例谈函数零点问题的解题策略_林清海
例谈高考数学题的函数零点问题
例谈高考数学题的函数零点问题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN例谈高考数学题的函数零点问题梁关化，2015，11，12高考数学题的函数零点问题，早前都是以小题出现为多，但近几年却变为大题，甚至是难题。
例如，今年全国卷（1）、广东和江苏等省的高考数学题都把函数零点问题作为大题、难题来出。
函数零点问题，归纳起来，常有如下几种类型：一、求零点的值或判断零点所在区间；二、讨论是否有零点或零点个数；三、由零点个数求函数解析式中参数取值范围。
解决零点问题，首先要掌握好零点概念的三个等价形式：（1）函数值为零的自变量值；（2）方程f(x)=0的解（也可以把方程f(x)=0变形为g(x)=h(x),那么两函数g(x)和h(x)的图象的交点的横坐标即为方程f(x)=0的解）；（3）函数图象与x 轴的交点的横坐标。
因此，零点与方程知识，与数形结合的数学思想紧密相关。
其次，还需要掌握好零点存在性的判断定理；此外，还需要掌握好利用函数的导数来研究函数的单调性，极值，最值的方法。
求函数解析式中参数取值范围问题，往往还需要分类讨论的数学思想。
下面一起分析几道高考题或高考题的改编题。
例1 （广东2015年高考数学理科题）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+- (1)求()f x 的单调区间； (2)证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点； (3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.解：（1）解略。
（答案：()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞）（2）由（1）得()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，又(0)10(1),(1)0f a a f a a =-<>=-=->，从而有(0)0f f <，0x ∴∃∈使得0()0f x =，∴()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点。
函数的零点问题
函数的零点问题 黄雨荞判断下列函数在给定区间是否存在零点．（1）f （x ）=x ^2-3x-18，x ∈[1，8]；（2）f （x ）=log2（x+2）-x ，x ∈[1，3]．解：（1）方法一：令f （x ）=0得x2-3x-18=0，x ∈[1，8]所以（x-6）（x+3）=0，所以x=6∈[1，8]，x=-3∉[1，8]，故f （x ）=x2-3x-18，x ∈[1，8]存在零点．方法二：因为f （1）=-20＜0，f （8）=22＞0，所以f （1）•f （8）＜0故f （x ）=x2-3x-18，x ∈[1，8]存在零点．（2）方法一：因为f （1）=log 23-1＞log 22-1=0，f （3）=log 25-3＜log 28-3=0， 所以f （1）•f （3）＜0，故f （x ）=log2（x+2）-x ，x ∈[1，3]存在零点方法二：设y=log2（x+2），y=x ，在同一直角坐标系中画出它们的图象， 从图象中可以看出当1≤x ≤3时，两图象有一个交点，因此f （x ）=log2（x+2）-x ，x ∈[1，3]存在零点．讨论：利用函数零点的存在定理确定出零点是否存在，或者通过解方程、数形结合解出其零点，（1）可以利用零点的存在性定理或直接求出零点，（2）可以利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来确定函数是否有零点． 对函数零点存在的判断中,必须强调:(1)f(x)在［a,b ］上连续;(2)f(a)·f(b)<0;(3)在（a,b ）内存在零点.事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要.练习：设函数 (x>0),则y=f(x) （ ） A.在区间 (1,e)内均有零点 B.在区间 (1,e)内均无零点 C.在区间 内有零点，在区间(1,e)内无零点 D.在区间 内无零点,在区间(1,e)内有零点 ),1,e 1(),1,e 1(),1,e 1(),1,e 1()1()e 1(f f ∙,0)1e31(31)1ln 31()e 1ln e 131(>+=-∙-∙=解：因为因此f(x)在 内无零点，因此f(x)在(1，e)内有零点.答案 D)1,e 1(.093e lne)e 31()1ln 131((e))1(<-=-∙-⨯=∙f f 又。
热点15 函数的零点问题处理策略与解题技巧-2022年高考数学核心热点突破
当 时， ，
当 时， ，
则函数 的最大值 ，最小值 ，
则 ，符合题意，
所以 ；
当 时， ，
则函数 的最大值 ，最小值 ，
则 ，符合题意，
所以 ；
当 时， ，
则函数 的最大值 ，最小值 ，
则 ，解得则 ，（舍去）；
当 时， ，
则函数 的最大值 ，最小值 ，
则 ，解得 ，（舍去），
所以函数 ．当 时，函数 的最大值 与最小值 的差为2， 或 ，
综上： .
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
在 时有2个交点,符合题意；
若 ,直线 与 的图象在 时有1个交点，
在 时有2个交点,不符合题意；
若 ,直线 与 的图象在 时有1个交点，
在 时无交点,不符合题意；
若 ,,直线 与 的图象至多有一个交点，不符合题意.
所以只有 符合题意.
故选：D.
7.函数 ， 的图象与直线 （ 为常数）的交点可能有（）
一、单选题
5.函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断出 在 上是增函数，利用零点存在定理列不等式，即可求a的范围.
【详解】∵ 和 在 上是增函数，
怎样求解函数零点问题
思路探寻函数零点问题的难度通常较大.常见的命题形式有：（1）判断零点的个数；（2）由函数的零点求参数的取值范围；（3）证明与函数零点有关的不等式.那么如何破解这三类函数零点问题呢？下面举例加以探究.一、判断函数零点的个数判断函数零点的个数，实质上是判断函数的图象与x 轴的交点的个数，或求函数为0时的解的个数.因此判断函数零点的个数，往往有两种思路：（1）令函数为0，通过解方程求得零点的个数；（2）判断出函数的单调性、奇偶性、对称性，画出函数的图象，通过研究图象与x 轴的交点，来判断函数零点的个数.例1.已知函数f ()x =ln x -()a -1x +1.（1）若f ()x 存在极值，求a 的取值范围；（2）当a =2，且x ∈()0,π时，证明：函数g ()x =f ()x +sin x 有且仅有2个零点.解：（1）略；（2）当a =2时，g ()x =ln x -x +1+sin x ，得g ′()x =1x-1+cos x ，令h ()x =g ′()x ，因为x ∈()0,π，则h ′()x =-1x2-sin x <0，所以h ()x =g ′()x 在()0,π上单调递减，又因为g ′()π3=3π-1+12=3π-12>0，g ′()π2=2π-1<0，所以g ′()x 在()π3,π2上有唯一的零点α，当x ∈()0,α时，g ′()x >0，当x ∈()α,π时，g ′()x <0，所以g ()x 在()0,α上单调递增，在()α,π上单调递减，可知g ()x 在()0,π存在唯一的极大值点α（π3<α<π2），而g ()α>g ()π2=ln π2-π2+2>2-π2>0，g()1e 2=-2-1e 2+1+sin 1e 2=-1e 2+()sin 1e 2-1<0，g ()π=lnπ-π+1=lnπ-()π-1，令F ()x =ln x -()x -1，F ′()x =1x -1=1-x x ，则x ∈()0,1，F ′()x >0；x ∈()1,+∞，F ′()x <0，所以F ()x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，得F ()x max =F ()1=0，故F ()π<F ()1=0，即g ()π=lnπ-()π-1<0，可知g ()x 在()0,α和()α,π上分别有1个零点，所以当x ∈()0,π时，g ()x 有且仅有2个零点.函数式g ()x =f ()x +sin x 中含有对数、三角函数式，我们很难通过画图、解方程求得零点的个数，于是对函数求导，研究函数的单调性、极值，从而画出函数的图象；进而借助函数的图象来确定函数零点的个数.在解答函数零点问题时，经常要用到函数的零点存在性定理，但运用该定理只能判断函数在某个区间上是否含有零点，却不能确定函数在某区间上零点的个数，此时往往需结合函数的图象进行判断.二、由函数的零点求参数的取值范围根据函数的零点求参数的取值范围问题比较常见.在解题时，往往要先通过解方程或画图，利用函数的零点存在性定理，判断函数的零点的存在性和个数，确定零点的范围；然后建立关于参数的关系式，进而求得参数的取值范围.例2.已知函数f ()x =x 2+x ln x ．（1）求函数f ()x 在区间[]1,e 上的最大值；（2）若F ()x =f ()x -ax 3有2个零点，求实数a 的取值范围．解：（1）f ()x max =f ()e =e 2+e .（过程略）（2）由题意可知函数f ()x =x 2+x ln x 的定义域为()0,+∞，由f ()x =ax 3可得a =x +ln xx 2，令g ()x =x +ln x x 2，其中x >0，则g ′()x =1-x -2ln xx 3，令h ()x =1-x -2ln x ，其中x >0，则h ′()x =-1-2x<0，所以函数h ()x 在()0,+∞上为减函数，且h ()1=0，当0<x <1时，h ()x >0，则g ′()x >0，所以函数g ()x 在()0,1上单调递增，当x >1时，h ()x <0，则g ′()x <0，所以函数g ()x 在()1,+∞上单调递减，所以g ()x max =g ()1=1，49思路探寻令p ()x =x +ln x ，其中x >0，则p ′()x =1+1x>0，则函数p ()x 在()0,+∞上为增函数，因为p()1e =1e-1<0，p ()1>0，则存在x 0∈()1e,1，使得p ()x 0=0，当0<x <x 0时，f ()x =x ()x +ln x <0；当x >x 0时，f ()x =x ()x +ln x >0.