二重积分的计算法直角坐标
D10_2(1)直角坐标下二重积分的计算法
(
x) a
y x
2
b
(
x)
(由下到上)
1(x), 2 (x) 为[a, b]区间上的连续函数,
a, b为常数.
y y 2(x) D
x o a y 1(x)b x
特点: 穿过区域D且垂直于x轴的直线与区域D的边界
至多有两个交点.
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
计算公式 令 f (x, y) 0
课堂练习6： 交换积分次序
2
2
1.
2
dx
x f x, ydy
dy f (x, y)dx
0
y
0
0
1
y
2.
1
dx
x f x, ydy
dy f (x, y)dx
0
y2
0
x
例5. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线 所围成的闭区域.
及直线解:由dx源自 21 1 2x2 3x4
0
dx
2
x
2 3
x3
3 5
x5
1 0
32 15
课堂练习3：
二次积分形式
课堂练习4：
计算二重积分 D xdxdy
1 x y 1
0
1
例3 计算 I D y 1 x2 y2 d , 其中D 是直线 y＝x,
x＝-1, 及y＝1 所围的闭区域.
解. D 按X型解
b
dx
2 (x) f (x, y) dy
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
a
1( x)
c
1(y)
二重积分计算法
解 (1)先去掉绝对值符号 如图 先去掉绝对值符号,如图 先去掉绝对值符号
y
y =x2
∫∫ D
D 1 1
先对y积分简单 先对 积分简单 y x2 dσ
1
2
1
D D2 D1 D2
O
1 1
+ ∫∫ ( x2 y)dσ = ∫∫ ( y x )dσ
D2
1 2
1 x2
x
= ∫ dx ∫ 2 ( y x )dy + ∫ dx ∫
∫0 dx ∫0
a
a
a
x
f ( y )dy = ∫ dy ∫ f ( y )dx
0 y
a
a
(a , a )
= ∫ f ( y ) x dy = ∫ (a y ) f ( y )dy 0
a y
0
a
O
a
x
= ∫ (a x ) f ( x )dx
0
证毕. 证毕
计算二重积分
D = {( x , y ) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}. 解 设D1 = {( x , y ) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x},
r = (θ) θ
(1,1)
1
1
y= x
x
y
∫0
1
dx ∫ sin y 2dy
x
1
(1,1)
= ∫0 dy∫0 sin y dx
2
1
y
y= x
= ∫ (sin y ) x dy
2
1
y
x D : 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y
o
= ∫ y sin y 2dy
0
0 1
9.2二重积分的计算(直角)
D: y ≤ x ≤ 2
2 y=x y 1
o
1 x 2x
2 2 I =∫1 d y ∫ x yd x= ∫1 y 2
[
1 2
2 x y ] dy y
2
= ∫ [ 2y −
2 1
1 2
y ]dy
3
9 = 8
例2. 计算
∫∫
D
x ydσ , 其中 是抛物线 y = x 及直线 其中D
2
所围成的闭区域. y = x − 2 所围成的闭区域 为计算简便,看成 型区域, 看成Y型区域 解: 为计算简便 看成 型区域 则
0
2
x2 2 0
2 2
2
dx∫
8− x2
0
f ( x, y)dy
y
x2 + y 2 = 8
D2
积分域由两部分组成: 解: 积分域由两部分组成
0≤ x ≤ 2 2≤ x ≤ 2 2 D : , D2 : 1 2 1 2 0≤ y ≤ 2 x 0 ≤ y ≤ 8 − x
视为Y–型区域 将D = D1 + D2 视为 型区域 , 则 0≤ y ≤ 2 D : 2 y ≤ x ≤ 8 − y2 2 I = ∫∫ f ( x, y)d xd y= ∫ dy∫
先对x 后对y的累次积分
D c ≤ y ≤ d ψ 1( y) ≤ x ≤ψ2( y)
按 , 在计算中括号中定积分 时 , 积分变量为 x , 而将 y 暂时固定 .
