第三章随机过程作业
第三章随机过程作业
第三章随机过程作业1. 设A 、B 是独立同分布N(0,σ2)的随机变量，求随机过程{X t =At +B,t ∈R 1}的均值函数、自相关函数和协方差函数。
2. 设{X t ,t ≥a}是独立增量过程，且X a =0，方差函数为σX t 2。
记随机过程Y t =kX t +c ，k 、c 为常数，c≠0。
（1） 证明Y t 是独立增量随机过程；（2） 求Y t 的方差函数和协方差函数。
3. 设随机过程X t =X +Y ⋅t +Z ⋅t 2，其中X,Y,Z 是相互独立的随机变量且均值为0、方差为1，求{X t }的协方差函数。
4. 设U 是随机变量，随机过程X t =U,−∞ <t <∞ .(1) X t 是严平稳过程吗？为什么？(2) 如果E(U)=μ ,Var(U)=σ2，证明：X t 的自相关函数是常数。
5. 设随机过程X t =U cos t +V sin t,−∞ <t <∞ ,其中U 与V 独立同分布N(0,1)。
(1) X t 是平稳过程吗？为什么？(2) X t 是严平稳过程吗？为什么？6. 设随机变量X 的分布密度为f X ( x), 令 Y( t) = e − X t ( t > 0 ,X > 0), 试求Y( t)的一维概率分布密度及E(Y ( t ))、R X (s,t)。
7. 若从t = 0开始每隔1/2分钟查阅某手机所接收的短信息 , 令X (t )={cos πt ,如t 时手机接收到短信息，2t ，如t 时手机未接收到短信息，试求：X (t )的一维分布函数 F [12;x],F[1;x]8. 设随机过程Y n =∑X k n k=1,Y 0=0, 其中X k ( 1 ≤ k ≤ n) 是相互独立的随机变量 ,且P( X k = 1 ) = p ,P( X k = 0 ) = 1 − p = q , 试求{ Y n } 的均值与协方差函数 .9. 设X( t) = A sin (ωt +Z) ,其中A 、ω为常数 , 随机变量Z ～ U( −π ,π) , 令Y ( t) = X 2 ( t ) , 试求 :EY ( t ) 和R Y ( t,t +τ)。
第3章 随机过程及答案
互相关函数 R (t1 , t 2 ) E[ (t1 )(t 2 )]
式中 (t) 和 (t) 分别表示两个随机过程。 R(t1, t2)又称为自相关函数。
10
3.2 平稳随机过程 3.2.1 平稳随机过程的定义
12
数字特征：
E (t ) x1 f1 ( x1 )dx1 a
R( t1 , t 2 ) E[ ( t1 ) ( t1 )]
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔 有关。
P ( f ) 0
P ( f ) P ( f )
这与R()的实偶性相对应。
23
例题
[例3-2] 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的功率谱密度。 [解] 在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳 过程，并且求出其相关函数为
1 (t ) 2 (t )
n (t )
0
t
3
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为 (t1)。
样本空间
随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
S1 x1(t)
t
T /2
T / 2
x( t ) x( t )dt
aa R( ) R( )
(解答)《随机过程》第三章习题
第三章 Poisson 过程（Poisson 信号流）习题解答1、 设}0),({≥t t N 是一强度为λ的齐次泊松过程，而12/)()(-=t N t X ，0≥t 。
对0>s ，试求：（1） 计算)}()({s t N t N E +及})()({s N t s N E +的分布律；（2） 证明过程)(t X ，0≥t 是马氏过程并写出转移概率),;,(j t i s p ，其中t s ≤。
解：（1）由泊松过程状态空间可知)(t X 的状态空间为：},2,1,0:2/)2{(},2,2/3,1,2/1,0,2/1,1{ =-=--=k k St s t t s t t s t t s t N t N E λλλλ++=+++=+)(},min{)()}()({22由于tn e m t n m e n k t k n k t N kP n s N P n s N k t s N P k n s N k t s N kP n s N t s N E m tm n k t n k n k n k nk λλλλλ+=+=-=-=====+===+==+∑∑∑∑∑∞+=-∞+=--∞+=∞+=+∞=0!)()()!()(})({})({})(,)({})()({})()({因此t s N s N t s N E λ+=+)(})()({其分布列为：sn e n s n s N P t n s N t s N E P λλλ-===+=+!)