行列式的展开法则
§3 行列式的展开定理
§1 行列式的定义 §2 行列式的性质与计算 §3 行列式展开定理、克拉默法则
一、余子式、代数余子式 二、行列式按一行（列）展开法则 三、克拉默法则
§3 行列式展开定理、克拉默法则
引例
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
3.推论
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, i j
a11 A21 a12 A22 a1n A2n 0
§3 行列式的展开定理
( xn xn1 )
( x2 x1 ) ( x3 x1 )( x3 x2 ) ( xn x1 )( xn x2 ) ( xn xn1 )
§3 行列式的展开定理
先证明3阶范德蒙行列式
111
D3 x1 x2 x3
( xi x j )
x12 x22 x32 1 ji3
( x2 x1 )( x3 x1 )( x3 x2 ).
ai1 , n ai1 ,n
an1
an, j1 an , j1
ann
称之为元素 aij 的余子式,记作 Mij ．
§3 行列式的展开定理
令
Aij (1)i j Mij
称 Aij之为元素 aij 的代数余子式．
注：
① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式
和一个代数余子式．
② 元素 aij 的余子式和代数余子式与 aij 的大小 无关，只与该元素所在行列式中的位置有关．
行列式的展开法则
03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++=L L ； 2)按一列展开法则1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++=L L . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式1)xy x y yxO O； 2)111111121n n----O OL ； 3)121111n n n a a x D a x a x---=-M O O .解 1)按1c 展开得原式1111111(1)(1)n n n n n nn xA yA xx y y x y -+-+=+=+-=+-.2)原式121(1)(12)2n n nn n c c c c n n n A c -++++++++=L L 按展开. 3)法1 按1r 展开得法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为11111(1)11i n i i x xM x x xx-----==---O OO O. 将n D 按1c 展开得11211211(1)ni n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑L .法3 1121212112121101,1,,210i i nn n n n n n na a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++M O OL L L12121n n n n a x a x a x a ---=++++L . ()11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--=法4 按n r 展开得 定理3.2 当i j ≠时，11220i j i j in jn a A a A a A +++=L ；11220i j i j ni nj a A a A a A +++=L . 注 1122||A i j i j in jn ij a A a A a A +++=L δ， 1122||A i j i j ni nj ij a A a A a A +++=L δ，其中为克罗内克(Kronecker )符号.例3.3 1)二元(实)函数显然(,)xy f x y =δ. 2)diag(1,1,,1)[]ij n n ⨯=L δ.例3.4 设四阶行列式1212211220211234D =.1)求代数余子式12A ； 2)求1121314123A A A A +++； 3)求41424344A A A A +++.行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号例3.5 1)若正整数i j ≠，则2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列 中，(17,3)i a i i ≤≤≠位于第3i i -ρ位. 在序列 中，(17,3,5)i a i i ≤≤≠位于第35i i i --ρρ位.3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.s t j j 构成逆序01s t t s j j j j ⇔=⇔=ρρ，121()t sn j j s t nj j j ≤<≤=∑L τρ.例3.6 n 阶范德蒙(Vandermonde )矩阵1[]i j n n a -⨯的行列式例3.7 填空11112345_____49162582764125----=----.例3.8 设0abcd ≠，求证222211(,,,)11a a bcdbb acdV a b c d c c abd d d abc=-.例3.9 计算n 阶三对角行列式111n a b ab a b ab D a b aba b++=++O OO .