排列组合公式及恒等式推导、证明

排列组合公式及恒等式推导、证明（word 版）
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一、排列数公式：
!(1)(2)(1)
()!m
n n A n n n n m n m
(1)(1)321n n A n n n
推导：把n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数原理分步进行：
第一步，排第一位： 有 n 种选法； 第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法； 第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法； ┋
第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法； ┋
最后一步，排最后一位：有 1 种选法。

根据分步乘法原理，得出上述公式。

二、组合数公式：
(1)(2)(1)
!
!
!()!m m n n
m m
A n n n n m n C
A m m n m
1n
n C
推导：把n 个不同的元素任选m 个不排序，按计数原理分步进行： 第一步，取第一个： 有 n 种取法； 第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法； 第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法； ┋
第m 步，取第m 个： 有（n-m+1）种取法； ┋
最后一步，取最后一个：有 1 种取法。

上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m 个，就有m!种排排法，选n 个就有n!种排法。

故取m 个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。

遂得出上述公式。

证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。

将部分排列问题m n A 分解为两个步骤：
第一步，就是从n 个球中抽m 个出来，先不排序，此即定义的组合数问题m n C ；
第二步，则是把这m 个被抽出来的球全部排序，即全排列m m A 。

根据乘法原理，m m m n n m A C A 即：
(1)(2)(1)!
!!()!m m n n
m m
A n n n n m n C
A m m n m
组合公式也适用于全组合的情况，即求 C(n, n)的问题。

根据上述公式，
C(n, n) = n!/n!(n-n)! = n! / n!0! = 1。

这一结果是完全合理的，因为从n 个球中抽取所有n 个出来，当然只有1种方法。

三、重复组合数公式：
重复组合定义:从n 个不同的元素中每次取一个，放回后再取下一个，如此连续m 次所得的组合。

重复组合数公式：1m m n n m R C （m 可小于、大于、等于n,n ≥1） 推导：可以把该过程看作是一个“放球模型”：
n 个不同的元素看作是n 个格子，其间一共有（n-1）块相同的隔板，用m 个相同的小球代表取m 次；则原问题可以简化为将m 个不加区别的小球放进n 个格子里面，问有多少种放法；这相当 于m 个相同的小球和（n-1）块相同的隔板先进行全排列：一共有（m+n-1）！种排法，再由于m 个小球和（n-1）块隔板是分别不加以区分的，所以除以重复的情况：m ！*（n-1）！ 1(1)!
!(1)!
m n m m n C m n
四、不全相异的全排列
1
(1)m
n
n m
A
右边=!
!(1)
(1)!
()!
m n
n n n
m
A n
m n m 左边=右边
1
m
m n n n A A n
m
证明：右边=(1)!
(1)!
()!
m n
n
n n A n
m
n m n m
左边=右边
1
1
m
m n n A nA
证明：右边=(1)!
!()!
()!
m
n
n
n n A n m n m
②
③
左边=右边
11n n n
n n n nA A A
证明：右边=11
(1)!!(1)!!!n n n
n
n n A A n n n n n n n nA
右边=左边
1
1
m m
m
n n
n
A A mA
证明：右边=1
!
!(1)!!(1)!
()!
(1)!(1)!(1)!m n n n n m n m n n m
A n m n m n m n m
1!22!33!
!(1)!1n n n
证明：左边=(2-1)1！+（3-1）2！+（4-1）3!+…（n+1-1）
n!
=2!-1!+3!-2!+4!-3!…(n+1)!-n! =(n+1)!-1！
=右边 六、组合恒等式的证明
首先明弄清组合的两个性质公式：
④
⑤
⑥
互补性质：取出有多少种，剩下就有多少种
根据分类计数原理:要么含有新加元素要么不含新加元素
证明：
1
1
1(1)!!
()(1)!(1)!!()!
11!!
(1)!(1)!!()!m
m
n
n m
m
n
n m m n n C C n m
n m m n m m n m n m n m n n C C m
m m n m m n m
证明：右边=
1
(1)!!
!(1)!!()!
m m
n n n n
n n C
C n m
n m m n m m n m
证明： 右边=
(1)!
!
(1)!()!!()!
m n
n n n C m m n m m n m
=左边
证明：根据组合性质，左边各式可写成：
②
③
⑤
1
111
12
1112
321
134
3
1
11
1
11
1r r r r r r
r r r r r
r r
r r r r r r r r r r r
r
n n n r
r r
n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C
左右两边相加即得：
1
121
r r r r r r r r n n C C C C C
证明：
用数学归纳法证明。

1）当n=1时，0111122C C 所以等式成立。

2）假设n=k 时，（k≥1，k∈N*）时等式成立。

即：0122k
k
k k k k C C C C
当n=k+1时，
01
2111
11
1
0011
21
1
11
012
01
21
()()()()()222k
k k k
k k k k
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k
C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C
∴等式也成立
由1)、2)得，等式对n∈N*都成立。

⑥
也可用二项式定理证明（略）
证明：用归纳法同上（略） 也可利用上述结论证明（略） 本课件尽量避开用二项式定理，但这比较简单，暂且用一下： 设
135
24n n n
n
n
n
a C C C
b C C C
由（1+1）n 可得：a+b=2n =2×2n-1 由（1-1）n 可得a-b=0 ∴a=b=2n-1 (不懂的去学学二项式定理)
证明： 由11m m
m n n C nC 可得:（还记得这个恒等式吗，不记得就回过头去看③的证明）
左边
012311111
101231111111
=n n n n n n()
n 2n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C
注：同时利用了⑥的结论。

⑦
⑧
⑨
用二项式定理证明太麻烦了。

能偷懒就不要太勤快了。

观察左边的每一项，发现均是分别从m 个不同素和n 个不同元素中取r 个元素的一个组合，其各项之和就是所有取法，即所有组合数。

其所有组合数当然等于右边。

还是用偷懒法：根据第⑨的结论并结合组合的互补性质，若r=m=n 即得些结论。

r≤min{m
,n}
⑩。