快速傅里叶变换学习总结
快速傅里叶变换推导
快速傅里叶变换推导摘要：1.快速傅里叶变换的概念与意义2.傅里叶变换的定义与性质3.快速傅里叶变换的算法原理4.快速傅里叶变换的实际应用正文：一、快速傅里叶变换的概念与意义快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）及其逆变换的算法。
DFT 是一种将时间域信号转换到频率域的方法，常用于信号处理、图像处理等领域。
然而，当信号长度很长时，DFT 的计算复杂度较高，因此，为了加速计算，提出了快速傅里叶变换算法。
二、傅里叶变换的定义与性质傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
对于一个信号f(t)，其傅里叶变换结果为频谱F(ω)，可以通过以下公式计算：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt) dt]，其中积分范围为-∞到∞。
傅里叶变换具有以下性质：1.傅里叶变换是线性的，即满足线性性质的信号可以通过傅里叶变换分开。
2.傅里叶变换是可逆的，即频域信号可以通过傅里叶逆变换转换回时域信号。
3.傅里叶变换具有时域与频域之间的帕斯卡三角关系，即频谱的幅度与相位分别对应时域信号的幅度与相位。
三、快速傅里叶变换的算法原理快速傅里叶变换算法的原理是将DFT 分解成更小的子问题，并重复利用子问题的计算结果。
具体来说，如果将信号长度为N 的DFT 表示为：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)]，其中n 为时域索引，k 为频域索引。
那么，如果将信号长度分解为2 的幂次方形式（如N = 2^m），则可以将DFT 分解为两个较短的DFT 的加权和，即：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)] = ∑[x_n * e^(-j2πn(k-m)/2^m)] + e^(-j2πkm/2^m) * ∑[x_n * e^(-j2πn(k+m)/2^m)]其中，第一个和式计算偶数项的DFT，第二个和式计算奇数项的DFT。
关于傅里叶变换和快速傅里叶变换的数学原理和应用
关于傅里叶变换和快速傅里叶变换的数学原理和应用傅里叶变换和快速傅里叶变换是用于信号处理和图像处理的重要工具。
在科学领域，数学是一项非常重要的技能。
傅里叶变换和快速傅里叶变换就是其中的两个重要的理论和技术。
傅里叶变换的数学原理傅里叶变换是用于将信号或图像从时域转换到频域的数学工具。
在时域中，信号或图像是按时间分布的。
在频域中，信号或图像是按频率分布的。
傅里叶变换的数学原理是将一个信号或图像分解为一组正弦波或余弦波的和，每个正弦波或余弦波在频域上具有不同的振幅和频率。
这些波形或频率是通过傅里叶级数表达式计算的，表示为：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nwt) + bn*sin(nwt))其中，a0是信号或图像在时间上的平均值，an和bn是正弦波和余弦波的系数，w是角频率，t是时间。
快速傅里叶变换的数学原理快速傅里叶变换是傅里叶变换的一种高效算法，它通过计算某些特殊函数的值，使用递归技巧将信号或图像从时域变换到频域。
快速傅里叶变换的数学原理与傅里叶变换的数学原理类似，但它可以更快地进行计算。
它的核心思想是利用旋转因子，将n个点的傅里叶变换分为两个n/2个点的傅里叶变换。
这一过程可以递归地继续下去，使计算完整个傅里叶变换所需的时间为O(nlogn)，而不是O(n^2)，这是传统傅里叶变换所需的时间。
快速傅里叶变换的应用快速傅里叶变换在信号处理和图像处理等领域有着广泛的应用。
以下是一些快速傅里叶变换的应用：1. 语音和音频信号的分析和处理快速傅里叶变换可用于对语音和音频信号进行分析和处理。
它可以将声音信号从时间域转换到频域，以便更好地分析和处理音频信号。
2. 图像处理和计算机视觉快速傅里叶变换可用于对图像进行分析和处理。
它可以将图像从空间域转换到频域，以便更好地分析和处理图像。
这在计算机视觉和图像处理领域中非常有用。
3. 信号压缩快速傅里叶变换可用于数据压缩，并且在数字通信中经常使用。
通过将信号从时间域转换为频域，信号可以被压缩，以便在通信传输中更有效地使用带宽。
傅里叶变换公式总结
傅里叶变换公式总结
傅里叶变换是一种在信号处理和频谱分析中广泛应用的数学工具，用于将一个时域信号转换为频域表示。
傅里叶变换公式描述了信号在时域和频域之间的转换关系。
以下是傅里叶变换的基本公式总结：
时域信号表示：
一个连续时间域的信号函数 f(t) 可以通过傅里叶变换转换为
连续频域的信号函数 F(ω)。
傅里叶变换的时域表示公式为：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)] dt
其中，F(ω) 表示频域信号的复数函数，ω是频率变量，e 是自然对数的底，j 是虚数单位。
频域信号表示：
一个连续频域的信号函数 F(ω) 可以通过傅里叶逆变换转换回连续时间域的信号函数 f(t)。
傅里叶逆变换的频域表示公式为：f(t) = (1/2π) ∫[F(ω) * e^(jωt)] dω
其中，f(t) 表示时域信号的复数函数，t 是时间变量，e 是自然对数的底，j 是虚数单位。
这两个公式是傅里叶变换中的核心公式，它们描述了信号在时域和频域之间的双向转换关系。
通过傅里叶变换，我们可以将
信号从时域的波形表示转换为频域的频谱表示，以便对信号的频率特性和谱分布进行分析和处理。
需要注意的是，上述公式是连续傅里叶变换的表示形式，适用于连续时间和频率的信号。
对于离散时间和频率的信号，我们可以使用离散傅里叶变换（DFT）和离散傅里叶逆变换（IDFT）来进行相应的转换。
详解FFT（快速傅里叶变换）
详解FFT（快速傅⾥叶变换）前置知识：多项式，分治。
应⽤场景：多项式乘法。
温馨提⽰：本⽂证明不必掌握，仅供想要了解的⼈阅读。
〇、导⼊您⼀定算过多项式乘法吧！有的时候，这算起来⽐较⿇烦，⽐如：(x2+2x−2)(2x2−x+3)=x2(2x2−x+3)+2x(2x2−x+3)−2(2x2−x+3)= (2x4−x3+3x2)+(4x3−2x2+6x)−(4x2−2x+6)= 2x4−x3+3x2+4x3−2x2+6x−4x2+2x−6= 2x4+(−x3+4x3)+(3x2−2x2−4x2)+(6x+2x)−6= 2x4+3x3−3x2+8x−6.⽤L A T E X表⽰就更⿇烦了。
在实际应⽤上，有时⾯对的多项式甚⾄多达上万项！这个时候再⼈⼯⼿算效率过低，且容易出错。
幸好，我们已经有了计算机，能够⽤⾮常快的速度算出结果！暴⼒算法是很容易想到的：for(int i=0;i<n;++i)for(int j=0;j<m;++j)c[i+j]+=a[i]*b[j];但它的时间复杂度为Θ(n2) 级，如果遇到上万的数据还是容易被卡了。
有没有更快的⽅法呢？当然有！那就是我们现在要讲的 FFT ！⼀、知识补充1. 多项式1-1 多项式的⼀般表达我们通常⽤F(x) 来表⽰⼀个多项式，定义⼀个多项式只需⽤F(x)=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a0，如F(x)=x2+3x−5 。
可以把它理解为函数，⽐如F(2) 就是将x=2 代⼊多项式F(x) 后的值。
1-2 多项式的点值表达我们知道，在平⾯直⾓坐标系中，n+1 个不重合的点可以唯⼀确定⼀个⼀元n次多项式。
所以我们可以⽤n+1 个点值来表⽰⼀个⼀元n次多项式！那么如何通过点值表达来计算多项式乘法呢？设已知两个⼀元n次多项式F(x),G(x) 的点值表达，W(x)=F(x)×G(x) 。
很显然，多项式W(x) 在x=i时的点值为W(i)=F(i)×G(i) 。
详解FFT(快速傅里叶变换FFT
knN W N N第四章 快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长 序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换 (FFT). 1965 年，Cooley 和 Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快 速算法，将 DFT 的运算量减少了几个数量级。
