1.3_冲激函数
冲激函数作用
冲激函数作用
冲激函数是一种特殊的函数，它在除了原点以外的所有位置上的函数值都为零，而在原点处的函数值为无穷大。
冲激函数在物理学，工程学和数学中都有广泛的应用。
在物理学中，冲激函数可以用来描述瞬间的力或能量。
例如，当一个物体受到一个瞬间冲击时，可以用冲激函数来表示这个冲击的作用。
在工程学中，冲激函数可以用来描述信号的响应。
例如，当一个电路接收到一个突发的信号时，可以用冲激函数来表示这个信号的作用。
在数学中，冲激函数可以用来定义广义函数。
例如，冲激函数可以用来定义分布的导数和积分。
总之，冲激函数是一种非常重要的数学工具，它在物理学，工程学和数学中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和描述自然界中的各种现象。
- 1 -。
信号与系统1-2冲激函数课件
f (t) (t) dt f (0)
f (t) (t t0 ) dt f (t0 )
是冲激函数的 严格的数学定义。
2
冲激函数的性质
单位冲激函数为偶函数 (t) (t)
缩放性质
(at) 1 (t)
a
(at t0 )
1 a
(t t0 )
a
这里 a 和 t0为常数，且a0。
冲激偶的采样性质
f (t) (t)dt f (0)
f (t) (t t0 )dt f (t0 )
冲激偶’(t)是 t 的奇函数
(t) (t)
任何偶函数的导数为奇函数。
5
例1.8 阶跃函数和冲激函数的关系
(t) d (t)
dt
t
(t) ( )d
f1(t)
2 1
折叠信号的平移
已知 f (t)f求(-ft)f(的-(t--波1t-)1=形)f向[-(左t+移1)动]将1。
f (t)
反折 1
f (t)
平移
f (t 1)
0
1t
平移
1 0
f (t 1)
1
t
2 1 0 t
反折
0
12 t
12
信号的平移与折叠
折叠信号的平移
已知 f (t)f求(-ft)(f的-(t+-波t1+)形=1)向f [-右(t-移1)动]将1。
1.3 冲激函数
冲激函数的定义
(t)
0, ,
t0 t 0
( )d 1
1 p(t)
1
1
2
2
2
0
2
2
2
t
(t) (1)
《信号与系统》中冲激函数δ(t)的教学探讨
《信号与系统》中冲激函数δ(t)的教学探讨作者：陈光红来源：《电脑知识与技术》2011年第25期摘要：通过对冲激函数δ(t)的工程定义、性质及由其引起的冲激响应h(t)等的分析，举例说明了与冲激函数相关的知识点及在运用时需注意的问题，并用三种方法求解冲激响应。
关键词：冲激函数δ(t)；冲激响应h(t)；傅立叶变换；拉普拉斯变换中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1009-3044(2011)25-6264-02Teaching Discussion of Dirac Delta Function in Information and SystemCHEN Guang-hong(Department of Electronic Information Engineering, Suzhou Vocational University, Suzhou 215104, China)Abstract: Definition and property of Dirac delta function is analyzed. Impulse response caused by Dirac delta function is introduced. Some examples are used to explain the notice. Three methods are used to solve the impulse response.Key words: Dirac delta function; impulse response; Fourier transform; Laplace transform信号与系统是通信技术和电子信息技术专业的一门核心课程。
冲激函数δ(t)是信号与系统中的重要信号，此信号本身有采样性质、偶对称性质等，由其衍生出的卷积性质、冲激响应等都是信号与系统中的重要知识点。
信号与系统第二讲
若 H[C1 f1(t ) + C2 f2 (t )] = C1H[ f1(t )] + C2H[ f2 (t )] 是线性系统,否则是非线性系统 否则是非线性系统。 则系统 H[•]是线性系统 否则是非线性系统。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。
25
二．时变系统与时不变系统
∫
r (t ) r (t ) r (t )
r(t ) = ∫ e(t )dt
−∞
t
τ
T
r ( t ) = e( t −τ ) r ( t ) = e( t −T )
18
二．系统的定义和表示