二、按多行(列)展开法则定义3.2 矩阵A m n ⨯的k l ⨯子矩阵1212A k l i i i j j j ⎛⎫⎪⎝⎭L L 及其余子阵，k 阶子方阵、k 阶子式；n 阶方阵或其行列式中k 阶子式的n k -阶余子式M 、代数余子式1212()()(1)k k i i i j j j A M +++++++=-L L ，k 阶(顺序)主子阵、k 阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.例3.10 设55[]A ij a ⨯=.1)25135A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个23⨯子矩阵，13424A ⎛⎫⎪⎝⎭为其余子阵； 2)1325A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个2阶子方阵，1325A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个2阶子式，245134A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为对应余子式，而对应代数余子式为(13)(25)245245(1)134134A A +++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3)235235A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子阵，235235A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子式，其代数余子式就是余子式1414A ⎛⎫⎪⎝⎭，是A 的一个2阶主子式；4)A 共有五个顺序主子阵(式).定理3.3 按多行(列)展开法则——拉普拉斯(Laplace )定理1122C C ||A k k nnN A N A N A =+++L .例3.11 计算四阶行列式1234500112365112D -=--.例3.12 计算六阶行列式111000234000310161111101112411243161139D =---.例3.13 计算六阶行列式120000350000635475124583240064270034D -=-.例3.14 计算叉形行列式1)11211n n n nna b a b D c d c d =ONN O；2)112111nn n nna b a b D e c d c d +=ONN O.。
行列式展开与应用例题和知识点总结
行列式展开与应用例题和知识点总结一、行列式的定义行列式是一个数值，它是由一个 n 阶方阵的元素按照一定的规则计算得到的。
对于一个二阶方阵 A ＝ a b; c d，其行列式的值为 ad bc。
对于一个三阶方阵 A ＝ a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33，其行列式的值可以通过以下公式计算：｜A| ＝ a11(a22a33 a23a32) a12(a21a33 a23a31) ＋ a13(a21a32a22a31)二、行列式的展开法则1、二阶行列式的展开对于二阶行列式｜a b; c d|，其展开式为 ad bc。
2、三阶行列式的展开三阶行列式可以按照某一行（或列）展开。
例如，按第一行展开：｜a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33| ＝ a11 × M11 a12 × M12 ＋a13 × M13其中，Mij 是元素 aij 的余子式，即去掉第 i 行和第 j 列后剩下的元素构成的二阶行列式的值，再乘以（－1)＾（i ＋ j)。
3、 n 阶行列式的展开n 阶行列式可以按照任意一行（或列）展开，其展开式是一个线性组合。
三、行列式的性质1、行列式与它的转置行列式相等。
2、互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
3、行列式中某行（列）的元素乘以同一数后，加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。
四、行列式的应用例题例 1：计算行列式｜2 1; 3 4|解：根据二阶行列式的展开公式，该行列式的值为 2×4 1×3 ＝ 8 3 ＝ 5例 2：计算三阶行列式｜1 2 3; 4 5 6; 7 8 9|解：我们可以按第一行展开：｜1 2 3; 4 5 6; 7 8 9| ＝ 1×（5×9 6×8) 2×（4×9 6×7) ＋ 3×（4×85×7)＝ 1×（－3) 2×（－6) ＋ 3×（－1)＝－3 ＋ 12 3＝ 6例 3：已知行列式｜a b c; d e f; g h i| ＝ 4，求行列式｜2a 2b 2c; 3d 3e 3f; 4g 4h 4i|的值。
行列式按行列展开定理
行列式按行列展开定理一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组： 11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D =,22D x D =,…n N D x D= 1111,1122,11,1......................j nj j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
行列式按行列展开定理讲解学习
