北师大版九年级数学下册课件：2.2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

4ac b2
,
).
2a 4a
如果a>0,
当x< b 时，y随x的增大而减小；
2a
当x> b 时，y随x的增大而增大；
2a
当x=
b 2a
时，函数达到最小值，
最小值为 4ac b2 .
4a
x b . 2a
y
O
x
最小值：ymin
4ac b2 4a
（a>0）
如果a<0,
当x< b 时，y随x的增大而增大；
y=2(x－2)2－1 （第三步：化，化成顶点式）
∴对称轴是x=2,顶点坐标为(2,-1)
例2 求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.
解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得
y= ax2+bx+c
=
a
x2+b a
x
+
c
=
a
x
2
+
2•
b
2a
x+
b 2a
2
-
b 2a
2
2a
当x> b 时，y随x的增大而减小;
2a
当x= b 时，函数达到最大值，
2a
最大值为
4ac b2 4a
.
y
最大值：ymax
4ac b2 4a
O x b .
x
2a
（a<0）
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
项目 字母
a
b
c
字母的符号
a＞0 a＜0 ab＞0(a，b同号)
ab＜0(a，b异号) c＝0 c＞0 c＜0
最值
x=h时,y最小
x=h时,y最大
抛物线y=a(x-h)2+k可=以k看作是由抛物线y=ax2=经k 过平移得到的.
例题讲解Fra Baidu bibliotek
例1 求二次函数y=2x2－8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
解: y=2x2－8x+7 y=2(x2－4x)+7
（第一步：提，提出二次项系数）
y=2(x2－4x+4)－8+7 （第二步：配，加上一次项系数一半的平方）
4ac b2
4
9 400
10
9 10
2
1
4a
4 9
400
∴钢缆的最低点到桥面的距离是1m
两条钢缆最低点之间的距离是|-20|×2=40m
课堂小结
y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式)
配方法 公式法
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
顶点：
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
C．3
D．4
解析:由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0， 由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第 二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0， 可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
迎来转机。乐观豁达的人，能把平凡的生活变得富有情趣，能把苦难的日子变得甜美珍贵，能把繁琐的事情变得简单可行。以平常心看世界， 花开花谢都是风景。
随堂演练
1. 关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是( D ) A．图象与y轴的交点坐标为(0，1) B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为－3
2. 一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( C )
4.把二次函数y＝－2x2－4x＋1配成y＝a(x－h)2＋k的形式 为_y_＝__－__2_(x_＋__1_)2_＋__3，所以其图象的开口向_下__，对称轴 是直线_x_=_-_1_，顶点坐标为_(_-_1_,3_)_．
5. 下图所示桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而
且左、右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标
+
c
=
a
x+
b 2a
2
+
4ac - b2 4a
.
类似于一元二次 方程的求根公式
因此，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线 x = - b ，
2a
顶点坐标为
-
b 2a
，4ac 4a
b2
.
获取新知
二次函数y=ax2+bx+c图象和性质：
对称轴： x b . 2a
顶点：
(
b
系，左面一条抛物线可以用 y = 9 x2 + 9 x + 10 表示.
400 10
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？
桥面
10 y/m
5
-5O 5
x/m
解: y 9 x2 9 x 10
400 10
9
顶点坐标
x
b 2a
10 2 9
20
400
顶点坐标 y
图象的特征
开口向上 开口向下 对称轴在y轴左侧
对称轴在y轴右侧 图象过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
例题讲解 例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论： ①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是 ( D )
A．1
B．2
2.2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识回顾 完全平方公式是什么？
（a+b）2=a 2 +2ab+b 2 （a-b）2=a 2 -2ab+b 2
y=a(x-h)2+k 开口方向 顶点坐标
对称轴
a>0 向上 (h ,k) x=h
a<0 向下 (h ,k) x=h
增减性
当x<h时，y随着x的增 当x<h时,y随着x的增大 大而减小；当x>h时， 而增大；当x>h时，y随 y随着x的增大而增大. 着x的增大而减小.
(顶点式)
对称轴： x b
2a
4. 成功的信念在人脑中的作用就如闹钟，会在你需要时将你唤醒 4 、当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。 10. 树立远大的目标，现在看起来似乎是遥不可及，但是不要怀疑，每天持续地努力，累积下来，一定可以达到。 16. 伟大的事业不是靠力气、速度和身体的敏捷完成的，而是靠性格、意志和知识的力量完成的 10 、读书改变命运，刻苦成就事业，态度决定一切。 3. 月考分数高低何足挂齿，平时名次浮动纯属正常。 1 、人生就像一口大锅，当你走到了锅底时，无论朝哪个方向走，都是向上的。最困难的时刻也许就是拐点的开始，改变一下思维方式就可能
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1
是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③
a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（3 ，y2）是抛物线上两点
，则y1>y2.其中正确的是（ ）B
y
A．①②③ C．①②④
B．①③④ D．②③④
O 2x x=-1