(})({}})()({{（2）由泊松过程的独立增量性可知过程)(t X 也是独立增量的，又因为1)0(-=X ，因此可知过程)(t X 是一马氏过程，其转移概率为：),(;)]!(2[)]([)}1(2)({)}(2)({)}1(2)({)}1(2)({)}1(2)(),1(2)({})({})(,)({),;,()()(2s t i j e i j s t i s N P i j s t N P i s N P i s N P j t N i s N P i s X P j t X i s X P j t i s p s t i j ≥≥--=+=-=-+==+=+=+======---λλ),(;0),;,(s t i j j t i s p ≥<=附：泊松过程相关函数的计算： 设210t t ≤<，我们有：∑∑+∞=+∞=+==+=002121})(,)({)()}()({m n n m t N m t N P n m m t N t N E由于当210t t ≤<时，,2,1,0,,!!)(})(,)({212121=-=+==-+n m e n m t t t n m t N m t N P t nm n m λλ因此，我们有：1212)(1212)(1)(2121112111111212121111101222122121112110121201211112110121001210012120012100212112121212121222222222222)()!1()(!)1()(!)(!)1(!)(!)2(!)1(!)1()(!!)1()(!!)2()(!)1(!)1()(!!)1()(!!)(!!)(!!)()(})(,)({)()}()({t t t e e e t t t e e e t e e e t n t t m t et t t n t t m t et n t t m t et e n m t t t e n m t t t en m t t t en m t t t e n m t t t m en m t t t n m e n m t t t m e n m t t t n m m n m t N m t N P n m m t N t N E t t t t t t t t t t t t n n n m m m t n nn m m m t n nn m m m t m n t n m n m m n t nm n m m n t nm n m m n t n m n m m n t n m n m m n t n m n m m n t n m n m m n t nm n m m n λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+=-++=----+--+--=---++--+--=---+--=-+-=-+=+==+=------∞+=--∞+=---∞+=∞+=---∞+=∞+=---∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-++∞=+∞=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑同理我们有：当120t t ≤<时221221)}()({t t t t N t N E λλ+=因此，有：},min{)}()({),(212122121t t t t t N t N E t t R N λλ+==2、 设}0);({≥t t X 与}0);({≥t t Y 是相互独立，参数分别为1λ与2λ的Poisson 过程。
应用随机过程第三章习题解
g(t) = f (x, tx)|x|dx
3
第三章 更新过程
第三章 更新过程
其中 f (t, tx) 是 Xi 与 TiXi 的联合密度函数, 当 Xi 与 TiXi 独立时，有
∫ g(t) = λ exp{−λtx}f (x)|x|dx
所以这样的 Ti 是存在的.
3.6 如果 p = P (X = ∞) > 0, 则称 X 是广义的随机变量. 设 X 是广
是 3 分钟. 假设每台电话独立工作, 一共有 6 部电话, 估算上午 10:30 时恰
有 5 部电话占线的概率.
解:
由题可知每台电话占线的概率为
p
=
3 23
,
又各电话是否占线独立，
所以 10:30 有 5 部电话占线的概率为：
P = C65p5(1 − p)
3.11 眨眼使泪水均匀地涂在角膜和结膜的表面，以保持眼球润湿而不
∑ ∑k
∑
P ( Xi = j, Xk+1 > t − j) = (kλ)jexp(−kλ)P (X1 > t − j)/j!
0≤j≤t i=1
0≤j≤t
3.9 设更新过程 N (t) 的更新间隔是 Xn, i1, i2, . . . , in 是 1, 2, . . . , n 的一
个全排列. 对于 n ≥ 2, 证明
= 1/p − 1
3.7 对于泊松过程验证定理 1.2（2）成立.
