2018-2019学年上海市复旦附中高二(下)期末数学试卷
上海复旦大学附中2018-2019学年第二学期高三期末考试数学试卷(7页)(2021年整理)
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卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1-6题每题填对得4分，第7-12题每天填对得5分，否则一律得零分。
1.不等式13x >的解集为________2. 一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．3.已知110002111000n n n n a n n n+⎧≥⎪⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩()n *∈N ,则lim n n a →∞=________ 4.一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则项数n =________5。
若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为________6。
若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=________7.已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．8.已知点O 为ABC ∆的外心,且4,2ACAB ==,则·AO BC = ．9.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b ，且*,{|09,}a b n n n ∈≤≤∈N ，若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀",现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为________10.在ABC ∆中，点D 在BC 上，且2,::3::1DC BD AB AD AC k ==，则实数k 的取值范围是__________．11.已知函数()sin f x x x =-是R 上的单调增函数,则关于x 的方程211sin 2cos488x x x x -+=的实根为________ 12。
2018-2019学年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．（3分）抛物线x2＝4y的准线方程为．2．（3分）若方程表示椭圆，则实教m的取值范围是．3．（3分）若直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行，则l1与l2之间的距离为．4．（3分）过点（3，3）作圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1的切线，则切线所在直线的方程为．5．（3分）若一条双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则此双曲线的方程为．6．（3分）已知三角形ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），若顶点C在抛物线y2＝6x上移动，则三角形ABC的重心的轨迹方程为．7．（3分）设P，Q分别为直线（t为参数，t∈R）和曲线：（θ为参数，θ∈R）上的点，则||PQ|的取值范围是．8．（3分）已知直线l：4x﹣3y+8＝0，若P是抛物线y2＝4x上的动点，则点P到直线l和它到y铀的距离之和的最小值为9．（3分）如果M为椭圆：上的动点，N为椭圆：上的动点，那么的最大值为．10．（3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．11．（3分）已知直线l：ax+by＝0与椭圆交于A，B两点，若C（5，5），则的取值范围是．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知圆C：x2+y2＝r2与曲线交于两点M，N（M 在第一象限），与y轴正半轴交于P点，若＞，点Q（7，﹣2），则当m 和r变化时，|TP|+|NQ|的最小值为．二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13．（4分）方程3x2﹣8xy+2y2＝0所表示的曲线的对称性是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于y＝x轴对称D．关于原点对称14．（4分）已知点（a，b）是圆x2+y2＝r2外的一点，则直线ax+by＝r2与圆的位置关系（）A．相离B．相切C．相交且不过圆心D．相交且过圆心15．（4分）已知θ∈R，由所有直线L：x cosθ+（y﹣2）sinθ＝1组成的集合记为M，则下列命题中的假命题是（）A．存在一个圆与所有直线相交B．存在一个圆与所有直线不相交C．存在一个圆与所有直线相切D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等16．（4分）双曲线x2﹣y2＝1的左右焦点分别为F1，F2，若P是双曲线左支上的一个动点，则△PF1F2的内切圆的圆心可能是（）A．（﹣1，2）B．，C．，D．（﹣2，1）三、解答题（本大题共5题，共48分）17．已知圆C的圆心在直线x+y﹣8＝0，并且圆C与直线l1：y＝2x﹣21和l2：y＝2x﹣11都相切．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：2x+ay+6a＝ax+14与圆C有两个不同的交点MN长的最小值．18．已知曲线C是到两定点F1（﹣2，0）、F2（2，0）的距离之差的绝对值等于定长2a的点的集合．（1）若a，求曲线C的方程；（2）若直线l过（0，1）点，且与（1）中曲线C只有一个公共点，求直线方程；（3）若a＝1，是否存在一直线y＝kx+2与曲线C相交于两点A、B，使得OA⊥OB，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．19．轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有A，B，C三个无线电发射台，其中A在陆地上，B在海上，C在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图，已知A，B两点距离10千米，C是AB 的中点，海岸线与直线AB的夹角为45°，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晩秒（注：无线电信号每秒传播3×105千米），在某时刻，测得轮船距离C点距离为4千米．（1）以点C为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置（2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？20．已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），短袖的两个端点分别为B1，B2，且△F1B1B2为等边三角形．（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C的方程；（2）如果在椭圆C上存在不同的两点P，Q关于直线对称，求实数c的取值范围；（3）已知点M（0，1），椭圆C上两点A，B满足，求点B横坐标的取值范围．21．已知F1，F2为双曲线：＞的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐进线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．。
2018-2019学年上海中学高二(下)期末数学试卷
2018-2019学年上海中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（每题 3分）1- （ 3 分）11血（1丄）= _________ -2. ____________________________________________________ （ 3 分）已知等差数列 a i = 3, a n = 21, d = 2，贝U n = __________________________________ .3. （ 3 分）数列｛a n ｝中，已知 a n = 4n - 13?2n +2, n €N* , 50 为第 _______项.4. ________________________________________________________________ （ 3 分）｛a n ｝为等比数列，若 a 1+a 2+a 3= 26, a 4 - a 1= 52,贝U a n = ______________________ .n*5. （3 分）用数学归纳法证明（n+1） （ n+2） （n+3）•••（ n+n ）= 2 ?1?3?5•••（2n - 1） （n€N ）时，从n = k 到n = k+1时左边需增乘的代数式是 __________ .6. ___________________________________________________________________________ （3 分）数列｛ a n ｝满足 a 1 = 1, a 2= 3, a n+1= （2n - a n （n = 1, 2,…），贝U a 3 等于 _______ .7. （ 3 分）数列｛x n ｝满足 x n+1 = x n - x n -1, n 》2, n €N*, x 1= a , x 2= b ,贝U x 2019= ______ . & （ 3分）数列｛a n ｝满足下列条件：a 1 = 1，且对于任意正整数 n ,恒有a 2n = a n +n ，贝U a 二9. ( 3 分)数列｛a n ｝定义为 a 1 = cos 0, a n +a n+1 = nsin 肝cos B , n 》1,贝U S 2n+1 = ___ 10. （3分）已知数列｛a n ｝是正项数列，S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且满足11. （3分）若三角形三边成等比数列，则公比 q 的范围是 ________12. （3 分）数列｛a n ｝满足 a 1 = 1, a 2= 2, a 3 = 3 , a 4 = 4 , a 5= 5,当 n 》5 时，a n+1 = a 1?a 2?…?a n - 1,则是否存在不小于 2的正整数 m ,使a 1?a 2?…？ a m = a 1 +a 2 +…+a m 成立？若存 在，则在横线处直接填写 m 的值；若不存在，就填写"不存在" ____________ . 、选择题（每题 3 分） 已知等差数列｛a n ｝的公差为2,前n 项和为S n ,且S 10= 100 ,则a 7的值为LI * I右b n ,T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，贝y T 99= _________13. (3 分)A . 11B . 12C . 13D . 142C . 514. (3 分) 等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知S 3= a 2+10a 1, a 5= 9，贝U a 1=（g15. （3分）设等差数列｛ a n ｝的前n 项和为 3,若 S m- 1 =- 2, S m = 0, S m+1 = 3，贝V m =16. ( 3 分)设 0v aV兀~2 LT * . ■，右 x 1= sin a,x n+1 = (sin a) V- ( n = 1, 2, 3…)，则数列｛x n ｝是( )A .递增数列B .递减数列C •奇数项递增，偶数项递减的数列D •偶数项递增，奇数项递减的数列三、解答题17. (8分)等差数列｛a n｝的前n项和为S n, S4=- 62, S6=- 75设b n= |a n|,求数列｛b n｝的前n项和T n.218. (10 分)已知数列｛ a n｝的前n 项和S n= n - 2n+1 (n €N*).(1 )求｛a n｝的通项公式；(2)若数列｛b n｝满足：a n+1+log3n = log3b n ( n€N*),求｛ b n｝的前n项和T n (结果需化简) 19. (10分)某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件.若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为(n- 1)千元时多卖出亠件，(n讯*).2口(1)试写出销售量s与n的函数关系式；(2)当a= 10, b= 4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？2 S |i ? Io20. (10 分)设数列｛a n｝的前n 项和S n,已知a1= 1, = a n+1 - - n-—, n€N*.n 3 3(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)是否对一切正整数n,有1丄十…丄＜?注?说明理由.Sj a 2 3 n+121. (14 分)设集合S n= ｛(x1, x2,…，x n) X：€｛0 , 1｝(i = 1, 2,…，n) ｝，其中n €N*,n》2.(1 )写出集合S2中的所有元素；(2)设(a1, a2,…，a n), (b1, b2,…，b n) €S n,证明：“ a1?20+ a2?21 + …+ a n?2n 1=b1?2°+b2?21 + - +b n?2n-1“的充要条件是“ a i = b i (i = 1, 2，…,n)”；a n, ,(b1, b2,…b n,…)€S，使得a1?(=) +a2? )2+…+an?(丄)•= A,且(3)设集合S= { (X1, x2,…x n,…)|x i €{0, 1} (i = 1, 2…，n…)}设(a1, a2,…,b1?( —) 1+b2?(^) 2+ …+b n?(—) "+ •-= B，试判断"A= B”是"a i= b i (i = 1, 2,…)的什么条件并说明理由.2018-2019学年上海中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析填空题（每题3分）（3 分）lim（1 丄）=1.n【分析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可【解答】解：lim （1丄）=1 - 0= 1.故答案为：1.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查.2. （3 分）已知等差数列a i= 3, a n= 21, d = 2，贝U n = 10 .【分析】直接把已知代入等差数列的通项公式求得n值.【解答】解：在等差数列｛a n｝中，由a1 = 3, a n= 21, d= 2，得21 = 3+2 （n - 1）,解得：n= 10.故答案为：10.【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题.3. （3 分）数列｛a n｝中，已知a n= 4n- 13?2n+2, n €N* , 50 为第4 项.【分析】令a n= 4n- 13?2n+2= 50,可得：（2n- 16）（2n+3）= 0，解出n即可得出. 【解答】解：令a n= 4n- 13?2n+2 = 50,可得：（2n- 16）（2n+3）= 0,••• 2n= 16,解得n= 4.故答案为：4.【点评】本题考查了数列通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.n —14. （3 分）｛a n｝为等比数列，若a1+a2+a3= 26, a4 - a1= 52,贝U a n= 2?3 .【分析】利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出通项公式.2【解答】解：••• ｛a n｝为等比数列，a1+a2+a3= 26, a4 - a1 = 52,2aj +a 十日iq =26a J q _a J 二52 .目十9十『) ][巧(『一1] Q_1戈解得q= 3, a i = 2,n_ 1…a n= 2?3 •故答案为：2?3n一1•【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.n * 5. (3 分)用数学归纳法证明(n+1) ( n+2) (n+3)•••( n+n)= 2 ?1?3?5•••(2n- 1) (n€N )时，从n = k到n= k+1时左边需增乘的代数式是4k+2 .【分析】从n= k到n= k+1时左边需增乘的代数式是(k+1+k) (k+1+k+l)，化简即可得k+1出.【解答】解：用数学归纳法证明(n+1) ( n+2) (n+3)•••( n+n)= 2n?1?3?5-( 2n- 1)(n €N*)时，从n = k到n= k+1时左边需增乘的代数式是^ = 2 (2k+1).k+1故答案为：4k+2.【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6. (3 分)数列｛a n｝满足a1= 1, a2= 3, a n+1 = ( 2n -入a n (n = 1, 2,…),贝V a3等于15 .【分析】先由a1 = 1, a2= 3, a n+1 =( 2n-入)a n,可求出人然后由n = 2时，代入已知递推公式即可求解【解答】解：T a1 = 1, a2= 3, a n+1=( 2n - Z) a n.a2=( 2 -入)a1 即3 =( 2 -入).Z=- 1, a n+1=( 2n+1) a n•. a3= 5a2 = 15故答案为：15【点评】本题主要考查了利用递推公式求解数列的项，解题的关键是求出参数入7. ( 3 分)数列｛x n｝满足x n+1= x n - x n-1, n》2, n €N*, x1= a, x2= b，贝U x2019= b—a .【分析】本题可根据题中递推公式列出前面几项会发现数列｛X n｝是一个周期数列.然后根据周期数列的性质特点可得出X2019的值.【解答】解：由题中递推公式，可得：x i = a,x2= b,x3= x2 - x i = b - a,x4= x3 - x2= b - a - b=- a,x5= x4 - x3=- a -( b - a)=- b,x6= x5 - x4=- b - (- a) = a - b,x7= x6 - x5= a - b - (- b)= a,x8= x7 —x6= a -( a - b)= b,x9= x8 - x7= b - a,「•数列｛X n｝是以6为最小正周期的周期数列.•/ 2019-6= 336…3.• X2019= x3= b - a.故答案为：b- a.【点评】本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求出任一项的值•本题属中档题.& （3分）数列｛a n｝满足下列条件：a i = 1,且对于任意正整数n,恒有a2n= a n+n，则a加| = 512 .