习题二
计算机word考试习题2(附答案)
计算机考试word习题二(附答案)一、判断题(每小题2分,共16分,用A表示正确,B表示错误,下同)1.Word的"页面设置"中能够设置页边距、纸张类型。
(A)2.Word打印预览时,只能预览一页,不能多页同时预览。
(B) 3.在Word中可设置自动保存编辑文档时间。
(A)4.在Word中,能够利用公式计算表格中的数据。
(A)5.可用快捷键来执行打印预览。
(A)6.Word的工具栏中的按钮不可改变。
(B)7.Word中可以把文字转换成表格,但不能把表格转换成文字。
(B)8.在Word保存新文件时默认路径是MyDocuments。
(A)二、选择填空题(每小题2分,共16分)9.在工具栏中(按钮的功能是__A____。
(A)撤销上次操作(B)加粗(C)设置下划线(D)改变所选择内容的字体颜色10.在WORD的编辑状态,按先后顺序依次打开了d1.doC、d2.doC、d3.doC、d4.doc四个文档,当前的活动窗口是___D___。
(A)d1.doc的窗口(B)d2.doc的窗口(C)d3.doc的窗口(D)d4.doc的窗口11.对所编辑文档进行全部选中的快捷键是___A___。
(A)Ctrl+A(B)Ctrl+V(C)Alt+A(D)Ctrl+C12.在下列说法中,正确的是_____D______。
(A)在word编辑中不能变更文档显示的比例(B)用户只能用鼠标对Word进行操作(C)Word没有英文拼写错误的检查功能(D)Word中的表格可以平均分布行和列13.对"文本框"描述正确的是____C_______。
(A)文本框的文字排列不分横竖(B)文本框的大小不能改变(C)文本框的边框可以根据需要进行设置(D)文本框内的文字大小不能改变14.在Word主窗口的右上角、可以同时显示的按钮是____C_______。
(A)最小化、还原和最大化(B)还原、最大化和关闭(C)最小化、还原和关闭(D)还原和最大化15.在"格式"菜单下的"分栏"中,下列说法正确的是_______A____。
习题二解答
第2章 逻辑门电路2.1解题指导[例2-1] 试用74LS 系列逻辑门,驱动一只V D =1.5V ,I D =6mA 的发光二极管。
解:74LS 系列与之对应的是T4000系列。
与非门74LS00的I OL为4mA ,不能驱动I D =6mA 的发光二极管。
集电极开路与非门74LS01的I OL 为6mA ,故可选用74LS01来驱动发光二极管,其电路如图所示。
限流电阻R 为Ω=--=--=k V V V R OL D CC 5.065.05.156[例2-2] 试分析图2-2所示电路的逻辑功能。
解:由模拟开关的功能知:当A =1时,开关接通。
传输门导通时,其导通电阻小于1k Ω,1k Ω与200k Ω电阻分压,输出电平近似为0V 。
而A =0时,开关断开,呈高阻态。
109Ω以上的电阻与200k Ω电阻分压,输出电平近似为V DD 。
故电路实现了非逻辑功能。
[例2-3] 试写出由TTL 门构成的逻辑图如图2-3所示的输出F 。
&≥1F≥1A B图2-3 例2-3门电路A BF图2-4 例2-4门电路解:由TTL 门输入端悬空逻辑上认为是1可写出 [例2-4] 试分别写出由TTL 门和CMOS 门构成的如图2-4所示逻辑图的表达式或逻辑值。
解:由TTL 门组成上面逻辑门由于10k Ω大于开门电阻R ON ,所以,无论 A 、B 为何值由CMOS 门组成上面逻辑门由于CMOS 无开门电阻和关门电阻之说,所以,2.2 习题解答2-1 一个电路如图2-5所示,其三极管为硅管,β=20,试求:ν1小于何值时,三极管T 截止,ν1大于何值时,三极管T 饱和。
解:设v BE =0V 时,三极管T 截止。
T 截止时,I B =0。
此时 10)10(020--=-I v v I =2VT 临界饱和时,v CE =0.7V 。
此时mA I BS 0465.010207.010=⨯-= mA v I I I BS B 0465.010)10(7.027.0=----==v I=4.2Vv I v O BB 图2-5三极管电路A BF 图2-1例2-1 OC 门驱动发光二极管FA 图2-2 例2-2 模拟开关ΩV V 020011DD F ≈+=DD DD 44DD599F 210101021010V V V V ≈+≈⨯+=AB A F =++⋅=110≡F AB F =上述计算说明v I <2V 时,T 截止;v I >4.2V 时,T 饱和。
习题二(数据类型)
习题二一、选择题1.下列几个选项中,属于C语言的基本数据类型的是()。
A.整型、实型、结构体类型B.整型、实型、字符型C.整型、逻辑型、实型D.整型、字符型、数组类型2.C语言规定,标识符的命名只能由字母、数字和下划线三种字符组成,且第一个字符()。
A.必须是字母B.必须是下划线C.必须是字母或下划线D.必须是数字3.下列标识符中,合法的标识符为()。
A.6adcB._max1C.a*$bnD.123bc4.下列标识符中,不合法的标识符为()。
A. intB. _n5C. i_5abD. q5n5. 下列不合法的字符常量是()。
A.‘a’B.’\”’C.’\n’D.”a”6.下列不合法的字符串常量是()。
A.‘abc’B.”abc”C.”dfb345”D.””7.下列不合法的转义字符是()。
A. ‘\\ ’B. ‘\t’C. ‘\x6a ’D.’\89’8.下面四个选项中,均是不合法的转义字符的选项是()。
A. ‘\’’‘\t’‘\’B. ‘\1234’‘\018’‘\x3h’C. ‘\n’‘\16’‘\”‘D. ‘\x8a’‘\&’‘\101’9.下列整型常量中,不合法的是()。
A.89B. -16C. 0x4bD.066810.下面四个选项中,均是不合法的整型常量的选项是()。
A. -0f1 018 2e5B. 25 0xf3 3.5C. 065 -54 -0a4D. 013 0xk5 -06911.下列实型常量中,不合法的是()。
A. 0.0B. .123C. 123D. 2.3412.下列实型常量中,合法的是()。
A. e3B. 2e4.3C. –e4D. 2e-413.下面四个选项中,均是不合法的实型常量的选项是()。
A. 3e5.4 0.0 2e5B. e5 5e2.5 68C. 3.14 2e-4 123e-5D. 0.98 -e-3 123e14.在C语言中,int、char和short 三种类型数据在内存中所占用的字节数()。
数学习题2
相似形71、如图,梯形ABCD两腰DA、CB的延长线交于O,已知三角形AOB的面积=4,三角形AOC的面积=9,则梯形ABCD的面积=?∴△QAD的面积也为6,故答案为:45.2、如图,直角三角形ABC中,角BAC=90度,M、N是BC边上一点,BM=MN=NC,如果AM=4,AN=3,则MN=?答:作MM1垂直AB交AB于M1,作NN1垂直BC交BC于N1,设AM1=NN1=x,MM1=CN1=y,由题可得,x^2+(2y)^2=9,y^2+(2x)^2=16,两式联立可得x^2+y^2=5,所以MN=根号53、如图,梯形ABCD被对角线分为四个小三角形,已知三角形AOB和三角形BOC的面积分别为25CM^2和35CM^2,那么,梯形的面积是=CM^2?答:=解:设AB = a 梯形的高为h,△AOB边AB上的高为h1,△DOC边CD上的高为h2,h1 = 2S(AOB)÷ AB = 50/a;h = 2S(ABC)÷ AB = 120/ah2 = h – h1 = 120/a-50/a = 70/a;S(DOC) :S(AOB) = h2²:h1²S(DOC) = 25 × (h2/h1)² = 25×49/25 = 49而S(AOD)=S(BOC)=35∴S(ABCD)=S(AOB)+S(BOC)+S(DOC)+S(AOD)=25+35+49+35 = 1444、点D、E分别在三角形ABC的边AC和BC上,角C为直角,DE平行AB,且3.DE=2.AB,AE=13,BD=9,那么,AB的长等于?DE平行于AB,且3DE=2AB;所以有:CD/CA=CE/CB=DE/AB=2/3;所以CD=2/3AC,CE=2/3BC;设AC=3X,BC=3Y;那么CD=2X,CE=2Y再由角C=90度且AE=13,BD=9有:AE^2=169=CE^2+AC^2=4Y^2+9X^2;BD^2=81=BC^2+CD^2=9Y^2+4X^2 相加得到:13(X^2+Y^2)=250;AB^2=AC^2+BC^2=9(X^2+Y^2)=9*250/13所以AB=15根号(10/13)5、在直角梯形ABCD中,上底AD=根号3,下底BC=3*根号3,与两底垂直的腰AB=6,在AB上选取一点P,使三角形PAD与三角形PBC相似,这样的点P有几个?相似形(8)1、已知,如图,在三角形ABC中,BD和CE分别是两边上的中线,并且BD=4,CE=6,则三角形ABC的面积为:答:做AG⊥BD交BD延长线于G;AG⊥BD;CE⊥BD;∴AG//CE;∵AD=CD;∴△AGD≌△CFD;∴GD=FD;AG=CF;∵AG//CE;AE=BE;∴EF是△BAG的中位线;∴BF=FG=GD+FD=2GD;; AG=2EF;BF=BD-DF=BD-GD=4-GD=;∴2GD=4-GD;GD=4/3;∵CF=AG=2EF;CE=CF+EF=3EF;∴EF=1/3CE=1/3*6=2;∴AG=2EF=4;∴S△ABC=2S△ABD=2*1/2BD*AG=2*1/2*4*4=162、如图,三角形ABC内有一点O,过O作各边的平行线,把三角形ABC分成三个三角形和三个平行四边形,若三个三角形的面积分别是1,1,2,则三角形ABC的面积是:答:分析:由题中条件易知三个三角形与△ABC均相似,又有三个三角形的面积,则再由三角形的面积比等于对应边的平方比,进而即可得出结论.解:如图,易知三个三角形与△ABC均相似,记△ABC的面积为S,则√S1/√S +√S2 /√S +√S3/√S =OR /BC +OT/ BC +PQ /BC =(OR+OT+PQ )/BC =1,故S=( √S1 + √S2 +√S3 )^2=(1+1+ √2 )^2=6+4√ 2 .故答案为:6+4√2 .3、如图,在梯形ABCD中,AB//CD且AB=2CD,O是对角线AC的中点,过点O作EF//BD 交AB、AD于点E、F,若BD=a,则EF=?答:延长EF交CD延长线于G,已知AB//CD,EF//BD,所以易知DG=BE (1)已知O是AC的中点,所以三角形OAE与OCG相似,CG:AE=OC:OA=1,即CG=AE,即CD+DG=AE ……(2),已知AB=2CD,即AE+EB=2CD……(3),由(1)、(2)、(3)得到AE:EB=3:1,推出AE:AB=3:4,又因为EF:BD=AE:AB,且BD=24,所以EF=18。
最新侵权责任法习题(二)
侵权责任法习题二1、甲将数箱蜜蜂放在自家院中槐树下采蜜。
在乙家帮忙筹办婚宴的丙在帮乙喂猪时忘记按照乙的嘱咐关猪圈,猪冲入甲家院内,撞翻蜂箱,使来甲家串门的丁被蛰伤,经住院治疗后痊愈。
下列说法正确的是()A.丁可请求甲进行侵权损害赔偿B.丁可请求乙进行侵权损害赔偿C. 丁可请求丙进行侵权损害赔偿D. 丁可请求乙、丙共同进行侵权损害赔偿【答案】ABCD【解析】《人身损害赔偿解释》第13条规定:“为他人无偿提供劳务的帮工人,在从事帮工活动中致人损害的,被帮工人应当承担赔偿责任。
被帮工人明确拒绝帮工的,不承担赔偿责任。
帮工人存在故意或者重大过失,赔偿权利人请求帮工人和被帮工人承担连带责任的,人民法院应予支持。
”《侵权责任法》第83条规定:“因第三人的过错致使动物造成他人损害的,被侵权人可以向动物饲养人或者管理人请求赔偿,也可以向第三人请求赔偿。
动物饲养人或者管理人赔偿后,有权向第三人追偿。
”基于《侵权责任法》的规定,本题中丁也有权向甲请求赔偿。
2、某电视演员因一儿童电视剧而出名,某公司未经该演员许可将印有其表演形象的宣传海报大量用于玩具、书包、文具等儿童产品的包装和装潢上。
