数列经典例题
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数列经典例题
数列与线性规划
1．已知数列{}n
a 的前n 项和为
n
S ，满足
()()211122,3
n n nS n S n n n N a *+-+=+∈=，则数列{}n
a 的通项n
a
=
（ ） A ．
41
n - B ．
21
n + C ．3n
D ．2n + 【答案】A 【解析】
试题分析：当1n =时，()2
2
13234,7
a a
⋅+-⋅==，故A 选
项正确.
考点：数列求通项． 2．已知数列{}n
a 中, 45
n
a
n =-+,等比数列{}n
b 的公
比q 满足1(2)
n
n q a a n -=-≥,且1
2
b a =,则
12n b b b +++=
（ ）
A. 14n
- B. 4
1
n
- C.
143
n
- D.
413
n -
【答案】B 【解析】
试题分析：依题意有1
2
4,3
q b a
=-==-，故()()
1
34n n
b
-=--，
所以1
34n n b -=⋅，这是一个等比数列，前n 项和为()
3144114
n
n
-=--.
考点：等比数列的基本性质．
3．设n
S 是等差数列{}n
a 的前n 项和，若53
59a
a
=
，则95
S
S
=
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】A 【解析】 试题分析：
19951553
9()9215()52
a a S a a a S a +===+．故选A ．
考点：等差数列的前n 项和． 4．在等比数列{}n
a 中，1
401
a
a <<=，则能使不等
式
123
1231111
0n n a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+-≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
成立的最大正整
数n 是（ ） A.5 B.6 C ．7
D ．8 【答案】C 【解析】
试题分析：设公比为
q
,则
1231231111n n
a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+≤
+++⋅⋅⋅+，即
()111111111n
n a q a q q q
⎛⎫
-
⎪-⎝⎭≤
--，
将
13
1a q =
代入得：
7
n q q ≤，
1,7
q n >∴≤．
考点：（1）数列与不等式的综合；（2）数列求和.
【方法点晴】本题考查数列和不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．将不等式转化为两个等比数列之和，解不等式，对于在选择题中，该题还可以计算出7
2
1
,a a a ，可得
111772211=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a a a ，可得不等式成立的最大
整数n . 5．数列{}n
a 中，1
1++=
n n a
n
，9
=n
S
，则=n （ ）
A.97
B.98 C ．99 D ．100 【答案】C 【解析】
试题分析：由
n
n n n a n -+=++=
11
1，∴
(
)(
21321n S n n
=
+
+
+
+
119
n =+=，所以99=n ，故选C.
考点：数列求和. 6．已知()()
*1
11,n
n n a a
n a a n N +==-∈，则数列{}n
a 的通项
公式是（ ） A ．n B ．1
1n n n -+⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．2
n
D ．21n -
【答案】A 【解析】
试题分析：由已知整理得()1
1+=+n n
na a
n ，∴n
a
n
a n
n =++11
，∴数列⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧n a n
是常数列．且11
1
==
a n
a n
，∴n
a
n
=，故选
项为A.
考点：数列的递推式. 【一题多解】当2≥n 时，11
-=
-n n a a
n n
，2
12
1
--=
--n n a
a n n ，…，
2
323=a a ，121
2
=
a
a
， 两边分别相乘得n
a
a
n
=1
.又∵1
1
=a
，
∴n
a
n
=．
7．在数列{}n
a 中，1112,1n n n
a a
a a ++=-=
-，则2016
a
=
（ ）
A ．－2
B ．13- C.1
2
D ．3 【答案】D 【解析】
试题分析：由条件可得：
2
1-=a ，
3
1
2
-
=a ，
2
1
3=
a ，
3
4
=a ，
2
5-=a ，3
1
6
-
=a
，…，所以数列{}n
a 是以4为周期的
数列，所以3
42016
==a a
，故选项为D.
考点：数列的函数特性. 8．已知数列{}n
a 满足1
1
a
=，1
2(2,)
n n a
a n n N *-=≥∈，则
数列{}n
a 的前6 项和为（ ）