2019-2020学年高中数学 1.3函数的基本性质讲义新人教A版必修1.doc

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人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课教学课件复习(函数奇偶性的概念)

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(2)已知 f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若 f(－3)＝－3，则 f(3)＝________.
[思路点拨] (1) fx是偶函数定原义―点―域对→关称于求a的值图y―轴象―对关→称于求b的值
(2)
令gx＝x7－ax5＋bx3＋cx
―→
判断gx 的奇偶性
(2)由图象知，使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
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(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
[解]
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(1)如图所示课件课件
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(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．
需多项式的奇次项系数为 0，即 a－4＝0，则 a＝4.
法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如 f(x)＝ax2＋c 的都是偶函数，
因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则 a＝4.]
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1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数 f(x)定义域内的每一个值课件
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2019-2020学年数学高中人教A版必修1课件：1.3函数的性质

问题8：函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？
函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.
-8-
解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x) 在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.
-9-
-10-
解：（1）函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图所示. (2)设x1、x2∈(-∞,1］，且x1<x2，则有 f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3) =(x22-x12)+2(x1-x2) =(x1-x2)(2-x1-x2). ∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1<x2，∴x1-x2<0,x1+x2<2. ∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数. （3）函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(-∞,1］.
-11-
解：（1）设x1、x2∈R，且x1<x2.则 F(x1)-F(x2)=［f(x1)-f(a-x1)］-［f(x2)-f(a-x2)］ =［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］. 又∵函数f(x)是R上的增函数，x1<x2，∴a-x2<a-x2. ∴f(x1)<f(x2),f(a-x2)<f(a-x1). ∴［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］<0. ∴F(x1)<F(x2).∴F(x)是R上的增函数.

高中数学人教A版(2019)必修第一册课件复习课第3课时函数的概念与性质

函数f(x)在区间[1,5)内的值域为[0,5).
1.(2016·江苏高考)函数 y= -- 的定义域是
解析:要使函数有意义,必须 3-2x-x2≥0,即 x2+2x-3≤0,
所以-3≤x≤1.
所以函数 y= --的定义域是[-3,1].
.
解析:画出 f(x)=
, < ≤ ,
故f(x)是偶函数.
(2)解:当x≥0时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2;
当x<0时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,

(-) -, ≤ ≤ ,
即 f(x)=

( + ) -,- ≤ < .
根据二次函数的作图方法,
可得函数图象如图.
解:(1)因为 f(4)=0,所以 4×|m-4|=0,即 m=4.
一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D⊆I.如果∀x1,
条件 x2∈D,当 x1<x2 时,
都有 f(x1)<f(x2)
都有 f(x1)>f(x2)
f(x)在区间 D 上
f(x)在区间 D 上
结论
单调递增
单调递减
图示
增函数当函数 f(x)在它的定义域当函数 f(x)在它的定义
足
条件
∀x∈I,都有 f(x)≤M
∀x∈I,都有 f(x)≥M
∃x0∈I,使得 f(x0)=M
结论 M 是函数 y=f(x)的最大值 M 是函数 y=f(x)的最小值
奇函数
偶函数
定义域
函数 f(x)的定义域关于原点对称
x
对于定义域内的任意一个 x
定
f(x)与 f(-x)