系统：具有特定功能的总体， 系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换 处理器。 器、处理器。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统的表示： 系统的表示： 数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 系统图：形象地表示其功能。 系统图：形象地表示其功能。
5
1.3 信号的运算与变换
信号的代数运算 信号的微分与积分 信号的反褶 信号的时移 信号的尺度变换 信号的分解
6
1.3.1 信号的代数运算
信号的加减运算： f ( t ) = f 1 ( t ) ± f 2 ( t ) 注意要在对应的时间上进行加减运算。
1 t1 1 0 -1
7
0
t2 相加
t1
2 1 0 -1 t2
绪论
第一章 信号与系统概论
1.1 信号的描述与分类 1.2 基本典型信号 1.3 信号的运算与变换 1.4 系统
1
冲激函数的性质
延迟的冲激函数
冲激函数的特解范文
冲激函数的特解范文冲激函数是数学中的一种特殊函数，通常记为δ(t)，也称为Dirac函数。
它在数学分析和工程应用中非常有用，尤其在处理信号问题时。
冲激函数的特解即是求解线性时不变系统微分方程的一个方法，下面将详细介绍冲激函数的特解的基本原理和应用。
首先，我们来了解一下冲激函数的基本性质。
冲激函数δ(t)在t=0的时刻取无穷大，并且在其他时刻都为零。
在数学上，可以将冲激函数定义为满足以下两个性质的极限函数：1.函数在t=0时的值为无穷大，即δ(0)=∞。
2.对任意的t≠0，函数的值为零，即δ(t)=0。
在实际应用中，由于冲激函数的定义非常特殊，它不是一个常用函数，而是作为一种数学工具来使用。
因此，我们通常可以将冲激函数理解为一个脉冲信号，它的幅值非常短暂且极大，然后迅速衰减为零。
这种特性使得冲激函数成为处理信号问题的重要工具。
接下来，我们来探讨冲激函数的特解的应用。
在信号处理和系统分析中，我们经常遇到线性时不变系统的微分方程，例如:d^n y(t) / dt^n + a_(n-1) d^(n-1) y(t) / dt^(n-1) + ... +a_0 y(t) = b_(n-1) d^(n-1) x(t) / dt^(n-1) + ... + b_0 x(t)其中，y(t)表示系统的响应，x(t)表示系统的输入信号，a_i和b_i表示系统的系数。
我们可以通过冲激函数的特解来求解这个微分方程。
假设系统的零状态响应为y_p(t)，那么系统的总响应为y(t)=y_p(t)+y_c(t)，其中y_c(t)是系统的零输入响应。
根据线性时不变系统的性质，我们可以将输入信号x(t)拆解为冲激函数的线性组合，即:x(t)=∫x(τ)δ(t-τ)dτ带入微分方程，我们可以得到:d^n y_p(t) / dt^n + a_(n-1) d^(n-1) y_p(t) / dt^(n-1) + ...+ a_0 y_p(t) = ∫ b_(n-1) d^(n-1) x(τ) / dt^(n-1) δ(t - τ)dτ + ... + b_0 x(t)根据冲激函数的性质，除了t=τ处的δ(t-τ)项之外，其他的冲激函数都为零。
冲激函数取样性质证明
冲激函数取样性质证明冲激函数是一种特殊的函数，也称为单位脉冲函数或Dirac函数。
它在数学分析和信号处理中有着重要的应用。
冲激函数取样性质是指冲激函数作为取样信号时，保持原信号的性质。
在这篇文章中，我将详细阐述冲激函数取样性质的证明。
首先，我们需要明确冲激函数的定义。
冲激函数通常用符号δ(t)表示，它满足以下条件：1.δ(t)在t=0时的取值为无穷大，其他时间点的取值为零：δ(0)=∞，δ(t)=0,t≠0。
2. δ(t)的面积等于1：∫δ(t)dt=1我们可以将冲激函数定义为一个函数序列的极限形式，即：δ(t) = lim(n→∞) gn(t)其中gn(t)是一系列脉冲函数。
例如，gn(t)可以是一个高度为n，宽度为1/n的矩形函数，使得gn(t)在0附近的面积为1，其他位置的面积为零。
假设我们有一个信号x(t)，我们用冲激函数对其进行取样。
取样信号可以表示为s(t)=x(t)δ(t-T)，其中T是取样时刻。
我们的目标是证明冲激函数取样信号的性质与原信号相同。
首先，我们可以推导冲激函数取样信号的时域表达式。
由于δ(t)在t=T时的取值为无穷大，假设在t=T时，x(T)的取值为X。
那么，我们可以得到：s(t)=x(t)δ(t-T)=x(t)δ(t-T)，t=T=x(T)δ(t-T)=Xδ(t-T)。
因此，冲激函数取样信号的时域表达式为s(t)=Xδ(t-T)。
这意味着取样信号在t=T时的取值为X，其他时间点的取值为零。
这与原信号在t=T时的取值相同，因此冲激函数取样信号在时域上保持了原信号的性质。