【分析】本题主要根据递推式不断的缩小，最后可得到结果，然后通过等比数列求和公式可得结果.【解答】解：由题意，可知：a）i: = a256+256=a128+128+256=a64+64+128+256=a32+32+64+128+256=a16+16+32+64+128+256=a8+8+16+32+64+128+256=a4+4+8+16+32+64+128+256=a2+2+4+8+16+32+64+128+256=a i+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=2+21+22+23+ …+28=2+2 X( 1+2+22+ (27)1-21- 29=2+2 X_—=29=512.故答案为：512.【点评】本题主要考查根据递推公式不断代入，以及等比数列的求前n项和公式•本题属基础题.9. (3 分)数列｛a n｝定义为a1 = cos B, a n+a n+1 = nsin 肝cos B, n》1,贝U S2n+1 = (n+1) cos B+2(n +n) sin B【分析】由题意可得S2n+1 = a1+ (a2+a3) + (a4+ a5) +…+ (a2n+a2n+1),运用并项求和和等差数列的求和公式，计算可得所求和.【解答】解：数列｛ a n｝定义为a1 = cos0, a n+a n+1 = nsin 0+cos 0, n》1,可得S2n+1 = a1+ (a2+a3) + (a4+a5) + …+ (a2n+a2n+1) = cos 0+ (cos 0+2sin 0) + (cos 0+4sin 0) + …+ (cos 0+2nsin 0) = ( n+1) cos 0+ ( 2+4+ …+2n) sin 0i 2=(n+1) cos 0+—n ( 2+2n) sin 0=( n+1) cos 0+ (n2+n) sin 02故答案为：(n+1) cos 0+ (n2+ n) sin 0.【点评】本题考查数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，考查化简运算能力，属于基础题.10. ｛a n｝是正项数列，S n是数列｛a n｝的前n项和，且满足(an ),若b n= ,T n是数列｛b n｝的前n项和，则T99 =【分析】求得数列的前几项，归纳a n =「- ，S n =|(,求得b n = 一LVnVn+1【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查数列的裂项相消求和,以及化简运算能力，属于中档题.代入，分q 》1和q v 1两种情况分别求得 q 的范围，最后综合可得答案. 【解答】解：设三边：a 、qa 、q 2a 、q >0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b >c ,(1)当q 》1时a+qa > q 2a ,等价于解二次不等式：q 2-q — 1v 0，由于方程q 2— q — 1 = 0 两根为：1,2 L 、——I -V S20n d , IIA /S即 1 w q v -----1【解答】解：数列｛a n ｝是正项数列, 再由裂项相消求和，计算可得所求和.S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且满足S n =(a n可得a i = S 1 =(a 1+)，可得a l同样求得a 3= 一 一:-.爲…，猜想 代入S n =A2a 1 = 1 ； a 1+a 2= 2)，解得 a 2={^ — 1,an =Vii -"□_], Sn ^Vn ,(an+ard-LVn+1 Vn)，即有T 99= 1 - LU--=1 —111010=_9_ =To故答案为:1011 • (3 分)【分析】q 的范围是_ ： ： , 1 _ ：■-•设三边：a 、qa 、q 2a 、q >0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b >c ,把a 、若三角形三边成等比数列，则公比 2qa 、 q2故得解：一v q v 上二-且q 》1,( 则b n =洽烧—^+…沽2(2)当q v 1时，a为最大边，qa+q2a>a即得q2+q- 1>0，解之得q> _ "或q v —综合(1) ( 2),得：q —故答案为：］心)2 2 ｝【点评】本题主要考查了等比数列的性质•属基础题.12. (3 分)数列｛a n｝满足a1= 1, a2= 2, a3 = 3, a4 = 4, a5= 5,当n>5 时，a n+1 = a1?a2?…?a n- 1,则是否存在不小于2的正整数m,使a1?a2?…？a m= a1 +a2 +…+a m成立？若存在，则在横线处直接填写m的值；若不存在，就填写“不存在”70 .【分析】设b m= a1?a2?…？a m- a12- a22------------- a m2中，令n= 5代入数据计算即可求出b5.由b5 = a1?a2?…？a5—a1 - a2 a5 中构造出b m+1 = a1?a2?…？a m+1- a1 - a2-a m+12，两式相减，并化简整理，可以判断出当m》5时，数列｛b n｝的各项组成等差数列•利用等差数列通项公式求解即可.【解答】解：设b m= a1?a2?…？a m-a12- a22-…-a m2,由已知，b5= a1 ?a2?…？a5 —a12- a22a52=1 X 2X 3X 4X 5-( 12+22+32+42+52)=120 - 55=65当m》5 时，由a m+1= a1?a2?…？a m- 1，移向得出a1?a2?…？a m= a m+1+1 ①2 2 2T b m= a1?a2?…？a m-a1 - a2 a m ,②2 2 2•- b m+1 = a1?a2?…？a m+1 —a1 - a2 -…—a m+1 ③2③-②得b m+1 - b m= a1?a2?•…？a m a m+1 - a1?a2?•…？a m- a m+1=a1?a2?…？a m (a m+1 - 1) - a m+1 (将①式代入)2 2 2=(a m+1 + 1) (a m+1 - 1) - a m+1 = a m+1 - 1 - a m+1=-1•••当n》5时，数列｛b n｝的各项组成等差数列，• b m= b5+ ( m - 5) X( - 1) = 65 -( m - 5)= 70 - m.2 2 2右a1?a2?…？a m= a1 + a2 + …+a m 成立，•- b m= 0，即m= 70故答案为：70.【点评】本题考查等差关系的判定、通项公式.考查转化、变形构造、计算能力.二、选择题(每题3分)13. (3分)已知等差数列｛a n｝的公差为2,前n项和为S n,且S10= 100,则a7的值为()【分析】由S10= 100及公差为2 .利用求和公式可得a1= 1.再利用通项公式即可得出.【解答】解：由S10= 100及公差为2.10a1+ ——-x 2= 100,2联立解得a1 = 1.--a n= 2n- 1,故a7= 13.故选：C.【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.14. （3分）等比数列｛a n｝的前n项和为S n,已知S3= a2+10a1, a5= 9，贝U a1=（）A. 1 B .丄 C .— D •曰3~39g【分析】设等比数列｛an｝的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到日 1 +乩1口十已1q =a1q+10 at，解出即可.s j q■丄【解答】解：设等比数列｛a n｝的公比为q,•S3= a2+10a1, a5= 9,r 2日i + a i q+a i q•，解得•臥二g故选：C.【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键.15. （3分）设等差数列｛a n｝的前n项和为3,若S m-1=- 2, S m= 0, S m+1 = 3,贝y m=（）A . 3B . 4C . 5D . 6【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m,进而得到公差d，由前n项和公式及S m = 0可求得a1,再由通项公式及a m= 2可得m值.【解答】解：a m= S m- S m-1 = 2, a m+1 = S m+1 - S m= 3,所以公差d= a m+1 - a m= 1,A . 11B . 12 C. 13 D. 14得 a 1 =- 2, 所以 a m =- 2+ ( m - 1 )?1 = 2,解得 m = 5,S另解：等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,即有数列｛——｝成等差数列,n解得m = 5.故选：C .【点评】本题考查等差数列的通项公式、 前n 项和公式及通项 a n 与S n 的关系，考查学生 的计算能力.16. ( 3 分)设 0v aV ^j ，若 x 1= sin a, x n+1=( sin a) % (n = 1, 2, 3…)，则数列｛x n ｝是 ( )A .递增数列B .递减数列C .奇数项递增，偶数项递减的数列D .偶数项递增，奇数项递减的数列【分析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0 V sin aV 1，进而可得函数y =( sin a)x为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案. 【解答】解：根据题意，0 V aV —，则0V sin aV 1 ,m - 1 > 0, m > 1,因此 m 不能为0, 又一解：由等差数列的求和公式可得(m - 1) (a 1+a m-1 )=- 2,(a 1 + a m ) =0, 可得 a 1 =- a m ,(m+1) (a 1+a m+1)= 3,[6 .-4m+1S m =则5 ：,」，"「成等差数列，HL'1 in m 十 12a m + a m+1 +a 0,指数函数y=( sin a) x为减函数,■'■( sin a) 1<( sin a) sin y ( sin a) 0= 1, 即—「〔八「I ]…，：(sinU ) '< (sinQ ) (日 )Z]< (吕 in a )打< (sin^ )^ = 1， 即 0 < X 1 < X 3< X 4< X 2< 1 ,(sinQ ) 'W (sin 口)(si 门 a ) (sin^ )勺< (曰 in a )Xj < (sin ) 0 =1即 0 < X 1 < x 3< x 5< x 4< x 2< 1，…，0< x 1< x 3 < x 5< x 7<・・・< x 8< x 6< x 4< x 2< 1 . 「•数列｛x n ｝是奇数项递增，偶数项递减的数列 故选：C .【点评】本题考查数列通项公式，涉及数列的函数特性，属中档题. 三、解答题17. （ 8分）等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , S 4=- 62, S 6=- 75设b n = |a n |,求数列｛b n ｝的 前n 项和T n .【分析】由已知条件利用等差数列前 n 项和公式求出公差和首项，由此能求出 a n = 3n -1 < n < 7 时，T n =- S n =…，当 n 》8 时，T n =【解答】解：I S 4=- 62, S 6=- 75,4a16 a |解得 d = 3, a 1=- 20,「. a n = 3n - 23,设从第n+1项开始大于零,• n = 7,即 a 7< 0, a 8> 0 当 1 < n W 7 时，T n =- S n =—V "23，且 a 7< 0, a 8> 0.当 3 3 43 2 n ~T一启.a^-20+3 Cn-lKOS+l 二-'【点评】本题考查数列的前 n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数 列的性质的合理运用.18. (10 分)已知数列｛ a n ｝的前 n 项和 S n = n 2 — 2n+1 (n €N*).(1 )求｛a n ｝的通项公式；(2)若数列｛b n ｝满足：a n+1+log 3n = log 3b n ( n€N*),求｛ b n ｝的前n 项和T n (结果需化简) 【分析】(1)运用数列的递推式得 n = 1时，a 1= S 1, n 》2时，a n = 3-S n -1，化简计算 可得所求通项公式；(2)求得b n = n?32n — 1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算 可得所求和. 【解答】解：(1) S n = n 2 — 2n+1，可得 a 1 = S 1 = 0,22n 》2 时，a n = S n - S n -1= n — 2n+1 —( n - 1) +2 ( n - 1) — 1 = 2n - 3,(2)数列｛ b n ｝满足：a n+1+log 3n = log 3b n (n€N*), 可得 2n - 1+log 3n = log 3b n ,即 b n = n?3 ,前 n 项和 T n = 1?3+2?33+ …+ n?3勿 1, 9T n = 1?33+2?34+…+ n ?32n+1,两式相减可得-8T n = 3+33+35+ …+32n 1 - n?32n+1 =-n?32n+1,化简可得T n【点评】 本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的 求和公式，考查运算能力，属于中档题.19. (10分)某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣 传且每件获利a 元的前提下，可卖出 b 件.若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费综上有，T n =当n 》8时，T进而可求S 的最大值【解答】（1）解法一、直接列式：由题,费为1千元时，s = b+L ；2千元时，s = b+ 2s = b + !■o —2 丄+ 丄；22+」••• +_L2n=b （2 -丄）（广告 2n…n 千元时s = b 也乙223+ …+-!^-23 2n解法二、（累差叠加法）设 S 0表示广告费为0千元时的销售量, 由题: b 巧r 盯，s 2~s 1 ~~~2，相加得S n - S3 b b b 12 22 23 + b bb u / o 1) 2 22 + ■ + + 1沪2n =b (2 2n ) 即 S n = b+ (2) b = 4000 时，s = 4000 (2-丄),设获利为 t ,则有 t = s?10- 1000n = 40000 (2-丄) 2n 2n-1000n为（n - 1）千元时多卖出 亠件，（n 讯*）.2n（1） 试写出销售量s 与n 的函数关系式；（2） 当a = 10, b = 4000时厂家应生产多少件这种产品,做几千元广告，才能获利最大?【分析】对于（1）中的函数关系，设广告费为 n 千元时的销量为s n ,则s n -1表示广告费s n --s n - 1=丄，可知数列｛s n ｝不成等差也不成等比数2n为（n - 1）元时的销量，由题意,列，但是两者的差上-构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：一、直接2n列式：由题，s = b+2 + ■■ +…+ ■ 23-b s i-一,S s-S rp-；-〉，累加结合等比数列的求和公式可求 &(2)) b = 4000 时，s = 4000 (2-丄)，设获利为 T n ,则有 T n = s?10- 1000n = 40000 (22n欲使T n 最大，根据数列的单调性可得，代入结合n 为正整数解不等式可求 n ,=b ( 2-)22 解法二、利用累差叠加法： -1000n ,(小)项，解题中要注意函数思想在解题中的应用.(1)求数列｛a n ｝的通项公式; 1 1 ”5 12“ 3 n+1【分析】(1)运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求; (2)对一切正整数n,有--引 a欲使T n 最大，则，得，故 n =5,此时 s = 7875.即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告, 能使获利最大.【点评】本题主要考查了数列的叠加求解通项公式, 利用数列的单调性求解数列的最大1 =1 V 12 nn £-l=—( 2 h-1 n+1),再由裂项相消求和，即可得证.【解答】解：(1)v=a n+1—n| 32• 2S n = n a n+1 —二 n — n —二 n = n a n+1 — 3 3 2nCn+1) (n+2) •••当 n 》2 时，2S n -1=( n — 1) a n—3Cn-L)n(n +1) 由①—②，得 2S n — 2S n -1 = na n+1 —( n — 1) a n — n (n+1),T 2a n = 2S n — 2S n -1,.°. 2a n = na n+1 —( n — 1) a n — n (n+1),=1，•数列｛ A ｝是以首项为n1，公差为1的等差数列.2(n — 1)= n ,. a n = n (n 》2),当n = 1时，上式显然成立.••• a n = n 2, n€N* n ,有亠四］曰 2 a n 3 n+1(2)对一切正整数丄+_!n n-1 n+120. (10分)设数列｛a n ｝的前n 项和S n ,已知a 1= 1,=a n+1 -丄二-n —,n€N*.(2)是否对一切正整数 n ,有"•?说明理由..考虑当n > 3时,可得—（_+, ）＞-,2n n+1 n+1即有_-_ （_+」^）v丄-」^,3 2 n n+1 3 口十1则当n》3时，不等式成立；检验n= 1, 2时，不等式也成立，综上可得对一切正整数n,有丄丄宀丄夺亠.衍日2 S 3"1【点评】本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键.21 . (14 分)设集合S n= { (x1, x2,…，x n) X：€{0 , 1} (i = 1, 2,…，n) }，其中n €N*,n》2 .(1 )写出集合S2中的所有元素；(2)设(a1, a2,…，a n), (b1, b2,…，b n) €S n,证明：“ a1?20+ a2?21 + …+ a n?2n 1=b1 ?20+ b2?21 + …+ b n?2n 1“的充要条件是"a i = b i (i = 1, 2，…,n)”；(3)设集合S= { (X1, X2,…x n,…)|x i €{0, 1} (i = 1,2…，n…)}设(a1, a2,…,)2+…+an?(丄)a n，…),(b1, b2,…b n，…)€S,使得a1?(一 ) +a2?b1?( —) 1+b2?^—) 2+ …+b n?^—) "+ •• •= B，试判断"A= B”是"a i= b i (i = 1, 2,…)”的什么条件并说明理由.【分析】(1)由题意求得S2中；(2)分别从充分性及必要性出发，分别证明即可，在证明必要性时，注意分类讨论；(3)将原始的式子同乘以2n,然后利用(2)即可求得答案.【解答】解：(1) S2中的元素有(0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1).0 1 n -1 0 1(2)充分性，当a i = b i (i = 1, 2,…，n),显然a1?2 +a2?2 + …+a n?2 = b1?2 +b2?2 + … +b n?2n-1成立，必要性，因为a1?20+a2?21 + - +a n?2n 1= b1?20+?21 + …+b n?2n 1,0 1 n -1所以(a1 - b1)?2 + (a2- b2)?2 + …+ (a n - b n)?2 = 0,因为(a1, a2,…，a n), (b1, b2,…，b n) €S n,所以a n- b n€{1 , 0, - 1},若a n- b n= 1,则(a1 - b1)?2°+ (a2 - b2)?21+ …+ (a n - b n)?2n 1= 20+21 + —+2n 1= 2n-1工0,当a n - b n=- 1,贝V (a1 - b1 )?2°+ (a2 - b2)?21 + ^ + (a n - b n) ?2n 1=- (20+21 + —+2 n 1)=-(2n - 1 )工 0,若a n - b n 的值有m 个1和n 个-1,不妨设2的次数最高次为r 次，其系数为1,贝U 2r-2r - 1 - 2r — 1 -……-1 = 2r - —= 2r -（ 2r - 1）= 1>0,1-2说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理只要最高次的系数是负的，整 个式子就是负的,说明最咼次的系数只能为，就是a n -b n = 0，即a i = b i , =2n ?A ,1+b 2?^) 2+ …+ b n ?(二)n + •••= B ,等价于 b 1?2n —1 由(2)得“ 2n ?A = 2n ?B “的充要条件是“ a i = b i (i = 1, 2，…，n )”;即 A = B 是 a i = b i （i = 1, 2，…，n ）”充要条件.【点评】 本题考查数列的综合应用，考查重要条件的证明，考查逻辑推理能力，考查分 类讨论思想，属于难题.综上可知：“ a 1?20+a 2?21+ …+a n ?2n —1= b 1?20+b 2?21+ …+b n ?2n — 1“的充要条件是 a a i = b i (i = 1, 2，…，n )”;(3)由a 1(^) 1+a 2(^) 2+…+ a n(—) n + •••= A ,等价于 a 1?2n 1+a 2?2n —2+- +a n ?2°+ … +b 2?2n —2+ …+b n ?20+ •••= 2n ?。