由题意可知，直线y =a 与函数g ()x 的图象有2个交点，如图所示.由图可知，当0<a <1时，直线y =a 与函数g ()x 的图象有2个交点，故实数a 的取值范围是0<a <1.解答本题需抓住关键信息：函数F ()x =f ()x -ax 3有2个零点.于是令F ()x =f ()x -ax 3=0,并将其变形为a =x +ln x x2，再构造新函数，将问题转化为直线y =a 与函数g ()x 的图象有2个交点的问题.利用导数与函数g ()x 单调性的关系判断函数的单调性，并画出函数g ()x 的图象，即可通过讨论直线y =a 与函数g ()x 的图象的位置关系，确定参数a 的取值范围.在求参数的取值范围时，若容易从方程中分离出参数来，往往可以采用分离参数法求参数的取值范围.三、证明与函数零点有关的不等式问题与函数零点有关的不等式问题通常较为复杂，且具有较强的综合性.在解题时，需根据函数零点的分布情况,构造新函数或新方程，再根据导数的性质讨论新函数的性质或方程的根，从而证明不等式.例3.已知函数f ()x =me x -x 2-x +2.（1）若函数f ()x 在R 上单调递增，求m 的取值范围；（2）若m <0，且f ()x 有2个零点x 1,x 2，证明：||x 1-x 2<3+m 3.解：（1）m ≥2e -12；（过程略）（2）不妨设x 1<x 2，由题意可得me x 1-x 21-x 1+2=0，me x 2-x 22-x 2+2=0，即x 1,x 2为方程m =x 2+x -2e x的2个根，因为m <0，所以x 2+x -2<0，解得：-2<x <1，所以x 1,x 2∈(-2,1)，设h (x )=x 2+x -2e x(-2<x <1)，则h ′(x )=-x 2+x +3e x，令h ′(x )=0得x =1-132，则h (x )在()-2,1-132上单调递减，在()1-132,1上单调递增，而h (x )在()-2,0处的切线方程为y =-3e 2(x +2)，设h 1(x )=-3e 2(x +2),则h (x )>h 1(x )，设h (x )在()x 0,x 20+x 0-2ex 0处的切线方程过点(1,0)，其切线的斜率为-x 20+x 0+3ex 0，取x 0=-1，则h (x )在()-1,-2e 处的切线斜率为e ，则切线的方程为y +2e =e ()x +1，即y =ex -e ，可知h 2(x )=ex -e 单调递增,可得h (x )≥h 2(x )，记y =m 与y =h 1(x )和y =h 2(x )交点的横坐标分别为x 3,x 4，则h (x 1)=m =h 1(x 3)=-3e 2(x 3+2)，故x 3=-2-m3e2，因为h 1(x 3)=h (x 1)>h 1(x 1)，所以h 1(x )单调递减，所以x 1>x 3，h (x 2)=m =h 2(x 4)=e (x 4-1)，故x 4=1+me，由h 2(x 4)=h (x 2)≥h 2(x 2)，知h 2(x )单调递增，所以x 2≤x 4，由于m <0，所以||x 1-x 2=x 2-x 1<x 4-x 3=3+m e +m3e 2=3+m()1e +13e 2<3+m ()13+127<3+m 3.故不等式成立.解答本题，要先将x 1,x 2视为方程m =x 2+x -2e x的两根，根据方程确定两根的取值范围；然后构造新函数h (x )，讨论导函数h ′(x )的性质和几何意义，以确定y =m ，h (x )与其切线y =h 1(x )、y =h 2(x )的交点之间的大小关系，从而证明不等式.函数零点问题一般都可以转化为方程问题或函数单调性问题.因此在解答函数零点问题时，需根据题意构造出相应的方程和函数，灵活运用方程思想和数形结合思想,通过研究该函数的图象与性质、方程的根来求得问题的答案.（作者单位：江苏省如皋市搬经中学）50。
高中数学函数零点问题及解题策略探究
高中数学函数零点问题及解题策略探究郭文峰(福建省宁德市民族中学ꎬ福建宁德３５５０００)摘㊀要:函数是高中数学学习的重难点ꎬ函数零点问题则是函数的重点所在.本论文结合具体的例题ꎬ对不同类型的函数零点问题的解题方式进行了探究.关键词:高中数学ꎻ零点问题ꎻ策略探究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００３６－０３收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:郭文峰(１９８３.２－)ꎬ男ꎬ福建省福安人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀函数零点是沟通函数㊁方程和图象的重要媒介ꎬ充分体现了函数和方程之间的内在联系ꎬ也蕴含了丰富的数学思想.在函数零点问题解答中ꎬ由于题目类型不同ꎬ解题思路也就有所不同ꎬ学生不仅要理清这一类型题目的特点ꎬ还应掌握多种零点问题的解答方法ꎬ才能灵活应对各种函数零点问题的解答ꎬ真正提升学生的解题效率.１高中函数零点问题常考类型分析１.１求函数零点的值求函数零点值问题只要掌握了函数零点的定义ꎬ将函数问题转化成为方程ꎬ即可通过方程的根得出函数的零点值.例１㊀已知ｆ(ｘ)＝ｘ３－３ｘ２－４ｘꎬ求该函数的零点.㊀解析㊀令ｆ(ｘ)＝０ꎬ即ｘ３－３ｘ２－４ｘ＝０ꎬ解方程得出ｘ１＝０ꎬｘ２＝４ꎬｘ３＝－１.因此ꎬ函数ｆ(ｘ)的零点就是ｘ３－３ｘ２－４ｘ＝０的三个根ꎬ即０ꎬ４ꎬ－１.例２㊀已知ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂꎬ求该函数的极值点.解析㊀由题可知ｆᶄ(ｘ)＝２ｘ(３ｘ－ａ)ꎬ令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得出ｘ＝０或ｘ＝ａ３.当ａ＝０时ꎬ在(－¥ꎬ＋¥)上ꎬｆᶄ(ｘ)ȡ０.因此ꎬｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ在该区间内单调递增ꎬ不存在极值点.当ａ>０时ꎬ在(－¥ꎬ０)ꎬ(ａ３ꎬ＋¥)上ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ因此ꎬｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ在该区间内单调递增ꎻ在(０ꎬａ３)上ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ单调递减.此时ꎬ该函数具备极大值点０ꎬ极小值点ａ３.当ａ<０时ꎬ在(－¥ꎬａ３)ꎬ(０ꎬ＋¥)上ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ则ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ单调递增ꎻ在(ａ３ꎬ０)上ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ单调递减.因此ꎬ该函数具备极大值点ａ３ꎬ极小值点为０[１].１.２求函数零点个数此类题目可以先将函数的零点求出来ꎬ然后看零点一共有多少个ꎻ还可以利用零点存在性定理ꎬ并结合函数的单调性ꎬ对函数零点的个数进行确定ꎻ也可以通过构造函数的方式ꎬ将函数的零点问题进行转化ꎬ使其成为求函数图象的交点个数问题.例３㊀求函数ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ０.５ｘ－(１２)ｘ的零点６３个数.解析㊀令ｌｏｇ０.５ｘ－(１２)ｘ＝０ꎬ得出ｌｏｇ０.５ｘ＝(１２)ｘꎬ令ｙ１＝ｌｏｇ０.５ｘꎬｙ２＝(１２)ｘꎬ绘制出函数图象(如图１所示).图１结合图象分析得出ꎬｙ１＝ｌｏｇ０.５ｘꎬｙ２＝(１２)ｘ之间存在两个交点.因此ꎬ原函数ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ０.５ｘ－(１２)ｘ存在２个零点.例４㊀已知ａ>１ｅꎬ判断ｆ(ｘ)＝ａｘ２＋(ａ＋１)ｘ－(ａ＋１)ｘｌｎｘ－１的零点个数.解析㊀在函数定义域(０ꎬ＋¥)内ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘ－(ａ＋１) ｌｎｘꎬ令２ａｘ－(ａ＋１) ｌｎｘ＝ｈ(ｘ)ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝２ａ－ａ＋１ｘ＝２ａｘ－(ａ＋１)ｘ.令ｈᶄ(ｘ)＝０ꎬ则ｘ＝ａ＋１２ａ.当０<ｘ<ａ＋１２ａ时ꎬ则ｈᶄ(ｘ)<０ꎻ当ｘ>ａ＋１２ａ时ꎬ则ｈᶄ(ｘ)>０ꎬ所以ｆᶄ(ｘ)在区间(０ꎬａ＋１２ａ)内单调递减ꎬ在区间(ａ＋１２ａꎬ＋¥)内单调递增ꎬ因此ꎬｆᶄ(ｘ)的最小值为ｆᶄ(ａ＋１２ａ)＝(ａ＋１)(１－ｌｎａ＋１２ａ).因为ａ>１ｅꎬ所以ａ＋１２ａ＝１２＋１２ａ<１２＋ｅ２<ｅꎬ即ｆᶄ(ｘ)最小值为ｆᶄ(ａ＋１２ａ)＝(ａ＋１)(１－ｌｎａ＋１２ａ)>０.因此ꎬｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)单调递增ꎬ至多存在一个零点.因为ｆ(１)＝２ａ>０ꎬ所以ｆ(ｘ)在区间(１ꎬ＋¥)内没有零点.又因为ａ为常数ꎬ当ｘң０时ꎬ在原函数中ꎬａｘ２ң０ꎬ(ａ＋１)ｘң０ꎬｌｎｘң－¥ꎬ所以ｆ(ｘ)ң－１<０.综上ꎬ函数ｆ(ｘ)在区间(０ꎬ１)内有一个零点ꎬ在(０ꎬ＋¥)内有一个零点[２].１.３求函数零点的范围例５㊀已知函数ｆ(ｘ)＝１ｘ－２ｘ在(ｎ－１ｎꎬｎｎ＋１)上存在零点ꎬ则正整数ｎ的值为多少?解析㊀易知函数ｆ(ｘ)为减函数ꎬ因为ｆ(１２)＝２－２>０ꎬｆ(１)＝１－２<０ꎬ因此该函数在(１２ꎬ１)中存在零点.同时ꎬ由已知条件得出ｆ(ｘ)在(ｎ－１ｎꎬｎｎ＋１)上存在零点ꎬ因此ꎬ０<ｎ－１ｎ<ｎｎ＋１<１ꎬ得出ｎɤ２ꎻ将ｎ＝２代入ｎｎ＋１ꎬ得出ｎｎ＋１＝２３ꎬ所以ｆ(２３)<０ꎬ因此ｎ＝２符合题意.１.４根据函数零点个数求解参数范围１.４.１基于转化思想解决零点问题例６㊀已知函数ｆ(ｘ)＝－ｘ２＋２ｅｘ＋ｍ－１ꎬｇ(ｘ)＝ｘ＋ｅ２ｘ(ｘ>０).(１)若ｇ(ｘ)＝ｍ存在零点ꎬ求ｍ的取值范围ꎻ(２)确定ｍ的取值范围ꎬ使得函数ｈ(ｘ)＝ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)存在两个零点.