二阶动态电路分析
二阶非线性动态电路
二阶非线性动态电路分析题目：二阶非线性电路如图1，R=10Ω,i=ϕ+32.0ϕ，C=0.25×210-F,C U (-0)=2V.求C U (t)（t>0）,并画出t>0时ϕ-C U 的相图。
图1.二阶非线性电路理论分析:解：取ϕ与C U 为状态变量，t>0时： 32.0-ϕϕ-=-==i i dt du C C c => 380-400ϕϕ-=dtdu c 32.0ϕϕϕR R U Ri U u dt d C C L --=-== => 3210ϕϕϕ--=C U dtd Matlab 求解：此非线性动态电路难求解析解，因此利用Matlab 做数值求解，得到响应在离散时刻的近似值，再根据此离散值做出响应相关图像。
Matlab 求解的原理是利用ode45函数解微分方程组。
ode45表示采用四阶，五阶runge-kutta 单步算法。
ode45函数语法为[T,Y] = ode45(odefun, tspan,y0)，这里tspan 选择0到2.5s ，初值C U =2,ϕ=0。
首先写一个函数M 文件列出待求解方程组如下：function dy=rlc(t,y)dy=zeros(2,1)dy(1)=-400*y(2)-80*y(2)^3dy(2)=y(1)-10*y(2)-2*y(2)^3end在命令行输入[t,y]=ode45(@rlc,[0 2.5],[2 0])，可求出响应C U （t ）、ϕ（t ）数值解。
在命令行输入：plot(t,y(:,1))grid on 数值解title('Uc-t曲线')xlabel('t')ylabel('Uc')可得到Uc(t)曲线。
可以更直观的观查Uc随时间的变化。
图2 Uc响应曲线同理可得到ϕ（t）图像如图3所示：图3 ψ-t曲线同理可得到ϕ-Uc相图如图4所示。
图4 ϕ-Uc相图结果分析：观察图形可发现，该电路处于振荡放电过程，未知量L 满足不等式R<C L2。
二阶电路分析
第九章
二阶电路分析
由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，
(9 5)
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uc(0) 确定。
uC (0) K1 K 2
对式(9－5)求导，再令t=0得到
(9 6)ห้องสมุดไป่ตู้
duC ( t ) dt
t 0
i L ( 0) K 1 s1 K 2 s2 C
(9 7)
求解以上两个方程，可以得到
1 K1 ＝ s2 －s1 1 K2 ＝ s1 －s 2 iL ( 0) s2 uC (0) C iL ( 0) s1 uC (0) C
uC ( t ) e 3t [ K 1 cos 4t K 2 sin( 4t ) ]
iL(0)=0.28A得到以下两个方程
uC (0) K 1 duC ( t ) dt
t 0
( t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值
3 K 1 4 K 2
i L ( 0) 7 C
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
i2 (t) =ε( t)*[(
.690
)* exp ( -.500
t)]cos(
4.97
t +66.08 )
iL (t ) 0.69e0.5t cos(4.97t 66.08 )(t )A
第七章 二阶电路
-
由KVL，有
RiL
L d iL dt
uC
0
iL
ic
C
duc dt
，得微分方程：
LCd2Uc RCdUc Uc 0
dt2
dt
二阶齐次微分方程
3
2）根据微分方程经典法解方程
L
C
d2Uc d t2
R
C
dUc dt
U
c
0
设Uc通解：Uc AePt带入方程
得特征方程：LCP2 RCP1 0
(练习7-4）
21
例：图示电路，t< 0处于稳态，t=0时，S打开 1）建立S打开以后以iL （t）为变量的微分方程及所
需初始条件 2）为使Uc（t）不发生振荡，试确定R的取值范围
+ 10V -
S
5Ω R
LC 2H iL 3F
(1)微分方程：
+ Uc
c
dUc dt