复旦附中高二期末(2018.06)
复旦附中高二期末数学试卷2018.06一. 填空题1. 已知,{0,1,2,3}a b ∈，则不同的复数z a bi =+的个数是2. 一个竖直平面内的多边形，用斜二侧画法得到的水平放置的直观图是一个边长为2的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是3. 若2018220180122018(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0122018||||||||a a a a +++⋅⋅⋅+=4. 在9()2ax x -的展开式中，3x 的系数为94，则常数a = 5. 已知球的体积是V ，则此球的内接正方体的体积为6. 点(1,2,1)A 、(3,3,2)B 、(1,4,3)C λ+，若AB u u u r 、AC uuu r 的夹角为锐角，则λ的取值范围为7. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比值是8. 正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A 、B 、C 、D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为9. 从集合{1,2,,30}⋅⋅⋅中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是10. 在正三棱锥P -ABC 中，2PA =，1AB =，记二面角P -AB -C 、A -PC -B 的平面角依次为 α、β，则23sin 2cos αβ-=11. 如图，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线4PA =，O 是底面圆心，B 是底面圆内一点，且AB ⊥OB ，C 为P A 的中点，OD ⊥PB ，垂足为D ，当三棱锥O -PCD 的体积最大时，OB =12. 已知数列{}n a ，令k b 为1a 、2a 、…、k a 中的最大值()k ∈*N ，则称数列{}n b 为“控制 数列”，数列{}n b 中不同数的个数称为“控制数列”{}n b 的“阶数”，例如：{}n a 为1、3、 5、4、2，则“控制数列”{}n b 为1、3、5、5、5，其“阶数”为3，若数列{}n a 为1、2、3、 4、5、6构成，则能构成“控制数列”{}n b 的“阶数”为2的所有数列{}n a 的首项和是二. 选择题13. 在20183(23)x +的展开式中，系数为有理数的项数为（ ）A. 336项B. 337项C. 338项D. 1009项14. 如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是（ ）A. 42B. 93+C. 33+D. 32 15. 定义“创新01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意12k m ≤≤，1a 、2a 、…、k a 中0的个数不少于1的个数，若4m =，则不同的“创新01数列”{}n a 的个数为（ ）A. 12个B. 14个C. 16个D. 18个16. 已知椭圆方程为221425x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满 足5022.5y x y x ≥-⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩的平面区域绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，则（ ）A. 21V V =B. 2132V V =C. 2154V V = D. 21,V V 无明确大小关系三. 解答题 17. 已知空间向量a r 与b r 的夹角为66，且||2a =r ||3b =r ， 令m a b =-u r r r ，2n a b =+r r r .（1）求a r 、b r 为邻边的平行四边形的面积S ；（2）求m u r 与n r 的夹角θ.18. 有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？（1）3名女生排在一起；（2）3名女生次序一定，但不一定相邻；（3）3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；（4）每两名女生间至少有两名男生；（5）3名女生中，A 、B 要相邻，A 、C 不相邻.19. 在正四棱锥P -ABCD 中，正方形ABCD 的边长为32，高6OP =，E 是侧棱PD 上的 点且3PD PE =，F 是侧棱P A 上的点且2PA PF =，G 是 PBC 的重心，如图建立空间直 角坐标系.（1）求平面EFG 的一个法向量；（2）求直线AG 与平面EFG 所成角的大小；（3）求点A 到平面EFG 的距离.20. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正 方形， ADE 是等腰直角三角形且∠AED 为直角，EF ⊥平面ADE 且1EF =.（1）求异面直线AE 和DF 所成角的大小；（2）求二面角B -DF -C 的平面角的大小.21. 已知p 、0q >，在()m px q +()m ∈*N 的二项展开式中，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，将m 的所有可能值从小到大排列构成数列{}n a .（1）求数列{}n a 的通项n a ()n ∈*N ；（2）若在2()a px q +的二项展开式中，当且仅当第10项的系数最大，求q p的取值范围.参考答案一. 填空题1. 162.3. 201834. 45.6. (2,4)(4,)-+∞U7.212ππ+ 8. 3+ 9. 98 10. 2 11. 12. 1044 二. 选择题13. B 14. A 15. B 16. C三. 解答题17.（1）S =（2）θπ=-. 18.（1）63634320P P =；（2）456786720⨯⨯⨯⨯=；（3）35452880P P =；（4）122323542523(22)2880P P P P P P ⨯+⨯=；（5）152256526528640P P P P P ⨯+=.19.（1）(0,1,1)；（2）；（3. 20.（1）2π；（2）3π. 21.（1）242n a n n =++，n ∈*N ；（2）(0,10).。
上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含解析
抛物线【答案】轴上以及【详解】因为抛物线的标准方程为所以：，所以所以准线方程为：故答案是：若方程表示椭圆，则实数【答案】可知方程表示椭圆的条件是：，所以实数的取值范围是故答案是：若直线与直线平行，与【答案】利用直线平行可求得，解得，，整理得，故答案是：【点睛】该题考查的是有关两条平行线间的距离问题，涉及到的知识点有两条直线平行的条过点的切线，则切线所在直线的方程为【答案】或利用圆心到直线的距离等于半径求得【详解】过点，直线斜率不存在时方程为，到直线的距离为，切线斜率存在时，直线设为，到直线的距离为，整理解得；切线方程为或，故答案是：或.若一条双曲线与且与椭圆【答案】【解析】由椭圆方程求出椭圆及双曲线的半焦距，设出与双曲线，化为标准方程，结合双曲线中的隐含条件求得【详解】由得，所以，得，即椭圆的半焦距为，有相同渐近线的双曲线方程为因为所求双曲线的焦点在轴上，则双曲线方程化为根据椭圆和双曲线共焦点，所以有，解得所以所求双曲线的方程为：故答案是：【点睛】该题考查的是有关共渐近线的双曲线的方程的求解问题，涉及到的知识点有已知椭的顶点、若顶点在抛物线则三角形【答案】【解析】三角形的三个顶点不共线，去掉相应的点，即可得到结果【详解】设的重心，，即因为点C在曲线所以有，即因为三角形的三个顶点不能共线，所以的重心的轨迹方程为：，故答案是：【点睛】该题考查的是有关动点的轨迹方程的求解问题，涉及到的知识点有三角形重心坐标、分别为直线（为参数，）和曲线（为参数，）上的点，则的取值范围是______【答案】的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，从而得到相应的范围【详解】由，（为参数）可得曲线的普通方程为因为点P、Q分别为直线和圆上的动点，，可以无穷远，的取值范围是，故答案是：已知直线，若是抛物线上的动点，则点到直线和它到【答案】从而将其转化为求抛物线的焦点到直线【详解】故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线上的点到两条定直线的距离之和的最小值问题，涉及到的如果为椭圆上的动点，为椭圆那么【详解】利用椭圆的参数方程：设若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数【答案】首先将关于的方程（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，画出图形，分类讨论，最后求得结果【详解】转化为（上半个单位圆）与当时，要满足条件，则；类似，当时，综上，实数的取值范围是．【点睛】该题考查的是有关根据方程解的个数求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有已知直线与椭圆交于、两点，若，则的取值范围是【答案】、，利用向量的运算法则以及向量数量积坐标运算公式，求得后结合【详解】直线过原点，结合椭圆图形的对称性可知方法一：设、，，即，∴方法二：利用参数方程，设【点睛】该题考查的是有关一个点与椭圆上两个关于原点对称的点所构成的向量的数量积的已知圆与曲线交于两点、（轴正半轴交于点．若，则当和变化时，的最小，可得从而可证，∴关于的对称点为，则，∴【点睛】该题考查的是有关线段和的最值的问题，在解题的过程中，注意利用对称将问题转方程关于轴对称关于关于轴对称将方程中的分别换为，以及将换成方程中的，比较所得方程与原方程是否相同，最后得到结果将方程中的，方程变为故关于将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于将方程中的换为，与原方程不同，故不关于直线对称；可知曲线既关于轴对称，又关于轴对称，从而得到其关于原点对称；若点是圆外一点，则直线，从而圆心到直线，由此能判断出直线【详解】由题意，得从而圆心到直线的距离为已知，由所有直线组成的集合记为首先能够确定直线是表示的圆径的大小，得到与直线相交，相离和相切，从而确定出【详解】根据点的距离为，表示圆的所有切线，符合选项A、B、C的圆依次为对于选项D，存在如下图的两种大小不相等的正三角形，∴D【点睛】该题考查的是有关定圆的切线系方程，利用点到直线的距离可以确定直线系圆的切线系，之后对选项逐项分析，找到对应的结果，从而得到答案16.双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线左支上的一个动点，的内切圆的圆心可能是（C. D.横坐标为【详解】设内切圆圆心为，内切圆与、、的切点分别为、则由切线长定理，知、、，为双曲线的左顶点且轴，的交点为，由角平分线定理，知，∴点一定位于因此，若内心在第二象限，则其一定位于渐近线的下方，在第三象限，的坐标一定为，已知圆上，并且圆与直线和都相切．）求圆）若直线与圆有两个不同的交点，求弦（）的交点，解方程组求得，由两平行线间的距离求得圆的半径，从而得到圆的）由直线的方程可以断定直线过定点，根据垂径定理，得到最小值求得结果）圆心与的交点，解得圆的直径为两平行线间的距离，可求出半径的方程为）直线过定点，由垂径定理知，为直线的法向量时，弦心距最长，弦最短，在平面直角坐标系中，动圆经过点相切，设动圆迹为曲线过点（，且和曲线只有一个公共点，求直线）已知不经过原点的直线与曲线、两点，判断命题“如果经过点）直线的方程为、、的方程为①直线的斜率不存在，即的方程为，符合题意，②直线的斜率存在，设与抛物线方程联立得（ⅰ），符合题意，此时的方程为，（ⅱ），则，解得，此时的方程为的方程为、）由图形的对称性，若直线过定点，则该定点必定落在、、、，则∵，∴，即或轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向．现有、三个无线电发射台，其中在陆地上，在海上，，如下图．已知、千米，是的夹角为接收到点的信号比接收到秒．（注：无线电信号每秒传播千米）．在某时刻，测得轮船距离千米．（1）以点为原点，直线为（2）根据经验，船只在距离海岸线持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险【答案】（1）见解析；（【解析】【分析】）设轮船在点处，则由题意，得为以、的双曲线右支上的点，其方程为，又，解得；（2）海岸线所在直线的方程为，与其平行，且距离为1.5的直线的方程为，考虑与是否有交点，∴与没有交点，即轮船保持目前的航路不变，没有搁浅风险．已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，且（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆（2）如果在椭圆上存在不同的两点、关于直线（3）已知点，椭圆上两点满足，求点（（）可得，得从而求得椭圆的方程；）由题意，得，，∴椭圆的方程为的方程为，即，、中点，，又，解得，在椭圆内，∴，得，∴）设椭圆方程，即，（常规解法）、的直线斜率不存在，即直线方程为时，、，得、的直线斜率存在，设直线方程为、，得，，由，可得，，综上，点横坐标的取值范围是．方法二：设，则，又，∴，，即点横坐标的取值范围是．已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在于点，且．（1）求双曲线的两条渐近线的夹角（2）过点的直线和双曲线的右支交于、两点，求的面积的最小值；（3）过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于、两点，求平行四边形【答案】（1））【解析】【分析】求得）由题意，得，∴，∴双曲线的方程为，∴2）【注：若设点斜式，需补上斜率不存在的情况】，、将直线的方程代入双曲线方程，消去，得，得，令，，则在上单调递减，在上单调递增，∴当时，取得最小值，此时，的方程为；）设，其中方法一：设，与联立，可求出由三阶行列式表示的三角形面积公式．方法二：如图，到和的距离为、【点睛】该题考查的是有关双曲线与直线的综合题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线的夹角，双曲线中三角形的面积，四边形的面积，属于较难题目.。
上海市2018_2019学年高二数学下学期期末考试复习卷(含解析)
16.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感
染的标志是“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”，根据过去 10 天甲、乙、丙、丁
四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )
A. 甲地：总体均值为 3，中位数为 4
B. 乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0
选项：若 天内数据为：
，满足均值为 ，方差大于 ，存在超过 人的情况，
不符合该标志，则 错误；
选项：设 天内存在一天超过 人，为最低的超过标志的人数： 人，则必有
，可知方差不可能为 ，可知假设错误，则必符
合该标志，则 正确；
选项：若 天内数据为：
，满足中位数为 ，众数为 ，存在超过 人的情况，
不符合该标志，则 错误.
【详解】
由题意可知：纬圈半径为： 两点的经度差为
即： 两地的球面距离：
本题正确结果： 【点睛】本题考查球面距离及其计算，考查空间想象能力，属于基础题.
6.若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为志愿者，则选出的志愿者中男女生均不 少于 1 名的概率是 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据古典概型求解出所求事件的对立事件的概率，然后利用对立事件概率公式求得结果. 【详解】记事件 为：“选出的志愿者中男女生均不少于 1 名” 则：
【点睛】本题考查圆柱侧面积的相关计算，属于基础题.
4.若对任意实数 ，都有 【答案】6 【解析】 【分析】 将原式变为 可求得结果. 【详解】由题意得：
，则 __________。 ，从而可得展开式的通项，令
则
展开式通项为：考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，关键是能够构造出合适的形式 来进行展开.
