向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册
《高等数学》(下)期末考试考前复习提纲
《高等数学》下册期末考试考前复习提纲第一部分 空间解析几何与向量代数一、向量代数 1、向量的概念 （1）向量的定义有大小有方向的线段a（自由向量） （2）向量的表示1）),,(z y x a a a a =， 为向量的直角坐标表示2）0a a a=，其中a 为向量的模（大小），222zy x a a a a ++= 0a 为a的单位向量，0(cos ,cos ,cos )(,,)y x z a a a a a a aαβγ==，)cos ,cos ,(cos γβα为a的方向余弦，1cos cos cos 222=++γβα注：若有两点：111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则向量AB 为 212121{(),(),()}A B x x y y z z =--- 2、向量的运算 （1）线性运算),,(z z y y x x b a b a b a b a +++=+),,(z y x a a a a λλλλ=（2）数量积（标积，点积） 1）cos ,,a b a b a b ϕϕ⋅≡≡(0)ϕπ≤≤2）z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅特例：当b a ⊥时，0=⋅b a（两向量垂直的判据）（3）向量积（矢积，叉积）1）0sin c b a c b a ϕ=≡⨯，b a ,与c为右手螺旋关系2）()()()xy z y z z yz x x z x y y x xy zij ka b a a a i a b a b j a b a b k a b a b b b b ⨯==-+-+-特例：当b a//时，0=⨯b a ，或z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ::::=↔==（两向量平行的判据）3、两点的间距公式212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=4、平面π外一点0000(,,)P x y z 到平面π的距离公式：Dd =平面π的点法式方程为： 0Ax By Cz D +++= 二、空间解析几何1、空间曲面与空间曲线 （1）方程曲面方程 0),,(=z y x F （三元方程）曲线方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 或)(),(),(t z z t y y t x x ===（2）常见的曲面与曲线1） 柱面—— 一直线l （母线）沿着一平面曲线C （准线）作平行于一定直线L 的移动所得的曲面 母线z //轴的柱面： 0),(=y x F母线y //轴的柱面： 0),(=x z F 母线x //轴的柱面： 0),(=z y F2） 旋转面—— 一平面曲线（母线）绕着同一平面内的定直线（转轴）旋转一周所得的曲面例(,)00z y f y z x =⎧⎨=⎩绕z 不变，旋转曲面0),(22=+±z y x f 3）空间螺旋线t k z a y a x ωθθθθ====,,c o s ,s i n4）二次曲面（三元二次方程） )(a 椭球面1222222=++cz b y a x椭球面与平行于坐标面平面的交线：→⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221z z c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b yz c c a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221y y c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(y y y b b c z y b b a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221x x c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(x x x a a c z x a a b y 分别为在1z z =，1y y =与1x x =平面内的椭圆。
高等数学 向量代数与空间解析几何题【精选文档】
第五章向量代数与空间解析几何5。
1。
1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。
因为＝－，所以（a＋b）。
图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。
（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。
从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为P= A v·n.例3 设的三条边分别是a、b、c(图5－15)，试用向量运算证明正弦定理证明注意到CB=CA+AB，故有CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA=ABCA=AB(CB+BA） =ABCB图5－15于是得到CBCA=ABCA =ABCB从而 |CBCA|=|ABCA| =｜ABCB|即ab sin C＝cb sin A＝ca sin B所以5。
2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。
解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。
5.2。
2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。
解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。
(完整版)高数期末复习题第八章空间解析几何与向量代数
第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ϖϖ，则同时垂直于b a ϖϖ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3( 则： 且 b a c b a ϖϖϖϖ 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面 平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是 平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是 （ C ）A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。
8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （C ）A ．αcos ； B. αsin ； C. α ； D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a ρρ与互相垂直，则 （ B ）A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ϖϖ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ϖϖ；C ．充分不必要条件是0=⋅b a ϖϖ； D. 充分必要条件是0=⨯b a ϖϖ.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a =ϖ, ),,(z y x b b b b =ϖ 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则 （ C ）A. b a ϖϖ//；B. λλ(b a ϖϖ=为非零常数) ；C. b a ϖϖ⊥ ；D. 0ϖϖϖ=+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是 （ B ）A ．平行xoy 面；B . 平行z 轴 ； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线 垂直的平面方程为 （ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；C. 3=-+z y x ；D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）A ．369)4222=-+y z x （； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）A ．2222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ； C. 2222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示 （ B ）A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、 一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a ϖϖ和，求这个平面。
高等数学(下)期末复习题及近年考题题解
第八章 空间解析几何与向量代数1、求过点M （0,0，1）且垂直于平面0532=-+-z y x 的直线的方程. （07级下A 第一1题7分）解：}1,3,2{-==→→n s 3分直线方程为：1132-=-=z y x 7分 2、设),2,1,3(--=a),1,2,1(-=b 求，b a ⨯.b a ∙（07级下A 第二1题7分）解：)7,1,5(121213=---=⨯→→→→→kj i b a 4分3223=+-=∙→→b a 7分第九章 多元函数微分学及其应用 3、设)32sin(y x z +=，求xy z ,.dz4、设),2sin(y x z -=求dz yz x z ,,∂∂∂∂. （05级下第一1题6分）解：)2cos(2y x xz-=∂∂ 2分)2cos(y x yz--=∂∂ 4分)2)(2cos(dy dx y x dz --= 6分5、设),,(xy y x f z -=其中f 具有二阶连续偏导数，求.2yx z ∂∂∂（05级下第一2题6分） 解：21f y f xz'+'=∂∂ 3分 22212112221212112)()(f f xy f y x f f x f y f f x f yx z'+''+''-+''-=''+''-+'+''+''-=∂∂∂ 6分 6、设)32sin(y x z -=，求yx z∂∂∂2.（07级下A 第二2题7分）解：)32cos(2y x xz-=∂∂ 4分)32s i n (62y x yx z -=∂∂∂ 7分7、设2(,)y z f x y x=，其中f 具有连续二阶偏导数，求xy z .（05级下补第一1题6分） 解：22122122f x yf xy f x y xy f z x '-'='-⋅'= 3分 222222121122111)1(2)1(2f x x f x f x y f x x f x f xy z xy '-⋅''+⋅''-'+⋅''+⋅''= 22122312113122f xf x f x y f y f y x '-'+''-''+''= 6分 8、设),,(2xy y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求.2yx z ∂∂∂9、求旋转抛物面122-+=y x z 在点（2，1，4）处的切平面及法线方程. （07级下A 第三1题7分）解：1,2,2,1),,(22-===--+=z y x F y F x F z y x z y x F)1,2,4(-=→n 3分切平面方程为：0)4()1(2)2(4=---+-z y x 或0624=--+z y x 5分 法线方程为：142142--=-=-z y x 7分 10、求)2sin(y x z -=在点（0，0）处的梯度及沿梯度方向的方向导数 解：))2cos(),2cos(2(),(y x y x z z z grad y x ---==)1,2()0,0(-=z grad βαcos )0,0(cos )0,0()0,0(y x z z lz+=∂∂5)51()1(522=-⨯-+⨯=11、求32z xy u =在点M （1，1，1）沿从M 到N （2，3，-1）的方向的方向导数. （07级下A 第二2题7分） 解：32cos ,32cos ,31cos ),2,2,1(-===-=→γβαMN 3分 223323,2,z xy zuxyz y u z y x u =∂∂=∂∂=∂∂ 5分31)32(3322311-=-⨯+⨯+⨯=∂∂Mlu 7分12、欲制造一个体积为V 的无盖长方体形水池，试设计水池的尺寸，使其表面积最小. （07级下A 第四题8分）解：设长为x ，宽为y ，高为xyV z =， 表面积xyVy x xy z y x xy A )(2)(2++=++= 3分 020222=-=∂∂=-=∂∂yV x y A xV y x A 5分3334,22,2V A Vz V y x ==== 8分 13、已知曲面方程34222=++z y x ，（1）求其在第一卦限内的点),,(c b a 处的切平面方程；（2）求该切平面与三坐标面所围立体的体积),,(c b a V 的最小值. （05级下第六题8分） 解：法向量)8,2,2(c b a n =→切平面方程)(8)(2)(2c z c b y b a x a -+-+-或34=++cz by ax 3分 切平面在三个坐标轴上的截距分别为cb a 43,3,3 abcc b a c b a V 89433361),,(=⋅⋅⋅=5分 令)34(89),,(222-+++=c b a abc c b a F λ 解方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+-==+-==+-=34088902890289222222c b ac abc F b cab F a bc a F c ba λλλ得21,1===c b a ),,(c b a V 的最小值为49)21,1,1(=V 8分第十章 重积分14、设D: ,0,222>≤+a a y x 求⎰⎰+Ddxdy y x 22（05级下第一3题6分）（07级下A 第一3题7分） 解：⎰⎰⎰⎰=+aDdr r d dxdy y x 022022πθ 3分 4分332a π=6分 7分 15、已知)(x f 在],[b a 上连续，证明：⎰⎰⎰-=baxab adx x b x f dy y f dx ))(()(.