IL
UL R
0
-
C
L
d
2i L
P1
,
2
R 2L
R 2L
2
1 LC
P1 2 6 8
P2 3 7 3 2
—过阻尼放电过程
16
U c A1eP1t A2eP2t A1e- 2 6 8 t A2e- 3 7 3 2 t
4 ） 由 初 始 条 件 求A1、 A2 条 件 1：U c ( 0) 1 0 V
条 件 2： iL( 0 )
0 又 iL
i c
电路分析第7章 二阶电路1
根据 uC(0－) = uC(0＋) ＝10V
i(0－) = i(0＋) = 0
uC (0) K sin 10 i(0) duC K ( sin d cos ) 0 t=0 = dt C
arctan(
uC 10.33e 0.5t sin( .94t 75.5)V t 0 1
d 1.94 ) arctan( ) 75.5 K 10.33, 0.5
i 2.6e 0.5t [1.94cos( .94t 75.5) 0.5 sin( .94t 75.5)]A20 t 0 1 1
t1 t2 t3 iL uC
欠阻尼衰减振荡
电量
uC
t1时间段 减小 增大
uC ( K 1 K 2t )e s1t ( K 1 K 2t )e 2t
根据 uC(0－) = uC(0＋)＝ 10V i(0－) = i(0＋) = 0 duC dt i(0) t=0 = C
duC K 2e 2 t 2( K1 K 2 t )e 2 t dt
K1=10
s1.2 0.5 0.5 4 0.5 j1.94
L R 1 Rd 2 4 C
两个共轭复根 欠阻尼
19
解：（3）R = 1 s1, s2 0.5 j0.5 15 0.5 j1.94 uC(t) = e-t [K1cosd t + K2sind t] uC Ke t sin( d t ) Ke 0.5t sin( .94t ) 1 – 衰减因子 d – 衰减振荡角频率
uC uL uR 0
1 2 1 2 w( t ) Li ( t ) CuC ( t ) 2 2
二阶动态电路设计 实验报告(含数据处理)
实验二十一 二阶动态电路设计
一、实验内容
已知RLC 串联电路, 输入为单位阶跃信号, 设计元件参数, 要求电容负载输出电压的超调量约为20%, 调节时间0.003秒。
先进行理论设计和仿真分析, 连接好电路后, 再通过示波器观察实际输入和输出曲线。
二、实验原理图和理论分析
)()()()()(22t t u t u dt t du RC dt
t u d LC S C C C ε==++ 二阶电路的阶跃响应为)sin(1)(0βωωωδ++
=-t e t u t C 超调量为21%ζζπ
σ--==e
M P 调节时间为n s t ζω3=
(5%稳态范围)
,
, C
L n ⋅=21ω L R n ⋅⋅=ωζ2 选用电容C=4.7
F, 由以上推导得L=44.2mH, R=88.4
三、实验设备
函数信号发生器
KTDG-4可调式电感箱0~100mH
可调式电阻箱0~99999.9Ω
交流电压表, 交流电流表
双踪示波器
四、仿真实验
利用EWB 软件, 仿真模型图如下
运行结果如下
电容电阻电感在实验台上连接好电
路, 测量结果如下。
电压有效值
电流有效值
利用示波器观测输入电压和输出电容上电压曲线:
六、数据处理和实验结论
略。
二阶动态电路分析
待定常数A1，A2由初始条件确定。
uC (0 ) uC (0 ) A1 U0
iL (0 )
iL (0 )
C
duC dt
t0
0
A1
A2
0
A1 U0 A2 U0
uC (t) U0et (1 t) t 0
电路中其它响应：
i(t) C duC dt
2CUOtet
uL (t)
L
di dt
R=0是欠阻尼的特例。此时
R 0
2L
d 0
1 LC
uC (t) U0 cosdt U0 cos0t
i(t) 0CU0 sindt 0CU0 sin0t uL (t) U0 cosdt U0 cos0t
R＝0时，i(t),uC (t),uL (t) 的波形曲线
可见，当电路中R＝0时，各响应作无阻尼等幅自由振荡，
i(t) C
duC dt
02CU0 d
et sin dt
uL (t)
L
di dt
0 d
U 0e t cos( d t
