二阶动态电路分析

积分常数A1 和 A2 决定于uC
的初始条件
uC
(0
)
和
duC dt
0
给定初始条件: uC(0) = U0, i(0) = I0
A1 A2 U 0
p1 A1
p2 A2
1 C
I0
4
A1
p2U 0
I0 C
p2 p1
A2
p1U 0
I0 C
p1 p2
一,
R2
L C
,非振荡衰减放电过程（过阻尼情况）
当 R2
L C
时，固有频率 p1 和 p2 是两个不相等的负实根
p1
R 2L
p2
R 2L
( R )2 1 2L LC ( R )2 1 2L LC
p1
p2
1 LC
uC A1e p1t A2e p2t
5
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
wk.baidu.com
p1e
p2t
)
(
p2
I0 p1)C
(e p1t
解：利用前述结果
a,
p1,2
R 2L
( R )2 1 1.5 （1.5）2 1 2L LC
p1 0.382 , p2 2.618
10
b,
uuCC
(0) A1 A2 ' (0) A1 p1
0 A2 p2
1
A1 A2
0.447 0.447
c, uC (t) 0.447 e0.382 t 0.447 e2.618 t V
e p2t )
iL
p1 p2CU0 p2 p1
(e p1t
e p2t )
I0 p2
p1
(
p1e p1t
p2e p2t )
1．设 uC(0) = U0, i (0) = 0
uC (t)
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
iL (t)
p1 p2CU 0 p2 p1
(e p1t
t0
iL (t) 0.171 e0.382 t 1.17 e2.618t
A t0
11
3. 设 uC(0) = U0, i L(0) = I0 例7-3：前述电路中, C = 0.25 F, L = 0.5 H , R = 3 , uC(0)
=2 V , i (0) = 1 A ，t 0 时，uOC(t) = 0 , 试求 uC(t) 及 iL(t) 。
uR R i 11.56(e268 t e3732 t ) V
uL
L
di dt
(10.77
e3732 t
0.773
e268 t )
V
(2) imax
tm
1 p1
p2
ln
p2 p1
7.6104 S
760
S
imax
i t tm
2.89(e268 t e3732 t ) t tm
2.19
mA
9
2．设 uC(0) = 0, i (0) = I0
uC (t)
( p1
I0 p2 )C
(e p1t
e p2t )
iL (t)
I0 p2
p1 ( p1e p1t
p2e p2t )
uL
(t )
L
diL dt
LI0 p1 p2
( p12e p1t
p22e p2t )
例7-2：前述电路中, C = 1 F, L = 1 H , R = 3 , uC(0) = 0, i (0) = 1 A ，t 0 时，uOC(t) = 0 , 试求 uC(t) 及 iL(t)。
④ 整个过程完毕， uC = 0 ,iL = 0 ,uL = 0 。
7
例 7-1：电路如下图所示,US = 10 V, C = 1F, R = 4 k, L = 1 H ，开关 S 原来闭合在触点 1 处，t = 0 时，开关 S 由触点 1 接至触点 2 处，求：
(1) uC , uR , i 和 uL (2) imax .
A1 A2
6 4
t 0
t0
13
二. R 2 L ，衰减振荡放电过程（欠阻尼情况）
解：根据前述结果
a,
p1,2
R 2L
( R )2 1 31 2L LC
p1 2, p2 4
12
b,
uC (0) A1 A2 2
uC'
(0)
A1 p1
A2
p2
iL (0) C
4
c, uC (t) 6 e2 t 4 e4 t V
iL
(t)
C
duC dt
4 e4t
3 e2t
A
2
VAR :
i C duC , dt
uR
Ri
RC
duC dt
,
uL
L
di dt
LC
d 2uC dt 2
KVL : uL uC uR uOC (t)
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
uOC (t)
初始条件
uC
(0),u'C
(0)
duC dt
0
1 C
i(t)
0
1 C
i(0)
零输入响应：上述线性二阶常系数微分方程中 u0C(t)=0 的响应
解： (1) uC , uR , i 和 uL
特征根
p1
R 2L
( R )2 1 268 2L LC
p2
R 2L
( R )2 1 -3732 2L LC
8
又 uC (0 ) U0 US 10 V
uC (10.77 e268 t 0.773 e3732 t ) V
i 2.89 (e268 t e3732 t ) mA
e p2t )
U0
(e p1t
L( p2 p1)
e p2t )
uL
(t)
L
diL dt
U0 p2
p1
(
p1e p1t
p2e p2t )
由于 p1 p2 ,
e p2t
衰减得快，e p1t
衰减得慢，故 e p1t e p2t 0 6
① uC , iL 始终不改变方向， uC iL < 0, 电容放电； ② uL 改变一次方向，t = tm 时， uL = 0 ； ③ t < tm ，电感吸收能量（ uLiL > 0 ），建立磁场； t > tm 电 感释放能量（ uL iL < 0 ），磁场逐渐衰减，趋向消失；
第 7章 二阶动态电路分析
主要内容
1. 分析二阶电路过渡过程的经典法； 2. 二阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响应； 3. 二阶动态电路的阶跃响应、冲激响应；
1
§7-1 二阶电路的零输入响应
二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路 在二阶电路中，给定的初始条件应有两个，它们由储能元件 的初始值决定。 RLC 串联电路和 GCL 并联电路为最简单的二阶电路。
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
或
d 2uC dt 2
R L
duC dt
1 LC
uC
0
3
特征方程
p2 R p 1 0 L LC
特征根
p1,2
R 2L
(
R 2L
)2
1 LC
称为固有频率
解 为 ： uC (t) A1e p1t A2e p2t
这里：p1 和 p2 是特征根，仅与电路结构及参数有关；