接下来，我们证明冲激函数取样信号的频域性质与原信号相同。
我们可以使用傅里叶变换来分析信号的频域特性。
假设原信号x(t)的傅里叶变换为X(ω)，即X(ω)=F{x(t)}，其中F表示傅里叶变换操作。
根据冲激函数的定义，我们可以得到取样信号的傅里叶变换为：S(ω)=F{s(t)}=F{Xδ(t-T)}。
我们可以利用傅里叶变换的性质，将傅里叶变换和冲激函数的性质结合起来。
冲激函数的特解
冲激函数的特解冲激函数是一种理想化的数学函数，通常用符号δ(t)表示。
它在数学和工程领域中有着重要的应用，特别是在线性系统的特解求解中。
本文将围绕冲激函数的特解展开详细的讨论，包括定义、性质、应用等方面。
下面将详细介绍冲激函数及其特解。
一、冲激函数的定义和性质冲激函数δ(t)的定义如下：δ(t) = 0, t ≠ 0∫[a, b]δ(t)dt = 1, 如果a < 0 < bδ(t)在t = 0处的值为无穷大，但是在其他位置上它的值都为零。
冲激函数是一个奇函数，即δ(t) = -δ(-t)。
这意味着冲激函数在关于原点的对称性。
冲激函数的多种性质使其在实际应用中具有重要作用。
下面列举了几个冲激函数的重要性质：1. 单位冲激函数：单位冲激函数，记作δ(t - t0)，表示在t = t0时的冲激信号。
它在t = t0的值为无穷大，其他位置的值都为零。
单位冲激函数可以用于表示系统的初始条件或者输入信号的特定时刻。
2. 单位面积冲激函数：单位面积冲激函数即∫[−∞,+∞]δ(t−t0)dt=1，表示在t = t0时的冲激信号，且在t = t0时的幅度为1。
单位面积冲激函数在信号处理和系统特解求解中应用广泛。
3. 平移性质：冲激函数在时间轴上的平移不会改变其特性。
例如，δ(t - t0)表示在t = t0时的冲激信号，而δ(t - t1)表示在t =t1时的冲激信号，其中t1 ≠ t0。
这两个冲激函数具有相同的特性，只是位置不同。
4. 放大性质：冲激函数可以进行缩放和放大操作。
例如，若对单位冲激函数δ(t)乘以一个常数A，则得到幅度为A的冲激信号。
以上是冲激函数的一些基本定义和性质，这些性质使得冲激函数成为一种非常实用的数学工具。
二、冲激函数的特解求解冲激函数在线性系统中的特解求解中起着重要作用。
在线性时不变系统中，线性微分方程的简化方法之一就是利用冲激函数进行特解求解。
特解是微分方程的一个解，可以满足特定的初始条件。
冲激函数 ppt课件
冲激函数
5
其他形状脉冲的极限情况
❖ 冲激函数一般看成是矩形脉冲函数的极限情况，其他 形状脉冲的极限情况也可作为单位冲激的近似。
❖ 具有单位面积的三角形脉冲，当趋近于零时，可作 为单位冲激的近似。
冲激函数
6
负指数函数
ftA0et/
t 0 t 0
| Aet /dt Aet /
A
0
0
令 A 1,
图(b)。
冲激函数
23
解答
N0为ab左边部分各独立源及初始条件置零后的网络， 即R1与C1的并联组合。
由图(b)求短路电流时，电流
可看成是电阻支路电流和电容支
路电流之和。
电阻支路的电流为(t)/Rl。阶 跃电压(t)作用于电容，意味着电
容电压发生跃变，因而电容支路
的电流为C1(t)。
is
t
t
R1
C1
x
ht
d
xt
h
d
❖ 对于物理上可实现的网络，响应(输出)不能先于激励
(输入)。冲激响应h(t)是对冲激激励(t)的响应，当t<0 时，(t)=0，因而冲激响应h(t)=0。
ytxtht
txhtd t ht0
0xthd冲激函数 0 ht0
29
卷积性质
❖ 如果只限于讨论输入在t=0时作用到网络的情况，亦 即
励之和作为N的输入，则根据叠加定理，输出就应该 是上述响应之和。
❖把激励的积分作 为输入，则响应 的积分便是输出， 即
xt dxht d xt dxtdxt ytxht dxt冲激h函数t
响应是激励与
冲激响应的卷
积
28
卷积性质
❖ 在卷积积分中冲激响应h(t)和输入x(t)可以交换。
脉冲函数和冲激函数
脉冲函数和冲激函数1. 引言在信号处理和控制系统中，脉冲函数和冲激函数是非常重要的数学工具。
它们在时域和频域分析中具有广泛的应用，能够描述信号的时刻、幅度和频谱特性。
本文将详细解释脉冲函数和冲激函数的定义、用途以及工作方式等。
2. 脉冲函数2.1 定义脉冲函数（Impulse Function），也称为单位脉冲或单位样本序列，是一种特殊的信号。
它在时刻0处取值为无穷大，其它时刻取值均为零。
数学上，脉冲函数可以用符号δ(t)表示。
其中t表示时间变量，δ(t)表示在t=0时刻取值无穷大，其它时刻取值为零。
2.2 特点与性质•脉冲函数是一个奇异信号，在t=0处出现一个瞬间突变。
•脉冲函数的面积为1，即∫δ(t)dt = 1。
•脉冲函数的幅度是无穷大，在t=0时刻达到最大值。
2.3 应用脉冲函数在信号处理中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：2.3.1 时域分析脉冲函数可以用来描述信号的时刻特性。