解析㊀(１)因为ｇ(ｘ)＝ｘ＋ｅ２ｘȡ２ｅ２＝２ｅ(ｘ>０)ꎬ当且仅当ｘ＝ｅ２ｘ时ꎬ取等号.因此ꎬ该函数存在最小值ꎬ即２ｅ.所以ꎬ当ｍɪ[２ｅꎬ＋¥)时ꎬ函数存在零点.(２)要使得ｈ(ｘ)＝ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)存在两个零点ꎬ即ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)＝０存在两个不同的实数根(如图２所示)ꎬ即两个函数的图象有两个不同的交点.因为ｆ(ｘ)＝－ｘ２＋２ｅｘ＋ｍ－１＝－(ｘ－ｅ)２＋ｍ－１＋ｅ２ꎬ其对称轴为ｘ＝ｅ.所以当ｍ>－ｅ２＋２ｅ＋１７３图２时ꎬ函数ｈ(ｘ)＝ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)存在两个零点.１.４.２基于数形结合思想解决零点问题在高中函数零点问题中ꎬ数形结合思想是一种非常有效的方法ꎬ主要是借助函数零点的概念ꎬ引导学生对函数图象进行观察ꎬ明确函数图象与坐标轴的交点ꎬ在图象的辅助下ꎬ顺利解决函数零点问题.例７㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２－ｘ－１ꎬｘɤ０ꎬｆ(ｘ－１)ꎬｘ>０ꎬ{若方程ｆ(ｘ)＝ｘ＋ａ有且只有两个不相等的实数根ꎬ求实数ａ的取值范围.解析㊀将ｆ(ｘ)＝ｘ＋ａ有且只有两个不相等的实数根ꎬ看做成为ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｘ－ａ存在两个不相同的零点.在平面直角坐标系中分别作出函数ｆ(ｘ)＝２－ｘ－１ꎬｘɤ０ꎬｆ(ｘ－１)ꎬｘ>０ꎬ{以及ｈ(ｘ)＝ｘ的图象(如图３)ꎬ接着对ｈ(ｘ)＝ｘ进行平移.当ａ<１时ꎬ两个函数存在两个交点ꎻ此时ꎬｆ(ｘ)＝ｘ＋ａ有且只有两个不相等的实数根.图４１.４.３基于分类与整合思想解决零点问题分类讨论与整合ꎬ就是化整为零㊁各个击破ꎬ是一种非常有效的函数零点问题解决手段.通常ꎬ这一种方法常常被用于综合性的函数零点问题中ꎬ需要在解题的过程中ꎬ通过分类讨论ꎬ最终在各个击破的基础上ꎬ整合到一起.例８㊀已知函数ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的偶函数ꎬ当ｘȡ０时ꎬｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｍｘ＋ｍꎬ如果函数存在两个不同的零点ꎬ求ｍ的取值范围.解析㊀因为ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｍｘ＋ｍ的图象开口向上ꎬ且图象必须经过(０ꎬｍ)点㊁图象对称轴为ｘ＝ｍ.(１)当ｍ>０时ꎬ由于函数必然经过(０ꎬｍ)点ꎬ且ｙ轴为图象的对称轴ꎬ根据判别式值等于０ꎬ得出ｍ＝１ꎻ(２)当ｍ＝０时ꎬ因为函数只有一个零点ꎬ所以ｍ＝０与题意不相符ꎻ(３)当ｍ<０时ꎬ通过函数图象即可得知ꎬ该函数存在两个不同的零点ꎬ其符合题意.２基于函数零点问题解答的日常教学启示结合上述例题研究显示ꎬ学生对函数零点的概念㊁零点存在性定理的掌握情况以及对函数和方程㊁图象之间的关系熟悉程度ꎬ直接决定了学生的解题能力.鉴于此ꎬ为了真正提升学生的数学解题能力ꎬ高中数学教师在日常教学中ꎬ唯有坚持以生为本的理念ꎬ引导学生积极主动参与到相关数学概念和定理的探究学习中.为了全面提升学生的解题能力ꎬ唯有彻底转变传统的教学模式ꎬ指向数学新课程的要求ꎬ灵活借助多种方式优化课堂教学ꎬ包括:探究式学习㊁多媒体信息技术教学等ꎬ使得学生在多样化学习中ꎬ高效完成课堂学习目标.在最新的课程标准中明确提出了数学六大核心素养ꎬ并且已经成为当前考查的方向.在常见的函数零点问题中就蕴含了数形结合思想㊁转化化归思想㊁分类讨论思想等ꎬ学生唯有熟练掌握这些数学思想ꎬ才能促使其形成正确的解题思路.鉴于此ꎬ高中数学教师在日常教学时ꎬ应结合不同的例题内容ꎬ针对性地融入数学思想ꎬ使得学生在日常学习中ꎬ逐渐完成数学思想的内化和应用ꎬ进而提升自身的数学解题能力.参考文献:[１]孟彩彩ꎬ巩铠玮.基于波利亚 怎样解题表 的习题教学案例研究 以 函数的零点 为例[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２２(０９):６－８.[２]寿啸天.高中数学函数零点解决方法探究[Ｊ].试题与研究ꎬ２０２０(２８):３１－３２.[责任编辑:李㊀璟]８３。
例谈函数零点问题解决策略
例谈函数零点问题解决策略石家文【期刊名称】《湖南教育（下旬刊）》【年(卷),期】2016(000)010【总页数】2页(P54-55)【作者】石家文【作者单位】永顺县第一中学【正文语种】中文函数零点的相关问题涉及函数方程，蕴含转化化归、数形结合、分类整合等数学思想，是函数与方程知识的综合应用之点，也是高考的重点、难点和热点。
笔者通过多年的教学体会和对近年来高考试题的分析，从五个方面谈一谈函数零点相关问题的解决办法，供老师们参考。
当问题的实质是求函数零点或导函数零点时，别无选择，必须把零点用解方程的办法算出来。
例1.函数的零点为_____。
解：f（x）=0⇔=3x-1，解得3x-1=3或3x-1=-3（舍），解得3x=4，所以x=log34。
说明：函数f（x）的零点就是使f（x）=0的x的值，也就是关于x的方程f（x）=0的根，常用求方程根的方法计算函数的零点。
如果问题只涉及零点的个数，可考虑用零点画出来的方法，但要注意函数图像必须是能够画得出来的。
画初等函数的图像，学生不会有难度。
如果是画较复杂函数的图像，可以以导数为工具，先分析函数的单调性和极值等，再画出函数的图像。
例2.设函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）略。
解：（1）由f（x）=0⇔a（x-1）2=（2-x）ex，显然x=1时，a不存在，故x≠1。
所以令则f（x）有两个零点⇔直线y=-a与函数y=g（x）的图像有两个交点，又当x＞1时，g′（x）＞0；当x＜1时，g′（x）＜0。
函数g（x）在（-∞，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增。
又x≥2时，g（x）≥0；x＜2时，g（x）＜0，且g（0） =-2。
故在同一坐标系中作直线y=-a，函数y=g（x）的图像如图1所示。
由图知：当且仅当-a＜0，即a＞0时，直线y=-a与函数y=g（x）的图像有两个交点，故a的取值范围为（0，+∞）。
函数零点问题解答分析与思考
函数零点问题解答分析与思考函数零点问题是数学中的一个重要课题，它涉及到函数的根和解的问题。
在数学分析中，函数的零点是指函数在某一点上取得零值的地方，也就是函数图象与x轴相交的点。
这个问题在实际应用中有着广泛的应用，比如用来求解方程、优化问题、以及计算函数的性质等等。
我们来看一下什么是函数的零点。
对于函数f(x)，如果存在一个数a，使得f(a)=0，那么a就是函数f(x)的一个零点。
在函数的图象上，这个零点就是图象与x轴相交的点，也就是函数在这个点上取得零值。
函数的零点是函数图象的一个重要特征，它反映了函数在哪些点上取得零值，从而可以帮助我们了解函数的性质和行为。
接下来，我们来看一下函数零点问题的解答方法。
对于一般的函数，求解函数的零点通常可以通过化简、代数运算、图象分析等方法来进行。
比如对于一元一次函数，可以直接通过方程f(x)=0来求解；对于一元二次函数，可以通过配方法、求根公式等方法来求解；对于高阶函数，则需要借助图象、导数、积分等工具来进行分析。
对于复杂的函数，还可以借助数值计算的方法来求解函数的零点，比如二分法、牛顿法、割线法等等。
在实际应用中，函数的零点问题常常会涉及到方程、不等式、优化、以及其他数学问题。
比如在物理中，对于一些力学和运动问题，常常需要求解一些关于时间和位移的方程，而这些方程往往会涉及到函数的零点；在经济学中，对于一些生产和消费问题，也会涉及到利润最大化和成本最小化等优化问题，而这些问题也往往需要求解函数的零点。
函数零点问题在实际应用中有着广泛的应用。
我们来分析一下函数零点问题在数学研究中的意义。
函数的零点不仅仅是一个简单的数学概念，它还具有深刻的数学内涵和丰富的数学含义。
在数学分析中，函数的零点反映了函数的根和解的性质，它是函数的重要特征之一。
通过研究函数的零点，我们可以了解函数的性质、行为和变化规律，从而可以更深入地理解函数的各种特性。
函数的零点还可以帮助我们求解方程、不等式、优化问题等数学问题，从而为数学研究和实际应用提供了重要的工具和方法。
函数零点问题的求解路径分析
２０２３年８月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀函数零点问题的求解路径分析◉江苏省溧阳中学㊀韩㊀俊㊀㊀摘要:含参的函数零点讨论问题,是近些年来函数压轴的常见题型,本文中借此题型分享了几个含参函数零点问题的解题感悟,找到了使得函数值异号的点大致的三种路径．路径一,分离出代数式中已经能判定符号的式子,将剩余部分视作零 ,通过解方程找到所需定号的 点 ;路径二,利用自变量取值范围将某些超越式放缩为常数;路径三,利用y ＝e x 在x ＝０处的切线进行放缩,也即利用e x ȡx ＋１及其变形式进行放缩．关键词:函数找 点 ;定号;放缩㊀㊀众所周知,极限与导数(微积分)紧密相关,很多导数问题与极限思想都息息相关．苏教版教材在高中数学课程中不涉及极限的知识,这给很多涉及导数的函数问题的求解带来了重重困难．例如,含参的函数零点讨论问题,这是近些年来函数压轴的常见题型,笔者就借此题型来分享几个含参函数零点问题的解题感悟．１引例讨论f (x )＝xex －a x ＋１的零点个数．１．１分析初见此题,感觉数形结合较为容易．由于x ＝０不是函数的零点,故分离参数之后,问题等价转化为方程的根的个数问题．令xex －a x ＋１＝０,则有１e x ＋１x＝a ．①图１数形结合,如图１我们发现:当a ɤ０时,方程①仅有一解,即f (x )＝xex －a x ＋１有一个零点;当a ＞０时,方程①有两解,即f (x )＝xex －a x ＋１有两个零点．再细想,一来学生对函数图象的趋势(极限思想)不一定能准确把握,二来作为解答题,这样的解答似乎略显苍白,因此,需要用文字和数学表达式来准确证明上面的结论,即用零点存在定理来证明零点的存在性．那么,如何取点就变成了学生解决此题的难点．许多学生 为题消得人憔悴 ,但依旧不得．重新审视此题,笔者略谈一二,希望能够给此类题型提供一些解题思路．１．