惯性矩和惯性积的平行移轴公式
M02资_惯性矩和惯性积的平行移轴定理
材料力学
本章主要内容
§5–1 面积矩与形心位置 惯性矩、惯性积、 §5–2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 §5–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 §5–4 惯性矩和惯性积的转轴定理 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
材料力学
§5-1 静矩与形心位置
一、面积（对轴）矩：(与力矩类似) 面积（对轴） y 是面积与它到轴的距离之积。
I AB = I x + d 2 A=
π d 4 π d 4 5π d 4
64 + 4 = 64
材料力学
§5 - 4
惯性矩和惯性积的转轴定理、 惯性矩和惯性积的转轴定理、 截面的主惯性轴和主惯性矩
y y1 x1
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理
x 1 = x cos α + y sin α y 1 = − x sin α + y cos α
i i
1
1
2
A2
A
A1 + A2
x
5×(−70×110) = =−20.3 120×80−70×110
图(b)
材料力学
§5 - 2
惯性矩、惯性积、 惯性矩、惯性积、极惯性矩
是面积与它到轴的距离的平方之积。
与转动惯量类似） 一、惯性矩：(与转动惯量类似） 惯性矩： 与转动惯量类似
I x =∫ y dA
tg2 0=− α IxC−I yC
2IxC yC
形心主惯ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ矩：
IxC+I yC 2 2 IxC0 IxC+I yC ± ( ) +IxCyC = 2 2 I yC0
材料力学
3.求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系 ②计算面积和面积矩 ③求形心位置
6.3平行移轴公式
第6章 平面图形的几何性质6.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 主轴和主惯性矩6.3.1 惯性矩和惯性积的平行移轴公式任一平面图形如图6.9所示，其面积为A ，形心为C ，坐标轴y c 和z c 为形心轴。
正交坐标轴y 、z 与形心轴y c 、z c 平行，两对平行轴之间的间距分别为a 和b 。
截面对y c 轴、z c 轴的惯性矩I y c、I z c 及惯性积I y z c c 为已知，现求图形对y 、z 轴的惯性矩和惯性积。
图中任一点在两坐标系下的坐标关系为=+z z a c =+y y b c由式（6.5）⎰⎰⎰⎰==+=++I z A z a A z A a z A a AAAAy c c c d ()d d 2d 2222其中⎰=z A I Ac y cd 2，⎰=A A Ad ，⎰=z A S Ac y cd 。
因y c 为形心轴，所以=S y c 0，于是可得同理 ⎭⎪=+⎪⎬=+⎪⎪=+⎫I I abA I I b A I I a A yz y z z z y y c c c 22c （6.9）上式即为惯性矩和惯性积的平行移轴公式（parallel-axis theorem ）。
因为a A 2和b A 2均为正，所以在所有相互平行的轴中，同一图形对形心轴的惯性矩最小。
在应用公式（6.9）时需注意，a 、b 是图形的形心C 在yOz 坐标下的坐标，有正、负之分。
同时，y c 、z c 轴一定是形心轴。
6.3.2 主轴和主惯性矩由式（6.6）可知，同一图形对不同的一对直角坐标轴的惯性积是不同的，若图形对某一对直角坐标轴的惯性积等于零，则该直角坐标轴称为主惯性轴，或简称为主轴（principal axes ）。
图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩（principal moment of inertia ）。
通过图形形心的主轴称为形心主轴（centroidal axis ），图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩（principal moment of inertia for an area ）。
惯性矩的计算方法
I等． I等是从不同角度反映了截S，其数学表达式(4 -1a )(4-1b)(4 -2a )(4-2b)式中 y、 z 为截面图形形心的坐标值．若把式 (4-2) 改写成(4-3)性质：•若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心．•若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零．•由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。
