11-1 平面简谐波的波函数
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大学物理学课件-平面简谐波规律
(2) 当 t = t0固定时，给出 t0 时刻空间各点位移分布 对应函数曲线—— t0时刻波形图.
y 波形曲线
0
t = t0
x
大学物理学
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5.2 平面简谐波规律
3、如x、t 均变化，波函数表示波形沿传播方向
的运动情况
t 时刻，x处质点的相位
(t x )
u
t 时t 刻， x 处 质Δx点的相位
dWk
1 2
A2 2
sin
2
(t
x u
)dV
2) 介质元的弹性势能：
dW p
1 2
k(dy
)2
dW p1 2来自A2 2sin2(t
x u
) dV
dWk
3) 介质元的总能量：
dW
dWk
dWp
A2 2
sin2
(t
x u
)
dV
大学物理学
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5.2 平面简谐波规律
dW
dWk
dWp
(t
1)] 8
在下列情况下试求波函数(设波速为u)：
(1) 以 A 为原点； (2) 以 B 为原点；
x1
x
BA
(3) 若u沿x 轴负向，以上两种情况又如何？
解: (1)在x轴上任取一点P ，
该点振动方程为：
yp
Acos[4π
(t
x u
1)] 8
x1
u
x
BA P
波函数为： y(x,t) Acos[4π (t x 1)] u8
y Acos[t kx ]
k 2
大学物理学
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y 波形曲线
0
t = t0
x
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5.2 平面简谐波规律
3、如x、t 均变化，波函数表示波形沿传播方向
的运动情况
t 时刻，x处质点的相位
(t x )
u
t 时t 刻， x 处 质Δx点的相位
dWk
1 2
A2 2
sin
2
(t
x u
)dV
2) 介质元的弹性势能：
dW p
1 2
k(dy
)2
dW p1 2来自A2 2sin2(t
x u
) dV
dWk
3) 介质元的总能量：
dW
dWk
dWp
A2 2
sin2
(t
x u
)
dV
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5.2 平面简谐波规律
dW
dWk
dWp
(t
1)] 8
在下列情况下试求波函数(设波速为u)：
(1) 以 A 为原点； (2) 以 B 为原点；
x1
x
BA
(3) 若u沿x 轴负向，以上两种情况又如何？
解: (1)在x轴上任取一点P ，
该点振动方程为：
yp
Acos[4π
(t
x u
1)] 8
x1
u
x
BA P
波函数为： y(x,t) Acos[4π (t x 1)] u8
y Acos[t kx ]
k 2
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平面简谐波
解：
200 = 50Hz 0.02 ν= = λ 4 u
y (m) u = 200m·s-1 t = 0 时波形 x (m) o
1 2 3 4 5
ω = 2πν = 100πs −1
为方便起见 , 以下均 用 SI 制 , 单位略去。
λ = 4m
ω = 2πν = 100πs
解： O 点振动方程 (1) y = A cos (ω t + ϕ 0 )
地震波分为纵波和横波。纵波每秒钟传播速度5~6 千米，能引起地面上下跳动；横波传播速度较 慢，每秒3~4千米，能引起地面水平晃动。由于纵 波衰减快，离震中较远的地方，只感到水平晃动。 在一般情况下，地震时地面总是先上下跳动，后 水平晃动，两者之间有一个时间间隔，可根据间 隔的长短判断震中的远近。
11-2 平面简谐波的表达式 (波函数)
例 横波沿一张紧的长绳传播，波动表达式为： y=0.04cosπ(5x200t)。求（1）A , ν , λ , u ;（2）如每米弦的质量为0.05kg·m-1， 求绳中张力。（例11-1） 解：将表达式写成标准形式
t x y = 0.04 cos 2 π( − ) 1 / 100 2 / 5 A = 0.04m T = 0.01s
t x y＝A cos[2π ( + ) + ϕ 0 ] T λ 2π y＝A cos[ (ut + x) + ϕ 0 ]
λ y = A cos(ω t + kx + ϕ 0 )
二、波函数的物理意义 二、波函数的物理意义
1、x一定，则位移仅是时间 的函数，对于x=x0 2πx0 ⎞ ⎛ + ϕ0 ⎟ y = A cos⎜ ωt − λ ⎠ ⎝ 表示x0处质点的振动方程
平面简谐波的波函数
也可以通过相位差来进行推导，则P点的振动在相位上比O点落后，故P点的振动为
不
难验证，以上两个方程实际上是同一个振动的两个不同的表述。它们都表示的是波线上(坐标为x)的任一点处质点的振动方程，这正是我们希望得到的沿x轴方向前进的平面简谐波的波动方程。
或
这是波动方程常用的形式。
3、振动曲线与波形曲线
为了弄清楚波动方程的物理意义，我们作进一步的分析。在波动方程中含有x和t两个自变量，如果x给定(即考察该处的质点)，那么位移y就只是t的周期函数，这时这个方程表示x处质点在各不同时刻的位移，也就是该质点的振动方程，方程的曲线就是该质点的振动曲线。下图(a)中描出的即一列简谐波在x=0处质点的振动曲线。如果波动方程中的t给定，那么位移y将只是x的周期函数，这时方程给出的是t时刻波线上各个不同质点的位移。波动中某一时刻不同质点的位移曲线称为该时刻波的波形曲线，因而t给定时，方程就是该时刻的波形方程。下图(b)中描出的即是t=0时一列沿x方向传播的简谐波的波形曲线。无论是横波还是纵波，它们的波形曲线在形式上没有区别，不过横波的位移指的是横向位移，表现的是峰谷相间的图形；纵波的位移指的是纵向位移，表现的是疏密相间的图形。在一般情况下，波动方程中的x和t都是变量。这时波动方程具有它最完整的含义，表示波动中任一质点的振动规律：波动中任一质点的相位随时间变化，每过一个周期T相位增加，任一时刻各质点的相位随空间变化，距离波源每远一个