对该公司的行为应如何定性?A.侵犯了制片者的发表权B.侵犯了该演员的表演者权C.侵犯了该演员的肖像权D.侵犯了该演员的复制权【答案】C【解析】《著作权法》第15条第1款规定:“电影作品和以类似摄制电影的方法创作的作品的著作权由制片者享有,但编剧、导演、摄影、作词、作曲等作者享有署名权,并有权按照与制片者签订的合同获得报酬。
”本题中该演员的表演形象除署名权属于该演员外,发表权、复制权等著作权属于制片者。
该演员由于电视剧出名,意味着电视剧已经发表,因此不存在侵害发表权的问题,A错误。
复制权属于制片者,而不是该演员,所以D错误。
该演员对于自己的表演形象享有肖像权,不经其同意,不能为营利目的使用,该公司擅自使用该演员表演形象的行为侵害了该演员的肖像权,所以C正确。
概率论与数理统计习题解答 (2)
x<0 0 ≤ x <1 x ≥1
1/ 2
P{ X < 1 / 2} = P{X > 3 / 2} =
−∞ ∞
∫ f ( x)dx = ∫ 2 xdx =1/ 4 或 P{X < 1/ 2} = F (1/ 2) = 1/ 4
0
1/ 2
3/ 2
∫
∞
f ( x)dx =
3/ 2
∫ 0dx = 0
或
P{X > 3 / 2} = 1 − P{X ≤ 3 / 2} = 1 − F (3 / 2) = 1 − 1 = 0
x<0 0 ≤ x <1 x ≥1
求
(1)常数 A
(2)概率密度函数
(3) P{X < 1 / 2} ; P{X > 3 / 2} ;
P{0 ≤ X ≤ 2} 。
解法一:由于连续型随机变量 X 的分布函数是连续的
⎧0 ⎪ ∴ 1 = F( 1 ) = lim F ( x) = lim Ax = A f ( x) = F ' ( X ) = ⎨ 2 x x⎯ ⎯→ 1 x⎯ ⎯→ 1 ⎪0 ⎩
+∞
所以一年中该地区受台风袭击次数为 3~5 的概率为 0.547027 11、有 10 台机床,每台发生故障的概率为 0.08, 而 10 台机床工作独立,每台 故障只需一个维修工人排除。问至少要配备几个维修工人,才能保证有故障而 不能及时排除的概率不大于 5%。 解:随机变量 X 示发生故障的机床的台数则 设配备 n 个维修工人 (0 ≤ n < 10) 则“有故障而不能及时排除”事件为
−1 r k −r (2) P{X = k } = Ckr − , k = r , r + 1,...... 1 p (1 − p )
习题二及答案
习 题 二2-1 何为等效变换?两电路等效需要满足什么条件?答:用一个较为简单的电路替代原电路,从而使分析的问题得以简化,这就是电路的等效变换。
两电路等效需要满足的条件是:电路对外的伏安特性不变。
2-2 设计一个电阻衰减器,如图2-62所示,衰减器的输入电压为10V ,而输出电压分别为10V 、5V 及1V ,电阻中流过的电流为2mA ,试求R 1、R 2及R 3的值。
10V5V1V图2-62解:R 1=(10-5)/2=2.5K Ω;R 2=(5-1)/2=2K Ω;R 3=1/2=0.5K Ω; 2-3 求图2-63电路中等效电阻Rab 。
b习题2-63解:Rab =4//(2+4//4)=2Ω2-4 求图2-64电路中等效电阻R ab 。
3Ω3Ωba解:R ab =(6//3+6//3)//4=2Ω 2-5 求图2-65电路中等效电阻R ab 。
ba图2-65解:R ab =3//3//3=1Ω2-6 求图2-66电路中①S 打开;②S 闭合时等效电阻R ab 。
36Ω24ΩbaS图2-66解:S 打开:R ab =0.5*(36+24)=30Ω S 闭合:R ab =36/2+24/2=30Ω2-7 图2-67中,试求:①R=0时的电流I ;②I=0时的电阻R ;③R =∞时的电流I 。
3Ω4Ω图2-67解:① I 总=6/((3*6)/(3+6))=3A ,∴I =(6/(3+6))* I 总=2A; ② 3/6=4/R ,∴R=8Ω③ I 总=6/(4+3*6/(3+6))=1A ,I=-(3/(3+6))* I 总=-1/3A 2-8 电路如图2-68所示,已知30Ω电阻中电流为0.2A ,试求此电路的总电压U 和总电流I 。
60Ω图2-68解:I=(0.2+30*0.2/60)+ (0.2+30*0.2/60)*(10+60*30/(60+30))/15=0.9AU=0.9*10+(0.2+30*0.2/60)*(10+60*30/(60+30))=18V2-9 将图2-69所示电路中星形与三角形网络进行等效变换。
习题2_软件测试基本技术(静态分析)练习-讲解版
习题二软件测试基本技术(静态分析)1.在代码检查过程中,发现大部分错误的人通常是()。
A.程序员B.测试员C.审查者D.架构师2.桌面检查(Desk Checking)是一种()的检查方法。
A.程序员自己检查自己编写的程序B.有同行帮忙检查自己编写的程序C.几个同行自行组成小组,以小组为单位检查编写的程序D.程序员在桌子上检查编写程序的活动3.下列选项中,不属于桌上检查的检查项目是()。
A.等价性检查B.检查子程序、宏、函数C.功能检查D.风格检查4.下列选项中,不属于静态错误分析的是()。
A.类型和单位分析B.功能分析C.引用分析D.表达式分析5.在代码检查的准备阶段和检查会议阶段都据有发现产品错误责任的是()。
A.检查人员B.开发人员C.协调人员D.讲解员6.下列检查项目中不属于风格检查的是()。
A.编程标准B.变量命名C.结构化程序设计D.命名规则7.下列叙述中,说法正确的是()。
A.桌上检查的文档是最后要公开的文档B.桌上检查是一个完全没有约束的过程,所以通常效率会比较低。
C.代码检查是程序员自己检查自己的程序D.桌上检查最好由程序的编写人员来完成8.在对程序代码进行静态分析时,要生成各种引用表,这些引用表按功能可分为()。
A.为用户提供辅助信息的B.直接从表中查出说明/使用错误C.用来做错误预测和程序复杂性计算D.以上全部9.下列引用表是为用户提供辅助信息的是()。
A.函数引用表B.变量交叉引用表C.循环层次表D.操作符统计表10.在代码检查中,负责提供关于检查项目的资料并回答检查人员问题的角色是()。
A.协调员B.开发人员C.检查人员D.讲解员11.走查的主要目标有()。
○1发现缺陷、遗漏和矛盾的地方○2改进产品○3考虑可替换的实现方法A.○1和○2B.○1和○3C.○2和○3D.○1、○2和○312.通常走查小组中,程序编写者占()个。
A.0 B.1C. 2 D.不确定13.走查程序中的静态分析技术用到调用图,通过调用图我们不可以做的是()。
习题二
1. 静止点电荷所带电量为-6Q ,它在空间激发电场,其场强可表示为 。
解:r r Q E ˆ2320πε-=2. 在XOY 平面上有两个点电荷,分别带电量4q 、q ,位于原点及点(a ,0)处,如图所示,则场强为零的点是 。
解:)0,32(a3. 如图,一质量为6101-⨯千克的小球,带电量为11102-⨯库仑,悬于一细线的下端。
线与一块垂直放置的很大的带电平面成30°角。
则此带电平面的电荷面密度为 。
解:5×10-6库/米24.场强迭加原理是指:。
解:空间某点的场强,等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和。
5. 一根细玻璃棒弯成半径R 为的41圆周,均匀地带有正电荷+q,则中心O 处场强的大小是,方向是 。
解:022R q επ;沿与X 轴成45°方向。
6.真空中有两平行平板AB ,电荷均匀分布,电量分别为±8.89×10-4C ,每板面积为5.02m ,相距4.0mm ,则每板单位面积受的静电力为 。
解:1.78×103N7.离点电荷0.6米处的场强是1牛顿/库仑,则这电荷的电量是 库仑。
解:4×10-118. 两块均匀带电的无限大薄板互相垂直,面电荷密度分别为+σ和-σ,则空间的电场强度大小为 。
解:022εσ9. 能够作为试探电荷的是: ( )(A)电量很小的电荷; (B)体积很小的电荷;(C)点电荷; (D)带电量和线度都足够小的带电体。
解:D10. 一个带正电的质点,在电场中从A 点经C 点运动到B 点,其运动轨迹如图所示,已知质点的速率是递减的,下图中关于C 点场强方向正确的画法是: ( )解:B11. 半径为R 、电荷线密度为λ的半圆弧,在其圆心处产生的场强大小为: ( )(A );40R πελ (B );20R πελ (C );420R πελ (D );20R ελ 解:B12. 在电场强度定义式E = F q中,q 必须是: ( )(A)正电荷; (B)微量点电荷,正负均可;(C)微量的正电荷; (D)点电荷,正负均可。
习题二
• 18.生理年龄对心理行为活动的影响是 ( 18、D)。 • (A)不同年龄对同一事件的心理反应是相同 的 • (B)儿童的心理障碍少数是以行为障碍为主 的 • (C)儿童的心理问题不容易转化为心理障碍 • (D)复杂的人际关系对儿童构不成直接的威 胁
• 19.寻找社会性原因时,应该确定( 19、 C)。 • (A)求助者对生活事件和人际关系有无误解 • (B)求助者的临床表现与错误观念有无关系 • (C)社会文化因素与心理障碍的发生有无关 系 • (D)求助者对生活事件和人际关系有无偏见
• 5.疑病性神经症的主要临床特点是(5、D )。 • (A)对健康状况存在一些忧虑 (B)对身体 状况的注意程度减退 • (C)感觉过敏不属于躯体障碍 (D)觉得患 病,但无妄想的特点
• 6.抑郁性神经症的主要临床特点是(6、D )。 • (A)对前途悲观,偶有失望 (B)感到生 活还有意义 • (C)兴趣减退,但不丧3、ABCD)。 • (A)对什么都不感兴趣 (B)对事情感 到无法挽回 • (C)对自己的痛苦感到无能为力 (D)认为 自己一无是处
• 4.抑郁性神经症与抑郁症的鉴别要点包括 ( 4、BC)。 • (A)缺乏自信、自我评价低 • (B)其沮丧和无力感是长期心理冲突的结果 • (C)病程至少持续两年 • (D)情绪低落在两周以上
• 15.发病前从未接受过检测的AIDS患者的特 点是(15、ACD)。 • (A)一经确诊常会受到巨大的心理冲击 (B)少 数患者会出现心理或情绪的危机 • (C)病情重者迅速进入抑郁和接受期 (D)在 心理危机期后,会逐渐地恢复常态
• 16.对心理问题的社会性原因分析时,应注 意的是( 16、ACD)。 • (A)负性社会生活事件会成为应激源 (B)正 性社会生活事件不会成为应激源 • (C)生活事件的发生频度起重要的作用 (D)道 德、风俗习惯等因素起重要的作用
电工基础习题(二)
电工基础习题习题二一、判断题1.在电阻串联电路中,总电阻一定大于其中最大的那个电阻。
( √ )2.在电阻串联电路中,电阻上的电压与电阻阻值的大小成正比。
( √ )3.在电阻串联电路中,总电流大于其中任何一个电阻的电流。
( × )4.为了扩大电压表的量程,应该在电压表上串联一个较大电阻。
( √ )5.在电阻串联电路中,电阻串得越多,消耗的功率越大。
( × )6.当负载所需要的电压超过一节电池的电动势时,应采用电池串联供电。
( √ )7.在电阻并联电路中,总电阻一定小于其中最小的那个电阻。
( √ )8.在电阻并联电路中,通过电阻的电流与电阻成正比。
( × )9.为了扩大电流表的量程,应该在电流表上并联一个较小电阻。
( √ )10.在电阻并联电路中,电阻并联得越多,消耗的功率越小。
( × )11.当负载所需的电流超过一节电池的额定电流时,应采用电池并联供电。
( √ )12.功率大的电灯一定比功率小的电灯亮。
( × )13.根据欧姆定律和电阻的串、并联关系可以求解复杂电路。
( × )14.电路中每一条支路的元件只能是一个电阻或一个电源。
( × )15.根据基尔霍夫电流定律推理,流入(或流出)电路中任一封闭面电流的代数和恒等于零。
( √ )16.根据基尔霍夫电压定律可知,在任一闭合回路中,各段电路电压降的代数和恒等于零。