证明: 对于泊松过程 N (t) 有 m(t) = E(N (t)) = λ·t, 而 λ·(t) 是连续的且 在 t≥0 时是严格增加的，当然是单调不减的, 也即定理 1.2(2) 对于泊松过 程是成立的。
3.8 设更新过程N(t)的更新间隔是来自总体 X 的随机变量。
随机过程课后题答案
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
随机过程作业和答案第三章
第三章 马尔科夫过程1、将一颗筛子扔多次。
记X n 为第n 次扔正面出现的点数，问{X(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出一步转移概率矩阵。
又记Y n 为前n 次扔出正面出现点数的总和，问{Y(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出一步转移概率矩阵。
解：1)由已知可得，每次扔筛子正面出现的点数与以前的状态无关。
故X(n)是马尔科夫链。
E={1,2,3,4,5,6} ,其一步转移概率为:P ij = P ij =P{X(n+1)=j ∣X(n)=i }=1/6 (i=1,2,…,6,j=1,2,…,6) ∴转移矩阵为2)由已知可得，每前n 次扔正面出现点数的总和是相互独立的。
即每次n 次扔正面出现点数的总和与以前状态无关，故Y(n)为马尔科夫链。
其一步转移概率为其中2、一个质点在直线上做随机游动，一步向右的概率为p , (0<p<1)，一步向左的概率为 q , q =1-p 。
在x = 0 和x = a 出放置吸收壁。
记X(n)为第n 步质点的位置，它的可能值是0,1,2,···,a 。
试写出一步转移概率矩阵。
解：由已知可得, 其一步转移概率如下：故一步转移概率为3、做一系列独立的贝努里试验，其中每一次出现“成功”的概率为p ( 0<p<1 ) ,出现“失败”的概率为q , q = 1-p 。
如果第n 次试验出现“失败”认为 X(n) 取得数值为零；如果第n 次试验出现“成功”，且接连着前面k 次试验都出现“成功”，而第 n-k 次试验出现“失败”，认为X(n)取值k ，问{X(n) , n =1,2,···}是马尔科夫链吗？试写出其一步转移概率。
解：由已知得：故为马尔科夫链，其一步转移概率为616161616161616161616161616161616161P ={6,,2,1,6/1,,8,7,,0)1,(+++=<++==+i i i j i j i i i j ij n n P 或)1(6,,2,1;6,,2,1,+++=++=n n n j n n n n i {}α,,2,1,0 =E )(0,1;)0(0,1)1,1(0,,1,,2,1101,1,ααααα≠==≠==+-≠===-=-+j P P j P P i i j P q P P P x j j ij i i i i 而时，当 10000000000000001Pp q p q p q ={}{}m m m m m m i n X l n X i n X i n X i n X l n X P ==+=====+)(0)()(,,)(,)(0)(2211 {}{}mm m m m m in X k l n X i n X i n X i n X k l n X P ==+=====+)()()(,,)(,)()(22114、在一个罐子中放入50个红球和50个蓝球。
电子科大 应用随机过程及应用 (陈良均 朱庆棠)第三章作业
(ii) 分解 对于参数为λ 对于参数为λ的Poisson过程， 过程，假设发生的每一个事件 独立的以概率做了记录， 独立的以概率做了记录，未做记录的概率为1-p。令 N1(t)是到t为止做了记录的事件数， 为止做了记录的事件数，而N2(t)是未做记录 的事件数， 的事件数，则{N1(t)；t ≥0}和 {N2(t)；t ≥0}分别是具 有参数pλ 和(1-p)λ的独立Poisson过程。 过程。
相互独立。 相互独立。而且
P ( N (t ) = k ) = ∑ P ( N 1 (t ) = j, N 2 (t ) = k − j ) = ∑ P ( N 1 (t ) = j )P ( N 2 (t ) = k − j )
j=0 j=0 j k− j k k
(λ t ) (λ t ) = ∑ 1 e − λ1 t 2 e −λ2t j! ( k − j )! j=0
[
]
( )
( )
(
)
ρ=
(
)(
)
一维概率密度函数
一维特征函数 二维概率函数 f (s , t , x , y ) = −
[X − m (t )]2 t ∈ T 1 exp − 2 D (t ) 2 λ D (t ) x∈ R t∈T ϕ (t , u ) = exp im (t )u − 1 D (t )u 2 2 x∈ R f (t , x ) =
i i i =1
n
X (t )为正态分布 m X (t ) = E [X (t )] = E [ξ t + W (t )] = E (t )E (ξ ) + E [W (t )] = 0
(t > s ) E [X 2 (t )] = E [ξ 2 t 2 + W (t )W (s ) + W (t )ξ s + W (s )ξ t ] = ts + s σ 2 D (t ) = t 2 + t 2σ 2 D (s ) = s 2 + s 2 σ 2 C (s , t ) = C (t , s ) = R (t , s ) = ts + s σ 2
《概率论与随机过程》第3章习题答案
《概率论与随机过程》第三章习题答案3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。
解：由题意可得:()[]()()002121020022222002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()12021202120202120202221202022021012022022202010022222200201021212122112210212212121221212222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。
∴()t X 是平稳过程另解：()[][]0022000000[cos()][cos()][];(,)cos()cos(())cos()cos(())t E A t E A E t E A R t t E A t t E A E t t E X ωΦωΦτωΦωτΦωΦωτΦ⎡⎤=+=+=⨯=⎣⎦⎡⎤⎡⎤+=+++=+++⎣⎦⎣⎦[][][])cos()cos())cos((τωτωτωω0200022222A E t E A E =+Φ++= ∴()t X 是平稳过程3.3 设S(t) 是一个周期为T 的函数，随机变量Φ在（0，T ）上均匀分布，称X(t)=S （t+Φ）,为随相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。
随机过程作业
0
1
0
平稳分布,且证明其唯一性.