)
i(t),uC (t),uL (t) 的波形曲线
0
d
衰减uC，(t)、称ei为(t)响衰、t 应减uL有系(t衰)数减，振d荡是的振特荡性的，角其频振率荡。幅度按指数规律
第5章 二阶动态电路分析
5-1 RLC串联电路的零输入响应 5-2 RLC串联电路的全响应 5-3 GCL并联电路的分析 5-4 一般二阶电路分析
5-1 RLC串联电路的零输入响应
电路如图所示，设uC(0－)=U0，iL(0－)=0。t=0时，开关
K闭合。在图示电流、电压参考方向下，由KVL，可得：
uC
自动控制原理实验——二阶系统的动态过程分析
实验二二阶系统的动态过程分析一、 实验目的1. 掌握二阶控制系统的电路模拟方法及其动态性能指标的测试技术。
2. 定量分析二阶系统的阻尼比ξ和无阻尼自然频率n ω对系统动态性能的影响。
3. 加深理解“线性系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与外作用无关”的性质。
4. 了解和学习二阶控制系统及其阶跃响应的Matlab 仿真和Simulink 实现方法。
二、 实验内容1. 分析典型二阶系统()G s 的ξ和n ω变化时，对系统的阶跃响应的影响。
2. 用实验的方法求解以下问题：设控制系统结构图如图2.1所示，若要求系统具有性能：%20%,1,p p t s σσ===试确定系统参数K 和τ，并计算单位阶跃响应的特征量d t ，r t 和s t 。
图2.1 控制系统的结构图3. 用实验的方法求解以下问题：设控制系统结构图如图2.2所示。
图中，输入信号()r t t θ=，放大器增益AK 分别取13.5，200和1500。
试分别写出系统的误差响应表达式，并估算其性能指标。
图2.2 控制系统的结构图三、实验原理任何一个给定的线性控制系统，都可以分解为若干个典型环节的组合。
将每个典型环节的模拟电路按系统的方块图连接起来，就得到控制系统的模拟电路图。
通常，二阶控制系统222()2nn nG ssωξωω=++可以分解为一个比例环节、一个惯性环节和一个积分环节，其结构原理如图 2.3所示，对应的模拟电路图如图2.4所示。
图2.3 二阶系统的结构原理图图2.4 二阶系统的模拟电路原理图图2.4中：()(),()()r cu t r t u t c t==-。
比例常数（增益系数）21RKR=，惯性时间常数131T R C=，积分时间常数242T R C=。
其闭环传递函数为：12221112()1()(1)crKU s TTKKU s T s T s K s sT TT==++++(0.1) 又：二阶控制系统的特性由两个参数来描述，即系统的阻尼比ξ和无阻尼自然频率n ω。
电路分析-二阶电路
i(t) C
t
t=0
=
i(0) =?
C
t
iR +
uS
-
L +
C uC
-
两个初始条件 uS = 0 ，uC(0) = ?
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
设 解为 uC(t) = Kest 代入微分方程
d2u LC Cdt2
+
RC
duC d
+
uC
=
0
LCs2Kest + RCsKtest + Kest = 0
=0
i +
uS
-
R
i=
C
duC dt
L +
C uC
-
LC
d2i dt2
+ RC
di d
+i=0
s1 = -2 s2 = -4
t
1 8
d2i dt2
+
3 4
d di
+i=0
d2i dt2
+6
di d
+ 8i = 0
t
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
例 解：(2) 若以iL(t)为求解变量 i R
( LCs2 + RCs + 1 ) Kest = 0
特征方程 LCs2 + RCs + 1 =
特 征0方 程 的 根 （ 固 有 频 率 ）
ax2 + bx +c = 0
- RC (RC)2 s1、 2= ± 24LLC
= -
R 2L
±
(
R 2L
)2
-
二阶电路分析
(4) 利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电 源或阶跃信号作用下的电路响应。 三要素公式为