当一个信号与脉冲函数进行卷积运算时，可以得到该信号在不同时刻的分量。
2.3.2 频域分析脉冲函数在频域上具有平坦的频谱特性，即其频谱密度为常数。
这使得脉冲函数成为理想的频率选择器。
2.3.3 系统响应在控制系统中，脉冲函数可以用来描述系统的单位响应。
通过将输入信号与单位脉冲进行卷积运算，可以得到系统对单位输入的响应。
2.4 工作方式脉冲函数可以通过多种方法生成，其中最常见的方法是通过极限逼近法。
例如，可以将一个矩形波形序列逐渐缩小并延长时间周期，使其趋近于一个无限窄、幅度为无穷大、宽度为0的瞬时脉冲。
3. 冲激函数3.1 定义冲激函数（Impulse Response）是指线性时不变（LTI）系统对单位脉冲输入的响应。
它描述了系统在接收到一个单位脉冲时的输出情况。
数学上，冲激函数可以用符号h(t)表示。
当输入信号为单位脉冲δ(t)时，系统的输出信号为h(t)。
3.2 特点与性质•冲激函数是系统的固有属性，与输入信号无关。
冲激函数的定义
冲激函数的定义冲激函数是一种特殊的函数，它在数学和工程领域有着广泛的应用。
冲激函数在信号处理、控制理论、线性系统、微积分和物理学等领域都起着重要的作用。
本文将对冲激函数进行详细的定义和解释，以便读者更好理解其概念和应用。
1、什么是冲激函数冲激函数是数学中的一种特殊函数，也称为Dirac函数或Dirac delta函数。
冲激函数是在除零点外均为0，在零点附近无限大的函数。
冲激函数通常表示为δ(x)，其中x为自变量。
冲激函数在x=0处的值无限大，但在除零点外的其他点的值都为0。
在物理学和工程领域，冲激函数可以通过一个实验来理解它的概念。
如果我们在时间轴上以极短的时间间隔内向电路中输入一个短暂的电压脉冲，那么电路将会产生一个极短的电流脉冲，这个电流脉冲就可以用一个冲激函数来描述。
2、冲激函数的重要性冲激函数在数学中的重要性很大。
它可以用在微积分、偏微分方程、傅里叶分析、抽象代数和泛函分析等领域。
在控制系统和信号处理领域，冲激函数也是非常重要的。
它可以用来描述系统的 impulse response（冲击响应）函数，冲激响应是控制系统和信号处理中非常常见的一种概念。
冲激函数还可以用来分析和设计滤波器和信号处理系统。
在物理学中，冲激函数可以用来描述质点、电荷或电流的瞬间变化情况。
冲激函数也可以用来描述物理学中的波函数，比如在量子力学中，波函数可以在测量时间点上采用Delta函数的形式。
冲激函数有一些非常重要的性质。
下面我们将对其中的一些最主要的进行介绍。
3.1 奇异性冲激函数在所有除零点外的点上取值为0，但在零点处取值为无穷大。
冲激函数在数学上是一个奇异函数，可能常常忽略它在除零点外的任何部分。
3.2 瞬时能量3.3 单位冲激函数3.4 积分性质冲激函数的积分性质十分重要。
因为冲激函数在所有除零点外的点上都为0，所以对于任意函数f(x)，有：∫f(x)δ(x)dx=f(0)这意味着冲激函数的积分可以用来计算f(x)在零点处的值。
冲击函数 冲激函数
冲击函数冲激函数冲击函数和冲激函数是数学中重要的概念之一，它们在信号处理、控制系统、图像处理等领域中应用广泛。
本文将深入探讨冲击函数和冲激函数的概念、性质和应用。
一、冲击函数冲击函数是指在一个极其短暂的时间内突然变化并达到无限大的函数。
通常用delta表示，delta函数在t=0时取值为无限大，其他时间取值均为0。
具体地，其数学表示为：delta(t) = 0 (t ≠ 0)∞ (t = 0)因为冲击函数只在一个点上有值，这种函数并不存在于实际中。
但是它的数学性质非常重要，可以用来表示时间序列的冲击响应。
二、冲激函数冲激函数是能够将一个连续的信号分解成无限个加权的冲击的函数。
通常用s(t)表示，它可以看做是冲击函数的加权和。
具体地，其数学表示为：s(t) = ∫f(τ)δ(t-τ)dτ其中，f(τ)为一个连续的函数，代表原信号的幅度和形状。
三、性质1. 冲击函数的积分等于1∫delta(t)dt = 1这个性质在对冲激函数进行加权时非常重要。
2. 冲激函数的积分等于原函数∫s(t)dt = f(t)这个性质可以用于信号的解析和合成。
3. 冲激函数是偶函数delta(-t) = delta(t)这个性质表明对于具有对称性的信号，它们的冲激响应也具有对称性。
4. 冲激函数的导数是冲击函数的导数s'(t) = δ'(t)这个性质可以用于求解微分方程中的零状态响应。
四、应用1. 数字信号处理在数字信号处理中，冲激函数常被用来描述数字滤波器的传递函数，以及对信号进行快速傅里叶变换的基础函数。
2. 控制系统控制系统中常常需要求解系统的零状态响应，此时可以利用冲击响应和冲激函数的导数来求解。
3. 图像处理在图像处理中，可以利用冲激函数对图像进行平滑处理和边缘检测，从而提取出图像中的重要特征信息。
总之，冲击函数和冲激函数在数学和工程领域中有着广泛的应用。