第三章 平稳随机过程 第五次作业
9
学号
专业
姓名
作业号
3.2
设 U 是 随机变量 , 随机过程 X (t= ) U , −∞ < t < ∞ .(1) X (t ) 是严平稳过程吗 ? 为什么 ?(2) 如果
3.4
设 随 机 过 程 X (t )=U cos ωt + V sin ωt , −∞ < t < ∞ , 其 中 , U 与 V 相 互 独 立 , 且 都 服 从 正 态 分 布
1.20
设 { X n , n ≥ 1} 是参数为 p 的贝努利过程.试求协方差 Cov( X 2 − X 1 , X 3 − X 2 ) ,并由此证明 X n 不是独
立增量过程.
2 2 2 1.16 设复随机过程 Z = (t ) X (t ) + iY (t ) .试证 σ = σX (t ) + σ Y (t ) , RZ (t1 , t2 ) = [ RX (t1 , t2 ) + RY (t1 , t2 )] −i [ RXY (t1 , t2 ) − Z (t )
= EU µ = , DU σ 2 , 试证 X (t ) 的相关函数是常数.
N (0,1) .(1) X (t ) 是平稳过程吗?为什么?(2) X (t ) 是严平稳过程吗?为什么?
1.2
通过丢一颗骰子定义一个随机过程 { X (t ), −∞ < t < ∞} ,其中 X (t ) =
U Pr
1 2 3 1/3 1/3 1/3
t , 出现点数六 ; 试求随机过 2 否则 . t ,
随机过程作业(全部)
作业1（随机过程的基本概念）1、对于给定的随机过程{(),}X t t T ∈及实数x ，定义随机过程1,()()0,()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩，t T ∈ 请将{(),}Y t t T ∈的均值函数和相关函数用{(),}X t t T ∈的一维和二维分布函数表示。
2、设(),Z t X Yt t R =+∀∈，其中随机变量X ，Y 相互独立且都服从2(0,)N σ，证明{(),}Z t t R ∀∈是正态过程，并求其相关函数。
3、设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的协方差函数： （1）{(),0}W t At t +≥，其中A 为常数；（2）{(),0}W t Xt t +≥，其中(0,1)X N ，且与{(),0}W t t ≥相互独立；（3）2{(),0}taW t a ≥，其中a 为正常数； （4）1{(),0}tW t t≥作业2（泊松过程）1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。
2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<，(()|())()(1),0,1,,k kn k n s s P N s k N t n C k n t t-===-=作业3 （更新过程）1 设{(t),0}N t ≥是更新过程，更新间距,1,2,i X i = 服从参数为λ的指数分布，则(t),0N t ≥是服从参数为λ的Poisson 分布。
2 某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号新电池。
如果电池的寿命服从30小时到60小时的均匀分布，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率是多少？ 若没有备用电池，当收音机失效时，立即在市场上采购同型号电池，获得新电池的时间服从0小时到1小时的均匀分布，求在长时间工作的情况下，更换电池的速率。
随机过程第三章作业答案
Yk-1 ]] ≤ b ⋅ ∑ E[I{T ≥ k} ]
k =0
= b ⋅ ∑ P(T ≥ k) = b(1 + E[T]) < ∞，即E[W] < ∞
E[X k X k-1 ]=E[E[X k X k-1|X 0 X1 =E[X k-1E[X k |X 0 X1
2 2 ]-E[X k-1 ] ∴ E[Yk2 ]=E[X k n n
X k-1 ]] X k-1 ]]=E[X 2 k-1 ]
2 2 于是∑ Var(Yk ) = ∑ (E[X k ]-E[X 2 k-1 ]) = E[X n ]=Var(X n ) k =1 k =1
q X n ]]=E[( ) Xn+1 |X n ] p
6证明： k=1时，E[(X k -X k-1 )(Yk -Yk-1 )]=E[(X1 -X 0 )(Y1 -Y0 )]=E[X1Y1 ] k>1时，E[(X k -X k-1 )(Yk -Yk-1 )]=E[(X k Yk -X k-1Yk -X k Yk-1 +X k-1Yk-1 )] 又E[X k Yk-1 ]=E[E[X k Yk-1|Z0 ,Z1 E[X k-1Yk ]=E[E[X k-1Yk |Z0 ,Z1