人教新课标A版高中(必修1)数学1.3函数的基本性质 (综合)课件

有 f(1 m )f(m )，求实数 m 。
m
|
1
m
1 2
变式 1 、设定义在 [ 2 ,2 ]上的奇函数 f(x )在区间 [0 ,2 ]
上单调递增 , 若有 f(1 m )f(m )，求实数 m 。
m
|
1
m
1 2
【变点式评2 、】奇在函将数此f( 类x ) 不在等定式义进域行[ 转2 ,2 化]上的是过增程函中数应，注且意
方法小结：(1)已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域：
一般设u=g(x)，则u的取值范围就是f(x)的定义域，通
过解不等式可求得方法小结：(2)已知 f [g(x)]的定义域为D，求f(x)的定义域，就是求g(x)在D上的值域
一、课前练习 1．设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是______．
(3) f(x) f(x) f(y)(x 0).其中正确结论的序号 y
是
(写出所有你认为正确的结论的序号)
二、巩固练习
1、若函数f(x)
x
为奇数( D )
(2x1)(xa)
Ａ、 1 2
B、 2 3
Ｃ、 3 4
D、 1
2、 f(x)axb3x１满足 f(４ )５，则
f( ４ )-7
二、巩固练习
2、选做：已知函数f(x)对一切x, y，都有 f(xy) f(x) f(y).
(1)求证：f(x)是奇函数; (2)若f(3)2，求f(12)的值.
三、巩固练习
1、奇函数yf(x)(xR)的图象必定经过点( C)

高中数学人教A版必修1第一章1.3函数的基本性质辅导讲义

考点一：函数单调性1.1 如下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及函数)(x f y =的最值。

2.1 写出下列函数的单调区间并求其最值。

（1）22y x x =- （2）]3,1(,11∈-=x x y （3）]5,0(,432∈+-=x x x y 531-2-5xOy2.1证明：11)(--=xx f 在区间上是单调增函数。

3.1 讨论函数f （x ）=21++x ax （a ≠21）在（－2，+∞）上的单调性.增函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数。

减函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当x 1<x 2时,都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数。

1.1根据图象写出函数y=f(x)的单调区间：增区间；减区间)0,(-∞（3）函数f(x)在（0，+∞）上是增函数，求f(a 2-a+1)与f(43)大小关系；3.2 函数])1,[(,22)(2+∈+-=t t x x x x f 是单调函数，求t 的范围。

考点二：函数的奇偶性1.1、下列命题中正确的是（1）)(x f 是R 上的函数，若)2()2(f f =-，则函数)(x f 是偶函数。

（2）)(x g 是R 上的函数，若)2()2(g g -≠-，则函数)(x g 不是R 上的奇函数。

（3）函数)),2[]1,((,1)(+∞⋃--∞∈+=x xx x f 是奇函数。

（4）函数R x x f ∈=,0)(既不是偶函数也不是奇函数。

（5）既是偶函数又是奇函数的函数一定是R x x f ∈=,0)(（6）已知)(x f 是R 上的偶函数，则点))(,(a f a -必在)(x f y =的图像上1.2判断下面函数的奇偶性（1）3()4f x x x =+ （2）x x x f 2)(2+=（3）1)(=x f （4）11)(-+-=x x x f2.1 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数。

2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性课件新人教A版必修第一册

第三章 3.2 3.2.1 第1课时
课标A版·数学·必修第一册
题型二求函数的单调区间【典例 2】求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x－1 1； (2)f(x)＝|x2－3x＋2|. [思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2) 作出函数 y＝x2－3x＋2 的图象，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，结合图象写出 f(x)的单调区间．
第三章 3.2 3.2.1 第1课时
课标A版·数学·必修第一册
∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数． ∀x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝x2－xx121xx222＋x1. ∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． ∴函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数.
第三章 3.2 3.2.1 第1课时
课标A版·数学·必修第一册
证明或判断函数单调性的方法步骤
第三章 3.2 3.2.1 第1课时
课标A版·数学·必修第一册
[针对训练] 1．求证：函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0) 上是增函数． [证明] ∀x1，x2∈(－∞，0)，且 x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝x121－ x122＝x22x－21x22x21＝x2－xx121xx222＋x1. ∵x1<x2<0， ∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)．
1．观察下列函数图象：
课标A版·数学·必修第一册

人教A版高中数学必修1第一章集合与函数概念1.3 函数的基本性质课件(7)