三、平面简谐波的波动方程
下面我们通过对相位的分析给出平面简谐波的波动方程。如下图所示，设有一列平面简谐波沿x轴的正方向传播，波速为u。取任意一条波线为x轴，设O为x轴的原点。假定O点处(即x=0处)质点的振动方程为
推导波动方程用图
现在考察波线上任意一点P的振动，设该点的坐标为x。如上所述，P点和O点振动的振幅和频率相同，而P点振动的相位比O点落后。O点到P点的波程为x，则P点的振动在时间上比O点落后，故P点的振动为
11-2 平面简谐波的波函数
-
x u
)=
Acos ω
t
-
x u
+
0
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P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
Acos ω
t
-
x u
+
0
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
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2
1
2
x2 x1
2
x
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
o
x
x x
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当t=t1时，y
A
cos
t1
x u
0
当t=
t1+Δt时，y
A
cos
t1
t
x u
0
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x1和x2表示，则
y(t1)
A cos
t1
x1 u
0
y
A cos
2
(
t
mx
)
0
y Acos(t mkx 0 )
k 2 角波数
y
y
A cos(t
Aei
(t
mx u
)0
m2 x
i (t
Ae
0
mk ) u
)
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波动表式的意义：
x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A
cos
平面简谐波波函数
大学物理
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
大学物理 平面简谐波的波函数
此刻的波形.
y Acos[2 π x (2π t )] T
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
波程差
x21 x2 x1
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
2π
x
回目录
3若
x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.
yu
t 时刻
x
O
x
t t 时刻
xx
x 0.5处m质点的振动方程
y 1.0cos(π t π)m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0
* 1.0
* 2.0
*
t /s
1 -1.0* 1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
回目录
例2 一平面简谐波以速度
沿u直线传20播m,波线/ s上点 A 的简谐运动方
程
. yA 310 2 cos(4 π t)m
y Acos式(中Bt Cx)
A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差.
d
y Acos(Bt Cx)
y Acos2 π ( t x )
T
2π
C
T 2π B
u B
TC
2π d dC回目录
二 波函数的物理意义
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波函数
两种方法：时间推迟法和相位落后法
y 3102 cos[4 π(t x )]m 20
y Acos[2 π x (2π t )] T
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
波程差
x21 x2 x1
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
2π
x
回目录
3若
x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.
yu
t 时刻
x
O
x
t t 时刻
xx
x 0.5处m质点的振动方程
y 1.0cos(π t π)m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0
* 1.0
* 2.0
*
t /s
1 -1.0* 1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
回目录
例2 一平面简谐波以速度
沿u直线传20播m,波线/ s上点 A 的简谐运动方
程
. yA 310 2 cos(4 π t)m
y Acos式(中Bt Cx)
A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差.
