不等式课件

是有最小值？求出这个值。
例5 求下列函数的最小值：
（1）y= x 2 4 x
(x>0)；
（2）y= x 2 3x 4 (x>0)； x
（3） y= x2 2x 13(x>-1)。 x 1
第六讲 一元二次方程
一．一元二次方程的定义 ax2+bx+c=0 (a≠0)
例：集合M x ax2 2x 1 0 中只有一个元素，
求a
(1)开方法
例1 解方程：（1）x2=9 ； (2) 2x2-6=0
(2)因式分解法
例2 解方程：
（1）x2+2x-8=0； （2） 2x2- x=3； （3） x2-2x=0
(3)求根公式法 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为：
b b2 4ac x
2a
三．一元二次方程的判别式
4．（同向可加性）若a>b，c>d，则a+c>b+d
5．（同向非负可乘性）若a＞b≥0，c＞d≥0 ， 则ac＞bd.
6．（非负开方、乘方性）若a＞b≥0，n>1，n∈N
则 an＞bn，n a n b
例1：判断题 1． 如果a>b 则ac>bc；
2． x2>9 x >3.
3． a>b,c>d a-c>b-d 4． a<b a2<b2
(2)已知a、b∈R+，a+b=6，求ab的最 大值.
（3）若a、b∈R+，且ab=1，求 2 8的最小值， ab
并问a、b为何值时 2 8 得最小值。 ab
拓展练习
例1 函数 y = x+ 4 （x<0）有最大值 x
还是有最小值？求出这个值。
例2 函数y=5-x- 4 （x>0）有最大值还 x
例4 求证：a+b+c≥ ab + bc + ca
（a、b、c∈R+）。
第三讲 利用不等式求最值
均值定理 若 a、b∈R+，则
ab
≥
2
ab
(a、b∈R+，当且仅当a=b时等号成立)
常用变形: a b 2 ab
ab a b 2 2
一．基本训练 a b 2 ab
例1求下列个函数的最小值，当x为何值时取得最小值？
二．穿根法解二次不等式 穿根法解一元二次不等式的步骤： ①把二次不等式整理（其中a>0） ②根据Δ判断方程ax2+bx+c=0的根的情况， ③从数轴右上方开始穿根，得原不等式的解集
例1．解不等式（1）x2-4x+3>0； （2）4x-5x2+1≥0。
例2 解不等式：（1） (2x-1) (3x+2)>0； （2）(1-x) (1+3x)≥0。
例2、比较(x 2 1)2与x 4 x 2 1的大小.
解 : (x2 1)2 (x4 x2 1) x4 2x2 1 x4 x2 1 x2 又x R,都有x2 0 (x 1)4 x4 x2 1
例3：比较a2+4和4a的大小。
解：（a2+4）- 4a = a2+4-4a = a2-4a+4 =(a-2)2≥0
所以：a2+4≥4a
练习：讲义 P24 （1）（2）
例5：比较5x2+4x和 - 1的大小。
练习：讲义 P24 （3）（5）
例7：比较a2+b2 +2和2a+2b 的大小.
练习：讲义 P24 （4）
例6：比较a2+b2和ab的大小。
例8：若a+b>0，比较a3+b3和a2b+ab2 的大小。
（1）y=x+ 4 （x>0）； x
（2）y=x+ 4 +5（x>0）
x
（3）y=x+ 4 （x>-3） x3
ab a b 2 2
例3 求下列各式的最大值，当x为何值时得最 大值？
（1）x (8-x)（0<x<8）；
3 （2）x (3-2x)（0<x< 2 ）.
例4 (1)已知a、b∈R+，ab=4，求a+b 的最小值，并问a、b为何值时a+b得最 小值；
例1 若a、b∈R+，且a≠b，求证： a3+b3>a2b+ab2。
例2 求证：ab≤a2+b2。
二．均值定理（基本不等式） 1．两个正实数的几何平均值和算术平均值。
若 a、b∈R+，则 a b 叫做a、b的算术平均值 2
ab 叫做a、b的几何平均值
2．均值定理 若 a、b∈R+，则
ab
≥
ab
Δ=b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的 判别式，
当Δ>0时，方程有两个不等实根； 当Δ=0，方程有两个相等实根（一个实根）； 当Δ<0时，方程无实根。
例4 判断下列方程有无实根，若有，有几个？
（1）9x2+6x+1=0；（2）2x2+3x+5=0； （3）x2-4x=8。
高次不等式的解法（穿根法）： ①把不等式化为(x-x1)(x-x2)…（x-xn）
（括号中x的最高次项系数必须为正）
② 求 出 方 程 (x-x1)(x-x2)… （ x-xn ） =0 的 所 有 根 x1 、 x2、…xn ③在数轴上穿根得不等式解集。
特殊情况下的穿根：奇次根照穿不误；偶次根穿而不过； 无实根置之不理。
例5 当c为何值时，方程2x2-4x+c=0有两个不等 实根；一个实根；无实根。
四．韦达定理（根与系数的关系） 若x1、x2是方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根，则：
b
c
x1
x2
a
,
x1x2 a
x1
x2
b a
,
x1x 2
c a
例6 若方程2x2+bx+1=0的一个实根为1， 求另一个实根。
第二章 不等式 第一讲 两实数的大小比较
实数的两大特征： 1、任意实数的平方不小于0。即： a R a2 0,当且仅当 a 0时， 才有a2 0
2、每两个实数都可以比较大小。 实数与数轴上的点建立了一一对应关系。
数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数 比左边的点对应的实数大。
对任意两个实数a与b，它们具有如下 的基本性质：
二．分式不等式的解法
分式不等式与高次不等式的关系
例如(x-1)(x-2)>0与 x 1 0等价； x2
(x-1)(x-2)<0与 x 1 0等价。 x2
所以分式不等式的解法与高次不等式基本相同， 也可以用穿根法来解。
例7： x 3 0 x5
例8： 2x 5 0 3x 4
练习：讲义P46 （7）
ab0 a b ab0 a b ab0 ab
例1、x R ,比较(x 1)(x 2)与 (x 3)(x 6)大小.