y (t ) y () [ y (0 ) y ()]e
求三要素的方法为
t
t>0
① 初始值y(0+)：利用换路定律和0+等效电路求得。 ② 稳态响应y(∞): 在直流电源或阶跃信号作用下，电路达 到稳态时，电容看作开路，电感看作短路，此时电路成为电 阻电路。利用电阻电路的分析方法，求得稳态响应y(∞)。 ③ 时常数τ：RC电路，τ=RC; RL电路，τ=L/R。式中R为断
s s arctgCR
uC (t ) Ae
t RC
UCm cos(t )
利用初始条件确定常数A， 即
uC (0) A U Cm cos U 0 A U 0 U Cm cos
uC (t ) (U 0 U Cm cos )e U Cm cos(t )
4.7 二阶电路分析
用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。分析二阶电路， 需要给定两个独立的初始条件。与一阶电路不同，二阶电路的
响应可能出现振荡形式。本节以RLC串联电路为例，讨论二阶
电路的零输入响应和单位阶跃响应。 RLC串联电路如图4.7-1所示，以电容电压uC作为电路响应， 列写该电路方程。根据KVL, 有
p1 p2
微分方程的通解为
uC e ( A1 A2t )
由初始条件
at
uC (0) A1
duC dt
t 0
A1 A2 0
A1 uC (0) A2 auC (0)
uC uC (0)(1 at)e (t )
二阶电路
其中 :
p1
R 2L
( R )2 1 ， 2L LC
p2
R 2L
( R )2 1 2L LC
显然特征根p1、 p2仅与电路参数和结构有关
初始条件：uc(0+)= uc(0-)=U0 及 i(0+)= i(0-)=I0
并且：i C duC ，所以： duC I0
dt
dt t0
1 L
由于冲击电压的作用，使电感电流跃变，电感中储存了磁场能， 所以冲击响应就是由电感磁场能引起的变换过程。
21
t
≥0+时：
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
其解的形式： uC A1e p1t A2e p2t
其中 :
p1
R 2L
( R )2 1 ， 2L LC
p1e p2t
当t
)
tm
ln( p1 p1
p2 ) p2
电流达到最大值，且电
感电压过零
imax
t <tm, 电感吸收能量，
建立磁场； t >tm, 电感
释放能量，磁场衰减
i
U0
(e p1t e p2t )
L( p2 p1)
uL
U0 p2 p1
( p1e p1t
p2e p2t )
C
3
uC A1e p1t A2e p2t
将uc(0+)= U0 ，i(0+)= I0 及
duC I0
电路第七章二阶电路
响应类型
01
02
03
04
自由响应
在无输入激励的情况下，由于 电路内部储能元件的作用，电 路产生的响应称为自由响应。
强迫响应
在输入激励的作用下，电路产 生的响应称为强迫响应。
暂态响应
在过渡过程中，电路产生的响 应称为暂态响应。
稳态响应
当过渡过程结束时，电路达到 稳定状态，此时产生的响应称
为稳态响应。
目前学习的主要是直流电路的分析方法， 接下来需要学习交流电路的分析方法，包 括正弦稳态分析和频率响应分析。
学习非线性电路分析
实践项目与实验
掌握线性电路的分析方法后，需要学习非 线性电路的分析方法，了解非线性元件和 系统的动态特性。
通过参与实践项目和实验，将理论知识应 用于实际中，提高自己的实践能力和解决 问题的能力。
音频均衡器
二阶电路构成的音频均衡器可以对音频信号进行频域调整，通过改变不 同频段的增益和相位特性，实现对音频信号的优化。
03
音频降噪器
利用二阶电路的滤波特性，可以设计出高效的音频降噪器，有效降低环
境噪声和设备内部噪声对音频信号的影响，提高语音识别的准确性和音
频播放的清晰度。
自动控制系统
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04
二阶电路的响应特性
自然频率与阻尼比
测量仪器
二阶动态电路分析
e t ( A1 cos t A2 sin t) A1 K1 K2 , A2 j(K1 1K4 2 )