２解析首先考虑特值:当a ＝０时,若x ȡ０,则f (x )＞０恒成立,故f (x )无正数零点;若x ＜０,则f ᶄ(x )＝１－xex＞０恒成立,即f (x )在(－ɕ,０)上单调增,又f (－１)＝１－e＜０,f (－１２)＝－e２＋１＞０,所以f (x )在(－ɕ,０)上仅有一个零点．故a ＝０时,f (x )＝xex －a x ＋１有一个零点．再考虑非特值:由于x ＝０不是函数f (x )的零点,故分离参数后可等价转化为g (x )＝１e x ＋１x －a 的零点个数问题．因为g ᶄ(x )＝－１e x －１x２＜０恒成立,所以函数g (x )在(－ɕ,０),(０,＋ɕ)上单调递减．(i )a ＜０时,若x ＞０,则g (x )＞０恒成立,故g (x )无正零点;若x ＜０,则g(１a )＝１e１a＞０．取x ０＝m a x {－１,１a －e },则g (x ０)ɤe －a ＋１x ０ɤ０．故g(１a)g (x ０)ɤ０,此时g (x )在定义域内仅有一个零点,即f (x )仅有一个零点．１７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀(ⅱ)a ＞０时,g (x )＝１e x ＋１x－a ．若x ＞０,则g(１a )＝１e１a＋a －a ＝１e１a＞０,g(２a )＝１e２a ＋a ２－a ＜a ２＋a２－a ＝０．故g (１a ) g (２a)＜０,此时g (x )在(０,＋ɕ)内仅有一个零点,即f (x )在(０,＋ɕ)内仅有一个零点．若x ＜０,g (－１２)＝e－２－a ＜０,且g (－a ＋a ２＋４２)＞－(－a ＋a ２＋４２)＋１－a ＋a ２＋４２－a ＝０．故g (－１２)g (－a ＋a ２＋４２)＜０,此时g (x )在(－ɕ,０)内仅有一个零点,即f (x )在(－ɕ,０)内仅有一个零点．综上:当a ɤ０时,f (x )＝xex －a x ＋１有一个零点;当a ＞０时,f (x )＝x ex －a x ＋１有两个零点．１．３总结从上述解题过程看,找到使得函数值异号的点大致可以选择以下三种路径．路径一:把代数式中已经能判定符号的式子取出,再将剩余部分视作 零 ,通过解方程找到所需定号的 点 ．例如上例中,在a ＜０时,若x ＜０,则g (x )＝１e x ＋１x －a 中１e x 的符号已经能够判定为正,则只需将剩余的 １x －a 视为零,从而找到所需的 点 ,即g(１a )＝１e＋a －a ＝１e１a＞０．路径二:利用自变量取值范围将某些超越式放缩为常数,将超越式不等式放缩为分式不等式或多项式不等式,通过解不等式找到所需定号的 点 ．例如上例中,在a ＜０时,若x ＜０,则g (x )在(－ɕ,０)上单调递减,在g (x )＝１e x ＋１x －a 中,当x ɪ[－１,０)时,１ex ɪ(１,e ],不妨取x ０＝m a x {－１,１a －e},则g (x ０)ɤe －a ＋１x ０ɤ０．路径三:利用y ＝e x在x ＝０处的切线进行放缩(即利用e xȡx ＋１及其变形式进行放缩),将所有的超越式放缩为分式或多项式,将所求不等式转化为分式不等式或多项式不等式进行求解,找到所需定号的 点 ．例如上例中,a ＞０时,g (x )＝１e x ＋１x－a ,当x ＞０时,利用e xȡx ＋１进行放缩,即由e x＞x 得到e ２a＞２a ,又因为e ２a＞２a ＞０,则１e ２a ＜a ２,故g (２a )＝１e２a ＋a ２－a ＜a ２＋a ２－a ＝０;a ＞０时,g (x )＝１e x ＋１x－a ,当x ＜０时,利用e x ȡx ＋１进行放缩,即由e x＞x 得e －x＞－x ,则g (x )＞－x ＋１x －a ＝－x ２＋a x －１x＝－(x －－a ＋a ２＋４２)(x －－a －a ２＋４２)x,故不妨取x ＝－a ＋a ２＋４２,有g (－a ＋a ２＋４２)＞０．２三种路径在压轴题中应用经过上题的研究,笔者有些 众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在,灯火阑珊处 之感．下面利用这三种路径来解决如下高考压轴题．[２０２２ 全国乙卷(文)２０题]已知函数f (x )＝a x －１x－(a ＋１)l n x ．若f (x )恰有一个零点,求a 的取值范围．解析:由f (x )＝a x －１x－(a ＋１)l n x ,x ＞０,得f ᶄ(x )＝a ＋１x ２－a ＋１x ＝(a x －１)(x －１)x２．当a ɤ０时,a x －１ɤ０．所以,当x ɪ(０,１)时,f ᶄ(x )＞０,f (x )单调递增;当x ɪ(１,＋ɕ)时,f ᶄ(x )＜０,f (x )单调递减．故f (x )m a x ＝f (１)＝a －１＜０,此时函数f (x )无零点,不合题意．当０＜a ＜１时,１a ＞１,f (x )在(０,１),(１a,＋ɕ)上单调递增;f (x )在(１,１a)上单调递减．又因为f (１)＝a －１＜０,所以存在m ＝a ＋１＋(a ＋１)２＋aa＞１,使得f (m )＞０．(下转封三)２７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
三招妙解导数零点问题
(1) 若函数f(x)在(a , a + 1)上有极值，求实数 a 的取值范围； ⑵若关于x 的方程f(x)= X 2— 2x + k 有实数解，求实数 k 的取值范围. ［方法演示］In x解：⑴因为 f ' (x)=— ~x 2",当 Ovxvl 时，f ' (x)>0 ；当 x>1 时，f ' (x)<0,所以函数 f(x) 在(0,1)上单调递增，在(1,+^)上单调递减，故函数 f(x)的极大值点为 x = 1,所以avlva + 1,即0<a<1，故所求实数a 的取值范围是(0,1).(2) 方程f(x)= x 2— 2x + k 有实数解， 即f(x) — x 2+ 2x = k 有实数解. 设 g(x)= f(x) — x 2 + 2x , 则 g ' (x)= 2(1 — x)—哼.x接下来，需求函数 g(x)的单调区间，所以需解不等式 g ' (x)>0及g ' (x)< 0,因而需解方程g ' (x)= 0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解.可得 g ' (1) = 0，且当 0<x<1 时，g ' (x)>0，当 x>1 时，g ' (x)<0，所以函数 g(x)在(0,1) 上单调递增，在(1, +)上单调递减.所以 g(x)max = g(1) = 2•当 X T 0 时，g(X)T —8 ；当 + ^ 时，g(x)^ — ，所以函数 g(x)的值域是(—^, 2］,所以所求实数 k 的取值范围是(—^, 2］.［解题师说］当所求的导函数解析式中出现 In x 时，常猜x = 1;当函数解析式中出现e x 时，常猜x=0 或 x = In x.［应用体验］11 .函数f(x) = e +尹2— (2 + In 2)x 的最小值为 ________ . 解析：f ' (x)= e x + x — (2 + In 2).接下来，需求函数 f(x)的单调区间，所以需解不等式 f ' (x)>0及f ' (x)< 0,因而需解方程f ' (x) = 0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解.易知f ' (x)是增函数，所以方程f ' (x) = 0至多有一个实数根，且可观察出此实数根就是In 2,所以函数f(x)在(—^, In 2)上是减函数，在(In 2, +)上是增函数，三招妙解导数零点问题［典例］设 f(x) = 1 + In x所以f(x)min= f(In 2) = 2 —2In 2 —*n22.［典例］(2015全国卷)设函数f(x)= e-aln x.⑴讨论f(x)的导函数f' (x)零点的个数；2(2)证明：当a>0 时，f(x)> 2a+ aln .a［方法演示］解：⑴法一：f' (x)= 2e2x- x(x>0) •当a w 0时，f' (x)>0, f' (x)没有零点.当a>0 时，设u(x)= e2x, v(x)=--,因为u(x)= e2x在(0,+s)上单调递增，v(x)=-旦在(0,+s)上单调递增，所以f' (x)在(0,+s)上单调递增.a 1又f' (a)>0，当b满足0<b<4且b<4时，f(b)<°,所以当a>0时，f' (x)存在唯一零点.法二：f' (x)= 2e2x-a(x>0).令方程f' (x)= 0，得a= 2xe2x(x>0).因为函数ax)= 2x(x>0), h(x)= e2x(x>0)均是函数值为正值的增函数，所以由增函数的定义可证得函数u(x)= 2xe2x(x>0)也是增函数，其值域是(0 ,+^).由此可得，当a w 0时，f' (x)无零点；当a>0时，f' (x)有唯一零点.(2)证明：由⑴可设f' (x)在(0, + g)上的唯一零点为x o.当x € (0, x°)时,f' (x)<0 ;当x € (x°,+ g)时，f' (x)>0.所以f(x)在(0, x°)上单调递减，在(X0,+g)上单调递增，当且仅当x= X。
零点问题解题技巧
零点问题解题技巧
零点问题是数学题目中常见的概念，它的解题技巧非常重要。
首先，要明确零点的概念，它是指函数在某一点的值等于零。
这个点可以是一个实数，也可以是一个虚数，甚至也可以是一个复数。
其次，在解决零点问题时，要特别注意函数的特性。
如果函数是单调递增或单调递减的，可以使用分段函数的方法计算零点。
而如果函数是周期函数，可以使用三角函数的性质来解决零点问题。
此外，解决零点问题时，还可以使用一些数学工具，如图像、函数图象、积分、微分
方程等，帮助我们更好地理解函数的特性，从而更准确地计算出零点。
最后，在解决零点问题时，最重要的是要耐心，不要急于求成，多结合函数的定义，
仔细分析，结合数学工具，才能更准确地解决零点问题。
例谈突破导数零点问题的几种策略
且仅当x=-1等号成立. 当x>-2时， e ≥x+2两边取对数得x+1≥ln （x+2 ） ， 于
x+1
是 e ≥x+1 ≥ln （x+2 ） ， 由于等号不能同时成立， 所以 ex>
x
ln （x+2 ） .又当m≤2时， ln （x+2 ） ≥ln （x+m ） . 即（ f x ） >0. （x+m ） >0， 故ex-ln 点评： 此题借助教材上重要函数不等式： 对任意 x∈ R， e ≥x+1， 并加以灵活运用达到了曲径通幽之功效.