解 : (x 1)(x 2) (x 3)(x 6) x 2 3x 2 x 2 3x 18
20 0
x R ,(x 1)(x 2) (x 3)(x 6)
例1 解不等式（x+1）(x-1) (x-2)>0 例2 解不等式x3-2x2-3x≤0 例3 解不等式(x-1)3 (x+2)>0
练习：讲义P46 （3）
例4 解不等式(x+1)2 (x-2)<0
练习：讲义P46（4）
例5 解不等式(x2+3) (x-2) (x-3)<0
练习：讲义P35 （5）
例9：若a>b>0，比较 b 和 a
b 1
的大小。
a 1
作业：讲义 P24 （6）--（10） （7不做）
第二讲 不等式的判断与证明
一．不等式的性质 1．（传递性） 若a>b，b>c，则 a>c.
2．（加法法则） 若 a>b，则 a+c>b+c. (移项法则) 若a+b>c，则a>c-b
3．(乘法法则) 若a>b，c>0，则ac>bc. 若a>b，c<0，则ac<bc
例7 若不等式ax2+bx+2>0的解集为 1 , 1 2 3
求a、b的值。
练习：讲义P43 3
例8 若A= x x 2 2x 8 0，B= x x a 0
（1）若A∩B=Φ，求a的范围；
（2）若A B，求a的范围。
练习：讲义P43 4
第八讲 高次不等式和分式不等式
一．高次不等式的解法
注意：若二次不等式的左边已经分解因式，要保证每 个因式中的x系数为正。
练习：P43 1(9)-(12)
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三．特殊情况下的穿根法
②根据Δ判断方程ax2+bx+c=0的根的情况，若 Δ=0则求出两相等实根x1；若Δ<0则可判断方程 无实根；
③穿根得原不等式的解集（二重根穿而不过， 无实根不穿）。
例3 解不等式x2-4x+4>0 。 例4 解不等式x2-4x+4<0 。 例5 解不等式x2-4x+5>0 例6 解不等式x2-4x+5<0
例2．判断下列命题是否正确：
１．如果a>b>0，则
a
5
b
5
２．如果a<b<0，则am2<bm2 (m≠０)
３．如果a>b>c>0，则(a-b)c>a(c-b)
例1 选择题
（1）若a<b<0则（ C ）
A. 1 1 ab
C．ab>b2
B. 0 a 1 b
D. b a ab
（2）如果a>b时，那么必有( B )
2
(a、b∈R+，当且仅当a=b时等号成立)
定理变形：
a b 2 ab,
ab a b 2 2
ab
a
b
2
,
(a、b∈R+，当且仅当a=b时等号成立)
a2+b2≥2ab，a、b∈R，
当且仅当a=b时等号成立
二．综合法 由基本不等式或已知条件出发，逐步推出所证不等式。
例3 a>0，求证： a 9 ≥6。 a
例7 若方程 2x2 + 3x-1=0 的两根为α、β， 求 。
例8 b为何值时，方程 x2 + bx - (b+1) =0有两个 不等正根？一个正根、一个负根？
练习：P39 4
第七讲 一元二次不等式
一．二次不等式的标准形式 二次不等式的标准形式为ax2+bx+c=0（a>0） 解二次不等式时，一般要先化为标准形式， 要特别注意，x2的系数a一定要变为正数。
分式不等式的一般解法 （1）整理 （2）求根（求出分子、分母所有的根） （3）穿根得不等式解集。
例9
1 1 x
错解：两边同乘x得：1>x，
∴不等式解集为 x x 1
此解显然错误，例如x=-1时不等式就不成立．
所以，解分式不等式千万不能去分母。
例10 1 2 1 x
练习：讲义P46 （11）（12）
A．a2>b2
B．2a>2b
C．a-2>b-2
D. a 1 b
（3）下列命题中有几个是真命题（ C）
①若a>b，则ac2>bc2；②如果 x 2, 那么x 4； ③如果４x2>x2，且x2>2x+3,则4x2>2x+3。
A．0 B．1 C．2 D．3
四 不等式的证明
一．比较法
用大的一边减去小的一边，证明差大于（或等于）0。