鲁教版初中数学九年级下册《圆的对称性(2)》教学课件ppt课件
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5. 2 圆的对称性 第2课时课件2024-2025学年 鲁教版(五四制)九年级数学下册
90°,∠A=25°,以点O为圆心,OB为半径的圆交AB于点C,交OA于点D.求的度数.
【思维切入】连接OC,三角形的内角和定理→∠B+等腰三角形的性质→∠BOC.
12
【自主解答】连接OC.
∵∠AOB=90°,∠A=25°,
∴∠B=90°-∠A=65°,
∵OB=OC,
∴∠B=∠OCB=65°,
∵OB=OD=OE=OC,∠B=∠C=60°,
∴△BOD与△COE都是等边三角形,
∴∠BOD=∠COE=60°,
∠DOE=180°-∠BOD-∠COE=60°,
∴∠DOE=∠BOD=∠COE,
=
.
∴=
8
【举一反三】
(教材再开发·P11数学理解T3拓展)如图,已知AB是☉O的直径,M,N分别是AO,BO的
为直径作☉O交AB于D,交AC于E,判断,
5
6
【思路点拨】连接OD,OE,由△ABC为等边三角形,通过角的关系,易证△BOD与
△COE都是等边三角形,可得∠DOE,∠BOD,∠COE的度数,由圆心角的度数和所对
,
的大小关系.
弧的度数的关系得,
7
【自主解答】相等.如图所示,连接OD,OE,
1.(3分·几何直观、推理能力)☉O中的一段劣弧AB的度数为80°,则∠AOB=( B )
A.10°
B.80°
C.170°
D.180°
15
2.(3分·几何直观、推理能力)如图,在☉O中,∠A=30°,劣弧AB的度数是( D )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
60°或300°
3.(3分·几何直观、推理能力)若弦长等于半径,则弦所对弧的度数是______________.
九年级数学下册 第2章 圆 2.1 圆的对称性课件
第2章 圆 2.1 圆的对称性
第一页，共四十二页。
【知识再现(zàixiàn)】
1.轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两 旁的部分能够完全____重__合_(_c_hó,n这ghé样) 的图形叫作轴对称 图形.
第二页，共四十二页。
2.中心对称图形:在同一平面(píngmiàn)内,如果把一个图形绕某 一点旋转____1_8_0__度,旋转后的图形能和原图形完全重 合,那么这个图形就叫作中心对称图形.
外,则a的取值范围为 世纪金榜导学号
( D)
A.-3<a<1 C.a>1
B.a<-3
D.a<-3或a>1
第二十八页，共四十二页。
★3.已知矩形ABCD的边AB=6,AD=8.如果以点A为圆心作
☉A,使B,C,D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点,
那么☉A的半径(bànjìng)r的取值范围是( A )
第十二页，共四十二页。
【自主(zìzhǔ)解答】连接OC,OD,∵OC=OD, ∴∠C=∠D,又∵CE=DF.
∴△OCE≌△ODF,∴OE=OF,
∴△OEF是等腰三角形.
第十三页，共四十二页。
【学霸提醒】
圆中易混概念
1.弦与直径的区别:直径是最长的弦,但弦不一定是直径,半 径不是弦. 2.弧与半圆的区别:半圆是弧,是整圆的一半(yībàn),但不是最长的 弧,同时弧不一定是半圆.
★★5.如图,在☉O中,AB为弦,C,D在AB上,且AC=BD,请问图中 有几个等腰三角形?把它们分别写出来,并说明(shuōmíng)理由.
第二十一页，共四十二页。
解:等腰三角形有两个(liǎnɡ ɡè):△OAB,△OCD. 理由:∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形. ∴∠A=∠B.又∵AC=BD,OA=OB, ∴△OAC≌△OBD.∴OC=OD. ∴△OCD是等腰三角形.
第一页，共四十二页。
【知识再现(zàixiàn)】
1.轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两 旁的部分能够完全____重__合_(_c_hó,n这ghé样) 的图形叫作轴对称 图形.
第二页，共四十二页。
2.中心对称图形:在同一平面(píngmiàn)内,如果把一个图形绕某 一点旋转____1_8_0__度,旋转后的图形能和原图形完全重 合,那么这个图形就叫作中心对称图形.
外,则a的取值范围为 世纪金榜导学号
( D)
A.-3<a<1 C.a>1
B.a<-3
D.a<-3或a>1
第二十八页，共四十二页。
★3.已知矩形ABCD的边AB=6,AD=8.如果以点A为圆心作
☉A,使B,C,D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点,
那么☉A的半径(bànjìng)r的取值范围是( A )
第十二页，共四十二页。
【自主(zìzhǔ)解答】连接OC,OD,∵OC=OD, ∴∠C=∠D,又∵CE=DF.
∴△OCE≌△ODF,∴OE=OF,
∴△OEF是等腰三角形.
第十三页，共四十二页。
【学霸提醒】
圆中易混概念
1.弦与直径的区别:直径是最长的弦,但弦不一定是直径,半 径不是弦. 2.弧与半圆的区别:半圆是弧,是整圆的一半(yībàn),但不是最长的 弧,同时弧不一定是半圆.
★★5.如图,在☉O中,AB为弦,C,D在AB上,且AC=BD,请问图中 有几个等腰三角形?把它们分别写出来,并说明(shuōmíng)理由.