e t A12 A2 2 cos( t )
Ae t cos( t )
A
A12
A22 ,
tg 1
A2 A1
,
90
,
tg 1
这里：uC (0)
A1, uC ' (0)
e p1t e p2t 0 6
① uC , iL 始终不改变方向， uC iL < 0, 电容放电； ② uL 改变一次方向，t = tm 时， uL = 0 ； ③ t < tm ，电感吸收能量（ uLiL > 0 ），建立磁场； t > tm 电感释放能 量（ uL iL < 0 ），磁场逐渐衰减，趋向消失；
uR R i 11.56(e268 t e3732 t ) V
uL
L
di dt
(10.77 e3732 t
0.773 e268 t )
V
(2) imax
tm
1 p1
p2
ln
p2 p1
7.6 104 S
760
S
imax
i t tm
2.89(e268 t e3732 t ) t tm
2.19
(0)
duC dt
0
1 C
i(t)
0
1 C
i(0)
零输入响应：上述线性二阶常系数微分方程中 u0C(t)=0 的响应
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
或
d 2uC dt 2
R L
duC dt
1 LC
二阶RLC电路的动态特性和频率特性综合研究A9CAC
02
二阶RLC电路的基本理论
RLC电路的组成与工作原理
RLC电路由电阻（R）、电感（Lபைடு நூலகம்和 电容（C）三个基本元件组成。
工作原理：当交流电源施加于RLC电 路时，电流和电压将按照一定的规律 在电阻、电感和电容之间进行能量转 换和传递。
二阶RLC电路的数学模型
数学模型
二阶RLC电路可以用微分方程表示，描述 了电压、电流和时间之间的关系。
二阶rlc电路的动态特性和频 率特性综合研究a9cac
目录
• 引言 • 二阶RLC电路的基本理论 • 二阶RLC电路的频率特性分析 • 二阶RLC电路的阻尼特性分析 • 二阶RLC电路的应用研究 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
01
实际电路中广泛存在二阶RLC电 路，其动态特性和频率特性对电 路性能具有重要影响。
在调频通信中，二阶RLC电路可以用 于实现频率调制和解调功能，从而实 现信息的传输和接收。
振荡器设计
二阶RLC电路可以构成振荡器，用于 产生特定频率的信号，如本机参考信 号或时钟信号。
在电力电子系统中的应用
电源滤波
二阶RLC电路可以作为电源滤波器，用于抑制电源中的谐波干扰， 提高电力电子系统的稳定性和可靠性。
阻尼比与时间常数的关系
阻尼比与时间常数之间存在一定的关系。在欠阻尼状态下，时间常数越大，阻尼比越小；在过阻尼状态下，时间 常数对阻尼比无影响。
05
二阶RLC电路的应用研究
在通信系统中的应用
信号滤波
调频和解调
二阶RLC电路可以作为带通或带阻滤 波器，用于提取或抑制特定频率范围 的信号，从而提高通信系统的性能。
频率特性的基本概念
描述相位随频率变化的特 性。
一阶二阶动态电路实验报告
一阶二阶动态电路实验报告前言本文介绍了一阶二阶动态电路实验的相关内容，包括实验准备、步骤、实验结果的分析以及结论。
动态电路是一种重要的电路技术，在很多方面都起着重要的作用。
它可以应用于多种电子设备中，如电脑、摄像机和收录机等。
本实验介绍的是测试一阶二阶动态电路的实例，并解释了其中的一些概念和特性，使我们更加理解动态电路技术。
实验准备在本实验中，我们需要准备以下几种实验用品：一阶（二极管，电容，电阻）和二阶（二极管，电容，电阻，特定电路板）的模块，以及一台电脑。
实验步骤1）确定模块原理图：首先，我们需要确定对应的模块原理图，确定每个模块的输入和输出端口。
2）连接电路：然后，组装模块，连接电路，将各个模块连接起来，确保模块与电路之间的联系。
3）测试电路：接着，使用数据采集仪来测量每个模块的输入信号和输出信号，对电路进行测试。
4）对电路进行分析：最后，根据测量的结果，对电路进行分析，分析电路中每个元件的功能，并确定电路的特性。
