行列式的展开法则

03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则

定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则 1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++= ； 2)按一列展开法则 1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++= . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式

1)

x

y x y

y

x

； 2)

11

1111

1

21n n

----

； 3)121111n n n

a a x

D a x

a x

---=

-

.

解 1)按1c 展开得

原式1

111111(1)(1)n n n n n n n xA yA xx

y y x y -+-+=+=+-=+-. 2)原式

121

(1)

(12)2

n n nn n c c c c n n n A c -++++++++=

按展开

. 3)法1 按1r 展开得

()

112112121223121211(,,,)(,,)

(,,).

()n n n n n n n n n n n n n n n D a a a a x D a a a x a x D a a a x a x a x a D a a --------=+=++==++++=

法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为

1111

1

(1)11

i n i i x x M x x x x

-----=

=---

.

将n D 按1c 展开得

11211211

(1)n

i n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑ .

法3 1

12

1

21211212110

1,1,,2

10

i i n

n n n n n n n

a a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++

12121n n n n a x a x a x a ---=++++ . ()11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--=

法4 按n r 展开得

11121

2

121.

n n n nn n n n n n n n n n D a A xA a xD a a x xD a x a x a x a ------=+=+=++==++++

定理3.2 当i j ≠时， 11220i j i j in jn a A a A a A +++= ；

11220i j i j ni nj a A a A a A +++= . 注 1122||A i j i j in jn ij a A a A a A +++= δ， 1122||A i j i j ni nj ij a A a A a A +++= δ，

其中

1,;

0,ij i j i j

=⎧=⎨

≠⎩当当δ

为克罗内克(Kronecker )符号.

例3.3 1)二元(实)函数

1,;(,)0,.x y f x y x y =⎧=⎨

≠⎩

当当 显然

(,)xy f x y =δ.

2)diag(1,1,,1)[]ij n n ⨯= δ.

例3.4 设四阶行列式121221

12202112

34

D =

. 1)求代数余子式12A ； 2)求1121314123A A A A +++； 3)求41424344A A A A +++.

行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号

1,;

0,.

ij i j i j <⎧=⎨

>⎩当当ρ 例3.5 1)若正整数i j ≠，则

1.ij ji +=ρρ

2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列

124567,,,,,a a a a a a 中，(17,3)i a i i ≤≤≠位于第3i i -ρ位. 在序列

12467,,,,a a a a a

中，(17,3,5)i a i i ≤≤≠位于第35i i i --ρρ位.

3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.

s t j j 构成逆序01s t t s j j j j ⇔=⇔=ρρ，

121()t s

n j j s t n

j j j ≤<≤=

∑

τρ.

例3.6 n 阶范德蒙(Vandermonde )矩阵1[]i j n n a -⨯的行列式

122131121(,,,)()()()(,,)

().

n n n j i i j n

V a a a a a a a a a V a a a a ≤<≤=---=

-∏

例3.7 填空

11112345

_____49162582764125----=----.

例3.8 设0abcd ≠，求证

222211(,,,)11a a bcd b b acd

V a b c d c c abd d d abc

=-.

例3.9 计算n 阶三对角行列式

111n a b ab a b ab D a b ab

a b

++=++ .

二、按多行(列)展开法则

定义3.2 矩阵A m n ⨯的k l ⨯子矩阵1212

A k l i i i j j j ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 及其余子阵，

k 阶子方阵、k 阶子式；

n 阶方阵或其行列式中k 阶子式的n k -阶余子式M 、代数余子式

1212()()(1)k k i i i j j j A M +++++++=- ，

k 阶(顺序)主子阵、k 阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.

例3.10 设55[]A ij a ⨯=.

1)25135A ⎛⎫

⎪⎝⎭是A 的一个23⨯子矩阵，13424A ⎛⎫

⎪⎝⎭

为其余子阵；

2)1325A ⎛⎫

⎪⎝⎭是A 的一个2阶子方阵，1325A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个2阶子式，245134A ⎛⎫

⎪⎝⎭

为对应余子式，而对应代数余子式为

(13)(25)245245(1)134134A A +++⎛⎫⎛⎫

-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

；

3)235235A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子阵，235235A ⎛⎫

⎪

⎝⎭

是A 的一个3阶主子式，其代数余子式就是余子式1414A ⎛⎫

⎪⎝⎭

，是A 的一个2阶主子式；

4)A 共有五个顺序主子阵(式).