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)_7
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回，试卷自行保存。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.抛物线的焦点坐标为A. （0，2）B. （2，0）C. （0，4）D. （4，0）【答案】A【解析】【分析】根据抛物线标准方程求得，从而得焦点坐标．【详解】由题意，，∴焦点在轴正方向上，坐标为．故选A．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．解题时要掌握抛物线四种标准方程形式．2.复数的共轭复数是A. -1+iB. -1-iC. 1+iD. 1-i【答案】D【解析】【分析】化简复数为标准形式，然后写出共轭复数．【详解】，其共轭复数为．故选D．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．3.已知双曲线的离心率为，则m=A. 4B. 2C.D. 1【答案】B【解析】【分析】根据离心率公式计算．【详解】由题意，∴，解得．【点睛】本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定．4.如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由向量的线性运算的法则计算．【详解】-＝，，∴+（-）．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础．5.若=（4，2，3）是直线l的方向向量，=（-1，3，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是A. 垂直B. 平行C. 直线l在平面α内D. 相交但不垂直【答案】D【解析】【分析】判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，从而得直线与平面的位置关系．【详解】显然与不平行，因此直线与平面不垂直，又，即与不垂直，从而直线与平面不平行，故直线与平面相交但不垂直．故选D．【点睛】本题考查用向量法判断直线与平面的位置关系，方法是由直线的方向向量与平面的法向量的关系判断，利用向量的共线定理和数量积运算判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直线与平面的位置关系．6.“m≠0”是“方程=m表示的曲线为双曲线”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程进行判断．【详解】时，方程表示两条直线，时，方程可化为，时表示焦点在轴上的双曲线，时表示焦点在轴上的双曲线．故选C．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查充分必要条件，解题关键是掌握双曲线的标准方程．7.如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论错误的是A. 平面平面B. 的取值范围是（0，]C. 的体积为定值D.【答案】B【解析】【分析】根据线面位置关系进行判断．【详解】∵平面，∴平面平面，A正确；若是上靠近的一个四等分点，可证此时为钝角，B 错；由于，则平面，因此的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，C正确；在平面上的射影是直线，而，因此，D正确．故选B．【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，考查面面垂直、线面平行的判定，考查三垂线定理等，所用知识较多，属于中档题．8.设F是椭圆=1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点（i=1,2,3,···），，，···组成公差为d（d>0）的等差数列，则d的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出椭圆点到的距离的最大值和最小值，再由等差数列的性质得结论．【详解】椭圆中，而的最大值为，最小值为，∴，．故选B．【点睛】本题考查椭圆的焦点弦的性质，考查等差数列的性质，难度不大．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
上海市上海中学2018-2019学年下学期高二期末数学试卷
上海中学高二下期末数学试卷2019.6一、填空题1．在Rt A B C △中，90C ∠=︒，1A C =，2B C =，以B C 边所在直线为轴，把A B C △旋转一周，得到的几何体的侧面积为．2．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工人．3．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为．4．袋中有6个黄色、4个白色的兵乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，则第二次才取到黄色球的概率为．5．已知6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则0126,,,,a a a a ⋅⋅⋅中的所有偶数的和等于．6．12322019202020201222C C C C ++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅被10除得的余数是．7．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++，则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+的值为．8．长方体1111A B C D A B C D -的8个顶点在同一球面上，且2A B =，A D =，11A A =，则顶点A 、B 的球面距离是．9．如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A 沿圆锥体的表面爬行一周，又绕回到点A ．已知该圆锥体的底面半径为r ，侧面母线长为3r ，则小蚂蚁爬行的最短路径长为．10．已知四面体A B C D （非正四面体），过四面体A B C D 内切球球心的任意截面，若将该四面体分成体积相等的两个小多面体，假设这两个小多面体的表面积分别是12,S S ，则12S S =．11．对有(4)n n ≥个元素的总体{1,2,,}n ⋅⋅⋅进行抽样，先将总体分成两个子总体{1,2,,}m ⋅⋅⋅和{1,2,,}m m n ++⋅⋅⋅（m 是给定的正整数，且22m n -≤≤），再从每个子总体中各随机抽取2个不同元素，组成样本（样本中共4个元素）．用i j P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则所有(1)i j P i j n <≤≤的和等于．12．今有6个人组成的旅游团，包括4个大人2个孩子，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，孩子乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有种．13．晚会上共有8个演唱节目和3个舞蹈节目，要求任何2个舞蹈节目之间至少要有2个演唱节目，则一共有种不同的节目顺序表．14．设1210,,,x x x ⋅⋅⋅为1,2,,10⋅⋅⋅的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n <≤≤，都有m n x m x n ++≤成立的不同排列的个数为．二、选择题15．把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件A 表示“甲分得红牌”，事件B 表示“乙分得红牌”，则A 与B 是（）A ．对立事件B ．互相独立的事件C ．互斥但不对立事件D ．以上均不对16．某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口中的某一个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中猜测珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（）A ．516B ．532C ．16D ．以上都不对17．若两条异面直线所成的角为60︒，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（）A ．48对B ．24对C ．12对D ．66对18．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（）A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π三、解答题19．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12、13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，求该总体方差的最小值．20．甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三名学生的平时成绩分析，甲、乙、丙三名学生笔试合格的概率分别是0.6、0.5、0.4，面试合格的概率分别是0.6、0.6、0.75，求（1）甲、乙、丙三名学生中恰有一人笔试合格的概率；（2）经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．21．在一次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件．组委会决定将裁判由原来的9名增至14名，任取其中7名裁判的评分作为有效分，若全部14名裁判中有2名受贿，7个有效评分中有受贿裁判评分的概率称为“不公正率”，求（1）“不公正率”为多大？n n 个裁判中任取其中7名裁判的评分作为有效分，受贿人数仍为2人，要（2）若从(9)使“不公正率”降至40%以下，请问裁判团人数n至少为多少人？从本题计算所得数值中你有何感想？22．所有含数字5的三位正整数（例如：105，551等等）构成集合A，求（1）集合A中的元素个数；（2）集合A中所有元素的和．23．有一张形状为矩形11A B B A 的纸，边长1A A 为16cm π，边A B 长为16cm ，其内有两点,P Q ，点P 到1A A 、11A B 的距离分别为4cm 、4cm π，点Q 到A B 、1B B 的距离分别为43cm π和6cm ，现将矩形卷成一圆柱的侧面，使A B 和11A B 重合，求：（1）P 、Q 两点间的距离；（2）四面体A B P Q 的外接球的表面积．24．已知祖暅原理的两个推论如下：推论1：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果所截得的两个截面的面积之比恒等于:a b ，那么这两个几何体的体积之比也等于:a b ．推论2：夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任何直线所截，如果截得的两条线段的长度总相等，那么这两个平面图形的面积相等；如果截得的两条线段的长度之比恒等于:a b ，那么这两个平面图形的面积之比也等于:a b ．对于椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，利用以上两个推论求解下列问题：（1）求圆222:D x y b +=与椭圆C 的面积之比；（2）将椭圆C 绕y 轴旋转一周得到一个椭球体，求该椭球体的体积．参考答案一、填空题12．103．484．4155．326．17．1045⨯8．229．10．111．612．34813．846720014．512【第1题解析】1S rl ππ==⋅⋅侧．【第2题解析】258010200⨯=（人）．【第3题解析】132448C P ⋅=（2和4两个偶数任选1个排在个位，余下4个数字4选3排在其余3个数位）．【第4题解析】114611109415C C P C C ⋅==⋅．【第5题解析】偶数为1166a C ==，33620a C ==，5566a C ==，和为32．【第6题解析】原式122332020202020202011(22222)[1(12)]22C C C C =+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=++201008177181010101031(101)150(101010)4922C C C C +-+===⋅-⋅+-⋅+- ，被10除得的余数是1．【说明】计算器输入20111((20)2)x x C x -=+⨯∑，可得1743392201，∴其被10除得的余数是1．【第7题解析】令1x =-，可得012112a a a a +++⋅⋅⋅+=-，令3x =-，可得100121125a a a a -+-⋅⋅⋅-=-⨯，于是，原式100121101211()()45a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+-+-⋅⋅⋅-=⨯．【第8题解析】长方体的体对角线即为球直径，其值为，∴球半径r =，由于A O B O ==，2A B =，∴2A O B π∠=，∴球面距离 22A B A O B r =∠⋅=．【第9题解析】将圆锥的侧面展开图为半径为3r ，弧长为2r π的扇形，其圆心角为23π，于是小蚂蚁爬行的最短路径为图中的线段A A '，其长为．【第10题解析】内切球的球心O 到四面体A B C D 的四个面的距离均为球半径r ，记两个小多面体的体积分别为1V 、2V ，截面面积为S ，由12V V =可知，1211()()33S S r S S r ⋅-⋅=⋅-⋅，从而12S S =，∴121S S =．【第11题解析】从{1,2,,}m ⋅⋅⋅中随机抽取2个元素的所有的抽法有2m C ，从{1,2,,}m m n ++⋅⋅⋅中随机抽取2个元素的所有的抽法有2n m C -，∴从每个子总体中各随机抽取2个不同元素组成样本的所有抽法有22m n m C C -⋅．①当,{1,2,,}i j m ∈⋅⋅⋅时，元素,i j 必须被抽取，子总体{1,2,,}m m n ++⋅⋅⋅中需再抽2个元素，∴22221n m i j m n m mC P C C C --==⋅，这样的情况有2m C 个（确定,i j 分别为哪2个元素），∴此情况中i j P 的和为2211m mC C ⋅=；②当,{1,2,,}i j m m n ∈++⋅⋅⋅时，元素,i j 必须被抽取，子总体{1,2,,}m ⋅⋅⋅中需再抽2个元素，∴22221m i j m n m n mC P C C C --==⋅，这样的情况有2n m C -个（确定,i j 分别为哪2个元素），∴此情况中i j P 的和为2211n m n mC C --⋅=；③当{1,2,,}i m ∈⋅⋅⋅，{1,2,,}j m m n ∈++⋅⋅⋅时，元素,i j 必须抽取，且还需在两个子总体剩余的1m -个和1n m --个元素中各抽取1个，∴1111224()m n m i j m n m C C P C C m n m ----⋅==⋅-，这样的情况有11m n m C C -⋅个（确定,i j 分别为哪2个元素），∴此情况中i j P 的和为1144()m n m C C m n m -⋅⋅=-；∴所有(1)i j P i j n <≤≤的和等于6．【第12题解析】方法一：直接法①2辆缆车（3+3）[3辆缆车选2辆]：23336360C C C =（种）；②3辆缆车（1+2+3）[单独乘缆车的必须是大人]先确定4个大人哪一个单独乘哪一辆缆车，另外2辆缆车各1个孩子或1个大人陪同2个孩子：11211114323223()[()]216C C P C C C C +=（种）；③3辆缆车（2+2+2）先确定2个孩子乘坐的缆车，再安排4个大人的2人乘余下的一辆缆车，剩余的2个大人分别陪同1个孩子：22234272P C P =（种）；∴答案为6021672348++=（种）．方法二：排除法总情况：3辆缆车（1+2+3或2+2+2）[先分组再排列，注意有平均分组]或2辆缆车（3+3）[3辆缆车选2辆]，2221233233642653336333()510C C C C C C P C C C P +⋅+=（种）；2个孩子乘同一缆车，且无大人陪同的情况：2+2+2或1+2+3，121113434242C C C C C +=（种）；1个孩子单独乘1辆缆车的情况：1+2+3，11212352120C C C C =（种）；∴答案为51042120348--=（种）．【第13题解析】（隔板法）8个演唱节目先全排列，然后在这8个演唱节目隔开的9个空插入3个舞蹈节目并排序．第1个舞蹈节目之前，第1、2个舞蹈节目之间，第2、3个舞蹈节目之间，第3个舞蹈节目之后的演唱节目的个数依次记作1a 、2a 、3a 、4a ，由题意，12340,2,2,0a a a a ≥≥≥≥，则123411,11,12,11a a a a +--+≥≥≥≥，问题转化为8个舞蹈节目除头、尾外的7个空插入3个舞蹈节目并排序，∴共有83878467200P P ⋅=（种）．【第14题解析】（1）1,2的排列有1,2和2,1共2个满足题意；（2）1,2,3的排列有1,2,3、1,3,2、2,1,3、3,2,1共4个满足题意，其中1,2,3和1,3,2可由（1）中排列1,2插入3得到，3在排尾或者（1）中最大元素2之前，其中2,1,3和3,2,1可由（1）中排列2,1插入3得到，3在排尾或者（1）中最大元素2之前；（3）1,2,3,4的排列有1,2,3,4、1,2,4,3、1,3,2,4、1,4,3,2、2,1,3,4、2,1,4,3、3,2,1,4、4,3,2,1共8个满足题意[可由（2）中排列插入4得到，4在排尾或者（2）中最大元素3之前]；…，排列的个数构成2为公比的等比数列，∴所求的不同排列的个数为92512=．二、选择题15．C16．A17．B18．A【第16题解析1至6号口的情况依次为05C 、15C 、…、55C ，所求的概率为2555216C P ==，选A ．【第17题解析】如图，11A B C △为等边三角形，将11A B C △相邻两边的其中一边用和它平行的直线替换即可得到一对“黄金异面直线对”，如11A C A C ∥，∴A C 与1A B ，A C 与1C B 为“黄金异面直线对”；于是由11A B C △可得6对；类似1A C D △、11A B D △、1B C D △均可得6对，共24对，选B ．【第18题解析】如图，该几何体为78个球，3774288833V V r ππ==⋅=球，2r ⇒=，∴227171343178484S S S r r πππ=+⋅=⋅+⋅⋅=圆球，选A ．三、解答题19．10.5a b ==，方差35.808．20．（1）0.6(10.5)(10.4)(10.6)0.6(10.4)(10.6)(10.5)0.40.38P =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=；（2）先计算甲、乙、丙都不被录取的概率，分别为10.60.60.64-⨯=、10.50.60.7-⨯=、10.40.750.7-⨯=，再由排除法（去掉三人都不被录取的概率），可得所求概率为10.640.70.70.6864P =-⨯⨯=．21．（1）排除法（去掉没有受贿裁判的概率），71271410113C P C =-=；（2）72721325n n C P n C -=-<⇒≥，即裁判团人数n 至少为32人；感想略．22．（1）所有的三位正整数，去掉不含5的，答案为111899900252C C C -⨯⨯=（个）；（2）①百位为5的有100个；②百位不为5的有152个，其中百位为1，2，3，4，6，7，8，9的各有19个，百位为1的元素的和为1010(105115195)(150151159)1552890+++++++-=个个，百位为2的元素的和比百位为1的元素的和多了19个100，以此类推，所有元素的和为100(500501599)[289081900(1235678)]138870++++⨯+⨯++++++=个．23．记圆柱下底面的圆心为O ，P 、Q 在下底面的投影分别记作1P 、1Q ，设底面圆半径为r ，2168r r ππ=⇒=，由已知， 1142A P A O P r A O P ππ=∠⋅=⇒∠=， 11436A Q A O Q r A O P ππ=∠⋅=⇒∠=，（1）如图建立空间直角坐标系，由题意，14P P =，116610Q Q =-=，则(8,0,4)P、(Q -，∴||P Q =（2）设外接球的方程为2222()()(8)(0)x a y b z r r -+-+-=>，该球过(0,8,0)A 、(8,0,4)P、(Q -，∴22222222229734(8)642173(8)164(4)(43)4380734a a b r a b r b a b r r ⎧+=⎪⎪⎧+-+=⎪⎪+⎪-++=⇒=⎨⎨⎪⎪--++=⎩⎪-=⎪⎪⎩，从而，外接球的表面积为224(3803)S r cmππ==-．24．（1）如图，直线y h =与椭圆交于A 、B 两点，与圆交于C 、D 两点，易得222222222||22||21C D b h b h b a A B ah b h a bb --=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴由推论2，S bS a=圆椭圆；（2）用平面z h =截椭球体与球，则2222222222222221()()()h a a b h b S a b S b h b b h ππππ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⎝⎭===--椭球截球截，∴2232224433a a V Vb a b b b ππ==⋅=球椭球．。