从此，对快速傅里叶变换（FFT ） 算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发 展而迅速发展。
根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算 法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。
FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积 和线性相关等方面也有重要应用。
快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。
DFT 的定义式为N −1X (k ) = ∑ x (n )W NR N (k )n =0在所有复指数值 W kn 的值全部已算好的情况下，要计算一个 X (k ) 需要 N 次复数乘法和 N －1 次复数加法。
算出全部 N 点 X (k ) 共需 N 2次复数乘法和 N ( N − 1) 次复数加法。
即计算量是与 N 2成正比的。
FFT 的基本思想：将大点数的 DFT 分解为若干个小点数 DFT 的组合， 从而减少运算量。
W N 因子具有以下两个特性，可使 DFT 运算量尽量分解为小点数的 DFT运算：（1） 周期性：( k + N ) nN= W kn= W ( n + N ) k（2） 对称性：W( k + N / 2 )= −W kNN利用这两个性质，可以使 DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。
例子：求当N＝4 时，X(2)的值4 NNN3∑44444X (2) = n =0x (n )W 2 n = x (0)W 0 + x (1)W 2 + x (2)W 4 + x (3)W 6= [ x (0) + x (2)]W 0 + [ x (1) + x (3)]W 2(周期性)4＝[ x (0) + x (2)]－[ x (1) + x (3)]W 04(对称性)通过合并，使乘法次数由 4 次减少到 1 次，运算量减少。
傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结
傅⾥叶变换和拉普拉斯变换公式总结（2022-02-09修正部分错误）（2020-03-18修正部分错误）因为傅⾥叶变换之类的很常⽤，时间长了不⽤总会忘记，所以⼀次性罗列出来权当总结好了。
主要参考《信号与线性系统分析》(吴⼤正)，也有的部分参考了复变函数。
δ-函数相关运算n阶导数的尺度变换δ(n)(at)=1|a|1a nδ(n)(t)⼀阶导数和函数的乘积f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−t0)−f′(t0)δ(t−t0) n阶导数和函数的乘积f(t)δ(n)(t−t0)=n∑i=0(−1)ini f(i)(t0)δ(n−i)(t−t0)傅⾥叶级数和傅⾥叶变换傅⾥叶级数f(x)=a02+∞∑n=1a n cosnπL x+bn sinnπL x a n=1L∫L−Lf(x)cosnπL xdxb n=1L∫L−Lf(x)sinnπL xdx半幅傅⾥叶级数ϕ(x)=∞∑n=1C n sinnπxLC n=2L∫Lϕ(x)sinnπxL dx常见函数傅⾥叶变换这⾥傅⾥叶变换的定义中，因⼦12π统⼀放在逆变换前。
gτ(t)指的是关于y轴对称宽度为τ的门函数gτ(t)↔τSaωτ2其中Sa即Sinc.e−atε(t)↔1 a+iωe−a|t|↔2a a2+ω2 ()() ()e−at2↔πa e−ω24aδ(t)↔1ε(t)↔πδ(ω)+1 iωcos(ω0t)↔π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]sin(ω0t)↔iπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]t n↔2π(i)nδ(n)(ω)1t↔−iπsgn(ω)δT(t)↔ΩδΩ(ω)性质时域微分f(n)(t)↔(iω)n F(ω)时域积分∫t−∞f(τ)dτ↔πF(0)δ(ω)+F(ω) iω频域微分(−it)n f(t)↔F(n)(ω)频域积分πf(0)δ(t)+f(t)−it↔∫ω−∞F(ν)dν对称性F(t)↔2πf(−ω)尺度变换f(at)↔1|a|Fωa时移f(t±t0)↔e±iωt0F(ω)频移f(t)e±iω0t↔F(ω∓ω0)卷积的微分性质设f(t)=g(t)∗h(t)，则f′(t)=g′(t)∗h(t)=g(t)∗h′(t)卷积定理时域f(t)=g(t)∗h(t)，频域有F(ω)=G(ω)H(ω)时域f(t)=g(t)h(t)，频域有F(ω)=12πG(ω)∗H(ω)周期函数f T(t)傅⾥叶变换√()设函数f T(t)周期为T，记F n=1T∫T/2−T/2f T(t)e−iωt d t由指数形式的傅⾥叶级数，两边取傅⾥叶变换，所以周期函数的傅⾥叶变换时受到2πF n调制的梳状脉冲(T代表周期，Ω=2πT)f T(t)↔2π∞∑n=−∞F nδ(ω−nΩ)拉普拉斯变换因果信号f(t)可以显式地写为f(t)ε(t)，⼀个因果信号及其单边拉普拉斯变换是⼀⼀对应的。
傅里叶变换知识点总结
傅里叶变换知识点总结本文将从傅里叶级数、傅里叶变换和离散傅里叶变换三个方面来介绍傅里叶变换的知识点，并且着重介绍它们的原理、性质和应用。
一、傅里叶级数1. 傅里叶级数的定义傅里叶级数是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的方法。
它可以将任意周期为T的函数f(x)分解为如下形式的级数：f(x)=a0/2+Σ(an*cos(2πnfx / T) + bn*sin(2πnfx / T))其中an和bn是傅里叶系数，f为频率。
2. 傅里叶级数的性质（1）奇偶性：偶函数的傅里叶级数只包含余弦项，奇函数的傅里叶级数只包含正弦项。
（2）傅里叶系数：通过欧拉公式和傅里叶系数的计算公式可以得到an和bn。
（3）傅里叶级数的收敛性: 傅里叶级数在满足柯西收敛条件的情况下可以收敛到原函数。
二、傅里叶变换1. 傅里叶变换的定义傅里叶变换是将信号从时间域转换到频率域的一种数学工具。
对于非周期函数f(t)，它的傅里叶变换F(ω)定义如下：F(ω)=∫f(t)e^(-jwt)dt其中ω为频率，j为虚数单位。
2. 傅里叶变换的性质（1）线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有F(at+bs)=aF(t)+bF(s)。
（2）时移性质和频移性质：时域的时移对应频域的频移，频域的频移对应时域的时移。
（3）卷积定理：傅里叶变换后的两个函数的乘积等于它们的傅里叶变换之卷积。
3. 傅里叶逆变换傅里叶逆变换是将频域的信号反变换回时域的一种操作，其定义如下：f(t)=∫F(ω)e^(jwt)dω / 2π其中F(ω)为频域信号，f(t)为时域信号。
三、离散傅里叶变换1. 离散傅里叶变换的定义对于离散序列x[n]，其离散傅里叶变换X[k]的定义如下：X[k]=Σx[n]e^(-j2πnk / N)其中N为序列长度。
2. 快速傅里叶变换（FFT）FFT是一种高效计算离散傅里叶变换的算法，它能够在O(NlogN)的时间复杂度内完成计算，广泛应用于数字信号处理和通信系统中。
傅里叶变换学习心得体会
傅里叶变换学习心得体会篇一：《随机数字信号处理》学习心得体会随机数字信号处理是由多种学科知识交叉渗透形成的，在通信、雷达、语音处理、图象处理、声学、地震学、地质勘探、气象学、遥感、生物医学工程、核工程、航天工程等领域中都离不开随机数字信号处理。
随着计算机技术的进步，随机数字信号处理技术得到飞速发展。
本门课主要研究了随机数字信号处理的两个主要问题：滤波器设计和频谱分析。