d
y Acos(Bt Cx)
y Acos2 π ( t x )
T
2π
C
T 2π B
u B
TC
2π d dC回目录
二 波函数的物理意义
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波函数
两种方法：时间推迟法和相位落后法
y 3102 cos[4 π(t x )]m 20
平面简谐波的波函数表达式
平面简谐波的波函数表达式
平面简谐波是一种特殊的波形，它的波函数表达式可以用以下公式表示：
y = A sin(ωt + φ)
其中，y表示波的振幅，A表示最大振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
平面简谐波是一种具有周期性的波形，它的周期T可以用以下公式计算：
T = 2π/ω
角频率ω是一个常数，它表示单位时间内波形的变化次数。
因此，角
频率越大，波形变化的速度就越快，周期就越短。
初相位φ是一个常数，它表示波形在t=0时的相位。
不同的初相位会导致波形的相位差异，从而产生不同的波形。
平面简谐波的波函数表达式可以用于描述许多物理现象，例如声波、
电磁波等。
在声学中，平面简谐波可以用于描述声音的振动，而在电磁学中，平面简谐波可以用于描述电磁场的振动。
平面简谐波的振幅和角频率是两个重要的参数，它们可以影响波形的形状和特性。
振幅越大，波形的振动幅度就越大，而角频率越大，波形的变化速度就越快。
平面简谐波还具有一些重要的性质，例如叠加原理和相位差。
叠加原理指出，当两个或多个平面简谐波叠加在一起时，它们的振幅可以相加，从而形成一个新的波形。
相位差指出，当两个平面简谐波的相位差为0时，它们的振幅可以相加，而当相位差为π时，它们的振幅可以相消。
总之，平面简谐波是一种重要的波形，它的波函数表达式可以用于描述许多物理现象。
了解平面简谐波的特性和性质，可以帮助我们更好地理解和应用它们。
大学物理平面简谐波的波函数精选精品文档
u
1m 0
λ10m 8 m 5 m 9 m
C
B oA
Dx
第十章 波动
21
物理学
第五版
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本章目录
6-1 机械波的几个概念
6-2 平面简谐波的波函数
6-3 波的能量 能流密度 6-4 惠更斯原理 波的衍射和干涉
6-5 驻波
6-6 多普勒效应
第十章 波动
22
x
A cos
t
2πx
第十章 波动
4
物理学
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
波函数
yAcos(t[x)]
u
质点的振动速度，加速度
v y A si n (t [x)]
t
u
a 2 t2 y 2A co (ts[u x)]
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
(3) x0.5m处质点的振动规律并作图
y1.0co2π s([t x)π] 2.0 2.0 2
x0.5m处质点的振动方程
ycoπst[π](m)
y
y/m
3
3
1.0
*
4O
2
0 2* 1.0 *4 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x0.5m处质点的振动曲线
第十章 波动
15
物理学
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
例2 一平面简谐波以速度u20ms-1
沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA31 0 2co4π st)(; ( y, t单位分别为m，s).
平面简谐波
写波函数 要注意原点的选取 和 波传播的方向
二. 波函数的物理意义
(1) 振动状态的空间周期性
y(x, t) A cos[ 2π ( t x) 0] T
y ( x , t ) y ( x, t ), 说明波线上振动状态的空间周期性
·由质元看：相隔 的两点振动状态完全相同(同相点)。
T
波函数的 其它形式
y(x, t) A cos[ 2π ( t x) 0] T
y(x, t) A cos[2π (ut x) 0]
讨论 (1) 由波函数可知波的传播过程中任意两质点 x1 和 x2 振动
的相位差为
x2 x1 [ (t ) 0 ] [ (t ) 0 ] ( x1 x2 ) u u u
y v 0.04 50π sin π (50t 0.10 x) t v max 0.04 50 6.28 m/s u
(2)质点振动的最大速度?
三. 平面简谐波的波动方程 Differential equation x 由 y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 )] u 2 y x 2 知 A cos[ (t ) 0 ] 2 2 y 1 2 y t u 2 2 2 2 2 y x A cos[ (t ) ] x u t
x2>x1, Δ<0，说明 x2 处质点振动的相位总落后于x1 处质 点的振动； (2) u 实际上是振动相位的传播速度。 t1 时刻x1 处的振动状态经Δt 时间传播到 x 1 x 处，则
y (x 1 x ,t1 t ) y (x 1,t1 )
x1 x1 x (t1 ) (t1 t ) u u x u t
二. 波函数的物理意义
(1) 振动状态的空间周期性
y(x, t) A cos[ 2π ( t x) 0] T
y ( x , t ) y ( x, t ), 说明波线上振动状态的空间周期性
·由质元看：相隔 的两点振动状态完全相同(同相点)。
T
波函数的 其它形式
y(x, t) A cos[ 2π ( t x) 0] T
y(x, t) A cos[2π (ut x) 0]
讨论 (1) 由波函数可知波的传播过程中任意两质点 x1 和 x2 振动
的相位差为
x2 x1 [ (t ) 0 ] [ (t ) 0 ] ( x1 x2 ) u u u
y v 0.04 50π sin π (50t 0.10 x) t v max 0.04 50 6.28 m/s u
(2)质点振动的最大速度?