= Zn ⋅ (0.5 ⋅ log 3 3+0.5 ⋅ log 3 1) = Zn ∴{Zn，n ≥ 1}关于{X n，n ≥ 1}的鞅。 事件{T=n}仅取决于σ （X1 ,X 2 X n）,∴ T是停时，但不能用停时定理。 验证性说明：假设停时定理成立，则E[ZT ]=E[Zk ]=E[log 3 (1 + X k )]=1； 但由T=min{n:Zn =0}知ZT =0，即E[ZT ]=0，推出矛盾。 证明：验证停时定理1的三个条件； 条件1：P(T=∞)= lim ( 1 ) n = 0；即P(T<∞)=1，成立。 2 n →∞ 条件2：E[|ZT |]=E[|∏ log 3 (1 + X k )|]； ∵ log 3 (1+X k )=1或0， ∴ E[|ZT |]<∞，成立。
应用随机过程第3章习题简答
第 3 章补充作业
1. 设 {N (t ), t 0} 是速率为 的泊松过程，请计算其均值函数、自相关函数与
协方差函数。
N (t ) E ( N (t )) t ，
RN (s, t ) E ( N (s) N (t )) E{N (s)(( N (t ) N (s)) N (s)]} ,(s t )
F( X1 , X 2 , X 3 ) (t1 , t2 , t3 ) P{ X1 t1 , X 2 t2 , X 3 t3} i 1(1 e ti )
3
( X1 , X 2 , X 3 ) 的联合密度为：
f ( X1 , X 2 , X 3 ) (t1 , t2 , t3 ) 3e (t1 t2 t3 )
et?0t??rfs1tdt??ss?wfs1tdtw?r?1?e?r?1?det??s2?w?r?1??edsdet当w1r时?0平均到家时间是s的增函数所以1的ds期望时间在s0时最小
随机过程_第 3 章泊松过程习题简答
教材 P16 习题 2，4,5,10,11,13,15,17,21
4. 计算泊松过程前三个事件到达时刻 S1,S2,S3 的联合分布。 解：设事件到达的时间间隔为 { X n , n 0} ，则有 X n 独立同分布于参数为λ的 指数分布，进而， ( X1 , X 2 , X 3 ) 的联合分布函数为：
（1） P{ X (3) 5} e 3
(3 )5 ； 5!
P{ X (2) 5, X (3) X (2) 0} P{ X (3) 5} e2 (2 )5 e 2 5! ( )5 ； 5 (3 ) 3 e3 5!
（ 3 ） P{ X (2) 5 | X (3) 5}
《信息与通信工程中的随机过程》习题解答 第3章
相关系数为： ρ = E {UV } = E { X 2 − Y 2 } = E { X 2 } − E { X 2 } = 0 由此得到，U 和V 的联合概率密度为：
1 − e fU ,V (u, v ) = 4π
u 2 +v 2 4
② 有①的结论，容易得到：
fU (u ) =
fV (v ) =
1 4π
2⎪ ⎫
⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
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《随机过程》作业标准答案·第 1 章
所以： 又：
dX (t ) = A。 dt
2⎪ ⎧ ⎫ ⎪ A A 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ (t + τ ) + B(t + τ ) − t − Bt ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ 2 lim E ⎨ − (At + B ) ⎬ ⎪ τ →∞ ⎪ τ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 2⎪ ⎧ ⎫ ⎪ A ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ τ + At τ + B τ − (At + B )τ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ = lim E ⎨ ⎬ ⎪ τ →∞ ⎪ τ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 2 ⎧ ⎫ τ 1 ⎪ ⎪ 2 2 E { A2 } = 0 = lim E ⎪ ⎨ Aτ ⎪ ⎬ = lim ⎪ τ →∞ ⎪ ⎪4 ⎪ τ →∞ 4 ⎩ ⎭
所以：
⎧ X1 = Y1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ X2 = − Y1 + Y2 ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ " ⎪ ⎪ ⎪ X =− Yn −1 + Yn ⎪ ⎪ ⎩ n