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 由曲顶柱体体积的计算可知 若D为 X – 型区域 为 a≤ x≤b D: ϕ1( x) ≤ y ≤ ϕ2( x) 则
直角坐标系下的二重积分的计算
Dx
所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 :
y yx
D
:
0 0
y x
x
D x o x
D
sin x
x
d
xd
y
0
sin x
x
dx
x
0 d
y
0 sin x dx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 17
备用题. 交换下列积分顺序
2
2
dx
1
x xyd y 1
2 1
1 2
xy2
x
1
d
x
2 y
yx
1
2
1
1 2
x3
1 2
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
D
:
y 1
x y
2 2
o
1 x 2x
I
2
dy
1
y2xyd x
2
1
1 2
x2
y
2d y
y
2 1
2
y
1 2
y3
dy 9 8
15
例9. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
3
y
4
y 4x x2
y x2
x
o2
11
例5.
化二重积分 D f (x, y)dxdy
y
为二次积分(两种积分次序)。
1 x 1y 1
(1) D {(x, y) | x 1, y 1}
D
1 o
1x
解：法1. 将D看作X–型区域,
第九章第2节二重积分的计算(1)
y + dy y ∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dxdy
D D
dσ
D
x
o
x x + dx
1
x
直角坐标系下的计算公式
a 如果积分区域为： 如果积分区域为： ≤ x ≤ b, ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ).
y = ϕ2 ( x )
y = ϕ2 ( x )
ϕ1 ( x )
f ( x , y )dy
4
如果积分区域为： 如果积分区域为：
c ≤ y ≤ d , ϕ 1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y ).
d
d
x = ϕ1 ( y )
D
x = ϕ2 ( y)
x = ϕ1 ( y )
D
c
c
x = ϕ2 ( y)
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫
π
例4. 求 ∫∫ x e
D
2 − y2
dxdy ，其中 D 是以(0,0), (1,1),
(0,1)为顶点的三角形.
解 Q∫ e
− y2
dy 无法用初等函数表示
∴ 积分时必须考虑次序
∫∫ x e
D
2 − y2
dxdy = ∫ dy ∫ x e
0 0
1
y
2 − y2
dx
=∫ e
0
1
− y2
y ⋅ dy = − 3
2 2 2
2
2
2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为
R
o x
R2 −x2
x2 + y2 = R2
z = R2 − x2 0 ≤ y ≤ R2 − x2 (x, y) ∈D: 0 ≤ x ≤ R
二重积分的计算方法
x2
11 ( x y )dy dx 2 ( y x )dy . 1 x 15
1 0
x 1
e
t 2
1 dt , 求0 f ( x )dx.
1 解(一)： f ( x )dx [ xf ( x )] 0 xf ( x )dx 1 0
f (1) xe
1 0
x2
dx [ 1 e x ]1 1 (e 1 1). 0 2 2
2
解(二) I ( e dt )dx
1 x 0 1
t 2
t
2 t t 0
( e dt )dx dt e dx
1 0 1 x
1 0
t 2
1 t 2 e tdt 0
1 1 (e 1). 2
练习设 f ( x ) 在[0,1] 上连续，并设 f ( x )dx A ，
1 0
求 dx f ( x ) f ( y )dy .
解
2a
y 2ax
y 2ax x 2 x a a 2 y 2
a
2a
a
原式 = dy 2 y 0
a
a a2 y2
f ( x , y )dx
2a 2a
0 dy a
a
2a
2a
a y
2 2
f ( x , y )dx a dyy 2 f ( x , y)dx.