4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形 ( 如矩形、圆形等 ) 组合而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩 (S) 与形心坐标 (y、 z ) 时，可用以下公式(4-4)(4-5)式中 A， y ， z 分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值， n 为组成组合图形的简单图形个数．即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的．例 4-1 已知 T 形截面尺寸如图 4-2 所示，试确定此截面的形心坐标值．、两个矩形，则设任一截面图形 ( 图 4 — 3) ，其面积为 A ．选取直角坐标系 yoz ，在坐标为 (y 、 z) 处取一微小面积 dA ，定义此微面积 dA 乘以到坐标原点o的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩 I．微面积 dA 乘以到坐标轴 y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对 y 轴的惯性矩 I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩．数学表达式为极惯性矩 (4-6)对 y 轴惯性矩 (4 -7a )同理，对 z 轴惯性矩 (4-7b)由图 4-3 看到所以有即(4-8) 式 (4 — 8) 说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。
在任一截面图形中 ( 图 4 —3) ，取微面积 dA 与它的坐标 z 、 y 值的乘积，沿整个截面积分，定义此积分为截面图形对 y 、z 轴的惯性积，简称惯积．表达式为(4-9)惯性矩、极惯性矩与惯性积的量纲均为长度的四次方． I,I,I恒为正值．而惯性积 I其值能为正，可能为负，也可能为零．若选取的坐标系中，有一轴是截面的对称轴，则截面图形对此轴的惯性积必等于零．当截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积等于零时，称此对坐标轴为截面图形的主惯性轴．对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩．而通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴 ( 或称主形心惯轴 ) ．截面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩 ( 或称主形心惯矩 ) ．例如，图 4-4 中若这对 yz 轴通过截面形心，则它们就是形心主惯性轴．对这两个轴的惯性矩即为形心主惯性矩．工程应用中 ( 如压杆稳定中 ) ，有时将惯性矩表示成截面面积与某一长度平方的乘积，即,或写成, （ 4-10 ）式中 i分别称为截面图形对 y 轴、 z 轴的惯性半径．其量纲为长度的一次方．例 4-2 已知矩形截面的尺寸 b,h( 图 4-5) ，试求它的形心主惯性矩．解：取形心主惯性轴 ( 即对称轴 )y,z ，及 dA=dy，代入公式 (I— 7a ,) 得同理：例 4-3 设圆的直径为 D( 图 4-6) ，试求图形对其形心轴的惯性矩及惯性半径值．解： (1) 求惯性矩因为图形对称， y,z 为对称轴，所以 I＝ I这是较简单的解法．本例也可取出图 4-6 上的微面积 dA ，按积分法来求得。
材料力学惯性矩
y'c
0.6 2.52 (1.26 1.2) 0.6 2.52 2 0.2 2.4
0.16m;
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第二节 惯性矩和惯性积
一、极惯性矩：
定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点Ｏ旳距离ρ平方旳乘积ρ2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o旳极惯性矩。
500 500
(2)计算形心主惯性矩：
(z、y轴即形心主轴）
z1
z1
a12 1
50 103 12
20
52
500
1.17
105
cm 4 ;
z2
z2
a22 2
10 503 12
35
202
500
2.17 105 cm4 ;
z z1 z2 117 2 17105 3.34105 cm4;
I zy
z y dA;
A
特点：①惯性积是截面对某两个正交
坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴旳惯性积
均不同。惯性积是代数值。
②若截面有一根为对称轴,则该截面对涉及此对称轴在 内旳一对正交坐标轴旳惯性积必为零。
单位： m4 , mm4;
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例5-2 求矩形截面对其对称轴旳惯性矩和惯性积。
Sy
z
A
dA
A
zc ;
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴旳
静矩为零时，该轴必经过截面形心；反之，若某轴经过形心，
则截面对该轴旳静矩为零。
平行移轴公式
IyC , IzC , IyCzC￣ 截面对形心轴 yC , zC的惯性矩
和惯性积。
z
zC
I yC z12dA z z1 b
z1
I y z2dA
b
C(a,b)
z yC
y
(z1 b)2dA
Oa
平行移轴公式
(z12 2z1b b2 )dA
A z12dA
A 2z1bdA
b2dA
A
I yC
?