系数矩阵为下三角矩阵，容易求得 Jocobi 行列式为： J = 1 。所以： fY Y "Y (y1, y2 , ", yn ) = J fX X "X (y1, y2 − y1, ", yn − yn −1 ) 1 2 n 1 2 n = fX (y1 )fX (y2 − y1 )" fX (yn − yn −1 )
第三章随机过程的线性变换NEW随机信号分析与处理
k0 j0
k 0
2rm r2k
k 0
2rm
1 r2
例3：设一个平稳随机序列X(n)的自相关函数为 2 (m) ，线性
系统的单位冲激响应是
h(n) rn n 0,| r |1
求输出Y(n)的自相关函数及功率谱密度。
[解]
H(z)
h(k ) z k
k 0
rk zk
k 0
1 1 rz1 ,|
H (0 )
0
0
H () 2 d
e
0
H ()
2
max
等效原则：理想系统 与实际系统在同一白 噪声激励下的输出平 均功率相等，且理想 系统的增益为实际系 统的最大增益。
性质：
✓ 噪声等效通带只能由线性系统特性确定；
H () 2 d
fe
0
2
H ()
2
max
✓ 对于带通系统，输出平均功率
RY (0) feN0 H (0 ) 2
时域法
变换域方法
微分方程法 冲击响应法 频谱法
系统特 性描述
适用 范围
特点
微分方程和初 始值
h(t)
平稳和非平稳 平稳和非平稳
运算繁琐
h(t)较简单时， 较方便
H( )
平稳 方法简单
时域（冲击响应法）
频域（频谱法）
RXY ( ) h( ) RX ( )
RYX ( ) h( ) RX ( )
h(t1) h(t2 ) RX (t1,t2 )
1. 冲击响应法
X(t)
h(t)
Y(t)
m (t )
X
h(t )
mY (t )
RX (t1, t2 ) RX (t1, t2 )
第三章 随机过程
3-1、设X 是0,1a σ==的高斯随机变量，试确定随机变量Y cX d =+的概率密度函数()f y ，其中,c d 均为常数。
解：由题得：2()0,()1E x a D x σ====()()()E y E cx d cE x d c a d d=+=+=+=222()()D y D cx d c c σ=+==22()()]2x d f y c -=-3-2、设随机过程()t ξ可表示成()2cos(2)t t ξπθ=+，式中θ是一个离散随机变量，且11(0),()222P P πθθ====,试求(1)E ε和(0,1)R ε解：首先应理解(1)E ε和(0,1)R ε的含义，(1)E ε是指当t=1时，所得随机变量的均值，(0,1)R ε 是指当t=0和t=1时，所得的两个随机变量的自相关函数。
111[2cos(2)][2cos(2)]2(cos0cos )1222t E E E εππθπθ==+=+=+=22211(0,1)[(0)(1)][2cos 2cos(2)]4[cos ]4(cos 0cos )2222R E E E επξξθπθθ==⨯+==+=3-3、设1020()cos sin z t x t x t ωω=-是一随机过程，若1x 和2x 是彼此独立且具有均值为0，方差为2σ的正态随机变量，试求： （1）2[()],[()]E z t E z t（2）z(t)的一维分布密度函数f(z)； （3）12(,)B t t 和12(,)R t t解：（1）由已知条件12[][]0E X E X ==且1x 和2x 彼此相互独立。
所以1212[][][]0E X X E X E X == 212()()D x D x σ==，而222[][]E x E x σ=- 所以222111[]()[]E x D x E x σ=+=同理 222[]E x σ=10200102[()][cos sin ]cos []sin []0E z t E x t x t tE x tE x ωωωω=-=-=2210202222102012002201020012222200[()][(cos sin )][cos sin 2cos sin ]cos 2[]sin []2cos sin [](cos sin )E z t E x t x t E x t x t x x t t tE x tE x t tE x x t t ωωωωωωωωωωωωσσ=-=+-=+-=+=（2）由于1x 和2x 是彼此独立的正态随机变量且()z t 是1x 和2x 的线性组合，所以z 也是均值为0，方差为2σ的正态随机变量，其一维概率密度为22())2z f z σ=-（3）1,2121012011022022010*********()[()()]{[cos sin ][cos sin ]}[cos cos sin sin ][cos ()]R t t E z t z t E x t x t x t x t t t t t t t ωωωωσωωωωσω==--=+=-令12t t γ-=，则21,20()cos R t t σωγ==2121212120(,)(,)[()][()](,)cos B t t R t t E z t E z t R t t σωγ=-==3-4、已知()x t 与()y t 是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为12(),a a τ，自相关函数分别为(),()x y R R ττ。