行列式按行列展开定理行列式按行列展开定理一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ija 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积：ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组：11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D =,22D x D =,…n N D x D= 1111,1122,11,1......................j nj j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
行列式展开定理
行列式展开定理行列式展开定理是线性代数中的重要定理之一，它是计算行列式的一个有效方法。
行列式是一个与矩阵相关的数值，它对于矩阵的性质和变换具有重要的作用。
行列式展开定理的全称为“按某一行（列）展开”，它是通过一系列代数运算将一个n阶行列式转化为n-1阶行列式来计算行列式的方法。
设A是一个n阶矩阵，其行列式用det(A)表示。
行列式展开定理可以按任意一行或一列展开，我以按行展开为例。
设A的第i行的元素为a[i1]、a[i2]、……、a[in]，则根据行列式展开定理，行列式的展开可以表示为如下形式：det(A) = a[i1]∙A[i1] + a[i2]∙A[i2] + … +a[in]∙A[in]其中A[i]表示经过去掉第i行和第j列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。
我们可以继续展开每个A[i]，直到展开到2阶行列式或者1阶行列式为止。
对于2阶行列式，计算公式为：det(B) = b11∙b22 - b12∙b21其中B是2阶矩阵，b11、b12、b21、b22为矩阵B的元素。
对于1阶行列式，计算公式为：det(C) = c11其中C是一个1阶矩阵，c11为矩阵C的元素。
通过不断展开每个子矩阵，并根据2阶和1阶行列式的计算公式，我们最终可以将n阶行列式的计算转化为一系列的代数计算，从而得到行列式的具体数值。
行列式展开定理的应用非常广泛，例如在解线性方程组、求逆矩阵、计算行列式的值等方面都有重要的作用。
它不仅可以帮助我们更深入地理解矩阵的性质，还能够为我们提供一种高效的计算方法。
总之，行列式展开定理是线性代数中的重要定理之一，它通过一系列代数运算将n阶行列式转化为n-1阶行列式来计算行列式的值，具有广泛的应用价值。
行列式运算法则
行列式运算法则行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要作用。
行列式的计算方法多种多样，其中包括了一些重要的运算法则。
本文将介绍行列式运算法则的相关知识，包括展开定理、性质和计算方法等内容。
1. 展开定理展开定理是计算行列式的重要方法之一。
对于一个n阶行列式，可以通过展开定理将其转化为n-1阶行列式的求解。
展开定理的具体表达式如下：对于n阶行列式：\[D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]可以通过其中的某一行或某一列展开，得到：\[D=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots+a_{in}C_{in}\] 或\[D=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots+a_{nj}C_{nj}\]其中，\(C_{ij}\)是代数余子式，定义为去掉第i行第j列后剩余元素构成的n-1阶行列式乘以\((-1)^{i+j}\)。
通过展开定理，可以将一个n阶行列式转化为n-1阶行列式的求解，从而简化计算。
2. 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，这些性质在计算和理论推导中起着重要作用。
下面列举几条常见的性质：（1）行列式与其转置行列式相等：即对于任意n阶方阵A，有\(det(A)=det(A^T)\)。
（2）行列式的某一行（列）乘以常数k，等于行列式乘以k：即对于n阶行列式D，有\(k\cdot det(A)=det(kA)\)。
（3）行列式中有两行（列）相等，则行列式为0：即如果行列式中有两行（列）元素完全相同，则行列式的值为0。
行列式的展开定理
行列式的展开定理
行列式的展开定理是指给定一个n阶行列式A，n≥1，对A进行展开，则A等于其各行中任取一项，乘上对于这一项的代数余子式，按行号排列
的和。
展开定理的主要思想是求解行列式，可以将原本n阶行列式简化为二
阶行列式，逐渐简化，最后变为一阶行列式，其值即为最终求出的行列式值。
展开定理的乘积分配律为：对于一个n阶行列式A，其中的任一一行
乘以一个常数c，那么这个行列式的值就相应乘以一个常数c。
展开定理的符号表示方法为：记A为行/列式，aij表示A的第（i，
j）项。
通常情况下，行列式展开定理表示为：
A=a11|A11|+a12|A12|+…+ain|Ain|，其中|Aij|表示行列式A的第i
行第j列的余子式。
经常使用的展开定理有两种：一类是Sarrus定理，一类是Laplace
定理。
Sarrus定理：3阶行列式可以按照a11,a12,a21,a22,a31,a32的顺序
展开，即A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-
a11a23a32。
Laplace定理：n阶行列式可以按照每行或每列任取一项，乘以这一
项的代数余子式，按行号或列号排列求和。
【DOC】行列式的展开法则
【DOC】行列式的展开法则行列式是线性代数中的重要概念之一，它可以用于求解线性方程组、矩阵的逆、矩阵的秩等问题。
展开法则是求解行列式的一种方法，其基本思想是利用行列式的性质，在行（或列）上进行化简，直到得到一个简单的行列式，然后根据行列式的性质进行计算。
本文将介绍行列式的展开法则及其相关性质。