实验结果在本实验中，我们所做的实验采用的是一阶和二阶的动态电路，我们测量了各个模块的输入和输出信号，最终得出以下结论：（1）一阶动态电路的升降沿响应时间可以在设定范围内调节；（2）二阶动态电路的输入与输出之间存在一定的延迟时间；（3）随着负载变化，动态电路的性能会受到影响；（4）一阶和二阶动态电路的性能是不同的。
结论通过本次实验，我们学会了如何测试一阶和二阶动态电路，以及他们在当今电子产品中的应用。
在模拟信号控制领域，一阶和二阶动态电路都得到了广泛的应用。
使用一阶动态电路可以满足一般要求，而使用二阶动态电路可以满足高精度的要求。
二阶动态电路响应的研究实验报告
二阶动态电路响应的研究实验报告嘿，大家好！今天咱们聊聊一个让人兴奋的话题——二阶动态电路响应。
听上去是不是有点深奥？别担心，我来给你们揭开这个神秘的面纱。
这就像是一个电路在回应我们的“指令”，就像小狗听到主人的口令一样，乖乖地反应。
不过呢，这种反应可不是简单的坐下、转圈圈，而是复杂得多。
想象一下，我们把电路看成是一位艺术家，二阶动态电路就像是他用来创作的画笔。
这画笔的灵敏度、反应速度，还有画出的每一笔，每一划，都是我们研究的重点。
二阶动态电路有两个能量储存元件——电感和电容，它们就像是电路里的双胞胎，一起工作，互相影响。
你可能会问，这双胞胎到底有多厉害？嘿，这可得看看它们的“化学反应”了。
在我们的实验中，我们设置了一些有趣的场景，让电路在不同条件下进行“表演”。
想象一下，你调高音量，看看电路是怎么回应的。
嘿，瞬间，你就能看到电压和电流的波动，简直像是在看一场电气交响乐！这些变化就像是电路在告诉你，它感受到了什么。
就像人在舞台上跳舞，随着音乐的节奏而舞动。
我们称这些反应为“响应”，就像小猫看到鱼一样，立刻就能“扑”上去。
我们还得提到一个小秘密，那就是“自然频率”。
这是电路的“特色”，就像每个人都有自己独特的声音。
当我们施加一个信号，电路就会在这个频率上表现得特别活跃。
想想看，就像一个歌手在高音区时，整个气氛都被点燃了。
我们通过实验观察到，电路在自然频率附近的反应特别明显，像个兴奋的小孩子，跃跃欲试，恨不得马上就来个大展示。
实验中也不乏一些小插曲。
我们的电路表现得不太“听话”，比如出现了过冲和下冲，就像小孩闹脾气一样。
这个时候，我们就得耐心点，调整电路的参数，试图让它回到正常的“轨道”上。
你要知道，电路就像一个情绪丰富的孩子，有时候需要些耐心和引导，才能让它表现得更好。
咱们得聊聊数据分析。
这部分虽然有点严肃，但其实也挺有趣的。
我们用一些图表来展示电路的响应情况，就像是在看运动会的成绩单。
每一条曲线、每一个数据点，都是电路表演的证据。
电路原理第8章 二阶电路
31
图8.10 R，L，C电路的冲激响应
图8.11 ｔ＞0时图8.10的等效电路
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
8.4 卷积积分
前面分析研究了线性电路的零状态响应，其外加电源激励都是一 些规则的波形。如果外加电源激励是一些不规则的波形，即它们是一 些任意波形，则可以用卷积积分来计算它的零状态响应。 8.4.1 卷积积分的定义
30
8.3 二阶电路的冲激响应 当冲激电源作用于零状态电路，其响应称为冲激响应。要计算二 阶电路的冲激响应，可以采用与计算一阶电路的冲激响应相同的方法， 即从冲激电源的定义出发，直接计算冲激响应；也可以利用已经学习过 的一阶电路的冲激响应与阶跃响应的关系，即一阶线性电路的单位阶 跃响应对时间ｔ的微分就是该电路的单位冲激响应。对于二阶电路，这 个结论仍然适用。在此以计算图8.10所示电路的冲激响应uC为例。
图8.16 8.3 确定图8.17所示电路中电容电压、电感电流，其初始值分别 为uC(0＋)，iL(0＋)，设电路激励分别为
①iS＝ε(ｔ)Ａ，uS＝10ε(ｔ)V；
②iS＝δ(ｔ)Ａ，uS＝10δ(ｔ)V。
51
图8.17
52
8.4 图8.18所示电路已知ＵS＝δ(ｔ)V，R＝1Ω，L＝1Ｈ，C＝1Ｆ， 试求电路的冲激响应uC，iL。
设有两个时间函数：f1(t)和f2(t)［在t<0时，f1(t)=f2(t)=0］，则
42
43
8.4.2 用卷积积分计算任意激励的零状态响应 图8.13所示激励函数ｅ(ｔ)作用于一个线性电路，假定此电路的 单位冲激响应ｈ(ｔ)已知，则可按下述方法计算电路在ｅ(ｔ)作