b2 A
A 2z1bdA 2b A z1dA
z
zC
2bSyC
0
b
C(a,b)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱOa
z1 z yC
y
平行移轴公式
I y I yC b2 A Iz IzC a2 A
I yz I yCzC abA
z
zC
b
C(a,b)
Oa
z1 z yC
y
截面对形心轴的惯性矩最小， 但惯性积不能确定是否最小
平行移轴公式
二、组合截面的惯性矩和惯性积
n
I y I yi i 1
n
Iz Izi i 1
n
I yz I yzi i 1
I yi , Izi , I yzi —第 i个简单截面对 y, z 轴的惯性矩
和惯性积。
平行移轴公式
平行移轴公式
一、 平行移轴公式
zzC
y, z —任意一对坐标轴；
b
C(a,by)C
C ―截面形心；
y
Oa
(a , b ) ―形心C在 yOz坐标系下的坐标；
yC , zC —过截面的形心 C 且与 y, z轴平行 的坐标轴(形心轴）。
惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 yydAdSx xdA dS y == x dA 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为⎰⎰==A Ay ydA Sx xdA S （I-1） 0 A y 2.形心与静矩关系 图I-1设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0A S y x = ， AS x y = （I-2） 推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。
推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为∑∑∑∑========n i n i ii xi x n i ii n i yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===n i i n i i iAx A x 11， ∑∑===n i in i i i A y A y 11 （I-4） 4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
(2) 静矩有的单位为3m 。
(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
(4) 若已知图形的形心坐标。
则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。
组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。
材料力学惯性矩
(z、y轴即形心主轴）
z1z1a12151 012302 052501 0.1 7150cm 4;
z2z2a22211 052303 52025002.1 7150cm 4;
z z 1 z 2 1 1 2 1 7 1 5 7 3 . 3 0 1 5 c 4 4 ; 0 m
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小结
一、静矩： SzAydA Ayc; SyA zdA Azc;
性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；
二、极惯性矩：
IP
2dA;
A
实心圆截面：
IP
D 4
32
;
空心圆截面：IP3D42(14)(;D d)
三、惯性矩：
Iz
y2dA;
A
Iy
z2dA;
A
矩形截面： I z
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的
静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，
则截面对该轴的静矩为零。
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二、形心公式：
yc
Sz ; A
zc
Sy . A
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i1
n
Sy Ai zci; i1
n
四、组合截面形心公式：
A i y ci
yc
i1 n
;
Ai
i1
例5-1 求图示T形截面形心位置。
n
A i z ci
zc
i1 n
;
Ai
i1
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
惯性矩总结含常用惯性矩公式
2.圆形截面
由对称性
3.环形截面
常用图形的惯性矩：
惯 性 矩——对某一轴而言
极 惯 性 矩——对某一点而言
特别指出：
——图形对 x 轴的惯性半径
单位：m
三、惯性半径
在力学计算中，有时把惯性矩写成
即：
——图形对 y 轴的惯性半径
注意：
试问：
即：
三、惯性半径
四、平行移轴Байду номын сангаас式
一、定理推导
二、应用
一、定理推导
即：
§A.3 平行轴定理
显然：
性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩
中，以对形心轴的惯性矩为最小。
同理
——惯性矩和惯性积的平行轴定理
一、定理推导
解：
而
二、应用
解：
教学目的和要求
惯性矩 惯性半径
一、惯性矩
二、惯性矩与极惯性矩的关系
三、惯性半径
四、平行移轴公式
1、惯性矩、极惯性矩的概念和计算方法；2、平行移轴公式。
教学重点
平行移轴公式的应用。
教学难点
一、惯性矩