只有深入理解它们的概念和性质，并将其应用到实际问题中，才能更好地解决问题并推动研究进展。
冲激函数
电路分析基础——第二部分：第九章内容回顾
内容回顾：
第七章：研究包含一个动态元件的一阶电路，它们用一阶
线性常系数常微分方程描述。一阶电路不同的响应形式根据 其初值和终值的相对大小而指数上升或衰减，变化的速度受 时间常数 ( = RC 或 = L/R) 的控制。
第八章：研究包含电感和电容两个动态元件的二阶电路，
电路分析基础——第二部分：第九章 目录
第九章 冲激函数在动态电路分 析中的应用
1 冲激函数
4 冲激响应
2 冲激函数的性质
5 由阶跃响应求冲激响应
3 电容电压和电感电流的跃变 6 线性非时变电路对任意输入 的响应——卷积积分
电路分析基础——第二部分：第九章内容回顾
内容回顾：
所有电路都是由动态电路和电阻电路两类电路组成的； 所有电路受到两类约束。即：
电路中的各支路电流、电压受到KVL、KCL的约束， 元件上的电流、电压受到元件VA全不同的电路，但 第一部分中的分析方法，几乎所有都能得到应用，当然， 动态电路还有其自己的方法； 电容和电感是基本的动态元件，它们都是储能元件。电容 通过存储电荷来存储电能，电感通过存储磁链来存储磁能。 电容的电压和电感的电流是它们最本质的变量，一般情况 下，它们都不能突变。……
t0 t
电路分析基础——第二部分：9-1
2/2
(t) 的其他工程逼近： (t) 除了矩形窄脉冲 p□(t)以外，还可以 有许多其他形式，如下面所示。关键是所包围的面积为 1。
pΔ(t)
1 Δ
pde(t)
1
2Δ
e–|t|/Δ
(t)
2Δ
–Δ 0
Δt
pcos(t)
4Δ
cos
2Δ
冲激函数
解答
❖ 电容电压发生跃变，就必须要有冲激电流流过电容。 在电路中流过电阻R的电流不可能含有冲激电流。冲 激电流只可能在电容回路中流动。
❖ 按图中所设电容电流方向，由KCL可得uC(0+)
C1 uC1 0 Us t C2 uC 2 0 uC 2 0 t 0 C1 uC1 0 Us C2uC 2 0 0
t
R L
e
R L
t
t
hu t
t
R L
Rt
e L
t
t=0时,有冲激
电压出现
19
§9-5 由阶跃响应求冲激响应
❖ 线性非时变电路有一个重要的性质：如果激励x产生
响应y，那末，
激励
dx dt
将产生响应为
dy dt
；
激励 xdt 将产生响应为 ydt K K为积分常数。
3
单位延时冲激函数
❖ 单位延时冲激函数的定义为
t t0 0 t t0
t
t0
dt
1
❖ 单位延时冲激函数(t-t0)可设想为：在t=t0处宽度趋于
零，而幅度趋于无限大，但具有单位面积的脉冲。
❖ 在t0处强度为A的冲激函数记为A(t-t0)。对冲激电流 来说可表为Q(t-t0)；对冲激电压来(t-t0)。
uC 2 0
t
C2 C
it
t
C1C2 C
US
t
16
§9-4 冲激响应
❖ 零状态电路对单位冲激信号的响应称为(单位)冲激响 应，用h(t)表示。
冲激函数及其性质
可以使用`title`和`xlabel`等函数为图形添加标题和坐标轴标签，以便更好地描述图 形。
计算卷积结果并展示图形
在MATLAB中，可以使用`conv` 函数计算两个序列的卷积结果。
将冲激信号与另一个信号进行卷 积运算，可以得到卷积后的结果
2023
PART 02
冲激函数性质分析
REPORTING
筛选性质
筛选性质定义
01
冲激函数具有筛选性质，即与任何函数相乘的结果都等于该函
数在冲激点的取值。
数学表达式
02
对于任意函数f(t)，有f(t)*δ(t) = f(0)*δ(t)。
应用举例
03
在信号处理中，冲激函数可用于从复杂信号中提取特定时刻的
2023
冲激函数及其性质
https://
REPORTING
2023
目录
• 冲激函数基本概念 • 冲激函数性质分析 • 与其他函数关系探讨 • 在信号处理中应用举例 • MATLAB仿真实现冲激函数 • 总结回顾与拓展延伸
2023
PART 01
冲激函数基本概念
REPORTING
连续信号处理
在连续信号处理中，冲激函数可以表示为连续函 数的形式，通过求解冲激响应可以得到系统的输 出信号。
频域分析辅助工具
傅里叶变换
冲激函数在频域分析中具有重要的地位。通过傅里叶变换， 可以将时域信号转换为频域信号，进而分析信号的频谱特 性。
频域滤波器设计
利用冲激函数的频域特性，可以设计各种频域滤波器，实 现对信号频率成分的选择性过滤和处理。
线性叠加原理
冲激函数
• t
ht
dst
dt
R
d dt
1
1t
e RC
•
t
R
t
t
e
1 RC
t
1 RC
1 t
e RC t
R
t t
1 RC
1 t
e RC t
1
1t
e RC
t
C
电容电压发生 了1/C的跃变
21
例9-12
试用诺顿定理求解补偿分压器 的输出压u2(t)。