( √ )17.叠加定律仅适合于线性电路,可用于计算电压和电流,还可用于计算功率。
( × )18.恒压源是内阻0=r 的电源。
( √ )19.恒压源的外接电阻越大,则它的端电压越大。
( × )20.恒压源不能开路。
( × )21.恒流源是内阻r →∞的电源。
( √ )22.恒流源的外接电阻越大,则它的端电压越大。
( √ )23.恒流源不能短路。
( × )24.理想电压源和理想电流源不能等效变换。
习题2
1.设物体绕定轴旋转,在时间间隔 0,t内转过角度 ,从而转角 是 t 的函数: t.如果旋转式匀速的,那么称 为该物体旋转的角速度.如果旋转是非
t 匀速的,应该怎样确定该物体在 t0 时刻的角速度? 2.当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就会不断冷却.若物体的温度T 与时
2
1 t2
12.求下列函数的导数.
(1) y chshx;(2) y shx • echx ;(3) y thln x;(4) y sh3 x ch2 x ;
(5) y th 1 x2 ;(6)y arsh x2 1 ;(7)y arch ex ;(8)y arctanthx ;
12.求函数 f x x2 ln1 x在 x 0处的 n 阶导数 f n 0n 3.
习题 2-4
1.求由下列方程所确定的隐函数的导数 dy . dx
(1) y 2 2xy 9 0 ;(2) x3 y 3 - 3axy 0 ;(3) xy e x y ;(4) y 1 xe y .
11.如果 f x 为偶函数,且 f ' 0存在,证明 f ' 0 0 .
12.求曲线 y sin x 在下列各点处的斜率.
(1) x 2 ; 3
(2) x .
13.求曲线 y cosx 上点 ,1 处的切线方程和法线方程. 3 2
14.求曲线 y ex 在点 0,1处的切线方程.
x 1
arccosx
(9) y 1 x 1 x ;(10) y arcsin 1 x .
1 x 1 x
1 x
9.设函数 f x 和 g x 可导,且 f 2 x g 2 x 0 ,试求函数 y f 2 x g 2 x 的
导数.
习题二C++练习(含有答案)
习题二一、填空题1. 对运算符进行重载时,不能改变结合性,不能改变操作数个数,不能改变优先级。
2. 当++被重载为后置成员函数时需要0 个参数。
3. 当++被重载为前置成员函数时需要 1 个参数。
4. 在C++中,运算符重载函数可以是成员函数,也可以是友元函数,还可以是普通函数。
5. 友元破坏了类的封装性特性。
6. 类的友元能够访问这个类的所有成员。
7. 类的静态数据成员的初始化是在类外进行的。
8. 类的静态成员函数没有this指针。
9. 类的静态成员函数访问该类的非静态成员可以通过参数传递对象来实现。
10. 不能被重载的类成员函数是构造和析构函数。
二、选择题1. 已知类A有一个带double型参数的构造函数,且将运算符“+”重载为该类友元函数,若如下语句:A x(2.5),y(3.6),z(0); z=x+y; 能够正常运行,运算符重载函数operator+ 应在类中声明为( D )。
A. friend A operator+ (double , double) ;B. friend A operator+ ( double , A &);C. friend A operator+ ( A &, double);D. friend A operator+ ( A & , A &);2. 下列关于运算符重载的描述中,正确的是(D )。
A. 运算符重载可以改变操作数的个数B. 运算符重载可以改变优先级C. 运算符重载可以改变结合性D. 运算符重载不可以改变语法结构3. 友元运算符表达式obj1>obj2被C++编译器解释为(A )。
A. operator>(obj1,obj2)B. >(obj1,obj2)C. obj2.operator>(obj1)D. obj1.operator>(obj2)4. 下列关于C++运算符函数的返回类型的描述中,错误的是(C )。
《微积分》习题2
习 题 二1.列数列}{n x 当∞→n 时的变化趋势,判定它们是否收敛,在收敛时指出它们的极限: (1); )1(1>=a ax nn (2); 3)1(nn x -=(3); 11ngx n = (4); )11()1(nx nn +-=(5);1)1(3nx nn-+= (6);1secnx n=(7);2642)12(531limnn n ++++-++++∞→ (8). 2121121211lim)1(221--∞→++++++n n n解:1)收敛.因为当∞→n 时,;)1(>∞→a a n所以; 0→nx 所以. 01lim lim ==∞→∞→nx n x ax2)因为⎪⎩⎪⎨⎧==为奇数为偶数n n x x nn313 所以nx 是发散的;3)发散的.因为当∞→n 时,01→n;所以-∞→=ng x n11;4)因为⎩⎨⎧-=为奇数为偶数n n x n1 1 所以nx 是发散的;5)收敛的.因为当∞→n 时, 01→n ;所以31)1(3→-+=nx nn;即∞→x lim3=n x ;6)收敛的.当∞→n 时,1→n;11sec →n;即∞→x lim1=n x ;7)因为nn n n n n nn +=+-+=++++-+++12)22(2)121(2642)12(531 ;所以∞→x lim11=+nn ;所以是收敛的;8)因为23211)21(121121121211212112121)1(221=----=++++++----n n n n1211-+n所以2321123lim1=+-∞→n x ;所以是收敛的;2.据我国古书记载,公元前三世纪战国时代的思想家庄子在其著作中提出“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的朴素极限思想,将一尺长的木棒,“日取其半”,每日剩下的部分表示成数列,并考察其极限.解:数列为; 21, , 21 , 21,11-n 2所以通项为; 211-=n n a 所以∞→x lim=n a ;3.由函数图形判别函数极限是否存在,如存在则求出其值: (1); )0(lim>→μμx x (2);)0(lim <∞→μμx x(3); 1) , 0(lim 0≠>→a a xx (4);1) , 0(lim ≠>∞→a a xx(5);1) , 0(loglim 1≠>→a x ax (6);arccos lim 1x x -→(7); arctan lim 1x x → (8). cos lim x x ∞→解:1)当0x →时,∞→x lim; 0)0(=>u x u2)∞→x lim∞→=<x uu x lim)0(;0)0u (1=<-ux3)∞→x lim1)1 , 0(=≠>a a a x4) 01<a∞→x lim⎩⎨⎧><=≠>.1 1. 1 0)1 , 0(a a a a a x所以1 ; 1>a 5)0)1 , 0(log lim 1=≠>-→a a a xx6)π=-→x arccoslim 1x 所以;1cos -=π7). 4x arctanlim 1π=-→x8)xcos lim ∞→x 的极限不存在4.求下列函数在指定点处的左、右极限,并判定函数在该点的极限是否存在: (1);0 , )(==x xx x f (2);0 ,3)(1==x x f x(3);0 ,1arctan )(==x x x f(4). 1 , 21 , )1arcsin(1 , )1(11)(=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<+=x x x x x g x f解:1)1lim-→x +→≠-=0lim1)x (f x ;1)(f =x 所以该点的极限不存在 2)1lim-→x ≠=0)x (f +→0limx ;)x (f ∞=所以该点的极限不存在 3)1lim-→x ;2f (x)lim 2-f (x)0ππ=≠=+→x 所以该点的极限不存在 4); 0)x (f lim 211)x (f lim 11=≠=+-→→x x g 所以该点的极限不存在5.用δε-或N-ε的方法陈述下列极限: (1); )(limA x f ax =+→ (2);)(limA x f ax =-→(3);)(limA x f x =+∞→ (4). )(limA x f x =-∞→解:1)当δ<-<a x 0时ξ<-A x f )( 2)当δ<<x -a 0时 ξ<-A x f )(3)当M x >时 ξ<-A x f )( 4)当-M x <时 ξ<-A x f )(6.用极限的严格定义(即δε-或N-ε的方法)证明下列极限:(1); 01lim 4=∞→nn (2); 31135lim22-=+-∞→n nn (3); 01lim1=++-→x x (4). 010lim =-∞→xx解:1)对于任意给定的ξ,要使δψξ成立,只要使ξ14>n即41n ξ>成立 所以对于任意给定的ξ,存在41N ξ=当Nn>时恒有ξ<-014n成立,故01lim4=∞→nx2)对于任意给定的ξ,要使ξ<++-3113522n n成立即29316 )(1limξξ->+∞=→n x f ox x 成立所以对于正数ξ,存在293-16N ξξ=成立当Nn>时恒有ξ<++-3113522n n成立所以31135lim22-=+-∞→n nx3)由于10)(+=-x x f 所以对于任意给定的0>ξ,存在2ξδ=当δ<+<10x 时恒有ξ<-0)(x f 成立 故1lim1=++-→x x4)对于任意给定的正数ξ要使ξ<-010x 成立即ξ1g x >成立所以存在. 1g Xξ=当X x >时恒有ξ1g x>成立即. 010lim=∞→xx7.求下列极限: (1); )(lim 33hxh x h -+→ (2); 11lim1--→x x nx(3);)2(arctan lim 1x x x ++∞→ (4); 11lim 21⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→x x x x x (5);11lim 22xxx +-→ (6);231lim3xx x +--∞→(7); 22312lim 4---+→x x x (8). )31(lim 22---++∞→x x x x x解:1)22203322303303)33(lim 33lim)(limxh xh x hxh xh h x x h hh x h h h =++=-+++=-+→→→2)n x x nx =--→11lim 13)12)1(arctan lim 2arctan lim 1+=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→πx x x x x 4)xx x x x x xx x x x x x 1lim)1()1)(1(lim)11(lim 1121+=-+-=---→→→5)2)11(lim )11(lim11lim222222-=++-=-++=+-→→→x xx x xx x x x6))31)(2(91231lim33+-+--=+---∞→x x x x x x)31)(2()42)(2(33323+-++-+=x x x xx2-= 7))312)(22()312)(312(lim22312lim44++--++-+=---+→→x x x x x x x x)312)(22()4(2lim4++---=→x x x x)312()22(2lim4+++-=→x x x322=8))31(lim 22---++∞→x x x x x)3142(lim 22--++++=∞→x x x x x x1)31111142(lim 2=--++++=∞→xx xxx x8.求. 3545lim 211++-∞→+-n n n n n解:51)53(95)54(411lim 3545lim211=+-=+-∞→++-∞→n n n n n n nn9.