三. 平面简谐波的波动方程 Differential equation x 由 y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 )] u 2 y x 2 知 A cos[ (t ) 0 ] 2 2 y 1 2 y t u 2 2 2 2 2 y x A cos[ (t ) ] x u t
x2>x1, Δ<0，说明 x2 处质点振动的相位总落后于x1 处质 点的振动； (2) u 实际上是振动相位的传播速度。 t1 时刻x1 处的振动状态经Δt 时间传播到 x 1 x 处，则
y (x 1 x ,t1 t ) y (x 1,t1 )
x1 x1 x (t1 ) (t1 t ) u u x u t
平面简谐波的波函数
课堂练习 图示为 t = 1s 时的波形曲线，求波动方程。
提示 关键：求解原点o处质元初位相 o ！
(t 0)
o
2
A
y
y(m)
0.08 m/s
0.04
(t 1)
t
25
(1
0)
2
5
o
2
2
5
9
10
o
P
0.20
x (m)
t 1s
答案： y
0.04 cos [2
5
(t
x ) 0.08
9 ]
10
(
t
x u
)
o
]
(t
x u
)
o
(t
t
x
x u
)
o
x ut
y
u
☻波速即为相位传播速度 o
( 相速 ) 。
☻行波或前进波。
x
ut
·7 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
三、微分形式的平面波波动方程
对一般的平面波：
xoy系：y f (x, t) xoy系： y f (x)
y
A
cos
[
(t
x u
)
o
]
波函数亦称 波动方程 。
ut
Ao y(0 ,t )
Δt Ax
(x,t)
o
y(x,t) y
t o
·3 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
波动方程 的几种标准形式： y
y
A
cos
[
(t
x u
提示 关键：求解原点o处质元初位相 o ！
(t 0)
o
2
A
y
y(m)
0.08 m/s
0.04
(t 1)
t
25
(1
0)
2
5
o
2
2
5
9
10
o
P
0.20
x (m)
t 1s
答案： y
0.04 cos [2
5
(t
x ) 0.08
9 ]
10
(
t
x u
)
o
]
(t
x u
)
o
(t
t
x
x u
)
o
x ut
y
u
☻波速即为相位传播速度 o
( 相速 ) 。
☻行波或前进波。
x
ut
·7 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
三、微分形式的平面波波动方程
对一般的平面波：
xoy系：y f (x, t) xoy系： y f (x)
y
A
cos
[
(t
x u
)
o
]
波函数亦称 波动方程 。
ut
Ao y(0 ,t )
Δt Ax
(x,t)
o
y(x,t) y
t o
·3 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
波动方程 的几种标准形式： y
y
A
cos
[
(t
x u
平面简谐波的波函数
C
B
u B
TC
2π d dC
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
求 O、a、b、c 各
点振动初相位.
(π ~ π )
t =0 A y u
t=T/4
b
Oa
c
x
A
O
O
y o π
y
a
π 2
O
y b 0
O
y
c
π 2
u
8m 5m 9m
C
BA
Dx
B
A
2π
xB
xA
2π 5 10
π
B π yB (3102 m) cos[(4π s1)t π ]
y (3102 m) cos[2π ( t x ) π ] 0.5s 10m
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
u
yA (3102 m) cos(4 π s1)t
Hale Waihona Puke x) u]二 波函数的物理意义
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
1 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动
方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
x 2 π x
u
λ
y(x,t) y(x,t T ) （波具有时间的周期性）
波线上各点的简谐运动图
2
2
比较得
T 2 s 0.8 s 2cm 200 cm u 250 cms1
2.5
0.01
T
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y (5cm) cosπ [(2.50s -1)t (0.01cm-1)x].
解：方法二（由各物理量的定义解之）.