x
f ( x )dx f ( y )dy,
0
故2 I
f ( x )dx
1 0
1
x
f ( y )dy f ( x )dx f ( y )dy
二重积分计算技巧总结
4 2 首先 O 在区域内，所以 r 0 ，然后过 O 作射线，射线与 y 1 相交，就将参数方程代入被
O 与区域内点的连线的张角范围为 : 交的曲线得到 r sin 1 r
1 1 ，于是 D : ;0 r sin 4 2 sin
y2 y u u ,v 则 x 2 , y . v v x x
1 v2 J 1 v
2u u v3 4 u v 2 v
于是原区域 D 变换成新区域 D m, n , ，这样原来不规则的区域变成了矩形区域， 方便积分。 面积 S
1dxdy 1 J dudv
1 1 1 (u v) , y (v u ) ，则 J= 2 2 2 D 的边界一一对应得到新区域 D ： 1 x 0 u v 0 u v 2 1 y 0 v u 0 u v 2 x
x y 1
1 1 u v v u 1 v 1 2 2
D D
dv n (n 2 m 2 )( 3 3 ) u d u v 4 m 6 3 3
（2）极坐标下的二重积分 极坐标代换法基本格式为：
x r cos y r sin
被积函数 f x, y 化为 f r cos , r sin r ， 接下来重要的是讨论 r , 的范围。 其中 r , 的 范围由于积分次序的不同而不同。 若积分次序为先 r 后 ，则对应方法为“张角 射线” ，其中确定张角的方法为，原点与区 域内点的连线的最小、最大夹角；作射线确定 r 的范围：过原点 O 作射线，把先后与所作 射线相交的边界线化成 r r 的形式，就确定出 r 的范围。 比如：求 f x, y dxdy ，其中 D 的范围如图：
二重积分的计算
b | x dx
dx
1 b (b − t )n f ( t )dt = ∫a n
关于对称性的定理 （关于 x 轴、y 轴、 设 D1 , D2 是对称的两部分. 原点、 或某直线）. (1) 若 f ( x , y ) 在对称点的值相等， 则 ∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ
y
x = −1
y=x
1
D
y 1 + x 2 − y 2 dσ ∫∫
D
= ∫ dx ∫ y 1 + x 2 − y 2 dy
−1
1
x
−1
x o 1
y =1
x
= ∫ dx ∫ y 1 + x − y dy −1
2 2
1
1
x
= = = =
1 1 2 2 dx ∫ 1 + x − y (− ) d (1 + x 2 − y 2 ) ∫− 1 x 2 1 1 dx ∫ 1 1 + x 2 − y 2 d (1 + x 2 − y 2 ) (− ) ∫ x 2 −1 3 1 1 2 2 2 2 1 (− ) ∫ (1 + x − y ) | dx 2 −1 3 x 1 2 1 3 (− ) ∫−1 (| x | −1) dx 2 3
D2 D1
(2) 若 f ( x , y ) 在对称点的值相反， 则 ∫∫ f ( x , y )dσ = − ∫∫ f ( x , y )dσ
D2 D1
D : x 2 + y 2 ≤ R 2 , ( R > 0) 例6 设 ( 2) ∫∫ x | y | dσ 求 (1) ∫∫ | xy | dσ
直角坐标系下二重积分的计算方法
直角坐标系下二重积分的计算方法
对于以x为积分变量的积分，可以将 y 的范围表示为一个关于x 的区间，然后将积分区域分解为若干个以 x 为底的小矩形，再分别计算每个小矩形的面积并相加即可。
同理，以 y 为积分变量的积分也可以采用类似的方法。
2. 换元法。
当二重积分区域非常复杂时，可以采用换元法将其变换为一个简单的区域，然后再进行计算。
常见的换元法包括极坐标变换、平面直角坐标系与极坐标系的互换、以及三角函数的代换等。
3. 分部积分法。
对于一些复杂的积分被积函数，可以采用分部积分法将其拆分为两个部分，再进行计算。
例如，对于二元函数 f(x,y) 和 g(x,y)，可以采用以下公式进行分部积分：
f(x,y)g(x,y)dxdy = f(x,y)dg(x,y)dxdy + g(x,y)df(x,y)dxdy 4. 对称性。
当二重积分区域具有某种对称性时，可以利用对称性简化计算，例如，如果积分区域关于 x 轴对称，则可以将积分化为两个以 x 轴为对称轴的积分的和。
总之，直角坐标系下二重积分的计算方法多种多样，需要根据具体情况进行选择和运用。
- 1 -。
直角坐标系下二重积分的计算方法和例题
所围成.
解 D 又是 Y-型区域.