-2 -1 o 1 2 x
则(2) 函I在x数=1x区{2在x>间|0x定,<(-0义x∞, 2域,-xx0>I1)0>上内}0.,任的取区间x1<x2<0,--12
(-∞,证即0明)上∴∴:是函fff(减(xxx数111函))在->-数f(f-((,(xx∞x222)),在),>=00区),x1上1间-是(x10减2,=函+x∞x2数1-)x上.x2 1也, 是减函数.
的图象.
(1) 这个函数的定义域 I 是什么?
(2) 它在定义域 I 上的单调性是怎样的? 证明你
的结论.
解:
画出函数
y
=
1 x
的图象如图:
y 2
y
=
1 x
1
(1) 函数的定义域 I = {x|x<0, 或 x>0}.
-2 -1 o 1 2 x -1
(2) 函数在定义域 I 内的区间 -2
(-∞, 0)上是减函数, 在区间(0, +∞)上也是减函数.
证明:
f
( x1) -
f
(x2) =
1 x1
-
1 x2
=
x2 - x1 x1 x2
,
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例3 (课本探究).
画出反比例函数
y
=
1 x
的图象.
(1) 这个函数的定义域 I 是什么?
(2) 它在定义域 I 上的单调性是怎样的? 证明你
的结论.
解:
画出函数
y
=
1 x
的图象如图:
y 2
y
=
1 x
1
(1) 函数的定义域
证明单调性的基本步骤:

高中数学人教A版必修1课件：1.3函数的基本性质

②“对于…”，“任意…”，“都有…”，“ 对于”即两个自变量x1，x2，必须取自给定的区间；“任意”即不能用特殊值代替；“都有 ”即只要x1＜x2，就必须有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞ f(x2)．
(2)函数单调性的刻画： ①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的； ②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的．
间应是定义域的子集．
2.画出函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋3 的图象，并指出函数的单调区间．
解析： y＝－x2＋2|x|＋3 －x2＋2x＋3＝－x－12＋4
＝－x2－2x＋3＝－x＋12＋4 函数图象如图所示：
x≥0 x＜0 .
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
[0,1]
4．求证：函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数．
证明：设 1＜x1＜x2，
y1－y2＝x1－1 1－x2－1 1 ＝x1－x21－xx21－1 ∵1＜x1＜x2 ∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0 ∴x1－x21－xx21－1＞0. 即 y1＞y2，
∴函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数.
解析： ∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选C.
答案： C
3．如图所示，函数y＝ f(x)的单调递增区间有 ________，递减区间有 ________．

人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课教学课件复习(函数的单调性)

函数，则实数 a 的取值范围是________．
(2)已知函数 y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且 f(2x－3)>f(5x－6)，课件课件课件课件课件课件课件课件课件课件课件课件课件课件
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则实数 x 的取值范围为________．
D．y＝1－x
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3．函数 f(x)＝x2－2x＋3 的单调
(－∞，1] [因为 f(x)＝x2－2x＋3
减区间是________．
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是图象开口向上的二次函数，其对称轴为 x＝1，所以函数 f(x)的单调减区
所以 a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
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2．(变条件)若本例(2)的函数 f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求 x
的范围．
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[解] 由题意可知，
2x－3>0，
5x－6>0， 2x－3<5x－6，
若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)>f(b)时，a<b.
2．决定二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 单调性的因素有哪些？提示：开口方向和对称轴的位置，即字母 a 的符号及－2ba的大小．

高中数学(人教A版)必修一课件：1.3函数的基本性质

(3) f (x)＝x＋1；
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(5) f (x)＝0.
例1 判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(偶函数)
(3) f (x)＝x＋1；
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(5) f (x)＝0.
练习
2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(错)
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义
域关于坐标原点对称.
(对)
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对
称，则这个函数为偶函数； (错)
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则
这个函数为偶函数.
例1 判断下列函数的奇偶性； (1) f (x)＝x＋x3＋x5； (2) f (x)＝x2＋1； (3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]； (5) f (x)＝0.
例1 判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 .
问题2：－x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？
问题2：－x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？
奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.
问题3：结合函数f (x)＝x3的图象回答以下问题： (1)对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点P (x，f (x))关于原点对称点P'的坐标是什么？点P'是否也在函数f (x)的图象上？由此可得到怎样的结论. (2)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？

函数的基本性质(知识精讲)2019-2020高一数学(人教A版必修第一册)(解析版)