2018-2019学年上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】利用等差数列通项公式及前n 项和公式，即可得到结果. 【详解】∵等差数列{}n a 的公差为2，且10100S =， ∴1011091021002S a ⨯=+⨯= ∴11a =∴()7171213a =+-⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题. 2．等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意可知，，，解得：，，求得，故选C.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果. 【详解】{}n a 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 4．设02πα<<，若11sin ,(sin )(1,2,3,)n x n x x n αα+===，则数列{}n x 是（ ）A ．递增数列B ．递减数列C ．奇数项递增，偶数项递减的数列D ．偶数项递增，奇数项递减的数列【答案】C【解析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0sin 1a <<，进而可得函数(sin )xy a =为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的一个焦点为()0,2F ,一条渐近线的斜率为则该双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=【答案】C【解析】根据双曲线一个焦点()0,2F 可以求出c ,可求出,a b 的关系,最后联立222c a b =+,解方程求出,a b ,求出方程即可. 【详解】因为双曲线一个焦点的坐标为()0,2F ,所以2c =,所以有ab=而222c a b =+,所以224a b =+,因此有2241a b a a b b⎧=+⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪⎩. 故选：C 【点睛】本题考查了求双曲线方程,考查了双曲线的渐近线方程,考查了数学运算能力.2．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15B．6CD．2【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1D A B D ,所以11(1(1,1AD DB u u u u v u u u u v=-=,因为111111cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅===u u u u v u u u u vu u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，所以异面直线1AD 与1DB 所成角，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.3．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种【答案】B【解析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果. 【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B 层1班，政治1班，物理A 层2班； （2）生物B 层1班，政治1班，物理A 层4班； （3）生物B 层1班，政治2班，物理A 层1班； （4）生物B 层1班，政治2班，物理A 层4班； （5）生物B 层1班，政治3班，物理A 层1班； （6）生物B 层1班，政治3班，物理A 层2班；（7）生物B 层2班，政治1班，物理A 层3班； （8）生物B 层2班，政治1班，物理A 层4班； （9）生物B 层2班，政治3班，物理A 层1班； （10）生物B 层2班，政治3班，物理A 层3班； 共10种，故选B. 【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题. 4．已知两个复数1z ,2z 的实部和虚部都是正整数,:①最大值为2；②无最大值;；④无最小值.其中正确判断的序号是（ ） A ．①③ B ．①④C ．②④D ．②③【答案】C【解析】设两个复数1z ,2z ,12z z +在复平面内对应点,,A B C ,利用平面向量的加法的几的最值情况.【详解】设两个复数1z ,2z ,12z z +在复平面内对应点,,A B C ,因此有：====因为, 复数1z ,2z 的实部和虚部都是正整数,所以,[0,)2OA OB π<>∈u u u r u u u r,2OA OB OB OA +≥=u u u r u u u r u u u r u u u r (当且仅当OA OB =u u u r u u u r )，而cos ,OA OB <>u u u r u u u r 是正数,故,对任意正整数M ,11z i =+,2z M Mi =+,OA OB M OB OA +>u u u r u u u ru u ur u u u r ,故,因此②④说法正确.故选：C 【点睛】本题考查了复数的向量表示,考查了平面向量的数量积的计算,考查了数学运算能力.二、填空题5．已知全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,则()U A B =I ð______. 【答案】{}1-【解析】利用集合补集和交集的定义直接求解即可. 【详解】因为全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,所以{}(){}=1,31U UA AB -∴=-I 痧.故答案为：{}1- 【点睛】本题考查了集合的补集、交集的定义,属于基础题.6=______.【答案】564【解析】利用模的性质、复数的乘方运算法则、模的计算公式直接求解即可. 【详解】()4481080525646441i i ⋅===⨯⋅+. 故答案为：564【点睛】本题考查了复数模的性质及计算公式,考查了复数的乘方运算,考查了数学运算能力. 7．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m ,从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n ,则方程221x y m n+=可以表示___个不同的双曲线. 【答案】8【解析】根据双曲线方程的特点,结合分类和分步计数原理直接求解即可. 【详解】因为方程221x y m n+=表示双曲线,所以0mn <.因此可以分成两类：第一类：从集合{}1,1,2,3-中取一个正数,从集合{}2,1,1,2--取一个负数,有326⨯=种不同的取法；第二类：从集合{}1,1,2,3-中取一个负数,从集合{}2,1,1,2--取一个正数,有122⨯=种不同的取法.所以一共有32128⨯+⨯=种不同的方法. 故答案为：8 【点睛】本题考查了双曲线方程的特点,考查了分类和分步计数原理,考查了数学运算能力.8．在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,第4项的二项式系数是______（用数字作答）. 【答案】20【解析】利用二项式的通项公式即可求出. 【详解】二项式621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为：62361661()()(1)r r r r r r r T C x C xx --+=⋅⋅-=⋅-⋅. 令3r =, 所以第4项的二项式系数是3620C =故答案为：20 【点睛】本题考查了二项式某项的二项式系数,解决本题要注意与二项式某项的展开式系数的不同.9．已知,αβ表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“或”“既不充分也不必要”）.【答案】必要不充分【解析】根据直二面角的定义、面面垂直的判定理、充分性、必要性的定义可以直接判断. 【详解】,αβ构成直二面角,说明平面,αβ互相垂直,但是m β⊥不一定成立,比如这两个相交平面的交线显然是平面α内的一条直线,它就不垂直于平面β；当m β⊥时, m 为平面α内的一条直线,由面面垂直的判定定理可知：,αβ互相垂直,因此,αβ构成直二面角,故由m β⊥可以推出,αβ构成直二面角,故“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了面面垂直的判定定理.10．若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______ 【答案】1【解析】：121212,,,12k k k k m ==-∴⋅=-Q 直线互相垂直，即12()1,12m m⋅-=-∴=11．复数11211011091i i i ⨯+⨯++⨯L 的虚部是______. 【答案】5-【解析】利用错位相消法可以化简式子,最后求出它的虚部. 【详解】令11211011091(1)S i i i=⨯+⨯++⨯L ,1021311111091(2)i S i i i ⋅=⨯+⨯++⨯L ,(1)(2)-得, 10112131101111(1)10()i S i i i i i -⋅=⨯-+++-L ,2110910[1()]21021051i i S i i S i S i i-=--+⇒=-⇒=--. 故答案为：5- 【点睛】本题考查了错位相消法,考查了等比数列的前n 项和公式,考查了i 乘方运算的性质,考查了数学运算能力.12．已知经停某站的高铁列车有100个车次,随机从中选取了40个车次进行统计,统计结果为：10个车次的正点率为0.97,20个车次的正点率为0.98,10个车次的正点率为0.99,则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为______（精确到0.001）. 【答案】0.007【解析】根据平均数的公式,求出平均数,再根据标准差公式求出标准差即可.【详解】由题意可知：所有高铁列车平均正点率为：1(100.97200.98100.99)0.98102010x =⨯⨯+⨯+⨯=++.所以经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为：2221210(0.01)200100.010.010.007070.00740s ⎡⎤=⨯⨯-+⨯+⨯=⨯=≈⎣⎦ 故答案为：0.007 【点睛】本题考查了平均数和标准差的运算公式,考查了应用数学知识解决实际问题的能力.13．设A ,B 是实数集R 的两个子集,对于x ∈R ,定义：0,,1,,x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩ 0,,1,,x B n x B ∉⎧=⎨∈⎩若对任意x ∈R ,1m n +=,则A ,B ,R 满足的关系式为______. 【答案】R A C B =或R B C A =.【解析】根据新定义、1m n +=可以得到两种情况,一种0,1m n ==,另一种情况1,0==m n ,这样就可以确定A ,B ,R 满足的关系.【详解】因为对任意x ∈R ,1m n +=,所以,m n 必有一个0,一个是1.根据定义可知：当x A ∈时,则有x B ∉,当x A ∉时,则有x B ∈,根据补集定义可知：R A C B =或R B C A =.故答案为：R A C B =或R B C A =. 【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了集合补集定义的理解.14．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________. 【答案】24π【解析】试题分析：正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为244624S r πππ==⋅=．【考点】正四棱柱外接球表面积．15．6月12日,上海市发布了《上海市生活垃圾分类投放指南》,将人们生活中产生的大部分垃圾分为七大类.某幢楼前有四个垃圾桶,分别标有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”,小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害垃圾）、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中,若每种垃圾投放到每个桶中都是等可能的,那么随机事件“4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是______. 【答案】67256【解析】先求出基本事件的个数,再求出4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中的事件的个数,最后利用古典概型求出概率即可. 【详解】由题意可知：基本事件的个数为4444256⨯⨯⨯=.设事件A 为4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中,则事件A 包含的基本事件个数为：22114433167C C ⋅+⋅+=,所以67()256P A =. 故答案为：67256【点睛】本题考查了古典概型计算公式,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.16．对于无理数x ,用x 表示与x 最接近的整数,如3=,2=.设n *∈N ，对于区间11,22n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的无理数x ,定义x xm m C C =,我们知道,若m *∈N ,()n m n *∈N ≤和()r r n *∈N ≤,则有以下两个恒等式成立：①m n m n n C C -=；②11r r r m m m C C C -+=+,那么对于正整数n 和两个无理数()0,m n ∈,()1,r n ∈,以下两个等式依然成立的序号是______；①m n m n n C C -=；②11r r r n n n C C C -+=+.【答案】①，②..【解析】根据新定义,结合组合数公式,进行分类讨论即可. 【详解】当1()2m n +>时,由定义可知：m n 〈〉=,01,1m m n n m n m n n n n nn C C C C C C 〈〉-〈-〉======, 当1()2m n +<时,由定义可知：1m n 〈〉=-,11,m m n n m n m n n n n n n C C C n C C C n 〈〉--〈-〉======,故①m n mn n C C -=成立；当1()2r n +>时,由定义可知：r n 〈〉=,1111111,1r r n r r r r n n n n n n nn n n n C C C n C C C C C C n 〈〉-〈〉〈-〉-+++===++=+=+=+, 当1()2r n +<时,由定义可知：1r n 〈〉=-,11112111(1)(1)(1),222r r n r r r r n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n 〈〉--〈〉〈-〉--++++-+===+=+=+=+=故②11r r r n n n C C C -+=+成立.故答案为：①，②. 【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了组合数的计算公式,考查了分类讨论思想.三、解答题17．如图,在多面体ABCDEF 中,FA ⊥平面ABCD ,四边形ADEF 为正方形,四边形ABCD 为梯形,且AD BC ∥,90BAD ∠=︒,1AB AD ==,3BC =.(1)求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；(2)线段BD 上是否存在点M ,使得直线CE P 平面AFM ？若存在,求BMBD的值：若不存在,请说明理由. 【答案】(1)105；(2) 23.【解析】建立适当的空间直角坐标系.(1)求出平面CDE 的法向量,利用空间向量夹角公式可以求出直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；(2)求出平面AFM 的法向量,结合线面平行的性质,空间向量共线的性质,如果求出BMBD的值,也就证明出存在线段BD 上是否存在点M ,使得直线CE P 平面AFM ,反之就不存在. 【详解】以A 为空间直角坐标系的原点, 向量,,AB AD AF u u u r u u u r u u u r所在的直线为,,x y z 轴.如下所示：(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D E F.(1)平面CDE 的法向量为111(,,)m x y z =u r ,(1,2,0),(0,0,1),(1,0,1)DC DE BF ===-u u u r u u u r u u u r. 111200(2,1,0)00x y m DC m DC m z m DE m DE +=⎧⎧⎧⊥⋅=⇒⇒∴=-⎨⎨⎨=⊥⋅=⎩⎩⎩u u u v u u u v v v v u u uv u u u v v v . 直线BF 与平面CDE 所成角为θ,所以有210sin 552m BF m BFθ⋅-===⨯⋅u r u u u r ur u u u r ;(2)假设线段BD 上是存在点M ,使得直线CE P 平面AFM .设([0,1])BMBDλλ=∈,因此BM BDλ=u u u u r u u u r,所以M 的坐标为：(1,,0)λλ-.(1,2,1)CE =--u u u r . 设平面AFM 的法向量为222(,,)n x y z =r ,(0,0,1),(1,,0)AF AM λλ==-u u u r u u u u r,22200(,1,0)(1)00z n AF n AF n x y n AM n AM λλλλ=⎧⎧⎧⊥⋅=⇒⇒∴=--⎨⎨⎨-+=⊥⋅=⎩⎩⎩u u u v u u u v v v v u u u u v u u u u v v v , 因为直线CE P 平面AFM ,所以有22(1)03CE n λλλ⊥⇒--=⇒=u u u r r ,即23BM BD =. 【点睛】本题考查了线面角的求法以及线面平行的性质,考查了数学运算能力. 18．已知正整数2n ≥,()()1103nn n n n f x x a x a x a x a --=+=++⋅⋅⋅++1. (1)若()f x 的展开式中,各项系数之和比二项式系数之和大992,求n 的值； (2)若2019n =,且k a 是110,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅中的最大值,求k 的值.【答案】(1) 5n =；(2)504k =或505k =.【解析】(1)令1x =求出()f x 的展开式中各项系数和,结合二项式系数和公式,可由题意列出方程,解方程即可求出n 的值(2)根据数列最大项的定义,可以列出不等式组,解这个不等式组即可求出k 的值. 【详解】(1) 令1x =,所以()f x 的展开式中各项系数和为：4n ,二项式系数和为：2n ,由题意可知：42992(232)(231)0232n n n n n -=⇒-+=⇒=或221n =-(舍去),所以5n =；(2) 二项式()3nx +的通项公式为：2019120193r rr r T C x-+=⋅⋅. 因为k a 是110,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅中的最大项,所以有：201920192018201812019201920192019202020201201920195043350450550533k k kk k k k k k kk k a a k C C k a a k C C ----+-----≥⎧≥⋅≥⋅⎧⎧⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎨≥≤⋅≥⋅⎩⎩⎩, 因此504k =或505k =. 【点睛】本题考查了二项式系数之和公式和展开式系数之和算法,考查了二项式展开式系数最大值问题,考查了数学运算能力. 19．设z C ∈. (1)若312iz i+=+,且z 是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,求b 和c 的值； (2)若4zz -是纯虚数,已知0z z =时,z +取得最大值,求0z ； (3)肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题,己知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9,求该题能被正确解答的概率.