数学问题解决的思维策略模式的认识和实践

数学问题解决的思维策略模式的认识和实践杭州二中 尚 可[摘要]：在策略层次上的思维能力的培养和水平的提高是易被忽视或乏力的问题。

本文 对解题系统及目前的研究现状和学生学习中存在的问题作了分析和概述，认为思维策略是解 题系统的核心，藉此提出了一个四环节数学问题解决的思维策略模式，并从实践、理论两个 层面上对其内容、结构、涵义及实践要点作了分析论述。

一、问题的提出策略，字面意为“计谋”，英文的“Strategy"一词可释为策略，也可解释为战略，是指一种总体的行动方针，而非具体方法(战术)。

心理学认为，在问题解决过程中，若主体所接触的是非标准化了的问题，则就需进行创造性思维，需要一种问题解决的思维策略。

因而，策略的产生及其正确性被证实的过程常被认为是创造的、解决问题的过程。

对问题解决的策略，心理学家曾提出一些模式，尤其是认知心理学家们通过“河内塔问题”这类极其简单而典型问题的研究提出了四种不同的策略，但远未进入解决复杂问题的思维过程的透析。

我国是一个数学解题大国，产生了浩如烟海的数学的奇思妙解、技巧技法。

近几年对数学思维模式的研究颇有建树，提出了等价与非等价转化、类比与归纳、移植与杂交以及升格、降格、缩格、更格、分格的五格思维模式，凡此等等，都极大地推动了数学教学的改革。

但数学问题解决的思维策略，是指在数学问题解决过程中，主体所采取的总体思路，它是数学思想、观点在解决问题时思维决策的选择。

它和作为数学问题解决过程中操作方向、信息处理程序和方式相对稳定的数学思维模式有所相同也有所不同。

而且，数学解题是一种复杂的、呈现多种思维特征而且其特征充满各个环节的思维过程。

实践中学生急需要的并非是一般的数学思维模式，缺的是具体问题如何设计解题策略的能力，即何时使用何种数学思维模式的能力，所以更需要研究针对中学生实际的、普遍适用的、实用的数学问题解决的思维策略模式。

本文对此作一番认识和实践上的探讨，并藉此在实践的基础上提出一个四环节数学解题的思维策略模式。

二、思维策略是数学解题系统的核心解题是—系统工程，可划分为四个模块，由知识、方法(狭义、具体的)、能力(基本能力)、经验等本质因素构成解题基础模块；由兴趣、爱好、态度、习惯、情绪、意志等构成解题的主观状态模块；由时空、环境、工具等约束构成解题的客观条件模块；还有一部分就是思维策略模块，“是什么促使你这样想、这样做的？”，“是怎样想到这个解法的？”等层面的问题都属于思维策略模块。

显然，思维策略模块是其核心。

光有基础知识，具体方法和经验是不够的，为判断用什么方法、用什么知识必须对问题解剖、识别、加工、组织并创造条件， 即必须具有—定的思维策略水平。

如：设 A 、B ∈（0，π）且cosA+cosB-cos(A-B)=3/2,求A ，B 的值。

误解1无法求A 、B.sin sin cos )cos (cos cos 1cos 2cos cos 28122241222232222=⇒=-⇒=+-++-++-+B A B A B A B A B A B A B A B A8122281222222212222222221sin sin cos )sin sin cos (cos sin sin sin sin 4cos cos sin sin 4)cos 1)(cos 1(sin sin =⇒=-⇒=-⇒=---+B A B A A A B A B A B A B A B A B A B A 误解2.原式=纵观上述过程可知：解题受阻的原因非知识缺乏，而在于没有正确的解题策略，导致盲目变形，见了和差就化积，“和角”化“单角”，根本未考虑变形的目的和意义，致使解题陷入混乱招致失败。

实际上本题实质是解三角方程，一个方程二个未知数，一般情况无法确定解，只有在一种极端情形(如非负数和为0，二次方程△≥0，基本不等式中等号成立等)方可获解，所以要求发掘这种极端情况，可配方为：1cos 1cos 1cos 04cos 40cos 2cos cos 2. 0sin )cos (cos 2222222222122223222122212=∴≤≥≥-=∆=--===+-------+--+B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A ，，又知，由或整理为，便知π 学生对上述解法涉及的基础知识(三角恒等变形)和基本方法(配方法、判别式法)是熟悉 的，关键是不知如何为己所用，表明思维策略水平的低下，数学元认知能力尤其是元认知监 控能力的缺乏。

在中学数学教学中波利亚就曾指出“解题的价值不是答案本身，而是在于弄 清是怎样想到这个解法的”。

虽然大家都在喊要培养思维能力，但对策略层次上的能力培养 仍是忽视或乏力的。

不少老师和学生往往多就各种类型就题论题地给出解答并演练，而少展 现思路尤其是思路的寻找过程且津津乐道于技巧技法。

课堂上的学生除了对老师的神机妙算 叹服外，思维策略得不到学习和提高，依然停留在“套题型、背题解，依样画葫芦”的层次， 常导致今天做过的题，明大仍然做不出，这题会做了，题目背景稍加改造又—筹莫展、手足 无措，只有胡猜乱碰来代替有根据有目的的探索，脚踩西瓜皮滑到哪儿算哪儿，即使东碰西 撞、曲里拐弯算出了答案，心中也无数，只有靠对答案来检验自己解题思路的正误。

部分师 生只得把各种各样的非质的、庞杂凌乩的具体解题技巧—概视为规律，成为谆谆告诫的重点， 也只有企图通过大量的机械重复、模仿、记忆来补偿思维策略水平的低下，能力的不足。