专题八函数的基本性质知识精讲一知识结构图二.学法指导1.求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象．2. 利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2.(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号.(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性.3．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．4.判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图象法：5.利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解.6.利用函数奇偶性求解析式的方法1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.2要利用已知区间的解析式进行代入.3利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).7、解有关奇函数f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先将f(a)＋f(b)<0变形为f(a)<－f(b)＝f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.,由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解.三.知识点贯通知识点1 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．例1.求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f (x )＝－1x ；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1；(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.【解析】(1)函数f (x )＝－1x 的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．(3)因为f (x )＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f (x )的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)． f (x )在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．知识点二函数单调性的判断与证明1.增函数与减函数的定义例题2：试用函数单调性的定义证明：f(x)＝2xx－1在(1，＋∞)上是减函数．【证明】f(x)＝2＋2x－1，设x1>x2>1，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2(x2－x1)(x1－1)(x2－1)，因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．知识点三函数单调性应用1.∀x1，x2∈D，f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.∀x1，x2∈D，f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1>x2.例题3 .(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．【答案】(1)(－∞，－4](2)(－∞，1)【解析】(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．知识点四利用函数的单调性求最值(值域) 1.函数最大值与最小值的定义例题4．已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．【解析】(1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增，所以f (x )的最小值为f (2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f (4)＝2×4＋14＋1＝95.知识点五函数奇偶性的判断 1.函数的奇偶性的定义例题5.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x ；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x <0，0，x ＝0，x ＋1，x >0.【解析】 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称．又f (－x )＝(－x )3＋(－x )＝－(x 3＋x )＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0得x 2＝1，即x ＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f (1)＝f (－1)＝－f (－1)＝0，所以f (x )既是奇函数又是偶函数． (3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－x <0，0，－x ＝0，－x ＋1，－x >0，即f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)，x >0，0，x ＝0，－(x －1)，x <0.于是有f (－x )＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．知识点六奇偶性应用1.奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。

人教A版高中数学必修1第一章集合与函数概念1.3 函数的基本性质课件(4)

大（小）的，即对于任意的 x I ，
都有 f (x) M ( f (x) m) ．
2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法 ②换元法 ③数形结合法
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例1：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为 h(t) = 4.9t2 14.7t 18 ，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
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例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1 元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
解：设利润为 x 元，每个售价为 x 元，则
每个涨（ x －50）元，从而销售量减少
10(x 50)个, 共售出500-10(x-50)=100-10x(个)
1.3 函数的基本性质
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精品PPT1.3.1Βιβλιοθήκη 单调性与最大（小）值精品PPT
请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：
1、当x∈[0，+∞)，x增大时，图（1）中的y
值增大；图（2）中的y值
增。大
2、当x∈(－∞，0)，x增大时，图（1）中的y
值减小；图（2）中的y值
增。大
课堂互动讲练
考点二函数奇偶性的判定
判断函数的奇偶性，应该首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非奇非偶函数．
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课堂互动讲练
例2 判断下列各函数的奇偶性：
(1)f(x)＝lgx2＋lgx12；

新教材高中数学第三章函数的概念与性质第1课时函数的概念课件新人教A版必修第一册ppt

④x→y,y= x,x∈{x|0≤x≤6},y∈{y|0≤y≤3}.
其中为函数的是 ①④
(只填序号).
解析:①是函数.对于 x≠0,x∈R 中的每一个 x 的值,有唯一
的 y∈R 与之对应.
②不是函数.如当 x=4 时,y=2 或-2,有两个值与之对应,因
此不是函数.
③不是函数.如当 x=4 时,在{y|0≤y≤3}中没有值与 x 对应.
分式子都有意义的实数集合;
(4)如果函数是由实际问题确定的,那么其定义域是不仅使解析
式有意义,还要有实际意义的实数集合.
易错提醒:求函数定义域时,先不要对解析式化简,否则可能会改变
原函数的定义域.
【跟踪训练】
6.求下列函数的定义域.
(1)y=
-
;
(2)y=
.
解:(1)要使函数有意义,自变量x的取值必须
答案:×
(2)根据函数的定义,定义域中的任意一个 x 可以对应着值
域中不同的 y. (
)
解析:根据函数的定义,对于定义域中的任意一个x,在
值域中都有唯一确定的y与之对应.
答案:×
(3)在函数的定义中,集合 B 是函数的值域.(
)
解析:在函数的定义中,函数的值域是集合B的子集.
答案:×
二、区间
1.区间的概念
数定义域内的值,否则函数无意义.
【跟踪训练】
3.变式练在本例条件下,若 g(b)=18,则 b= ±4 .
解析:由g(b)=18,得b2+2=18,解得b=±4.
4.同类练若 f(x)=x2+x+1,则 f( )= 3+ .
解析:因为f(x)=2+x+1,所以f(x)=(x)2++1=3+