【答案】(1) 2,2-；(2) 03z =+；(3) 0.98. 【解析】(1)利用复数除法的运算法则化简312iz i+=+,再根据实系数一元二次方程的性质和根与系数关系可以求出b 和c 的值；(2)设出复数z 的代数形式,利用复数的除法法则和4zz -是纯虚数,可得出复数z 的实问部和虚部之间的关系,再由0z z =时,z +取得最大值,这样可以求出0z ； (3)求出该题不能被正确解答的概率,然后运用对立事件概率公式求出该题能被正确解答的概率.【详解】 (1) 3(3)(12)112(12)(12)i i i z i i i i ++⋅-===-++⋅-.因为z 是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,所以1i +也是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,因此由根与系数关系可知：(1)(1)2(1)(1)2i i c b i i b c +-==-⎧⎧⇒⎨⎨++-=-=⎩⎩,所以b 和c 的值分别为2,2-； (2)设(,)z x yi x y R =+∈.222()(4)(4)444(4)(4)(4)z x yi x yi x yi x x y yi z x yi x yi x yi x y ++⋅---+-===-+-+-⋅---+是纯虚数,所以有 222(4)0,0(2)4,0x x y y x y y -+=≠⇒-+=≠,它表示以(2,0)A 为圆心，2为半径的圆, z +的几何意义是圆上的点(,)P x y到点(0,B -是距离. ,,P A B 在同一条直线上且,PA PB u u u r u u u r同向时,z +取得最大值, 因为2,6PA PB ==u u u r u u u r ,所以 13PA PB =u u u r u u u r所以1(2,)(,)3x y x y --=--,因此12()331()()3x x x y y y ⎧-=-⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-=--⎪⎩所以03z =+(3) 该题不能被正确解答的概率为(10.9)(10.8)0.02-⨯-=,因此能被正确解答的概率为：10.020.98-=.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的根的性质和根与系数关系,考查了根据复数的类别求轨迹问题,考查了对立事件的计算公式.20．已知以椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形. (1)求椭圆E 的方程：(2)若(),x y 是椭圆E 上的动点,求2x y +的取值范围；(3)直线l ：()0y kx m km =+≠与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ,B 两点,O 为坐标原点,直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点,直线l 和直线AO 的斜率之积为1,直线BC 与x 轴交于点M .若直线BC ,AM 的斜率分别为1k ,2k 试判断122k k +,是否为定值,若是,求出该定值；若不是,说明理由.【答案】(1) 22142x y +=；(2) (2)[x y +∈-； (3)是定值,为0.【解析】(1)由题意可知：22224b ca abc =⎧⎪=⎨⎪=+⎩,解这个方程组即可； (2)把椭圆的方程化为参数方程,根据辅助角公式可以求出2x y +的取值范围； (3)直线方程与椭圆E 的标准方程联立,利用根与系数关系,可以判断出122k k +为定值. 【详解】(1)因为以椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形.所以有22224b ca abc =⎧⎪=⎨⎪=+⎩,解得224,2a b ==,所以椭圆E 的方程为：22142x y += (2)椭圆椭圆E的参数方程为：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数且[0,2]θπ∈).因为(),x y 是椭圆E 上的动点,所以24cos )x y θθθϕ+==+,其中1sin 3ϕϕ==. sin()[1,1]θϕ+∈-Q.(2)[x y ∴+∈-(3)设()()()11221122,,,,0,0A x y B x y x y x y ≠≠,则()11,C x y --,11AO y k x =.直线l ：()0y kx m km =+≠与椭圆E 的方程联立为：22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()222124240k xkmx m +++-=,由根与系数关系可得：()121121212122121421,2121222y y y kmm x x y y k x x m k k k x x k x ++=-+=++=∴==-=-+++直线BC 的方程为：()11112y y y x x x +=-+,令0y =,因为10y ≠,所以13x x =-. ()11121113,0,34y yM x k x x x ∴-==+。
精品解析：上海市上海中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题(原卷版)
上海中学2019学年第二学期期终考试数学试题一、选择题1.__________.1lim 1n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭2.等差数列中，若，则___________.{}n a 13,21,2n a a d ===n =3.数列中，已知，50为第________项.{}n a *41322,n n n a n N =-+∈•4.为等比数列，若，则_______.{}n a 1234126,52a a a a a ++=-=n a =5.用数学归纳法证明时，从“到”，左*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n N +++=⋅⋅⋅-∈ n k =1n k =+边需增乘的代数式是___________.6.数列满足，则等于__________.{}n a 1211,3,(2)(1,2,)n n a a a n a n λ+===-= 3a 7.数列满足，则_________.{}n x *1112,2,,,n n n x x x n n N x a x b +-=-≥∈==2019x =8.数列满足下列条件：，且对于任意正整数，恒有，则______.{}n a 11a =n 2n n a a n =+512a =9.数列定义为，则_______.{}n a 11cos ,sin cos ,1n n a a a n n θθθ+=+=+≥21n S +=10.已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，{}n a n S {}n a n 112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11n n n n a b S S ++=是数列的前项和，则_______.n T {}n b n 99T =11.一个三角形的三条边成等比数列， 那么， 公比q 的取值范围是__________.12.数列满足，当时，，则{}n a 123451,2,3,4,5a a a a a =====5n ≥1121n n a a a a +=- •••是否存在不小于2的正整数，使成立？若存在，则在横线处直接填写m 2221212m m a a a a a a =+++ ••的值；若不存在，就填写“不存在”_______.m 二、选择题13.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为{}n a n n S 10100S =7a A .11 B. 12 C. 13 D. 1414.等比数列的前项和为，已知，，则（ ）{}n a n n S 32110S a a =+59a =1a =A. B. C. D. 1313-1919-15.设等差数列的前n 项和为，若，则( ){}n a n S 112,0,3m m m S S S -+=-==m =A. 3 B. 4 C. 5 D. 616.设，若，则数列是（ ）02πα<<11sin ,(sin )(1,2,3,)n x n x x n αα+=== {}n x A. 递增数列B. 递减数列C. 奇数项递增，偶数项递减的数列D. 偶数项递增，奇数项递减的数列三、解答题17.等差数列的前项和为，求数列前项和.{}n a n 46,62,75n S S S =-=-{||}n a n 18.已知数列的前项和{}n a n ()2*21n S n n n N =-+∈（1）求的通项公式；{}n a （2）若数列满足：，求的前项和（结果需化简）{}n b ()*133log log n n a n b n N ++=∈{}n b n n T 19.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件；若做广告宣传，广告费为n 千元比广告费为千元时多卖出件。
2018-2019学年高二下期末数学试题(文)含答案
2018--2019学年度第二学期期末质量检测试题高二数学（文科）注意：本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，卷Ⅰ由自己保存，只交卷Ⅱ。
卷Ⅰ一、选择题（每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项选出来。
）1、若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为（ ） A . 4- B . 4i 5 C . 4 D . 452、函数cos sin y x x x =-的导数为（ ）A ．sin x xB ．sin x x -C ．cos x xD ．cos x x - 3、设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则a b =”的否命题是( ) A ．若a b ≠-，则a b ≠ B ．若a b =-，则a b ≠ C ．若a b ≠，则a b ≠-D ．若a b =，则a b =-4、用反证法证明命题“设a ，b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程30x ax b ++=没有实根B.方程30x ax b ++=至多有一个实根C.方程30x ax b ++=至多有两个实根D.方程30x ax b ++=恰好有两个实根5、设命题p :函数sin 2y x =的最小正周期为错误！未找到引用源。
；命题q :函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称,则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真6、设x R ∈，则“11x +<”是“220x x +-<”的( )条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要 7、若抛物线22y px =上一点()02,P y 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．24y x =B ．26y x = C ．28y x = D ．210y x =8、以下命题中，真命题有（ ）①对两个变量y 和x 进行回归分析，由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y ； ②若数据123,,,,n x x x x 的方差为2，则1232,2,2,,2n x x x x 的方差为4；③已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1。
2018-2019学年上海市复旦附中高二(下)期末数学试卷
2018-2019学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2），B＝{﹣1，0，1}，则（?U A）∩B＝．2．（4分）化简||＝．3．（4分）从集合{﹣1，1，2，3}随机取一个为m，从集合{﹣2，﹣1，1，2}随机取一个为n，则方程＝1可以表示个不同的双曲线．4．（4分）在（）6的展开式中，第4项的二项式系数是（用数字作答）5．（4分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α，β构成直二面角”是“m⊥β的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）6．（4分）若直线x﹣2y+5＝0与直线2x+my﹣6＝0互相垂直，则实数m＝．7．（5分）复数i 1！×10+i2！×9+…+i10！×1的虚部是．8．（5分）已知经停某站的高铁列车有100个车次，随机从中选取了40个车次进行统计，统计结果为：10个车次的正点率为0.97，20个车次的正点率为0.98，10个车次的正点率为0.99，则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为（精确到0.001）9．（5分）设A，B是实数集R的两个子集，对于x∈R，定义：m＝，n＝，若对任意x∈R，m+n＝1，则A，B，R满足的关系式为．10．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱柱）高为4，体积为16，则这个球的表面积是．（参考公式：球的表面积S＝4πR2）11．（5分）6月12日，上海市发布了《上海市生活垃圾分类投放指南》，将人们生活中产生的大部分垃圾分为七大类．某幢楼前有四个垃圾桶，分别标有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”，小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害垃圾）、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中，若每种垃圾投放到每个桶中都是等可能的，那么随机事件“4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是12．（5分）对于无理数x，用＜x＞表示与x最接近的整数，如＜π＞＝3，＜＞＝2，设n∈N*，对于区间（﹣）的无理数x，定义，我们知道，若m∈N，n∈N*（m≤n）和r∈N*（r≤n），则有以下两个恒等式成立：①？n m＝?n n﹣m；②C n+1r＝?n r+?n r ﹣1，那么对于正整数n和两个无理数m∈（0，n），r∈（1，n），以下两个等式依然成立的序号是①？n m＝?n n﹣m；②C n+1r＝?n r+?n r﹣1二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知双曲线的一个焦点为F（0，﹣2），一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．14．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．15．（5分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）第一节第二节第三节第四节地理B层2班化学A层3班地理A层1班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A．8种B．10种C．12种D．14种16．（5分）已知两个复数z1、z2的实部和虚部都是正整数，关于代数式有以下判断：①最大值为2；②无最大值；③最小值为；④无最小值，其中正确判断的序号是（）A．①③B．①④C．②④D．②③三、解答题（本大题共5题，共76分）17．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝AD＝1，BC＝3．（Ⅰ）求证：AF⊥CD；（Ⅱ）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD上是否存在点M，使得直线CE∥平面AFM？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．18．（14分）已知正整数n≥2，f（x）＝（x+3）n＝a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0．（1）若f（x）的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大992，求n的值；（2）若n＝2019，且a k是a n，a n﹣1…，a，a0中的最大值，求k的值．19．（14分）设z∈C．（1）若z＝，且z是实系数一元二次方程x2+bx+c＝0的一根，求b和c的值；（2）若是纯虚数，已知z＝z0时，|z|取得最大值，求z0；（3）肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题，已知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9，求该题能被正确解答的概率．20．（16分）已知以椭圆E：＝l（a＞b＞0）的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形．（1）求椭圆E的方程；（2）若（x，y）是椭圆E上的动点，求2x+y的取值范围；（3）直线l：y＝kx+m（km≠0）与椭圆E交于异于椭圆顶点的A，B两点，O为坐标原点，直线AO与椭圆E的另一个交点为C点，直线l和直线AO的斜率之积为1，直线BC与x轴交于点M，若直线BC，AM的斜率分别为k1，k2，试判断k1+2k2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．21．（18分）对于集合A＝{a1，a2，……，a n}，B＝{b1，b2，…，b n}，n∈N*，m∈N*，定义A+B＝{x+y|x∈A，y∈B}．集合A中的元素个数记为|A|．规定：若集合A满足|A+A|＝，则称集合A具有性质T．（1）已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{}，写出|A+A|，|B+B|的值；（2）已知集合A＝{）2，（）3，…，（）n}，其中n≥3，证明：A具有性质T；（3）已知n＝m＝2019，且集合A，B均有性质T，求|A+B|的最小值．2018-2019学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2），B＝{﹣1，0，1}，则（?U A）∩B＝{﹣1}．【分析】根据集合的基本运算即可求?U A和结果；【解答】解：全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2），B＝{﹣1，0，1}，则?U A＝{﹣1，3}（?U A）∩B＝{﹣1}故答案为{﹣1}．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（4分）化简||＝．【分析】直接利用乘积的模等于模的乘积求解．【解答】解：||＝＝．故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．3．（4分）从集合{﹣1，1，2，3}随机取一个为m，从集合{﹣2，﹣1，1，2}随机取一个为n，则方程＝1可以表示8个不同的双曲线．【分析】方程＝1表示双曲线，得mn＜0，从而求出方程＝1表示双曲线个数即可．【解答】解：∵从集合{﹣1，1，2，3}随机取一个为m，从集合{﹣2，﹣1，1，2}随机取一个为n，∵方程＝1，∴mn＜0，∴方程＝1表示双曲线的个数M＝3×2+1×2＝8，故答案为：8．【点评】本题考查考查双曲线的简单性质的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（4分）在（）6的展开式中，第4项的二项式系数是20（用数字作答）【分析】第四项的二项式系数为C＝20．【解答】解：第四项的二项式系数为C＝20．故答案为：20【点评】本题考查了二项式定理，属基础题．5．（4分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α，β构成直二面角”是“m⊥β的必要不充分条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α，β构成直二面角”不能推出“m⊥β；若“m⊥β，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β，能推出“α，β构成直二面角；由充要条件定义可知：α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α，β构成直二面角”是“m⊥β的：必要不充分条件；故答案为：必要不充分【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．6．（4分）若直线x﹣2y+5＝0与直线2x+my﹣6＝0互相垂直，则实数m＝1．【分析】求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为﹣1，列出方程求出m的值．