新高考数学第一次模拟试题(带答案)

解析： 10
【解析】
【分析】
变换得到
a
log 2
m
，
b
log5
m
，代入化简得到
1 a
1 b
logm
10
2
，得到答案.
【详解】
2a 5b m ，则 a log2 m ， b log5 m ，
故
1 a
1 b
logm
2
logm
5
logm
10
2, m
10 .
故答案为： 10 .
【点睛】
本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.
5 ∵c os = cos[(300 ) 300 ] , ∴c os =- 4 × 3 3 1 3 4 3 ，
5 2 5 2 10
故选 D. 点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本
题主要利用了看角变角， (300 ) 300 ，把未知的角向已知的角转化,从而完成解题
10．B
解析：B
【解析】
试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每 30 分钟发出一辆，到达发车站的时间总长
度为 40，等车不超过 10 分钟的时间长度为 20，故所求概率为 20 1 ，选 B. 40 2
【考点】几何概型 【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的 测度有长度、面积、体积等.
（2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值； （3）求点 E 到平面 ACD 的距离．
23．△ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 a=bcosC+csinB． （Ⅰ）求 B； （Ⅱ）若 b=2，求△ABC 面积的最大值. 24．如图所示，在四面体 PABC 中，PC⊥AB，点 D，E，F，G 分别是棱 AP，AC，BC，PB 的中 点，求证： (1)DE∥平面 BCP； (2)四边形 DEFG 为矩形．
7．A
解析：A
【解析】
余弦定理 AB2 BC2 AC2 2BC?AC cos C 将各值代入 得 AC2 3AC 4 0 解得 AC 1或 AC 4(舍去)选 A. 8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据渐近线的方程可求得 a, b 的关系,再根据与椭圆 x2 y2 1有公共焦点求得 c 即可. 12 3
14．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部
解析： 1
【解析】
复数 i(1 i) i 1 1 i ，其实部为 1.
考点：复数的乘法运算、实部.
15．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半 径即可【详解】设球半径为 R 球心 O 到上表面距离为 x 则球心到下表面距离为 6-x 结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查
11．C
解析：C 【解析】
因为 f x x2 ax 是偶函数，所以 f (x) x2 ax f (x) x2 ax 2ax 0
所以 a 0 .所以“ a 0 ”是“ f x x2 ax 是偶函数”的充要条件.故选 C.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】 在三角形中，利用正弦定理可得结果. 【详解】
D． y 1 x2 1 2
2．设集合 M {x | x2 2x 0, x R}， N {x | x2 2x 0, x R}，则 M N （ ）
A．0
B．0, 2
C． 2, 0
D． 2,0, 2
3．已知 sin 30 3 , 60 150 ，则 cos 为（ ）
5
3
2
【详解】
函数
f
x
sin
2x
2
的图象向右平移
6
个单位后，
得到函数
y
sin
2
x
π 6
φ
sin
2x
π 3
φ
的图象，
再根据所得图象关于原点对称，可得 π φ kπ ， k z ， 3
∵|
|
2
，∴
3
，
f
x
sin
2x
π 3
，
由题意
x
2
,
0
，得
2
x
π 3
4π 3
,
π 3
，
D． 3 4
11．已知 a R ，则“ a 0 ”是“ f (x) x2 ax 是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
12．在 ABC 中， A 60 ， B 45， BC 3 2 ，则 AC （ ）
A． 3 2
二、填空题
B． 3
由题意可知 tan
3
tan
12
4
，由题意结合两角和的正切公式可得
tan
3
的值.
【详解】
tan
3
tan
12
4
tan
12
tan
4
1
tan
12
tan
4
1 ，故选 A. 3
【点睛】
本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力
和计算求解能力.
为数列{cn}的前 n
项和，证明：
Tn 1.
26．如图，已知三棱柱 ABC A1B1C1 ，平面 A1AC1C 平面 ABC , ABC 90 ，
BAC 30, A1A A1C AC, E, F 分别是 AC, A1B1 的中点.
（1）证明： EF BC ； （2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值.
解：在 ABC 中， 可得 BC AC ,
sin A sin B
即32 sin 60
32
AC ，即 sin 45
3
2
AC 2，
2
解得 AC 2 3 ，
故选 C.
【点睛】
本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正弦定理公式.