整个图形 A 对x 轴的惯性矩
整个图形 A 对 y 轴的惯性矩
y2dA——微面积dA对 x 轴的惯性矩
x2dA——微面积dA对 y 轴的惯性矩
定义：
其值：+
单位：m4
1.惯性矩
二、惯性矩与极惯性矩的关系
即：
平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过
该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和
性质 ：
若 x 、 y 轴为一对正交坐标轴
§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径
型心计算公式
80 aⅡ
（2）求对自身形心轴的惯性矩。
I xc1 、 I yc1 , I xc 2 、 I yc 2
10
Ⅱ
（3）由平行移轴公式求整个截面的 I xc 、 I yc 、 I xc yc
10
xc0
10
y C
120
（4）由转轴公式得
40 20
bⅠ
aⅠ C =113.8°
Ⅰ
tan 2 0
xC
2 I xc y c I xc I yc
惯性矩和惯性积的转轴公式任意面元da在旧坐标系oxy和新坐标系oxsincossincosda22cossinsincoscossin上式表明截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数并等于截面对该坐标原点的极惯性矩?将前两式相加得24由惯性积的转轴公式可知当坐标轴旋转时惯性积将随着角作周期性变化且有正有负
I y A x d A
2 2
I x A y d A
2
y
由于 y x
（为正值，单位m4 或
2
mm4)
O
x
x
2 d A ( y 2 x 2 ) d A I x I y 所以 I p A A
（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原 点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）
A
A
y
A
yd A A
x
xd A
A
A
y
A
yd A A
3. 静矩与形心坐标的关系
Sy A x
Sx A y
结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。
4. 组合截面的静矩 由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应 等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和:
截面特性(New2)
I yc
=
∫A
z 2 dA. c
∫ I = y 2 dA
zc
A
c
∫ I = y z dA
yc zc
A
cc
∫ ∫ I y =
z 2dA =
A
( zc + a)2 dA
A
∫ ∫ ∫ = zc 2dA + 2a zcdA + a2 dA
A
A
A
{ = I yc + a2 A
惯性矩和惯性积的平行移轴公式
I y = I yc + a2 A I z = I zc + b2 A
I yz = I yc zc + abA
例题
平行移轴公式
计算图形对其形心轴的惯性矩
解：
z = A1 z1 + A 2 z2 A1 + A 2
= 0.14× 0.02× 0.08 + 0.1× 0.02× 0 0.14× 0.02 + 0.1× 0.02
I
I
=
yc
0.0467m
= 1 × 0.02
Iy = × 0.143
I
I yz
=
0 + (−0.035) × 0.0745× 0.011× 0.059
= −1.69 ×10−6 m4
转轴公式 主惯性轴
I
II y
=
1 12
× 0.011× 0.163
=
3.76×10−6 m4
I
II z
=
1 12
× 0.16× 0.0113
=
0.0178×10−6 m4
I II yz
(z cosα − y sinα)2 dA
惯性矩和平行移轴公式.ppt
xC1
a1 57.5 xC
a2 57.5 xC2
I x I xC a2 A
同理
I y I yC b2 A I xy I xC yC abA
——惯性矩和惯性积的平行轴定理
显然：
I x I xC
I y I yC
性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩
中，以对形心轴的惯性矩为最小。
二、应用
解： 例 求 I和xC I yC
200 y
A
h y2 bdy bh3
0
3
y dy
_h_
2
dA y
C
yx
_h_
2
O
_b_ _b_
x1
22
常用图形的惯性矩：
2.圆形截面
D4
I x I y Ip 32
由对称性
y
O
x
Ix
Iy
1 2
Ip
D4
64
d
D
3.环形截面
Ix
Iy
1 2
Ip
(D4 64
d
4
)
D4 (1 4 )
64
特别指出： 惯 性 矩——对某一轴而言 极 惯 性 矩——对某一点而言
三、惯性半径
在力学计算中，有时把惯性矩写成
即：
Ix
A
i
2 x
Iy
A
i
2 y
ix
I x ——图形对 x 轴的惯性半径 A
iy
I y ——图形对 y 轴的惯性半径 A
单位：m
三、惯性半径
试问： 即： 注意：
I x
A
y 2dA
A
i
2 x
惯性矩、静矩,形心坐标公式