解 诺顿定理能用于线性动态电路。ab 的左边部分可以用一个诺顿等效电路代 替，即可以用一个电流源与N0的并联组 合代替。 等效电流源的电流is(t)等于原电路中ab 端的短路电流，见图(b)。
17
例9-8
试求电路中电流及电感电压的冲激响应。
解 把电感看作开路，作出t=0时的等效电路(b)。来自冲激电源的冲激电 压全部出现于电感两端。
关于冲激电压全部出现于电感可理解如下：如果冲激电压出现于电阻， 则在电阻中将产生冲激电流，因而电感中也将有冲激电流，这样，电感 电压将为冲激偶电压，无法满足KVL。
4
其他形状脉冲的极限情况
❖ 冲激函数一般看成是矩形脉冲函数的极限情况，其他 形状脉冲的极限情况也可作为单位冲激的近似。
❖ 具有单位面积的三角形脉冲，当趋近于零时，可作 为单位冲激的近似。
5
负指数函数
f
t
0 Ae t
/
t0 t0
| Ae t / dt Ae t /
A
0
0
令 A 1,
t 0
在0-至0+期间，iC1(t)及iC2(t)中含有冲激电流，故得
冲激函数和其导数关系
冲激函数和其导数关系
我们要探讨冲激函数和它的导数之间的关系。
首先，我们需要了解什么是冲激函数。
冲激函数，也被称为狄拉克δ函数，是一种特殊的数学函数。
它在0点处的值为无穷大，在其他点处的值为0。
数学上，冲激函数可以表示为：
δ(t) = 0 当 t ≠ 0
δ(t) = ∞当 t = 0
接下来，我们要计算冲激函数的导数。
冲激函数的导数在数学上定义为：
d/dt δ(t) = δ'(t) = -δ(-t) 当 t > 0
d/dt δ(t) = δ'(t) = 0 当 t < 0
现在，我们可以总结冲激函数和它的导数之间的关系：
1.当 t > 0 时，冲激函数的导数等于其自身的负值。
2.当 t < 0 时，冲激函数的导数为0。
3.在 t = 0 处，冲激函数的导数是无穷大。
通过这些关系，我们可以更好地理解冲激函数及其导数的性质和行为。
冲激函数作用范文
冲激函数作用范文冲激函数是数学中的一种特殊函数，也被称为单位冲激函数或狄拉克函数。
它的定义如下：δ(t)=0,t≠0∞,t=0冲激函数在数学和工程中具有广泛的应用，在各个领域起着重要的作用。
下面我将详细介绍冲激函数的作用。
1.理论物理中的作用：冲激函数在理论物理中的作用非常重要。
在经典物理学中，冲激函数可以用于描述质点的冲量，如质点在单位时间内所受的力。
在量子力学中，冲激函数则被用于描述波函数的变化。
例如，在谐振子的哈密顿量中引入一个包含冲激函数的项，可以模拟谐振子受到一个冲击的情况。
2.信号处理中的作用：在信号处理中，冲激函数常被用于描述信号的幅度和频谱特性。
通过对一个信号与冲激函数进行卷积运算，可以得到该信号的特征参数，如能量、功率谱密度等。
此外，冲激函数还被用于系统响应的分析和频率特性的测量。
3.工程领域中的作用：在工程领域中，冲激函数通常被称为脉冲响应函数，广泛应用于系统的分析和设计。
通过将输入信号与系统的冲激响应函数进行卷积运算，可以求得系统对任意输入信号的响应。
这对于系统的稳定性、滤波设计和控制系统的分析都非常重要。
4.电路分析中的作用：在电路分析中，冲激函数被广泛应用于求解电路的初始条件和零输入响应。
通过将电路的输入信号与冲激函数进行卷积运算，可以得到电路的零输入响应。
这个响应对于分析电路的稳态性和暂态响应非常重要。
5.数学处理中的作用：冲激函数在数学中也有重要的应用。
在微积分中，冲激函数被用于求解微分方程。
通过对微分方程进行拉普拉斯变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而可以较容易地求解。
冲激函数还可以用于定义广义函数，如分布函数。
总结起来，冲激函数在数学和工程领域中具有广泛的应用。
它可以用于描述物理系统的冲击响应、信号的频谱特性、电路的初始条件等。
冲激函数的应用不仅可以简化问题的求解过程，还可以揭示问题的本质，为系统分析和设计提供有力的数学工具。
因此，深入了解和熟练运用冲激函数对于数学和工程的学习和研究都非常重要。
英美报刊选读(辅修) 冲激函数
英美报刊选读（辅修）冲激函数
冲激函数（Impulse Function）是在数学和工程领域中常用的一种理想化函数。
它通常用符号δ(t)表示，其中t表示时间。
冲激函数的定义有多种形式，其中最常见的是单位冲激函数，也称为狄拉克冲激函数（Dirac Delta Function）。
单位冲激函数的定义如下：
δ(t) = 0, t ≠ 0
= ∞, t = 0
冲激函数在t=0时的值为无穷大，而在其他时间点上的值均为0。
这种特性使得冲激函数在数学和工程问题的建模中具有重要作用。
冲激函数的一个重要性质是它的面积为1，即∫δ(t)dt = 1。
这意味着冲激函数可以用来进行信号的归一化处理。
在信号处理领域，经常使用冲激函数来表示和处理离散信号和连续信号。
冲激函数在工程领域中的应用非常广泛。
例如，在控制系统中，冲激函数可以用来描述系统的单位脉冲响应。