下列数列}{n x ,当∞→n 时是否是无穷小量? (1); 31050nn x =(2)[]; 1)1(1nx nn -+=(3). nn n x =解:1)是无穷小量 因为0lim =∞→n n x2)是,因为0lim=∞→n n x (n 为奇数或者偶数)3)不是.10.当0→x 时下列变量中哪些是无穷小量?哪些是无穷大量? (1);100 3x y = (2);1012100xy =(3); )1(log 2x y += (4); 4cot x y =(5); 2sec ⎪⎭⎫⎝⎛-=x y π (6). 1sin 1x x y =解:1)是无穷小,因为0lim=→y x2)是无穷大量,因为+∞=→y x 0lim3)是无穷小量,因为0lim 0=→y x 4)是无穷大量,因为+∞=→y x 0lim 5)是无穷大量,因为+∞=→y x 0lim6)非大非小 11.已知)()(limx g x f x x →存在,而)(lim 0=→x g x x ,证明. 0)(lim 0=→x f x x解:因为, 5252lim5arctan 2lim==→→xx xxx x)(lim )(lim )()(limx g x f x g x f x x x x x x →→→=存在而)(lim 0=→x g x x所以; 0)(lim 0=→x f x x12.设31lim 21=-++→x bax x x ,求a ,b .解:因为3lim 1lim 121=+=-++→→y x x bax x x x所以1)2)(1(12---=-++x x x x bax x所以1a =,2b -=13.设011lim2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++∞→b ax x x x ,求a ,. b解:011lim)11(lim222=+----+=--++∞→∞→x bbx ax ax x b ax x x x x所以即b bx ax ax x ----+221为一常数 所以-1b 1a ==14.当0→x 时,下列变量中与423x x +相比为同阶无穷小的是(B ). A .x B .2x C .3x D .4x 解:B . 因为3131lim3lim 2422=+=+→→xxx xx x15.求. 28159lim4823+--∞→n n nn n解:3281591lim281593lim4835482=+--=+--∞→∞→nnnn n n n n n16.设a x →时∞→)(x f ,∞→)(x g ,则下列各式中成立的是(D ).A .∞→+)()(x g x f B .0)()(→-x g x fC .0)()(1→+x g x f D .0)(1→x f解:D.因为a x →时∞→f (x),∞→g(x),所以)(1→x f ,)(1→x g .17.求下列极限(1);)72()43()12(lim 15510--+∞→x x x x (2). )cos 100(1lim32x xx x x +++∞→解:1)=--+∞→15510)72()43()12(limx x x x 32243232)72()43()12(lim15510151515510==--+∞→xx x x x x2)x)105100(1111lim)105100(1lim2332+++=+++∞→∞→xx xx xx x x x18.求下列极限: (1); 3sin 2sin lim0xx x → (2); sin sin limxx x x x +-→(3); 5arctan 2limx xx → (4);sin lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n n n π (5);sin lim xxx -→ππ(6);cos 1limxxx -+→(7); cos 1cos 1lim 2xx x --→ (8);sin tan limxxx x -→ (9);sin tan cos lim 0xx x x x x --→ (10).65)1sin(lim21-+-→x x x x解:1)3232lim3sin 2sin lim==→→xx xx x x2)sin 1sin 1limsin sin lim=+-=+-→→xx x x xx x x x x3)5252lim5arctan 2lim==→→xx xxx x4)ππππ===∞→∞→∞→nn nn nn n n n 1lim1sinlim)sin(lim5)11cos lim' )()(sin limsin lim'=-=-=-→→→x x x xxx x x πππππ6)2)'2sin2()'(lim2sin2limcos 1lim===-+++→→→x x x xxxx x x7)28)0)cos cos 1(lim ')'sin (tan limsin tan lim2=-=-=-→→→x xx x x x xx x x x9)1cos lim )cos cos 1(sin )cos 1(limsin tan cos lim==--=--→→→x xx x x x xx x x x x x 10)7111lim)6)(1(1lim65)1sin(lim 1121=+=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x19.设3)1sin(lim 221=-++→x b ax x x ,求a ,. b解:因为3)1)(1(lim)1sin(lim21221=+-++=-++→→x x b ax x x b ax x x x所以)5)(1(2+-=++x x b ax x 所以-5b . 4==a 20.设nnn n x n ++++++=22212111 ,用极限存在的夹逼准则求. limn n x ∞→解:因为nn nx n nn +≤≤+22111而111lim 2=+∞→n nn ,11lim 2=+∞→nn nn所以1lim =∞→n n x21.求下列极限:(1); 31lim 3xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ (2);)21(lim 13+∞→-xx x(3);21lim30xx x +→ (4); )tan 1(lim cot 210x x x -→+(5);1232lim 1+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x (6).1312lim 10xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛--→解:1). ])31[(lim )31(lim9933e xxxx xx =+=+∞→∞→2).)21(*])21[(lim )21(lim 3232213---∞→+∞→=--=-exxxx x xx3).323221030])21[(lim 21lime x x x x xx =+=+→→4). e x)tan 1(*]x)tan 1[(lim x)tan 1(lim 2-2tanx 12cotx -10=+++-→=→x x5). 1x )1221(lim )1232(lim 212121x e x x x x x x =+++=++++∞→+∞→6)xx x x x x x x 11)131(lim )1312(lim --=--→→=331)3111(lim +-→-+xx x=. e22.设xx x k x x xx 2sinlim lim 2∞→-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛-,求. k解:因为.222sin 2lim2sinlim ==∞→∞→xx xx x x所以.2)1(lim )(lim22*2==-=--∞→-∞→kkkx x xx exk xk x所以. n2121k =23.判定下列函数在定义域上是否连续(说明理由): (1)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=; 0 , 0,0 , 1sin )(2x x xx x f (2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=. 0 , 1, 0 , sin )(x x xxx f解:1)因为0x)(f lim=→x ,而0f (0)=.所以f (x)在定义域上是连续的。
《市场营销学》习题2(带答案)
《市场营销学》习题二一、判断题(共40小题)1、(A)。
微观环境直接影响与制约企业的营销活动,多半与企业具有或多或少的经济联系,也称直接营销环境。
( )2、(B)。
面对目前市场疲软、经济不景气的环境威胁,企业只能等待国家政策的支持和经济形势的好转。
( )3、(A)。
恩格尔系数越大,生活水平越低;反之,思格尔系数越小,生活水平越高。
( )4、(A)。
微观环境直接影响与制约企业的营销活动,多半与企业具有或多或少的经济联系,也称直接营销环境。
( )5、(B)。
同-个国家不同地区的企业之间营销环境基本上是一样的。
( )6、(A)。
市场营销环境是一个动态系统,每一环境因素都随着社会经济的发展不断变化。
( )7、(B)。
营销活动只能被动地受制于环境的影响、因而营销管理者在不利的营销环境面前可以说是无能为力。
( )8、(A)。
在一定条件下,企业可以运用自身的资源,积极影响和改变环境因素,创造更有利于企业营销活动的空间。
( )9、(A)。
自从我国计划生育政策实施以来,人口出生率下降。
新生婴儿和学龄前儿童减少,一方面给儿童食品、童装、玩具等生产经营者带来威胁;另一方面由于家庭小孩数的减少,又给高级益智玩具、儿童营销食品带来机会。
( )10、(B)。
我国南北方人民在食品口味上存在着很大的差异,导致对食品需求也不同,这是宏观环境中经济因素形成的。
( )11、(A)。
许多国家政府对自然资源管理的干预有日益加强的趋势,这意味着市场营销活动将受到一定程度的限制。
( )12、(A)。
企业要做好经营管理,必须了解和熟悉有关企业营销活动的法令法规。
( )13、(A)。
科学技术是第一生产力,给企业营销活动既带来发展机遇又造成不利的影响。
( )14、(B)。
市场营销组合因素是企业不可控因素。
()15、(B)。
亚文化群主要是亚洲的消费文化。
()16、(A)。
营业推广是外部刺激的一个市场营销因素。
()17、(A)。
对企业的营销活动产生直接或间接影响的各种因素都属市场营销环境。
习题2及解答