平面简谐波的波函数
解 确定坐标原点的 Y
振动初相0
A
由图知：t=0时， A/2
u=100m /s
x=0处的质点位于
0
1
X(
A/2处 且向位移正方向运动
-A
m)
由图知：t=0时， x=1m处的质点位于平 衡位置处且向位移负方
向运动
第十章 波动
21
物理学
第五版
0
π 3
,
2.4m,
u 100(m/s)
T /u 0.024s
在 理学
第五版
左行波的波函数：
p点的相位超前于O点相位：
所以 p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：
第十章 波动
6
物理学
第五版
波函数的几种常用形式
第十章 波动
7
物理学
第五版
演示实验安排
周三 第3节 7班 第4节 8班
第十章 波动
8
物理学
第五版
二 波函数的物理含义
1 x一定，t变化
解
确定坐标原点的振动初相0
由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
第十章 波动
18
物第理五例版学 4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播. 图（a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方 程。
解：t=0时此质点的相位
0.40 0.20
5.0
t/s
t=5s时质点第一次回到平
第十章 波动
28
物理学
第五版
(1/4) 2A2
o
EP Ek
Y
WpWk x = x0
Tt
y
第十章 波动
t
大学物理 平面简谐波的波函数
17
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
u
C
8m
y A 310 cos( 4 π t )m 10m 5m 9m
B
2
oA
D
x
AC
点 C 的相位比点 A 超前
cos( 4 π t 2 π )m 13 2 3 10 cos( 4 π t π)m 5 点 D 的相位落后于点 A AD 2 y D 3 10 cos( 4 π t 2 π )m 9 2 3 10 cos( 4 π t π)m 5
4
波动方程的其它形式
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ y( x, t ) A cos(t kx )
质点的振动速度，加速度 角波数 k 2 π
(wave number)
y x v A sin[ (t ) ] t u
分析：
2 3 ( D) 2
( B)
,
由波形图可判定O点在该时刻的振动方向竖直向 上（如图示）
A x
3 由旋转矢量图可知此时的相位为 2
23
3.在下面几种说法中,正确的说法是: （C）
(A)波源不动时,波源的振动周期与波动的周期在数 值上是不同的。 (B)在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源 的位相超前。 (C)在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源 的位相滞后。 (D) 波源的振动速度与波速相同。
在t＝1／v时刻：
1 v | x x2 2A sin 2 (1 ) 2A 4
即速度比为-1。
3 v | x x1 2A sin 2 (1 ) 2A 4
平面简谐波
dx
dt k
2 / T 2 / T
p
• 波传播过程中，波的等相位面是以速率
p / T 沿波传播方向推进的。
• 对于平面简谐波，波相速等于波速。
三、平面简谐波的波动方程
以最简形式的正向波为例，波函数为：
y( x, t) Acos( t－kx) Acos[(t x )]
u
2 y x 2
y( x, t) Acos( t kx)
(2) 给定 t = t0 时
y( x, t0 ) Acos( t0－kx)
——表示 t0 时刻的波形
y
u
y1
o
x1
t0时刻的波形曲线
x
二、平面简谐波的物理意义
y( x, t) Acos( t kx)
(3) 在 x 与 t 都变化时
y(x x, t t) Acos[(t t k(x x)]
1 u2
2 y t 2
(对正、负向波均成立)
三、平面简谐波的波动方程
一般平面波均可表示为平面简谐波的线性叠加。
y C1 y1 C2 y2
2y 1 2y x2 u2 t 2
平面波方程
意
对坐标x和时间t 的关系满足平面波方程的任 何物理量，必以平面波的形式沿x轴传播，
义 且传播速度为u.
三、平面简谐波的波动方程
u P
x
随堂练习
3、简谐波沿x轴正向传播，频率为=0.5Hz， 波速为u=18ms-1, t=0.5s时刻的波形如图，求 波函数。
y 0.1
x 0.05
y(x,t) Acos(t kx 0)
欢迎网上答疑
(1) 若某物理量（设为 ）在三维空间中以平面波形式
平面简谐波的波函数
方向传播。
若O点的振动方程为
y0 A cos( t 0 )
时间推迟方法
y A
u
P
x
O
A x
点O 的振动状态
y0 A cos( t 0 )
t x u
t ux 时刻点O 的运动
点P t 时刻点 P 的运动
P点在t时刻的位移为
y
A cos[ (t
x) u
0]
平面简谐波的波动方程
*若波以速度u 沿x轴负方向传 播， 则波函数为
能否写出波动表达式?形 式如何?
