数列经典例题

数列经典例题数列与线性规划1．已知数列{}na 的前n 项和为nS ，满足()()211122,3n n nS n S n n n N a *+-+=+∈=，则数列{}na 的通项na=（ ） A ．41n - B ．21n + C ．3nD ．2n + 【答案】A 【解析】试题分析：当1n =时，()2213234,7a a⋅+-⋅==，故A 选项正确.考点：数列求通项． 2．已知数列{}na 中, 45nan =-+,等比数列{}nb 的公比q 满足1(2)nn q a a n -=-≥,且12b a =,则12n b b b +++=（ ）A. 14n- B. 41n- C.143n- D.413n -【答案】B 【解析】试题分析：依题意有124,3q b a=-==-，故()()134n nb-=--，所以134n n b -=⋅，这是一个等比数列，前n 项和为()3144114nn-=--.考点：等比数列的基本性质．3．设nS 是等差数列{}na 的前n 项和，若5359aa=，则95SS=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A 【解析】 试题分析：199515539()9215()52a a S a a a S a +===+．故选A ．考点：等差数列的前n 项和． 4．在等比数列{}na 中，1401aa <<=，则能使不等式12312311110n n a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+-≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的最大正整数n 是（ ） A.5 B.6 C ．7D ．8 【答案】C 【解析】试题分析：设公比为q,则1231231111n na a a a a a a a +++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+，即()111111111nn a q a q q q⎛⎫-⎪-⎝⎭≤--，将131a q =代入得：7n q q ≤，1,7q n >∴≤．考点：（1）数列与不等式的综合；（2）数列求和.【方法点晴】本题考查数列和不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．将不等式转化为两个等比数列之和，解不等式，对于在选择题中，该题还可以计算出721,a a a ，可得111772211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a a a ，可得不等式成立的最大整数n . 5．数列{}na 中，11++=n n an，9=nS，则=n （ ）A.97B.98 C ．99 D ．100 【答案】C 【解析】试题分析：由nn n n a n -+=++=111，∴()(21321n S n n=++++119n =+=，所以99=n ，故选C.考点：数列求和. 6．已知()()*111,nn n a an a a n N +==-∈，则数列{}na 的通项公式是（ ） A ．n B ．11n n n -+⎛⎫⎪⎝⎭C ．2nD ．21n -【答案】A 【解析】试题分析：由已知整理得()11+=+n nna an ，∴nana nn =++11，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n是常数列．且111==a na n，∴nan=，故选项为A.考点：数列的递推式. 【一题多解】当2≥n 时，11-=-n n a an n，2121--=--n n aa n n ，…，2323=a a ，1212=aa， 两边分别相乘得naan=1.又∵11=a，∴nan=．7．在数列{}na 中，1112,1n n na aa a ++=-=-，则2016a=（ ）A ．－2B ．13- C.12D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：由条件可得：21-=a ，312-=a ，213=a ，34=a ，25-=a ，316-=a，…，所以数列{}na 是以4为周期的数列，所以342016==a a，故选项为D.考点：数列的函数特性. 8．已知数列{}na 满足11a=，12(2,)n n aa n n N *-=≥∈，则数列{}na 的前6 项和为（ ）A ．63B ．127C ．3263D ．64127 【答案】C 【解析】 试题分析：11122n n n n a a a a --=∴=，所以数列是等比数列，公比为12()616163132a q S q -∴==-考点：等比数列求和9．三个实数,,a b c 成等比数列，且3a b c ++=,则b 的取值范围是（ ）A.)0,1[-B. ]10，（ C. ]3,0()0,1[⋃- D. ]1,0()0,3[⋃-【答案】D 【解析】试题分析：设此等比数列的公比为q ，∵3a b c ++=，∴3bb bq q++=，∴311b q q=++．当0q >时，3121b ≤=+，当且仅当1q =时取等号，此时(]01b ∈，；当0q <时，3321b ≥=--+，当且仅当1q =-时取等号，此时[)30b ∈-，．∴b 的取值范围是[)(]3001-⋃，，．故选：D ．考点：等比数列的性质．【思路点睛】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力；解答本题时，首先设此等比数列的公比为q ，由3a b c ++=，可得3bb bq q++=，变形为311b q q=++．对q 分类讨论，再利用基本不等式的性质即可得出．10．等比数列}na {中，已知对任意正整数n ，ma a a a n n +=++++2321 ，则2232221na a a a ++++ 等于( ) A.)4(31m n+ B. )12(31-nC. )14(-nD.2)2(m n +【答案】A 【解析】试题分析：∵当2n =时，124a am+=+，当1n =时，12a m=+，∴22a=，∴公比22q m=+，∴等比数列{}na 是首项是1，公比是22m+的等比数列，∵()2221224am a =+=，，∴等比数列2{}na 是首项是1，公比是222m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的等比数列，∴()222221222321122(4)3212n n n m m m m a a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪+⎝⎭ ⎪++ ⎪⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝+⎭++⋯+==，故选A ．