高中数学 1311函数的基本性质课件新人教A版必修1

【变式 2】求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3|x|； (2)f(x)＝|x2＋2x－3|. 解 (1)∵f(x)＝3|x|
3x，x≥0，＝－3x，x<0
图象如图所示．
f(x)在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．
(2)令 f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4. 先作出 f(x)的图象，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分，把它在 x 轴下方的图象翻到 x 轴上方就得到 y＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．
1 1 f(x1)－f(x2)＝x1＋x －x2＋x 1 2 1 1 ＝(x1－x2)＋x －x 1 2
x2－x1 x1－x2x1x2－1 ＝(x1－x2)＋＝， x1x2 x1x2 ∵0<x1<x2<1，∴x1－x2<0.x1x2－1<0，x1x2>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． 1 ∴f(x)＝x＋x 在(0,1)上是减函数．
[规范解答] ∵f(x)在区间[－2,2]上单调递增， ∴－2≤x1<x2≤2 时，总有 f(x1)<f(x2)成立．反之也成立，即若 f(x1)<f(x2)，则－2≤x1<x2≤2.(4 分) ∵f(1－m)<f(m)，－2≤m≤2 ∴－2≤1－m≤2， 1－m<m 1 解得2<m≤2.(10 分) ∴所求 m
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活页限时训练
v
(1)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值
x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数，如图①所示． (2)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数，如图②所示．