y
u
．P. x
x
y
A cos[ (t
x) u
0 ]
y A
u
P
x
O
A x
波函数的其它形式
y
A cos[ (t
x) u
0 ]
y
Acos[2 ( t
T
x
)
0 ]
y
A
cos[2
(
t
x
)
0 ]
y Acos(t kx 0 )
2 2 / T
u / T
k
2
角波数，为2π长度内所 包含的完整波形的个数
二、波函数的物理含义：
y
y
A
cos[(t0
x u
)
]
o
x
t t0
(3) 若x和t 都是变量，波函数表示波线上不同质点、不同时刻
的位移 （行波）
y Acos[(t x) ]
u
A:
(t
x u
)
ห้องสมุดไป่ตู้
0
B:
(t
t
x
第11次课第五章0111级
m
dt
2
kx
k m
dt
d x dt
2 2
d x dt
2
2
dx
m dt
x0
2
dx dt
x 0
2 0
令： 2 k 0
m
2m
阻尼振动的微分方程 方程的解有三种情况
称为阻尼系数
4.5 阻尼振动、受迫振动、共振
一.阻尼振动(Damped Oscillation)： 系统在阻力作用 下能量或振幅随时间逐渐减小的振动
x
y y
1）体积元的动能 y Acos ( t ) ux 1 2 E k m i v v A sin ( t ) 2 u 1 x 2 2 2 VA sin ( t ) 2 u 2）体积元的势能 一根长为 l 的棒，伸长 l 时具有的势能。 FF F 'F ' 1 2
平面简谐波：
5.2 平面简谐波
一、平面简谐波的波函数(波动方程)
y( x ,t ) Acos[ ( t y( x ,t ) Acos[ 2 ( t T x u ) ] x
2 T 1 T
x
) ] ) ]
y( x ,t ) Acos[ 2 ( t
y( cm )
4 2
0
x 0 , u 2m / s
11
t(s)
A 4cm
6
rad s 5 3
y( x ,t ) Acos[ ( t x u ) ]
例5.如图，求沿X正向传播的波动方程
y( cm )
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0.5
解：
0 2 5 8 11 14 x / cm
x1 处
y1
=
A cos[ ω( t −
x1 u
) + ϕ0 ]
x2处
y2
=
A cos[ ω(
t
−
x2 u
)+
ϕ0
]
位相差
Δϕ
=
ϕ2
−
ϕ1
=
−
ω u
(
x2
−
x1
)
=
−
2π λ
(
x2
−
x1
)
=
2π λ
(
x1
−
x2
)
=
2π 12
(5
−
11 )
=
−π
反位相
=
cos(
5π 3
t
)
y
=
cos[
5π 3
(
t
−
x 10
)]
方法2：将波形倒退
λ 6
得出 t = 0 波形，再写方程！
ϕ0 = 0
…..
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
[例2]如图示，已知： y0 = Acosω t，波长为λ ，
入
全 反
反射波在S处相位改变π。
y0 =Acosωt
反 S
0 x (l- x)
研究波动抓住一条波线研究即可。
第一讲 平面简谐波的波函数 二 平面简谐波的波函数 1 波函数
第十章 机械波
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x, t) 称
为波函数.
y = y(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
第一讲 平面简谐波的波函数 2 波函数的建立
u
即振动状态在△t时间传播了u△t 距离，即波形以速度
u传播。 想一想:如何判断波形图上质点振动方向?
3
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
四、举例
1.已知波函数求各物理量（系数比较法，定义法） 2.已知各物理量求波函数
写波函数一般步骤
z 选定坐标并明确波的传播方向。 z 选取参考点的位置，写出其振动方程。 z 比较位于 x 处的任一点和参考点（振源
习题练习册 练习31
5
3
t
+
π )
3
波动方程
ω
π
3
o
y
y
=
cos[
5π 3
(
t
−
x u
)
+
π 3
]
=
cos[
5π 3
(
t
−
x 10
)
+
π 3
]
( cm, g , s制 )
第一讲 平面简谐波的波函数 （2）求 x1 = 5cm , x2 = 11cm 两处质点振动位相差。
第十章 机械波 y / cm u = 10cm / s 1
•波速 u 与媒质性质的关系*：（公式不必记忆）
气体中
u = γ RT ， γ —— 比热比
M
p
液体中
u=
K， ρ
K = − ΔP ΔV V
p V+Δ V p
（体积模量）
可以证明，弹 性绳上的横波：
u=
F ρl
p 体变
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
横波 ut =
固 体 中
纵波 ul =
G ρ
第一讲 平面简谐波的波函数 ★ 水波是横 波还是纵波？
水表面的 波既非横波又 非纵波。而是 纵波与横波的 合成
第十章 机械波
波速
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3. 波动的特点：
波动是位相的传播
（1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。 （2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后。
（4）若图为 t = 0.2s 波形， 波动方程如何？
第十章 机械波
y / cm
u = 10cm / s
1
t = 0.2s
0.5
t =0
解：关键是求o点的初位相 0 2 5 8 11 14 x / cm
方法1：t
=
0.2 s
=
T 6
波形
ωt
+ ϕ0
=
π 3
2π T
T 6
+
ϕ0
=
π 3
ϕ0 = 0
yo
λ
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
若 x, t 均变化，表示波形的传播--行波
yu
t 时刻 t + Δt 时刻
O
x
x
Δx
在t+△t时刻x+ △x处质点振动状态与t时刻x处质点振动
状态相同,即：y = Acosω(t − x) = Acosω[(t + Δt) − (x + Δx)]
⇒ Δx = uΔt u
（3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。 （4）振动状态、波形、能量向前传播。
1
第一讲 平面简谐波的波函数 4. 描述波动的基本量
第十章 机械波
Ay
u
O
λ
x
−A
wave length λ
period T 波速 u
λ
λ = uT
u、T与什 么有关？
媒质定
波源定
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第十章 机械波
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
t =0
y A
u
t=T/4
求 O、a、b、c 各 点振动初相位.