（07级下A 第三2题7分） 证明：⎰⎰=b abydx y f dy )(左 4分⎰-=bady y f y b )()(⎰-=badx x b x f ))(( 7分16、计算二重积分σd x xD⎰⎰sin ，其中D 为1,,0===x x y y 所围区域. 17、计算二重积分σd y D⎰⎰,其中D 为2,x y x y ==所围区域. 18、计算三重积分,)(222dV z y x ++⎰⎰⎰Ω其中Ω为球体2222a z y x ≤++.（05级下第一4题6分） 解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++Ωadr r d d dV z y x 0420222sin )(ϕϕθππ 3分 5052054sin 5a d a d πϕϕθππ==⎰⎰6分 19、计算三重积分,zdV ⎰⎰⎰Ω其中Ω为球体1,22=+=z y x z 所围区域.20、证明：⎰⎰⎰----=-b an xan b ady y f y b n dy y f y x dx )()(11)()(12证明：⎰⎰--=babyn dx y f y x dy )()(2左右=--=⎰-baby n dy n y x y f ]1)()[)121、设有平面区域1:22≤+y x D ，（1）计算二重积分σyd x y D)(22+⎰⎰；（2）设函数),(y x f 在D 上连续，试给出一个),(y x f 所满足的一般条件，使得0),(=⎰⎰σd y x f D.22、设有平面区域10,10:≤≤≤≤y x D ，（1）计算二重积分σd y x y x D)(22-⎰⎰；（2）设函数),(y x f 在D 上连续，试给出一个),(y x f 所满足的一般条件，使得0),(=⎰⎰σd y x f D（05级下第二题8分）解：（1）0)23()()(21010221022=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y x xy dx d y x y x Dσ 4分（2）由于积分区域关于直线x y =对称，则当),(),(x y f y x f -=时0),(=⎰⎰σd y x f D8分注：本题答案不惟一，如：),(),(),(x y g y x g y x f -=等说明：积分域的轮换对等性（或称为轮换对称性）是把刻画积分域的不等式或不等式组中的坐标进行轮换或对换后，积分域不改变的性质.对于平面xOy 上的积分域来说，轮换对称性就是关于直线x y =的对称性；对于空间域来说，x 与y 的轮换对称性是关于平面x y =的对称性.积分域的轮换对称性与被积函数的轮换对称性（以三元函数为例）：若积分域Ω的边界曲面方程中的z y x ,,依次轮换，方程的形式不变，则称Ω具有轮换对称性.若被积函数),,(z y x f 中的z y x ,,依次轮换，方程的形式不变，则称),,(z y x f 具有轮换对称性.第十一章 曲线积分与曲面积分 23、计算对弧长的曲线积分,122ds xx L⎰+其中L 为曲线x y ln =从1=x 到e x =的一段弧.（05级下第一5题6分） 解：dx xx x ds x x eL⎰⎰++=+1222221111 3分 2121-==⎰e xdx e6分24、计算对弧长的曲线积分,12ds e y Lx ⎰+其中L 为曲线x e y =从0=x 到1=x 的一段弧.25、计算对弧长的曲线积分,12ds xy L⎰+其中L 为曲线x y ln =从1=x 到e x =的一段弧.26、计算对弧长的曲线积分,ds y L⎰其中L 为抛物线2x y = 从点O （0，0）到B （1，1）之间的一段弧. （07级下A 第三3题7分） 解：⎰⎰+=1241dx x x ds y L4分12155-=7分 27、计算对坐标的曲线积分dy y x dx x xy L)()2(22++-⎰,其中L 是由抛物线2x y =和2y x =所围区域的正向边界. （07级下A 第二3题7分）解：⎰⎰⎰⎰⎰-=∂∂-∂∂=++-DDLd x d y Px Q dy y x dx x xy σσ)21()()()2(22 3分 ⎰⎰-=xxdy x dx 2)21(10 5分301))(21(12=--=⎰dx x x x 7分 28、计算对坐标的曲面积分,zdxdy ydzdx dydz x ++⎰⎰∑其中∑为圆柱体30,922≤≤≤+z y x 的外侧表面. （07级下A 第一4题7分）解：⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++dV zdxdy ydzdx dydz x )111( 4分ππ813332=⨯⨯⨯= 7分 29、计算对坐标的曲面积分,)3()2()(432dxdy x z dzdx z y dydz y x +++-++⎰⎰∑其中∑为圆柱体10,122≤≤≤+z y x 的外侧表面. 30、计算对坐标的曲面积分,)()()(4232dxdy x z dzdx z y dydz yx +++-++⎰⎰∑其中∑为圆柱体10,122≤≤≤+z y x 的外侧表面. （05级下第一6题6分） 解：⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑=+++-++zdV dxdy x z dzdx z y dydz y x 2)()()(4232 3分 πρρθπ==⎰⎰⎰z d z d d 110202 6分31、计算对坐标的曲面积分,222dxdy zx dzdx yz dydz xy ++⎰⎰∑其中∑为球面2222a z y x =++的外侧.32、证明曲线积分dy my y e dx mx y e x Lx )cos ()sin (-++⎰在全平面上与路径无关；并计算dy my y e dx mx y ex Lx)cos ()sin (-++⎰，其中 L 为曲线2x ax y -=从0=x 到)0(>=a a x 的一段弧.33、证明对坐标的曲线积分⎰-+-Ldy x y dx y x )4()2(在全平面上与路径无关；计算⎰-+-Ldy x y dx y x )4()2(，其中 L 为曲线x e y xx 2sin 2π-=从0=x 到1=x 的一段弧.（05级下第四题8分）证明:,4,2x y Q y x P -=-=因为1-=∂∂=∂∂xQ y P 所以曲线积分⎰-+-Ldy x y dx y x )4()2(在全平面上与路径无关 4分2)14(2)4()2(11=-+=-+-⎰⎰⎰dy y xdx dy x y dx y x L8分第十二章 无穷级数34、判别正项级数∑∞=1!3n nn 的收敛性.解：1013lim lim1<=+=∞→+∞→n u u n nn n由比值审敛法知∑∞=1!3n nn 收敛.35、判别正项级数∑∞=1!3n n n nn 的收敛性. （05级下第一7题6分）解：13)1(3lim lim1>=+=∞→+∞→e n n u u n n nn n 4分由比值审敛法知∑∞=1!3n n n nn 发散 6分36、判别正项级数∑∞=+111n na 的收敛性（)0>a （07级下A 第二4题7分） 解：（1）当1=a 时，∑∞=121n 发散 2分（2）当10<<a 时，)(0111∞→≠→+n a n发散 4分（3）当1>a 时，n n a a 111<+, ∑∞=11n n a收敛，∑∞=+∴111n na 收敛 7分 37、判别正项级数∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的收敛性.解：31)2)(1(1nn n n <++，而级数∑∞=131n n 收敛，由比较审敛法，∑∞=++1)2)(1(1n n n n 收敛.38、已知幂级数∑∞=--11)1(n nn x n .试求其收敛区间. （07级下A 第一5题7分）解：1111lim lim1=+==∞→+∞→nn a a n nn n ρ 3分 收敛半径11==ρR 5分收敛区间为)1,1(- 7分39、求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.解：令,121)1()(012∑∞=++-=n n nx n x s 因为,11)1()(22x x x s n n n +=-='∑∞=所以,arctan )(x x s = 故.41arctan )1(12)1(0π===+-∑∞=s n n n40、将函数x y arctan =展开成x 的幂级数解：（直接将x arctan 展开办不到，但)(arctan 'x 易展开）)1()1(11)(arctan 022<-=+='∑∞=x x x x n nn积分得]1,1[,12)1()1()(arctan arctan 0120200-∈+-=-='=∑⎰∑⎰∞=+∞=x x n dt t dt t x n n n x nn nx因为右端级数在1±=x 时均收敛，又x arctan 在1±=x 连续，所以展开式在收敛区间端点1±=x 成立. 41、已知幂级数∑∞=-11n n nx. 求其收敛域；利用逐项积分法，求其和函数).(x s （05级下第三题8分） 解：11lim lim1=+==∞→+∞→n n a a n nn n ρ 收敛半径1=R当1±=x 时级数发散，收敛区间为)1,1(- 4分xxx dx nx dx x s n xn n n x-===∑⎰∑⎰∞=∞=-1)(11111)1(1)(2<<--=x x x s 8分42、已知函数)(x f 以π2为周期，且πππ<≤-+=x x x x f ,)(2，其傅里叶级数的和函数记为),(x s 计算).2(),(ππs s43、已知函数)(x f 以π2为周期，且πππ<≤-+=x x x f ,)(，其傅里叶级数的和函数记为),(x s 计算).2(),(ππs s （05级下第一8题6分）π=x 是)(x f 的第一类间断点解：ππππππ=+-+-=++-=2)0()0(2)0()0()(f f f f s 3分π2=x 是)(x f 的连续点πππ===)0()2()2(f f s 6分44、已知函数)(x f 以π2为周期，且ππ<≤-=x x x f ,)(，其傅里叶级数∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 的和函数记为),(x s 试利用定积分表示其傅里叶系数，并给出)0(),(s s π的值. （07级下A 第五题8分）解：0cos 1==⎰-πππnxdx x a n 3分0sin 1==⎰-πππnxdx x b n 6分 02)()()(=+=+-πππf f s 7分0)0()0(==f s 8分45、已知函数ππ<≤-=x x x f ,)(的为傅里叶级数∑∞=---12)12()12cos(42n n xn ππ，求级数∑∞=-12)12(1n n 的和. 解：令0=x ，得∑∞=--==12)12(1420)0(n n f ππ， 从而所求级数∑∞=-12)12(1n n 的和为82π. 20061.（6分）设),(2x yy x f z =，其中f 具有连续二阶偏导数，求xy z . 解：22122122f xyf xy f x y xy f z x '-'='-⋅'= 3分222222121122111)1(2)1(2f x x f x f x y f x x f x f xy z xy '-⋅''+⋅''-'+⋅''+⋅''= 22122312113122f xf x f x y f y f y x '-'+''-''+''= 6分 3.（6分）求函数yxez 2=在点)0,1(P 处沿从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 方向的方向导数.解：21cos ,21cos ),1,1(-==-=βαPQ 2分22,1)0,1(2)0,1()0,1(2)0,1(==∂∂==∂∂yyxe yz ex z4分212221)0,1(-=-=∂∂lz 6分4.（6分）设0,2:22≥≤+x y y x D ，求.22⎰⎰+Ddxdy y x x解：⎰⎰⎰⎰⋅⋅=+θπρρρθρθsin 202022cos d d dxdy y x x D3分⎰⎰⎰===20420420sin 204sin sin 4cos sin 4cos )4(πππθθθθθθθθρd d d54554|sin 20==θπ6分5.（8分）计算曲线积分⎰+=Lds y x I )(22，其中L 是中心在)0,(a ，半径为a 的上半圆周.解：方法一：参数方程)0(sin )cos 1(πθθθ≤≤⎩⎨⎧=+=a y a x 2分⎰++=πθθθ022222]sin )cos 1([d a a a I 4分θθπd a ⎰+=03)cos 1(2 6分π32a = 8分方法二：利用极坐标，⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，20,cos 2πθθ≤≤=a r 2分⎰⎰='+=2022224)cos 2()()sin ,cos (21πθθθθθθθθd a a d r r r r f I 4分ππθθπ33223248cos 8a a d a=⋅==⎰8分6.（8分）某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x （万尾），乙种鱼放养y （万尾），收获时两种鱼的收获量分别为y y x x y x )34(,)23(----，求产鱼总量最大的放养数. 解：2234223)34()23(y y xy x x y y x x y x z -+--=--+--= 5分y x z y x z y x 624,243--='--='令0='='y x z z ，得5.0==y x 7分甲种鱼和乙种鱼各放养5.0万尾时产量最大. 8分7.（8分）将x +11展开成1-x 的幂级数. 解：12111-+=+x x 2分211121-+⋅=x 7分 ∑∞=--=02)1()1(21n n nn x 8分 8.（8分）证明级数∑∞=--21)1(n nn n条件收敛. 证明：n n n 11>- ，由比较审敛法，级数∑∞=11n n 发散，∑∞=-∴21n n n发散. 3分 ∑∞=--21)1(n nn n为交错级数，)(01∞→→-n n n 5分2,0)1(21)1(2≥<---='-x x x x x x ，故1111-++≥-n n n n 7分 所以原级数条件收敛. 