在数字信号处理中，滤波技术占有极其重要的地位。
数字滤波是语音和图像处理、模式识别、频谱分析等应用中的一个基本处理算法。
但在许多应用场合，常常要处理一些无法预知的信号、噪声或时变信号，如果采用具有固定滤波系数的数字滤波器则无法实现最优滤波。
在这种情况下，必须设计自适应滤波器，以使得滤波器的动态特性随着信号和噪声的变化而变化，以达到最优的滤波效果。
自适应滤波器(adaptivefilter)是近几十年来发展起来的关于信号处理方法和技术的滤波器，其设计方法对滤波器的性能影响很大。
自适应滤波器是相对固定滤波器而言的，它是一种能够自动调整本身参数的特殊维纳滤波器。
自适应滤波算法的研究是自适应信号处理中最为活跃的研究课题之一，其中，两种最基本的线性滤波算法为：最小均方误差(lms)算法和最小二乘(rls)算法，由于lms算法具有初始收敛速度较慢、执行稳定性差等缺点，本门课着重介绍了rls算法。
rls算法的初始收敛速度比lms算法快一个数量级，执行稳定性好。
谱分析是随机数字信号处理另一重要内容，它在频域中研究信号的某些特性如幅值、能量或功率等随频率的分布。
对通常的非时限信号做频谱分析，只能通过对其截取所获得的有限长度的样本来做计算，其结果是对其真实谱的近似即谱估计。
现代谱估计算法除模型参量法之外，人们还提出了其它一些方法，如capon最大似然谱估计算法、pisarenk谐波分解法、music算法、esprit算法等利用矩阵的特征分解来实现的谱估计方法。
fft(快速傅里叶变换)
1. 一维快速傅里叶变换的原理：关于变量X 的次数界为n 多项式P(X)，其系数表示法表示为P(X) = A0 * X^0 + A1 * X^1 + ... + An-1 * X^(n-1)其点值表示法表示为n 个点值对组成的集合{ (X0,Y0), (X1,Y1), ..., (Xn-1,Yn-1) }，集合中所有Xi 各不相同且Yi = P(Xi)。
显然，点值表示不唯一。
定理：对于任意n 个点值对组成的集合{ (X0,Y0), (X1,Y1), ..., (Xn-1,Yn-1) }，存在唯一的次数界为n 的多项式P(X)，满足Yi = P(Xi)，i = 0, 1, ... n-1 。
精心挑选n 个点，可以使两种表示相互转化的算法的时间复杂度压缩为nlog(n)。
如果选择“单位复根”作为求值点，则可以通过对系数向量做离散傅里叶变换（DFT），得到相应的点值表示，也可以通过对点值执行“逆DFT”运算，而获得相应的系数向量。
n 次单位复根是满足W^n = 1 的复数W ，n 次单位复根刚好有n 个，它们是e^(2*PI*i*k / n)，k = 0, 1, ..., n-1 。
Wn = e^(2*PI*i/n) 称为主n次单位根，其它n次单位根都是它的幂。
引理：对任何整数n>=0, k>=0, d>0, Wdn^dk = Wn^k 。
推论：对任意偶数n>0, 有Wn^(n/2) = W2 = -1 。
引理：如果n>0 为偶数，n个n次单位复根的平方等于n/2 个n/2 次单位复根。
假定n 为2的幂，则次数界为n 的多项式P(X) = A0 * X^0 + A1 * X^1 + ... + An-1 * X^(n-1) ，其系数向量为A = (A0, A1, A2, ... An-1)，P(X)在n 个单位复根处的值为Yk = P(Wn^k)，向量Y = (Y0, Y1, ... , Yn-1) 是系数向量A 的离散傅里叶变换（DFT），写作Y = DFTn(A) 。
傅里叶变换matlab实验总结
傅里叶变换matlab实验总结(完整)快速傅里叶变换fft的Matlab实现实验报告尊敬的读者朋友们：一、实验目的1在理论学习的基础上，通过本实验加深对快速傅立叶变换的理解;2熟悉并掌握按时间抽取FFT算法的程序;3了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题,例如混淆、泄漏、栅栏效应等，以便在实际中正确应用FFT。
二、实验内容1仔细分析教材第六章‘时间抽取法FFT'的算法结构,编制出相应的用FFT进行信号分析的C语言（或MATLAB语言)程序；用MATLAB语言编写的FFT源程序如下：%%输入数据f、N、T及是否补零clc;clear;f=input('输入信号频率f：'）；N=input（'输入采样点数N：'）;T=input(’输入采样间隔T：');C=input（'信号是否补零（补零输入1，不补零输入0）:’); %补零则输入1，不补则输入0if(C==0)t=0:T：(N—1）＊T;=in(2＊pift）;b=0;eleb=input(’输入补零的个数：'）；while(log2（N+b），=fi(log2(N+b))）b=input(’输入错误,请重新输入补零的个数：’);endt=0：T:（N+b—1)＊T;=in（2＊pi＊f＊t）。
（t<=（N—1)＊T）；end％%fft算法的实现A=bitrevorder（）;% 将序列按二进制倒序N=N+b；M=log2(N）;% M为蝶形算法的层数W=ep(—j2pi、N）;for L=1：1：M% 第L层蝶形算法B=2^L、2;％B为每层蝶形算法进行加减运算的两个数的间隔K=N、（2^L）;％K为每层蝶形算法中独立模块的个数for k=0:1:K-1for J=0：1：B-1p=J2^（M—L）;%p是W的指数q=A（k2^L+J+1)；%用q来代替运算前面那个数A(k2^L+J+1）=q+W^p＊A（k2^L+J+B+1）;A（k＊2^L+J+B+1）=q—W^p＊A（k＊2^L+J+B+1）；endendend％%画模特性的频谱图z=ab(A）；% 取模z=z。
【知识总结】快速傅里叶变换（FFT）
【知识总结】快速傅⾥叶变换（FFT ）这可能是我第五次学FFT 了……菜哭qwq 先给出⼀些个⼈认为⾮常优秀的参考资料：快速傅⾥叶变换（FFT ）⽤于计算两个n 次多项式相乘，能把复杂度从朴素的O (n 2)优化到O (nlog 2n )。
⼀个常见的应⽤是计算⼤整数相乘。
本⽂中所有多项式默认x 为变量，其他字母均为常数。
所有⾓均为弧度制。
⼀、多项式的两种表⽰⽅法我们平时常⽤的表⽰⽅法称为“系数表⽰法”，即A (x )=n∑i =0a i x i上⾯那个式⼦也可以看作⼀个以x 为⾃变量的n 次函数。
⽤n +1个点可以确定⼀个n 次函数（⾃⾏脑补初中学习的⼆次函数）。
所以，给定n +1组x 和对应的A (x )，就可以求出原多项式。
⽤n +1个点表⽰⼀个n 次多项式的⽅式称为“点值表⽰法”。
在“点值表⽰法”中，两个多项式相乘是O (n )的。
因为对于同⼀个x ，把它代⼊A 和B 求值的结果之积就是把它带⼊多项式A ×B 求值的结果（这是多项式乘法的意义）。
所以把点值表⽰法下的两个多项式的n +1个点的值相乘即可求出两多项式之积的点值表⽰。
线性复杂度点值表⽰好哇好但是，把系数表⽰法转换成点值表⽰法需要对n +1个点求值，⽽每次求值是O (n )的，所以复杂度是O (n 2)。
把点值表⽰法转换成系数表⽰法据说也是O (n 2)的（然⽽我只会O (n 3)的⾼斯消元qwq ）。
所以暴⼒取点然后算还不如直接朴素算法相乘……但是有⼀种神奇的算法，通过取⼀些具有特殊性质的点可以把复杂度降到O (nlog 2n )。
⼆、单位根从现在开始，所有n 都默认是2的⾮负整数次幂，多项式次数为n −1。
应⽤时如果多项式次数不是2的⾮负整数次幂减1，可以加系数为0的项补齐。
先看⼀些预备知识：复数a +bi 可以看作平⾯直⾓坐标系上的点(a ,b )。
这个点到原点的距离称为模长，即√a 2+b 2；原点与(a ,b )所连的直线与实轴正半轴的夹⾓称为辐⾓，即sin −1ba 。
傅里叶变换及其快速算法
傅里叶变换及其快速算法傅里叶变换是一种重要的信号分析工具，它在多个领域中被广泛应用，包括图像处理、音频处理、通信系统等等。
本文将介绍傅里叶变换的基本原理，并详细探讨其快速算法。
一、傅里叶变换的基本原理傅里叶变换是将一个信号表示为频域的复振幅和相位的分析工具。
它能够将一个连续时间域信号转换为连续频域信号，通过分析信号的频谱信息来揭示信号的特征和特性。