b
Oa
cλ
x
ϕ(−π ~ π )
−A
Av
O
y ϕo =π
ωv ωA
ω
v
O
A
y
ϕb = 0
O
y
ϕa
=
π 2
AvO
y
ω
ϕc
=
−π 2
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
例1. t = 0 波形如图
或波源）位相的领先或落后关系。由参
考点的 振动表达式得出波的表达式
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
讨论
1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 和x=0点的初相位.
y
=
− Acos
2π
t ( T
−
x λ
)
(向x 轴正向传播,
ϕ =π)
y = − Acosω (−t − x) (向x 轴负向传播 , ϕ = π )
1)时间推迟方法
第十章 机械波
= 点O 的振动状态
yO = A cos ωt t-x/u时刻点O 的运动
Δt = x / u 点 P t 时刻点 P 的运动
点P 振动方程
yP = A cos ω (t − x / u)
¾ 波函数
y = A cosω(t − x / u)
2
第一讲 平面简谐波的波函数
，G
=
FS ϕ
ϕF S
（切变模量） F
切变
E ρ
，E
=
F Δl
S l
F
（杨氏模量）
F l 线变 Δ l
地震波 ul > ut （会有什么现象？）
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
5 波线 波面 波前
波前 波面振动状态（位相）相同的点连成的面
λ
*
λ 相邻波面间距 为一个波长
球 面 波 波线
平面波
射 壁
求：反射波函数 y′( x, t )
解： 全反射， A不变。
l
y′( x, t) = Acos[ω t − l 2π − π − l − x 2π ]
λ
λ
= Acos[ω t + x 2π − 2l 2π − π ] λλ
“+”表示沿 -x 方向传播
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
作业
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第一讲
平面简谐波函数
内容提要
1.波动的几个概念 2.平面简谐波函数 3.波函数的物理意义 4.举例
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
一、波动的几个概念
波动是振动状态的传播.振动是激发波动的波源.
1 机械波的形成 产生条件
波源
机 械
+
弹性作用
波
介质
第一讲 平面简谐波的波函数
=
A cos(ω
t
m
kx
+ϕ)
，k
=
2π λ
y
=
Acos 2π（ t T
m
x λ
+ϕ）
——波数
(wave number)
y = Aei(ω tmkx+ϕ ) （Re）
= Aei(mkx) ⋅ ei(ωt+ϕ ) （Re）
了解
空间因子 （复振幅）
振动因子
第一讲 平面简谐波的波函数 三 波函数的物理意义
2)相位落后法
Ay
第十章 机械波
uv
点 O 振动方程
yo = A cos ωt
x = 0 ,ϕ = 0
P
x
Ox *λ
−A
每隔一个λ，相位落后2π
P点落后O 点的相位
ϕp
=
−2π
解：
0 2 5 8 11 14 x / cm
x1 处
y1
=
A cos[ ω( t −
x1 u
) + ϕ0 ]
x2处
y2
=
A cos[ ω(
t
−
x2 u
)+
ϕ0
]
位相差
Δϕ
=
ϕ2
−
ϕ1
=
−
ω u
(
x2
−
x1
)
=
−
2π λ
(
x2
−
x1
)
=
2π λ
(
x1
−
x2
)
=
2π 12
(5
−
11 )
=
−π
反位相
=
cos(
5π 3
t
)
y
=
cos[
5π 3
(
t
−
x 10
)]
方法2：将波形倒退
λ 6
得出 t = 0 波形，再写方程！
ϕ0 = 0
…..
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
[例2]如图示，已知： y0 = Acosω t，波长为λ ，
入
全 反
反射波在S处相位改变π。
y0 =Acosωt
反 S
0 x (l- x)
研究波动抓住一条波线研究即可。
第一讲 平面简谐波的波函数 二 平面简谐波的波函数 1 波函数
第十章 机械波
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x, t) 称
为波函数.
y = y(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
第一讲 平面简谐波的波函数 2 波函数的建立
u
即振动状态在△t时间传播了u△t 距离，即波形以速度
u传播。 想一想:如何判断波形图上质点振动方向?