二、填空题
13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为 ：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力
【详解】
双曲线 C 的渐近线方程为 y 5 x ,可知 b 5 ①,椭圆 x2 y2 1的焦点坐标为(－
2
a2
12 3
3,0)和(3,0),所以 a2＋b2＝9②,根据①②可知 a2＝4,b2＝5.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了双曲线与椭圆的基本量求法,属于基础题型.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
5．
x2
2 x
5
的展开式中
x4
的系数为
A．10
B．20
C．40
D．80
6．函数
f
x
sin
2
x
2
的图象向右平移
6
个单位后关于原点对称，则函数
f
x
在
2
,
0
上的最大值为（）
A． 3 2
B． 3 2
C． 1 2
D． 1 2
7．在 ABC 中，若 AB 13, BC 3, C 120 ，则 AC =（
25．已知数列{an}与{bn}满足： a1 a2 a3 an 2bn (n N *) ，且{an} 为正项等比
数列， a1 2 ， b3 b2 4 .
（1）求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式；
（2）若数列{cn}满足 cn
log2
an
1 log2
an1
(n N*)
， Tn
则 的最大值
．
17．设复数 z 1 i(i 虚数单位), z 的共轭复数为 z ，则 1 z z ________.
18．已知 ， 均为锐角， cos 4 ， tan( ) 1 ，则 cos _____．
5
3
19．已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，| a |=2，| b |=1，则| a +2 b |= ______ .
C． 2 3
D． 4 3
13．设 2a 5b m ,且 1 1 2 ,则 m ______. ab
14．复数 i 1 i 的实部为 ．
15．已知圆台的上、下底面都是球 O 的截面，若圆台的高为 6 ，上、下底面的半径分别为 2 ， 4 ，则球 O 的表面积为__________．
16．若 , 满足约束条件
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据 x, y 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系.
【详解】
根据实验数据可以得出， x 近似增加一个单位时， y 的增量近似为 2.5，3.5，4.5，6，比较
接近 y 1 x2 1 ，故选 D. 2
解析： 80
【解析】 【分析】 本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。 【详解】 设球半径为 R，球心 O 到上表面距离为 x，则球心到下表面距离为 6-x,结合勾股定理，建
目标.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 解答： 由已知条件得
；
根据共面向量基本定理得：
∴△ABC 为等边三角形。 故答案为：等边三角形。
5．C
解析：C 【解析】
分析：写出 Tr1 C5r 2r x103r ，然后可得结果
详解：由题可得Tr1 C5r
x2
5r
2
r
x
C5r
2r
20．从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人，组成 4 人服务
队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）
三、解答题
21．
11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得
A． 3 10 10
B． 3 10 10
C． 4 3 3 10
4．在△ ABC 中， P 是 BC 边中点，角 A、B、C 的对边分别是
D． 3 4 3 10
，若
c AC aPA bPB 0 ，则△ ABC 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形但不是等边三角形.
9．已知
tan
12
2
，则
tan
3
（
）
A． 1 3
B． 1 3
C．-3
D．3
10．某公司的班车在 7:30，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班
车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是
A． 1 3
B． 1 2
C． 2 3
【点睛】 本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析 的核心素养.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，-2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{ 0，2}，所以
M N {-2,0,2}，故选 D．
考点：1、一元二次方程求根；2、集合并集的运算．
3．D
解析：D 【解析】
分析：先求出 cos30 的值，再把 cos 变形为 cos[(300 ) 300 ] ，再利用差角的
余弦公式展开化简即得 cos 的值. 详解：∵ 60 150 ， ∴90°＜ 30 ＜180°，
∴ cos30 =- 4 ，
2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概 率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方 10:10 平后，甲 先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束. （1）求 P（X=2）； （2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率.
22．如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点， AB AD 2 ， CA CB CD BD 2. （1）求证： AO 平面 BCD；
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．已知双曲线 C： x2 a2
y2 b2
1
(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 y
5 x ，且与椭圆 2
x2 y2 1有公共焦点，则 C 的方程为（ ） 12 3
A． x2 y2 1 8 10
B． x2 y2 1 45
C． x2 y2 1 54
D． x2 y2 1 43
∴
sin
2
x
π 3
Fra Baidu bibliotek
1,
3 2
，
∴函数
f
x
sin
2
x
π 3
在区间
2
, 0
的最大值为
3， 2
故选 B．
【点睛】
本题主要考查函数 y Asin ωx φ 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了
正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求 最值，属于基础题．
新高考数学第一次模拟试题(带答案)
一、选择题
1．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x 1.99 3
4
5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是 ( )
A． y 2x 2
B． y ( 1 )x 2
C． y log2 x
x103r
令10 3r 4 ,则 r 2
所以 C5r 2r C52 22 40
故选 C. 点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。
6．B
解析：B 【解析】
【分析】
由条件根据函数 y Asin ωx φ 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得
π φ kπ ， k z ，由此根据| | 求得 的值，得到函数解析式即可求最值．