一、定义行列式是一个由数构成的方阵，其计算方式如下：$$ \begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}& \cdots&a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}& \cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma( 2)}\cdots a_{n\sigma(n)} $$其中，$\sigma$ 是从 $n$ 个数 $1,2,\cdots,n$ 中选取 $n$ 个数的一个排列，$\operatorname{sgn}(\sigma)$ 是排列 $\sigma$ 的逆序数，$a_{i\sigma(i)}$ 是第$i$ 行 $\sigma(i)$ 列的元素。
例如，当 $n=2$ 时，行列式为：$$ \begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} $$二、展开法则1. 拉普拉斯展开法则拉普拉斯展开法则是行列式展开法则中最基本的一种。
它的基本思想是：对于一个$n$ 阶行列式 $D$，选取其中任意一行（或一列）进行展开，得到 $n-1$ 阶行列式，然后递归地对 $n-1$ 阶行列式进行展开，直到得到 $2$ 阶行列式为止，在计算过程中交替改变符号。
行列式计算法则
行列式计算法则行列式是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵和向量运算中起着重要的作用。
在本文中，我们将讨论行列式的计算法则，包括展开定理、性质和应用。
1. 展开定理行列式的展开定理是计算行列式的重要方法之一。
对于一个n 阶行列式A，可以通过展开定理将其转化为n-1阶行列式的和的形式。
展开定理的具体形式如下：\[|A| = \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}\]其中，\(a_{ij}\)表示矩阵A的第i行第j列的元素，\(M_{ij}\)表示剩余元素构成的n-1阶行列式，\(i\)和\(j\)分别表示所选取的行和列。
通过展开定理，可以将一个n阶行列式转化为n-1阶行列式的和的形式，从而简化行列式的计算过程。
2. 性质行列式具有许多重要的性质，这些性质对于行列式的计算和应用都具有重要的意义。
其中一些重要的性质包括：- 交换性质：行列式中交换两行（列）的位置，行列式的值相反。
- 线性性质：如果行列式的某一行（列）可以表示为两个向量的线性组合，那么该行列式可以表示为两个行列式的和。
- 数乘性质：如果行列式的某一行（列）所有元素都乘以一个数k，那么行列式的值也乘以k。
这些性质为行列式的计算提供了重要的理论基础，同时也为行列式的应用提供了便利。
3. 应用行列式在线性代数和相关领域中有着广泛的应用。
其中一些重要的应用包括：- 线性方程组的求解：通过行列式的方法可以求解线性方程组的解，特别是对于n阶线性方程组，行列式的方法是一种重要的求解手段。
- 矩阵的求逆：矩阵的逆可以通过行列式的方法求解，行列式为0的矩阵没有逆矩阵，而非零行列式的矩阵存在逆矩阵。
- 线性变换的性质：行列式可以用来判断线性变换是否保持了面积或体积的性质，从而对线性变换的性质进行分析。
通过行列式的计算和应用，我们可以更好地理解线性代数中的重要概念，同时也可以解决实际问题中的相关计算和分析。
总结行列式是线性代数中的重要概念，它通过展开定理、性质和应用为线性代数和相关领域的计算和分析提供了重要的方法和工具。
行列式按行列展开法则
行列式按行列展开法则1、三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。
计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型。
2、交换行列式中的两行（列），行列式变号。
3、行列式中某行（列于）的公因子，可以明确提出放在行列式之外。
4、行列式的某行乘以a，加到另外一行，行列式不变，常用于消去某些元素。
5、若行列式中，两行（列于）全然一样，则行列式为0；可以推断，如果两行（列于）成比例，行列式为0。
6、行列式展开：行列式的值，等于其中某一行（列）的每个元素与其代数余子式乘积的和；但若是另一行（列）的元素与本行（列）的代数余子式乘积求和，则其和为0。
7、在解代数余子式有关问题时，可以对行列式展开值替代。
8、克拉默法则：利用线性方程组的系数行列式求解方程。
9、齐次线性方程组：在线性方程组等式右侧的常数项全部为0时，该方程组称作齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。
齐次线性方程组一定存有零求解，但不一定存有非零求解。
当d=0时，存有非零求解；当d!=0时，方程组无非零求解。
行列式性质①行列式a中某行(或列于)用同一数k乘,其结果等同于ka。
②行列式a等于其转置行列式at(at的`第i行为a的第i列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列于);行列式则|αij|就是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列于),一个就是b1,b2,…,bn；另一个就是с1，с2,…,сn；其余各行（或列于）上的元与|αij|的全然一样。
④行列式a中两行（或列）互换,其结果等于-a。
⑤把行列式a的某行（或列于）中各元同乘一数后加进另一行（或列于）中各对应元上，结果仍然就是a。
行列式按行(列)展开定理
证 由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和.