第二十一页，共四十二页。
解:等腰三角形有两个(liǎnɡ ɡè):△OAB,△OCD. 理由:∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形. ∴∠A=∠B.又∵AC=BD,OA=OB, ∴△OAC≌△OBD.∴OC=OD. ∴△OCD是等腰三角形.
数学：3(PPT)2-2.2《圆的对称性》课件2(北师大版九年级下)
做一做
按下面的步骤做一做
1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片， 在⊙O 和⊙O′上分别作相等的圆心角 ∠A O B和 ∠A′O′B′,然后将两圆的圆心固定在一起。
2、将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A与O′A′ 重合。
B
B′
A
A′
O
O′
你能从中发现哪些等量关系?说一说你的 理由.
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦相等。
令，伤水气，罚见辰星。辰星见，则主刑，主廷尉，主燕赵又为燕、赵、代以北；宰相之象。亦为杀伐之气，战斗之象。又曰， 军于野，辰星为偏将之象，无军为刑事和阴阳应效不效，其时不和。出失其时，寒暑失其节，邦当大饥。当出不出，是谓击卒， 兵大起。在于房心间地动亦曰辰星出入躁疾，常主夷狄。又曰，蛮夷之星也，亦主刑法之得失。色黄而小，地大动。光明与月相 逮，其国大水。最早观测记录水星最早被闪族人在（公元前三千年）发现，他们叫它Ubu-idim-gud-ud。最早的详细记录观察数据 的是巴比伦人他们叫它gu-ad或gu-utu。希腊人给它起了两个古老的名字，当它出现在早晨时叫阿波罗，当它出现在傍晚叫赫耳墨 斯，但是希腊天文学家知道这两个名字表示的是同一个东西。希腊哲学家赫拉克利特甚至认为水星和金星（维纳斯星）是绕太阳 公转的而不是地球。地面观测水星的观测因为它过于接近太阳而变的非常复杂，在地球可以观测它的唯一时间是在日出或日落时 。水星最亮的时候，；/ 深圳注册公司 目视星等达-.9等。由于水星和太阳之间的视角距离不大，使 得水星经常因距离太阳太近，淹没在耀眼的阳光之中而不得见。即使在最宜于观察的条件下，也只有在日落西山之后，在西天低 处的夕阳余晖中，或是在日出之前，在东方地平线才能看到它。地面观测时间观察水星的最佳时候是在日出之前约分钟，或日落 后分钟。当我们朝最靠近太阳的行星——水星看的时候，我们也就是朝太阳的方向看。需要牢记的是不要直接看太阳。若用望远 镜看水星，则可以选择水星在其轨道上处于太阳一侧或另一侧离太阳最远（大距）时并在日出前或日落后搜寻到它。天文历书会 告诉你，这个所谓的“大距”究竟是在太阳的西边（右边）还是东边（左边）。若是在西边，则可以在清晨观测；若是在东边， 则可以在黄昏观测。知道了日期，又知道了在太阳的哪一侧搜寻，还应该尽可能挑一个地平线没有东西阻隔的地点。搜寻水星要 在离太阳升起或落下处大约一柞宽的位置。你将会看到一个小小的发出淡红色光的星星。在其被太阳光淹没之前，你大概可以观 测它个星期。个星期之后，它又会在相对的距角处重新出现。哥白尼与水星观测说起五大行星的水星，自古以来用肉眼观测是最 难的。据传说，大天文学家哥白尼临水星水星终前曾叹他一生没有见过水星。其实水星用肉眼观测并不是想象中那么难。要想观 测水星，选择其大距时固然重要，而对于南北纬，甚至度以上的观测者，水星相对于太阳的赤纬极为重要！哥白尼为什么没见过 水星，最重要的客观原因有两个：第一，近前后
九年级下册数学精品课件2 圆的对称性
2019/5/15
3
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并
说明理由。
①
②
2019/5/15
4
③
④
任意给圆心角，对应出现三个量：
A
圆心角
弧
·
O B
弦
疑问：这三个量之间会有什么关系呢？
2019/5/15
5
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？
A′ B′ B
2019/5/15
1、 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
AB = CD ， （1）如果AB=CD，那么___________
=2CD AB （ ）如果
AB=CD ，那么____________ ，
A E B D F
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 AB=CD 于F，OE与OF相等吗？为什么？
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD
10
2019/5/15
例1
如图，在⊙O中， AB = AC ,∠ACB=60°,
A
⌒
⌒
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC 证明：
∵ AB = ∴
AC
B
AB=AC．⊿ABC是等腰三角形
又∠ACB=60°，
·
O
60°
C
∴ ⊿ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴
11
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
A′
B′
B
·O
A
·O
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的 位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′ 重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′ 重合，B与B′重合． ︵ ︵
初中九年级下册数学《圆的对称性》圆PPT优秀课件
O
D
注意： 在解决类似问题时常常先作出ＯM，AO， 再用到垂径定理和勾股定理
2020/11/20
6
垂径定理三角形
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
2020/11/20
14
变式一： 求弧AB的四等分点．
C
m
E
F
A
n
G
B
D
2020/11/20
15
变式二：你能确定弧AB所在圆的圆心吗？
方法：只要在圆弧
上任意取三点，连
a
C
b
结两条弦，画这两
条弦的垂直平分线，A
B
交点即为圆弧所在
O
圆的圆心．
2020/11/20
16
圆 破镜重
m
n
C
A
B
·O
作图依据：
另一条弧.