习题 21.设p 、q 都是素数,且7p +q ,pq +11也都为素数,求()()22pqp q q p ++的值.【答案】若p 、q 都是奇数,则7p +q 为偶数,它不是素数,故p 、q 中有一个为偶数.情形一 设p 为偶数,则p =2,此时由7p +q 为素数,知q 为奇素数,若q ≠3,则q ≡1或2(mod3) . 若q ≡1 (mod3),则 7p +q =14+q ≡0(mod3), 矛盾;若q ≡2(mod3),则pq +11=2q +11≡4+11≡0(mod3),亦矛盾,所以q =3,此时7p +q =17,pq +11=17,都是素数,故 (p 2+q p )( q 2+p q )=(22+32)( 32+23)=221. 情形二 设q 为偶数,则q =2,同上讨论可知p =3,此时(p 2+q p )( q 2+p q )=(32+23)( 22+32)=221.综上可知,所求的值为221.2.设12345p p p p p <<<<是5个素数,且12345p p p p p ,,,,成等差数列.求5p 的最小值. 【答案】设d 为公差,则p 1,p 1+d ,p 1+2d ,p 1+3d ,p 1+4d 都是素数. 若2d ,即d 为奇数,则p 1+d ,p 1+2d 中有一个为偶数,它不是素数.若3d ,则p 1+d ,p 1+2d ,p 1+3d 中有一个为3的倍数(它们构成模3的一个完系),矛盾. 若5d ,则p 1,p 1+d ,…,p 1+4d 中有一个为5的倍数只能是p 1=5,这时公差d 是6的倍数. 而5,11,17,23,29是5个成等差的素数数列,所以,p 5最小为29.3.对每个正整数n ,用()S n 表示n 在十进制表示下各数码之和.证明:对任意正整数m ,存在正整数n ,使得()()3S n mS n =.【答案】注意到,对任意正整数k ,(1008)k S 个=9,于是,设1008k 个=3n ,则n =336k 个,故S (n )=3k +6,这样,对任意正整数m ,取k =3m -2,就有S (n )=mS (3n ).说明 由S (3n )≡3n (mod9),故要求3|S (n ),进而3|n ,所以在先确定3n 时,要寻找一个9的倍数(例如1002k 个作为3n 就不能满足条件) .另外,在S (2n )与S (n )之间没有上述性质,事实上,可证:S (2n )≤2S (n );S (n )≤5S (2n ).4.求最大的正整数k ,使得存在正整数n ,满足2|31kn+. 【答案】注意到,当n 为偶数时,设n =2m ,有3n =9m ≡1(mod8), 当n =2m +1时,3n =9m ×3≡3(mod8),所以,对任意正整数n ,有3n +1=2或4(mod8), 故k ≤2.又22|31+1,所以,所求k 的最大值为2.5.设n 为正整数.证明:存在十进制表示中只出现数码0和1的正整数m ,使得|n m .【答案】考虑数列 1,11,111,…,111n+个,其中必有两个数对模n 同余(因为任何整数除以n 所得的余数只能为0,1,2,…,n -1,共n 种情况),它们的差(大的减小的)就是符合要求的m .6.设n 为是一个正奇数.证明:存在一个十进制表示中每个数码都是奇数的正整数m ,使得|n m . 【答案】如果(5,n )=1,那么由上题的结论,知存在m =11i 个0j 个,使得n |m ,而n 为奇数,结合5n ,知(n ,10)=1,故n |11i 个.命题获证.如果5|n ,设5α|n ,那么可写n =5α·n 1,其中5n 1.利用2.2节例5的结论,可知存在一个α位的正整数m 1,使得5α|m 1,且m 1的每个数码都是奇数,这时,考虑数m 1, 11m m ,…,111n m m +1个,这里11i m m 个表示i 个m 1连写形成的十进制数(故上面所列的数都是5α的倍数),则存在1≤i <j ≤n 1+1,使得 11j m m 个≡11i m m 个(mod n 1),结合(n 1,10)=1,可知n 1|11j-i m m 个,于是记m =11j-i m m 个,则m 中的每个数码都是奇数,且5α|m ,n 1|m ,而 (5α,n 1)=1, 故5α·n 1|m ,即n |m . 命题获证.7.证明:对每个正整数n ,数19817n⨯+都是合数. 【答案】若n 为偶数,则 19×8n +17≡1×(-1)n +2≡0(mod3);若n ≡1(mod4),写n =4k +1,则19×8n +17=19×642k ×8+17≡6×(-1)2k ×8+4≡0(mod13);若n ≡3(mod4),则 19×8n +17=19×642k +1×8+17≡(-1)×(-1)2k +1×3+2≡0(mod5) . 所以,对任意正整数n ,数19×8n +17是合数.8.Fibonaccia 数列{}n F 定义如下:121F F ==,21n n n F F F ++=+,n =1,2,…. (1)证明:该数列任意连续10项之和是11的倍数;(2)求最小的正整数k ,使得该数列中任意连续k 项之和是12的倍数. 【答案】考虑数列{F n }中每一项除以11(或12)所得的余数. ⑴{F n (mod11)}:1,1,2,3,5,-3,2,-1,1,0,1,1,…,所以{F n (mod11)}是以10为周期的纯周期数列,因此{F n }中任意连续10项之和≡1+1+2+3+5+(-3) +2+ (-1)+1+0=11≡0(mod11), 命题获证.⑵{F n (mod12)}:1,1,2,3,5,-4,1,-3,-2,-5,5,0,1,1,…是以12为周期的纯周期数列.直接验证,可求出满足条件的最小正整数k =36.说明 若k 是满足⑵的最小正整数,而n 是满足⑵的正整数,则k |n (这个结论请读者证明) .因此,找到满足条件的n =36 ({F n (mod12) }的每个周期内各数之和≡4(mod12))后,只需验证36的正因数不合要求,就能断言36是符合条件的最小正整数.9.设整数a 、b 满足:2221|a b +.证明:22441|a b +.【答案】先分别证明:⑴若a 2+b 2≡0(mod3),则a ≡b ≡0(mod3) ; ⑵若a 2+b 2≡0(mod7),则a ≡b ≡0(mod7) .这只需注意到,对任意整数x ,都有x 2≡0或1(mod3), 及 x 2≡0,1,2或4(mod7), 即可证出.现在由21|a 2+b 2可推出21|a ,21|b ,故212|a 2+b 2,所以命题成立.10.正整数a 、b 、c 满足:222c a b ab =++.证明:c 有一个大于5的素因子.【答案】我们分别证明: ⑴若2|c ,则2|a ,2|b ; ⑵若3|c ,则3|a ,3|b ; ⑶若5|c ,则5|a ,5|b . ⑴的证明是平凡的.⑵的证明只需注意到 c 2=a 2+ab +b 2=(a -b ) 2+3ab ,就容易证出. 对于⑶,由条件,知 4c 2=4a 2+4ab +4b 2=3a 2+(a +2b )2, 而对任意整数x ,知 x 2≡0,1,4(mod5), 于是,由 3x 2+y 2≡0 (mod5), 可知 x 2≡y 2≡0 (mod5), 即 x ≡y ≡0 (mod5).因此,由5|c ,知 3a 2+(a +2b )2≡0 (mod5), 故 a ≡a +2b ≡0(mod5), 可得 a ≡b ≡0(mod5), 所以⑶成立.回到原题,当c 是2、3或5的倍数时,c 2=a 2+ab +b 2两边可分别约去22、32或52后,等式的形式保持不变.所以c 有一个大于5的素因子.11.将整数1,2,…,9填入一个3×3的表格,每格一个数,使得每行、每列及每条对角线上各数之和都是9的倍数.(1)证明:该表格中正当中那个方格内的数是3的倍数;(2)给出一个正当中方格内所填数为6的满足条件的放置方法.【答案】⑴设表格中第i 行、第j 列的方格上所填的数为a ij ,1≤i ≤3,1≤j ≤3, 则 a 11+a 22+a 33≡a 13+a 22+a 31≡a 12+a 22+a 32≡a 21+a 22+a 23≡0(mod9), 于是它们求和后,得(a 11+a 12+a 13+a 21+a 22+a 23+a 31+a 32+a 33)+3a 22≡0(mod9), 即 3a 22+(1+2+…+9)≡0(mod9), 故 9|3a 22, 即 3|a 22,从而表格中正当中的格子内所填数为3的倍数. ⑵下表给出的例子是中间格为612.下面的算式给出了一种判别一个数是否为19的倍数的方法:每次去掉该数的最后一位数字,将其两倍与剩下的数相加,依此类推,直到数变为20以内的数为止,若最后一个数为19,则最初的那个数为19的倍数,否则原数不是19的倍数. 6 7 9 4 4 8 6 8 0 2 4 6 8 4 8 7 6 1 2 1 9 4 4 9 7 6 12 4 5 0 9 1 8 4 6 8 16 6 2 4 1 0例如上面判定了67944为19的倍数,而44976不是19的倍数.(1)试证明:上面的判别方法是正确的;(2)请给出判别一个数是否为29的倍数的类似方法. 【答案】一般地,设数10n n a a a -是一个十进制表示下的n +1位数,则若它是19的倍数,那么1011n n a a a -+a 0=10n n a a a -≡0(mod19),故 2011n n a a a -+2a 0≡0(mod19), 即 11n n a a a -+2a 0≡0(mod19),这表明每次操作后的结果都是19的倍数. 另一方面,若 11n n a a a -+2a 0≡0(mod19), 则 1011n n a a a -+20a 0≡0(mod19), 这表明 1011n n a a a -+a 0≡0(mod19),即 10n n a a a -≡0(mod19),所以,每次操作后的结果是19的倍数,则操作前该数也是19的倍数. 所以,题给的判别方法是正确的.对于29而言,类似的判别方法是:每次去掉最后一位,将它的3倍与剩下的数相加,以此类推,直到变为30以内的数为止.若最后的结果为29,则原数是29的倍数,否则原数不是29的倍数.13.能否将2010×2010的方格表的每个方格染成黑色或白色,使得关于表格的中心对称的方格颜色不同,且每行、每列中黑格数与白格数都各占一半? 【答案】不能做到.事实上,若存在满足条件的染色方式,我们在黑格中都写上+1,白格中都写上-1,并依表格的中心所在的两条方格线将表格分为4块,左上角那块中各数之和设为A ,右上角那块为B ,左下角那块为C ,右下角那块为D .由条件,可知A ,B ,C ,D 都是10052个奇数之和,故A ,B ,C ,D 都为奇数,且A =-D ,B =-C (因为关于表格的中心对称的方格不同色),而且A +B =A +C =0(这里用到每行、每列中黑、白格数各占一半).所以,A -C =A +C =0,这要求A =C =0,但A 、C 都是奇数,矛盾.14.标号为1,2,…,100的火柴盒中有一些火柴,如果每次提问允许问其中任意15盒中所有火柴数之和的奇偶性.那么要确定1号盒中火柴数的奇偶性,至少需要提问几次? 【答案】至少需要3次提问.先证“3次提问是足够的” .例如: 第一次为:a 1,a 2,…,a 15;第二次为:a 1,a 2,…,a 8,a 16,a 17,…,a 22; 第三次为:a 1,a 9,a 10,…, a 22.其中a i 表示第i 盒中火柴的数目.这样,3个答案之和的奇偶性与a 1的奇偶性相同(其余每盒在3次提问中恰好出现2次) .因此,经3次提问可确定a 1的奇偶性.再证“至少需要3次提问” .如果提问只有两次,且两次中都出现a 1,那么在两次提问中必有a i 和a j ,使得a i 只在第1次提问中出现,而a j 只在第二次提问中出现,这样同时改变a 1、a i 、 a j 的奇偶性,每次答案是相同的,从而不能确定a 1的奇偶性.如果两次中都不出现a 1,在a 1都不出现时,改变a 1的奇偶性;在a 1只出现一次时,改变a 1与a i (这里a i 是与a 1同时出现的某个火柴盒)的奇偶性,那么两次答案仍是相同的,不能确定a 1的奇偶性. 综上可知,至少需要提问3次.15.求所有的正整数n ,使得可以在一个n ×n 的方格表的每个方格内写上+1或-1,满足:每个标号为+1的方格的相邻格中恰有一个标号是-1,而每个标号为-1的方格的相邻格中恰有一个标号是+1. 【答案】用a ij 表示第i 行、第j 列上的方格内所填的数.如果存在符合要求的填法,那么我们不妨设a 11=1(否则改变表格中所有数的符号再讨论),此时a 21与a 22中恰好有一个为-1,不妨设a 21=-1(否则将表格的第2行与第2列互换后再讨论),则a 12=1,进一步讨论,知a 22=-1,a 13=1,…,可知第1行中的数都是1,第2行中的数都是-1,进而,第3行中的数都是-1,第4行中的数都是1,依此递推,知当且仅当i ≡1(mod3)时,第i 行中的数都是1,而其余每行中的数都是-1.如果,n ≡0(mod3),那么第n 行的数为-1,该行上的每个方格中相邻方格上的书都是-1,不合要求,直接验证可知其余情况都合要求. 所以,当且仅当3n ,n >1时,存在符合要求的填法.16.设12100a a a ,,…,是1,2,…,100的一个排列,令12i i b a a a =++…+,i =1,2,…,100,记i r 为i b 除以100所得的余数.