新人教A版新教材学高中数学必修第一册函数的概念与性质函数的基本性质单调性与最大小值函数的最大小值讲义

学习目标核心素养１．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．（重点）２．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．（重点、难点）３．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．（重点）４．通过本节内容的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力．（重点、难点）１．借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养．２．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有f（x）≤M f（x）≥M∃x0∈I，使得f（x0）＝M结论M是函数y＝f（x）的最大值M是函数y＝f（x）的最小值几何意义f（x）图象上最高点的纵坐标f（x）图象上最低点的纵坐标提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f（x0）＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．１．函数y＝f（x）在[—２,２]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）Ａ．—１,0 Ｂ．0,２Ｃ．—１,２Ｄ．错误!，２C[由图可知，f（x）的最大值为f（１）＝２，f（x）的最小值为f（—２）＝—１．]２．设函数f（x）＝２x—１（x<0），则f（x）（）Ａ．有最大值Ｂ．有最小值Ｃ．既有最大值又有最小值Ｄ．既无最大值又无最小值D[∵f（x）在（—∞，0）上单调递增，∴f（x）<f（0）＝—１，故选Ｄ．]３．函数f（x）＝错误!，x∈[１,２]，则f（x）的最大值为________，最小值为________．１错误![∵f（x）＝错误!在区间[１,２]上为减函数，∴f（２）≤f（x）≤f（１），即错误!≤f（x）≤１．]利用函数的图象求函数的最值（值域）【例１】已知函数f（x）＝错误!（１）在直角坐标系内画出f（x）的图象；（２）根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．[解] （１）图象如图所示：（２）由图可知f（x）的单调递增区间为（—１,0），（２,５），单调递减区间为（0,２），值域为[—１,３]．利用图象求函数最值的方法１画出函数y＝f x的图象；２观察图象，找出图象的最高点和最低点；３写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.１．已知函数f（x）＝错误!求f（x）的最大值、最小值．[解] 作出函数f（x）的图象（如图）．由图象可知，当x＝±１时，f（x）取最大值为f（±１）＝１．当x＝0时，f（x）取最小值f（0）＝0，故f（x）的最大值为１，最小值为0．利用函数的单调性求最值（值域）【例２】已知函数f（x）＝错误!.（１）判断函数在区间（—１，＋∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（２）求该函数在区间[２,４]上的最大值和最小值．[解] （１）f（x）在（—１，＋∞）上为增函数，证明如下：任取—１<x１<x２，则f（x１）—f（x２）＝错误!—错误!＝错误!，因为—１<x１<x２⇒x１＋１>0，x２＋１>0，x１—x２<0，所以f（x１）—f（x２）<0⇒f（x１）<f（x２），所以f（x）在（—１，＋∞）上为增函数．（２）由（１）知f（x）在[２,４]上单调递增，所以f（x）的最小值为f（２）＝错误!＝错误!，最大值f（４）＝错误!＝错误!.１．利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤（１）判断函数的单调性．（２）利用单调性求出最大（小）值．２．函数的最大（小）值与单调性的关系（１）若函数f（x）在区间[a，b]上是增（减）函数，则f（x）在区间[a，b]上的最小（大）值是f（a），最大（小）值是f（b）．（２）若函数f（x）在区间[a，b]上是增（减）函数，在区间[b，c]上是减（增）函数，则f（x）在区间[a，c]上的最大（小）值是f（b），最小（大）值是f（a）与f（c）中较小（大）的一个．提醒：（１）求最值勿忘求定义域．（２）闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．２．求函数f（x）＝x＋错误!在[１,４]上的最值．[解] 设１≤x１<x２<２，则f（x１）—f（x２）＝x１＋错误!—x２—错误!＝x１—x２＋错误!＝（x１—x２）·错误!＝（x１—x２）错误!＝错误!.∵１≤x１<x２<２，∴x１—x２<0，x１x２—４<0，x１x２>0，∴f（x１）>f（x２），∴f（x）在[１,２）上是减函数．同理f（x）在[２,４]上是增函数．∴当x＝２时，f（x）取得最小值４；当x＝１或x＝４时，f（x）取得最大值５．函数最值的实际应用【例３】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资１00万元，此外每生产１件该产品还需要增加投资１万元，年产量为x（x∈N*）件．当x≤２0时，年销售总收入为（３３x—x２）万元；当x>２0时，年销售总收入为２60万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．（年利润＝年销售总收入—年总投资）（１）求y（万元）与x（件）的函数关系式；（２）当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解] （１）当0<x≤２0时，y＝（３３x—x２）—x—１00＝—x２＋３２x—１00；当x>２0时，y ＝２60—１00—x＝１60—x.故y＝错误!（x∈N*）．（２）当0<x≤２0时，y＝—x２＋３２x—１00＝—（x—１6）２＋１５6，x＝１6时，y max＝１５6．而当x>２0时，１60—x<１４0，故x＝１6时取得最大年利润，最大年利润为１５6万元．即当该工厂年产量为１6件时，取得最大年利润为１５6万元．解实际应用题的四个步骤１审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.