四 、结束语
做好解题教学，首先要求教师有较高的解题能力， 需要老师勤于解题、 研题， 提高自己的解题功力， 深化对 数学学科的理解和掌握， 肚子里要有货.好的解题教学， 更要契合学生的实际情况， 能和学生原有的认知结构搭 上桥， 还要考虑学生的情绪和情感状态， 要 “贴地” 而行， 接上学生的 “地气 ” . 好的解题教学， 还要寻求恰当的方 式保证教学渠道的畅通 、 有趣、 积极、 高效， 这需要教师 在解题教学过程中 “各显神通” ， 进行艺术的处理. F 高中版
的取值范围， 并证明（ f x ） 的所有极值和大于ln
二 、利用重要的函数不等式
课本例习题或平时常做的一些题经常作为出题者 的母题来进行编题， 在解题时可以作为结论提供一些思 路.例如， 我们证过一个常见的不等式： 对任意x∈R， ex≥ x+1， 可以为一些导数题提供方法. （x+m ） . 例2 已知函数（ f x ） =ex-ln （1 ） 设x=0是（ f x ） 的极值点， 求m 的值， 并讨论（ f x ） 的 单调性； （2 ） 当m≤2时， 证明（ f x ） >0. 解： （1 ） 略. （2 ） 首先证明： 对任意x∈R， e ≥x+1.
(2021年整理)高一：零点问题的解题方法
高一：零点问题的解题方法(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高一：零点问题的解题方法(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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谈函数与方程（零点问题）的解题方法课题——解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．（1）函数零点的定义对于函数y＝f(x）（x∈D），把使f(x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．（2）零点存在性定理(函数零点的判定）若函数y＝f(x）在闭区间［a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f（a）·f（b）＜0，则在区间(a，b）内,函数y＝f（x）至少有一个零点,即相应方程f(x）＝0在区间（a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b］上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b）＜0，那么,函数y＝f（x)在区间(a,b）内有零点，即存在c∈（a，b)，使得f(c）＝0，这个c也就是方程f(x）＝0的根．［提醒] 此定理只能判断出零点存在,不能确定零点的个数．(3）几个等价关系函数y＝f（x）有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与函数y＝0（即x轴)有交点．推广：函数y＝f（x)－g（x）有零点⇔方程f（x)－g(x）＝0有实数根⇔函数y＝f(x）－g（x）的图象与y＝0(即x轴）有交点．推广的变形：函数y＝f(x）－g（x）有零点⇔方程f（x）＝g(x)有实数根⇔函数y ＝f（x）的图象与y＝g（x）有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f（x)与x轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f（x)＝0有根的函数y＝f（x）才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间（a,b）内有零点,一定有f（a）·f(b)〈0吗?提示:不一定，如图所示,f（a)·f（b）〉0．3．若函数y＝f（x）在区间（a，b）内，有f(a)·f(b)<0成立,那么y＝f(x）在（a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0）,(x2，0）（x1，0）无交点零点个数210对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点,涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．（2015·温州十校联考）设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A．（0，1) B．（1，2)C．（2，3）D．(3，4）【解析】法一:∵f（1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0,f（2）＝ln 2＞0，∴f(1）·f（2)＜0,∵函数f(x）＝ln x＋x－2的图象是连续的,∴函数f（x）的零点所在的区间是（1,2)．法二：函数f（x)的零点所在的区间转化为函数g(x）＝ln x，h（x）＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围,如图所示，可知f（x)的零点所在的区间为（1,2)．【答案】B2．（2015·西安五校联考）函数y＝ln(x＋1)与y＝错误!的图象交点的横坐标所在区间为（)A．(0，1) B．(1，2）C．(2，3) D．(3，4）【解析】函数y＝ln(x＋1）与y＝错误!的图象交点的横坐标,即为函数f（x）＝ln(x＋1）－错误!的零点，∵f(x)在（0，＋∞）上为增函数，且f(1）＝ln 2－1＜0，f(2）＝ln 3－错误!＞0，∴f（x）的零点所在区间为（1，2)．【答案】B3．函数f（x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间（n,n＋1)(n∈N)内，则n＝________．【解析】求函数f(x）＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值,如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f（3）＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f（3）＞0，所以函数f（x)的零点位于区间（2，3）内，故n＝2．【答案】24．（2015·长沙模拟）若a＜b＜c,则函数f(x)＝（x－a)（x－b)＋(x－b）（x－c）＋(x －c）(x－a）的两个零点分别位于区间（）A．(a,b)和（b，c)内B．(－∞，a)和（a,b)内C．（b,c)和（c，＋∞)内D．(－∞，a）和(c，＋∞)内【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f（a）＝(a－b)(a－c)＞0，f(b）＝（b －c)（b－a)＜0，f(c）＝(c－b）（c－a）＞0,因此由零点的存在性定理知f(x）的零点位于区间（a，b)和（b，c）内．【答案】A5．（2014·高考湖北卷）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x）＝x2－3x，则函数g(x）＝f(x）－x＋3的零点的集合为( ）A．｛1,3} B．｛－3，－1，1，3}C．｛2－错误!，1,3｝D．{－2－错误!，1，3｝【解析】令x＜0，则－x＞0，所以f（x）＝－f(－x）＝－[（－x）2－3（－x）]＝－x2－3x．求函数g(x)＝f(x）－x＋3的零点等价于求方程f（x)＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x＜0时,－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－错误!．【答案】D确定函数f（x)零点所在区间的方法(1）解方程法：当对应方程f（x)＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上．（2）利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f（x)在区间［a，b]上的图象是否连续,再看是否有f(a）·f（b)＜0．若有，则函数y＝f（x）在区间(a，b）内必有零点．(3）数形结合法：通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f（x)＝错误!－log2x,在下列区间中，包含f(x）零点的区间是（）A．（0，1）B．(1,2) C．（2，4）D．（4，＋∞）【解析】因为f（1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝错误!－log24＝－错误!＜0，所以函数f(x）的零点所在区间为(2,4)．【答案】C2．方程log3x＋x＝3的根所在的区间为（)A．（0,1) B．（1,2) C．（2，3) D．(3，4）【解析】法一：方程log3x＋x＝3的根即是函数f(x)＝log3x＋x－3的零点,由于f(2)＝log32＋2－3＝log32－1<0,f（3)＝log33＋3－3＝1〉0且函数f（x）在（0，＋∞）上为单调增函数．∴函数f(x)的零点即方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2，3）．法二：方程log3x＋x＝3的根所在区间即是函数y1＝log3x与y2＝3－x交点横坐标所在区间,两函数图象如图所示．由图知方程log3x＋x＝3的根所在区间为（2,3）．【答案】C3．(2015·武汉调研)设a1，a2，a3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f（x)＝a1x－λ1＋a2x－λ2＋错误!的两个零点分别位于区间（)A．(－∞，λ1)和（λ1，λ2）内B．（λ1，λ2)和（λ2,λ3)内C．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)内D．(－∞，λ1）和(λ3，＋∞)内【解析】本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x∈（λ1，λ2)时，函数图象连续,且x→λ1，f（x)→＋∞，x→λ2,f(x)→－∞,所以函数f（x)在（λ1，λ2)上一定存在零点；同理当x∈(λ2，λ3)时，函数图象连续，且x→λ2，f（x）→＋∞，x→λ3，f（x)→－∞，所以函数f(x)在（λ2,λ3）上一定存在零点，故选B．【答案】B考向二、判断函数零点个数1．已知函数f(x）＝错误!满足f（0)＝1，且f（0）＋2f(－1)＝0，那么函数g(x）＝f （x）＋x的零点个数为________．【解析】∵f（0)＝1,∴c＝1，又∵f(0）＋2f(－1）＝0，∴f（－1）＝－1－b＋1＝－错误!，∴b＝错误!．∴当x＞0时，g（x）＝2x－2＝0有唯一解x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋错误!x＋1，令g(x）＝0得x＝－12或x＝2(舍去），综上可知，g(x）＝f（x)＋x有2个零点．【答案】22．（2013·高考天津卷）函数f（x）＝2x｜log0。
导数中两种零点问题解决方法
导数中的零点问题解决方法解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。
一、能直接分离参数的零点题目此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。
例1.已知函数f(x)=x+ax,g(x)=ln x，若关于x的方程gx(2x)=f(x)-2e只有一个实数根，求 a 的值。
解析：gx(2x)= f (x)-2e ⇒ a =lnxx- x2+2ex ，令 h(x)=lnxx- x2+2ex ，h'(x)=1-ln x-2x +2e ，令 h'(x)=0，则 x = e x2当0 <x<e时，h' (x) > 0 ，h(x)单调递增；当x>e时，h' (x) < 0 ，h(x)单调递减， h(x)max= h(e)=1e+ e2注意这里 h(x)的单调性不是硬解出来的，因为你会发现 h'(x)的式子很复杂，但是如果把 h(x)当成两个函数的和，即m(x)=lnxx,n(x)= -x2+2ex，此时 m(x), n(x)的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出 h(x)的单调性和极值点。
所以 a =1e+ e2（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可）二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题）这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如 f (x)在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着f (x)在区间(0,1) 上存在极值点。
在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。
例谈高考数学题的函数零点问题
例谈高考数学题的函数零点问题梁关化， 2015，11，12高考数学题的函数零点问题，早前都是以小题出现为多，但近几年却变成大题，甚至是难题。
比如，今年全国卷（ 1）、广东和江苏等省的高考数学题都把函数零点问题作为大题、难题来出。
函数零点问题，概括起来，常有以下几种种类：一、求零点的值或判断零点所在区间；二、议论能否有零点或零点个数；三、由零点个数求函数分析式中参数取值范围。
解决零点问题，第一要掌握好零点观点的三个等价形式：（ 1）函数值为零的自变量值；（ 2）方程 f(x)=0 的解（也能够把方程 f(x)=0 变形为 g(x)=h(x), 那么两函数 g(x) 和 h(x) 的图象的交点的横坐标即为方程 f(x)=0 的解）；（ 3）函数图象与 x 轴的交点的横坐标。
所以，零点与方程知识，与数形联合的数学思想密切有关。
其次，还需要掌握好零点存在性的判判定理；别的，还需要掌握好利用函数的导数来研究函数的单一性，极值，最值的方法。
求函数分析式中参数取值范围问题，常常还需要分类议论的数学思想。
下边一同剖析几道高考题或高考题的改编题。
例1 （广东2015 年高考数学理科题）设 a 1 ，函数 f ( x ) (1 x 2)e x a(1)求 f ( x )的单一区间；(2) 证明 f ( x )在( , ) 上仅有一个零点；(3) 若曲线 y f ( x )在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m,n）处的切线与直线OP 平行，（ O 是坐标原点），证明：m 3 a 2 1 .e解：（ 1）解略。
（答案：f(x)的单一递加区间为( , ) ）（2）由（ 1）得f(x)在区间( , ) 上单一递加，又f (0) 1 a 0(a 1), f ( a 1) ae a 1 a a(e a 1 1) 0，从而有 f (0) f ( a 1) 0 ，x0 (0, a 1) 使得 f ( x0) 0 ，f ( x )在( , ) 上仅有一个零点。
灵活运用数学思想，高效解答分段函数零点问题