8分9.(10分)求级数∑∞=--11)1(n n n n x 的收敛半径、收敛区间、收敛区域以及∑∞=-⋅-112)1(n nn n 的和. 解：11lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n 3分收敛区间为)1,1(- 4分当1-=x 时，∑∞=-11n n 发散；当1=x 时，∑∞=--11)1(n n n 收敛.收敛区域为]1,1(- 6分设x x x s n x x s n n n n n n +=-='-=∑∑∞=∞=---11)1()(,)1()(11111 )1ln(11)(0x dx xx s x+=+=⎰9分2ln 3ln )21(2)1(11-==⋅-∑∞=-s n n nn 10分 10.（10分）计算积分dy m y e dx my y e I x Lx )cos ()sin (-+-=⎰，其中ax y x L =+22:上从点)0,(a A 到)0,0(O 的一段弧.解：m y e Q my y e P x x -=-=cos ,sin ， 从点)0,(a A 沿上半圆周到)0,0(O ，补充a x y L →=0:,0:1⎰⎰-=+11L L L I 2分⎰⎰-∂∂-∂∂=Ddxdy yPx Q 0)(6分 28ma dxdy m Dπ==⎰⎰ 9分若从点)0,(a A 沿下半圆周到)0,0(O ，则28ma I π-= 10分11.（10分）设函数)()(2πππ<<-+=x x x x f 的傅立叶级数展开式为)sin cos (210∑∞=++n n n nx b nx a a ，又设函数⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1)(2以π2为周期的傅立叶级数在点π=x 处收敛于c .证明ππ6713=+c b . 证明：⎰-=πππxdx x f b 3sin )(13 2分 ⎰-+=ππππxdx x x 3sin )(12 3分π32= 5分 )]0()0([21-++-=ππf f c 6分)]1(1[212π++-= 8分 221π= 9分 ππππππ67)2132(21132123=+=⋅+=+c b 10分13.（6分）计算曲面积分⎰⎰∑+dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于0=z 及3=z 之间的部分的下侧.解：方法一：补充面)6(3:221≤+=∑y x z ，取上侧.⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=dv )001(12分πθθππ9)213(603203260202=-==⎰⎰⎰⎰⎰dr r r d rdz dr d r 4分 而0)(12=+⎰⎰∑dydz x z 5分 故ππ909)(112=-=-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑+∑∑dydz x z 6分方法二：212:y z x -=∑前侧；222:y z x --=∑后侧，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-----+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑32166:,)2()2()(22222221z y y D dydz y z z dydz y z z dydz x z yz D D yz yz 2分⎰⎰-=yzD dydz y z 222 4分⎰⎰-=-321266222ydz y z dyπ9)6(346232=-=⎰dy y 6分 方法三：222211cos ,1cos yx yx x ++-=++=γαdxdy x z dS x z dydz x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=+=+γααcos cos )(cos )()(222 2分 ⎰⎰∑-+=dxdy x x z ))((2 4分60,20:])(41)[(222≤≤≤≤++--=⎰⎰r D dxdyx y x x xy D xy πθπθθπ9cos 622202===⎰⎰⎰⎰rdr r d dxdy x xyD 6分 2007 一、（本大题共5小题，每小题7分，共35分）1、求过点)1,0,0(M 且平行于平面0532=---z y x ，又与直线11112-+=-=z y x 垂直的直线方程.解：)8,0,4(112132)1,1,2()1,3,2(=---=-⨯--=→→→→kj i s 5分直线方程：8104-==z y x 7分 2、设)32sin(y x z -=，求dz .解：)32cos(3),32cos(2y x y zy x x z --=∂∂-=∂∂ 5分 )32)(32cos(dy dx y x dy yzdx x z dz --=∂∂+∂∂=7分 3、计算二重积分⎰⎰Ddxdy y ysin ，其中D 由x y x y ==,2围成. 解：⎰⎰⎰⎰=y y Ddx y y dy dxdy y y2sin sin 10 3分 ⎰-=1sin )1(ydy y 6分1sin 1-= 7分4、计算对坐标的曲线积分⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()(232，其中L 是四个顶点分别为)2,2(),0,2(),0,0(和)2,0(的正方形区域的正向边界.解：⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()(232dxdy xy y dxdy y Px Q DD⎰⎰⎰⎰+-=∂∂-∂∂=)32()(2 3分 ⎰⎰+-=2022)32(dy xy y dx⎰-=2)48(dx x 6分8= 7分5、判定正项级数∑∞=110!n n n 的收敛性.解：∞=+=+=∞→+∞→+∞→101lim 10!10)!1(lim lim11n n n u u n nn n nn n 5分由比值审敛法，∑∞=110!n n n 发散. 7分 二、（本大题共4小题，每小题7分，共28分）1、已知)0,1,3(),3,1,2(),1,0,1(-C B A ，求三角形ABC 的面积及其所在平面方程. 解：)1,1,2(),2,1,1(--==)3,5,1(112211-=--=⨯→→→kj i4分面积235==S 6分 平面方程：0235=+-+z y x 7分2、求xyz u =在点)2,1,5(M 处沿从M 到)14,4,9(N 的方向的方向导数.解：,,,xy zu xz y u yz x u =∂∂=∂∂=∂∂ )12,3,4(==→MN l)12,3,4(131=→l e 4分 1398)12,3,4()5,10,2(131),,(=∙=∙∂∂∂∂∂∂=∂∂→l MMe zu y u x u l u 7分 3、计算对面积的曲面积分⎰⎰∑z dS ，其中∑为球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部. 解：⎰⎰⎰⎰-≤+∑++⋅--=22222222211h a y x y x dxdy z z y x a z dS 4分 ⎰⎰-≤+--=2222222h a y x dxdy y x a a⎰⎰--=2202220h a dr r a ard πθ 6分haa ln2π= 7分 4、已知函数)(x f 以π2为周期，且πππ<≤-+=x x x x f ,)(2，其傅里叶级数∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a 的和函数记为),(x s 试利用定积分表示其傅里叶系数，并给出)0(),(s s π的值. 解：⎰⎰--+==πππππππnxdx x x nxdx x f a n cos )(1cos )(123分⎰⎰--+==πππππππnxdx x x nxdx x f b n sin )(1sin )(125分2)]()([21)(ππππ=+=+-f f s 6分0)0()0(==f s 7分三、（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1、已知22ln y x z +=，证明：.02222=∂∂+∂∂yzx z证明：22yx x xz+=∂∂3分22222222222222)(,)(y x y x y z y x x y x z +-=∂∂+-=∂∂ 6分 02222=∂∂+∂∂∴yzx z 7分 2、设,0,2:22≥≤+x y y x D 求.22⎰⎰+Ddxdy y x解：⎰⎰⎰⎰=+θπθsin 2022022.dr r d dxdy y x D3分⎰=203sin 38πθθd 5分 916=7分3、计算对坐标的曲面积分,)()(dxdy y x dydz z y x -+-⎰⎰∑其中∑为圆柱体30,122≤≤≤+z y x 的外侧表面.解：⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑-=-+-dv z y dxdy y x dydz z y x )()()( 3分⎰⎰⎰≤+-=3122zdz dxdy y x 5分π29-= 7分四、（本题满分8分）建一个容积为V 的长方体的厂房，已知前脸和屋顶的单位面积的造价分别是其它墙的2倍和3倍，问如何建造可使造价最低？解：设长、宽、高分别为z y x ,,,则xyV z V xyz =⇒= 造价yV x V xy xz yz xy C 323323++=++= 4分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-=∂∂03302322y V x yC x V y xC6分 ⎪⎩⎪⎨⎧==33232332V y V x 此时323V z = 8分 五、（本题满分8分）已知幂级数,11∑∞=-n n nx试求其收敛区间，并求其和函数).(x s解：11lim lim1=+==∞→+∞→n n a a n nn n ρ，11==ρR收敛区间)1,1(- 5分xxx dx x s xn n -==⎰∑∞=1)(012)1(1)1()(x x x x s -='-= 8分。
《高等代数与解析几何(下) 》期末考试试卷(A 卷)
6．(10 分) 用非退化线性替换将二次型
化为标准型．
q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x1x3 + x22 + 2x2 x3 − x32
7．（13 分）设V1 与V2 分别是齐次线性方程组 x1 + x2 + + xn = 0 与 x1 = x2 = = xn
的解空间,证明 K n = V1 ⊕V2 .
5 5 λ+7 5 5 λ+7故特征向量为 Nhomakorabea2 和 3.
………………5 分
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞
当 λ1
=
−2 时，特征向量η1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,η2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
⎛ −1⎞
当 λ2
=
3 时，特征向量η3
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟ .
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
命题共 2 页第 1 页
三．解答题：（共 80 分）
⎛3 5 5⎞
1．(15 分)
设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎝
5 −5
3 −5
5
⎟ ⎟
，问矩阵
A 是否可以相似于一个对角矩阵,若可
−7 ⎟⎠
以,求一个可逆矩阵T ,使T −1AT 为对角形矩阵.
2．(10 分) 求单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1上过点（-3，-2，4）的直母线的方程． 9 4 16
矩
阵.
4. n 维线性空间V 的线性变换 A 在某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 A
高等数学第06章 向量代数与空间解析几何习题详解
ab AC 2 AM 即 (ab) 2 MA 于是 MA 1 (ab) 2 因为 MC MA 所以
MC 1 (ab) 又因ab BD 2 MD 所以 MD 1 (ba) 2 2
2 2
M1M 3 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6 ，即 M1M 3 M 2 M 3 ， 因此结论成立.
11、 在 yoz 坐标面上，求与三个点 A(3, 1, 2), B(4, -2, -2), C(0, 5, 1)等距离的点的坐标. 解：设 yoz 坐标面所求点为 M (0, y, z ) ，依题意有 | MA || MB || MC | ，从而
14 14 ，故所求点为 (0,0, ) . 9 9
13、 求 使向量 a { ,1,5} 与向量 b {2,10,50} 平行.
2
第六章 向量代数与空间解析几何习题详解
解：由 a // b 得
2
1 5 1 得 . 10 50 5
14、 求与 y 轴反向，模为 10 的向量 a 的坐标表达式. 解： a = 10 ( j ) 10 j = {0, 10,0} .
7、已知点 A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐
1
第六章 向量代数与空间解析几何习题详解
标）. 解：分别为 (a, b,0), (0, b, c), (a,0, c), (a,0,0), (0, b,0), (0,0, c) .
8、过点 P(a, b, c) 分别作平行于 z 轴的直线和平行于 xOy 面的平面，问它们上面的点的 坐标各有什么特点？ 解：平行于 z 轴的直线上面的点的坐标： x a, y b,z R ；平行于 xOy 面的平面上的 点的坐标为 z c, x, y R . 9、求点 P(2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离 . 解：到原点的距离为 3 5 ，到 x 轴的距离为 41 ，到 y 轴的距离为 2 5 ,到 z 轴的距离 为 29 .