10
a11
a12
a1n
ai1
ai2
a in
在行列式 D
ak1
ak 2
a kn
an1
3 1 1 2
5 1
例2 计算行列式 D
20
3 4 .
1 1
1 5 3 3 14
3 1 1 2
解
5 D
1
20
3 4 1 1
1 5 3 3
c1 2 c3 c4 c3
5 1 1 1 11 1 3 1
0 010 5 5 3 0
15
5 11
5 11
(1)33 11
1
1 r2 r1 6
2
0
5 5 0
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
3
a11 a12 a14
M23 a31 a32 a34 a23 的余子式.
a41 a42 a44
A23
1
M 2 3 23
M23
a23 的代数余子式.
an
0
b 0
0
0
0 b
0
0
00
b
[(a1 a2 an ) b](b)n1
32
例9 x1 a a a
a x2 a a
D a
a
x3
行列式的计算法则
行列式的计算法则行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、线性方程组求解、向量空间等领域都有重要应用。
行列式的计算法则是指在给定一个n阶方阵时，如何通过一定的规则来计算其行列式的值。
本文将介绍行列式的计算法则，包括展开定理、性质与性质的应用、克拉默法则等内容。
一、展开定理对于一个n阶方阵A，其行列式的计算可以通过展开定理来进行。
展开定理的基本思想是将n阶方阵的行列式表示为n个n-1阶子式的线性组合。
具体来说，对于一个n阶方阵A，其行列式的计算可以通过以下公式来表示：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n其中，a11, a12, ..., a1n分别为矩阵A的第一行元素，A11, A12, ..., A1n分别为a11, a12, ..., a1n对应的代数余子式。
代数余子式的计算可以通过递归的方式来进行，即将n阶方阵的行列式表示为n个n-1阶子式的线性组合，直至计算到1阶方阵的行列式为止。
二、性质与性质的应用在行列式的计算中，有一些性质可以帮助简化计算过程。
这些性质包括行列式的转置、行列式的倍乘、行列式的相加等。
具体来说，对于一个n阶方阵A和一个标量k，有以下性质：1. 行列式的转置：det(A^T) = det(A)2. 行列式的倍乘：det(kA) = k^n det(A)3. 行列式的相加：det(A + B) ≠ det(A) + det(B)这些性质可以在实际计算中帮助简化行列式的计算过程，特别是在展开定理的应用中。
通过这些性质，我们可以将一个复杂的n阶方阵的行列式计算简化为一系列简单的步骤，从而提高计算效率。
三、克拉默法则在线性代数中，克拉默法则是一种利用行列式来求解线性方程组的方法。
具体来说，对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A为一个n阶方阵，b为一个n维列向量，x为一个n维未知向量，如果A的行列式不为0，那么方程组有唯一解，并且可以通过以下公式来表示：xi = det(Ai) / det(A)其中，Ai是将A的第i列替换为b得到的新矩阵，det(Ai)为新矩阵的行列式。
行列式展开法则
行列式展开法则行列式展开法则是线性代数中的一个重要概念，它可以用来计算一个矩阵的行列式值。
在实际应用中，行列式展开法则可以帮助我们求解线性方程组、计算向量的叉乘、判断矩阵的可逆性等问题。
本文将介绍行列式展开法则的定义、计算方法以及应用。
1. 行列式的定义行列式是一个数学概念，它是一个关于矩阵的函数，用来描述矩阵的某些性质。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其中n表示矩阵的阶数。
行列式的计算方法有多种，其中最常用的方法之一就是行列式展开法则。
2. 行列式展开法则的基本思想行列式展开法则的基本思想是将一个n阶矩阵的行列式表示成n个n-1阶矩阵的行列式的和的形式。
具体来说，对于一个n阶方阵A，它的行列式可以表示为：det(A) = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n其中a11, a12, ..., a1n分别表示矩阵A的第一行元素，C11, C12, ..., C1n分别表示与a11, a12, ..., a1n对应的代数余子式。
代数余子式的计算方法是将矩阵A中与a11, a12, ..., a1n对应的行和列划去后，计算剩下的n-1阶子矩阵的行列式值。
3. 行列式展开法则的计算方法行列式展开法则的计算方法可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个3阶方阵A，它的行列式记作det(A)，则根据行列式展开法则，可以表示为：det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13其中a11, a12, a13分别表示矩阵A的第一行元素，C11, C12, C13分别表示与a11, a12, a13对应的代数余子式。