(大学物理电路分析基础)第7章二阶电路分析
作用
阻尼比决定了二阶电路的响应 速度和振荡幅度，对电路的稳 定性有很大影响。
分类
根据阻尼比的大小，可以分为 欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三
种情况。
自然频率
定义
自然频率是二阶电路在没有外部激励时自由振荡的频率，表示为ωn， 它等于电路的总电感与总质量的比值。
计算公式
自然频率的计算公式为ωn = sqrt(K/m)，其中K是弹簧常数，m是电 路的总质量。
赫尔维茨判据
赫尔维茨判据也是一种基于系统 极点的判据，通过计算系统函数 的零点和极点来判断系统的稳定 性。
乃奎斯特判据
乃奎斯特判据是一种基于频率域 分析的判据，通过分析系统的频 率响应来判断系统的稳定性。
稳定性分析方法
时域分析法
时域分析法是一种直接分析法，通过求解电路的微分方程来分析系统的动态响应和稳定 性。
大学物理电路分析基 础 第7章 二阶电路分 析
目 录
• 二阶电路的概述 • 二阶电路的响应分析 • 二阶电路的稳定性分析 • 二阶电路的阻尼比和自然频率 • 二阶电路的实例分析
01
二阶电路的概述
二阶电路的定义
二阶电路
由两个或更多电容元件或电感元 件组成的电路，其中每个元件有 两个端子。
定义中的关键点
频域分析法
频域分析法是一种间接分析法，通过将电路方程转化为频率域下的传递函数来分析系统 的稳定性。
04
二阶电路的阻尼比和自 然频率
阻尼比
定义
阻尼比是衡量二阶电路中阻尼作 用的参数，表示为ζ，它等于阻 尼电阻与电路总电阻的比值。
计算公式
阻尼比的计算公式为ζ = R/2L， 其中R是阻尼电阻，L是电路的总 电感。
二阶电路必须包含两个电容元件 或电感元件，且每个元件有两个 端子。
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主要内容
1. 分析二阶电路过渡过程的经典法； 2. 二阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响应； 3. 二阶动态电路的阶跃响应、冲激响应；
1
§7-1 二阶电路的零输入响应
二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路 在二阶电路中，给定的初始条件应有两个，它们由储能元件 的初始值决定。 RLC 串联电路和 GCL 并联电路为最简单的二阶电路。
当 R2
L C
时，固有频率 p1 和 p2 是两个不相等的负实根
p1
R 2L
p2
R 2L
( R )2 1 2L LC ( R )2 1 2L LC
p1
p2
1 LC
uC A1e p1t A2e p2t
5
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e
p2t
)
(
p2
I0 p1)C
(e p1t
e p2t )
iL
p1 p2CU0 p2 p1
(e p1t
e p2t )
I0 p2
p1
(
p1e p1t
p2e p2t )
1．设 uC(0) = U0, i (0) = 0
uC (t)
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
iL (t)
p1 p2CU 0 p2 p1
(e p1t
mA
9
2．设 uC(0) = 0, i (0) = I0
uC (t)
( p1
I0 p2 )C
(e p1t
e p2t )
iL (t)
I0 p2
p1 ( p1e p1t
p2e p2t )
uL
(t )
L
diL dt
LI0 p1 p2
( p12e p1t
p22e p2t )
例7-2：前述电路中, C = 1 F, L = 1 H , R = 3 , uC(0) = 0, i (0) = 1 A ，t 0 时，uOC(t) = 0 , 试求 uC(t) 及 iL(t)。
积分常数A1 和 A2 决定于uC
的初始条件
uC
(0
)
和
duC dt
0
给定初始条件: uC(0) = U0, i(0) = I0
A1 A2 U 0
p1 A1
p2 A2
1 C
I0
4
A1
p2U 0
I0 C
p2 p1
A2