（√ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ） ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
2020/11/20
5
例1、如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，
已知CD = 20，CM = 4，求AB。
C
A
M └
B
B
3、过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为
8cm，那么OM长为（ ）A．3 B．6cm C．41 cm D．9cm
2020/11/20
21
4、如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上
鲁教版(五四制)九年级数学下册 5.2 5.2圆的对称性(2)
想一想
1.一个平角是多少度？1个周角是多少度？ 2.把顶点在圆心的周角等分成360等份。每一份 圆心角是多少度？整个圆周被等分成多少份？
把一个圆360等份，每一份 这样的弧叫做10的弧
1的圆心角
C D
1的弧
O
n的圆心角
B A
n的弧
n的圆心角对着 n的弧， n的弧对着 n的圆心角。
弧的度数=它所对圆心角的度数
试一试你的能力
一.判断下列说法是否正确：
1. 相等的圆心角所对的弧相等。（ ×）
2. 度数相等的角是等角。（√ ） 3. 度数相等的弧是等弧。（ ×）
例题2：
如图，在⊙O中，已知弦AB所对的劣弧为圆 1 ，⊙O的半径为r，求弦AB的长 的－ 3
O M A
N
C
B
例题3：
如图，已知AB ，CD为⊙O的两条直径，弦 ⌒ 的度数？ CE//AB, ∠BOD=1100，求弧 CE D O E B A
C
4：如图在 ABC中， C=90， B=28，以 C为圆心， 例1 以 CA为半径的圆交 AB于点 D，交 BC于点 E ， B 求 AD， DE的度数。
D E
D
⌒ ⌒ AB=CD
∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF _____,______ ____,____________ 。
（4）如果∠AOB=∠COD，那么 _________,________,_________。
OE=OF ⌒ ⌒ AB=CD AB=CD
2.如图，点A、D、G、M在半圆O上， 四边形ABOC、DGOF、HMNO均为矩形． •设BC=a，GF=b，NH=c，则下列各式 中正确的是（ B）． A．a>b>c B．a=b=c C．c>a>b
鲁版版数学九下多媒体教学课件2 圆的对称性 第1课时初三
证明：作OM⊥AB，
M
ON⊥CD，M，N为垂足.
O
N
MPO NPO
OM AB
OM
ON
ON CD
AB CD.
【拓展】
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角, ②两条弧,③两条弦,④两条弦心距，有一组 量相等,那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
【跟踪训练】
已知：如图，AB,CD是⊙O的两条弦，OE,OF为 AB,CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：
【解析】
E
D
∵ BC = CD = DE
C
BOC=COD=DOE=35
A
·
O
B
AOE 180 3 35
75 .
8.A,B分别为CD和EF的中点，AB分别交CD,EF于点M,N， 且AM=BN.求证：C⌒D=E⌒F.
证明：连接OA、OB，设分别与CD，EF交于点F，G.
∵A为CD中点，B为EF中点,
1.弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的线段AC） 叫做弦.
2.直径：经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
B C
·O
A
3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，
B为端点的弧记作 ⌒AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
4.等弧：在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧.
5.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆为两条弧，每一
∴OA⊥CD，OB⊥EF.
故∠AFC=∠BGE=90°又由OA=OB， F
G
∴∠OAB=∠OBA，且AM=BN，
∴△AFM≌△BGN， ∴AF=BG，
∴OF=OG， ∴DC=EF.Fra bibliotekA′ B
【鲁教版】数学九年级下册：5.2《圆的对称性》课件(2)
1的圆心角
O n的圆心角
C D
1的弧
B
A
n的 弧
n的圆心角 的 对 弧 着 ， 的 n弧 n 对 的 着 圆 n心角
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
典型例题
例1：如图在ABC中，C=90，B=28，以C为圆心 ， 以CA为半径 的圆交AB于点D，交BC于点E，
求AD，DE的度数 。
B
E D
A
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月27日星期日2022/2/272022/2/272022/2/27 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/272022/2/272022/2/272/27/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/272022/2/27February 27, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/272022/2/272022/2/272022/2/27
AB = A’B’
AOB= A’O’B’
在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组都分别相等。
AB=A’B’
1. AOB=A’O’B’
AB =A’B’
2. AB =A’B’
AB=A’B’ AOB=A’O’B’
3. AB=A’B ’
AB =A’B’ AOB = A’O’B’
5.2 圆的对称性（一）
复习回忆
1、什么是中心对称图形？举例说明
把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够 和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
九年级数学下册《圆的对称性》PPT课件
2021
2021
圆绕圆心旋转
A
.
B
O
2021
圆绕圆心旋转
2021
圆绕圆心旋转
2021
圆绕圆心旋转
2021
圆绕圆心旋转
2021
圆绕圆心旋转
2021
圆绕圆心旋转
2021
圆绕圆心旋转
2021
圆绕圆心旋转
2021
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的 圆重合。
180°
所以圆是中心对称图形。 2021
㎝，
10
C E
O
D A
2021
C
B B
练习4:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
D
E C
O
B
2021
思考题
B 已知：AB是⊙O直径，
CD是弦，AE⊥CD，
O.