傅里叶变换的表达式如下：\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt \]其中，\(F(\omega)\)表示信号的频谱，\(f(t)\)表示信号在时域的函数。
二、离散傅里叶变换在数字信号处理中，我们通常处理离散时间域的信号。
离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换在离散时间域上的推广。
DFT的表达式如下：\[ F[k] = \sum_{n=0}^{N-1} f[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \]其中，\(F[k]\)表示信号的频谱，\(f[n]\)表示信号在时域的离散序列，\(N\)表示序列的长度，\(k\)表示频率的序号。
三、快速傅里叶变换DFT的计算复杂度为\(O(N^2)\)，当信号长度较大时，计算量将非常巨大。
为了解决这个问题，提出了快速傅里叶变换（FFT）算法，能够将计算复杂度降低到\(O(N\log N)\)。
FFT算法基于分治法，将信号分解为较小的子问题，然后进行逐层合并。
其基本思想是通过迭代和递归的方式将DFT计算变为多个较小规模的DFT计算。
常用的FFT算法有蝶形算法（Butterfly Algorithm）和Cooley-Tukey 算法。
蝶形算法是一种基于时域采样点的折叠和重叠计算的方法；Cooley-Tukey算法则是一种使用递归分治的迭代算法。
FFT算法的快速计算使其得到了广泛的应用，特别是在实时系统和大规模数据处理中。
四、应用领域傅里叶变换及其快速算法在各个领域都有着广泛的应用。
快速傅里叶变换实验报告
快速傅里叶变换实验报告机械34班 攀 2013010558一、 基本信号（函数）的FFT 变换1. 000()sin()sin 2cos36x t t t t πωωω=+++ 1) 采样频率08s f f =，截断长度N=16；取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =8Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N∆==0.5Hz 。
最高频率c f =30f =3Hz ，s f >2c f ，故满足采样定理，不会发生混叠现象。
截断长度02T T =，整周期截取，不会发生栅栏效应。
理论上有一定的泄漏，但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。
频谱图如下：幅值误差0A ∆=，相位误差0ϕ∆=。
2) 采样频率08s f f =，截断长度N=32；取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =8Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N∆==0.25Hz 。
最高频率c f =30f =3Hz ，s f >2c f ，故满足采样定理，不会发生混叠现象。
截断长度04T T =，整周期截取，不会发生栅栏效应。
理论上有一定的泄漏，但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。
频谱图如下：幅值误差0A ∆=，相位误差0ϕ∆=。
2. 00()sin()sin116x t t t πωω=++ 1) 采样频率08s f f =，截断长度N=16；取02ωπ=rad/s ，则0f =1Hz ，s f =8Hz ，频率分辨率f ∆=s f f N∆==0.5Hz 。
最高频率c f =110f =11Hz ，s f <2c f ，故不满足采样定理，会发生混叠现象。
截断长度02T T =，整周期截取，不会发生栅栏效应。
理论上有一定的泄漏，但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。
频谱图：由上图可以看出，并未体现出110f 的成分，说明波形出现混叠失真。
4-快速傅里叶变换解析
k 0,1,, N 1 2
X
k
N 2
X1 (k )
WNk
X 2 (k)
k 0,1,
, N 1 2
x1(0 )＝x(0 ) x1(1 )＝x(2 )
X1(0 )
X1(1 ) N点
X(0 ) X(1 )
x(2r x(2r
) x1(r) 1) x2
从上面的统计可以看到，直接计算DFT，乘法次数和加法 次数都是和N2成正比的，当N很大时，运算量是很可观的，有 时是无法忍受的。
6
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
例3-1 根据式（3-1），对一幅N×N点的二维图像进行DFT 变换，如用每秒可做10万次复数乘法的计算机，当N=1024时， 问需要多少时间（不考虑加法运算时间）？
X1(k) WNk X 2 (k) ,
k 0,1,, N 1 2
13
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
X (k) X1(k) WNk X 2 (k) , k 0,1,
, N 1 2
（4-11）
X
k
N 2
X1
k
N 2
W
k
N 2
22
(2)两个N/2点的DFT运算量:复乘次数: N 2
2
复加次数: N ( N 1)
2
(3)N/2个蝶形运算的运算量:复乘次数: N
复加次数:
2 2
N
N
2
总共运算量:
复乘: 复加:
N2 N
N ( N 1)/ 2 N 2
数字信号处理快速傅里叶变换知识总结
数字信号处理快速傅里叶变换知识总结数字信号处理中的快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。
以下是关于快速傅里叶变换的一些重要知识点总结：1.基本概念：o傅里叶变换：将时域信号转换为频域信号，或反之。
o离散傅里叶变换（DFT）：对有限长度的离散时间信号进行傅里叶变换。
2.快速傅里叶变换（FFT）：o是一种算法，用于高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。
o基于“分治”策略，将大问题分解为小问题，从而显著降低了计算复杂性。
3.FFT的种类：o按长度分类：长度为2的幂的FFT（如N=2^n，n为整数）和任意长度的FFT。
o按算法结构分类：基于蝶形运算的基本FFT算法，以及各种改进和优化版本（如Cooley-Tukey、Radix-2、Radix-4等）。
4.FFT的数学表达式：对于长度为N的输入信号x[n]，其DFT可以表示为X[k] =∑_{n=0}^{N-1} x[n] * W_N^kn，其中W_N = e^(-j2π/N)。
快速傅里叶变换则是基于这个公式的高效计算方法。
5.FFT的应用：o频谱分析：通过FFT，可以快速得到信号的频域表示，从而分析信号的频率成分。
o通信系统：用于信号调制、解调和多路复用等。
o图像处理：在图像处理中，FFT常用于频域滤波和图像压缩。
6.FFT的优点和局限性：o优点：计算速度快，适合于实时处理和大数据量处理。
o局限性：对于非2的幂的长度信号，FFT的效率会降低。
此外，FFT无法处理无限或无限长的信号。
7.FFT的Python实现：Python中常用的库如numpy和scipy都提供了FFT的实现。
例如，numpy的fft模块提供了fft函数用于计算一维离散傅里叶变换，scipy.fftpack模块也提供了类似的功能。
8.其他扩展：针对特定应用和需求，还有许多FFT的变种和改进算法，例如线性调频Z变换（CZT）、混合基数FFT、对称性FFT等。
快速傅里叶变换（FFT）详解
⽂中内容均为个⼈理解，如有错误请指出，不胜感激前⾔先解释⼏个⽐较容易混淆的缩写吧FMT 快速莫⽐乌斯变化—>感谢stump提供多项式复数在介绍复数之前，⾸先介绍⼀些可能会⽤到的东西(好像画的不是很标准。