【解答】解：直线x﹣2y+5＝0的斜率为直线2x+my﹣6＝0的斜率为∵两直线垂直∴解得m＝1故答案为：1【点评】本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为﹣1．7．（5分）复数i1！×10+i2！×9+…+i10！×1的虚部是10．【分析】根据i4＝1知，要求复数i1！×10+i2！×9+…+i10！×1的虚部，只需求出i1！×10+i2！×9+i3！×8的虚部．【解答】解：∵i4＝1，故i4！×7+i5！×6+…+i10！×1均为实数，∴要求复数i1！×10+i2！×9+…+i10！×1的虚部，只需求出i1！×10+i2！×9+i3！×8的虚部．∵i1！×10+i2！×9+i3！×8＝10i+9i2+8i6＝﹣17+10i．∴复数i1！×10+i2！×9+…+i10！×1的虚部是10．故答案为：10．【点评】本题考查复数幂的运算，考查了虚数单位i的性质，属基础题．8．（5分）已知经停某站的高铁列车有100个车次，随机从中选取了40个车次进行统计，统计结果为：10个车次的正点率为0.97，20个车次的正点率为0.98，10个车次的正点率为0.99，则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为0.007（精确到0.001）【分析】根据题意计算加权平均数和标准差即可．【解答】解：经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率为＝×（10×0.97+20×0.98+10×0.99）＝0.98；经停该站的所有高铁列车正点率的标准差为s＝＝×0.01＝0.00707≈0.007．故答案为：0.007．【点评】本题考查了加权平均数与标准差的计算问题，是基础题．9．（5分）设A，B是实数集R的两个子集，对于x∈R，定义：m＝，n＝，若对任意x∈R，m+n＝1，则A，B，R满足的关系式为A＝?R B；或B＝?R A；．【分析】对任意x∈R，m+n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，可得：x∈A时，必有x?B，或x∈B时，必有x?A，即可得出A，B的关系．【解答】解：对任意x∈R，m+n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，可得：x∈A时，必有x?B，或x∈B时，必有x?A，即可得出A，B，R满足的关系式为：A＝?R B；或B＝?R A；故答案为：A＝?R B；或B＝?R A；【点评】本题考查集合的补集，属于基础题．10．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱柱）高为4，体积为16，则这个球的表面积是24π．（参考公式：球的表面积S＝4πR2）【分析】先求出正四棱柱的底面边长，再求其对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，它的底面边长是：2，所以它的体对角线的长是：，球的直径是：，所以这个球的表面积是：故答案为：24π【点评】本题考查正四棱柱的外接球的表面积．考查计算能力，是基础题．11．（5分）6月12日，上海市发布了《上海市生活垃圾分类投放指南》，将人们生活中产生的大部分垃圾分为七大类．某幢楼前有四个垃圾桶，分别标有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”，小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害垃圾）、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中，若每种垃圾投放到每个桶中都是等可能的，那么随机事件“4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是【分析】所有的基本事件个数为n＝44＝256，设事件A表示“4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”，则事件A包含的基本事件个数为：n（A）＝×32＝54，代入概率公式即可．【解答】解：依题意，设事件A表示“4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”，则事件A包含的基本事件个数为：n（A）＝×32++1＝67，又因为所有的基本事件个数为n＝44＝256，所以P（A）＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了分类加法原理，分步乘法原理，古典概型的概率公式，属于基础题．12．（5分）对于无理数x，用＜x＞表示与x最接近的整数，如＜π＞＝3，＜＞＝2，设n∈N*，对于区间（﹣）的无理数x，定义，我们知道，若m∈N，n∈N*（m≤n）和r∈N*（r≤n），则有以下两个恒等式成立：①？n m＝?n n﹣m；②C n+1r＝?n r+?n r ﹣1，那么对于正整数n和两个无理数m∈（0，n），r∈（1，n），以下两个等式依然成立的序号是①②①？n m＝?n n﹣m；②C n+1r＝?n r+?n r﹣1【分析】利用定义理解公式，将①、②中的等式进行转化，最终可得等式成立．【解答】解：当m∈（0，n），r∈（1，n）的无理数时，根据，可知，，因为＜m＞+n﹣＜m＞＝n，所以?n m＝?n n﹣m，故①成立；当r∈（1，n）的无理数时，根据，可知C n+1r＝C n+1＜r＞，?n r＝?n＜r＞，?n r﹣1＝?n＜r﹣1＞＝?n＜r＞﹣1，所以C n+1r＝?n r+?n r﹣1，故②成立．故答案为：①②．【点评】本题为定义的新题型，能理解本题所表达的意思是本题的关键，属中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知双曲线的一个焦点为F（0，﹣2），一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，结合题意可得＝，又由双曲线的焦点坐标可得a2+b2＝4，联立两个式子分析可得a2＝3，b2＝1，代入双曲线的方程即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦点在y轴上，双曲线的渐近线方程为y＝±x，若双曲线的一条渐近线的斜率为，则＝，其一个焦点为F（0，﹣2），则有a2+b2＝4，解可得：a2＝3，b2＝1；双曲线的标准方程为：﹣x2＝1；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线焦点的位置．14．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，∴A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），＝（﹣1，0，），＝（1，1，），设异面直线AD1与DB1所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）第一节第二节第三节第四节地理B层2班化学A层3班地理A层1班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A．8种B．10种C．12种D．14种【分析】根据分类计数原理即可求出【解答】解：由于生物在B层，只有第2，3节有，故分2两类，若生物安排第2节，其他任意排即可，故有A33＝6种，若生物安排第3节，则政治有2种方法，其他任意排，故有C21A22＝4根据分类计数原理可得6+4＝10种，故选：B．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题16．（5分）已知两个复数z1、z2的实部和虚部都是正整数，关于代数式有以下判断：①最大值为2；②无最大值；③最小值为；④无最小值，其中正确判断的序号是（）A．①③B．①④C．②④D．②③【分析】根据复数的性质：＝＝，做到这里就很难再进行下去了，所以考虑将问题转化为向量来解决．【解答】解：设z1，z2，z1+z2在复平面对应的点分别为A，B，C，则＝＝＝，因为z1、z2的实部和虚部都是正整数，所以∈[0，），≥2，cos＜＞＞0，所以＞，但是等号取不到，所以无最小值；对任意正整数M，令z1＝1+i，z2＝M+Mi，则＞M，所以无最大值．故选：C．【点评】复数和向量有密不可分的关系，相比复数而言，课本上有许多向量的知识与方法，所以更加容易解决问题．三、解答题（本大题共5题，共76分）17．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝AD＝1，BC＝3．（Ⅰ）求证：AF⊥CD；（Ⅱ）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD上是否存在点M，使得直线CE∥平面AFM？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用两面垂直的性质定理易证；（Ⅱ）取BC的三等分点G，H，把BF平移至EG，作GN⊥CD于N，得∠GEN即为所求；（Ⅲ）连接FH，易证EC∥平面AFH，连AH交BD于M即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴AF⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，∴AF⊥平面ABCD，∴AF⊥CD；（Ⅱ）取BC的三等分点G，H如图，连接EG，可由EF∥AD，AD∥BC，得EF∥BG，且EF＝AD＝BG＝1，∴四边形BGEF为平行四边形，∴GE∥BF，∵DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，∴平面EDC⊥平面ABCD，作GN⊥CD于N，则GN⊥平面EDC，连接EN，则∠GEN为GE与平面EDC所成的角，在Rt△CGD中，求得GN＝，又GE＝BF＝，∴sin∠GEN＝＝，故直线BF与平面CDE所成角的正弦值为：；（Ⅲ）连接FH，易证四边形EFHC为平行四边形，∴EC∥FH，∴EC∥平面AFH，连接AH交BD于M，则CE∥平面AFM，此时，∴．【点评】此题考查了线面垂直，面面垂直，线面所成角，线面平行等，难度适中．18．（14分）已知正整数n≥2，f（x）＝（x+3）n＝a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0．（1）若f（x）的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大992，求n的值；（2）若n＝2019，且a k是a n，a n﹣1…，a，a0中的最大值，求k的值．【分析】（1）各项系数之和为：4n，各项二项式系数之和为：2n，再根据已知列方程解得；（2）根据题意列式可解得．【解答】解：（1）各项系数之和为：4n，各项二项式系数之和为：2n，∴4n﹣2n＝992，解得n＝5．（2）n＝2019时，则，解得504≤k≤505．∴k＝504或k＝505．【点评】本题考查了二项式定理，属中档题．19．（14分）设z∈C．（1）若z＝，且z是实系数一元二次方程x2+bx+c＝0的一根，求b和c的值；（2）若是纯虚数，已知z＝z0时，|z|取得最大值，求z0；（3）肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题，已知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9，求该题能被正确解答的概率．【分析】（1）（2）是对复数性质的考察，（1）和韦达定理有关，（2）要求|z+2i|，这在复平面中表示两个复数所对应的点的距离，所以要数形结合，考察复平面上两点的距离，（3）则是一道概率的问题．【解答】解：（1）z＝＝1﹣i，＝1+i，因为z2+bz+c＝0，所以+b+c＝0，即z和是一元二次方程x2+bx+c＝0的两根，所以b＝﹣（z+）＝﹣2，c＝z＝2．（2），因为是纯虚数，所以+＝0?z（﹣4）+（z﹣4）＝0?z ﹣2（z+）＝0．令z＝x+yi，则z＝x2+y2，z+＝2x，所以x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝22．在复平面中，z点在以2为圆心，半径为2的圆中，|z+2i|表示z到点﹣2i的距离，所以当|z+2i|取最大值时，z0﹣2与2+2i共线且方向相同．所以z0﹣2＝2?＝1+i，所以z0＝3+i．（3）肖同学和谢同学都没能解答该题的概率分别为0.2和0.1，所以P（该题没能被正确解答）＝0.2×0.1＝0.02，所以P（该题能被正确解答）＝1﹣0.02＝0.98．【点评】该题综合性很强，需要掌握良好的复数的性质和数形结合功底．复数中共轭运算具有良好的性质，是解决很多复数问题的不二之选．20．（16分）已知以椭圆E：＝l（a＞b＞0）的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形．（1）求椭圆E的方程；（2）若（x，y）是椭圆E上的动点，求2x+y的取值范围；（3）直线l：y＝kx+m（km≠0）与椭圆E交于异于椭圆顶点的A，B两点，O为坐标原点，直线AO与椭圆E的另一个交点为C点，直线l和直线AO的斜率之积为1，直线BC与x轴交于点M，若直线BC，AM的斜率分别为k1，k2，试判断k1+2k2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．【分析】（1）根据题意可得，解得a2＝4，b2＝2，即可求出椭圆的方程；（2）利用椭圆的参数方程，由三角函数知识求得取值范围即可；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1y1≠0，x2y2≠0），则C（﹣x1，﹣y1），根据韦达定理和斜率公式，即可求出k1+2k2＝0．【解答】解：（1）因为椭圆E：＝l（a＞b＞0）的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形，所以，解得a2＝4，b2＝2，所以椭圆方程为．（2）由（1）得椭圆的参数方程为：，（θ是参数，且θ∈[0，2π]），因为（x，y）是椭圆E上的动点，所以2x+y＝4cosθ+＝sin（θ+φ），（其中sinφ＝，cosφ＝），∵sin（θ+φ）∈[﹣1，1]，∴2x+y．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1y1≠0，x2y2≠0），则C（﹣x1，﹣y1），所以，联立，消y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，∴，，∴，直线BC的方程为：y+y1＝，令y＝0，由y1≠0，可得x＝﹣3x1，∴M（﹣3x1，0），k2＝，∴，∴k1+2k2＝0．【点评】本题考查直线与椭圆，运算量较大，容易出错，难度属于中档题．21．（18分）对于集合A＝{a1，a2，……，a n}，B＝{b1，b2，…，b n}，n∈N*，m∈N*，定义A+B＝{x+y|x∈A，y∈B}．集合A中的元素个数记为|A|．规定：若集合A满足|A+A|＝，则称集合A具有性质T．（1）已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{}，写出|A+A|，|B+B|的值；（2）已知集合A＝{）2，（）3，…，（）n}，其中n≥3，证明：A具有性质T；（3）已知n＝m＝2019，且集合A，B均有性质T，求|A+B|的最小值．【分析】（1）根据定义分别计算出集合A+A，B+B即可得到结论．（2）根据等比数列的通项公式，利用反证法进行证明即可（3）集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同，结合A，B元素性质进行求解【解答】解：（1）A+A＝{2，4，6，8，10，12，14}，则|A+A|＝7；B+B＝{，1，，3，，2，，，4，}，则|B+B|＝10．（2）要证A具有性质T，只需证明，若n1＜n2≤n3＜n4，则a+a≠a+a；假设上式结论不成立，即若n1＜n2≤n3＜n4，则a+a＝a+a；即+＝+，即＝+﹣1，（）＝+（﹣1，＝（+﹣1）×；因为上式的右边为3的倍数，而上式的左边为2的倍数，所以上式不成立．故假设不成立，原命题成立．（3）由题意，集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同．如，对于任意的a＜b≤c＜d，有a+d≠b+c，等价于d﹣c≠b﹣a，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同．令A*＝{x﹣y|x∈A，y∈A，x＞y}，所以A具有性质T＝|A+A|＝，|A*|＝．因为集合A，B均有性质T，且n＝m，所以|A+B|＝n2﹣|A*∩B*|≥n2﹣＝，当且仅当A＝B时等号成立．所以|A+B|的最小值为．【点评】本题主要考查集合新定义的应用，结合定义利用反证法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)_7
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）本试题共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区城内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只交答题卡。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共扼复数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据虚数单位的性质化简复数z，然后再求它的共轭复数.【详解】，．故选A.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，侧重考查数学运算的核心素养.2.某篮球运动员每次投篮未投中的概率为0.3，投中2分球的概率为0.4，投中3分球的概率为0.3，则该运动员投篮一次得分的数学期望为（）A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.8【答案】C【解析】【分析】直接利用期望的公式求解.【详解】由已知得.故选：C【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3.如图所示，阴影部分的面积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用定积分的几何意义写出阴影部分的面积的表达式得解.【详解】由定积分的几何意义及数形结合可知阴影部分的面积为.故选：D【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析能力.4.下列曲线中，在处切线的倾斜角为的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】在x=1处切线的倾斜角为,即有切线的斜率为tan=−1.对于A,的导数为，可得在x=1处切线的斜率为5；对于B,y=xlnx的导数为y′=1+lnx，可得在x=1处切线的斜率为1；对于C,的导数为，可得在x=1处切线的斜率为；对于D,y=x3−2x2的导数为y′=3x2−4x，可得在x=1处切线的斜率为3−4=−1.本题选择D选项.5.将A，B，C，D，E，F这6个宇母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将A，B，C三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案.【详解】由捆绑法可得所求概率为.故答案为C【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.6.某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】分两种情况讨论得到该选手能进入第四关的概率.【详解】第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以,第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，所以.所以该选手能进入第四关的概率为.故选：D【点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.的计算结果精确到个位的近似值为（）A. 106B. 107C. 108D. 109【答案】B【解析】【分析】由题得，再利用二项式定理求解即可.【详解】∵，∴.故选：B【点睛】本题主要考查利用二项式定理求近似值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若，则，.设一批白炽灯的寿命（单位：小时）服从均值为1000，方差为400的正态分布，随机从这批白炽灯中选取一只，则（）A. 这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.8186B. 这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.8186C. 这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.9545D. 这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.9545【答案】A【解析】【分析】先求出，，再求出和，即得这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率.【详解】∵，，∴，，所以，，∴.故选：A【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定区间的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.函数的最小值为（）A. -1B.C.D. 0【答案】B【解析】【分析】利用换元法，令，可得函数，求导研究其最小值。