长 期以往，不仅高负担低效率，还必将造成思维的萎缩利退化，对认知结构的构建、对数学思 维的发展都是极其不利的。

提高学生的思维策略水平，当然可以有利于解决考试中的综合题，也更有利地构建自 己的认知结构。

这当然是很功利、现实的目标。

然而认识其实应远远不止于此。

数学教育的 主要目的在于为所有人的未来发展打下基础，在于培养人的数感、数学观念和数学思想方法， 概括地说是为了扩展人脑十的数学空间。

中学里、现实的数学的材料是有限的，所以—个人 已有的数学空间是很小的，然而所可能具有的数学空间是可以很大的，问题在于我们有没有 使学生学会思考，对所学的数学知识有所领悟，这个领悟就是扩展数学空间的手段。

数学空 间不仅靠—些既得知识而构成，还靠思维链建立起有血有肉的生机勃勃的知识方法体系，而 且更重要的是借助于所学知识的生长点和开放面及思维过程，获得一种与数学相关的能力、 进而使数学空间具有某种开放性，所以思维策略水平的提高也是体现主体性培养培养现代人 之必需。

三、四环节数学问题解决的思维策略模式K邓克尔曾提出一个范围渐趋缩小的汇综模式，分为—般解决——思维策略水平的解决；功能解决——思维模式水平的解决；特殊解决——运算技能水平的解决三个层次。

G.波利亚曾给出著名的“解题表”，把数学问题解决过程分为4个阶段，在思维层次上可概括为理解、转换、实施、反思，这都是具有普遍意义和数学一般特点的解题模式。

笔者受此二种模式的启发，针对中学数学教育实际和学生的思维特征，经过一定的探索和实践，提出一种更具实用性易为中学生掌握的四环节解题思维策略模式(以下简称四环节解题法)。

(一) 四环节解题法的内容可把数学问题解决的思维策略过程划分为四个环节：1．明确目标、寻找条件；2．发现差异、揭示本质；3．构造相同、联想相似；4．抉择通道、转化矛盾。

完成此四个步骤，称为一个解题循环，通过多次循环，最终使问题获解。

它脱胎于前面述及的汇综模式和解题表。

汇综模式和解题表更注重普遍性，而四环节模式更注重于中学生的针对性、解决中学数学问题的实用性和操作性。

解题表视解题为一次性过程，从总体上设计出解题的程序，而四环节法则视解题为一个反复循环的过程，在单个循环上理出解题策略。

若将数学问题的解决过程视作一个攀登到螺旋式台阶的顶端的过程，那么四环节法的每一次循环，就是攀登台阶的一级阶梯。

反复循环，反复攀越，最终登顶。

台阶有多有少，循环也就有多有少。

台阶有高有低，所以单个循环也有大有小；登低台阶的循环中可能某些环节会产生一些跳跃，并非一定都要经过四环节；而登高台阶的循环中还可能会嵌入一些子循环。

由此可得出模式的操作程序如下：四环节解题法的实质是把数学解题过程看作一个信息交往的控制过程。

它的每一次循 环都是通过由初始状态(条件)到目标状态(结论)的逐步转化来实现的。

环节1：即是控制过程中信息的整理与编码，其它环节均是对信息的识别、加工与变换， 通过信息的不断反馈与调控，使控制过程反复循环，即将系统输出的“现实状态”与预期的 控制“目标状态”出现的差异，反馈到施控系统的输入端，作为下一步施控作用的依据，使 受控系统的施控结果向控制目标逼近、这一控制过程可表示如下：图中的中间状态即后三个环节，它是核心环节，所以简单地说，四步解题法的主要内容、就是关于解题信息的利用与反馈的一种固定的处理模式。

现举两例，分析如下：例1：△ABC 中，A=ο60，a=1,求b+c 最大值[初始状态] A=ο60，a=1 ①[目标状态] b+c ≤常数 ②[发现差异] 初始状态含A ，a,目标状态含b,c[揭示本质] 建立b,c 与A,a 的联系。

[联想相似] 用正弦定理： 及等比定理 [转化矛盾1][新目标] sinB+sinC ≤常数 ③[发现差异] ③的左边为两个变量，右边为常数[揭示本质] 消去一变量，变为一元函数求最值[寻找条件] ︒=+⇒︒12060 =A C B [转化矛盾]=︒-︒=-︒+=+)60cos(60sin 2)120sin(sin sin sin B B B C B时取到等号）︒=≤︒-60(3)60cos(3B B[转化矛盾2] 用余弦定理 bc c b A bc c b a -+=-+==22222cos 21 ④[发现差异] ②中有b+c,而④中有b 2+c 2 、bc[构造相同] b 2+c 2=(b+c)2-2bc[转化矛盾] 上式代入④得bc c b 3)(12-+= 即 bc c b 31)(2+=+ ⑤[发现差异] 目标②中有b+c,而⑤中有bc )sin (sin ,332sin sin 32sin sin sin C B c b C B c b C cB b A a +=+∴=-⇒==++，[揭示本质] bc 用b+c 代换（放缩代换）[联想相似] bc c b 2≥+[转化矛盾] 由⑤得222)(3131)(c b bc c b ++≤+=+ 得c b c b =≤+(2时取等号） 或直接用2222)(2c b c b +≥+，22)(c b bc +≤ 例2：△ABC 中，tgA,tgB,tgC 成等差数列，且f (cos2C)=cos(B+C －A)求f (x) 的解析式。