BF⊥CD
求证：EC＝DF
A
EC
D F 2021
2021
∵把圆心角等分成360份,则每一份 的圆心角是1º.同时整个圆也被分成 了360份. 则每一份这样的弧叫做1º的弧.
O
∴∠1=∠2=500
12
∴B⌒C=500 B⌒D=500
C
ED
∴A⌒D=A⌒DB-B⌒DB2021源自=1800-500 =1300
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
2021
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
2021
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
2021
圆绕圆心旋转
A
.
B
O
2021
圆绕圆心旋转
2021
圆绕圆心旋转
2021
圆绕圆心旋转
2021
圆绕圆心旋转
2021
圆绕圆心旋转
2021
圆绕圆心旋转
2021
圆绕圆心旋转
2021
圆绕圆心旋转
2021
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的 圆重合。
180°
所以圆是中心对称图形。 2021
㎝，
10
C E
O
D A
2021
C
B B
练习4:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
D
E C
O
B
2021
思考题
B 已知：AB是⊙O直径，
CD是弦，AE⊥CD，
O.
BF⊥CD
求证：EC＝DF
A
EC
D F 2021
2021
∵把圆心角等分成360份,则每一份 的圆心角是1º.同时整个圆也被分成 了360份. 则每一份这样的弧叫做1º的弧.
O
∴∠1=∠2=500
12
∴B⌒C=500 B⌒D=500
C
ED
∴A⌒D=A⌒DB-B⌒DB2021源自=1800-500 =1300
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
2021
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
2021
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
九年级数学下册 第2章 圆 2.1 圆的对称性教学课件下册数学课件
能够重合(chónghé)的
两个圆叫作相等的 圆，
或等圆
现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保持不动， 让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后，白纸上的圆是否 仍然与硬纸板上的圆重合？
这体12现/10/圆202具1 有什么样的性质？
第七页，共十三页。
圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意角
度(jiǎodù)，都能与自身重合. 特别地，圆是中 心对称图形，圆心是它的对称中心.
A
E
B
D
A是⊙O上任意一点，
过点A作CD的垂线，与⊙O交点B， 直线C12/D10是/2021线段AB的垂直平分线．
第九页，共十三页。
A和B关于CD对称。
课时练习
1.下述命题(mìng tí)是否正确？为什么？
（1）平分(píngfēn)弦（不是直径）的直径垂直于这条弦；
（2）圆只有一条对称轴.
错
教学 课件 (jiāo xué)
数学(shùxué) 九年级下册 湘教版
12/10/2021
第一页，共十三页。
第2章 圆
2.1 圆的对称性
12/10/2021
第二页，共十三页。
观察下面图形，它们(tā men)有什么特点
这就是(jiùshì)圆的一种原型．
12/10/2021
第三页，共十三页。
探究学习
身重合。
3、点与圆的位置关系：
设点P和圆心距离为d，圆的半径为r
（1）点P在圆内
（2）点P在圆上 （132）/10/点202P1 在圆外
d<r
d=r
d>r
第十二页，共十三页。
内容(nèiróng)总结
教学课件。第2章 圆。圆也可以看成是一个动点绕一个定点(dìnɡ diǎn)旋转一周所形成的图形， 定点(dìnɡ diǎn)叫作圆心.。如图线段EF是⊙O的一条直径，线段EF的长
两个圆叫作相等的 圆，
或等圆
现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保持不动， 让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后，白纸上的圆是否 仍然与硬纸板上的圆重合？
这体12现/10/圆202具1 有什么样的性质？
第七页，共十三页。
圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意角
度(jiǎodù)，都能与自身重合. 特别地，圆是中 心对称图形，圆心是它的对称中心.
A
E
B
D
A是⊙O上任意一点，
过点A作CD的垂线，与⊙O交点B， 直线C12/D10是/2021线段AB的垂直平分线．
第九页，共十三页。
A和B关于CD对称。
课时练习
1.下述命题(mìng tí)是否正确？为什么？
（1）平分(píngfēn)弦（不是直径）的直径垂直于这条弦；
（2）圆只有一条对称轴.
错
教学 课件 (jiāo xué)
数学(shùxué) 九年级下册 湘教版
12/10/2021
第一页，共十三页。
第2章 圆
2.1 圆的对称性
12/10/2021
第二页，共十三页。
观察下面图形，它们(tā men)有什么特点
这就是(jiùshì)圆的一种原型．
12/10/2021
第三页，共十三页。
探究学习
身重合。
3、点与圆的位置关系：
设点P和圆心距离为d，圆的半径为r
（1）点P在圆内
（2）点P在圆上 （132）/10/点202P1 在圆外
d<r
d=r
d>r
第十二页，共十三页。
内容(nèiróng)总结
教学课件。第2章 圆。圆也可以看成是一个动点绕一个定点(dìnɡ diǎn)旋转一周所形成的图形， 定点(dìnɡ diǎn)叫作圆心.。如图线段EF是⊙O的一条直径，线段EF的长
圆的轴对称性公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
• 相信自己能独立 完毕解答.
第10页
试一试P93 15
挑战自我画一画
• 4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE长.