(完整版)高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案.doc
空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.5、方程x2 y2 z 表示______________曲面.6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 .7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 .二计算题11 ’x5=55 分1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 54、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方3x 05、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。
1参考答案一 填空题1、6 ,7 ,611 11 112、 M 1 M 2 =2, cos1,cos2,cos1 ,2 ,3 ,2223433、 ( x 1) 2( y3) 2 ( z2) 2144、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为6 的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、x 1y 2 z34、 16x 14y 11z 65 02155 S1OA OB 19222。
(完整版)高等数学空间解析几何练习
向量代数与空间解析几何第一部分 向量代数___线性运算［内容要点］:1. 向量的概念.2. 向量的线性运算.3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.［本部分习题］1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限。
(2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C ---2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标。
3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离。
4. 一向量的起点为(1,4,2)A -，终点为(1,5,0)B -，求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。
5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M −−→的模、方向余弦和方向角。
6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量.7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.第二部分 向量代数___向量的“积"［内容要点］:1。
向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。
2。
向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。
3.向量垂直、平行、共面的条件.［本部分习题]1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→=--=-求： （1);(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→⋅⨯2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→⨯⋅⨯⨯⨯⨯3． 利用向量证明不等式112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件.4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值，使得：（1)a b λ→→+与z 轴垂直；(2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。
空间解析几何与向量代数复习题答案
间解析几何与 向量代数1. 2. 3. 4. 5. 、选择题 已知 A(1,0,2), 设 a = (1,-1,3 (-1,1,5 ). 设 a = (1,-1,3 -i -2 j +5k B B(1,2,1)求两平面x 2y已知空间三点 是空间两点，向量AB 的模是 (A ),b= (2,-1,2 ),求 c=3a-2b 是(B )(-1,-1,5 ) . C (1,-1,5 ).D (-1,-1,6 ),b= (2, 1,-2 -i -j +3k C z 3 0和2x）,求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A-i -j +5k D -2i - j +5ky z 5 0的夹角是（C ）M(1,1,1) 、A(2,2,1) 和 B (2, 1, 2),求/ AMB 1( C )6.求点M （2, 1,10）到直线L ：1 z 21的距离是：（A ）A 138B ,118 158 Dr r r r r2i 3j k,求 a b 是：(D )A -i -2j +5kB - i -j +3kC - i -j +5kC x+y+1=011、设a,b 为非零向量,a b ,则必有（C ）A a b | |a | |baba8.设/ ABC 的顶点为 A(3,0,2), B(5,3,1), C(0, 1,3), 求三角形的面积是：（A ） 9.求平行于z 轴, 且过点 M 1(1,0,1)和 M 2(2, 1,1）的平面方程是：（D ） A 2x+3y=5=0x-y+1=010、若非零向量a,b 满足关系式,则必有 （C ）；12、已知 a= 2, 1,2 ,b = 1, 3,2，则 Prj b a =）；A5；5■■ 14 •7.设 a i k,D 3i -3j+3ka b| |a | |b13、直线y 1 Z 1与平面2x y z 4 0的夹角为（B ）1 0 1A-；B7C D634214点(1,1,1)在平面x 2y z 10的投影为(A )、(A) 丄,0,3；(B) 丄,0,3；(C) 1, 1,0 ； (D) 1 1 12 222 2 215向量a与b的数量积a b= ( C).、A a rj b a ；B a rj a b ；C a rj a b；D b rj a b .16、非零向量a,b满足a b0，则有（C ）.A a // b;B a b （为实数）；C a b;D a b 0.17、设a与b为非零向量，则a b 0是（A ）.A a // b的充要条件；B a丄b的充要条件；C a b的充要条件；D a // b的必要但不充分的条件.18、设a 2i 3j 4k,b 5i j k，则向量c 2a b在y轴上的分向量是（B）.A 7B 7 jC - 1;D -9 k2 2 .219、方程组2x y 4z 9表示（B ）.x 1A 椭球面；B x 1平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在x 1平面上的投影.20、方程x 2 y 2 0在空间直角坐标系下表示 （C ）A 坐标原点（0,0,0） ；B xoy 坐标面的原点（0,0） ；C z 轴；D xoy 坐标面.22、设空间三直线的方程分别为A L 1 // L 2 ；B L 1 // L 3 ；C L 2 L 3 ；D L 1 L 2 .23、 直线 J $ 4 Z 与平面4x 2y 2z 3的关系为（A ）.273A 平行但直线不在平面上；B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直.24、 已知 a 1,b.2,且（a,b ）-,贝 U a b = （ D ）.4A 1 ；B 1 2 ；C 2 ；D 5 .25、下列等式中正确的是（C ）21、设空间直线的对称式方程为0 I 2则该直线必A 过原点且垂直于x 轴;B 过原点且垂直于y 轴;C 过原点且垂直于z 轴;D 过原点且平行于x 轴.3tL i；x 2y z 100,则必有（Dy2 7t、计算题解：由题设知的投影及在y 轴上的分向量。
向量代数与空间解析几何 期末复习题 高等数学下册
第七章 空间解析几何一、选择题1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ]A. 第一卦限B. 第二卦限C. 第三卦限D. 第四卦限2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ]A. 椭圆B. 圆C. 椭圆柱面D. 圆柱面3.直线312141:1+=+=-z y x l 与⎩⎨⎧=-++=-+-0201:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4π B. 3π C. 2π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ]A. (-1,2,3)B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ]A. )(42y x z +=B. 2224y x z +±=C. x z y 422=+D. x z y 422±=+6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13- B. 13 C. 23- D. 237. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ]A. (-1,2,3)B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)8.方程22222x y z a b+=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面9. 已知a ϖ={0, 3, 4}, b ϖ={2, 1, -2},则=b proj a ϖρ[ C ]A. 3B.31- C. -1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 DA. 222()a b a b =•B. 222()a b a b ⨯=⨯C. 22()()a b a b •=⨯D. 2222()()a b a b a b •+⨯=11．直线1l 的方程为03130290x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，直线2l 的方程为03031300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，则1l 与2l 的位置关系是 DA.异面B.相交C.平行D.重合12．已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是 CA.关于XOZ 平面对称B.关于YOZ 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x y z ==对称13．已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点 CA.关于XOZ 平面对称B.关于XOY 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x y z ==对称14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 CA.2221x y z ++=B.221x y z ++=C.21x y z ++=D.221x y z ++=15. 已知,a b 为不共线向量,则下列等式正确的是 C A.2a a a = B. 2()a a b a b ••= C. 2()a b b ab ••= D. 222()a b a b =• 16．已知向量(1,2,1)a =，(3,4,3)b =--，那么以,a b 为两边的平行四边形的面积是 BB.D.17．已知直线l 方程2303450x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩与平面π方程20x z -++=，那么l 与π的位置关系是CA. l 在π内B. l 垂直于πC. l 平行于πD.不能确定18．两向量,a b 所在直线夹角4π，0ab <，那么下列说法正确的是 B A. ,a b 夹角4π B. ,a b 夹角34π C. ,a b 夹角可能34π或4π D.以上都不对 19.已知||1=a，||=b ¶(,)4π=a b ，则||+=a b （D ）. (A) 1(B) 1220.设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）。
空间解析几何与向量代数测试题复习课程