2 yx
1
xyd
=
22
1 [y
xydx]dy
D
=
2
[
1
y
x2 2
]2y
dy
=
2
(2y
1
y3 )dy = 9 . 28
例 y 1 x2 y 2 d ,其中 D 由直线 y =1, x =－1,
D
y = x 所围成.
解
D 既是 X-型区域，又是 Y-型区域.
例 y 1 x2 y 2 d ,其中 D 由直线 y =1, x =－1,
D
y = x 所围成.
解 根据被积函数的特点，视 D 为 X-型区域：
y
1 x2 y2 d
1
1
dx y
1 x2 y2 dy
1
x
D
= 1 3
1
(1
x2
3
y2)2
1
dx
1
x
=1 3
1 ( x 3 1)dx = 1
D
解 y x2 dxdy
D
= 2 y x2 dxdy + 2 y x2 dxdy
D1
D3
1
x2
=2 dx
x2 ydy +2
1
dx
2
y x2 dy
0
0
0
x2
=2
[
0
2 3
(x2
y ) 3 2 ]0x2
dx
+2
1
[
0
2 3
(
y
x2
3
)2
]2 x2
二重积分的计算
由给定的积分限可知积分区域D的范围为
0 ≤ y ≤1(外层积分限所确定 ), y ≤ x ≤1(内层积分限所确定 ).
1,2 在y轴上的积分区间为 2
1 当 ≤ y ≤1 时,平行于x轴的直线与区域D相交时, 2 1 沿x轴正方向看,入口曲线为x = ,出口曲线为x=2. y
当1 ≤ y ≤ 2时,平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看,口曲线为x=y,出口曲线为x=2.
2 2 x2 1 2x 2 2x ∴∫∫ 2 dxdy = ∫1 dy∫1 2 dx + ∫1 dy∫y 2 dx y 2 y y D y
=∫
2 6x x2 0
[
3yx
]
y 3(1 ) 2 dy 0
=∫
2 9(1 y + 0
y )dy = 6 , 4
这个结果与我们熟知的四面体的体积 1 1 1 V = 底×高= × 2×3 × 6 = 6 3 3 2 是一致的.
y 例2 计算积分∫∫ 2 dxdy,其中D是正方形区域: Dx
2 2 D
2 1 π 2 = ∫02 [sin( xy )] 0 dx 2 1 π = ∫02 sin 4xdx 2 = 0.
π 2 0
x2 1 例6 计算 ∫∫ 2 dxdy,其中D由不等式 y ≤ x,≤ xy Dy 及 x ≤ 2所确定.
解法1 化为先对y积分后对x积分的二次积分. 作平行于y轴的直线与区域D相交,沿y轴正方 向看,入口曲线为 y = 1 ,出口曲线为y=x, y=x x 因此
因此
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫
D d
d S( y)dy c
= ∫c ∫x ( y) f (x, y)dx dy
二重积分与三重积分的计算方法
二重积分与三重积分的计算方法二重积分是求解平面上一块区域上的一些函数的积分，而三重积分是求解空间中一个区域上的一些函数的积分。
二重积分的计算方法包括直角坐标系下的直角坐标法和极坐标法，而三重积分的计算方法则包括直角坐标系下的直角坐标法和柱坐标法、球坐标法。
一、二重积分的计算方法：1.直角坐标法：设区域D在xoy平面上，函数f(x, y)在D上有定义且连续，直角坐标法的二重积分计算公式为：∬f(x, y)dσ = ∫∫f(x, y)dxdy其中积分区域D的边界可以由不等式关系来描述。
2.极坐标法：当函数f(x,y)在此区域上具有简单的表示形式f(r,θ)时，采用极坐标法可以简化计算。
极坐标法的二重积分计算公式为：∬f(x, y)dσ = ∫∫f(rcosθ, rsinθ)rdrdθ其中积分区域D的边界可以由不等式关系来描述。
二、三重积分的计算方法：1.直角坐标法：设区域V在xyz空间中，函数f(x, y, z)在V上有定义且连续，直角坐标法的三重积分计算公式为：∭f(x, y, z)dV = ∫∫∫f(x, y, z)dxdydz其中积分区域V的边界可以由不等式关系来描述。
2.柱坐标法：当函数f(x,y,z)在此区域上具有简单的表示形式f(ρ,θ,z)时，采用柱坐标法可以简化计算。
柱坐标法的三重积分计算公式为：∭f(x, y, z)dV = ∫∫∫f(ρcosθ, ρsinθ, z)ρdρdθdz其中积分区域V的边界可以由不等式关系来描述。