A
H
G
D
BE
·
F
C
0
第11页
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）直径垂直于弦， 并且平分弦所正确两条弧
（2）平分弧直径垂直平分弧所正确弦。
推论（2）
圆两条平行弦所夹弧相等
第12页
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
小结:
N
处理相关弦问题，经常是过圆心作弦
垂线，或作垂直于弦直径，连结半径等辅 助线，为应用垂径定理创造条件。
第13页
； 有书网
mqx37jop
离水远一些儿地方去发展，那你们以后去了哪里啊？”耿英无助地看看爹和哥哥，可他们似乎都没有准备回答妹妹问话意思。再看看可怜弟弟， 耿直却低声说：“姐，还是你说哇。”郭氏看到耿英为难样子，心里已经明白了七八分：也许就该是说到他们父子分离当口了……郭氏咬咬牙， 发狠地说：“说哇英子，娘能挺得住……”耿英忍忍眼泪，低声说：“爹准备带俺们三个去景德镇发展，可就在穿过山涧小路翻越大山时，建 筑在两山之间拦水大坝，忽然之间就，就垮塌了。当初，俺们三个刚刚到了山顶上，可，可爹他，他，他不见了……”快八年了，并且爹爹现 在就好好地坐在自己面前，但回想起当初那痛心一幕，耿英还是忍不住夺眶而出泪水，耿正和耿直也哭了。郭氏和耿兰同时痛哭失声……耿直 哭着说：“娘，都怪俺，是俺非要去看山顶上那个大坝……”耿老爹始终认真听着，始终没有插话。听到这里，他也泪流满面了。懂事尚武往 前挪挪椅子，轻轻推一推他膝盖。他明白尚武意思，赶紧擦把脸清一清嗓子说：“好啦好啦，俺这不是没有死嘛！剩余来俺来说哇！”见妻子 略略止住了悲声，小女儿也扬起泪脸来看着自己，耿老爹暗暗咬咬牙，故作轻松地说：“其实啊，说起来也没有多么复杂。俺被洪水卷走后， 努力屏住气，右手抓住扁担抱在胸前，左手像蛤蟆那样划水，居然就漂浮上来了！眼前正好漂来一块儿门板，俺就爬上去了。不，是那个会水 白弟兄托着一块儿门板向俺游来，并把俺推上去！”耿正、耿英和耿直都瞪大了眼睛问：“爹，你说什么？是白幺爹，他……”耿老爹点点头， 必定地说：“对，俺当初真是这样看到和感到！”耿老爹也顾不了耿正兄妹三人还在瞪着眼儿互相看呢，只管自己继续说下去：“以后，门板 被冲到了一百多里远一个小寺庙前，老和尚和徒弟们发觉了俺，就把俺救了。和尚师徒们对俺较好，老和尚还给俺调理治病。俺把一个聪明可 爱小沙弥当成了小直子。”郭氏又痛哭开了：“本来，你是急疯了啊！”耿老爹拍拍妻子胳膊，轻轻地说：“说好了不兴哭！”耿兰问：“以 后呢，俺三哥，莫非说，他，他是老和尚徒弟……”尚武插话了，轻轻地说：“兰妹妹，你听咱爹慢慢说嘛，三哥怎么会是老和尚徒弟呢！” 接下来，耿老爹就将如何救不慎落水尚武，如何将尚文兄妹三个当成耿正兄妹仨，尚武父母如何想方设法为自己求医问药……简明地述说了一 遍。说到病好之后确知耿正兄妹三人很也许已经不在人世，耿老爹几次哽咽，全家人都泪落纷纷。听完了，郭氏哭着说：“俺已经觉察出来， 你们父子说话有些个话里有话，但却没有想到，居然会是这样哇……”郭氏不歇气儿地痛哭开了，大家也不再劝说什么，只管各自
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试一试P93 15
挑战自我画一画
• 4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE长.
A
H
G
D
BE
·
F
C
0
第11页
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）直径垂直于弦， 并且平分弦所正确两条弧
（2）平分弧直径垂直平分弧所正确弦。
推论（2）
圆两条平行弦所夹弧相等
第12页
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
小结:
N
处理相关弦问题，经常是过圆心作弦
垂线，或作垂直于弦直径，连结半径等辅 助线，为应用垂径定理创造条件。
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离水远一些儿地方去发展，那你们以后去了哪里啊？”耿英无助地看看爹和哥哥，可他们似乎都没有准备回答妹妹问话意思。再看看可怜弟弟， 耿直却低声说：“姐，还是你说哇。”郭氏看到耿英为难样子，心里已经明白了七八分：也许就该是说到他们父子分离当口了……郭氏咬咬牙， 发狠地说：“说哇英子，娘能挺得住……”耿英忍忍眼泪，低声说：“爹准备带俺们三个去景德镇发展，可就在穿过山涧小路翻越大山时，建 筑在两山之间拦水大坝，忽然之间就，就垮塌了。当初，俺们三个刚刚到了山顶上，可，可爹他，他，他不见了……”快八年了，并且爹爹现 在就好好地坐在自己面前，但回想起当初那痛心一幕，耿英还是忍不住夺眶而出泪水，耿正和耿直也哭了。郭氏和耿兰同时痛哭失声……耿直 哭着说：“娘，都怪俺，是俺非要去看山顶上那个大坝……”耿老爹始终认真听着，始终没有插话。听到这里，他也泪流满面了。懂事尚武往 前挪挪椅子，轻轻推一推他膝盖。