２建模：建立数学模型，列出函数关系式.３求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法一定注意自变量的取值范围.４回归：数学问题回归实际问题，写出答案.３．将进货单价为４0元的商品按５0元一个出售时，能卖出５00个，已知这种商品每涨价１元，其销售量就减少１0个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？[解] 设售价为x元，利润为y元，单个涨价（x—５0）元，销量减少１0（x—５0）个，销量为５00—１0（x—５0）＝（１000—１0x）个，则y＝（x—４0）（１000—１0x）＝—１0（x—70）２＋9 000≤9 000．故当x＝70时，y max＝9 000．即售价为70元时，利润最大值为9 000元．二次函数的最值问题[探究问题]１．二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a>0）的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？提示：２．求二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？提示：若求二次函数f（x）在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝—错误!与区间[m，n]的关系．【例４】已知函数f（x）＝x２—ax＋１，求f（x）在[0,１]上的最大值．[思路点拨] 错误!错误!错误!错误!错误![解] 因为函数f（x）＝x２—ax＋１的图象开口向上，其对称轴为x＝错误!，当错误!≤错误!，即a≤１时，f（x）的最大值为f（１）＝２—a；当错误!>错误!，即a>１时，f（x）的最大值为f（0）＝１．１．在题设条件不变的情况下，求f（x）在[0,１]上的最小值．[解] （１）当错误!≤0，即a≤0时，f（x）在[0,１]上单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝１．（２）当错误!≥１，即a≥２时，f（x）在[0,１]上单调递减，∴f（x）min＝f（１）＝２—a.（３）当0<错误!<１，即0<a<２时，f（x）在错误!上单调递减，在错误!上单调递增，故f（x）min＝f错误!＝１—错误!.２．在本例条件不变的情况下，若a＝１，求f（x）在[t，t＋１]（t∈R）上的最小值．[解] 当a＝１时，f（x）＝x２—x＋１，其图象的对称轴为x＝错误!，１当t≥错误!时，f（x）在其上是增函数，∴f（x）min＝f（t）＝t２—t＋１；２当t＋１≤错误!，即t≤—错误!时，f（x）在其上是减函数，∴f（x）min＝f（t＋１）＝错误!２＋错误!＝t２＋t＋１；３当t<错误!<t＋１，即—错误!<t<错误!时，函数f（x）在错误!上单调递减，在错误!上单调递增，所以f（x）min＝f错误!＝错误!.二次函数在闭区间上的最值设f（x）＝ax２＋bx＋c（a＞0），则二次函数f（x）在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系—错误!＜m＜n，即—错误!∈（—∞，m）m＜—错误!＜n，即—错误!∈（m，n）m＜n＜—错误!，即—错误!∈（n，＋∞）图象最值f（x）max＝f（n），f（x）min＝f（m）f（x）max＝max{f（n），f（m）}，f（x）min＝f错误!f（x）max＝f（m），f（x）min＝f（n）１．函数的最大（小）值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大（小）的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．２．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：（１）图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；（２）单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；（３）对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．３．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．１．思考辨析（１）任何函数都有最大（小）值．（）（２）函数f（x）在[a，b]上的最值一定是f（a）（或f（b））．（）（３）函数的最大值一定比最小值大．（）[答案] （１）×（２）×（３）√２．函数y＝x２—２x，x∈[0,３]的值域为（）Ａ．[0,３] Ｂ．[—１,0]Ｃ．[—１，＋∞）Ｄ．[—１,３]D[∵函数y＝x２—２x＝（x—１）２—１，x∈[0,３]，∴当x＝１时，函数y取得最小值为—１，当x＝３时，函数取得最大值为３，故函数的值域为[—１,３]，故选Ｄ．]３．函数y＝ax＋１在区间[１,３]上的最大值为４，则a＝______.１[若a<0，则函数y＝ax＋１在区间[１,３]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋１＝４，解得a＝３，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋１在区间[１,３]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即３a＋１＝４，解得a＝１．综上，a＝１．]４．已知函数f（x）＝错误!（x∈[２,6]）．（１）判断函数f（x）的单调性，并证明；（２）求函数的最大值和最小值．[解] （１）函数f（x）在x∈[２,6]上是减函数．证明：设x１，x２是区间[２,6]上的任意两个实数，且x１<x２，则f（x１）—f（x２）＝错误!—错误!＝错误!＝错误!.由２≤x１<x２≤6，得x２—x１>0，（x１—１）（x２—１）>0，于是f（x１）—f（x２）>0，即f（x１）>f （x２），所以函数f（x）＝错误!是区间[２,6]上的减函数．（２）由（１）可知，函数f（x）＝错误!在区间[２,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝２时取得最大值，最大值是２，在x＝6时取得最小值，最小值是错误!.。