3.球坐标法：当函数f(x,y,z)在此区域上具有简单的表示形式f(ρ,θ,φ)时，采用球坐标法可以简化计算。
球坐标法的三重积分计算公式为：∭f(x, y, z)dV = ∫∫∫f(ρsinφcosθ, ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ²sinφdρdθdφ其中积分区域V的边界可以由不等式关系来描述。
以上是二重积分和三重积分的计算方法的基本原理和公式，具体应用中还需要根据具体的题目和区域形状选择合适的计算方法。
直角坐标系下二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下，二重积分是对一个平面区域上的函数进行积分。
它的计算可以通过几何方法或者代数方法来进行，下面我们将介绍二重积分的计算方法以及一些相关的概念和定理。
一、二重积分的概念1.二重积分的定义设函数f(x, y)在平面区域D上有界，D在xOy平面上的投影为Ω，若Ω上有限个点构成的网格P={ (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn) }，其中每个小区域ΔS1,ΔS2,...,ΔSn（ΔSk的形状和大小可以不一样）,则每个ΔS_k上取点(xi_k)Σf(xi_k, yi_k)ΔS_k,称为这些和的极限Σf(xi_k, yi_k)ΔS_k,当格数无穷，网格直径趋于0时，如果此极限存在，则称此极限为平面区域D上函数f(x, y)的二重积分，记为∬D f(x, y)dxdy。
2.二重积分的几何意义从几何意义上理解，二重积分可以表示在平面区域D上函数f(x, y)的值在x轴与y轴所确定的平面区域上的总体积。
通过对平面区域上的小区域求和得到总体积。
3.二重积分的代数意义从代数意义上理解，二重积分可以将一个平面区域上的函数表示为两个单变量函数的积分，即先对y进行积分，再对x进行积分。
这种方法可以简化对复杂函数的积分运算。
二、计算二重积分的方法1.直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过对x或y进行积分，然后再对另一个变量进行积分来进行。
具体而言，对于函数f(x, y)，可以先对y进行积分，再对x进行积分，或者先对x进行积分，再对y 进行积分。
这种计算方法又称为换序积分。
2.计算中间量的选择在进行二重积分计算时，为了简化计算，可以选择合适的中间量来进行变量替换。
例如，可以选择极坐标中的r和θ来替代x和y，从而简化计算过程。
3.区域的划分在计算二重积分时，需要将平面区域D划分为若干小区域，然后对每个小区域进行积分。
可以选择直线或者曲线来进行划分，也可以选择矩形或者圆形等形状的小区域来进行划分。
二重积分在直角坐标系下的计算
x.
y
3 x 3 y
x 2y
1D
x
O2
2y
3
3 y
0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx
2
3 x
0 dx1 x f ( x, y)dy.
2
例
改变积分
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
解
D : 2ax x2 y 2ax
0 x 2a
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx .
00
例 改变积分
y 1 x
y2 x y 2x x2
1
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
0
0
1
0
D1 : 0 y 2x x2 , D2 : 0 y 2 x, 0 x 1,
0 x 1, y 2x x2 , ( x 1)2 y2 1
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
例 求I 1dx 1ey 2dy .
0
x
解 ： 由 于 函 数e y2的 原 函 数 不 是 初 等 函 数， 所 以 这 个
二次积分无法直接积出. 注意到二重积分可以有两种
的直线与区域边界的交点不多于两个.
2） Y型区域
积分区域表示为：
c y d, 1( y) x 2( y).
