北师大版高一数学指数函数、幂函数

北师大版高一数学指数函数、幂函数、对数函数增长比较

【考点归纳】

指数函数、幂函数、对数函数的增长比较是解决实际生活中的应用问题，高考中一般以选择题、填空题的形式考查，有时也与数列、不等式、方程等知识结合考查函数模型的综合应用，一般以解答题的形式考查，难度一般中低档.

【要点提示】

1.指数函数：

（1）当 时，指数函数x a y =是增函数，并且对于x ＞0，当a 越大时，其函数值的增长就越快。

（2）当 时，指数函数x a y =是减函数，并且对于x ＞0，当a 越大时， 。

2.对数函数：

（1）当 时，对数函数x y a log =是增函数，并且对于x ＞1，当a 越小时，其函数值的增长就越快。

（2）当 时，对数函数x y a log =是增函数，并且对于x ＞1，当a 越小时， 。

3.幂函数：

（1）当x ＞0，n ＞0时，幂函数n x y =是 ，并且对于x ＞1，当n 越大时，其函数值的增长就越快。

（2）当x ＞0，n ＞0时，幂函数n x y =是 ，并且对于x ＞1，当n 越大时， 。

4.在区间(0,＋∞)上,当a ＞1,n ＞0时,当x 足够大时,随着x 的增大,x a y =的增长速度越来越快,会超过并远远大于n x y =的增长速度,而x y a log =的增长速度则越来越慢.因此,总会存在一个0x ，使得当x ＞0x 时，一定有x a ＞n x ＞x a log .

5.指数函数值长非常快,因而常称这种现象为”指数爆炸”.

【典例分析】

题型一 比较大小

1.23.0，3.0log 2，3.02这三个数之间大小关系是( )

A. 23.0＜3.02＜3.0log 2

B. 23.0＜3.0log 2＜3.02;

C. 3.0log 2＜3.02＜23.0;

D. 3.0log 2＜23.0＜3.02;

2、作图像，试比较函数x y x y y x 44log ,,4===y 的大小情况

题型二 指数函数、对数函数、幂函数增长的差异

1.函数3x y =与函数x x y ln 2=在区间()+∞,0上增长速度快的一个是 .

2.函数2x y =与函数x x y ln =在区间()+∞,1上增长较快的一个是 .

3.如图给出了一种植物生长时间t （月）与枝数y

（枝）之间的散点图．请你根据此判断这种植物生长

的时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？

（ ）

A ．指数函数：t y 2=

B ．对数函数：t y 2log =

C ．幂函数：3t y =

D ．二次函数：22t y =

【基础强化】

1.已知a ＞0且a ≠1，x a x x f -=2)(，当x ∈（-1，1）时均有3

1)(<

x f ，则实数a 的取值范围是____________.

2.甲、乙两间工厂的月产值在18年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值．乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到18年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂18年6月份的月产值大小，则有（ ）

A ．甲的产值小于乙的产值

B ．甲的产值等于乙的产值

C ．甲的产值大于乙的产值

D ．不能确定

3.某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y 与投放市场月数x 之间的关系的是（ ）

x y A 100.= 1005050.2+-=x x y B

x y C 250.⨯= 100log 100.2+=x y D

【能力提高】

1.某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y （2m ）与时间t （月）之间的函数关系是1-=t a y （a ＞0，且a ≠1），它的图象如图所示．给出以下命题：

∈池塘中原有浮草的面积是0.52m ；

∈到第7个月浮草的面积一定能超过602m

∈浮草每月增加的面积都相等；

∈若浮草面积达到42m ，162m ，642m 所经过时间分别

为1t ，2t ，

3t ，则1t +2t ＜3t ，其中所有正确命题的序号是（ ） A ．∈∈ B ．∈∈ C ．∈∈ D ．∈∈

2.函数x x f 2)(=和3)(x x g =的图象的示意图如图所

示，设两函数的图象交于点 A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且1x ＜2x ．

（I ）请指出示意图中曲线1C ，2C 分别对应哪一个函

数？

（II ）证明：1x ∈[1，2]，且2x ∈[9，10]；

（III ）结合函数图象的示意图，判断f （6），g （6），f （2011），g （2011）的大小，并按从小到大的顺序排列．