在电路分析中，冲激函数可以用来表示电路的单位脉冲响应和冲击响应。
此外，冲激函数还可以用来描述信号的功率谱密度和频谱特性。
冲激函数在数学中的推广和拓展也是一个研究热点。
例如，狄拉克冲激函数可以通过极限过程从一个序列函数中构造出来。
此外，冲激函数的一般化形式也被广泛研究，如狄拉克分布、广义函数等。
总之，冲激函数作为一种理想化的数学工具，在科学研究和工程实践中具有重要的应用价值。
它不仅可以描述和处理信号的特性，还可以用于系统建模和分析，为工程师和科学家提供了强大的工具和方法。
冲激函数δ(t)及其matlab实现
冲激函数δ(t)及其matlab实现冲激函数δ(t)及其matlab实现一、什么是冲激函数冲激函数，也称狄拉克函数，是一种极其特殊的函数。
它在t=0时刻为正无穷大，其他时刻均为零。
数学上表示为δ(t)，其中t为自变量。
冲激函数有着广泛的应用，尤其是在信号处理领域。
它可以用来表示各种信号的响应、滤波等等重要的信号处理过程。
二、冲激函数的性质1. 积分性质：∫δ(t) dt = 1；2. 奇偶性质：δ(-t) = δ(t)；3. 位移性质：δ(t-t0)；4. 等量性质：若a≠0，则δ(at)=|(a^-1)|δ(t)；5. 卷积性质：f(t)*δ(t-t0) = f(t-t0)；6. 周期性质：δ(t+nT) = ∑(-inf,inf)δ(t-mT)，其中T为周期。
三、如何在matlab中实现冲激函数在matlab中实现冲激函数需要用到impulse函数。
该函数是一个基于符号计算的工具箱函数，用于求解微分方程的初值问题。
impulse函数的调用方法如下：>> impulse(h) %其中h为系统对应的系统函数或>> impulse(num, den) %其中，num为系统的分子项，den为系统的分母项在实际使用中，可以通过组合系统函数来实现自定义的冲激函数。
例如：>> h = tf([1,0], [1,1,1]); %定义系统函数>> impulse(h) %调用函数以上代码会生成一个以系统函数h为模型的冲激响应图像。
四、使用冲激函数进行信号滤波信号处理是冲激函数的重要应用领域之一。
在信号处理中，冲激函数可以用来进行滤波，即去除杂音和不需要的信号，只保留需要的信号。
实现信号滤波需要一个滤波器，matlab中提供了多种不同类型的滤波器函数。
可以通过调整滤波器的参数来实现不同效果的信号滤波。
例如，使用matlab自带的fir1函数可以生成一个标准的低通滤波器。
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1
方法二： 0 0 1 f t(2t+2)反折 f (-2t+2)] .5 压缩 平移 f (t+2)
1
平移
2
t
另外应该还
方法三： f (t 方法一： 2) 压缩 f (2t) f (-2t)平移 f [-2(t-1)] 压缩 f (2t) 反折 1 f (2t 2) 平移 f [2(t+1)] 反折 f (-2t+2)
折叠信号的平移
f (t )
1
0
f (-t-1)= f [-(t+1)]将 已知 ff(t) 求 f (-t-1) (-t) 的波形向左移动 1。
f (t ) f (t 1)
平移
反折
1
平移
t
1
0
t
2
1
0
t
f (t 1)
1
0
反折
1
2
t
13
第一章第2讲
信号的平移与折叠
折叠信号的平移
任何偶函数的导数为奇函数。
第一章第2讲 5
举 例 1
下列各表达式中错误的是______ C 。
( A) ( B) (C ) ( D) (C )
f (t ) (t )dt f (0) f (t ) (t t0 )dt f (t0 ) f (t t0 ) (t )dt f (t0 ) f (t t0 ) (t t0 )dt f (0) f (t t0 ) (t )dt
1
0
平移 请同学们自己思考绘出图形。
1
0
t
0.5 0
第一章第2讲
t
16
1
平移
f (2t 2)
0.5 1
t
-1
信号变换综合应用
f (t )
1
0
由 f (t)绘出 f (-2t+2)
f (2t )
f (t )
1
方法五： 1反折 f 2 (t+2) 平移 t (-t+2)压缩 f (-2t+2) 0 f
f1 (t )
2
1
1(1)
(t ) ( )d
t
f1(t )
(1)
1
1
1
0
1
2
t
1
2
2
t
(3)
第一章第2讲
2
冲激函数的性质
延迟的冲激函数
(t ) (1)
(t t0 ) (1)
(t t0 )
(1)
0
t
0
t0
t
t0
0
t
乘积性质 f (t ) (t ) f (0) (t ); f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 ) 抽样性质
1
平移
2
t
平移
0.5 0
t
2
方法六： f (t 2) 反折 f (-t) 方法四： 1 (t 2) 平移f f(-t) [-(t-2)] f (-2t)f平移 反折 压缩 f [-2(t-1)] 1 压缩 f (-2t+2)
