1.3_冲激函数

26
课堂练习题
对于如图所示信号f (t)，为以下各式作图：
f (t )
2
(3) fe(t) (它的偶部) (4) fo(t) (它的奇部)
2 2
0
2
t
f e (t )
1
f o (t )
2 1 2 2
2
f1 (t )
2
1
1(1)
(t ) ( )d

t
f1(t )
(1)
1
1
1
0
1
2
t
1
2
2
t
(3)
第一章第2讲
2
冲激函数的性质

延迟的冲激函数
(t ) (1)
(t t0 ) (1)
(t t0 )
(1)
0
t
0
t0
t
t0
0
t
乘积性质 f (t ) (t ) f (0) (t ); f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 ) 抽样性质
0
1
2
t

信号的折叠（反折）
f (t+t0)将 f (t) 超前 f (t ) f (f (t) t ) 延迟 f (t-t0)将 时间 t0 ；即将 f (t) 时间 t0 ；即将 f (t) 1 的波形向左移动 t0 。 的波形向右移动 t0 。
0
1
t
1
0
t
12
第一章第2讲
信号的平移与折叠
1
方法二： 0 0 1 f t(2t+2)反折 f (-2t+2)] .5 压缩 平移 f (t+2)
1
平移
2
t
另外应该还有三种方法，
0.5 0
t
2
方法三： f (t 方法一： 2) 压缩 f (2t) f (-2t)平移 f [-2(t-1)] 压缩 f (2t) 反折 1 f (2t 2) 平移 f [2(t+1)] 反折 f (-2t+2)
f e (t )
1
f (t )
1
f 0 (t )
0
t
0
t
0
t
0
t
f (t )
1
1 2
f e (t )
1 2
f 0 (t )
0
t
0
t
0
t
第一章第2讲
22
例 1.18
f (t )
1
f e (t )
12
0
t
0
t
f (t )
1 f 0 (t ) [ f (t ) f (t )] 2
0 0
1
f 0 (t )
f (t )
1
0
f (2t )
压缩
1
0
1
2
t
0.5 1
2
t

0<a <1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴扩展至原来的1/a
f (t )
1
0
f (1 2 t)
扩展
1
0
第一章第2讲
1
2
t
2
4
t
15
信号变换综合应用
f (2t ) f (t )
1
0
由 f (t)绘出 f (-2t+2)
f (2t )
0
1
t
0
2
(4)
t
第一章第2讲
25
课堂练习题
对于如图所示信号f (t)，为以下各式作图：
(1) f1 (t ) f (2t 2)
(2) f 2 (t ) f (2 2t )
2
f (t )
2
0
2
2
t
f (2t 2)
2 2
f (2 2t )
0
2
1 2
t
0
2
1 2
t
第一章第2讲

信号的导数与积分
f (t )
f (t )
(1)
f ( 1) (t )
1
1
0
1
0 0
t
1
t
(1)
1
t
问题 1: 能否画出二阶导数和二重积分的波形? 问题 2: 能否写出它们的表达式?
第一章第2讲
11
信号的平移与折叠

信号的平移
f (t )
1
0
f (t 1)
1
f (t 1)
1
1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
t
1
0
t
根据此式可求出偶分量
1 1 [ f (t ) f (t )] [ f (t ) f (t )] 2 2
根据此式可求出奇分量
第一章第2讲 21
例 1.17
1 f e (t ) [ f (t ) f (t )], 2
f (t )
1
1 f 0 (t ) [ f (t ) f (t )] 2

折叠信号的平移
f (t )
1
0
f (-t-1)= f [-(t+1)]将 已知 ff(t) 求 f (-t-1) (-t) 的波形向左移动 1。
f (t ) f (t 1)
平移
反折
1
平移
t
1
0
t
2
1
0
t
f (t 1)
1
0
反折
1
2
t
13
第一章第2讲
信号的平移与折叠

折叠信号的平移
1
平移
2
t
平移
0.5 0
t
2
方法六： f (t 2) 反折 f (-t) 方法四： 1 (t 2) 平移f f(-t) [-(t-2)] f (-2t)f平移 反折 压缩 f [-2(t-1)] 1 压缩 f (-2t+2)
1
0
t
0
1
2
t
17
第一章第2讲
1
0
平移
f (2t 2)

t
( )d (t )
( B) (t t0 ) (t0 t )
第一章第2讲 7
例 1.10

计算下列各式。
f (t ) e 2 t (2t 4)
解:
f (t ) e 2 t (2t 4) e 2 t (2t 4) 2 t 4 0.5 e (t 2) 0.5 e (t 2)
第一章第2讲
24
课堂练习题
已知信号 f (t ) 2 t (t ) 2(t 2) (t 2) 4 (t 3) 画出 f (t ), f (t ) (t 的波形。 1), f (t )
f (t )
4
( 2)
f (t ) (t 1)
2
f (t )
3
0
2
3
t



f (t0 ) (t )dt f (t0 )
6
第一章第2讲
举 例 2
下列各表达式中错误的是______ B 。
( A) (t ) (t )
( B) (t t0 ) (t0 t )
(C )


(t )dt 0
( D)
I 1 cos( 2 t ) (2t 1)dt
4 2
解:
I1 cos( 2 t )[0.5 (t 0.5)]dt
4
2
0.5 cos( 2 t )
t 0.5
0.5
第一章第2讲 8
1.4 信号的运算

