0，当 x∈( －1,1)时， f′ (x)＞ 0，当 x∈ (1，＋∞ )时， f′ (x)＜ 0，所以 f( x)的极小值为f(－ 1)＝ a－2，极大值为f(1)＝ a＋ 2.(2)由于 f(x)在 (－∞，－ 1)内单一递减，且当 x→ －∞时， f(x)→＋∞，f(x)在 (1，＋∞ )内单一递减，且当 x→＋∞时， f(x)→ －∞，而 a＋2＞ a－ 2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0 时，极小值小于0，此时曲线f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程f(x)＝ 0 恰巧有两个实数根，所以a＋ 2＝ 0，a＝－ 2，如图 1 所示．当极小值等于0 时，极大值大于0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程f(x)＝ 0 恰巧有两个实数根，所以 a－ 2＝ 0， a＝ 2，如图 2 所示．综上所述，当a＝ 2 或 a＝－ 2 时，方程f(x)＝ 0 恰有两个实数根．例 4132＋ (2－b) x＋1在 x＝ x1处获得极大值，在 x＝ x2处获得极小值，已知函数 f( x)＝ ax － bx3且 0＜ x1＜ 1＜ x2＜ 2.(1)证明： a＞ 0；(2)求 z＝ a＋ 2b 的取值范围．剖析 (1)对原函数求导，将导函数问题转变为由二次函数的根的散布探究张口方向的问题，进而证得 a＞ 0；(2)利用 x1，x2为导函数的两个根，将 0＜ x1＜ 1＜ x2＜ 2 等价转变为不等式组，利用线性规划求 a＋ 2b 的最大值与最小值．(1) 证明由函数f(x)在x＝x1处获得极大值，在x＝x2处获得极小值，知x1， x2是 f′ (x)＝ 0的两个根．由题意，得 f ′(x)＝ ax2－ 2bx＋ 2－ b，所以 f′ ( x)＝a( x－x1)(x－ x2)．由题意，知在x＝ x1的左边有f′ (x)＞ 0.由 x－ x1＜ 0， x－ x2＜0，得 a＞0.(2) 解由题意，得0＜ x1＜ 1＜x2＜2 等价于f′ 0 ＞ 0，f′ 1 ＜ 0，即f′ 2 ＞ 0，2－ b＞ 0，a－ 2b＋ 2－b＜ 0，4a－ 4b＋ 2－ b＞ 0，2－ b＞ 0，整理，得a－ 3b＋ 2＜0，4a－ 5b＋ 2＞ 0.此不等式组表示的地区为平面aOb 上三条直线2－ b＝ 0，a－ 3b＋ 2＝0,4a－ 5b＋ 2＝ 0 所围成的△ ABC 的内部，以下图．△ABC 的三个极点分别为4，6，B(2,2)，C(4,2)．由 (1) 知 a A 774，616＞0，则 z＝a＋ 2b 分别在 A 77，C(4,2)处获得最小值7和最大值8.即 z＝ a＋ 2b 的取值范16围为7，8 .活动三讲堂反应单1．函数 f(x)的定义域为 R ，导函数 f ′ (x)的图象以下图，则函数f(x)有 ________个极大值点， ________个极小值点．答案2 2分析f ′ (x)的符号由正变负，则f(x 0)是极大值， f ′ (x)的符号由负变正，则f(x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．2．已知函数 f(x)＝ x 3－ px 2－ qx 的图象与 x 轴切于点 (1,0)，则 f(x)的极大值为 ________，极小值为 ________．答案427分析f ′ (x)＝ 3x 2－ 2px － q ，依据题意，知 x ＝ 1 是函数的一个极值点，则f ′ 1 ＝ 3－ 2p － q ＝0， p ＝ 2， f 1 ＝ 1－p － q ＝ 0， 解得q ＝－ 1，所以 f ′ ( x)＝3x 2－4x ＋ 1.令 f ′( x)＝ 0，得 x ＝1或 x ＝ 1，易判断当 x ＝ 1时， f(x)有极大值为 4，当 x ＝ 1 时， f(x)有极小3 3 27值为 0.3．已知 f(x)＝x 3＋ax 2＋ (a ＋ 6)x ＋ 1 有极大值和极小值，则a 的取值范围为 ____________．答案a>6 或 a<－ 3分析f ′ (x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋ (a ＋ 6)，由于 f( x)既有极大值又有极小值，那么 ＝ (2a)2－4× 3× (a ＋6)>0 ，解得 a>6 或 a<－ 3.4．设函数 f(x)＝ 6x3＋ 3(a＋ 2)x2＋ 2ax.若 f(x)的两个极值点为 x1，x2，且 x1x2＝1，则实数 a 的值为 ________．答案9分析f′ (x)＝ 18x2＋ 6(a＋ 2)x＋ 2a.2a由已知 f′ (x1)＝ f′ (x2)＝ 0，进而 x1x2＝＝1，所以 a＝ 9.5．已知对于x 的函数 f(x)＝－1x3＋bx2＋cx＋ bc，若函数 f(x)在 x＝ 1 处获得极值－4，则 b＝33________，c＝ ________.答案－ 13f′ (x)＝－ x2＋ 2bx＋ c，由 f(x) 在 x＝ 1 处获得极值－4，得f′ 1 ＝－ 1＋ 2b＋c＝ 0，分析f 1 ＝－1433＋ b＋ c＋bc＝－ .3b＝1，b＝－ 1，解得或c＝－ 1c＝ 3.若 b＝ 1， c＝－ 1，则 f′ (x)＝－ x2＋2x－ 1＝－ (x－ 1)2≤ 0，此时 f(x) 没有极值；若 b＝－ 1， c＝ 3，则 f′ (x)＝－ x2－2x＋ 3＝－ (x＋ 3)(x－ 1)，当－ 3＜ x＜1 时， f′ (x) ＞0，当 x＞ 1 时， f′ (x)＜ 0.4所以当 x＝ 1 时， f(x)有极大值－3.故 b＝－ 1， c＝ 3.活动四讲堂小结1.在极值的定义中，获得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点 x＝ x0处获得极值的充要条件是f′ (x0)＝0 且在 x＝ x0双侧 f′ (x)符号相反．3．利用函数的极值能够确立参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。