)设$a,b$为实数，$i^2=-1$，形如$a+bi$的数叫复数，其中$i$被称为虚数单位，复数域是⽬前已知最⼤的域在复平⾯中，$x$代表实数，$y$轴（除原点外的点）代表虚数，从原点$(0,0)$到$(a,b)$的向量表⽰复数$a+bi$模长：从原点$(0,0)$到点$(a,b)$的距离，即$\sqrt{a^2+b^2}$幅⾓：假设以逆时针为正⽅向，从$x$轴正半轴到已知向量的转⾓的有向⾓叫做幅⾓运算法则加法：因为在复平⾯中，复数可以被表⽰为向量，因此复数的加法与向量的加法相同，都满⾜平⾏四边形定则（就是上⾯那个）乘法：⼏何定义：复数相乘，模长相乘，幅⾓相加代数定义：$$(a+bi)*(c+di)$$$$=ac+adi+bci+bdi^2$$$$=ac+adi+bci-bd$$$$=(ac-bd)+(bc+ad)i$$单位根下⽂中，默认$n$为$2$的正整数次幂在复平⾯上，以原点为圆⼼，$1$为半径作圆，所得的圆叫单位圆。
以圆点为起点，圆的$n$等分点为终点，做$n$个向量，设幅⾓为正且最⼩的向量对应的复数为$\omega_n$，称为$n$次单位根。
根据复数乘法的运算法则，其余$n-1$个复数为$\omega_n^2,\omega_n^3,\ldots,\omega_n^n$注意$\omega_n^0=\omega_n^n=1$（对应复平⾯上以$x$轴为正⽅向的向量）那么如何计算它们的值呢？这个问题可以由欧拉公式解决$$\omega_{n}^{k}=\cos\ k *\frac{2\pi}{n}+i\sin k*\frac{2\pi}{n}$$例如图中向量$AB$表⽰的复数为$8$次单位根单位根的幅⾓为周⾓的$\frac{1}{n}$在代数中，若$z^n=1$，我们把$z$称为$n$次单位根单位根的性质$\omega _{n}^{k}=\cos k\dfrac{2\pi}{n}+i\sin k\dfrac {2\pi }{n}$（即上⾯的公式）$\omega _{2n}^{2k}=\omega _{n}^{k}$证明：$$\omega _{2n}^{2k}=\cos 2k*\frac{2\pi}{2n}+i\sin2k*\frac{2\pi}{2n}$$$$=\omega _{n}^{k}$$$\omega _{n}^{k+\frac{n}{2}}=-\omega _{n}^{k}$$$\omega _{n}^{\frac{n}{2}}=\cos\frac{n}{2}*\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{n}{2}*\frac{2\pi}{n}$$$$=\cos \pi+i\sin\pi$$$$=-1$$$\omega _{n}^{0}=\omega _{n}^{n}=1$讲了这么多，貌似跟我们的正题没啥关系啊。
傅里叶变换学习心得体会
傅里叶变换学习心得体会篇一：数字信号心得体会数字信号分析心得体会数字信号分析技术正飞速发展，它不但自成一门学科，更是以不同形式影响和渗透到其他学科，因此受到人们的普遍关注, 在通信、雷达、语音分析、图象分析、声学、地震学、地质勘探、气象学、生物医学工程、核工程、航天工程等领域中都离不开随机数字信号分析。
对于我们本专业遥感来说，更是离不开数字信号的传输、分析、存储、显示和利用，可以说，数字信号就是遥感信息的载体。
数字信号的主要任务是研究数字信号分析理论的基本概念和基本分析方法，通过建立数学模型和适当的数学处理分析，来展示这些理论和方法的实际应用。
本学期在黄鹰老师的带领下，我们首先学习了离散时间信号与系统，掌握了序列及其相关运算和线性移不变系统，并了解了常系数线性差分方程，为以后数字信号分析的学习打下了良好的基础。
第二章学习了z变换与离散时间傅里叶变换。
Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。
因此，对求解离散时间系统而言，z变换是一个极重要的数学工具。
在本章中深刻理解了z变换的定义与z 反变换及z变换的基本性质和定理，理清了序列的z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系，并对序列傅里叶变换、周期性傅里叶变换的定义及其基本性质有了深刻认识，在本章的最后学习了离散系统的系统函数及系统的频率响应。
第三章的内容是离散傅里叶变换。
离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法即快速傅里叶变换也就是我们第四章要学习的部分，因而离散傅里叶变换在各种数字信号分析的算法中起着核心作用。
在这一章中，我们首先了解了傅里叶变换的几种可能形式，即连续时间连续频率的傅里叶变换，连续时间离散频率的傅里叶级数，离散时间连续频率的序列的傅里叶变换，离散时间离散频率的离散傅里叶变换，并主要掌握了离散傅里叶级数及其相关性质和离散傅里叶变换及其相关性质，最后了解了抽样z变换------频域抽样理论。
快速傅里叶变换原理介绍
快速傅里叶变换原理介绍快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种用于对信号进行频谱分析的算法，它可以将一个信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦函数的和。
FFT算法的核心思想是将一个复杂度为O(N^2)的傅里叶变换问题转化为一个复杂度为O(NlogN)的问题，从而大大提高了计算效率。
本文将详细介绍快速傅里叶变换的原理。
傅里叶变换可以将一个信号在时域中表示的波形转换为在频域中表示的频谱信息。
傅里叶变换公式如下：F(k) = ∑[0, N-1] f(n) * e^(-1j2πkn/N)其中，F(k)表示频域中的频率分量，f(n)表示时域中的波形样本点，N表示样本点数，e^(-1j2πkn/N)为旋转因子。
传统的傅里叶变换算法需要进行N次复杂度为O(N)的运算，即总的时间复杂度为O(N^2)。
而快速傅里叶变换算法通过巧妙地进行分治和递归，将计算复杂度降低到O(NlogN)。
FFT算法的基本思想是将傅里叶变换问题分解为两个规模更小的子问题，并将这些子问题相互继承计算结果。
具体步骤如下：1.将N个样本点分成偶数和奇数两组。
2.对于奇数组的N/2个样本点，进行递归地进行FFT计算，得到N/2个频域分量。
3.将偶数组的N/2个样本点也进行递归地进行FFT计算，得到N/2个频域分量。
4.将得到的奇数组的频域分量和偶数组的频域分量两两相加，得到N个频域分量。
5.根据旋转因子的周期性和对称性，将N个频域分量通过一次合并操作得到最终的FFT结果。
通过以上步骤，FFT算法将一个规模为N的傅里叶变换问题拆分成两个规模为N/2的子问题，并通过合并操作将子问题的计算结果综合为整体的计算结果。
这种分治和递归的思想大大简化了傅里叶变换的计算过程，提高了计算效率。
快速傅里叶变换算法还有一些优化技巧，例如位逆序重排、蝶形运算等，用于进一步提高计算速度和减少计算量。
位逆序重排可以有效减少频域分量的重复计算和数据访问次数，蝶形运算可以并行计算频域分量，减少运算次数。
傅里叶变换超详细总结
b
∫ A(x)B(x)dx = 0
a
对于单位向量 A , 若 A · A= A2= 1 , 则称此向量为规范化向量 .扩充这个概念,若
b
b
∫ [ A( x) ⋅ A( x)]d x = ∫ [A( x)]2d x = 1
a
a
我们就说 A(x) 在区间 (a , b) 是规范化的(或归一化的).综上所述,考虑一个函数集合
a
⎨⎩ 1
,m = n
三角函数系也有类似的性质.这个函数系中的每一个函数的周期是 2π ,记为T = 2π .并有下
面的关系式:
ω
ω
∫T
2
cos mωt cos nωt d
t
=
⎧0 ⎪ ⎨T
−T 2
⎪⎩ 2
, ,
m≠n m=n
∫T
2
sin mωt sin nωt
d
t
=
⎧0 ⎪ ⎨T
T −
2
⎪⎩ 2
叶系数
T
∫ an
=
2 T
2 −T
f
(t) cos
nω
td
t
=
0
2
(n = 0,1,2,⋯)
T
T
∫ ∫ bn
=
2 T
2 −T
2
f
(t) sin nω td t
=4 T
2 0
f
(t) sin nω td t
∞
(n = 1,2⋯)
∑ 因而奇函数f(t)的傅立叶级数是正弦级数:
bn sin nω t
n=1