具体计算过程如下：C11 = det(A11) = a22a33 - a23a32C12 = det(A12) = -(a21a33 - a23a31)C13 = det(A13) = a21a32 - a22a31将代数余子式代入行列式展开公式中，得到：det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)通过计算可以得到矩阵A的行列式值det(A)。
行列式按行列展开法则
行列式按行列展开法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数学对象，用于描述矩阵的性质和特征。
行列式按行列展开法则是计算行列式的一种方法，它可以帮助我们快速准确地求解任意阶行列式的值。
本文将介绍行列式按行列展开法则的基本原理和具体计算步骤。
1. 行列式的定义在介绍行列式按行列展开法则之前，首先需要了解行列式的定义。
一个n阶方阵A的行列式记作|A|，它是一个数值，表示由矩阵A的元素所确定的一个量。
对于2阶矩阵：A = |a11 a12||a21 a22|其行列式的计算公式为：|A| = a11 * a22 - a12 * a21对于3阶矩阵：A = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|其行列式的计算公式为：|A| = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a11 * a23 * a32 - a12 * a21 * a33对于n阶矩阵，行列式的计算公式较为复杂，因此需要借助行列式按行列展开法则来简化计算过程。
2. 行列式按行列展开法则的基本原理行列式按行列展开法则是通过递归的方式将一个n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题，从而简化计算过程。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的计算可以按照以下步骤进行：（1）选择矩阵A的第i行（或第j列）进行展开，记作Ai （或Aj）；（2）对于展开后的行列式Ai（或Aj），将其每个元素乘以对应的代数余子式，并加上符号因子后相加，得到展开后的行列式的值。
符号因子的计算规则为：若i+j为偶数，则符号因子为正号；若i+j为奇数，则符号因子为负号。
通过以上步骤，可以将一个n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题，从而简化计算过程。
3. 行列式按行列展开法则的具体计算步骤接下来，我们以一个3阶矩阵的行列式为例，介绍行列式按行列展开法则的具体计算步骤。
行列式的展开法则
行列式的展开法则行列式是线性代数中的重要概念，它可以用于解决许多数学问题。
在此，我们将介绍行列式的展开法则，并探讨其在计算中的应用。
首先，什么是行列式？行列式是一个方阵（即行数等于列数）的特殊矩阵。
方阵可以是2x2、3x3、4x4等不同维度的矩阵。
行列式的计算结果是一个标量，可以理解为一个数值。
行列式的展开法则是一种递归的计算方法，通过利用代数余子式和代数余子式的符号规律，将一个n阶行列式（即n维方阵的行列式）展开为n个n-1阶行列式的和。
具体呈现为一个公式：行列式的展开法则公式：det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13+ ... + a1nAn，其中a11、a12、a13等表示行列式A中的元素，A11、A12、A13等表示对应元素的代数余子式。
在上述公式中，每一项由行列式元素乘以对应代数余子式组成，并在最后求和得到行列式的值。
如何计算代数余子式？代数余子式是指在一个行列式中，去掉第i 行和第j列后，剩下的部分行列式。
例如，对于一个3x3方阵，A11表示去掉第1行和第1列的2x2方阵，即行列式的第一个元素的代数余子式。
行列式的展开法则对于计算高维矩阵的行列式特别有用。
由于递归的性质，我们可以将n阶行列式拆解成n个n-1阶行列式的和。
这种分解可以大大简化计算的复杂性。
行列式的展开法则在多个领域中有广泛的应用。
例如，在线性代数中，我们可以利用展开法则计算方阵的行列式，进而判断方阵是否可逆以及求解线性方程组的解。
此外，行列式的展开法则还可以应用于求解特征值和特征向量、求解矩阵的逆、求解方程组的解等问题。
通过利用代数余子式的规律，我们可以快速、准确地计算出复杂的行列式。
总之，行列式的展开法则是线性代数中至关重要的概念。
通过将n 阶行列式展开成n个n-1阶行列式的和，我们可以高效地计算行列式的值，并应用于解决各种数学问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解行列式的展开法则，并在实际应用中发挥指导作用。
行列式的展开定理
证明
11
1
D3
r3
r2 ( x1 )
x1 0
x2 x22 x1 x2
x3 x32 x1 x3
11
1
r2 r1 ( x1 ) 0 x2 x1 x3 x1 0 x22 x1 x2 x32 x1 x3
§3 行列式的展开定理
x2 x1 x22 x1 x2
x3 x1 x32 x1 x3
一、余子式、代数余子式 二、行列式按一行（列）展开法则 三、克拉默法则