高中数学人教A版选修2-2课件：1-3-2 函数的极值与导数
栏目 导引
重难聚焦
第一章
三角函数
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也 可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也 不一定比极大值小.的内部,区间的端点不能成为极 值点. (5)若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的 点可能不是函数的极值点.也就是说,若f'(c)存在,则“f'(c)=0”是“f(x) 在x=c处取到极值”的必要条件,但不是充分条件.
x f'(x) f(x) (-∞,-2) + ↗ -2 0 (-2,2) ↘ 2 0 (2,+∞) + ↗
从表中可以看出,当x=-2时,函数有极大值, 且f(-2)=(-2)3-12×(-2)=16. 当x=2时,函数有极小值,且f(2)=23-12×2=-16.
栏目 导引
第一章 三角函数 典例透析
1 e
故当 x=e 时函数取得极大值,且极大值为 f(e)= , 函数无极小值.
反思求函数的极值应注意以下几点: (1)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时,若方程f'(x)=0的实 根较多时,应注意使用表格,使极值点一目了然. (2)讨论函数的性质要遵循定义域优先的原则.
栏目 导引
第一章 三角函数 典例透析
2
当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0, 所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去. 当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3). 所以当x∈(-∞,-3)时,f(x)为增函数; 当x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数; 当x∈(-1,+∞)时,f(x)为增函数. 所以f(x)在x=-1时取得极小值, 因此a=2,b=9.
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∴a＝2，b＝0.
数 学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
[例4] 已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x>0)在x＝1处取
得极值－3－c，其中a、b、c为常数．
(1)试确定a，b的值；
(2)若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值 人
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根，再检查y′在方程根左右的值的符号．如果左正右负， 数 学
那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这
个根处取得极小值．
第三章 导数及其应用
[解析] y′＝9x2－1，令 y′＝0，
解得 x1＝13，x2＝－13.
当 x 变化时，y′和 y 的变化情况如下表：
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数
学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
本节重点：利用导数的知识求函数的极值． 本节难点：函数的极值与导数的关系． 利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义域；
人
其次，为了清楚起见，可用导数为零的点，将函数的定义 教 A 版
域分成若干小开区间，并列成表格，判断导函数在各个小 数 学
开区间的符号． 求函数的最大值和最小值，需要先确定函数的极大值
教
范围．
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数
[ 解 析 ] (1) 由 题 意 知 f′(x) ＝ 4ax3lnx ＋ ax4·1x ＋ 4bx3 ＝ 学
x3(4alnx＋a＋4b)．
所以ff(′1)(＝1)－ ＝30－ ，c， 所以ab＋ ＝4－b＝ 3，0， 所以 a＝12，b＝－3.
第三章 导数及其应用
(2)由(1)知 f′(x)＝48x3lnx(x>0)．
区间上所有函数值中的最大的值，最小值是所有函数值中
的最小的值；极值只能在区间内取得；但最值可以在端点
处取得；极值有可能成为最值．
第三章 导数及其应用
5．若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极
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大值就是最大值，极小值就是最小值．
教
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数
学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
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当 x<－1 或 x>1 时，f′(x)>0；当－1<x<1 时，f′(x)<0，
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∴函数 f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－
1,1)上为减函数．
∴当 x＝－1 时，函数取得极大值 f(－1)＝1；当 x＝1 时，
函数取得极小值 f(1)＝－1.