证明:12100r r r ,,…,中至少有11个不同的数.【答案】若r 1,r 2,…,r 100中只有10个不同的数,则对i =1,2,…,99,r i +1-r i 只有102-9=91(这里减去9是因为r i +1=r i 时所得的值都是零)种不同取值.但是在模100的意义下,r i +1-r i 依次为a 2,a 3,…,a 100,共有99种不同的取值,矛盾.所以r 1,r 2,…,r 100中至少有11个不同的值.17.求所有满足下述条件的正整数a 的个数:存在非负数0122001x x x x ,,,…,,使得0xa =200112x x x a a a +++.【答案】若a 是一个满足条件的数,则0x a >1,故a >1.此时,对 0x a =1x a +2x a +…+2001x a 两边模a -1,知 1≡200111++个(mod a -1),所以 a -1|2000.另一方面,若a >1满足a -1|2000,则我们在x 1,x 2,…,x 2001中取a 个数为0,a -1个为1,a -1个为2,…,a -1个为k -1,这里k =20001a -,并取x 0=k ,就有0x a =1x a +2x a +…+2001x a . 所以,当且仅当a >1且a -1|2000时,a 为满足条件的数,这样的a 共有20个.18.设m 、n 为正整数,m >1.证明:()21|mm n -的充要条件是()221|21mn--. 【答案】若m (2m -1)|n ,设n =m (2m -1)k ,则 2n-1=(21)2m m k--1=()()212mmk--1=()21mk -A ,其中 A =()222mmk -+()232mmk -+…+()12mk +1.注意到 2mk -1=()2km -1≡1k -1≡0(mod2m -1), 所以 ()21m -2|2n -1.反过来,若()21m -2|2n -1,我们先证m |n .若否,设n =mq +r ,0<r <m ,则由 2n ≡1(mod2m -1),知 (2m )q ·2 r ≡1(mod2m -1), 故 2 r ≡1(mod2m -1), 但是 1≤2 r -1<2m -1. 所以2m -12 r -1,矛盾.因此m |n .现设n =mq ,则 2n -1=(2m -1)×B ,其中 B =(2m )q -1+(2m )q -2+…+2m +1, 由 (2m -1)2|2n -1, 知 2m -1|B ,又 B =1 q -1+1 q -2+…+1=q (mod 2m -1), 所以 2m -1|q , 从而 m (2m -1)|n . 命题获证.19.设正整数a 、b 互素,p 为奇素数.证明:1p p a b a b p a b ⎛⎫⎪⎝⎭++,=或+. 【答案】记A =p pa b a b ++=a p -1―a p -2b +…―ab p -2+b p -1,结合p 为奇数及b ≡―a (mod a +b ),知A ≡111p p p p a a a ---+++个=pa p -1(mod a +b ).而 (a ,b )=1, 故 (a ,a +b )=1,所以 (a +b ,p pa b a b++)=(a +b ,A )=(a +b ,pa p -1)=(a +b ,p )=1或p .20.求最小的正整数a ,使得对任意整数x ,都有()13565|5139x x ax ++.【答案】由条件,知65|(18+9a )(取x =1),而(9,65)=1,故65|a +2, 即a ≥63.当a =63时,利用Fermat 小定理知:对任意整数x ,都有5x 13+13x 5+9ax ≡13x +9ax ≡(3+(-1)×3)x ≡0(mod5 ); 5x 13+13x 5+9ax ≡5x +9ax ≡(5+9×(-2))x ≡0(mod13 ). 所以 65|5x 13+13x 5+9ax . 综上可知,所求的最小正整数a =63.21.是否存在整数a 、b 、c ,使得方程20ax bx c ++=和()()()21110a x b x c +++++=都有两个整数根?【答案】不存在这样的整数a 、b 、c .事实上,若a 、b 、c 满足条件,我们不妨设a 为偶数(否则用-(a +1)、-(b +1)、-(c +1)代替a 、b 、c 讨论),由条件,结合韦达定理知-b a 与ca都是整数,故b 、c 都是偶数,所以a +1、b +1、c +1都是奇数.此时,对任意整数x ,有(a +1)x 2+(b +1)x +(c +1)≡x 2+x +1=x (x +1)+1≡1(mod2)(最后一步用到x 与x +1中有一个偶数).这表明方程(a +1)x 2+(b +1)x +(c +1)=0没有整数根,矛盾.22.求所有的正整数组(x ,y ,z ,w ),使得x !+y !+z !=w !. 【答案】不妨设x ≤y ≤z <w ,则w ≥z +1,若z ≥3,则w !≥(z +1)·(z !)≥z !+y !+x !, 矛盾,故 z ≤2.若z =1,则x =y =z =1,此时w !=3,不存在这样的w ,故z =2. 此时w ≥3,故 w !≡0(mod3),所以 x !+y !≡1(mod3), 而 x ≤y ≤2, 故只能是 x =y =2, 此时 w =3,故 (x ,y ,z ,w )=(2,2,2,3).23.求满足下述条件的整数数组(a ,b )的组数:0≤a ,b ≤36,且()220mod37a b +=.【答案】注意到,a 2+b 2≡a 2-36b 2(mod37),故由条件知 37|a 2-36b 2, 即 37|(a -6b )(a +6b ),所以 37|a -6b 或37|a +6b .因此,对每个1≤b ≤36,可知恰有两个a (a ≡±6b (mod37)) 满足条件, 而b =0时,由a 2+b 2≡0(mod37)知a =0. 所以,满足条件的(a ,b )共有2×36+1=73(组).24.设m 、n 为正整数,且22|mn m n m ++.证明:m 是一个完全平方数.【答案】有条件可设m 2+n 2+m =kmn ,k 为正整数,这样,关于n 的一元二次方程n 2-kmn +m 2+m =0①有正整数解,故△=(km ) 2-4(m 2+m )=m (k 2m -4m -4)是一个完全平方数.若m 为奇数,则(m ,k 2m -4m -4)=(m ,-4)=1,故由△为完全平方数知m 为完全平方数.若m 为偶数,则由①知n 为偶数 (否则①的左边为奇数,矛盾),故4|n 2,4|kmn ,4|m 2,从而由①知4|m .设m =4m 1,则△=16 m 1(k 2m 1-m 1-1),所以,m 1(k 2m 1-m 1-1)是一个完全平方数,这时(m 1,k 2m 1-m 1-1) =(m 1,-1)=1. 故m 1是完全平方数,所以m =4m 1也是完全平方数,命题获证.25.证明:若正整数n 可以表示为三个正整数的平方和的形式,则2n 也可以表示为三个正整数的平方和的形式.【答案】设n =x 2+y 2+z 2,x ≥y ≥z 为正整数,则n 2=(x 2+y 2+z 2) 2=(x 2+y 2) 2+2(x 2+y 2) z 2+z 4 =(x 2+y 2-z 2) 2+4(x 2+y 2) z 2=(x 2+y 2-z 2) 2+(2xz ) 2+(2yz ) 2.注意到,x 2+y 2-z 2>0,知n 2可表为3个正整数的平方和.26.求所有的正整数n ,使得n 的三次方根等于n 去掉最后三位数字后得到的正整数.【答案】设n =1000x +y ,这里x 为正整数,y 为整数,且0≤y ≤999.依题意知x 3=1000x +y .1000x ≤x 3<1000x +1000=1000(x +1), 故 x 2≥1000,x 3+1≤1000(x +1), 得 x 2≥1000,x 2-x +1≤1000. 所以 32≤x <33, 故 x =32, 这样 y =768, 所以 n =32 768.27.证明:存在无穷多个整数n ,使得数n 、n +1、n +2都可以表示为两个整数(不必不同)的平方和.例如:22000=+,22101=+,22211=+,故n =0即为一个满足条件的整数. 【答案】只需寻找正整数l ,使得l 2-1=x 2+y 2有正整数解.令x =2m 2,y =2m ,及l =2m 2+1,就有l 2-1=x 2+y 2.所以,对任意正整数m ,取 n =(2m 2+1) 2-1=4m 4+4m 2, 则 n =(2m 2) 2+(2m ) 2, n +1=(2m 2+1) 2+02, n +2=(2m 2+1) 2+12.28.求最小的正整数n ,使得在十进制表示下3n 的末三位数字是888. 【答案】由条件,知n 3≡888(mod1000),故n 3≡888(mod8),n 3≡888(mod125), 由前者知n 为偶数,设n =2m ,则m3≡111(mod125),因此m3≡111≡1(mod5) .注意到当m=0,1,2,3,4(mod5)时,对应地m3≡0,1,3,2,4(mod5),所以,由m3≡1(mod5)知m≡1(mod5),可设m=5k+1,这时m3=(5k+1) 3=125k 3+75k2+15k+1≡111(mod125),故75k2+15k≡110(mod125),从而15k2+3k≡22(mod25),既有15k2+3k+3≡0(mod25),故5k2+k+1≡0(mod25) .这要求5k2+k+1≡0(mod25),故5│k+1.可设k+1=5l,得5k2+k+1=5×(5l-1) 2+5l,=125l2-50l+5(l+1)≡0(mod25),故5│l+1.可设l+1=5r,因此n=2m=10k+2=10(5l-1)+2=50l-8=50(5r-1)-8=250r-58.结合n为正整数,可知n≥250-58=192.又1922=7077888符合要求,故满足条件的最小正整数为192.29.设正整数n>1,证明:数21n-既不是完全平方数,也不是完全立方数.【答案】由于n≥2,故2n-1≡-1(mod4),而完全平方数≡0或1(mod4),故2n-1不是完全平方数.另一方面,若存在n>1及正整数x,使得2n-1=x3,则2n=(x+1)(x 2-x+1),由于x 2-x+1=x(x-1)+1,其中x(x-1)为偶数(两个相邻整数中有一个为偶数),故x 2-x+1为奇数,这要求x 2-x+1=1,进而x=1,导出n=1,矛盾.故2n-1不是一个完全平方数.30.设a、b、c a、b、c都是完全平方数.【答案】先证:对任意正整数a a为完全平方数.qp,p、q为正整数,且(p,q)=1,则a=22qp,此时由a为正整数,知p2|q2,但(p,q)=1,故p=1,即a=q2.m,m为整数,则)2=(m2即a+b+m 2-c,n ,n 为正有理数,则 ab =(n 2=n 2-2c ,c =m 可知a ,b 也都是完全平方数.31.已知正整数c 是一个奇合数.证明:存在正整数a ,使得13ca ≤-,且()2218a c -+是一个完全平方数.【答案】通过凑完全平方式来处理.由条件可设c =pq ,3≤p ≤q ,p 、q 都是奇数,现在需要寻找a ,使得(2a -1) 2+8pq 是一个完全平方式,一个自然的取法是:2a -1=2q -p ,则(2a -1)2+8pq =(2q -p ) 2+8pq =(2q +p ) 2,a =12(2q -p +1)=q -12p -≤q -1=c p -1≤3c-1,符合题中的要求.32.设整数a 、b 满足:对任意正整数n ,数2na b •+都是完全平方数.证明:a =0.【答案】若a ≠0,注意到在a <0时,n 充分大后,数2n a +b <0,与2n a +b 为完全平方数矛盾,故a >0.现在设2n a +b ≡x 2n ,x n 为正整数,则对任意正整数n ,有x n <x n +1.