的区域，称为Y型
二重积分的计算法直角坐标
二重积分的计算法直角坐标二重积分是微积分中的重要概念，用来计算平面区域上的其中一种性质，比如面积、质心等。
在直角坐标系中，二重积分的计算需要将被积函数表示成两个变量的函数，并确定积分区域的边界。
下面将介绍二重积分的计算方法及其应用。
一、二重积分的定义二重积分是对一个平面区域上的函数进行积分，其定义如下：设函数$f(x,y)$在有界闭区域$D$上有定义，且$D$为$x$轴上$[a,b]$的一个闭区间，$y$轴上$[c,d]$的一个闭区间，将$D$划分为有限个小区域，每个小区域用$(\Delta x_i,\Delta y_j)$表示，其中$i=1,2,...,m$，$j=1,2,...,n$，则二重积分$\iint_D f(x,y)dxdy$定义为：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(x_{ij}^*,y{j}^*)\Delta A_{ij}$$其中$x_{ij}^*,y_{ij}^*$为$(x,y)$在第$i$行第$j$列小区域内的任意一点，$\Delta A_{ij}=\Delta x_i\Delta y_j$为第$i$行第$j$列小区域的面积，$\lambda$为小区域的最大直径，$\lambda=\max\{\Deltax_1,\Delta x_2,...,\Delta x_m,\Delta y_1,\Delta y_2,...,\Delta y_n\}$。
二、二重积分的计算在直角坐标系中，二重积分的计算分为三种情况：换序积分、累次积分和极坐标积分。
下面将依次介绍这三种情况的计算方法。
1.换序积分当被积函数是可分离变量的函数时，可以进行换序积分。
换序积分可以简化计算过程。
设函数$f(x,y)=g(x)h(y)$，则有：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_a^bg(x)dx\int_c^dh(y)dy$$也可以先对$y$积分再对$x$积分，即：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_c^dh(y)dy\int_a^bg(x)dx$$2.累次积分对于一般的被积函数，可以通过累次积分的方法进行计算。
直角坐标系下二重积分计算的四种方法
直角坐标系下二重积分计算的四种方法
直角坐标系下二重积分是数学分析中的一个重要概念，它在计算物理量、求解微分方程等方面有着广泛的应用。
在计算二重积分时，我们可以采用以下四种方法：
1. 矩形法：将积分区域划分为若干个矩形，然后在每个矩形内
求出对应的积分值，最后将这些积分值相加即可得到二重积分的值。
2. 改变积分次序：将二重积分中的积分顺序改变，然后利用Fubini 定理将其化为两次一重积分，最后再分别求解两次一重积分，最终得到二重积分的值。
3. 极坐标变换法：将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系
下的二重积分，然后再利用极坐标下的积分公式进行计算。
4. 牛顿-莱布尼茨公式：利用牛顿-莱布尼茨公式，将原函数在
积分区域的两个端点处的函数值相减，即可得到二重积分的值。
这四种方法各有优劣，具体使用哪种方法取决于积分区域的形状、积分被积函数的特点等因素。
熟练掌握这些方法，有助于提高二重积分计算的效率和准确度。
- 1 -。
2 二重积分的计算(直角坐标)
D
f ( x , y )d xdy
z=f (x,y)
D: (y) x (y) cyd
Q( y ) =
ψ( y )
φ( y)
d
f ( x, y )dx
0
c
y
x=(y)
d
y
I=
d c
.
.
c
Q( y )dy
dy
ψ( y )
φ ( y)
f ( x, y )dx
D
x
x=(y)
Q( y ) =
d c
b
a
f ( x , y )dx
0
I Q( y)dy
c
y
d
y
a
Q( y )
.
b
x
.
D
问题：Q( y)是什么图形？ 是曲边梯形。
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二重积分的计算 (D是矩形区域 z )
I
f ( x , y )d xdy
D
z=f (x,y)
D是矩形区域 [a,b ; c,d] Q( y ) =
2
y x2
4 x
y2 2 1 2 x y d y 2 y 1 2
1
y
xy d x
1 2 [ y ( y 2) 2 y 5 ] d y 2 1
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结束
sin x 例3. 计算 d xd y, 其中D 是直线 D x 所围成的闭区域. y yx 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, x D 因此取D 为X – 型域 : x o 0 y x D: 0 x sin x x sin x d xd y dx d y D x 0 x 0
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4
x x−2
xydy
计算比较麻烦! 计算比较麻烦
例3 求
I = ∫∫ y 1 + x − y dσ ,
2 2 D
D : y = x , x = −1, y = 1所围.