信号的相加与相乘
f1 (t )
1
0
f 2 (t )
任何偶函数的导数为奇函数。
第一章第2讲 5
举 例 1
下列各表达式中错误的是______ C 。
( A) ( B) (C ) ( D) (C )


f (t ) (t )dt f (0) f (t ) (t t0 )dt f (t0 ) f (t t0 ) (t )dt f (t0 ) f (t t0 ) (t t0 )dt f (0) f (t t0 ) (t )dt
1
1
t
0
1
t
f1 (t ) f 2 (t )
2
f1 (t ) f 2 (t )
1
1
0
1
t
0
1
t
9
第一章第2讲
1.4 信号的运算

信号相加
f1 (t ) f 2 (t )
1 2
f1 (t )
1 2
1
0
1
1
2
t
0
1
2
t
f 2 (t )
1
2
0
1
2
t
第一章第2讲
10
1.4 信号的运算
1
0
平移 请同学们自己思考绘出图形。
1
0
t
0.5 0
第一章第2讲
t
16
1
平移
f (2t 2)
0.5 1
t
-1
信号变换综合应用
f (t )
1
0
由 f (t)绘出 f (-2t+2)
f (2t )
f (t )
1
方法五： 1反折 f 2 (t+2) 平移 t (-t+2)压缩 f (-2t+2) 0 f
1.3 冲激函数

冲激函数的定义
0, (t ) ,

1
t0 t0
p(t )


( )d 1

1
1
(t )
(1)

2

2
0 2
2 2

2
t
0
t
第一章第2讲
1
例1.9 阶跃函数和冲激函数的关系
d (t ) (t ) dt
信号分解为偶分量与奇分量
偶分量的定义为 ： f e (t ) f e (t ) 奇分量的定义为 ： f 0 (t ) f 0 (t ) 1 任何信号总可写成： f (t ) [ f (t ) f (t ) f (t ) f (t )] 2
f e (t ) f 0 (t ) 1 1 即： f e (t ) [ f (t ) f (t )], f 0 (t ) [ f (t ) f (t )] 2 2
这里 a 和 t0为常数，且a0。

(t)的导数及其性质
d (t ) 定义： (t ) dt
0
(t )
(1)
t
称单位二次冲激函数或冲激偶。
第一章第2讲
4
冲激偶的性质

冲激偶的抽样性质



f (t ) (t )dt f (0)


f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
第一章第2讲
18
任意信号的冲激函数表示
先定义窄脉冲信号：
0
p(t )
1
f (t )
f (0)

lim p(t此式表明： ) (t )
面积为1

任意时间信号可分解为在
第０个脉冲函数：f (0) p(t )
不同时刻出现的具有不同
幅度的无穷多个冲激函数
的连续和。 k
f (t ) lim
0
f ( ) (t )d
19
k
信号分解为直流分量与交流分量之和

信号平均值即信号的直流分量。
直流分量
f (t )
1
f D (t )
0.5 0
t

T
0

T
t
f A (t )

交流分量
T
0.5
0
0.5
t T
第一章第2讲
20




f (t ) (t ) dt f (0) f (t ) (t t0 ) dt f (t0 )
是冲激函数的 严格的数学定义。
3
第一章第2讲
冲激函数的性质

单位冲激函数为偶函数
(t ) (t )

缩放性质
1 (at ) (t ) a
t0 1 (at t0 ) (t ) a a
f (t )
1
0
f (-t+1)= f [-(t-1)]将 已知 ff (t) 求 f (-t+1) (-t) 的波形向右移动 1。
f (t ) f (t 1)
平移
反折
1
t
1
0
t
0
1
t
f (t 1)
平移
1
1
反折
0
第一章第2讲
t
14
信号的尺度变换

a > 1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴压缩至原来的1/a
1
0.5 1
t
1.5 信号的时域分解

任意信号的冲激函数表示
任意时间信号可分解为在不同时刻出现的具有不同 强度的无穷多个冲激函数的连续和。

信号分解为直流分量与交流分量之和
一连续信号可以分解为直流分量与交流分量之和。
信号分解为偶分量与奇分量之和
任意时间信号可分解为偶分量与奇分量之和.
t
f (t )
t
1 12 f e (t ) [ f (t ) f (t )] 2
0
t
1
第一章第2讲 23
课堂练习题
计算下列各题。 (1) 4t 2 (2t 4) (4t 2 )(0.5) (t 2) 4(2) 2 (0.5) (t 2) 8 (t 2) (2) (3)


0
2 2
4t 2 (t 1)dt 0
因为(t+1)位于积分范围之外。
[(t 3) (2t 2) 8 cos(t ) (t 0.5)]dt
(2t 2) 0.5 (t 1), (t 3) (2t 2) 2 (t 1)
原式 2 [8 cos(t )] t 0.5 2 8 sin 0.5 2 8
2
0
2
t
f (k )
面积
0

k
t
第K个脉冲函数： f (k ) p(t k )
f (t )
f (k ) p(t k )
f (k ) p(t k )
第一章第2讲

当 0, 即 为d, 而 k 为 。
冲激偶的乘积性质
f (t ) (t ) f (0) (t ) f (0) (t ) f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )

冲激偶’(t)是 t 的奇函数 (t ) (t )