填空题1. 过点(3,-2,2)垂直于平面5x-2y+6z-7=0和3x-y+2z+1=0的平面方程为____________.2．轴的正向的夹与轴的正向的夹角为与的模为已知向量y x OM ,45.100OM则向量角为,600_________________.3. 过3,1,2点且平行于向量3,2,2a 和5,3,1b的平面方程为__________.4.则互相垂直和若两向量,,2,12,3,b a ______________.5.向量决定的平面垂直的单位与三点)3,1,3(),1,3,3(,2,1,1321M M M 0a _______6.上的投影等于在向量向量1,2,24,1,1a b ___________________.7.的模等于则向量已知n m anm nm3260,,2,50____________.8.垂直的平面方程是且与平面过点012530742)3,0,2(z yx z y x _____________.9. 设a b c ,,两两互相垂直,且abc121,,,则向量s a b c 的模等于_____________.10.过点(0,2,4)且与平面x+2z=1,y-3z=2都平行的直线是________________.D x zyxD z y x 则轴有交点与若直线,06222032___________________.选择题1．表示方程13694222yzy x ;1)(;)(平面上的椭圆椭球面y B A :.0)(;)(答上的投影曲线椭圆柱面在椭圆柱面yD C 2．:,轴的单位向量是且垂直于则垂直于已知向量oy a k jiakj i B k j i A 33)(33)(:22)(22)答k i D k i C 3.ba ba b a则且已知,4,,2,1:.5)(;2)(;21)(;1)(答D C B A 4. 平面3x-3y-6=0的位置是(A)平行xoy 平面 (B)平行z 轴,但不通过z 轴; (C)垂直于z 轴; (D)通过z 轴. 答:( )5．则有且但方向相反互相平行设向量,0,,,bab a ba b a B b a b a A )(;)(:)()(答b a b a A ba b a C 6．是旋转曲面1222zy x 轴旋转所得平面上的双曲线绕x xoy A)(轴旋转所得平面上的双曲线绕z xoz B)(轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoy C )(:)(答轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoz D 7.:,0,0结论指出以下结论中的正确设向量ba;0)(垂直的充要条件与是b a b a A ;0)(平行的充要条件与是b a ba B ;)(平行的充要条件与的对应分量成比例是与b a b a C :.0),()(答则是数若ba b aD 8.cba cb a 则为三个任意向量设,,,bcacBbccaA)()(:)()(答cbacDcbcaC9.方程x yy224912在空间解析几何中表示(A)椭圆柱面, (B) 椭圆曲线;(C)两个平行平面, (D)两条平行直线. 答:( )10. 对于向量cba,,，有若0ba，则ba,中至少有一个零向量)(cacbcbacbacbababa1 1. 方程y z x22480表示(A)单叶双曲面; (B)双叶双曲面;(C)锥面; (D)旋转抛物面. 答:( )12.双曲抛物面(马鞍面)xpyqz p q22200,与xoy平面交线是(A) 双曲线; (B) 抛物线,(C)平行直线; (D)相交于原点两条直线; 答( ) 计算题1．ABCBACBA求及的坐标分别为设点),3,4,0()1,1,1(),1,3,2(,,.23,,ACABACABAC2.轴上截距轴和中在求平面束yxzyxyx04253.相等的平面3．的平面且垂直于平面试求过点0,,,,,32123211zyxbbbMaaaM.n的法向量4．,2,1,4)3,5,2(ABA及两边的向量已知三角形的一个顶点5,2,3BC和.ACA以及求其余的顶点和向量5．设点为从原点到一平面的垂足求该平面的方程P(,,),.362证明题1.但行中任意两个向量都不平已知三个非零向量,,,cba与ba0,,cbaacbc试证平行与平行答案一、 1. 2x+8y+z+8=0. 2..{,}.5255 3.01747z y x 4.65.117322()i j k 6.43. 7.219. 8. -16(x-2)+14y+11(z+3)=0.9. .2. 10.xy z 22341.6.11二、 1.B2C3D4B5A6A7C8C9D10B11D12D 三、1．},.0,1,3{},2,1,2{},2,2,1{AC AB AC AB2．平面的截距式为xy z 5415435421据题意有541543解得12154,但2不合理舌去(截距式中分母为0).故平面方程为x+3y-5+(x-y-2z+4)=0,即2x+2y-2z-1=0.3.n 垂直于过点M M 12,的直线,故n a b a b a b {,,}112233n 垂直于已知平面的法向量,故n {,,}111所以nij k a b a b b 11221111()()().a b a b ia b a b j a b a b k 223311331122 4.B x y z C x y z (,),(,).111222},3,5,2{111z y x AB },,121212z z y y x x BC由x y z 111245132,,.得x y z 111645,,x x y y z z 212121325,,.得x y z 2229610,,故B(6,-4,5),C(9,-6,10),CA,{,,}717AC {,,}717AC A AB AC AB AC ABAC{,,}(,)arccosarccos .717413231}10,8,1{23ACAB5.},2,6,3{op 且(3,-6,2)在平面上,于是平面方程为3(x-3)-6(y+6)+2(z-2)=0即3x-6y+2z-49=0.四、1.,,)(c b a c b a平行与,,)(a c b a c b 平行与a cc a ac ,()().11由a c ,不平行,故1101,.即a bc b ca abc ,,.。
试题集：向量代数与空间解析几何
1.在三维空间中，向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的点积是多少？o A. 32o B. 24o C. 35o D. 30参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积计算为1∗4+2∗5+3∗6=32。
2.向量v⃗=(3,4)的模长是多少？o A. 5o B. 7o C. 12o D. 25参考答案: A解析: 向量v⃗的模长计算为√32+42=5。
3.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的叉积结果是什么？o A. (3,−6,3)o B. (−3,6,−3)o C. (3,−6,−3)o D. (−3,6,3)参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积计算为(2∗6−3∗5,3∗4−1∗6,1∗5−2∗4)=(−3,6,−3)。
4.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积的模长是多少？o A. 7o B. 14o C. 21o D. 42参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积模长计算为√(−3)2+62+(−3)2=7。
5.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的夹角余弦值是多少？o A. 0.9746o B. 0.9971o C. 0.9899o D. 0.9659参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的夹角余弦值计算为a⃗⃗⋅b⃗⃗|a⃗⃗||b⃗⃗|=√14√77≈0.9746。
6.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否共线？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的分量不成比例，因此它们不共线。
7.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否正交？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积不为0，因此它们不正交。
8.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积是否垂直于这两个向量？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: A解析: 向量积的结果向量总是垂直于构成叉积的两个向量。
高数下册期末总复习第七版
切线方程为 x − x0 = y − y0 = z − z0 ； x′(t0 ) y′(t0 ) z′(t0 )
法平面方程为 x′(t0 ) ⋅ (x − x0 ) + y′(t0 ) ⋅ ( y − y0 ) + z′(t0 ) ⋅ (z − z0 ) = 0
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5
b、
若曲线
Γ
的方程为：
三元方程组确定两个一元隐函数：
⎧ F ( x, ⎨⎩G ( x,
y, y,
z) z)
= =
0 0
⎨ ⎩
z=
z
(
x
)
⇒
对x求导
dy dx
,
dz dx
⎧u=u ( x, y )
{ ⇒ 四元方程组可确定两个二元隐函数：
F ( x, y,u,v)=0 G( x, y,u,v)=0
⎨⎩v=v( x, y )
对x (或y )求偏导，视y (或x )为常量,得
G 2）点法式方程：法向量 n = ( A, B,C) ，点 M (x0 , y0 , z0 ) ∈ Π ，则 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 ．
3）截距式方程： x + y + z = 1 abc
4）平面束方程：过直线
⎧ ⎨ ⎩
A1x A2 x
+ +
附录——平面曲线的情形
（1）
若平面曲线 C
:
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x(t) y(t)
，t
=
t0
↔
M0
∈C
，则
JG 切向量T = (x′(t0 ), y′(t0 )) ，
齐民友高数下册复习考试
cos2 cos2 cos2 1 。一次性求出三个方向余弦：
1 a
a
cos ,cos ,cos
3、向量运算
（1）加减法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a）几何方法
两向量用平行四边形法则或三角形法则（接龙法）相加。
a 与a 大小相等方向相反。a
b
a
(b )。
b）坐标方法
设a
ax ,ay ,az ,b
bx ,by ,bz
，则
a
b
ax
bx ,ay
by ,az
bz
（2）数乘向量
a）几何方法
a a 。 a 的方向：当 0 时与a 同向；当 0 时与a 反向。
b）坐标方法
ax ,ay ,az ax ,ay ,az
（3）两向量的数量积
a）几何方法
ab
a
b
cos(a,b)
y
、z
轴上的投影；axi ,ay j ,azk
分别是 a
在x
、y
、z
轴上的投影向量。
向量与坐标一一对应。向量的理论分为两部分：用几何描述的向量理论和用坐标描述的 向量理论。两部分理论对应地出现，互相翻译。
设 M 1(x1,y1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2 )，则
M 1M 2 (x 2 x1)i (y 2 y1)j (z2 z1)k x 2 x1,y 2 y1,z2 z1
a）a//b ；
b）存在实数 使得b
a ；
c） bx : ax by : ay bz : az ；
d） a
b
0。
（2）下列命题等价：
a） a
b；
b）axbx ayby azbz 0 ； （3）a,b,c 共面 [a,b,c] 0 。
高数B(下册)空间解析几何与向量代数习题精选
=
12 = 4。 3
13、 求与平面 π : x + y − 3 z + 1 = 0 平行且相距为 3 的平面方程。 [解]：设 p ( x, y, z ) 为平面上一点，它与已知平面的距离为 3，由平面外一点到平面的距离公式知：
x + y − 3z + 1
1 + 1 + ( −3 )
2 2 2
= 3 ⇒ x + y − 3 z + 1 = 11 ⇒ x + y − 3 z + 1 = ± 11 ，故所求的平面方程为
1 1 1 sh = × × 6 × −3 × 2 = 6 。 3 3 2
16、 求过点 P (1, 2,3) 且与直线 ⎨
⎧ x − 2 y + 3z − 6 = 0 平行的直线方程。 ⎩3 x + y − 2 z + 4 = 0 �
[解]：设所求的直线为 l ，其方向向量为 s ，已知直线的方向向量取为
34 ⎧ ⎪ x = − 7 + 3t ⎪ 15 ⎪ 参数式方程为 ⎨ y = − + t 其中 t 为参数。 7 ⎪ ⎪ z = −t ⎪ ⎩
18、 求直线 ⎨
⎧ x− y =6 x −1 y − 2 z − 5 与直线 = = 的夹角。 1 −2 1 ⎩2 y − z = 3
( )
9、 求过 y 轴与点 M ( −3,1, 2 ) 的平面方程。 [解]：设所求平面为 π ，法向量为 n ，因为平面过 y 轴，故 n ⊥ j ，又 OM = {−3,1, 2} 在 π 上，
�
�
�
���� �
� � i j � ���� � � � ���� � 所以 n ⊥ OM ⇒ 取 n = j × OM = {0,1, 0} × {−3,1, 2} = 0 1 −3 1
《高等数学》下册(第六版)期末总复习.
《高等数学》(下册期末总复习一、向量代数与空间解析几何（一）向量代数JJJJ G G G G1、点M (x , y , z ?向量OM =(x , y , z =xi +yj +zk ；JJJ G 2、点A (x 1, y 1, z 1, B (x 2, y 2, z 2 ?向量AB =(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1 ；G G 3、设a =(a x , a y , a z , b =(b x , b y , b z ，则G G G（λ为数）； G G G Gb z ；λa =(λa x , λa y , λa zb x , a y ±a ±b =(a x ±b y , a z ±G G na ?b =|a |?|b |cos(a , b =a x b x +a y b y +a z b z ；G G G i j k G G G G G G G G G G G G G G nb ⊥a ；b ⊥b , a ×a ×b =a x a y a z ，(|a ×b |=|a ||b |sin(a , b , a ×b x b y b zb x b y b z G Ga &b ?==（对应坐标成比例）；a x a y a zG G G Ga ⊥b ?a ?b =0；G G G a ?b G ncos(a , b =；|a ||b |G G G G n Prj b =|b |cos(a , bG a（二）曲面、空间曲线及其方程1、曲面及其方程Σ:F (x , y , z =0，旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常见的曲面及其方程并会作图 2、空间曲线及其方程：一般方程（面交式）、参数方程；3、曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投谁便消去谁4、会作简单立体图形（三）平面方程与直线方程：1、平面方程：1）一般方程：Ax +By +Cz +D =0，其中n =(A , B , C 为其一法向量．G第 1 页共 14 页 12）点法式方程：法向量n =(A , B , C ，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Π，则A (x -x 0 +B (y -y 0 +C(z -z 0 =0 ． 3）截距式方程：Gx y z++=1 a b c?A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0的平面束方程为?A 2x +B 2y +C 2z +D 2=04）平面束方程：过直线?