他明白尚武意思，赶紧擦把脸清一清嗓子说：“好啦好啦，俺这不是没有死嘛！剩余来俺来说哇！”见妻子 略略止住了悲声，小女儿也扬起泪脸来看着自己，耿老爹暗暗咬咬牙，故作轻松地说：“其实啊，说起来也没有多么复杂。俺被洪水卷走后， 努力屏住气，右手抓住扁担抱在胸前，左手像蛤蟆那样划水，居然就漂浮上来了！眼前正好漂来一块儿门板，俺就爬上去了。不，是那个会水 白弟兄托着一块儿门板向俺游来，并把俺推上去！”耿正、耿英和耿直都瞪大了眼睛问：“爹，你说什么？是白幺爹，他……”耿老爹点点头， 必定地说：“对，俺当初真是这样看到和感到！”耿老爹也顾不了耿正兄妹三人还在瞪着眼儿互相看呢，只管自己继续说下去：“以后，门板 被冲到了一百多里远一个小寺庙前，老和尚和徒弟们发觉了俺，就把俺救了。和尚师徒们对俺较好，老和尚还给俺调理治病。俺把一个聪明可 爱小沙弥当成了小直子。”郭氏又痛哭开了：“本来，你是急疯了啊！”耿老爹拍拍妻子胳膊，轻轻地说：“说好了不兴哭！”耿兰问：“以 后呢，俺三哥，莫非说，他，他是老和尚徒弟……”尚武插话了，轻轻地说：“兰妹妹，你听咱爹慢慢说嘛，三哥怎么会是老和尚徒弟呢！” 接下来，耿老爹就将如何救不慎落水尚武，如何将尚文兄妹三个当成耿正兄妹仨，尚武父母如何想方设法为自己求医问药……简明地述说了一 遍。说到病好之后确知耿正兄妹三人很也许已经不在人世，耿老爹几次哽咽，全家人都泪落纷纷。听完了，郭氏哭着说：“俺已经觉察出来， 你们父子说话有些个话里有话，但却没有想到，居然会是这样哇……”郭氏不歇气儿地痛哭开了，大家也不再劝说什么，只管各自
九年级数学下册 27.1 圆的认识 27.1.2 圆的对称性课件
∵点A和点A′重合，点B与点Ｂ′重合.
∴ AB与AB 重合,弦AB与弦A′B′重合，
∴ ⌒A B = ⌒ .
2021/12/11
A′B′
第十五页，共三十二页。
圆心角、弧、弦之间的关系(guān xì)定理
• 在同圆或等圆 中,相等(xiāngděng)的圆心角所对的弧相
. 等(xiāngděng)，所对的弦相等(xiāngděng)
探究新知
同圆 能够重合(chónghé)的两个圆. 等圆 半径相等(xiāngděng)的两个圆. 同圆或等圆的半径(bànjìng)相等. 等弧 在同圆或等圆中，
能够互相重合的两条弧
叫做等弧.
2021/12/11
第十页，共三十二页。
圆心角 顶点在圆心(yuánxīn)的角叫做圆心(yuánxīn)角 弦(心如距∠AO过B)圆. 心作弦的垂线,圆心与垂足之间
内容(nèiróng)总结
圆的对称性。2.如果是,它的对称轴是什么。圆的对称轴是任意一条经过(jīngguò)圆心的直 线,它有无数条对称轴.。1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.。3.经过(jīngguò)圆心的弦
No 叫做直径(例如：直径AC).。平行四边形绕对角线交点O旋转180度后与原来的平行四边形重合.。
2021/12/11
第二十八页，共三十二页。
︵︵ 7. 如 图 ， 已 知 AD＝BC， 试 说 明 CD=解AB：︵．∵︵︵AD＝︵︵BC︵，
∴︵AD+A︵C＝BC+AC，
∴DC＝AB，
∴CD=AB.
2021/12/11
第二十九页，共三十二页。
8. 如图, 在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°.
圆的对称性
鲁版版数学九下多媒体教学课件2 圆的对称性 第2课时初三
5.2 圆的对称性
第2课时
圆心角: 顶点在圆心的角 A
O· B
定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦相等.
A
A
B
●O
B
●O
A′
B′
由条件: ①∠AOB=∠A′OB′
可推出
⌒ ⌒ A′
②AB=A′B′
③AB=A′B′
O● ′
B′
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角, ②两条弧,③两条弦中有一组量相等,那么它们所 对应的其余各组量都分别相等.
∴ CE 的度数为40°
【跟踪训练】
如图，已知AB,DE为⊙O的两条直径，弦 AC∥ED ，AC 的度数为80°,求∠BOD的度数.
B
E
O
C
D
A
【解析】连接OC，则∠AOC=80°，又∵OA=OC
∴∠OAC=50°，
∵AC∥ED，∴∠BOE=∠OAC=50°，
∴∠BOD=180°-∠BOE=130°.
1.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 2.能应用圆心角与它所对的弧的度数之间的关系进行解决问题.
1.（2015·丽水中考）如图，圆心角∠AOB=20°，将 AB 旋转 n
得到 CD ，则 CD 的度数是
度
【解析】如图，∵将 A旋B 转 得n到
∴根据旋转的性质，得 CD .AB
∵∠AOB=20°，∴∠COD=20°.
n°的弧
例1 如图在⊙O中，已知弦AB
所对的劣弧为圆的 1 ，⊙O的
3
O
半径为R，
求弦AB的长.