由于 4x 2n -x 2n +2=4(2n a +b )-(2n +2a +b )=3b , 故 3│b │=│2x n -x n +2│·│2x n +x n +2│,而 2x n +x n +2随着n 的增大而增大,故只能是│2x n -x n +2│=0, 即 │b │=0,但这时2n a 与2n +1a 都要是完全平方数,这是不可能的,矛盾.所以a =0.33.求不能表示为42的正倍数与一个合数之和的最大正整数.【答案】对任意不能表示为42的正倍数与一个合数之和的正整数n ,考虑n 除以42所得的余数r .若r =0或r 为合数,则n ≤42.下面考虑r =1或r 为素数的情形.若 r ≡1(mod5),则 84+r ≡0(mod5), 此时 n <3×42=126;若 r ≡2(mod5),则 4×42+r ≡0(mod5), 此时 n <5×42=210;若 r ≡3(mod5),则 42+r ≡0(mod5), 此时 n <2×42=84;若 r ≡4(mod5),则 3×42+r ≡0(mod5), 此时 n <4×42=168;若 r ≡0(mod5),则 r =5,此时由于5,47,89,131,173都是素数,故n 最大为215. 综上可知,所求最大正整数为215.34.求一个正整数n ,使得数n ,n +1,…,n +20中每个数都与30030不互素. 【答案】由于30 030=2×3×5×7×11×13,所以若取N =210k ,则N 与N ±r 都与30 030不互素,这里r 为2,3,…,10中的数.现在考虑数N ±1,我们取k ,使得210k ≡1(mod11)且210k ≡-1(mod13),前者要求k ≡1(mod11),设k =11m +1,后者要求 210(11m +1)≡-1(mod13),解得 m ≡4(mod13),所以,令k =45,则所得的21个数9440,9441,…,9460与30 030都不互素,因此取n =9440即可.35.是否存在连续13个正整数,其中每个数都是2、3、5、7、11中的某个数的倍数?连续14个呢?【答案】注意到,114,115,…,126这13个数都是合数,每个数都是2、3、5、7、11中某个数的倍数,因此存在13个符合要求的数.下证:没有连续14个正整数,使得其中每个数都是2、3、5、7、11中某个数的倍数.事实上,若存在这样的14个数,考虑其中的7个奇数,设它们为a ,a +2,…,a +12.由于若两个奇数都是3的倍数,则它们的差至少为6,故这7个奇数中至多有1个数为11的倍数.同样可证这7个奇数中至多有2个数是5的倍数;至多有1个数为7的倍数;至多有1个数为11的倍数.由假设,这7个数都是3、5、7、11中某个数的倍数,故这7个奇数中分别有3个为3的倍数,2个为5的倍数,1个为7的倍数,1个为11的倍数,并且不出现一个数同时是3、5、7、11中某两个数的倍数.但是,这时要求a 、a +6、a +12为3的倍数;a 、a +10或者a +2、a +12中有一组数为5的倍数.必有一个数同为3和5的倍数,矛盾.36.设p 为素数,a 、n 都是正整数,且23p p n a +=.证明:n =1.【答案】当p =2时,a n =13,知a =13,n =1.当p >2时,由p 为素数,可知p 为奇数,此时2p +3 p =(2+3)(2 p -1-2 p -2×3+…-2×3 p -2+3p -1) ,故 5|a n ,即5|a .若n >1,则52|a n ,这时,应有2 p -1-2p -2×3+…-2×3 p -2+3p -1≡0(mod5) .利用3≡-2(mod5),p 为奇数及上式,知2 p -1-2p -2×3+…-2×3 p -2+3p -1≡11112222p p p p p -----++个=p ·2 p -1≡0(mod5), 所以5|p ,而p 为素数,故p =5,这导致a n =25+35=275=52×11,n 只能为1,矛盾.因此n =1.37.圆周上排列着2000个点,在某个点上标上数1,按顺时针方向数两个点,在其上标数2,再数3个点标数3,依此继续,标出数1,2,…,2000.这样,有些点上没有标数,有些点上所标的数不止一个.问:被标上2000的那个点上所标的数中最小的是多少?【答案】等价于求最小的正整数n ,使得1+2+…+n ≡1+2+…+2000(mod2000) . ①即(1)2n n +≡1000(mod2000), 等价于 n (n +1)≡2000(mod4000),这要求 2000|n (n +1) .注意到 (n ,n +1)=1,而 2000=24×53,所以24|n ,53|n +1;或者53|n ,24|n +1;或者n 与n +1中有一个为2000的倍数.分别求得n 最小为624,1375,1999,其中满足①的最小的数为624.所以,被标上2000的那个点上所标的数中最小的那个是624.38.圆周上有800个点,依顺时针方向标号为1,2,…,800,它们将圆周分为800个间隙.现在选定某个点,将其染上红色,然后进行下述操作:如果第k 号点染成了红色,那么依顺时针方向转过k 个间隙,将所到达的点染成红色.问:依此规则,圆周上最多有多少个点被染成了红色?证明你的结论.【答案】等价于求在模800的意义下,数列a ,2a ,22a ,23a ,…中,出现的不同的数的个数的最大值,这里a 在1,2,…,800中取值.注意到,当2n 2m (mod800)时 ,2n a 2m a (mod800)不一定成立;反过来,当2n a 2m a (mod800)成立时,2n 2m (mod800) 一定成立.因此,数列a ,2a ,22a ,…在模800的意义下,不同元素个数的最大值在a =1时可以取到,因此,只需求1,2,22,…在模800的意义下不同元素的个数.由于800=25×52,而n ≥5时有 2n ≡0(mod25),另外{2n (mod25)}为2,4,8,16,7,14,3,6,12,-1,-2,-4,-8,-16,-7,-14,-3,-6,-12,1,…故{2n (mod25)}中恰好有20个不同元素.结合{2n (mod25)}为2,4,8,16,0,0,…,可得{2n (mod800)}中恰好有20+4=24(个)不同的数.所以,圆周上至多有24个点染成了红色.39.设m 为正整数,且()2mod4m ≡.证明:至多存在一对正整数(a ,b ),使得m ab =,且05441a b m <-<++【答案】如果能确定a +b 的值(视m 为常数),那么利用韦达定理的逆定理,可知至多只有一组正整数(a ,b )满足条件.由条件,知(a +b ) 2=(a -b ) 2+4ab 满足1+4m ≤(a +b ) 2<5+4+1m 4m =4+1m 2) 2,即 4+1m a +b 4+1m 2,所以 41411141121m m m a b m m m +++++⎡⎡++++⎪⎣⎣⎩或,若4为整数;或4+1,若4不是整数. 总之,a +b 只能取值于某两个连续正整数.而ab =m ≡2(mod4),可知a 、b 一奇一偶,即a +b 为奇数.这样我们知道a +b 的值唯一确定,命题获证.40.设n 是一个大于10的正整数,且n 的每个数码都为1、3、7或9.证明:n 有一个大于10的素因子.【答案】用反证法,若n 的每个素因子都不大于10,利用条件,知n 为奇数,且n 不是5的倍数,故存在非负整数i 、j ,使得 n =3i ·7j ,考虑3i 与7 j 除以20所得的余数,对i =0,1,2,…, j =0,1,2,…,分别依次有 {3i (mod20)}:1,3,9,7,1,3,…;{7 j (mod20)}:1,7,9,3,1,7,….这两个都是以4为周期循环的数列,因此 3i ·7j ≡ab (mod20),这里a 、b 都为1,3,7或9.分别计算,可知 3i ·7j ≡1,3,7或9 (mod20),这表明,所有形如3i ·7j 的数的十位数字都为偶数,但n 的每一位数字都是1,3,7或9,矛盾. 所以,n 有一个大于10的素因子.41.求所有的素数对(p ,q ),使得|1p qpq p q ++.【答案】由条件可知p ≠q ,利用对称性,不妨设p <q .若p =2,则q q +5≡0(mod q ),知q =5.直接验证,可知(p ,q )=(2,5)符合要求.若p >2,则p ,q 都为奇素数.由条件知p p +1≡0(mod q ),故p 2p ≡1(mod q ),利用Fermat 小定理,有p q -1≡1(mod q ),于是, p (2p ,q -1)≡1(mod q ) . ①注意到,2|(2p ,q -1),而(2p ,q -1) |2p ,故只有下面的两种情形.情形一 (2p ,q -1) =2,则由①知p 2≡1(mod q ),导致q |p +1或q |p -1,这与p ≤q -2矛盾. 情形二 (2p ,q -1) =2p ,则由①知q ≡1(mod p ),于是0≡p p +q q +1=2(mod p ),导致p =2,矛盾.综上可知,满足条件的(p ,q )=(2,5)或(5,2) .42.设()22010f n n n n ⋯=1++++.证明:对任意整数m ,若2≤m ≤2010,则不存在正整数n ,使得()|m f n .【答案】若存在2≤m ≤2010,使得对某个正整数n ,有m |f (n ) .则由于f (1)=2011为素数(这里2011为2011去验证),故n ≠1,此时可写f (n )=201111n n --. 对m 的素因子p ,由m |f (n )知n 2011≡1(mod p ),而由Fermat 小定理知n p -1≡1(mod p ),所以,有 (2011,1)p n -≡1(mod p ).结合 p -1<2011,及2011为素数,可得(2011,p -1)=1,于是n ≡1(mod p ),从而 0≡f (n )≡1+12+…+12010=2011(mod p ),要求 p =2011,这与m ≤2010矛盾.所以命题成立.43.是否存在整数x 、y ,使得2012201120102010442011x y y y -=++?【答案】不存在这样的整数x ,y .若不然,则有x 2012+1=(4y 2010+2011)( y +1) . ①注意到,4y 2010+2011≡3(mod4),这表明①式右边有模4余3的素因子,故存在素数p ,使得p ≡3(mod4), 且 x 2012+1≡0(mod p ) .由于2012为偶数,利用2.3节例2的结论知x 2012+1的每一个奇素因子都≡1(mod4),矛盾.。
有机化学习题2
有机化学习题二8 醛、酮、醌1. 写出分子式为C 5H 10O 的醛和酮的结构式,并用普通命名法和IUPAC 命名法命名。
2. 分别指出苯乙醛和苯乙酮与下列试剂反应后的产物(1)NaBH 4而后H 3O +;(2)Tollens 试剂;(3)C 2H 5MgBr 而后H 3O +;(4)2CH 3OH/HCl (g ) (5)NH 2OH ;(6)HCN/KCN ;(7)H 2NNH 23.下列化合物哪些能发生碘仿反应?哪些能与斐林试剂反应?哪些能与托伦试剂反应?写出反应式。
4.完成下列转化,并写出反应式:5. 解释下列实验现象。
(1)旋光性物质3-苯基-2-丁酮在酸性水溶液中会发生消旋化,而同样旋光性的物质3-甲基-3-苯基-2-丁酮在同样条件下不会消旋。
(2) CH 3MgBr 和环己酮反应得到叔醇的产率可高达99%,而(CH 3)3CMgBr 在同等条件下和环己酮反应后,叔醇的产率只有1%。
(3) 3,4-二羟基丁醛在溶液中以五元而不是四元环状半缩醛形式存在。
(4).对称的酮和羟胺反应生成一种肟,不对称的酮和羟胺反应则生成二种肟。