考点：等比数列的性质.11．已知数列{}na 的各项均为正数，其前n 项和为nS ，若{}2log n a 是公差为1-的等差数列，且638S=，则1a 等于（ ）A ．421B ．631C ．821 D ．1231【答案】A 【解析】试题分析：因为{}2log na 是公差为1-的等差数列，所以21log 112211log log 1,22a n n n n a a n a a -+-+=-+==，61111131...,24328S a a ⎛⎫=++++==⎪⎝⎭421，故选A.考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列前n 项和公式.12．已知等比数列}{na 满足421=+aa ，1232=+a a，则=5a （ ）A ．64B ．81C ．128D ．243 【答案】B 【解析】试题分析：设等比数}{na 的公比为q ，由421=+aa ，1232=+a a ，得11211412a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以4451381a a q ===，故选B.考点：等比数列的通项公式.13．设}{na 为等差数列，若11101aa<-，且它的前n项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，nA ．18B ．19C ．20D ．21 【答案】C 【解析】试题分析：∵nS 有最小值，∴d ＞0，故可得1011a a <，又11101a a<-：()()20120101110100Sa a a a =+=+>，1910190S a =<∴20S 为最小正值考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和14．数列{}na 满足11a=且1122--=-n n n n a a a a()2≥n 则na=（ ）A.21n +B.22n +C.2()3nD.12()3n - 【答案】A 【解析】试题分析：由递推公式可得111112nn n a a a -⎧⎫-=∴⎨⎬⎩⎭为等差数列，公差为12，首项为1，所以通项公式为()111211221n n n n a a n +=+-⨯=∴=+考点：等差数列15．已知等比数列{}na 中, 262,8aa ==,则345a a a=（ ） A ．64± B ．64C ．32D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知226416a a a ⋅==,而246,,a a a 同号,故44a =，所以3345464a a a a ==.考点：等比数列的性质．16．已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ． 4 B ．16 C ． 9D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：依题意()3133310b a m a b a b a b ⎛⎫≤++=++⎪⎝⎭，331016b aa b++≥，故16m ≤.考点：不等式．17．若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（ ）A. 524B. 528C. 5D. 6 【答案】C【解析】试题分析：235323,5xy x y xy xy =+≥≥，2324341235x y xy +≥≥=.由xy y x 53=+两边除以5xy 得13155y x +=，()131********3455555555x y x y y x y x ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当31255x y y x =即11,2x y ==时等号成立. 考点：基本不等式．【思路点晴】本题考查基本不等式.基本不等式需要满足一正二定三相等，也就是说，利用基本不等式必须确保每个数都是正数，必须确保右边是定值，必须确保等号能够成立.本题若不不小心忘记检验等号是否成立，会产生如下的错解：235323,xy x y xy xy =+≥≥，3243412355x y xy +≥≥=.连用两次基本不等式，等号不是同时成立. 18．已知0,0a b >>，则336ab a b+的最小值是（ ）A ．10B ．2．12 D ．20 【答案】C 【解析】 试题分析：336612ab ab a b ab+≥≥．故选C.考点：基本不等式．【易错点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．19．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,y y x x y 且y x z +=2的最大值和最小值分别为m 和n ，则=-n m （ ） A.5B.6C.7D.8 【答案】B 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，将交点代入2z x y =+可求得最大值为3，最小值为3-，差为8.考点：线性规划．20．点(),M x y是不等式组0333xyx y⎧≤≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩Ω内的一动点，且不等式20x y m-+≥恒成立，则m 的取值范围是（）A．323m≥- B．3m≥ C．0m≥ D．123m≥-【答案】B【解析】试题分析：若20x y m-+≥总成立，即2m y x≥-总成立，设2z y x=-即求z的最大值即可，作出不等式组的平面区域如图，由2z y x=-得2y x z=+，则图象可知当直线经过点(0,3)C时，直线的截距最大，此时z最大，303,3z m=-=∴≥，故选B.考点：简单的线性规划．21．变量,x y满足约束条件12314yx yx y≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，若使z ax y=+取得最大值的最优解有无数个，则实数a 的取值集合是（ ）A ．{}3,0-B ．{}3,1-C ．{}0,1D ．{}3,0,1- 【答案】B 【解析】试题分析：不等式对应的平面区域如图：由z ax y=+得y ax z =-+，若0a =时，直线y ax z z =-+=，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件，若0a ->，则直线y ax z =-+截距取最大值时，z 取最大值，此时满足直线y ax z =-+与与2y x =-平行，此时1a ->解得1a =-，若0a -<，则直线y ax z =-+截距取最大值时，z 取最大值，此时满足直线y ax z=-+与314y x =-+平行，此时3a -=-解得3a =．