p1U 0Βιβλιοθήκη I0 Cp1 p2
一,
R2
L C
,非振荡衰减放电过程（过阻尼情况）
解：利用前述结果
a,
p1,2
R 2L
( R )2 1 1.5 （1.5）2 1 2L LC
p1 0.382 , p2 2.618
10
b,
uuCC
(0) A1 A2 ' (0) A1 p1
0 A2 p2
1
A1 A2
0.447 0.447
c, uC (t) 0.447 e0.382 t 0.447 e2.618 t V
e p2t )
U0
(e p1t
L( p2 p1)
e p2t )
uL
(t)
L
diL dt
U0 p2
p1
(
p1e p1t
p2e p2t )
由于 p1 p2 ,
e p2t
衰减得快，e p1t
衰减得慢，故 e p1t e p2t 0 6
① uC , iL 始终不改变方向， uC iL < 0, 电容放电； ② uL 改变一次方向，t = tm 时， uL = 0 ； ③ t < tm ，电感吸收能量（ uLiL > 0 ），建立磁场； t > tm 电 感释放能量（ uL iL < 0 ），磁场逐渐衰减，趋向消失；
A1 A2
6 4
t 0
t0
13
二. R 2 L ，衰减振荡放电过程（欠阻尼情况）
2
VAR :
i C duC , dt
uR
Ri
RC
duC dt
,
uL
L
di dt
LC
d 2uC dt 2
KVL : uL uC uR uOC (t)
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
uOC (t)
初始条件
uC
(0),u'C
(0)
duC dt
0
1 C
i(t)
0
1 C
i(0)
零输入响应：上述线性二阶常系数微分方程中 u0C(t)=0 的响应
uR R i 11.56(e268 t e3732 t ) V
uL
L
di dt
(10.77
e3732 t
0.773
e268 t )
V
(2) imax
tm
1 p1
p2
ln
p2 p1
7.6104 S
760
S
imax
i t tm
2.89(e268 t e3732 t ) t tm
2.19
④ 整个过程完毕， uC = 0 ,iL = 0 ,uL = 0 。
7
例 7-1：电路如下图所示,US = 10 V, C = 1F, R = 4 k, L = 1 H ，开关 S 原来闭合在触点 1 处，t = 0 时，开关 S 由触点 1 接至触点 2 处，求：
(1) uC , uR , i 和 uL (2) imax .
t0
iL (t) 0.171 e0.382 t 1.17 e2.618t
A t0
11
3. 设 uC(0) = U0, i L(0) = I0 例7-3：前述电路中, C = 0.25 F, L = 0.5 H , R = 3 , uC(0)
=2 V , i (0) = 1 A ，t 0 时，uOC(t) = 0 , 试求 uC(t) 及 iL(t) 。
解：根据前述结果
a,
p1,2
R 2L
( R )2 1 31 2L LC
p1 2, p2 4
12
b,
uC (0) A1 A2 2
uC'
(0)
A1 p1
A2
p2
iL (0) C
4
c, uC (t) 6 e2 t 4 e4 t V
iL
(t)
C
duC dt
4 e4t
3 e2t
A
解： (1) uC , uR , i 和 uL
特征根
p1
R 2L
( R )2 1 268 2L LC
p2
R 2L
( R )2 1 -3732 2L LC
8
又 uC (0 ) U0 US 10 V
uC (10.77 e268 t 0.773 e3732 t ) V
i 2.89 (e268 t e3732 t ) mA
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
或
d 2uC dt 2
R L
duC dt
1 LC
uC
0
3
特征方程
p2 R p 1 0 L LC
特征根
p1,2
R 2L
(
R 2L
)2
1 LC
称为固有频率
解 为 ： uC (t) A1e p1t A2e p2t
这里：p1 和 p2 是特征根，仅与电路结构及参数有关；