6. 用化学方法区别下列各组化合物: (1) 2-甲基环庚酮和3-甲基环庚酮 (2) 2-戊酮、3-戊酮、环己酮7.完成下列反应,写出主要产物:2COCH32CH 2CH 3CH 2CHOCH 3CH 2C CHO3)3CCHO 3COCH 2CH 2COCH33CH 2COCH 2CH 333CH 2CCOOCH 3CH 32CH 3CH 3CH 2CHCHCH 3CH 3OH CH 3CH 2CH 2CH(OCH 3)2COOHOCH 3N HO HOOC CCH 2CH 2COOHOOOO CHCH 2CH 3OClCH 2COOCH 3COOCH 2CH 3CON(CH 3)2OO C 2H 5OHCOOCH 3COOHHH 3CH 3CH8. 有一化合物(A),分子式C 10H 12O ,与氨基脲反应得(B ),分子式为C 11H 15ON 3,(A )与托伦试剂无反应,但在Cl 2与NaOH 溶液中反应得一个酸(C ),(C )强烈氧化得苯甲酸。
系统建模与仿真习题2及答案
系统建模与仿真习题二及答案1. 考虑如图所示的典型反馈控制系统框图(1)假设各个子传递函数模型为66.031.05.02)(232++-+=s s s s s G ,s s s G c 610)(+=,21)(+=s s H 分别用feedback ()函数以及G*Gc/(1+G*Gc*H)(要最小实现)方法求该系统的传递函数模型。
(2) 假设系统的受控对象模型为s e s s s G 23)1(12)(-+=,控制器模型为 ss s G c 32)(+=,并假设系统是单位负反馈,分别用feedback ()函数以及G*Gc/(1+G*Gc*H)(要最小实现)方法能求出该系统的传递函数模型?如果不能,请近似该模型。
解:(1)clc;clear;G=tf([2 0 0.5],[1 -0.1 3 0.66]);Gc=tf([10 6],[1 0]);H=tf(1,[1 2]);G1=feedback(G*Gc,H)G2=G*Gc/(1+G*Gc*H)Gmin=minreal(G2)结果:Transfer function:20 s^4 + 52 s^3 + 29 s^2 + 13 s + 6s^5 + 1.9 s^4 + 22.8 s^3 + 18.66 s^2 + 6.32 s + 3Transfer function:20 s^8 + 50 s^7 + 83.8 s^6 + 179.3 s^5 + 126 s^4 + 57.54 s^3 + 26.58 s^2 + 3.96 ss^9 + 1.8 s^8 + 25.61 s^7 + 22.74 s^6 + 74.11 s^5 + 73.4 s^4 + 30.98 s^3+ 13.17 s^2 + 1.98 s Transfer function:20 s^4 + 52 s^3 + 29 s^2 + 13 s + 6s^5 + 1.9 s^4 + 22.8 s^3 + 18.66 s^2 + 6.32 s + 3(2)由于s c e s s s s G s G 232)1(3624)(*)(-++= 方法1:将s e 2-转换为近似多项式。
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1.下面哪些标识符在Java语言中是合法的?( ) A.persons$ B.TwoUsers C.*point D.instanceof F.end-line 2.下列( )是合法标识符。 A.2end B.-hello C.=AB D.整型变量 3.已知int i = 2 147 483 647; ++i; 则i的值等于( )。 A.- 2 147 483 648 B.2 147 483 647 C.2 147 483 648 D.-1 4.若x = 5,y = 8,则表达式x|y的值为( )。 A.3 B.13 C.0 D.5 5.若定义有变量float f1,f2 = 8.0F,则下列说法正确的是( )。 A.变量f1,f2均被初始化为8.0 B.变量f1没有被初始化,f2被初始化为8.0 C.变量f1,f2均未被初始化 D.变量f2没有被初始化,f1被初始化为8.0 6.基本数据类型short的取值范围是( )。 A.(-256)~ 255 B.(-32 768)~ 32 767 C.(-128)~ 127 D.0~65 535 7.下列( )是不能通过编译的语句。 A.double d = 545.0; B.char a1 = “c”; C.int i = 321; D.float f1 =45.0f; 8.若定义有short s; byte b; char c; 则表达式s * b + c的类型为( )。 A.char B.short C.int D.byte 9.下列循环语句的循环次数是( )。 int i=5; do { System.out.println(i--); i--; }while(i!=0); A.5 B.无限 C.0 D.1 10.下列代码哪几行会出错?( )
Exercises5_1 ex = new Exercises5_1(); ex.change(ex.str, ex.ch); System.out.print(ex.str + " "); System.out.print(ex.ch); } public void change(String str, char ch[]) { str = "How are you"; ch[1] = 'u'; } } 运行结果是:( ) 2.分析下面的程序,写出运行结果。 public class Exercises5_2 { public static void main(String[] args) { int n = 1, m, j, i; for (i = 3; i <= 30; i += 2) { m = (int) Math.sqrt((double) i); for (j = 2; j <= m; j++) if ((i % j) == 0) break; if (j >= m + 1) { System.out.print(i + " "); if (n % 5 == 0) System.out.print("\n"); n++; } } } 运行结果是:( ) 3.分析下面的程序,写出运行结果: public class Exercises5_3 { public static void main(String args[]) { String str1 = new String(); String str2 = new String("String 2"); char chars[] = { 'a', ' ', 's', 't', 'r', 'i', 'n', 'g' }; String str3 = new String(chars); String str4 = new String(chars, 2, 6); byte bytes[] = { 0x30, 0x31, 0x32, 0x33, 0x34, 0x35, 0x36, 0x37, 0x38, 0x39 }; String str5 = new String(bytes); StringBuffer strb = new StringBuffer(str3); System.out.println("The String str1 is " + str1); System.out.println("The String str2 is " + str2); System.out.println("The String str3 is " + str3); System.out.println("The String str4 is " + str4);
四、分析题
1.分析下面的程序,写出运行结果。 public class Exercises5_1 { String str = new String("Hi !"); char[] ch = { 'L', 'i', 'k', 'e' }; public static void main(String args[]) {
习题二
一、填空题
1.已知:int a =8,b=6; 则:表达式++a-b++的值为( )。 2.已知:boolean b1=true,b2; 则:表达式! b1 && b2 ||b2的值为( )。 3.已知:double x=8.5,y=5.8; 则:表达式x++>y--值为( )。 4.已知:int a[ ]={2,4,6,8}; 则:表达式(a[0]+=a[1])+ ++a[2]值为( )。 5.执行int x, a = 2, b = 3, c = 4; x = ++a + b++ + c++; 结果是( )。 6.Java中的显式类型转换既能( )也能从高类型向低类型转换,而隐式类型转换只有前者。 7.在Java中,字符串和数组是作为()出现的。 8.执行下列程序代码的输出结果是( )。 int a = 10; int i, j; i = ++a; j = a--; System.out.printf("%d,%d,%d", a, i, j); 9.执行完boolean x=false; boolean y=true; boolean z=(x&&y)&&(!y) ; int f=z==false?1:2; 这段代码后,z与f的值分别是( )和( )。
1) public void modify() { 2) int I, j, k; 3) I = 100; 4) while (I > 0) { 5) j = I * 2; 6) System.out.println(" The value of j is " + j); 7) k = k + 1; 8) I--; 9) } 10 } A.line 4 B.line 6 C.line 7 D.line 8 11.下列关于数组的定义形式,哪些是错误的?( ) A.int[ ]c=new char[10]; B.int[ ][3]=new int[2][ ]; C.int[ ]a; a=new int; D.char b[ ]; b=new char[80]; 12.执行String[] s=new String[10];语句后,哪些结论是正确的?( ) A.s[0] 为 未定义 B.s.length 为10 C.s[9] 为 null D.s[10] 为 "" 13.下列关于Java语言的数组描述中,错误的是( )。 A.数组的长度通常用length表示 B.数组下标从0开始 C.数组元素是按顺序存放在内存的 D.数组在赋初值和赋值时都不判界 14.下面的表达式哪些是正确的? ( ) A.String s="你好";int i=3; s+=i; B.String s="你好";int i=3; if(i==s){ s+=i}; C.String s="你好";int i=3; s=i+s; D.String s="你好";int i=3; s=i+; E. String s=null; int i=(s!=null)&&(s.length()>0)?s.length():0; 15.下列代表十六进制整数的是( )。 A.012345 B.2008 C.0xfa08 D.fb05 16.在switch(expression)语句中,expression的数据型不能是( )。 A.char B.short C.double D.byte 17.下列说法正确的是( )。 A.表达式“1+2>3”的值是false B.表达式“1+2||3”是非法的表达式 C.表达式“i+j=1”是非法的表达式 D.表达式“1+2>3”的值是true 18.指出正确的表达式( )。 A.byte=128; B.long l=0xfffL; C.Boolean=null; D.double=0.9239d; 19.public class T18 { static int arr[] = new int[10]; public static void main(String a[]) { System.out.println(arr[1]); } } 哪个语句是正确的?( ) A.编译时将产生错误 B.编译时正确,运行时将产生错误 C.输出零 D.输出空