解 D既可看作 型也可 型 既可看作X型也可 既可看作 型也可Y 若X型 D : x ≤ y ≤ 1, −1 ≤ x ≤ 1 型
1
2
2− x
0
f ( x, y)dy
= ∫ dy ∫
0
1
2− y
y
y
f ( x, y)dx .
y = 2− x x = y y x 2
x =1
1
(1,1)
y
o
D DD2 1 1
x = 2− y
2x
例6 求两个底面半径相同的直交圆柱所围 立体的体积. 立体的体积 解 设圆柱底面半径为 R. 两个圆柱面方程 分别为 x2 + y2 = R2 , x2 + z2 = R2 . 利用对称性, 只需求出 利用对称性 第一卦限部分的体积 V1 , 乘以8即可 乘以 即可. 即可
V = ∫ A ( x )dx
b
A( x)
y
=∫
a b
y = ϕ1 ( x )
O
a
ϕ 2 ( x ) f ( x , y ) dy dx ∫ϕ1 ( x )
b
a x
b
x
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx∫ϕ
a D
ϕ2 ( x )
1 ( x)
f ( x, y)dy (先对y后x积分 )
4
6
若把D看作 型域 由于在[0,1]和[1,4]上 若把 看作X型域 由于在 看作 型域, 和 上 下边界的表达式不同，所以要用直线 下边界的表达式不同，所以要用直线 x=1 将D分成两个区域 D1和D2 . 分成两个区域 它们分别用以下不等式表示： 它们分别用以下不等式表示：
D1 : − x ≤ y ≤ x,0 ≤ x ≤ 1
2
2
D1 : 1 ≤ x ≤ y , 1 ≤ y ≤ 2
y D2 : ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 4 2
4
D2 D D 1
y x= y = 2x 2
2 1
O
y=x x= y
x
1
2
(2) ∫ dx ∫ f ( x, y)dy + dx ∫ ∫ 0 0
1
1
x
2
2− x
0
f ( x, y)dy.
解 积分区域为 D = D + D2 . 1
D : ϕ1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ) , a ≤ x ≤ b.
型区域): 若D(X型区域 ϕ1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ) , a ≤ x ≤ b 型区域
则∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫ dx ∫
a D b
ϕ2 ( x )
ϕ1 ( x )
f ( x , y )dy
不是X型 或 型 区域 则将D分为几个 区域,则将 若D不是 型(或Y型)区域 则将 分为几个 不是 区域，使它们为 型 或 型 几个区域上的 区域，使它们为X型(或Y型),几个区域上的 积分之和就是所给二重积分的值 积分之和就是所给二重积分的值. 就是所给二重积分的值
D = D1 + D2 +D3
D: 1
0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ y ≤ x;
0 ≤ y ≤ 2 − x.
D2 : 1 ≤ x ≤ 2,
y y = 2− x y=x 2 x =1 x = 2 x = 0 (1,1)
o
D D2 1 y = 0 1 y = 02 x
若改为先对 x 后对 y 积分,
∫ dx ∫
0
1
x
0
f ( x, y)dy +∫ dx∫
y
D3
D1
由区域可加性，得 由区域可加性，
∫∫ f ( x, y)dσ
D
D2
= ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x , y )dσ
D1 D2 D3
o
x
例1 计算
∫∫ xydσ
D
其中D是由直线 其中 是由直线 y=1,
x=2 及 y=x 所围区域 所围区域. 解法1 看成X型域 解法 把D看成 型域 则 看成 型域,则 D : 1 ≤ y ≤ x ,1 ≤ x ≤ 2,
D
y = ϕ1 ( x)
y = ϕ1 ( x )
D
o a
b x
a o
bx
特点：穿过 内部且平行于 轴的直线、 内部且平行于y轴的直线 特点：穿过D内部且平行于 轴的直线、 的边界相交不多于两点. 与D的边界相交不多于两点 的边界相交不多于两点
2.Y-型区域 D :ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ) , c ≤ y ≤ d 型区域
∫∫ xydσ = ∫1 dy ∫ y xydx
D
2
2
y
y = ∫ (2 y − )dy 1 2 4 y 2 9 2 = [ y − ]1 = 8 8
2
x 2 = ∫ [ y ⋅ ] y dy 1 23
2
2
2 y=x y 1
o
1
2x
例2 计算
2
∫∫ xydσ
D
，其中D是由抛物线 其中 是由抛物线
y = x 及直线 y = x − 2 所围成的区域 所围成的区域.