同样,设f(t) 是偶函数,那么 f (t) cos nω t 是偶函数, f (t) sin nω t 是奇函数, 于是函数
快速傅里叶变换学习笔记
快速傅⾥叶变换学习笔记⼀.单位根满⾜x n −1=0的x 称为n 次单位根1.本原单位根若 ω是n 次单位根,且ω0,ω1,ω2,...,ωn −1恰好是所有的n 次单位根，则称ω为n 次本原单位根,记作ωn2.单位根的计算在复数域C 上，e ix =cosx +isinx （欧拉公式，证明的话左边将 exp (ix) 展开成 EGF 的形式，右边同理即证）重要的性质:n 次单位根在复平⾯上等分单位圆由"重要的性质"可以得到,ωn =exp(2πi n )=cos 2πn +isin 2πn以此我们可以表⽰出所有的n 次单位根，即:ωk n =cos2πk n +isin 2πkn ⼆.离散傅⾥叶变换DFT前置芝⼠1:多项式的点值表达对于⼀个多项式f (x )，我们代⼊每个x i ,会得到对应的f (x i ),这些(x i ,f (x i ))构成了这个多项式的点值表达，且唯⼀确定了这个多项式前置芝⼠2：多项式相乘两个多项式的乘积被定义为:A (x )B (x )=n ∑i =1n ∑j =1a i b j x i +j =2n ∑i =1c k x k 其中c 是a 和b 的卷积,计算两个多项式相乘的朴素算法是O (n 2)的如果将两个多项式先转换为点值表达,再逐项相乘，时间复杂度只有O (n )即 (x ,A (x ))∗(x ,B (x ))=(x ,A (x )∗B (x )）那么，复杂度优化的瓶颈在于将多项式转化为点值表达（以及转回去），FFT 解决的正是这个问题1.未经优化的DFT设a 是长度为n 的数列，对于0≤k <n ,定义b k =n −1∑i =0(a i ωki )其中b 即为a 的DFT这是，我们令多项式f (x )=∑a i x i ,则b k 就是f (x )在ωk 处的点值当我们计算完两个多项式乘积的点值,如何将其转回多项式?2.DFT 的逆变换IDFTa k =1n n −1∑i =0b i ω−ki这个柿⼦与DFT 的相似度极⾼的特性使得我们不需要重新写⼀个函数来处理IDFT ，只需要提前预处理单位根的倒数（即共轭复数），利⽤FFT 转化，最后全部除以 n 即可四.快速傅⾥叶变换FFT前置芝⼠:单位根的性质(1)ω2k 2n =ωk n(2)ωn +k 2n =−ωk 2n1.FFT啥是FFT ？就是利⽤DFT 的奇偶性质快速计算DFT 的⼀个分治算法设n =2m ,将A (x )按次数奇偶分类，有:A (x )=n −1∑i =0a i x i=m −1∑i =0a 2i x 2i +m −1∑i =0a 2i +1x 2i +1=m −1∑i =0a 2i x 2i +x m −1∑i =0a 2i +1x 2i我们令A 0(x )=m −1∑i =0a 2i x i ,A 1(x )=m −1∑i =0a 2i +1x i则A (x )=A 0(x 2)+xA 1(x 2)通过上式我们可以得出，如果我们得到了A 0(x )A 1(X )在ω0m ,ω1m ,ω2m ,...,ωn −1m 处的点值，则可在O (n )内得到A (x )在ω0m ,ω1m ,ω2m ,...,ωn −1m 处的点值⽽A 0(x ),A 1(x )是可以分治计算的,递归深度不会超过log n综上，我们可以在O (n log n )内完成对A (x )的点值求值五.⼀些优化1.位逆序置换fr(i,0,limit-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));2.蝴蝶操作因为double 的乘法⽐较慢，我们在代码中有这样⼀段：Complex x=arr[j+k];arr[j+k]=x+w*arr[j+mid+k],arr[j+mid+k]=x-w*arr[j+mid+k];我们发现w*arr[j+mid+k]这东西被算了两次，所以应该这么写Complex x=arr[j+k],y=w*arr[j+mid+k];arr[j+k]=x+y,arr[j+mid+k]=x-y;然后就优化完了/cy 所以这难道不是常数优化？六.代码实现#include<bits/stdc++.h>using namespace std;namespace my_std{typedef long long ll;typedef double db;#define pf printf#define pc putchar#define fr(i,x,y) for(register int i=(x);i<=(y);++i)#define pfr(i,x,y) for(register int i=(x);i>=(y);--i)#define go(u) for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)#define enter pc('\n')#define space pc(' ')#define fir first#define sec second#define MP make_pairconst int inf=0x3f3f3f3f;const ll inff=1e15;inline int read(){int sum=0,f=1;char ch=0;while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){sum=sum*10+(ch^48);ch=getchar();}return sum*f;}inline void write(int x){if(x<0){x=-x;pc('-');}if(x>9) write(x/10);pc(x%10+'0');}inline void writeln(int x){write(x);enter;}inline void writesp(int x){write(x);space;}}using namespace my_std;const int maxn=1e7+50;struct Complex{double x,y;Complex(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}}a[maxn],b[maxn];double PI=acos(-1.0);Complex operator + (Complex a,Complex b){return Complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}Complex operator - (Complex a,Complex b){return Complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}Complex operator * (Complex a,Complex b){return Complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);} int N,M,limit=1,l,r[maxn];inline void fft(Complex *arr,int pd){fr(i,0,limit-1) if(i<r[i]) swap(arr[i],arr[r[i]]);for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){Complex Wn(cos(PI/mid),pd*sin(PI/mid));for(int j=0,R=mid<<1;j<limit;j+=R){Complex w(1,0);for(int k=0;k<mid;++k,w=w*Wn){Complex x=arr[j+k],y=w*arr[j+mid+k];arr[j+k]=x+y,arr[j+mid+k]=x-y;}}}}int