(A 1x +B 1y +C 1z +D 1 +λ(A 2x +B 2y +C 2z +D 2 =02、直线方程：点M 0(x 0, y 0, z 0 ∈L ，则1）对称式方程（点向式方程）：方向向量s =(m , n , p ，Gx -x 0y -y 0z -z 0==m n p?x =x 0+mt?2）参数式方程：?y =y 0+nt?z =z +pt0?3）一般式方程：??A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0?A 2x +B 2y +C 2z +D 2=03、面面、线线、线面关系：G G |n G G 1?n 2|n n =1 面面：cos θ=|cos(n , |=12|n 1||n 2|G GΠ１⊥Π２?n 1?n 2=0?A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2=0； A 1B 1C 1G G Π1&Π（或重合）?n &n ?== 212A 2B 2C 2G G |s G G 1?s 2|n s == 2 线线：cos θ=|cos(s , |12|s 1||s 2|G GL 1⊥L 2?s 1?s 2=0?m 1m 2+n 1n 2+p 1p 2=0； m 1n 1p 1G G L 1&L （或重合）?s &s ?== 212m 2n 2p 2G G |s ?n |G G m 3 线面：sin ?=|cos(s , n |==|s ||n |A B C G GL ⊥Π?s &n ?==；m n pG GL &Π（或L 在Π上?s ⊥n ?Am +Bn +Cp =0第 2 页共 14 页24、距离点面：d =JJJJJ J G 点线：d =|M G 0M ×s ||s |，其中Gs 为直线的方向向量，M 为直线上任意一点．第 3 页共 14 页 3二、多元函数的微分学及其应用（一）极限（求法与一元函数的类似，洛必达法则除外）：(x , y →(x 0, y 0lim时,有|f (x , y -A |<εf (x , y =A ??ε>0, ?δ>0, δ(x , y →(x 0, y 0?（二）连续性：?limf (x , y =f (x 0, y 0??ε>0, ?δ>0, δ时,有|f (x , y -f (x 0, y 0 |<ε（三）偏导数：1、显函数：z =f (x , y1）定义：f x (x 0, y 0 =lim?x →０f (x 0+?x , y 0 -f (x 0, y 0，?xf y (x 0, y 0 =lim?y →０f (x 0, y 0+?y -f (x 0, y 0?y2）求导法则：对x 求偏导，暂时视y 为常量；对y 求偏导，暂时视x 为常量3）复合函数的求导法则（链式法则）：若z =f (u , v 具有连续偏导数，而u =g (x , y 与v =h (x , y 都具有偏导数，则复合函数z =f [g (x , y , h (x , y ]的偏导数为：?z ?z ?u ?z ?v=?+?=f u ?u x +f v ?v x =f 1′?h x ；?x ?u ?x ?v ?x?g x +f 2′?h y ?y ?u ?y ?v ?y ?z ?z ?u ?z ?v =?+?=f u ?u y +f v ?v y =f 1′?g y +f 2′特别的，设z =f [h (x , g (x ]，则dz?g (x dx?h ′(x +f 2′=f 1′例如，设z =f (xy , 2x +3y ，其中f 具有二阶连续偏导数：令u =xy , v =2x +3y ，则?z ?z?2=yf 1′+2f 2′，=xf 1′+3f 2′. ?x ?y?y +f 2′=f 1′?2z ???x +f 22′′?3 =(yf 1′ +2(f 2′ =[f 1′+y (f 11 ?x +f 12′′′′?3]+2(f 21′′?x ?y ?y ?y′′+(3y +2x f 12′′+6f 22′′ =f 1′+xyf 11注意：1）解题时，要注意偏导数以及导数的写法． 2）其中f 1′＝?f (u , v?u u =xyf 1′(xy , 2x +3y】与原函数具有相同的复合结构. =f u (xy , 2x +3y 【即4v =2x +3y第 4 页共 14 页2、隐函数：1）一个方程的情形：F x dy ?=-?dx F y ??y =y (x→?隐函数求导法：方程两边对x 求导，注意y =二元方程可确定一个一元隐函数：F (x , y =0????微分法：方程两边取微分， F dx +F dy =0x y???y (x 为x 的函数F y ?F x ?z ?z=-, =-z =z (x , y ?dx F z dy F z ?三元方程可确定一个二元隐函数： F (x , y ，z =0??隐函数求导法：方程两边对x (或y 求偏导,注意z =z (x , y 为x 、y 的函数???微分法：方程两边取微分， F x dx +F y dy +F z dz =0?dz ="2）方程组的情形：（隐函数求导法）?y =y (x??z =z (x?F (x , y , z =0dy dz三元方程组确定两个一元隐函数：??,对x 求导dx dx G x y z (, , =0?四元方程组可确定两个二元隐函数：{F (x , y , u , v =0G (x , y , u , v =0?u =u (x , y ??v =v (x , y?对x (或y 求偏导，视y (或x 为常量,得?u ?v , ?x ?x（或?u ?v ）?y ?y（四）全微分：可微函数z =f (x , y 的全微分为：dz =z x dx +z y dy . 定义为：?z [=f (x 0+?x , y 0+?y -f (x 0, y 0]=A ?x +B ?y +，其中ρ＝（五）应用：o (ρ 1、几何应用：1）曲线的切线与法平面：??x =x (t ?a 、若曲线Γ的方程为参数方程：?y =y (t ，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Γ?t =t 0，则?z =z (t ?G，切向量为T =(x ′(t 0, y ′(t 0, z ′(t 0切线方程为x -x 0y -y 0z -z 0； ==x ′(t 0 y ′(t 0 z ′(t 0?(z -z 0 =0法平面方程为x ′(t 0 ?(x -x 0 +y ′(t 0?(y -y 0 +z ′(t 0G ?y =f (x，从而可 b 、若曲，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Γ，则切向量为T =(1,y ′(x 0, z ′(x 0线Γ的方程为：??z =g (x得切线方程与法平面方程．?F (x , y , z =0，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Γ，则切向量为 c 、若曲线Γ的方程为一般方程：?G (x , y , z 0=?第 5 页共 14 页5（利用隐函数求导法，方程两边对x 求导，可G dy dz T =(1,y ′(x 0, z ′(x 0得, ），从而可得切线方程与法dx dxG G G G G平面方程．【另解：n 1=(F x , F y , F z |M ，n 2=(G x , G y , G z |M ，可取切向量为T =n 1×n 2】2）曲面的切平面与法线：a 、若曲面Σ的方程为 F (x , y , z =0，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Σ，则法向量为：n =(F x (x 0, y 0, z 0, F y (x 0, y 0, z 0, F z (x 0, y 0, z 0 ，切平面方程为：F x (x 0, y 0, z 0(x -x 0 +F y (x 0, y 0, z 0(y -y 0 +F z (x 0, y 0, z 0(z -z 0 =0；法线方程为：Gx -x 0y -y 0z -z 0==F x (x 0, y 0, z 0 F y (x 0, y 0, z 0 F z (x 0, y 0, z 0b 、若曲面Σ的方程为z =f (x , y ，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Σ，则法向量为：n =(f x (x 0, y 0, f y (x 0, y 0, -1 ，切平面方程为：f x (x 0, y 0(x -x 0 +f y (x 0, y 0(y -y 0 -(z -z 0 =0；法线方程为：Gx -x 0y -y 0z -z 0==f x (x 0, y 0 f y (x 0, y 0 -1?f x (x , y =02、极值：1 无条件：设z =f (x , y ，由?解得驻点(x 0, y 0 ，f (x , y 0=?y令A =f xx (x 0, y 0, B =f xy (x 0, y 0, C =f yy (x 0, y 0 ，然后利用 A , B , C 判定极值与否：AC -B 2>0有极值，A >0极小，A <0极大；AC -B 2<0无极值；AC -B 2=0用此法无法判定．注意：最后必须求出极值． 2）条件极值：z =f (x , y 在条件?(x , y =0下的极值：构造Lagrange 函数，令?L x (x , y =0?(x , y ，联立方程?L y (x , y =0，其解(x 0, y 0 为??(x , y L (x , y =f (x , y +λ？=0?是否为极值点，一般可由问题的本身性质来判定．3、方向导数与梯度：（以二元函数为例）1）、方向导数：设z =f (x , y 可微分，?f G，则e l =(cosα,cos β ?l=f x (x 0, y 0 cos α+f y (x 0, y 0 cos β(x 0, y 02）梯度：grad f (x , y =(f x (x , y , f y (x , y ，方向导数的最大值为梯度的模，取得方向导数的最大值的方向为梯度的方向．三、积分 (一求法1、重积分I 、二重积分I =∫∫f (x , y d σD?b dx y 2(x f (x 若D :????[X :上下]a 、直角坐标：I =a ≤x ≤b∫∫f (x , y dxdy =??∫a ∫y , y dy , 1(x?y 1(x ≤y ≤y 2(xD??∫dcdy ∫x 2(yx f (x , y dx ,?x x ≤x [Y ：左右]若D :??? c ≤y ≤d 1(y?1(y ≤2(y若D 既不是X －型也不是Y －型，则适当分割之．注意：通过二重积分，可交换二次积分的积分次序，这是一类常考的题型．??x =ρcos θb 、极坐标： I ZZZZZZ YZZZZZ ?y =ρsin θd σ=ρd ρd θ?ρd ρd θX Z ∫∫f (ρcos θ, ρsin θ DZZZZZZZZZ D :???ρ1(θ≤ρ≤ρ2(θα≤θ≤βYZZZZZZZZX Z ∫βρ２(θαd θ∫ρ(θ f (ρcos θ, ρsin θρd ρ1II 、三重积分I =∫∫∫f (x , y , z dv?a 、直角坐标I =：∫∫∫f (x , y , z dxdydz?1）投影法：i ）先一后二公式： I ZZZZZZZZZZZZZZZZX YZZZZZZZZZZZZZZZZ∈D xy?={(x , y , z |z 1(x , y ≤z ≤z 2(x , y ,(x , y}z 2(x , yD ∫∫dxdy ∫z f (x , y , z dz1(x , yxy??a ≤x ≤b ?:三次积分公式：I ZZZZZZZZZZ YZZZZZZZZZ ??z 1 ?y 1(x ≤y ≤y 2(x ii(x , y ≤z ≤z 2(x , yX Z ∫b dx ∫y 2(xz 2(x , ya y (x dy ∫z 1(x , y f (x , y , z dz12）截面法：（先二后一公式）I ZZZZZZZZZZZZ YZZZZZZZZZZZ ?={(x , y , ∈D z }z |c ≤z ≤d ,(x , yX Z∫dcdz ∫∫f (x , y , z dxdyD z??x =ρcos θ?b 、柱面坐标：I ZZZZZZ YZZZZZZ ??y =ρsin θz =z dv =ρd ρd θdz?ρd ρd θdzX ∫∫∫f (ρcos θ, ρsin θ, z???α≤θ≤β?:??z 1?ρ1(θ≤ρ≤ρ2(θ ZZZZZZZZZZ YZZZZZZZZZ(ρ, θ≤z ≤z 2(ρ, θX Z∫β, θαd θ∫ρ2(θρ1(θρd ρ∫z 2(ρz (ρcos θ, ρsin θ, z dz1(ρ, θf??x =r sin ?cos θ?c 、球面坐标：I ZZZZZZZZ YZZZZZZZ ? ?y =r sin ?sin θz =r cos ?dv =r 2sin ?drd ?d θX Z ∫∫∫?r 2sin ?drd ?d θf (r sin ?cos θ,r sin ?sin θ, r cos ????α≤θ≤?:??r 1 β??1(θ≤?≤?2(θ ZZZZZZZZZX YZZZZZZZZ (?, θ≤r ≤r 2(?, θZ Z Z∫β?2(θαd θ∫??d ?(?, θ1(θsin ∫r 2r 1(?, θr 2drf (r sin ?cos θ, r sin ?sin θ, r cos ?2、曲线积分I 、第一类（对弧长）：L :??x =x (t a 、平面曲线：∫?y =y (tLf (x , y ds ZZZZZ YZZZZZ α≤t ≤βX∫βαf [x (t , y (t ](α<β?x =x (tΓ：??y =y (t b 、空间曲线：∫??z =z (t Γf (x , y , z ds ZZZZZ YZZZZZ Xβα≤t ≤β∫αf [x (t , y (t , z (t ](α<βII 、第二类（对坐标） a 、平面曲线：I =∫L P (x , y dx +Q (x , y dyi 参数法：I ZZZZZZ L :??x =x (tYZZZZZ ?y =y (tβt 由α变到βX Z ∫α{P [x (t , y (t ]x ′(t +Q [x (t , y (t ]y ′(t }dtii 与路径无关：选取特殊的路径求之，注意条件：单连通，偏导数处处连续．定理设函数P (x , y , Q (x , y 在单连通区域 D 内处处具有连续的偏导数，则下列命题相互等价：（1）∫LP (x , y dx +Q (x , y dy 在D 内与路径无关；（2）沿D 内任意一条闭曲线 C ，v ∫CP (x , y dx +Q (x , y dy =0；（3）在D 内恒有：?P ?Q?y =?x；（4）P (x , y dx +Q (x , y dy 在D 内为某函数u (x , y 的全微分，即存在函数u (x , y ，使得P (x , y dx +Q (x , y dy =du (x , y ．