第三章 导数及其应用
1．已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在 内的开区间内的所有点x，如果都有 f(x)≤f(x0) ，则称函
数f(x)在点x0处取得 极大值 ，并把x0称为函数f(x)的一个
人 教
极大值点 ；如果都有
f(x)≥f(x0)
，则称函数f(x)在
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数
点x0处取得 极小值 ，并把x0称为函数f(x)的一个
因此，当 x＝－13时，y 有极大值，并且 y 极大值＝191.
而当 x＝13时，y 有极小值，并且 y 极小值＝79.
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[点评] 熟记极值的定义是做好本题的关键，要利用
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求函数极值的一般步骤求解．
第三章 导数及其应用
函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有 A．极大值为5，极小值为－27 B．极大值为5，极小值为－11 C．极大值为5，无极小值 D．极大值为－27，无极小值 [答案] C
函数的极值、最值常与单调性，不等式结合出解答题，
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是历年考试的重点，一般分为二至三问，要注意它们之间
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的内在联系，另外解此类问题要注意极值，最值的注意事 数
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项．
第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
[例5] 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，
函数在区间[a，b]上连续是f(x)在[a，b]上存在最大值
的充分而非必要条件．
第三章 导数及其应用
求 函 数 f(x) ＝ x4 － 8x2 ＋ 2 在 [ － 1,3] 上 的 最 大 值 与 最 小
值．
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教
[解析] f′(x)＝4x3－16x＝4x(x－2)(x＋2)．
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令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝2.
第三章 导数及其应用
(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在
其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极
小值可能大于另一点的极大值．(如图(1))
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教
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第三章 导数及其应用
(5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是
有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个
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在区间(0,1)连续，但没有最大值和最小值(如图)．
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第三章 导数及其应用
(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间 断点，也不能保证 f(x)有最大值和最小值，如函数 f(x)＝
|x|，－1≤x≤1且x≠0，
1，x＝0.
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在[－1,1]上有间断点，没有最小值(如图)．
教 A
版
x12＝a(x1＋x2)＋2b.
数 学
又 x1＋x2＝－2ab，代入上式，
得 x22－x21＝a－2ab＋2b＝0， ∴x22－x21＝0，即(x2－x1)(x2＋x1)＝0.
第三章 导数及其应用
而x1<x2，∴x1＋x2＝0.∴b＝0.
代入①式，得a(x2－1)＝0.
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∵a>0，∴x＝±1.再代入f(x1)或f(x2)，得a＝2.
[点评] 若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f′(x0)＝0， 人
因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数．
教 A
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第三章 导数及其应用
设 a>0，(1)证明 f(x)＝a1x＋＋xb2取得极大值和极小值的点各
有 1 个；
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A
(2)当极大值为 1，极小值为－1 时，求 a 和 b 的值．
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(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说
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明理由．
[解析] (1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－
2b＋c＝0. 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
∴a＝12，b＝0，c＝－32.
第三章 导数及其应用
(2)f(x)＝12x3－32x，
∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．
和极小值，极值是一个局部概念并且不唯一，极大值与极 小值之间无确定的大小关系．
第三章 导数及其应用
f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，
不是充分条件．例如：函数f(x)＝x3，f′(0)＝0但x＝0不是
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f(x)＝x3的极值点．
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第三章 导数及其应用
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[解析]
(1)
证
明
：
f′(x)
＝
a(1＋x2)－2x(ax＋b) (1＋x2)2
＝
－a(x12－＋2x2b)x2＋a，
令 f′(x)＝0，即 ax2＋2bx－a＝0.①
第三章 导数及其应用
∵Δ＝4b2＋4a2>0，∴方程①有两个不相等的实根，记
为 x1、x2.
不妨设 x1<x2，则有 f′(x)＝－a(x12－＋2x2b)x2＋a＝0，
极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值
人
教
点．
A
版
数
2．导数为0的点不一定是极值点．
学
3．正确理解“在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)必有
最值．”
此性质包括两个条件：
第三章 导数及其应用
(1)给定的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续
但不能保证有最大值或最小值．如 f(x)＝1x，x∈(0,1)，f(x)
第三章 导数及其应用
1．理解极值概念时需注意的几点
(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的
左右两侧附近的点而言的．
人
教
A
(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点
版 数
绝不是函数的极值点．
学
(3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是
单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值．
数 学
第三章 导数及其应用
4．正确区分极值和最值
(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，
函数的最大值和最小值可以在极值点、不可导点、区间的
人
端点取得，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的， 教 A
版
最值具有绝对性，极值具有相对性．
数
学
(2)函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个
学
极小值点 ．极大值与极小值统称为 极值 ，极大值
点与极小值点统称为 极值点 ．
第三章 导数及其应用
2．假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条
连续不断的曲线，该函数在[a，b]上一定能够取得
最大值 与 最小值 ，该函数在(a，b)内是 可导的 ， 人