故θ为钝角，所以cos θ<0，即a 2+(2a -1)2-(2a +1)22a (2a -1)=a (a -8)2a (2a -1)<0，解得12<a <8，所以实数a 的取值范围是12<a <8.剖析：上述解法中，求得的a >12，不能保证2a +1、a 、2a -1是三角形的三边长，即忽视了三角形的性质：三角形两边之和大于第三边，正解：因为2a +1,a ,2a -1是三角形的三边长，所以ìíî2a +1>0，a >0，2a -1>0，解得a >12，因为2a +1最大，所以要使2a +1、a 、2a -1能表示三角形的三边长，还需满足a +(2a -1)>2a +1，即a >2，设θ为最长边2a +1所对的角，则cos θ=a 2+(2a -1)2-(2a +1)22a (2a -1)=a (a -8)2a (2a -1)<0，解得12<a <8，所以a 的取值范围是2<a <8.三角形三边之间的关系主要有：（1）三角形两边之和大于第三边；(2）三角形两边之差小于第三边；（3）大角对大边，小角对小边；（4）等腰三角形的两腰相等；（5）正三角形的三边相等；（6）直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和.大家只有熟记并学会灵活运用这些关系，才能有效地规避错误.俗话说：谨慎能捕千秋蝉，小心驶得万年船.以上三个误区告诉我们：对于解三角形问题，切莫忽视三角形固有的性质，即三边之间的关系，三角之间的关系，边角之间的关系，以及边角与正余弦定理之间的关系.（作者单位：江苏省淮北中学）相较于常规函数，分段函数较为复杂，往往需用两个或两个以上的函数式表示.但在不同区间上，函数仍然具有单调性、对称性、奇偶性、周期性等.对于分段函数零点问题，通常可将问题转化为解方程（组）问题或求函数图象交点的问题，运用方程思想或数形结合思想，使问题快速获解.一、利用方程思想函数f ()x 的零点是函数与x 轴交点的横坐标，即方程f ()x ＝0的根.在解答分段函数零点问题时，可灵活运用方程思想，根据零点的定义构建方程（组），分别求得在各个区间段上方程的解，再综合所求得的结果，即可确定函数零点的个数或取值范围.例1.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-4x ，求函数g (x )=f (x )-x +2的零点的个数.解：当x <0时，-x >0，所以f (-x )=(-x )2+4x ，因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以-f (x )=f (-x )=x 2+4x ，所以当x <0时，f (x )=-x 2-4x ，所以f (x )=ìíî-x 2-4x ,x <0,x 2-4x ,x ≥0,g (x )=ìíî-x 2-5x +2,x <0,x 2-5x +2,x ≥0,当x <0时，由-x 2-5x +2=0，得x，当x ≥0时，由x 2-5得x x ，所以g (x )=f (x )-x +2有3个零点.由于该分段函数是奇函数，所以可以根据函数的奇偶性，由当x ≥0时函数的解析式求得当x <0时函数的解析式；然后分别令函数式为0，建立方程，求得满足各个区间段的方程的根，这样运用方程思想便能快速获得问题的答案.例2.已知a >0，函数f (x )=ìíîx 2+2ax +a ,x ≤0,-x 2+2ax -2a ,x >0.探索探索与与研研究究45探索探索与与研研究究若g(x)=f(x)-ax恰有2个零点，求a的取值范围.解：g(x)=f(x)-ax=ìíîx2+ax+a,x≤0,-x2+ax-2a,x>0,若g(x)有两个小于0的零点，则方程x2+ax+a=0(x≤0)有2个不相等的实根，则ìíîïïa2-4a>0，-a2<0，a2-8a<0，解得4<a<8.若g(x)有两个大于0的零点，则方程-x2+ax-2a=0(x>0)有2个不相等的实根，则{a2-4a<0，a2-8a>0，此时不等式组无解.若g(x)有一正一负2个零点，则方程x2+ax+a=0(x≤0)和-x2+ax-2a=0（x>0）均只有1个解,则ìíîïïa2-4a=0，a2-8a=0，a>0，此时不等式组无解.综上所述，a的取值范围为（4，8）.对于分段函数零点的个数问题，往往需分别讨论每个区间段上函数零点的个数，即相应方程的解的个数.若分段函数式为二次式，则需讨论方程的判别式△大于0、等于0、小于0的情形，或讨论方程的根的分布情况.二、利用数形结合思想数形结合思想是解答函数问题的重要思想.对于较为复杂的分段函数零点问题，运用数形结合思想，往往能使解题思路更加明朗，大大降低解题的难度.在解题时，可根据函数的解析式在同一个坐标系中画出各个区间上函数的图象，寻找函数图象与x轴的交点，该交点即为函数的零点，通过研究函数的图象，就可以明确函数零点的个数及取值范围.以例1为例.解：由上述解法可知g(x)=ìíî-x2-5x+2,x<0,x2-5x+2,x≥0,画出函数y=g(x)的图象，如图1所示，由图1可知，函数y=g(x)有3个零点.值得注意的是，在画函数的图象时，一定要先明确各个函数式对应的x的取值范围，再画出相应的函数图象，才能得到正确的答案.以例2为例.解：令g(x)=f(x)-ax=0，可得f()x=ax.（1）当x≤0时，x2+2ax+a=ax，整理得x2=-a()x+1.显然x≠-1，则a=-x2x+1.令h(x)=-x2x+1，则h′(x)=-x2+2x(x+1)2.由h′(x)>0，得x∈(-2,-1)⋃(-1,0)，此时h(x)单调递增.由h′(x)<0，得x∈(-∞,-2)，此时h(x)单调递减.所以h(x)的极小值为h(-2)=4.（2）当x>0时，由f()x=ax，得-x2+2ax-2a=ax，整理得x2=a(x-2)，显然x≠2，则a=x2x-2.令t(x)=x2x-2，则t′(x)=x2-4x(x-2)2，由t′(x)>0，得x>4，此时t(x)单调递增.由t′(x)<0，得0<x<2或2<x<4，此时t(x)单调递减.即当x=4时，t(x)的最小值为t(4)=8，画出函数图象，如图2所示.由图可知，当a>0时，要使g(x)=f(x)-ax恰有2个零点，需使4<a<8.我们将问题转化为y=f(x)与y=ax的交点问题，通过研究两个函数的图象的位置关系，求得问题的答案.若函数f(x)可以拆分为两个函数g(x)与h(x)的和或差，则可在同一个坐标系中分别画出两个函数g(x)与h(x)的图象，则函数的零点就是函数g(x)与h(x)的交点.在利用函数的图象解题时，特别需要注意的是，定义域端点处的函数值是否能取到，决定着图象在端点处断开还是连接.总之，解答分段函数的零点问题，需从零点的概念入手，通过建立方程，运用方程思想求解，或通过画出图象，利用数形结合思想来求解.相比较而言，运用方程思想求解时的运算量较大，运用数形结合思想求解比较简洁、直观.（作者单位：甘肃省武威第十中学）图2图146。
例谈函数零点问题处理的几种方法
例谈函数零点问题处理的几种方法作者：王世恩来源：《环球市场信息导报》2013年第12期函数零点问题往往以选择、填空题形式出现在近几年的高考试题中，该问题主要考查函数与方程的关系，要求学生能够运用分类讨论、数形结合、转化与化归思想来解决函数的零点分布或个数问题，该文从以下几个方法来探讨处理函数零点问题的策略。
方法一、直接法人教数学必修1在函数零点这一节中：“方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点。
”由此可知，求函数的零点，就是直接求方程的实数根。
例1. （2010年福建卷理4）函数的零点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3解：当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。
备注：利用直接法求函数零点，前提是函数的零点，即方程的实数根，是我们能够用代数方法求解的，往往是我们所熟悉的一次、二次、对数、指数等一些初等函数所对应的方程。
方法二、定理法人教数学必修1中的零点存在定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根，也就是函数的零点。
零点存在定理告诉我们，如果连续函数在区间端点的函数值异号，那么函数在区间内至少有一根（奇数个根）。
例2.（2010年高考天津卷理科2）函数的零点所在的一个区间是（） A.（-2，-1）B.（-1，0） C.（0，1） D.（1，2）解：因为，，所以选B。
例3.“ ”是“函数有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：若，不妨设则当时，有；当时，有。
将零点存在定理拓展的非正常区间，有，故函数在必有一根。
反之，显然不成立，若，函数可能退化为二次或一次函数，仍然可能有根，故选A备注：零点存在定理虽然是判断零点存在的一个充分条件，但是却定量的刻画了函数零点所在区间，尤其在引入二分法后，用逼近的思想，可以将函数的零点定位在一个长度充分小的区间内。
高一：零点问题的解题方法
从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒]此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．(3)几个等价关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴)有交点．推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．(2015·温州十校联考)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4) 【解析】法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，∴函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x的零点，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln 2－1＜0，f (2)＝ln 3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1，2)．【答案】B3．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．【解析】求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2．【答案】24．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定理知f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内．【答案】A5．(2014·高考湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}【解析】令x ＜0，则－x ＞0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x ．求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解．当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x ＜0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7．【答案】D确定函数f (x )零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0．若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【解析】因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．【答案】C2．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( ) A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】法一：方程log 3x ＋x ＝3的根即是函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点，由于f (2)＝log 32＋2－3＝log 32－1<0，f (3)＝log 33＋3－3＝1>0且函数f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数．∴函数f (x )的零点即方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2，3)．法二：方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间即是函数y 1＝log 3x 与y 2＝3－x 交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2，3)．【答案】C3．(2015·武汉调研)设a 1，a 2，a 3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f (x )＝a 1x －λ1＋a 2x －λ2＋a 3x －λ3的两个零点分别位于区间( )A ．(－∞，λ1)和(λ1，λ2)内B ．(λ1，λ2)和(λ2，λ3)内C ．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)内D ．(－∞，λ1)和(λ3，＋∞)内【解析】本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x ∈(λ1，λ2)时，函数图象连续，且x →λ1，f (x )→＋∞，x →λ2，f (x )→－∞，所以函数f (x )在(λ1，λ2)上一定存在零点；同理当x ∈(λ2，λ3)时，函数图象连续，且x →λ2，f (x )→＋∞，x →λ3，f (x )→－∞，所以函数f (x )在(λ2，λ3)上一定存在零点，故选B ．【答案】B考向二、判断函数零点个数1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．【解析】∵f (0)＝1，∴c ＝1，又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，∴b ＝12．∴当x ＞0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0得x ＝－12或x ＝2(舍去)，综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点． 【答案】 22．(2013·高考天津卷)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】由f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0，可得|log 0．5x |＝⎝⎛⎭⎫12x．设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．【答案】B3．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】分别画出函数f (x )，g (x )的草图，观察发现有2个交点．【答案】A4．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________．【解析】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点．【答案】4判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．(2015·淄博期末)函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是________．【解析】函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数，即为函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1的图象，如图，由图可知函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是2． 【答案】22．若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5，5]上的解的个数为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【解析】依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5，5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5，5]上的解的个数为8．【答案】C考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1．(2014·合肥检测)若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为( ) A ．0B ．－14C ．0或－14D ．2【解析】当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14．综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．【答案】C2．(2014·洛阳模拟)已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．(4，＋∞) C ．(0，2)D ．(2，＋∞)【解析】依题意，知方程|x 2－a |＝x －2有两个不等的实数根，即函数y ＝|x 2－a |的图象与函数y ＝x －2的图象有两个不同交点．如图，则a ＞2，即a ＞4．【答案】B3．