综上满足条件的1a =-或3a =，故选B.考点：简单线性规划．【易错点睛】作出不等式对应的平面区域，利用z ax y =+的取得最大值的最优解有无穷个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论．本题主要考查了线性规划的应用，利用z 的几何意义，结合z ax y =+取得最大值的最优解有无穷个，利用数形结合是解决本题的根据． 22．已知变量y x ,满足约束条件Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤a y x y x y 12，若Ω表示的区域面积为4，则y x z -=3的最大值为（ ）A ．5-B ．3C ．5D ．7 【答案】D 【解析】试题分析：如图所示，因为区域面积为4，可求得1=a ，由此得平面区域，可知当y x z -=3过点)2,3(时有最大值，为7．故选D.考点：简单的线性规划． 23．设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-15020010y y x y x ，则y x 32+的最大值是（ ）A ．20B ．35C ．45D ．55 【答案】D 【解析】试题分析：画出可行域，如上图阴影部分.令23z x y=+,当0z =时,23y x =-,将此直线向右上方平移,当经过C 点时,直线的纵截距有最大值,z 有最大值,而(5,15)C ,所以max2531555z=⨯+⨯=，选D.考点：简单的线性规划. 24．已知变量,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则yx 的取值范围是（ ）A ．9[,6]5B ．9(,][6,)5-∞+∞C ．(,3][6,)-∞+∞ D ．[3,6]【答案】A 【解析】试题分析：作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），yx 表示点(,)x y 与原点连线的斜率，易得59(,)22A ，(1,6)B ，992552OAk==，661OBk==，所以965yx≤≤．故选A ．OABCDxy考点：简单的线性规划的非线性应用． 25．已知变量x ，y 满足约束条件01x x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则z 122x y =+-的最大值是A ．－12B ．0C ．12D ．1 【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y-12得y=-2x+z+12，平移直线y=-2x+z+ 12， 由图象可知当直线y=-2x+z+ 12经过点B 时，直线y=-2x+z+ 12的截距最大， 此时z 最大．由1x yx y =⎧⎨+=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即B 11,22⎛⎫⎪⎝⎭，代入目标函数z=2x+y- 12得z=2×12+ 12- 12=1． 即目标函数z=2x+y- 12的最大值为1 考点：线性规划问题 26．若不等式组20,,02,x y y m x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则m 的取值范围是（ ）A ．[2,4)B ．[2,)+∞C ．[2,4]D ．(2,4] 【答案】A 【解析】试题分析：由不等式组可得可行域（如图），当直线m y =在2=y 与4=y （不包括4=y ）时，平面区域是一个三角形，可知m ∈[2,4).考点：简单线性规划．【方法点睛】本题主要考查简单线性规划问题，属于基础题.处理此类问题时，首先应明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围等.本题考查方向为可行域的确定，通过对不等式中参数的可能取值而确认满足条件的可行域. 27．若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则22xy +的最大值是（ ）A ．12B ．10C ．9D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：由约束条件2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，作出可行域，如图所示，因为(0,3),(0,2)A C -，所以OA OC >，联立x yO 2 2-22239x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得(3,1)B -，因为2222(3(1))10OB=+-=，所以22xy +的最大值是10，故选B ．考点：简单的线性规划． 28．已知x,y ∈R ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥,2,,43,x y x x y 则y x z 2+=的最大值是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：如图，画出可行域，设52y x z +='，z '表示可行域内的点到直线02=+y x 的距离，那么z y x '=+52，根据图像，很显然，点()22--，A 到直线2=+y x 的距离最大，最大值为()562122222=+-⨯+-=d ，所以yx 2+的最大值就是6565=⨯，故选C.考点：线性规划 29．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≤+03045y x y x y x ，则下列目标函数中，在点)1,4(处取得最大值的是 A.y x z -=51B.yx z +-=3C.15z x y =--D.y x z -=3 【答案】D 【解析】试题分析：在直角坐标系内作出可行域如下图所示，由线性规划知识可知，目标函数15z x y =-与3z x y=-+均是在点(5,1)A --处取得最大值，目标函数15z x y =--在点(1,4)C 处取得最大值，目标函数yx z -=3在点(4,1)B 处取得最大值，故选D.考点：线性规划.30．如图所示，表示满足不等式()(22)0x y x y -+->的点()x y ，所在的区域为【答案】B 【解析】试题分析：线性规划中直线定界、特殊点定域。