§I−1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d (Ｉ−１)分别定义为该截面对于z 轴和y轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC A Cd d利用公式（Ｉ−1）,上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z A C d d （I −2）或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S (I −３)⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y yCz C （Ｉ−4)如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形,则由静矩的定义可知,整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对图I −1同一坐标轴的静矩的代数和。
即:⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（Ｉ−5)式中Ａｉ、y ｃi 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
将式(I −５)代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（Ｉ−６)例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系ｚOy ,其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C ＝0，只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则A Ⅰ=0.０72m ２,A Ⅱ＝０.08ｍ2y Ⅰ=0.４6m ，y Ⅱ＝0.2m例题I −1图m323.008.0072.02.008.046.0072.0III II II I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zO ｙ。
惯性矩总结(含常用惯性矩公式)
惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭转的能力。
惯性矩的国际单位为(m^4)。
工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩1．面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。
定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。
面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。
2．面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)(2—2.2)或改写成，如式(2—2.3)(2—2.3)面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。
图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。
如式(2—2.4)(2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。
组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。
(2—2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1．极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。
定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)(2—2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。
极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。
(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)(2—2.7)(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8)(2—2.8)式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。
2．惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9)(2—2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。
惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。
平行移轴公式
截面的几何性质\平行移轴公式
平行移轴公式
1.1 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
图示截面的面积为A，xC、yC轴为 其形心轴，x、y轴为一对与形心轴平行
的正交坐标轴，微面积dA在两个坐标系
OxCyC和Oxy中的坐标分别为xC、yC和x、 y。截面对x轴的惯性矩为
Ix
y2dA AA( yC Nhomakorabea)2 dA
目录
力学
24.122 2030mm4
267104 mm4
3）求组合截面对x轴和y轴的惯性矩。组合截面对x轴和y轴的 惯性矩为
Ix=Ix+2 Ix=3690×104 mm4+2×2110×104
mm4=7910×104mm4
Iy=Iy+2 Iy=431×104 mm4+2×267×104 mm4=965×104mm4
组合截面对x、y轴的惯性矩和惯性积为