这里u (x , y 可由下列三种方法求得：①曲线积分法：u (x , y =∫(x , y(x x , y dx +Q (x , y dy +C ；0, y 0P (②凑全微分法：利用微分的运算法则，将P (x , y dx +Q (x , y dy 凑成d (" ，则u (x , y ＝(" +C ；③偏积分法：由du =Pdx +Qdy ，得u x =P (x , y ；两边对x 求偏积分可得u (x , y =P (x , y dx =f (x , y +C (y 两边对y 求偏导可得，再由u y =Q (x , y ，可解得 C (y ，从而得u (x , y ． iii ）u y =f y (x , y +C ′(yGreen 公式：∫v ∫P (x , y dx +Q (x , y dy =∫∫（?Q ?P- dxdy ；不闭则补之．注意条件：LD?x ?y偏导数处处连续，L 为D 的正向边界．iv ）化为第一类：∫LP (x , y dx +Q (x , y dy =∫Ｌ、空间曲线：I = [P (x , y cos α+Q (x , y cos β]ds b∫ΓP (x , y , z dx +Q (x , y , z dy +R (x , y , z dz ??Γ：x =x (t?y =y (t i 参数法：I ZZZZZZ YZZZZZ ??z =z (t t 由α变到βX Z ∫βα{P [x (t , y (t , z (t ]x ′(t +Q [x (t , y (t , z (t ]y ′(t +R [x (t , y (t , z (t ]z dtii *与路径无关：选取特殊的路径求之，注意条件：单连通，偏导数处处连续． iii Stokes公式：cos αcos βcos γdydz dzdx dxdy v ∫ΓPdx +Qdy +Rdz =∫∫??????Σ?x ?y ?z dS =?x ?y ?z ；或∫∫ΣP Q R P Q R不闭则补之．注意方向：L 的方向与Σ的侧符合右手规则． iv 化为第一类：∫ΓPdx +Qdy +Rdz =∫Γ(P cos α+Q cos β+R cos γ ds3、曲面积分I 、第一类（对面积）：??∫∫D f [x , y , z (x , y ]Σ:z =z (x , y I =∫∫Σf (x , y , z dS =?xy?D f [x , y (z , x , z ]Σ:y =y (z , x??∫∫zx ???∫∫D f [x (y , z , y , z ]Σ:x =x (y , z yzII 、第二类（对坐标）：I =∫∫P (x , y , z dydz +Q (x , y , z dzdx +R (x , y , z dxdyΣ1） Gauss公式：w ∫∫Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =∫∫∫（?P ?x +?Q ?RΣ??y +?zdxdydz 若不闭则补之．注意条件：偏导数处处连续及方向性：Σ为?的整个边界曲面的外侧． 2）投影法：注意垂直性．若不垂直，则【前正后负】∫∫P (x , y , z dydz Σ:x =x (y , z ±∫∫P [x (y , z , y , z ]dydz ΣD yz【右正左负】∫∫Q (x , y , z dzdx Σ:y =y (z , x ±∫∫Q [x , y (z , x , z ]dzdx ΣD zxy , z (x , y ]dxdy 【上正下负】∫∫R (x , y , z dxdy Σ:z =z (x , y ±∫∫R [x ,ΣD xy3）化为第一类：∫∫Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =∫∫(P cos α+Q cos β+R cos γ dSΣΣ4）化为单一型：∫∫Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =∫∫(Pcos αΣΣcos γ+Q cos βcos γ+R dxdy (二应用1、面积：；平面A =∫∫dxd yD曲面A =，A =Σ∫∫d S∫∫dy（D ∫∫∫∫或）xy D yz D zx2、体积： V =【曲顶柱体】∫∫∫dv；V =∫∫f (x , y d σ?D3、物理应用：质量、功、转动惯量、质心、引力、流量（通量）、环流量等等【自学之】设A G=(P (x , y , z , Q (x , y , z , R (x , y , z ，则散度div A G =?P ?x +?Q ?y +?R?z， G i Gj k G 旋度rot A G =????x ?y ?z P Q R四、级数（一）常数项级数及其收敛性 1、定义：∑u n =1∞ n 收敛（发散）? lim sn 存在（不存在）【部分和sn = u1 + u2 + n →∞∞∞ un】 2、基本性质：1）与∑ un 具有相同的收敛性；n =1 n =1 ∞ n =1 2）∑ un 与∑ vn 都∞∞∑ kun (k ≠ 0收敛【口诀：收加收为收，收加发为发，发加发未必发】 n =1 n收敛?∑ (un ± vn=1 3）改变有限项的值不影响级数的收敛性 4）收敛的级数可以任意加括号 5）若，则）若lim un ≠ 0∑u n =1 n →∞∞ n收敛，则 lim un = 0 ；反之未必．n →∞∞ 6∑u n =1 n 发散 3、特殊级数的收敛性【必须牢记之】：①调和级数∑ n 发散； n② p －级数∑n n =1 1 p （常数 p > 0 ）：当 p > 1 时收敛，当p ≤ 1 时发=1 ∞∞ 1时发散，当 | q |< 1 时收敛，散；∞ ③等比级数（几何级数）∑ aq n=0 n ，当| q |≥ 1．1- q 4、正项级数∞∑u n =1 ∞ n，其中un ≥ 0(n = 1, 且∞∑ aq n=0 n = a (| q |< 12, ： I、∑u n =1 n 收敛? {sn } 有界； II、比较：1）un ≤ vn ( n > N 【大的收，【同敛散】n →∞ v n 11 小的也收；小的发，大的也发】 2）lim un = l (0 < l < +∞ 第 11 页共 14 页III、比值（根值） lim ：n →∞ un +1 = ρ (lim n un = ρ ，当ρ < 1 时收敛；当ρ > 时发散；而当ρ = 1 时n →∞ un 用此法不能判定其收敛性． IV、极限：1( ρ = +∞ 、交错级数，当 p > 1 时收敛；当p ≤ 1 时发散．p n →∞∞ 5lim n un = l (0 < l < +∞ ∑ (-1 u (u n n =1 n n > 0, n = 1, 2, ： {un } 单调减少趋于零． 6、一般项级数∑u n（ un 为任意常数）：发散或收敛（绝对收敛，条件收敛）∞ （二）=1 ∞ n=0 ∞ n幂级数∑a x n n 或∑ a (x - x n=0 n 0 n ：∞ 1、Abel 定理：若幂级数∞∑ an x n 在时收敛，则∑ an x n 当 | x |<| x0 | 时必绝对收敛；反之， n=0 n=0当x = x0 ( x0 ≠ 0若∑ an x n 当 x = x0 时发散，则∑ an x n 当 | x |>| x0 | 时必发散. n=0 ρ = 0,∞ n=0 ∞ 【不缺项】ρ = lim (lim n | an | ， R =?+∞, an +1 ?： 2、收敛半径：1）若an ≠ 0?1/ ρ , 0 < ρ < +∞, n →∞ a n →∞ n? 2）若缺项：lim n →∞ un +1 ( x =? 0, ρ = +∞;un ( x < 1 ，解得收敛区间． 3、收敛域：先求收敛半径 R ，可得收敛区间( - R, R ，R 处的收敛性可得所求的收敛域 4、幂级数和函数的求法：先求再讨论端点 x = ±收敛域，再利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分，和函数的连续性）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的和函数． 5、函∈ I ： 1）直接展开法：【利用数展开成幂级数 f ( x = ∑ a (x - x n=0 n 0 ∞ n (xTaylor 展开定理】求导数得系数，写出泰勒级数，求其收敛域，最后记得判定余项趋于零，便可得到所求的展开式． 2）间接展开法：利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分，和函数的连续性）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的展开式．注：以下 7 个常用的展开式必须牢记：①e = x(2n + 1! 第 12 页② sin x = ∑ (-1n n=0 ∞ x 2 n +1 (| x |< +∞xn ∑ n ! (| x |< +∞ ; n =0 ∞ 共 14 页 12④∞ 1 = ∑ x n (| x |< 1 1 - x n=0 ∞∞ ③ cos x = ∑ (-1n n=0 ∞ x2n (| x |< +∞ ; (2n!1 ⑤ = ∑ (-1 n x n (| x |< 1 ; 1 + x n=0 x n +1 ⑥ ln(1 + x = ∑ (-1 (-1 < x ≤ 1 n +1 n =0 n?[-1,1] ? (| x⑦ (1 + x = 1 + α x + αα (α -1 2 2! x + + α (α -1 (α - n +1 n n! x + α >0?(-1,1 （三）傅里叶级数：】?α≤ -1为常数， I = ? ( -1,1] -1 < α < 0|< 1 【α 情形，一般周期 T = 2l 类似． an = 1、系数：1 π 1 ∫π f ( x cos只复习T = 2π 、收敛性：条件为在一个周nxdx(n = 0,1, 2, - π bn = f ( x sin nxdx(n = 1, 2, π∫π - π 2期上 1）处处连续或只有有限个第一类间断点；2）只有有限个极值点． f ( x ? a0∞ ? 3、和：+ ∑ (an cos nx + bn sin nx = ? f ( x + + f ( x - 2 n =1 ?? 2 4、傅里叶级数展开式： f ( x = x为f ( x的连续点 x为f ( x的间断点a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sinnx ， ( x ∈ C 2 n =1 f ( x+ + f ( x- } 2 其中 C = {x | f ( x = 5、函数展开成傅里叶级数：的周期函数，则对 f ( x 验证收敛定理的条件，求出 f ( x 的间1）若 f ( x 为 T = 2π 断点，利用收敛定理，写出 f ( x 的傅氏级数的收敛性，再求出傅氏系数，最后写出所求的傅氏级数展开式．注意：必须写出展开式成立的范围，在展开式不成立的点（必为间断点）必须指明傅氏级数的收敛性． 2）若 f ( x 只在[ -π , π ]上有定义，则必须对 f ( x 进行周期延拓，然后对周期延拓后所得的函数 F ( x 的傅氏级数上讨论． 3）若 f ( x 只在[0, π ] 上有定义，对 f ( x 进行奇展开式限制在[ -π , π ]（偶）延拓再周期延拓，可得正弦（余弦）级数．注意：间断点或连续点的判定，必须为周期函数的！第 13 页共 14 页 13五、微分方程——续（一）全微分方程：P ( x, y dx + Q ( x, y dy = 0( ?Q ?P ，= ?x ?y 1）曲线积分法：通解为 u ( x, y = C ，其中u ( x, y = ∫ ( x, y ( x0 , y0 P ( x, y dx + Q( x, y dy ； 2）凑微分法：利用微分的运算法则，设法将原方程凑成 d [? ] =0 ，则可得通解为? = C ，．（二）常系数线性微分方程： 1、齐次：y′′ + py′ + qy = 0 ，其中 p, q 都为常数 1）特征方程 r + pr + q = 0 ? r1 , r2 = ? 2 ?C1e r1x + C2 ∈? r1 x r1 = r2 ∈ 2）通解： y = ?(C1 + C2 xe ?eα x (C cos β x + Ce r2 x r1 ≠ r2，其中 p, q 都为常数∈ 1 2 1,2 ? 2、非齐次：y′′ + py′ + qy = f ( xsin β x r = α± iβ 的通解： Y = Y ( x ； 2）后求原非齐1）先求出对应的齐次方程y′′ + py′ + qy = 0次方程的特解． A、 f ( x = e Pm ( x 型：令 y = x e Qm ( x ，其中 k 是特征方程含根型： l 令 y = x e [Qm、f ( x = e [ P ( x cos ω x + Pn ( x sin ω x]λ 的重数λx * k λx B，其中 m = max{l , n} ， k 是特征方程含根λ + iω 的 *( x cos ω x + Rm ( x sin ω x]重数（三）线性微分方程的解的结构： 1）齐次：y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = λx k λx0 ，通解： y = C1 y1 ( x + C2 y2 ( x ，其中 y1 ( x, y2 ( x 为该方程线性无关的两个通解： y = Y ( x + y *( x ，其中 Y ( x解． 2）非齐次：y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = f ( x为对应的齐次方程的通解， y *( x 为原方程的一个特解． 3）设 y1 *( x, y2 *( x 分的特解，则 y* =与y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = f 2 ( x别为y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = f1 ( x＋f 2 ( x 的特解．y1 *( x + y2 *( x 为y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = f1 ( x。
高数下期末复习内容
期末复习主要内容第七章 向量代数与空间解析几何§7.1 向量代数一、空间直角坐标系二、向量概念：a →＝x i →+y j →+z k → 坐标(),,x y z 模a →方向角,,αβγ 方向余弦cos ,cos ,cos αβγcos α； cos β； cos γ三、向量运算： 设a →()1,11,x y z ； b →()2,22,x y z ；c →()3,33,x y z 加（减）法 a →±b →＝()12,1212,x x y y z z ±±± 数乘 ()111,,a x y z λλλλ→=数量积（点乘）（ⅰ）定义a →·b →=a →b →cos ,a b →→⎛⎫∠ ⎪⎝⎭（ⅱ）坐标公式a →·b →=12x x +12y y +12z z （ⅲ）重要应用a →·b →=0⇔a →⊥b →4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义a →⨯b →＝a b →→sin ,a b →→⎛⎫∠ ⎪⎝⎭ a →⨯b →与a →和b →皆垂直，且a →，b →，a →⨯b →构成右手系（ⅱ）坐标公式a →⨯b →=111222ijkx y z x y z →→→（ⅲ）重要应用a →⨯b →=0→⇔a →，b →共线 5、混合积 （ⅰ）定义 （a →，b →，c →）＝（a →⨯b →）·c →（ⅱ）坐标公式（a →，b →，c →）=111222333x y z x y z x y z （ⅲ）,,a b c →→→⎛⎫⎪⎝⎭表示以a →，b →，c →为棱的平行六面体的体积§7.2 平面与直线一、 空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。