§3 行列式展开定理、克拉默法则
引例
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2
i 1,2, ,n
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j
j 1,2, ,n
n
ain Ain aik Aik
k 1
n
anj Anj akj Akj k 1
1 xn x1 xn2 x1 xn
xnn1 x1 xnn2
§3 行列式的展开定理
x2 x1 x2( x2 x1 )
x3 x1 x3( x3 x1 )
xn x1 xn( xn x1 )
x2n2 ( x2 x1 ) x3n2 ( x3 x1 )
xnn2( xn x1 )
11
1
3.推论
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, i j
行列式展开定理
行列式展开定理行列式展开定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了一个n阶行列式可通过对其中一行（或一列）进行展开，用余子式乘以对应元素的代数余子式构成的和来表示。
这个定理的证明主要基于数学归纳法和代数性质的运用。
首先，我们来介绍一些必要的定义和概念。
行列式是一个有序数表，是一个正方形矩阵中对角线上元素相乘并按照一定规则相加得到的一个数。
例如，对于一个2阶行列式（2x2矩阵）：$\begin{vmatrix}a &b \\c & d\\\end{vmatrix}$ = ad - bc行列式的计算可以通过对行或列的操作转化为三角形矩阵，从而简化计算。
对于n阶行列式，可以递归地进行以下展开运算：选择第i行（或第j列）进行展开，将此行的元素乘以对应的代数余子式，并进行符号调整后相加。
具体地，使用数学归纳法，我们可以证明行列式展开定理。
当n=2时，定理显然成立。
假设当n=k时，定理成立，即k阶行列式可以通过任选一行（或一列）展开为余子式乘以对应元素的代数余子式之和，即$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1k} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2k}\\\vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\a_{k1} & a_{k2} & \ldots & a_{kk}\\\end{vmatrix}$=$a_{i1}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$+(-1)^(i+1)$a_{i2}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$+$\ldots$+(-1)^(i+k)$a_{ik}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$。
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03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则
定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则 1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++= ； 2)按一列展开法则 1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++= . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式
1)
x
y x y
y
x
； 2)
11
1111
1
21n n
----
； 3)121111n n n
a a x
D a x
a x
---=
-
.
解 1)按1c 展开得
原式1
111111(1)(1)n n n n n n n xA yA xx
y y x y -+-+=+=+-=+-. 2)原式
121
(1)
(12)2
n n nn n c c c c n n n A c -++++++++=
按展开
. 3)法1 按1r 展开得
()
112112121223121211(,,,)(,,)
(,,).
()n n n n n n n n n n n n n n n D a a a a x D a a a x a x D a a a x a x a x a D a a --------=+=++==++++=
法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为
1111
1
(1)11
i n i i x x M x x x x
-----=
=---
.
将n D 按1c 展开得
11211211
(1)n
i n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑ .
法3 1
12
1
21211212110
1,1,,2
10
i i n
n n n n n n n
a a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++
12121n n n n a x a x a x a ---=++++ . ()11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--=
法4 按n r 展开得
11121
2
121.
n n n nn n n n n n n n n n D a A xA a xD a a x xD a x a x a x a ------=+=+=++==++++
定理3.2 当i j ≠时， 11220i j i j in jn a A a A a A +++= ；
11220i j i j ni nj a A a A a A +++= . 注 1122||A i j i j in jn ij a A a A a A +++= δ， 1122||A i j i j ni nj ij a A a A a A +++= δ，
其中
1,;
0,ij i j i j
=⎧=⎨
≠⎩当当δ
为克罗内克(Kronecker )符号.
例3.3 1)二元(实)函数
1,;(,)0,.x y f x y x y =⎧=⎨
≠⎩
当当 显然
(,)xy f x y =δ.
2)diag(1,1,,1)[]ij n n ⨯= δ.
例3.4 设四阶行列式121221
12202112
34
D =
. 1)求代数余子式12A ； 2)求1121314123A A A A +++； 3)求41424344A A A A +++.
行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号
1,;
0,.
ij i j i j <⎧=⎨
>⎩当当ρ 例3.5 1)若正整数i j ≠，则
1.ij ji +=ρρ
2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列
124567,,,,,a a a a a a 中，(17,3)i a i i ≤≤≠位于第3i i -ρ位. 在序列
12467,,,,a a a a a
中，(17,3,5)i a i i ≤≤≠位于第35i i i --ρρ位.
3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.
s t j j 构成逆序01s t t s j j j j ⇔=⇔=ρρ，
121()t s
n j j s t n
j j j ≤<≤=
∑
τρ.
例3.6 n 阶范德蒙(Vandermonde )矩阵1[]i j n n a -⨯的行列式
122131121(,,,)()()()(,,)
().
n n n j i i j n
V a a a a a a a a a V a a a a ≤<≤=---=
-∏
例3.7 填空
11112345
_____49162582764125----=----.
例3.8 设0abcd ≠，求证
222211(,,,)11a a bcd b b acd
V a b c d c c abd d d abc
=-.
例3.9 计算n 阶三对角行列式
111n a b ab a b ab D a b ab
a b
++=++ .
二、按多行(列)展开法则
定义3.2 矩阵A m n ⨯的k l ⨯子矩阵1212
A k l i i i j j j ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 及其余子阵，
k 阶子方阵、k 阶子式；
n 阶方阵或其行列式中k 阶子式的n k -阶余子式M 、代数余子式
1212()()(1)k k i i i j j j A M +++++++=- ，
k 阶(顺序)主子阵、k 阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.
例3.10 设55[]A ij a ⨯=.
1)25135A ⎛⎫
⎪⎝⎭是A 的一个23⨯子矩阵，13424A ⎛⎫
⎪⎝⎭
为其余子阵；
2)1325A ⎛⎫
⎪⎝⎭是A 的一个2阶子方阵，1325A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个2阶子式，245134A ⎛⎫
⎪⎝⎭
为对应余子式，而对应代数余子式为
(13)(25)245245(1)134134A A +++⎛⎫⎛⎫
-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
3)235235A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子阵，235235A ⎛⎫
⎪
⎝⎭
是A 的一个3阶主子式，其代数余子式就是余子式1414A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，是A 的一个2阶主子式；
4)A 共有五个顺序主子阵(式).
定理3.3 按多行(列)展开法则——拉普拉斯(Laplace )定理
1122C C ||A k k n
n
N A N A N A =+++ .
例3.11 计算四阶行列式
12345001
123651
12
D -=
--.
例3.12 计算六阶行列式
111000234000
31016
111110
1112
4
1124316
1139
D =
---.
例3.13 计算六阶行列式
120000350000635475
12458324006427003
4
D -=
-.
例3.14 计算叉形行列式
1)1
1
211
n n n n
n
a b a b D c d c d =
；
2)1
1
211
1
n
n n n
n
a b a b D e c d c d +=
.。