AC B
【解析】由题意可知，AB的度数为120°，∴∠AOB=120°，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，
第2课时
圆心角: 顶点在圆心的角 A
O· B
定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦相等.
A
A
B
●O
B
●O
A′
B′
由条件: ①∠AOB=∠A′OB′
可推出
⌒ ⌒ A′
②AB=A′B′
③AB=A′B′
O● ′
B′
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角, ②两条弧,③两条弦中有一组量相等,那么它们所 对应的其余各组量都分别相等.
∴ CE 的度数为40°
【跟踪训练】
如图，已知AB,DE为⊙O的两条直径，弦 AC∥ED ，AC 的度数为80°,求∠BOD的度数.
B
E
O
C
D
A
【解析】连接OC，则∠AOC=80°，又∵OA=OC
∴∠OAC=50°，
∵AC∥ED，∴∠BOE=∠OAC=50°，
∴∠BOD=180°-∠BOE=130°.
1.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 2.能应用圆心角与它所对的弧的度数之间的关系进行解决问题.
1.（2015·丽水中考）如图，圆心角∠AOB=20°，将 AB 旋转 n
得到 CD ，则 CD 的度数是
度
【解析】如图，∵将 A旋B 转 得n到
∴根据旋转的性质，得 CD .AB
∵∠AOB=20°，∴∠COD=20°.
n°的弧
例1 如图在⊙O中，已知弦AB
所对的劣弧为圆的 1 ，⊙O的
3
O
半径为R，
求弦AB的长.
AC B
【解析】由题意可知，AB的度数为120°，∴∠AOB=120°，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，
2022-2023学年鲁教版(五四制)数学九年级下册 圆的对称性 课件PPT
感悟新知
1-1. 下列说法中，不正确的是( D ) A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合 C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴
感悟新知
知识点 2 圆心角、弧、弦之间的关系
1. 圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的 圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
AB，求证：BC = AE.
解题秘方：构造圆心角，利 用“相等的圆心角所对的弧 相等”证明
感悟新知
证明：如图3-2-2，连接OE. ∵ OE=OC，∴∠ C= ∠ E. ∵ CE ∥ AB， ∴∠ C= ∠ BOC，∠ E= ∠ AOE.
︵︵ ∴∠ BOC= ∠ AOE. ∴BC = AE.
感悟新知
以不能说“圆的对称轴是直径”.
感悟新知
例 1 下列命题中，正确的是( A ) A. 圆和正方形都既是轴对称图形，又是中心对称 图形 B. 圆和正方形的对称轴都有无数条 C. 圆和正方形绕其对称中心旋转任意一个角度， 都能与原来的图形重合 D. 圆和正方形都有有限条对称轴
感悟新知
解题秘方：紧扣圆和正方形的轴对称性及中 心对称性进行辨析. 解：圆和正方形都既是轴对称图形，又是中心对称图形， 所以A 中命题正确；圆的对称轴有无数条，正方形的对 称轴有4 条，所以B，D 中命题错误；圆绕其对称中心 旋转任意一个角度都能与原来的图形重合，而正方形只 有绕它的对称中心旋转90°的整数倍才能与原图形重合， 所以C 中命题错误.
警示误区 不能忽略在同圆或等圆中这个前提，如果丢掉了这
个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.
感悟新知
2. 示例 弧、弦、圆心角的关系 ︵︵
初中数学九年级下册《3.2圆的对称性》PPT课件
过点M作直径CD.
左图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
┗●
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 B 说小你亮的发想现法图和中理有由:.
平分弦（DM●不O是直径）由的①直③径CA垂DM直是=于B直M弦径,并且可平推分得弦所对②④⑤的CAA⌒⌒DCD两⊥==条BB⌒⌒ACD弧B,. ,.
题设
结论
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
垂径定理三种语言
• 定理: 垂直于弦的直径平分弦,ACM└ Nhomakorabea●O
如并B图且∵平C∴分DCA是A弦D⌒MC⊥直=所=BAB径⌒对MCB,,,,的两•• 杨 垂 圆要条老径中的弧师定一结. 提理个论示是重,三:
高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的
半径(精确到0.1m).
你是第一
个告诉同
学们解题
方法和结
果的吗？
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为AB垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定A理B， 3D7是.4A, CBD的中 7点.2，, C是 的中点，CD就37.是4 拱高.
垂径定理推论2
圆的两条平行弦所夹的 弧相等。
A
●O
B
C
D
M
A
●O
B
CM
D
垂径定理的应用(测公路的弯道的半径 )
例 1. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中
CD ，点O是 CD 的圆心），其中CD=600m，E为
九年级下册数学课件：3.1.1__圆的对称性__第1课时
直角三角形△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝
6，则⊙O的半径为（
）
A 10 B 2 3
【答案】D
C 32
D 13
2.（芜湖·中考）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中
OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．19
B．16
C．18
D．20
【答案】D
3.（烟台·中考）如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定 点O的距离等于定长r 的点组成的图形．
为什么车轮是圆的？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心） 的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车 轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的 路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮 都做成圆形的数学道理．
O
5
A
┏
C8
B
2.在⊙O中，OC垂直弦AB，AB = 16，
OA = 10，OC = 6 .