3
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
四、举例
1.已知波函数求各物理量（系数比较法，定义法） 2.已知各物理量求波函数
写波函数一般步骤
z 选定坐标并明确波的传播方向。 z 选取参考点的位置，写出其振动方程。 z 比较位于 x 处的任一点和参考点（振源
习题练习册 练习31
5
3
t
+
π )
3
波动方程
ω
π
3
o
y
y
=
cos[
5π 3
(
t
−
x u
)
+
π 3
]
=
cos[
5π 3
(
t
−
x 10
)
+
π 3
]
( cm, g , s制 )
第一讲 平面简谐波的波函数 （2）求 x1 = 5cm , x2 = 11cm 两处质点振动位相差。
第十章 机械波 y / cm u = 10cm / s 1
•波速 u 与媒质性质的关系*：（公式不必记忆）
气体中
u = γ RT ， γ —— 比热比
M
p
液体中
u=
K， ρ
K = − ΔP ΔV V
p V+Δ V p
（体积模量）
可以证明，弹 性绳上的横波：
u=
F ρl
p 体变
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
横波 ut =
固 体 中
纵波 ul =
G ρ
第一讲 平面简谐波的波函数 ★ 水波是横 波还是纵波？
水表面的 波既非横波又 非纵波。而是 纵波与横波的 合成
第十章 机械波
波速
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3. 波动的特点：
波动是位相的传播
（1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。 （2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后。
（4）若图为 t = 0.2s 波形， 波动方程如何？
第十章 机械波
y / cm
u = 10cm / s
1
t = 0.2s
0.5
t =0
解：关键是求o点的初位相 0 2 5 8 11 14 x / cm
方法1：t
=
0.2 s
=
T 6
波形
ωt
+ ϕ0
=
π 3
2π T
T 6
+
ϕ0
=
π 3
ϕ0 = 0
yo
λ
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
若 x, t 均变化，表示波形的传播--行波
yu
t 时刻 t + Δt 时刻
O
x
x
Δx
在t+△t时刻x+ △x处质点振动状态与t时刻x处质点振动
状态相同,即：y = Acosω(t − x) = Acosω[(t + Δt) − (x + Δx)]
⇒ Δx = uΔt u
（3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。 （4）振动状态、波形、能量向前传播。
1
第一讲 平面简谐波的波函数 4. 描述波动的基本量
第十章 机械波
Ay
u
O
λ
x
−A
wave length λ
period T 波速 u
λ
λ = uT
u、T与什 么有关？
媒质定
波源定
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第十章 机械波
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
t =0
y A
u
t=T/4
求 O、a、b、c 各 点振动初相位.
b
Oa
cλ
x
ϕ(−π ~ π )
−A
Av
O
y ϕo =π
ωv ωA
ω
v
O
A
y
ϕb = 0
O
y
ϕa
=
π 2
AvO
y
ω
ϕc
=
−π 2
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
例1. t = 0 波形如图
或波源）位相的领先或落后关系。由参
考点的 振动表达式得出波的表达式
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
讨论
1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 和x=0点的初相位.
y
=
− Acos
2π
t ( T
−
x λ
)
(向x 轴正向传播,
ϕ =π)
y = − Acosω (−t − x) (向x 轴负向传播 , ϕ = π )
1)时间推迟方法
第十章 机械波
= 点O 的振动状态
yO = A cos ωt t-x/u时刻点O 的运动
Δt = x / u 点 P t 时刻点 P 的运动
点P 振动方程
yP = A cos ω (t − x / u)
¾ 波函数
y = A cosω(t − x / u)
2
第一讲 平面简谐波的波函数
，G
=
FS ϕ
ϕF S
（切变模量） F
切变
E ρ
，E
=
F Δl
S l
F
（杨氏模量）
F l 线变 Δ l
地震波 ul > ut （会有什么现象？）
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
5 波线 波面 波前
波前 波面振动状态（位相）相同的点连成的面
λ
*
λ 相邻波面间距 为一个波长
球 面 波 波线
平面波
射 壁
求：反射波函数 y′( x, t )
解： 全反射， A不变。
l
y′( x, t) = Acos[ω t − l 2π − π − l − x 2π ]
λ
λ
= Acos[ω t + x 2π − 2l 2π − π ] λλ
“+”表示沿 -x 方向传播
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
作业
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第一讲
平面简谐波函数
内容提要
1.波动的几个概念 2.平面简谐波函数 3.波函数的物理意义 4.举例
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
一、波动的几个概念
波动是振动状态的传播.振动是激发波动的波源.
1 机械波的形成 产生条件
波源
机 械
+
弹性作用
波
介质
第一讲 平面简谐波的波函数
=
A cos(ω
t
m
kx
+ϕ)
，k
=
2π λ
y
=
Acos 2π（ t T
m
x λ
+ϕ）
——波数
(wave number)
y = Aei(ω tmkx+ϕ ) （Re）
= Aei(mkx) ⋅ ei(ωt+ϕ ) （Re）
了解
空间因子 （复振幅）
振动因子
第一讲 平面简谐波的波函数 三 波函数的物理意义
2)相位落后法
Ay
第十章 机械波
uv
点 O 振动方程
yo = A cos ωt
x = 0 ,ϕ = 0
P
x
Ox *λ
−A
每隔一个λ，相位落后2π
P点落后O 点的相位
ϕp
=
−2π