（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，（2）已知坐标x ，y 和z 间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。
2 距离公式 空间两点()111,,A x y z 与()222,,B x y z 间的距离d 为 3 定比分点公式(),,M x y z 是AB 的分点：AMMBλ=,点A,B 的坐标为()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则 121x x x λλ+=+，121y y y λλ+=+，121z z z λλ+=+ 当M 为中点时， 122x x x +=，122y y y +=，122z zz += 二、平面及其方程。
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第七章 空间解析几何一、选择题1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ]A. 第一卦限B. 第二卦限C. 第三卦限D. 第四卦限2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ]A. 椭圆B. 圆C. 椭圆柱面D. 圆柱面3.直线312141:1+=+=-z y x l 与⎩⎨⎧=-++=-+-0201:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4π B. 3π C. 2π D. 04. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ]A. (-1,2,3)B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ]A. )(42y x z +=B. 2224y x z +±=C. x z y 422=+D. x z y 422±=+6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13- B. 13 C. 23- D. 237. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ]A. (-1,2,3)B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)8.方程22222x y z a b+=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.31- C. -110．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 DA. 222()a b a b =•B. 222()a b a b ⨯=⨯C. 22()()a b a b •=⨯D. 2222()()a b a b a b •+⨯=11．直线1l 的方程为03130290x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，直线2l 的方程为03031300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，则1l 与2l 的位置关系是 D A.异面 B.相交 C.平行 D.重合12．已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是 CA.关于XOZ 平面对称B.关于YOZ 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x y z ==对称13．已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点 CA.关于XOZ 平面对称B.关于XOY 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x y z ==对称14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 CA.2221x y z ++=B.221x y z ++=C.21x y z ++=D.221x y z ++=15. 已知,a b 为不共线向量,则下列等式正确的是 C A.2a a a = B. 2()a a b a b ••= C. 2()a b b ab ••= D. 222()a b a b =•16．已知向量(1,2,1)a =，(3,4,3)b =--，那么以,a b 为两边的平行四边形的面积是 BB.17．已知直线l 方程2303450x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩与平面π方程20x z -++=，那么l 与π的位置关系是CA. l 在π内B. l 垂直于πC. l 平行于πD.不能确定18．两向量,a b 所在直线夹角4π，0ab <，那么下列说法正确的是 BA. ,a b 夹角4πB. ,a b 夹角34π C. ,a b 夹角可能34π或4π D.以上都不对19.已知||1=a，||=b (,)4π=a b ，则||+=a b （D ）.(A) 1(B) 1220.设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）。
(A) 平行于π (B) 在π上 (C) 垂直于π (D) 与π斜交21.双曲线221450x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为（ A ）.(A) 222145x y z +-= (B) 222145x y z +-= (C) 22()145x y z +-= (D) 22()145x y z +-= 22.点(,,)a b c 关于y 轴对称的点是（ D ）.(A) (,,)a b c --- (B) (,,)a b c -- (C) (,,)a b c - (D) (,,)a b c --23.已知{4,3,4},{2,2,1}=-=a b ，则()Prj =b a （A ）.(A) 2 (B) 2-(D) 24.221x y -=在空间表示 （ D ）.(A) 双曲线 (B) 双曲面 (C) 旋转双曲面 (D) 双曲柱面25.设a 与b 为非零向量，则⨯=a b 0是（ C ）.(A) =a b 的充要条件 (B) ⊥a b 的充要条件(C) //a b 的充要条件 (D) //a b 的必要但不充分条件26．设平面方程为0Ax Cz D ++=，其中,,A C D 均不为零，则平面（ B ）.(A) 平行于x 轴 (B) 平行于y 轴 (C) 经过x 轴 (D) 经过y 轴27．已知等边三角形ABC∆的边长为1，且BC=a，CA=b，AB=c，则⋅+⋅+⋅=a b b c c a（ D）.(A) 12(B) 32(C) 12-(D) 32-28.点M(2，-3，1)关于坐标原点的对称点是( A )(A) (-2，3，-1) (B) (-2，-3，-1)(C) (2，-3，-1) (D) (-2，3，1)29.平面2x-3y-5=0的位置是( B )(A) 平行于XOY平面 (B) 平行于Z轴(C) 平行于YOZ平面 (D) 垂直于Z轴30.点A(-2，3，1)关于Y轴的对称点是( D )(A) (2，-3，1) (B) (-2，-3，-1)(C) (2，3，-1) (D) (2，-3，-1)31.过点(0，2，4)且与平面x+2z=1和y-3z=2都平行的直线方程是( C )(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=-=zyzx24(B)⎪⎩⎪⎨⎧=--=-342xzy(C)14322-=-=-z y x (D) 04)2(32=-+-+-z y x 32．二个平面14z 3y 2x =++和2x+3y-4z=1位置关系是（ A ） （A ）相交但不垂直 （B ）重合（C.）平行但不重合 （D.）垂直33. 过点(2，0，-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程是( A )(A) 0)3(11)0(14)2(16=++-+--z y x(B) 0)3(4)0(2)2(=++---z y x(C) 0)3(2)0(5)2(3=+--+-z y x(D) 0)3(11)0(14)2(16=-++++-z y x34. 向量{}c b a ,,=α与三坐标轴的夹角分别为γβα,,，则α的方向余弦中的βcos =( A ) (A) c b a b 222++ (B)c b a b ++ (C) c b a b ++± (D) c b a b222++±35. 已知曲面方程 2222by a x z +-= （马鞍面），这曲面与平面 h z = 相截，其截痕是空间中的（ B ）A. 抛物线；B. 双曲线；C. 椭圆；D. 直线。
36. 点(3，1，2)关于XOZ 平面的对称点是( B )(A) (-3，1，2) (B) (3，-1，2)(C) (3，1，-2) (D) (-3，-1，2)37. 曲线⎩⎨⎧==-0369422z y x 绕X 轴旋转一周，形成的曲面方程是( C )(A) ()3694222=-+y z x (B) ()()36942222=+-+z y z x (C) ()3694222=+-z y x (D) 369422=-y x 38. 准线为XOY 平面上以原点为圆心、半径为2的圆周，母线平行于Z 轴的圆柱面方程是( B )(A) 022=+y x (B)422=+y x (C) 0422=++y x (D)4222=++z y x 39. 球面k z y x 2222=++与a z x =+的交线在XOY 平面上的投影曲线方程是( D )(A) ()k z y z a 2222=++- (B) ()⎪⎩⎪⎨⎧==++-02222z k z y z a(C) ()k x a y x 2222=-++ (D) ()⎩⎨⎧==-++02222z k x a y x40. 向量α={}A A A z Y x ,,、β={}B B B Z Y X ,,垂直的充分必要条件是( A )(A) α·β=0 (B) α×β=0 (C) B A B A B A z zy y x x == (D) α-β=0二、填空题 1. ,7,4,3=+==b a b a 则 =-b a 12. 有曲面方程z qy p x 222=+，当pq<0时, 方程表示的曲面称为双曲抛物面3. 母线平行于x 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0162222222z y x z y x 的柱面方程是16322=-z y4. 已知a ,b ,c 都是单位向量，且满足a +b +c =0, 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a 23-5、XOZ 平面内曲线2x z =绕X 轴旋转，所得曲面方程为 422x y z =+6．已知向量(1,2,3)OA =，向量(2,3,4)OB =，那么三角形OAB 的面积是7、已知平面1:230x y z π+++=与2:310x y z π-+-+=，则其夹角为8．点(1,2,0)-在平面上210x y z +-+=的投影为 522(,,)333- 9.设有直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为3π10．已知||2=a ，||2=b ，3(,)π=a b ，则23=-u a b 的模||=u 11. 已知向量 ++=23 与 32-=，则 =⋅)3()2( 0 ； =⨯ 3213i j k +-12、平面x+2y-z+3=0和空间直线121131-=-+=-z y x 的位置关系是 直线在平面上 13. 过点（2，-3，6）且与Y 轴垂直的平面为 3-=y ，此点关于XOY 平面的对称点是 ()6,3,2-- ，它与原点的距离为 7三：计算与证明1.求过点M(3, 1 -2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程 解：设N(4, -3, 0), )1,2,5(=s, 由已知，)2,4,1(-=是所求平面内的向量又设所求平面的法向量是n ，取s n⨯=，即： k j i kj i n2298125241++-=-=故，所求平面的方程为：－8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0 即：－8x+9y+22z+59=02.求与直线1L ：13523z y x =-=+相交且与直线2L ：147510zy x =+=-相交, 与直线3L ： 137182-=-=+z y x 平行的直线方程 解：将1L ，2L 分别化为参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=t z t y t x 5332， ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=λλλz y x 74105 对于某个t 及λ值, 各得1L ，2L 上的一点,分别记为t M ,λM 则向量λM M t =[(2t-3)-(5λ+10)]i+[(3t+5)-(4λ-7)]j+(t-λ)k=（2t-5λ-13）i+(3t-4λ+12)j+(t-λ)k令向量λM M t 平行于3L ， 即有1-t 712+ 4-3t 813- 5-2t λλλ== 解得 t=225-，于是t M （-28，265-, 225-） 故 所求直线为：1225z 7265y 828x +=+=+ 3.直线L 过点M(2, 6，3), 平行于平面π:x-2y+3z-5=0且与直线1L :268252-=--=--z y x 相交, 求L 的方程 解：过点M 平行于π的平面方程为(x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0即: x-2y+3z=0 再求它与直线1L 的交点, 将1L 写成参数方程:x=2-5t, y=2-8t , z=6+2t 代入上述平面方程得: t=-1 所以交点为P(7, 10, 4), 又L 过M, P 两点 故: L 的方程为3-43-z 6-106-y 2-72x ==- 即：13-z 46-y 52x ==- 4．求过直线1211x y z -==-，且平行于直线1212x y z +==-的平面方程。