通原第三章随机过程课后题答案
第三章 随机过程错误！未定义书签。
．设()()()cos 2c Y t X t f t πθ=+，其中()X t 与θ统计独立，()X t 为0均值的平稳随机过程，自相关函数与功率谱密度分别为()X R τ，()X P f 。
(1)若θ在()0,2π均匀分布，求()Y t 的均值、自相关函数和功率谱密度(2)若θ为常数，求()Y t 的均值、自相关函数和功率谱密度 解：无论是(1)还是(2)，都有()()()cos 20c E Y t E X t E f t πθ=+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()()()()()()()()cos 2cos 22cos 2cos 221cos 2cos 422211cos 2cos 42222Y c c c c c c X c c c X c X c c R E Y t Y t E X t f t X t f t f E X t X t E f t f t f R E f f t f R f R E f t f ττπθτπθπττπθπθπττπτπθπττπττπθπτ=+⎡⎤⎣⎦=++++⎡⎤⎣⎦=++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+++⎡⎤⎣⎦=+++⎡⎤⎣⎦在(1)的条件下，θ的概率密度函数为[)10,2()2 0 else p θπθπ⎧∈⎪=⎨⎪⎩于是()()201cos 422cos 42202c c c c E f t f f t f d ππθπτπθπτθπ++=++=⎡⎤⎣⎦⎰因此()()1cos 22Y X c R R f ττπτ=()()()()()22cos 224X c j f j f Y Y X c X c R f P f R e d e d P f f P f f πτπττπττττ∞∞---∞-∞==-++=⎰⎰在(2)的条件下()()()()11cos 2cos 42222Y X c X c c R R f R f t f ττπττπθπτ=+++表明()Y t 是循环平稳过程。
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第三章随机过程作业
1.设A、B是独立同分布的随机变量，求随机过程的均值
函数、自相关函数和协方差函数。
2.设是独立增量过程，且，方差函数为。
记随机过程，
、为常数，。
（1）证明是独立增量随机过程；
（2）求的方差函数和协方差函数。
3.设随机过程，其中是相互独立的随机变量且均值为0、
方差为1，求的协方差函数。
4.设U是随机变量，随机过程.
(1) 是严平稳过程吗？为什么？
(2) 如果，证明：的自相关函数是常数。
5.设随机过程,其中U与V独立同分布。
(1) 是平稳过程吗？为什么？
(2) 是严平稳过程吗？为什么？
6.设随机变量的分布密度为, 令, 试求的
一维概率分布密度及。
7.若从t = 0开始每隔1/2分钟查阅某手机所接收的短信息, 令
试求：的一维分布函数
8.设随机过程, 其中是相互独立的随机变
量, 且, 试求
的均值与协方差函数 .
9.设其中为常数, 随机变量,
令, 试求:和。
10.设有随机过程，并设x是一实数，定义另一个随机过程
试证的均值和自相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。
11.设有随机过程,，其中为均匀分布于间的
随机变量，即试证：
（1）自相关函数
（2）协相关函数
12.质点在直线上作随机游动，即在时质点可以在轴上往右或往左作一
个单位距离的随机游动。
若往右移动一个单位距离的概率为，往左移动一个单位距离的概率为，即，且各次游动是相互统计独立的。
经过n 次游动，质点所处的位置为。
（1）的均值；
（2）求的相关函数和自协方差函数和。
13.设，其中服从上的均匀分布。
试证:
是宽平稳序列。
14.设其中服从上的均匀分布. 试
证:既不是宽平稳也不是严平稳过程 .
15.设随机过程和都不是平稳的，且
其中和是均值为零的相互独立的平稳过程，它们有相同的相关函数，求证
是平稳过程。
16.设是均值为零的平稳随机过程。
试
证:
仍是一平稳随机过程, 其中为复常数，为整数。
17.若平稳过程满足条件，则称是周
期为的平稳过程。
试证是周期为的平稳过程的充分必要条件是其自相关函数必为周期等于的周期函数。