main(void){N=read(),M=read();fr(i,0,N) a[i].x=read();fr(i,0,M) b[i].x=read();//system("pause");while(limit<=M+N) limit<<=1,++l;fr(i,0,limit-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));fft(a,1),fft(b,1);fr(i,0,limit) a[i]=a[i]*b[i];fft(a,-1);fr(i,0,M+N) writesp((int)(a[i].x/limit+0.5));return 0;}快速数论变换NTT#include<bits/stdc++.h>using namespace std;namespace my_std{typedef long long ll;typedef double db;#define pf printf#define pc putchar#define fr(i,x,y) for(register ll i=(x);i<=(y);++i) #define pfr(i,x,y) for(register ll i=(x);i>=(y);--i)#define go(u) for(ll i=head[u];i;i=e[i].nxt)#define enter pc('\n')#define space pc(' ')#define fir first#define sec second#define MP make_pairconst ll inf=0x3f3f3f3f;const ll inff=1e15;inline ll read(){ll sum=0,f=1;char ch=0;while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){sum=sum*10+(ch^48);ch=getchar();}return sum*f;}inline void write(ll x){if(x<0){x=-x;pc('-');}if(x>9) write(x/10);pc(x%10+'0');}inline void writeln(ll x){write(x);enter;}inline void writesp(ll x){write(x);space;}}using namespace my_std;const ll maxn=1e7+50,G=3,mod=998244353;ll N,M,limit=1,a[maxn],b[maxn],l,r[maxn]; inline ll ksmod(ll a,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=(ans*a)%mod;a=(a*a)%mod;b>>=1;}return ans%mod;}inline void NTT(ll *a,ll pd){fr(i,0,limit-1) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);for(ll i=1;i<limit;i<<=1){ll gn=ksmod(G,(mod-1)/(i<<1));for(ll j=0;j<limit;j+=(i<<1)){ll g=1;for(ll k=0;k<i;++k,g=(g*gn)%mod){ll x=a[j+k],y=g*a[j+k+i]%mod;a[j+k]=(x+y)%mod,a[j+k+i]=(x-y+mod)%mod; }}}if(pd==1) return ;ll inv=ksmod(limit,mod-2);reverse(a+1,a+limit);fr(i,0,limit-1) a[i]=a[i]*inv%mod;}int main(void){N=read(),M=read();fr(i,0,N) a[i]=read();fr(i,0,M) b[i]=read();while(limit<=M+N) limit<<=1,++l;fr(i,0,limit-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));NTT(a,1),NTT(b,1);fr(i,0,limit-1) a[i]=(a[i]*b[i])%mod;NTT(a,-1);fr(i,0,M+N) writesp(a[i]%mod);return 0;}#include<bits/stdc++.h>using namespace std;namespace my_std{typedef long long ll;typedef double db;#define pf printf#define pc putchar#define fr(i,x,y) for(register int i=(x);i<=(y);++i)#define pfr(i,x,y) for(register int i=(x);i>=(y);--i)#define go(u) for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)#define enter pc('\n')#define space pc(' ')#define fir first#define sec second#define MP make_pairconst int inf=0x3f3f3f3f;const ll inff=1e15;inline int read(){int sum=0,f=1;char ch=0;while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){sum=sum*10+(ch^48);ch=getchar();}return sum*f;}inline void write(int x){if(x<0){x=-x;pc('-');}if(x>9) write(x/10);pc(x%10+'0');}inline void writeln(int x){write(x);enter;}inline void writesp(int x){write(x);space;}}using namespace my_std;const int maxn=2e6+50;struct Complex{double x,y;Complex(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}}a[maxn],b[maxn];double PI=acos(-1.0);Complex operator + (Complex a,Complex b){return Complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}Complex operator - (Complex a,Complex b){return Complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}Complex operator * (Complex a,Complex b){return Complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);} int N,M,limit=1,l,r[maxn],ans[maxn];char sa[maxn],sb[maxn];inline void fft(Complex *arr,int pd){fr(i,0,limit-1) if(i<r[i]) swap(arr[i],arr[r[i]]);for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){Complex Wn(cos(PI/mid),pd*sin(PI/mid));for(int j=0,R=mid<<1;j<limit;j+=R){Complex w(1,0);for(int k=0;k<mid;++k,w=w*Wn){Complex x=arr[j+k],y=w*arr[j+mid+k];arr[j+k]=x+y,arr[j+mid+k]=x-y;}}}}int