D
z
A( x)
设D : ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ) , a≤ x≤b 利用平行截面面积已知, 利用平行截面面积已知, 求立体体积的方法: 求立体体积的方法:
o
z
ϕ1 ( x ) ϕ 2 ( x ) y
z = f ( x, y)
y = ϕ2 ( x)
取 x ∈ [ a , b ]， 有曲边梯形, 则 由定积分的几何意义面积y
(先y后x积分)
型区域): 若D为(Y型区域 ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ) , c ≤ y ≤ d 为 型区域
则 ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dy ∫
c D
d
ψ2 ( y)
ψ1 ( y )
f ( x, y)dx
( 先对x后y积分 )
求二重积分的方法： 求二重积分的方法： 将二重积分化为两个定积分（二次积分） 将二重积分化为两个定积分（二次积分）
D
2
2
−1
dy ∫
y+2 y
2
xydx
2 2
x y+2 = ∫ dy ∫ 2 xydx = ∫ [ y ⋅ ] y 2 dy y −1 −1 2 2 2 5 = ∫ ( y( y + 2) − y )dy
−1
y+2
1 y 4 3 y 2 2 = [ + y + 2 y − ]−1 2 4 3 6
5 =5 8
y
2 y=x 1
∫∫ xydσ = ∫ dx ∫ xydy y x = ∫ [ x ⋅ ] dx = ∫ ( 2 2
D
2
2
x
1 2
1
o
x − )dx 2
1 x2x
1
x 1
2
3
1
x x 2 9 = [ − ]1 = 8 4 8
4
2
解法2 看成Y型域 解法 把D看成 型域，则 看成 型域，
D : y ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤ 2,
A( x) = ∫
ϕ2 ( x ) ϕ1 ( x )
A( x)
f ( x , y ) dy
O
D
y = ϕ1 ( x )
a x
b
x
A( x) = ∫
ϕ2 ( x )
ϕ1 ( x )
f ( x , y ) dy
z
z = f ( x, y)
y = ϕ2 ( x)
利用已知平行截面面积 求立体体积的方法: 求立体体积的方法:
第二节 二重积分的计算法(1)
一、利用直角坐标计算二重积分
一、利用直角坐标计算二重积分 二重积分的几何意义: 二重积分的几何意义
∫∫
D
f ( x , y )dσ 等于以曲面 等于以曲面
z
f ( x, y )
作为顶、 z = f ( x , y ) ≥ 0 作为顶、 该曲面向xoy面的 D作为底， 作为底， 作为底 该曲面向 面的 投影柱面作为侧面的 曲顶柱体的体积 曲顶柱体的体积. 的体积
即D由四条直线 由四条直线 所围成的区域. 所围成的区域
1 2
x
y = x, y = 2x, x = 1, x = 2
若改为先对x后对 积分 若改为先对 后对y积分 后对 积分,
∫
2
1
dx∫
4
2x
x
f ( x, y)dy = ∫ dy∫ f ( x, y)dx
1 1
2
y
+∫ dy ∫ y f ( x, y)dx . y 2
y
d
x = ψ 1 ( y)
y
d
x = ψ 2 ( y)
D
x =ψ1( y)
D
c
O
c
x
O
x =ψ2( y)
x 特点：穿过D内部且平行于 轴的直线、 内部且平行于x轴的直线 特点：穿过 内部且平行于 轴的直线、
的边界相交不多于两点. 与D的边界相交不多于两点 的边界相交不多于两点