Ix Ixi , I y I yi , Ixy Ixyi
式中：Ixi、Iyi、Ixyi——各个简单截面对x、y轴的惯性矩和惯性积。 对于工程中常用的截面，其主要的几何性质列于表Ⅰ.1中，以
备查用。
目录
截面的几何性质\平行移轴公式 表Ⅰ.1 常用截面的几何性质
I y I yC b12 A 218.415104 mm4
19.21 26.47 24.12 4491mm4
431104 mm4
目录
截面的几何性质\平行移轴公式 角钢截面对x、y轴的惯性矩为
I x I xC a2 A 149.22104 mm4 98.322 2030mm4
3690104 mm4 I y I yC b2 A 149.22104 mm4
r 4
惯性矩和平行移轴公式课件
实例二：平行移轴公式的应用
总结词
平行移轴公式在工程中有着广泛的应用，它 可以用来计算物体的质心位置和转动惯量。
详细描述
平行移轴公式是一种常用的计算方法，在工 程中广泛应用于机械、航空、航天等领域。 该公式可以用来计算物体的质心位置和转动 惯量，是设计和分析各种机构和机器的关键 工具。通过应用平行移轴公式，可以优化机 构和机器的性能，提高其稳定性和精度。
在计算机图形学和虚拟现实领域， 惯性矩与平行移轴公式被广泛应 用于碰撞检测和响应算法中，以
实现更加真实和精确的模拟效果。
CHAPTER 04
常见问题解答
如何计算截面的惯性矩？
总结词
通过计算截面的面积和边缘到中心的距离，可以计算出截面的惯性矩。
详细描述
首先，需要确定截面的形状，如圆形、矩形、三角形等。然后，根据形状计算截面的面积。接下来，确定截面的 边缘到中心的距离，即截面边缘到截面中心的垂直距离。最后，利用惯性矩的计算公式，即惯性矩 = 面积 × (边 缘到中心的距离)^2，可以计算出截面的惯性矩。
惯性矩和平行移轴公式 课件
• 惯性矩的基本概念 • 平行移轴公式 • 惯性矩与平行移轴公式的应用 • 常见问题解答 • 惯性矩和平行移轴公式的实例
CHAPTER 01
惯性矩的基本概念
定义与公式
惯性矩的定义
惯性矩是物体对于某一点或某轴 线的惯性大小的量度，用I表示。
平行移轴公式
平行移轴公式是计算惯性矩的一 种常用方法，适用于具有平行轴 线的物体。
什么是平行移轴公式？
总结词
平行移轴公式是一种计算组合图形惯性矩的方法，通过将图形分解为简单的组成部分，并分别计算各 部分的惯性矩，再根据平行移轴公式进行组合。
5.2 惯性矩和平行移轴公式(教学内容)
优学课堂
1
第五章 平面图形的几何性质
5.1 静矩和形心 5.2惯性矩、极惯性矩 、平行移轴公式
优学课堂
2
教学目的和要求
• 平面图形的几何性质是影响构件承载能力的重要 因素之一。如何确定平面图形的几何性质的量值， 是本章讨论的内容。本章主要介绍了形心、静矩、 惯性矩、惯性积等几何量，学习时要掌握其基本 的概念和计算方法，同时要掌握平行移轴公式及 其应用。
优学课堂
3
§5.2 惯性矩 惯性半径
一、惯性矩 二、惯性矩与极惯性矩的关系 三、惯性半径 四、平行移轴公式
优学课堂
4
教学重点
1、惯性矩、极惯性矩的概念和计算方法； 2、平行移轴公式。
优学课堂
5
教学难点
• 平行移轴公式的应用。
优学课堂
6
一、惯性矩
y
1.惯性矩 定义：
y2dA——微面积dA对 x 轴的惯性矩 x2dA——微面积dA对 y 轴的惯性矩 O
y 2dA
A
h y2 bdy bh3
0
3
y dy
_h_
2
dA y
C
yx
_h_
2
O
_b_ _b_
x1
22
优学课堂
9
常用图形的惯性矩：
2.圆形截面
Ix
Iy
Ip
D4
32
由对称性
y
O
x
Ix
Iy
1 2
Ip
D4
64
d
D
3.环形截面
Ix
Iy
1 2
Ip
(D4 64
d4)
D4 (1
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20 140
zc
20
1
yc
2
y
100
A1 20140 A2 100 20
Z1 80 Z2 0
所以截面的形心坐标为
ZC
A1 Z1 A1
A2 Z2 A2
46.7mm
20 140zc20源自1ycxc
ob
x
二、组合截面的惯性矩 惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩、
惯性积。
组合截面的惯性矩，惯性积
n
I x I xi i1
n
I y I yi i1
n
I xy I xyi i 1
例 3 -1 求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。
解：将截面分成两个矩形截面。
xc
b
x
Ix , Iy , Ixy _____ 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
则平行移轴公式为
y
yc
I x I xc a2 A
Iy Iyc b2 A
I xy I xcyc abA
a
C(a,b)
§8-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积
一、 平行移轴公式
y x , y ——任意一对坐标轴
C —— 截面形心
a
（a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标系下的
坐标。
o
xc , yc ——过截面的形心 c 且与 x , y 轴平 行的坐 标轴（形心轴）
yc
C(a,b)
ZC
2
y
100
I1yC
1 12
20
1403
20
140
(8046.7)2
I
2 yC
1 12
100
203
100
20
(46.7)2
zc
20
IyC
I1yC
I
2 yC
12.12106 m4
1
yc
ZC
2
20 140
y
100