已知函数f (x )＝log 2x －⎝⎛⎭⎫13x，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为( ) A ．恒为负 B ．等于零 C ．恒为正D ．不小于零【解析】在同一坐标系中作出y ＝log 2x 和y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象，由图象知f (x 1)＜0．【答案】A4．(2014·高考江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12．若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【解析】当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪(x －1)2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3，4]上的图象，如图．函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点，在坐标系中作出函数f (x )在一个周期内的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．【答案】⎝⎛⎭⎫0，12 5．(2015·湖北八校联考)已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x－a (x ≠0)有且仅有3个零点，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤34，45∪⎣⎡⎭⎫43，32 B ．⎣⎡⎦⎤34，45∪⎣⎡⎦⎤43，32 C ．⎝⎛⎦⎤12，23∪⎣⎡⎭⎫54，32D ．⎣⎡⎦⎤12，23∪⎣⎡⎦⎤54，32【解析】当0＜x ＜1时，f (x )＝[x ]x －a ＝－a ；当1≤x ＜2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ；当2≤x ＜3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2x －a ；…．f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x的图象，如图所示，通过数形结合可知a ∈⎝⎛⎦⎤34，45∪⎣⎡⎭⎫43，32．【答案】A已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．1．(2015·莱芜一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A ．12，0B ．－2，0C ．12D ．0【解析】当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x ＞1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0．【解析】D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．【解析】画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1)． 【答案】(0，1)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，x 2－3ax ＋a ，x ＞0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，方程2x －a ＝0，即2x ＝a 必有一根，此时0＜a ≤1；当x >0时，方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等实根，即方程x 2－3ax ＋a ＝0有2个不等正实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9a 2－4a ＞0，3a ＞0，a ＞0，∴a ＞49，故49＜a ≤1．【答案】⎝⎛⎦⎤49，1必记结论 有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．1．(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1【解析】y ＝cos x 是偶函数，且存在零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 既不是奇函数又不是偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数，但不存在零点．【答案】A2．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)【解析】由题意知f (1)·f (2)＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3． 【答案】C3．(2016·东城期末)函数f (x )＝e x ＋12x －2的零点所在的区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，3)【解析】∵f ⎝⎛⎭⎫12＝e －74＜3－74＜0，f (1)＝e －32＞0，∴零点在区间⎝⎛⎭⎫12，1上． 【答案】B4．(2014·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞ B ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ C ．⎝⎛⎭⎫－1，15D ．(－∞，－1)【解析】当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15．【答案】B5．f (x )是R 上的偶函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )－|log 5 x |的零点个数为( )A ．4B ．5C ．8D ．10【解析】由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．【答案】B6．(2014·开封模拟)偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝－x＋1，则关于x的方程f(x)＝lg(x＋1)在x∈[0，9]上解的个数是()A．7 B．8 C．9 D．10【解析】依题意得f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f(x)的图象与y＝lg(x＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0，9]上的公共点共有9个，因此，当x∈[0，9]时，方程f(x)＝lg(x＋1)的解的个数是9．【答案】C7．(2014·南宁模拟)已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________．【解析】∵f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上为增函数，∴x0∈[2，3]，即a＝2，b＝3．∴a＋b＝5．【答案】58．已知函数y＝f(x) (x∈R)满足f(－x＋2)＝f(－x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log7x 的交点的个数为________．【解析】因为f(－x＋2)＝f(－x)，所以y＝f(x)为周期函数，其周期为2．在同一直角坐标系中，画出函数y＝f(x)和y＝log7x的图象如图，当x＝7时，f(7)＝1，log77＝1，故y＝f(x)与y＝log7x共有6个交点．【答案】69．若函数y＝f(x)(x∈R) 满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2；函数g(x)＝lg|x|，则函数y ＝f(x)与y＝g(x)的图象在区间[－5，5]内的交点个数共有________个．【解析】函数y ＝f (x )以2为周期，y ＝g (x )是偶函数，画出图象可知有8个交点．【答案】810．(2015·高考湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【解析】令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x ＞a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a ＜0或φ(a )＞h (a )，即a ＜0或a 3＞a 2，解得a ＜0或a ＞1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞)1．(2014·高考山东卷)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【解析】先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝⎛⎭⎫12，1．【答案】B2．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(1，＋∞) D ．(0，1)【解析】函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a (a ＞0且a ≠1)的图象有两个交点，由图1知，当0＜a ＜1时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图2知，当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象与y 轴交于点(0，1)，而直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点一定在点(0，1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是a ＞1．【答案】C3．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ．若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫74，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫－∞，74C ．⎝⎛⎭⎫0，74D ．⎝⎛⎭⎫74，2【解析】函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x ＞2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74＜b ＜2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )有4个交点．【答案】D4．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1，1]内，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫0，12B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．⎣⎡⎭⎫0，13D ．⎝⎛⎦⎤0，12 【解析】当x ∈(－1，0]时，x ＋1∈(0，1]．因为函数f (x )＋1＝1f (x ＋1)，所以f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1＝－xx ＋1.即f (x )＝⎩⎨⎧－x x ＋1，x ∈(－1，0]，x ，x ∈(0，1].函数g (x )＝f (x )－mx －m 在区间(－1，1]内有两个零点等价于方程f (x )＝m (x ＋1)在区间(－1，1]内有两个根，令y ＝m (x ＋1)，在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝m (x＋1)的部分图象(图略)，可知当m ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点． 【答案】A5．(2014·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．【解析】画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a ＞0)．当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a ＜2．当y 1＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ax ，y ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0．由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)， 则当1＜a ＜2时，两个函数图象有4个交点． 故实数a 的取值范围是1＜a ＜2． 【答案】(1，2)考向四、二分法(1)定义：对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下：①确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε； ②求区间(a ，b )的中点c ； ③计算f (c )；(ⅰ)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(ⅱ)若f (a )·f (c )＜0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (ⅲ)若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④．1．(教材习题改编)下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )A B C D【解析】由图象可知，选项C 所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解． 【解析】C2．(教材习题改编)用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的近似解，验证f (2)·f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0所在的区间为( )A ．(2，4)B ．(3，4)C ．(2，3)D ．(2．5，3)【解析】∵f (2)·f (4)＜0，f (2)·f (3)＜0，∴f (3)·f (4)＞0，∴零点x 0所在的区间为(2，3)． 【解析】C3．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．【解析】设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n＜0．001，即2n ＞100，由26＝64，27＝128知n ＝7． 【解析】7。
导数零点问题的解决策略
导数零点问题的解决策略
徐茵华
【期刊名称】《青海教育》
【年(卷),期】2014(000)005
【摘要】导数是解决函数、方程、不等式及解析几何等问题的有效工具,也是近几年高考中的热点。
函数的导函数形式丰富,分析方法也多种多样,在涉及超越方程时,往往是通过求导函数的零点（方程的根）,使问题得到解决。
因为是超越方程,有时其导函数的零点不易求出或求不出,若是一味“硬求”,可能会无功而返。
【总页数】2页(P37-38)
【作者】徐茵华
【作者单位】西宁市教育科学研究所
【正文语种】中文
【相关文献】
1.函数零点问题的解决策略
2.无法求零点导数题的解题策略
3.导数中隐零点问题的处理策略
4.例析隐零点问题的解决策略
5.基于函数隐零点问题的导数处理策略
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多视角宽思维妙解函数零点
多视角宽思维妙解函数零点
车树勤
【期刊名称】《数学教育研究》
【年(卷),期】2016(000)003
【摘要】函数的零点充分体现了函数与方程的联系,蕴含了丰富的数形结合思想.诸如方程根的问题、存在性问题以及交点问题等都可以转化为零点问题来讨论,因而函数的零点成了近年来高考新的热点而备受青睐.下面以一道苏锡常镇的高三调研试题为例来剖析函数的零点问题的解题方法.