O 10
A
C 16 B
3.判断下列说法的正误： (1)弦是直径；( )
(2)过圆心的线段是直径；( )
பைடு நூலகம்
(3)过圆心的直线是直径；(
)
(4)直径是最长的弦；(
)
(5)圆心相同,半径相等的两个圆是同心圆;( )
垂径定理
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└
B 你能发现图中有哪些等量关系?与同 伴说说你的想法和理由.
·O
小明发现图中有:
D
【鲁教版】数学九年级下册：《圆的对称性》课件
5.2. 圆的对称性(2)
复习
如图，若AB=CD则（ 若⌒ ⌒ AB=CD 则（
若∠ AOB= ∠COD则（
D
O
C
A
B
）
）
）
想一想P88 1
圆的对称性
圆是轴对称图形吗？ 它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
●O
圆的对称性
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
C
【相关概念】 最长弦与最短弦
A
【巩固训练】 B
●O
如图，M为半径为5的⊙O内的一点，
且MO=3,在过点M的所有⊙O的弦中，
弦长为整数的弦共有 条，
D
思考题:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
F
D
E C
O
B
小结：
1：圆是轴对称图形 2：垂径定理及其运用
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2021年4月 2021/4/12021/4/12021/4/14/1/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/4/12021/4/1April 1, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/4/12021/4/12021/4/12021/4/1
•
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。2021/4/12021/4/1Thursday, April 01, 2021
•
10、低头要有勇气，抬头要有低气。2021/4/12021/4/12021/4/14/1/2021 1:31:39 PM
复习
如图，若AB=CD则（ 若⌒ ⌒ AB=CD 则（
若∠ AOB= ∠COD则（
D
O
C
A
B
）
）
）
想一想P88 1
圆的对称性
圆是轴对称图形吗？ 它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
●O
圆的对称性
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
C
【相关概念】 最长弦与最短弦
A
【巩固训练】 B
●O
如图，M为半径为5的⊙O内的一点，
且MO=3,在过点M的所有⊙O的弦中，
弦长为整数的弦共有 条，
D
思考题:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
F
D
E C
O
B
小结：
1：圆是轴对称图形 2：垂径定理及其运用
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2021年4月 2021/4/12021/4/12021/4/14/1/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/4/12021/4/1April 1, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/4/12021/4/12021/4/12021/4/1
•
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。2021/4/12021/4/1Thursday, April 01, 2021
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10、低头要有勇气，抬头要有低气。2021/4/12021/4/12021/4/14/1/2021 1:31:39 PM
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作O垂C⊥线A利B，用垂勾足股为定点理C。，则：
OC=
1 2
OA=
R 2
.
∴ AC
OA2 OC 2
R2
R 2 2
3 R. 2
∴ AB 2AC 2 3 R 3R.
2
高效上好每节课·快乐上好每天学
例3中已知⊙O的半径为R，弦AB 长为 R,试求弧AB的度数。
高效上好每节课·快乐上好每天学
高效上好每节课·快乐上好每天学
高效上好每节课·快乐上好每天学
1、了解1°的弧的意义，理解圆心角的度数与 所对弧度数相等的关系； 2、能够熟练运用圆的对称性及相关性质定理进 行简单的计算和证明； 3、通过小组合作学习中，培养学生 的合作交流意识与习惯。
高效上好每节课·快乐上好每天学
1、叙述圆心角的意义，叙述圆的轴对称性与 中心对称性。 2、叙述与圆心角定理及推论的内容，结合图 形用几何推理的形式加以表述。
结论：圆心角的度数与 它所对的弧的度数相等。
高效上好每节课·快乐上好每天学
例3 如图，在⊙O中，已知弦AB所对的劣弧为
圆的 1 ，⊙O的半径为R，求弦AB的长。 3
高效上好每节课·快乐上好每天学
解：由题意可知，弧AB的度数为120°， ∴∠AOB=120 °.
∵O解A题=O的B关，键是会求
∴∠O劣A弧BA=B∠的O度BA数=以30及°. 过圆心O作弦AB的
高效上好每节课·快乐上好每天学
已知弧AB和弧CD分别是⊙O1和⊙O2的弧，判断
下列说法是否正确：
（1）如果弧AB的度数=弧CD的度数，那么
√ ∠AO1B=∠CO2D；( )
（2）如果弧AB的度数=弧CD的度数，
× 那么弧AB =弧CD； ( )
（3）如果弧AB =弧CD，那么弧
× AB的度数=弧CD的度数。 ( )
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（1）了解了1°的弧的意义； （2）知道了圆心角的度数与它所对弧的度 数相等的关系。
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例4 如图，已知AB，CD为⊙O的两条直径，
弦CE∥AB，∠BOD=110°，求弧CE的度数。
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解：连接OE. ∵∠BOD=110°，∴∠BOC=70°.
∵CE∥AB，∴∠C=70°.
∵OC=OE，∴∠求E弧=∠CCE=的70度°数. 应先 ∴∴弧∠CCOEE的=1度80数°求为-它∠40E所°-度∠对.C数=圆4。0心°角. 的
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（1）1平角等于多少度？1周角等于多少度？ （2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每 一份的圆心角的度数是多少？ 整个圆被等分成多少份？为什么？
把整个圆等分成360份，每一份这样的弧 叫做1°的弧。
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（1）1°的圆心角所对的弧的度数是多少？反 过来， 1°的弧所对的圆心角的度数是多少？ （2）n°的圆心角的度数所对的弧的度数