1
0
t
0
1
2
t
17
第一章第2讲
1
0
平移
f (2t 2)
这里 a 和 t0为常数，且a0。
(t)的导数及其性质
d (t ) 定义： (t ) dt
0
(t )
(1)
t
称单位二次冲激函数或冲激偶。
第一章第2讲
4
冲激偶的性质
冲激偶的抽样性质
f (t ) (t )dt f (0)
f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
冲激偶的乘积性质
f (t ) (t ) f (0) (t ) f (0) (t ) f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
冲激偶’(t)是 t 的奇函数 (t ) (t )
I 1 cos( 2 t ) (2t 1)dt
4 2
解:
I1 cos( 2 t )[0.5 (t 0.5)]dt
4
2
0.5 cos( 2 t )
t 0.5
0.5
第一章第2讲 8
1.4 信号的运算
信号的相加与相乘
f1 (t )
1
0
f 2 (t )
f (t ) lim
0
f ( ) (t )d
19
k
信号分解为直流分量与交流分量之和
信号平均值即信号的直流分量。
直流分量
f (t )
1
f D (t )
0.5 0
t
T
0
T
t
f A (t )
交流分量
T
0.5
0
0.5
t T
第一章第2讲
20
f e (t )
1
f (t )
1
f 0 (t )
0
t
0
t
0
t
0
t
f (t )
1
1 2
f e (t )
1 2
f 0 (t )
0
t
0
t
0
t
第一章第2讲
22
例 1.18
f (t )
1
f e (t )
12
0
t
0
t
f (t )
1 f 0 (t ) [ f (t ) f (t )] 2
0 0
1
f 0 (t )
0
2 2
4t 2 (t 1)dt 0
因为(t+1)位于积分范围之外。
[(t 3) (2t 2) 8 cos(t ) (t 0.5)]dt
(2t 2) 0.5 (t 1), (t 3) (2t 2) 2 (t 1)
原式 2 [8 cos(t )] t 0.5 2 8 sin 0.5 2 8
f (t0 ) (t )dt f (t0 )
6
第一章第2讲
举 例 2
下列各表达式中错误的是______ B 。
( A) (t ) (t )
( B) (t t0 ) (t0 t )
(C )
(t )dt 0
( D)
根据此式可求出偶分量
1 1 [ f (t ) f (t )] [ f (t ) f (t )] 2 2
根据此式可求出奇分量
第一章第2讲 21
例 1.17
1 f e (t ) [ f (t ) f (t )], 2
f (t )
1
1 f 0 (t ) [ f (t ) f (t )] 2
f (t )
1
0
f (2t )
压缩
1
0
1
2
t
0.5 1
2
t
0<a <1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴扩展至原来的1/a
f (t )
1
0
f (1 2 t)
扩展
1
0
第一章第2讲
1
2
t
2
4
t
15
信号变换综合应用
f (2t ) f (t )
1
0
由 f (t)绘出 f (-2t+2)
f (2t )
第一章第2讲
24
课堂练习题
已知信号 f (t ) 2 t (t ) 2(t 2) (t 2) 4 (t 3) 画出 f (t ), f (t ) (t 的波形。 1), f (t )
f (t )
4
( 2)
f (t ) (t 1)
2
f (t )
3
0
2
3
t
信号分解为偶分量与奇分量
偶分量的定义为 ： f e (t ) f e (t ) 奇分量的定义为 ： f 0 (t ) f 0 (t ) 1 任何信号总可写成： f (t ) [ f (t ) f (t ) f (t ) f (t )] 2
f e (t ) f 0 (t ) 1 1 即： f e (t ) [ f (t ) f (t )], f 0 (t ) [ f (t ) f (t )] 2 2
f (t )
1
0
f (-t+1)= f [-(t-1)]将 已知 ff (t) 求 f (-t+1) (-t) 的波形向右移动 1。
f (t ) f (t 1)
平移
反折
1
t
1
0
t
0
1
t
f (t 1)
平移
1
1
反折
0
第一章第2讲
t
14
信号的尺度变换
a > 1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴压缩至原来的1/a
信号的导数与积分
f (t )
f (t )
(1)
f ( 1) (t )
1
1
0
1
0 0
t
1
t
(1)