【总页数】3页(P26-27)
【作者】车树勤
【作者单位】[1]江苏省连云港市锦屏高级中学,222021
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.剖析代数式结构多视角妙解高考题 [J], 吴忠;
2.多视角宽思维妙解函数零点问题 [J], 车树勤
3.利用函数零点式妙解一类函数题 [J], 严婷婷;陈少春
4.巧用分离参数,妙解函数零点 [J], 陈金山
5.巧拓展思维,妙解三角形——兼谈2021年高考数学新高考Ⅰ卷第19题的解法[J], 杨银
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在区间单调，且 f（a）f（b）＞0，则此区间无零点；如
果函数在区间不单调，且 f（a）f（b）＜0，则此区间至
少有一个零点，还需根据极值点判断其是否多于 1 个零
点；如果函数在区间不单调，且 f（a）f（b）＞0，那至
少存在一点 p，使得其 f（′ p）=0 ；如果 f（p）f（a）＜0，
则此区间至少有一个零点，否则没有零点。若有多个导
【中图分类号】G622
【文献标识码】A
【文章编号】1674－4810（2015）36－0103－02
评价语言是课堂教学的钥匙，能让学生借此顺利开 启知识的大门；它是课堂教学的桥梁，能让学生走向知 识的彼岸。在“一切为了学生的发展”这一新理念的倡 导下，小学语文教师应采取肯定、积极、富有激励性的 方法评价学生。随着新一轮课改的不断深入，一些评价 新理念已走进课堂，小学语文课堂中教师的评价语言发 生了质的变化，令人深受鼓舞。在课堂教学中，恰当的 评价语言会给学生留下深刻的印象，能创设出一个良好的 教育教学氛围，使课堂教学充满魅力。归纳起来，新课程 下的课堂评价语言应具有二十字的特点：准确得体、生动 丰富、机智巧妙、幽默风趣、独特创新。
分析：y＝f（x）－g（x）恰有 4 个零点，即 f（x）＋
f（2－x）－b＝0 有 4 个不同的解，画出 y＝f（x）＋
f（2－x）的图像，由图像可知答案选 D。 y
4
3 27 14
x 0
图2
解：由
（f
x）=
⎧⎪2 − x ， x （⎪⎩⎨ x − 2）2，
≤ 2， 得
x > 2，
（f 2
−
x）=
点评：函数零点、方程的根与函数图像的关系：函
数 F（x）＝f（x）－g（x）有零点 ⇔ 方程 F（x）＝f（x） －g（x）＝0 有实根 ⇔ 函数 y1＝f（x）与 y2＝g（x）的
图像有交点。因此判断函数 f（x）的零点个数的方法主 要有：（1）代数法。方程 F（x）＝f（x）－g（x）＝0 有 几个不同的实数根，函数就有几个零点。（2）数形结合 法。通过等价转化将函数零点的个数问题转化成两个函 数图像的交点个数问题，画出两个函数图像，通过数形 结合便可解决问题。（3）零点存在性定理。对于一般函数 的零点个数的判断问题，可以先用零点存在性定理来确定 零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数。
果要是加上表情就更能传情达意了。”“读课文应该大大方 方，不要缩头缩脑呀，来，试一试！”教师的听辨能力也应 该非常强，能根据学生的回答及时反馈信息，这些贴切的 评价语言客观地指出了学生的长处及存在的缺点，让学生 一步步达到朗读的基本要求：快慢适度、富有节奏、态度 大方、语言流畅。也正是这些准确得体的评价语言加上教 师生动的语言示范，学生们的回答和朗读一次比一次进步。 如在《夸夸我的新同学》的教学中，我将和谐的评价语言 贯穿始终，让学生多发现和表扬别人的优点，这本身也是 一种评价，对自己是一种促进，对他人也是一种激励。 学生交流后再引导他们评价谁发现别人的优点多，谁评 价得到位、生动、有条理。这样学生就能在评价中成长， 在评价中不断提升自身的能力。这种准确得体的评价方 式充分发挥了学生的主体地位，让学生学会了更多的学 习策略，为学生提供了表现自己所知所能的机会。
学园┃XUEYUAN
2015 年 第 36 期
例谈函数零点问题的解题策略
林清海 福建省晋江市紫峰中学
【摘 要】函数零点是高考考查的一个热点问题，尤其是方程近似解、零点个数、零点所在区间及与零点有关的 参数取值范围问题，都是近年来高考考查的热点问题。零点问题渗透了数学思想与数学能力的考查，较好地反映 了学生分析和解决问题的能力。本文对近几年高考试题中的零点问题进行归类，寻求函数零点问题的解题策略。 【关键词】函数零点 数学思想 解题策略
得到关于参数的不等式。这种类型的题目渗透了等价转
化、分类讨论、数形结合、函数与方程等重要数学思想，
学园┃XUEYUAN
2015 年 第 36 期
浅谈小学语文课堂的评价语言
桑 蕾 河南省新乡市外国语小学
【摘 要】随着新一轮课改的不断深入，一些评价新理念已经走进了我们的课堂。小学语文课堂中教师的 评价语言发生了质的变化，小学教师在课堂评价语言的使用上必须做到形象生动、机敏睿智、充满亲和力， 展现出鲜明独特的语言风格和人格魅力。在课堂上，恰当的评价语言会给学生留下深刻的印象，创设出一 个良好的教育教学氛围，使课堂教学充满魅力。 【关键词】小学语文课堂 评价语言 特点
，1）内有
且仅有一个零点（记为
xn），且
xn
=
1 2
分析：先利用零点存在性定理证
+
1 2
xn+1 n
；
Fn（x）在（
1 2
，1）
内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证 Fn（x）
在（
1 2
，1）内有且仅有一个零点，进而利用
xn
是
Fn（x）
－101－
学园┃XUEYUAN
的零点可证
xn
=
1 2
+
1 2
一 函数零点个数的判断
例 1：（2015 湖北，理 12）函数 f（x）＝4cos2 π cos（ π
2
2
－x ）－2 sinx－|ln（x＋1）|的零点个数为
。
分析：将函数 f（x）化简为 f（x）＝sin2x－|ln（x ＋1）|，在同一直角坐标系中画出 y1＝sin2x，y2＝|ln（x ＋1）|的图像，由图像可知，函数 f（x）有两个零点。
⎧⎪2 − 2
⎨ ⎪⎩
x
2，
−
x
，x ≥ x<
0 0
，
⎧ x 2 − x + 2，x < 0
所以，即
y＝f（x）＋f（２－x）=
⎪ ⎨
2，
0≤ x≤2
⎪ ⎩
x
2
−
5x
+
8， x
>
2
由图像可知，y＝f（x）－g（x）＝f（x）＋f（2－x）
－b，所以 y＝f（x）－g（x）恰有 4 个零点等价于方程 f
（x）＋f（2－x）－b＝0 有 4 个不同的解，即函数 y＝b
与函数 y＝f（x）＋f（2－x）的图像的 4 个公共点，
由图像可知 7 < b < 2 。
4
引申 2：（2015 湖南，理 15）已知
f（
x）=
⎧ x 3， x ≤
⎨ ⎩
x 2，
x
>
a a
，
若存在实数 b，使函数 g（x）＝f（x）－b 有两个零点，
2y
1
－2 －1 －1
１2 图1
x ３４
引申 1：（2012 湖北，文 3）函数 f（x）＝x cos2x 在
区间［0，2π］上零点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
分析：由 f（x）＝x cos2x＝0，得 x＝0 或 cos2x＝0，
由 cos2x＝0 解得 x = π + kπ ，符合题意的有 π ，3π ，5π ，7π ，
x n +1 n
；
证明：Fn（x）＝fn（x）－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，
则
Fn（1）＝n－1＞0，F（n
1 ）= 2
1+
1 2
+（
1）2 +L 2
+（
1）n －2 2
1 −（ 1 ）n +1 =2
1− 1
−2=
−1 2n
< 0，
2
又递增F（n，所′ x所以）＝以F1n（F＋n（x2）xx＋）在…在（＋（12n，12xn，－1）11＞）内0内，至有故少且在存仅（在有一12 一，个个1零）零点内点单xnx。调n。
42
44 4 4
因此共有 5 个零点。
引申 2：（2015 江苏，理 13）已知函数 f（x）＝|lnx|，
g（x）＝
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
0 x
2
−
4
−
2
＝1 实根的个数为
0 < x ≤ 1 ，则方程|f（x）＋g（x）|
x >1
。
分析：先写出 f（x）＋g（x）的表达式（分段函数），
然后在每一段对 f（x）＋g（x）＝±1 的根的存在性与个 数进行判定，借助函数的单调性和函数零点存在性定理 求解，求得零点个数为 4 个。
2015 年 第 36 期
⎧⎪ 2 − x ， x （⎨⎪⎩ x − 2）2，
≤
x
2， 函数
> 2，
g（x）＝b－f（2－x），其中
b∈R，
若函数 y＝f（x）－g（x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范
围是（ ）
A．（ 7 ，＋∞） 4 7
C．（0， 4 ）
B．（－∞， 7 ） 4
7 D．（ 4 ，2）
分析：这是一个分段函数，当 x＜1 时，y＝2x－a 最
多有一个零点；当 x≥1 时，y＝4（x－a）（x－2a）可能
有 0 个、1 个或 2 个零点，而 f（x）恰有 2 个零点，因此
进行分类讨论。
解：（1）若函数 g（x）＝2x－a，在 x＜1 时与 x 轴有一
个交点，则 a＞0，并且当 x＝1 时，g（1）＝2－a＞0，则
因为 xn 是 Fn（x）的零点，所以 Fn（xn）＝0，即
1
−
x n+1 n
1 − xn
−
2
=
0
，故
xn =
1 2
+1 2
xnn+1 。
点评：要证明函数在某区间上是否存在零点，可利