main(void){scanf("%s%s",sa,sb);int lena=0,lenb=0,hhh=strlen(sa),hhhh=strlen(sb);pfr(i,hhh-1,0) a[lena++].x=sa[i]-48;pfr(i,hhhh-1,0) b[lenb++].x=sb[i]-48;while(limit<lena+lenb) limit<<=1,++l;fr(i,0,limit-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));fft(a,1),fft(b,1);fr(i,0,limit) a[i]=a[i]*b[i];fft(a,-1);int tot=0;fr(i,0,limit){ans[i]+=(int)(a[i].x/limit+0.5);if(ans[i]>=10) ans[i+1]+=ans[i]/10,ans[i]%=10,limit+=(i==limit);}while(!ans[limit]&&limit>=1) --limit;++limit;while(--limit>=0) write(ans[limit]);return 0;}完结撒花Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js。
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（这儿的次数有点不正常别理它） 。
然后两个多项式 f ( x ) 与 g ( x ) 的乘积显然还是一个多项式。我们管这个乘积叫多项式
f ( x ) 与 g ( x) 的卷积。（其实真正的卷积是定义在连续函数上的积分……）
怎么算？整式乘法…… 即 h( x ) f ( x ) g ( x ) a0b0 ( a0b1 a1b0 ) x
f 2 ( x) a1 a3 x 2 a5 ( x 2 ) 2 an 1 ( x 2 ) n / 21
显然有 f ( x ) f1 ( x ) x f 2 ( x ) 看到那个闪亮亮的 x2 没有？换成其它的 n 个 x 求值，x2 依然有 n 个；然而在 n 次单位 根上求值时，x2 仅仅只有 n/2 个！ 所以 f1 ( x ) 和 f 2 ( x ) 总计也只要对 n 个点求值（其它 x 的话总计要对 2n 个点求值） 然后如果你的 n 是 2 的幂，一路分治下去，就达到了 O(nlogn)的时间复杂度了…… 如果你的 n 不是 2 的幂怎么办？很简单，多项式前面的系数补 0 嘛…… 代码最后给…… 6、IDFT(Inverse Discrete Fourier Transform) 离散傅里叶逆变换 DFT 是用来求值的，那么既然是逆变换，这货就是用来插值的。 【以下涉及到线性代数的内容高能如有不适请直接看结论】 把 DFT 写成矩阵形式：
2 2 i sin k n n
通俗说来，就是单位圆以(1,0)为一个顶点的内接正 n 边形的 n 个顶点的坐标。 然后计算就好了……
k 不过还是甩个公式： DFT ( k ) y k f ( n )
a (
i 0 i
n 1
k i n
[1]
① /zxn0803/article/details/51361111
②/iamzky/article/details/22712347
k n 次单位根是什么？就是这样的 n 个复数： n e 2ki / n cos k
1 1 1 1 n 1 2 n n 1 1 n
1
1 2 2 n
a0 y0 a1 y1 a y 2 2 n 1 n 1 n an 1 yn 1
k 2 k n / 2 2 2 k ) n / 2 （三角函数验证即可……） n 1
然后观察多项式： f ( x ) a0 a1 x a2 x an x
把它拆成这样子： f1 ( x ) a0 a2 x 2 a4 ( x 2 ) 2 an 2 ( x 2 ) n / 2 1
1 n 1 n 1 n 1 n
1
然后观察左边那个矩阵是范德蒙德矩阵(Vn)，这货的逆矩阵是前人帮我们求好了的，因 此我们直接用就可以了。 （顺便说一下：这货的行列式的值也是前人求好的，由此可以暴推
拉格朗日插值法……） 于是我们利用范德蒙德逆矩阵厚颜无耻十分轻松地推导出了 IDFT 的公式：
k k
a b
i 0
i k i
xk
把那个系数提取出来 ck 要算的东西……）
a b
i 0
i k i
，这就是两个数列的卷积了（也就是实际比赛里面
朴素计算方法：直接代上面那个式子，时间复杂度 O(n2) 3、多项式的点值表达、求值与插值 一个 n 次的多项式除了能用那一坨系数 ( a0 , a1 , , an 1 ) 表达，还能用 n 个互不重合的 点 ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), , ( xn 1 , y n 1 ) 来表达（因为一共就 n 个常数）。 然后点值表达的好处是什么？就是点值表达计算卷积非常快…… 也就是把 x 相同的点的函数值直接相乘就好了，时间复杂度 O(n) 从系数表达变换为点值表达的过程叫求值。 怎么做？直接代入 n 个点计算，然后每一次计算长这样： f ( x ) a0 x ( a1 x ( a2 或者直接循环里面算一次把 x 乘一下也行，反正单个点计算时间 O(n)，总时间 O(n2) 从点值表达变换为系数表达的过程叫插值。 怎么做？待定系数rier Transform) 离散傅里叶变换 O(n2) 我刚刚好像没说我的多项式的 x 必须是实数吧！ 所谓这个看上去很高大上的 DFT，其实就是对一个多项式在 n 次单位根上求值。
[2]
这不是偶然而是必然，事实上 DFT 和 IDFT 是复平面上两个函数域的变换规则，如镜像一样对称。
10、非递归代码模板 没写……利用二进制）……
)
5、FFT 快速傅里叶变换 O(nlogn) 这是正文！这是正文！这是正文！重要的事情说三遍！ FFT 是一种能在 O(nlogn)时间内计算 DFT 的神奇的算法。 它的神奇之处在于利用了 n 次单位根的一些玄学性质，然后利用分治大大加速计算。 首先假设 n 为偶数，则有 ( n ) ( n
IDFT(k ) ak
1 n 1 yi nk n i 0
n 1 i 0
i
等等，似乎有什么不对的地方——
k i DFT (k ) yk ai ( n )
这俩式子为什么长那么像[2]？【邪恶】那岂不是我们直接把 FFT 的参数改一下套上去就 能完成 O(nlogn)时间的插值了？ 于是—— 7、回到卷积 我们发现可以这样来算卷积： f g IDFT( DFT( f ) DFT( g )) 也就是先求值把两多项式变成点值表达，卷积之后再插值成新多项式。 利用 FFT 优化，总时间 O(nlogn)+O(n)+O(nlogn)=O(nlogn)！ 于是我们有了卷积的快速算法——FFT！ 代码 Pascal 大约 25 行……C++只要 14 行…… 拓展： 有没有时间复杂度相同， 但常数上更快的算法呢？ FFT 涉及到浮点运算常数略大， 答案：NTT（快速数论变换），非常 BT 的东西然而我不会写…… 8、应用 CodeVS 3123 Super A*B Problem（模板题） 给出 A、B，求 A*B。其中 A,B 不超过 10W 位。 分析：高精度数字就是 x=10 的多项式……或者直接看成卷积也可以…… 代码：@Voiphon 即得（其实下面那个就是核心） 9、递归代码模板（与归并排序相似）【我认为你们分得清 L 和 1 的】
快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)学习总结 Voiphon 1、引言 这玩意儿很久以前就在算导上看过，然而当时并没有看懂。这两天想起来去网上翻，然 而网上并没有比较简单的适合我这等蒟蒻看的资料（全 TM 是数字信号分析，……好吧其实 还是有两个 OIer 写的不错的[1]）。于是我就打算整理一下，不然过几天又要忘掉了…… 2、卷积（多项式乘法） 定义一个 n 次多项式 f ( x ) a0 a1 x an 1 x