上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题+Word版含解析
复旦大学附属中学2018-2019学年第一学期高二年级数学期末考试试卷 2019.01一、填空题（本大题共12题）1.抛物线的准线方程是_______【答案】【解析】【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程. 【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上，所以：，即，所以，所以准线方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.2.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据题意，可得关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围.【详解】根据椭圆的标准方程的形式，可知方程表示椭圆的条件是：，解得，所以实数的取值范围是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关方程表示椭圆的条件，明确椭圆的标准方程的形式，即可得到其对应的不等式组，求解即可.3.若直线与直线平行，则与之间的距离为______ ．【答案】【解析】【分析】利用直线平行可求得，代入距离公式即可得出结果.【详解】根据两直线平行，可得，解得，所以两直线的方程为：，整理得，根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关两条平行线间的距离问题，涉及到的知识点有两条直线平行的条件，平行线间的距离公式，属于简单题目.4.过点作圆的切线，则切线所在直线的方程为______ ．【答案】或【解析】【分析】首先考虑斜率不存在的时候直线与圆的位置关系，再考虑直线斜率存在时，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得的值，综合到一起，得出切线的方程.【详解】过点，直线斜率不存在时方程为，圆心到直线的距离为1，等于半径，所以是圆的切线；过点，切线斜率存在时，直线设为，即，圆心到直线的距离为，整理解得；切线方程为或，故答案是：或.【点睛】该题考查的是有关过圆外一点的圆的切线的方程，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，直线方程的点斜式，点到直线的距离公式，注意考虑斜率不存在的情况.5.若一条双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则此双曲线的方程为______．【答案】【解析】【分析】由椭圆方程求出椭圆及双曲线的半焦距，设出与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，化为标准方程，结合双曲线中的隐含条件求得值，求得结果.【详解】由得，所以，得，即椭圆的半焦距为，设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，因为所求双曲线的焦点在轴上，则，双曲线方程化为，根据椭圆和双曲线共焦点，所以有，解得，所以所求双曲线的方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关共渐近线的双曲线的方程的求解问题，涉及到的知识点有已知椭圆的方程求椭圆的焦点坐标，与某双曲线共渐近线的双曲线方程的设法，注意平时对有关结论的理解.6.已知三角形的顶点、，若顶点在抛物线上移动，则三角形的重心的轨迹方程为______【答案】【解析】【分析】首先设出三角形的重心和三角形的顶点C的坐标，利用三角形的重心坐标公式，将两点坐标之间的关系建立，结合点C在曲线上，利用相关点法求得对应曲线的方程，之后利用三角形的三个顶点不共线，去掉相应的点，即可得到结果.【详解】设的重心，，则有，即，因为点C在曲线上，所以有，即，因为三角形的三个顶点不能共线，所以，所以的重心的轨迹方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关动点的轨迹方程的求解问题，涉及到的知识点有三角形重心坐标公式，用相关点法求动点的轨迹方程，注意对不满足条件的点要去掉.7.设、分别为直线（为参数，）和曲线（为参数，）上的点，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先将直线和曲线的参数方程化为普通方程，结合点P、Q分别为直线和圆上的动点，从而得到的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，从而得到相应的范围.【详解】由（t为参数）可得直线的普通方程为，由（为参数）可得曲线的普通方程为，因为点P、Q分别为直线和圆上的动点，所以，可以无穷远，所以的取值范围是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关直线与圆上的点的距离的范围问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程向普通方程的转化，圆上的点到直线的距离的最小值，认真审题是正确解题的关键.8.已知直线，若是抛物线上的动点，则点到直线和它到轴的距离之和的最小值为______【答案】【分析】首先利用抛物线的定义，将抛物线上的点到y轴的距离转化为其到抛物线的焦点的距离减1，从而将其转化为求抛物线的焦点到直线的距离减1，从而求得结果.【详解】，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线上的点到两条定直线的距离之和的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，利用抛物线的定义将距离转化为抛物线上的点到焦点的距离和到定直线的距离之和的最小值问题，属于简单题目.9.如果为椭圆上的动点，为椭圆上的动点，那么的最大值为______．【答案】15【解析】【分析】首先利用椭圆的参数方程，设出点M、N的坐标，之和应用向量的数量积坐标公式，结合余弦差角公式将其化简，结合余弦函数的值域求得结果.【详解】利用椭圆的参数方程：设、，则,所以最大值是:15.【点睛】该题考查的是有关向量数量积的取值范围的问题，涉及到的知识点有椭圆的参数方程，向量的数量积坐标公式，余弦的差角公式，余弦函数的值域，属于中档题目.10.若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是____ ．【答案】【分析】首先将关于的方程有两个不相等的实数根，转化为曲线（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，画出图形，分类讨论，最后求得结果. 【详解】转化为（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，如图，当时，要满足条件，则，∴；类似，当时，；综上，实数的取值范围是．【点睛】该题考查的是有关根据方程解的个数求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有将方程的解转化Wie曲线的交点，数形结合，分类讨论求得结果.11.已知直线与椭圆交于、两点，若，则的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据直线过坐标原点，结合椭圆的对称性，可知点A、B关于原点对称，设出两个点的坐标、，利用向量的运算法则以及向量数量积坐标运算公式，求得，之后结合，求得结果，也可以应用参数方程来解决.【详解】直线过原点，结合椭圆图形的对称性可知、两点关于原点对称，方法一：设、，则，，即，∴．方法二：利用参数方程，设、，则．【点睛】该题考查的是有关一个点与椭圆上两个关于原点对称的点所构成的向量的数量积的取值范围的问题，在解题的过程中，注意两点关于原点对称这个条件非常关键，也可以应用参数方程来设点的坐标.12.在平面直角坐标系中，已知圆与曲线交于两点、（在第一象限），与轴正半轴交于点．若，点，则当和变化时，的最小值为______．【答案】7【解析】【分析】首先根据题意画出相应的图形，根据曲线，可得，对m与1的大小关系进行分类讨论，最后结合图形，得出结果.【详解】易得，从而可证，∴，点关于的对称点为，记，则，∴．【点睛】该题考查的是有关线段和的最值的问题，在解题的过程中，注意利用对称将问题转化，从而求得结果，注意对m与1的大小关系进行分类讨论.二、选择题（本大题共4题）13.方程所表示的曲线的对称性是（）A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于轴对称D. 关于原点对称【答案】D【解析】【分析】将方程中的分别换为，以及将换成，比较所得方程与原方程，看相同与否，再将方程中的换为，比较所得方程与原方程是否相同，最后得到结果.【详解】将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于轴对称；将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于轴对称；将方程中的换为，方程变为，与原方程不同，故不关于直线对称；可知曲线既关于轴对称，又关于轴对称，从而得到其关于原点对称；故选D.【点睛】该题考查的是利用方程判断曲线的对称性，属于简单题目.14.若点是圆外一点，则直线与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交且不过圆心D. 相交且过圆心【答案】C【解析】【分析】由已知条件推导出，从而圆心到直线的距离，由此能判断出直线与该圆的位置关系，从而求得结果.【详解】由题意，得，从而圆心到直线的距离为，∴选C．【点睛】该题考查的是有关判断直线与圆的位置关系的问题，涉及到的知识点有点与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径比较大小得到直线与圆的位置关系，属于简单题目.15.已知，由所有直线组成的集合记为，则下列命题中的假命题是（）A. 存在一个圆与所有直线相交B. 存在一个圆与所有直线不相交C. 存在一个圆与所有直线相切D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等【答案】D【解析】【分析】首先能够确定直线是表示的圆的所有切线，所以可以将圆心定住，改变半径的大小，得到与直线相交，相离和相切，从而确定出A,B,C三项都是正确的，对于D项，已经找到两种大小不相等的正三角形，从而得到结果.【详解】根据点到L的距离为，表示圆的所有切线，符合选项A、B、C的圆依次为、、，对于选项D，存在如下图的两种大小不相等的正三角形，∴D错误，故选D．【点睛】该题考查的是有关定圆的切线系方程，利用点到直线的距离可以确定直线系L是定圆的切线系，之后对选项逐项分析，找到对应的结果，从而得到答案.16.双曲线的左右焦点分别为、，若是双曲线左支上的一个动点，则的内切圆的圆心可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据题意，结合切线的性质以及双曲线的定义，可以判断出其三角形的内切圆的圆心的横坐标为，并且根据题意判断出其落在渐近线的下方，从而得到正确的结果.【详解】设内切圆圆心为，内切圆与、、的切点分别为、、，则由切线长定理，知、、，∴，∴为双曲线的左顶点且轴，设所在直线与的交点为，由角平分线定理，知，由于，∴点一定位于上，因此，若内心在第二象限，则其一定位于渐近线的下方，在第三象限，则其一定位于渐近线的上方，即的坐标一定为，其中，∴选B．【点睛】该题考查的是双曲线的焦点三角形的内心的位置，涉及到的知识点有双曲线的定义，圆的切线的性质，属于中档题目.三、解答题（本大题共5题）17.已知圆的圆心在直线上，并且圆与直线和都相切．（1）求圆的方程；（2）若直线与圆有两个不同的交点、，求弦长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据两条直线和是平行的，从而断定圆心是与的交点，解方程组求得，由两平行线间的距离求得圆的半径，从而得到圆的方程；（2）由直线的方程可以断定直线过定点，根据垂径定理，得到最小值求得结果.【详解】（1）圆心为与的交点，解得，圆的直径为两平行线与间的距离，可求出半径，∴圆的方程为；（2）直线过定点，由垂径定理知，当为直线的法向量时，弦心距最长，弦最短，∴．【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有圆的方程的求解，直线与圆的位置关系，直线过定点，根据垂径定理求圆的最短弦长，属于中档题目.18.在平面直角坐标系中，动圆经过点并且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线．（1）如果直线过点（0，4），且和曲线只有一个公共点，求直线的方程；（2）已知不经过原点的直线与曲线相交于、两点，判断命题“如果，那么直线经过点”是真命题还是假命题，并说明理由．【答案】（1）直线的方程为、、；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，求得曲线C的方程，之后分直线的斜率存在与不存在两种情况，根据直线与抛物线有一个公共点，得出结果；（2）根据图形的对称性，得出对应的定点在x轴上，设出直线的方程，利用韦达定理，根据向量垂直向量的数量积等于零，求得对应的结果.【详解】（1）根据题意，可知曲线C的方程为，①直线的斜率不存在，即的方程为，符合题意，②直线的斜率存在，设，与抛物线方程联立得，（ⅰ），符合题意，此时的方程为，（ⅱ），则，解得，此时的方程为，综上，符合题意的直线的方程为、、；（2）由图形的对称性，若直线过定点，则该定点必定落在轴上，设定点坐标为、、、，，则，∵，∴，即，解得或（舍），∴命题为真命题．【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，涉及到的知识点有根据抛物线的定义求抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题目.19.轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向．现有、、三个无线电发射台，其中在陆地上，在海上，在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图．已知、两点距离10千米，是的中点，海岸线与直线的夹角为．为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒．（注：无线电信号每秒传播千米）．在某时刻，测得轮船距离点距离为4千米．（1）以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置；（2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险．如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险?【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，设出点P的坐标，根据题意得出点P的轨迹是双曲线的一支，根据对应的量，从而求得点P的坐标，得到结果；（2）根据题意，找出对应的关系，从而求得结果，得到结论.【详解】（1）设轮船在点处，则由题意，得，∴为以、为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线右支上的点，其方程为，又，解得；（2）海岸线所在直线的方程为，与其平行，且距离为1.5的直线的方程为，考虑与是否有交点，，∴与没有交点，即轮船保持目前的航路不变，没有搁浅风险．【点睛】该题考查的是应用所学知识解决实际问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有应用定义得出曲线的方程，利用直线与曲线的位置关系得到相应的结果，属于中档题目. 20.已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，且为等边三角形．（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆的方程；（2）如果在椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，求实数的取值范围；（3）已知点，椭圆上两点、满足，求点横坐标的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据为等边三角形，可得，结合椭圆长轴的长为4，即，得，从而求得椭圆的方程；（2）根据等边三角形，得出a,b,c之间的关系，从而设出椭圆的方程，根据椭圆中中点弦所在直线的斜率所满足的条件，结合对称的条件，求得弦的中点坐标，保证点在椭圆内，得到相应的不等关系，得到结果；（3）利用向量的关系，得到点的坐标之间的关系，结合隐含条件，得到相应的范围，求得结果【详解】（1）由题意，得，，∴椭圆的方程为；（2）“点差法”设椭圆的方程为，即，设、、中点，则，得，又，解得，显然在椭圆内，∴，得，又，∴；（3）设椭圆方程，即，方法一：（常规解法）①过、的直线斜率不存在，即直线方程为时，、，由，得，②过、的直线斜率存在，设直线方程为、、，由，得，，则，由，可得，∴，综上，点横坐标的取值范围是．方法二：设，则，，又，∴，∴，∴，即点横坐标的取值范围是．【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合问题，涉及到的知识点有椭圆中a,b,c三者之间的关系，正三角形的特征，点关于直线的对称点的特征，椭圆中中点弦所在直线的斜率的条件，向量之间的关系，属于较难题目.21.已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且．（1）求双曲线的两条渐近线的夹角；（2）过点的直线和双曲线的右支交于、两点，求的面积的最小值；（3）过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于、两点，求平行四边形的面积．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）首先根据双曲线的定义，结合题中所给的角的大小，求得，从而求得b的值，进而得到双曲线的渐近线方程，利用直线的方向向量所成的角，求得两条渐近线的夹角余弦值，利用反余弦求出结果；（2）设出直线的方程，与双曲线的方程联立，利用三角形的面积公式，结合函数的单调性，求得最值，得到结果；（3）根据所学的知识将四边形的面积表示出来，进而求得结果.【详解】（1）由题意，得，，∴，∴双曲线的方程为，∴，∴；（2）【注：若设点斜式，需补上斜率不存在的情况】设，、，将直线的方程代入双曲线方程，消去，得，则，得，，令，，则，其中在上单调递减，∴在上单调递增，∴当时，取得最小值，此时，的方程为；（3）设，其中方法一：设，与联立，可求出，由三阶行列式表示的三角形面积公式可得．方法二：如图，，设到和的距离为、，则，，∴【点睛】该题考查的是有关双曲线与直线的综合题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线的夹角，双曲线中三角形的面积，四边形的面积，属于较难题目.。
2018-2019学年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷、填空题（本大题共 12题，每题3分，共36分）1. ______________________________________ （ 3分）抛物线x 2= 4y 的准线方程为 • 2 22. _______________________________________________________________ （ 3分）若方程--,-表示椭圆，则实教 m 的取值范围是 ____________________________________ .r-m nrl3. （ 3分）若直线11： ax+2y - 10 = 0与直线12： 2x+ （a+3） y+5 = 0平行，则11与12之间的距离为 _______ .4. （3 分）过点（3, 3）作圆（x - 2） 2+ （y+1） 2= 1的切线，则切线所在直线的方程为 _____5. （ 3分）若一条双曲线与 先-一化 1有共同渐近线，且与椭圆8则此双曲线的方程为 ________ .6. （ 3分）已知三角形 ABC 的顶点A （- 3, 0） , B （3, 0）,若顶点C 在抛物线y 2= 6x 上移动，则三角形ABC 的重心的轨迹方程为 __________ . 为参数，0段）上的点，贝U ||PQ|的取值范围是 ________ .& （ 3分）已知直线1: 4x - 3y+8 = 0，若P 是抛物线y 2= 4x 上的动点，则点P 到直线l 和它 到y铀的距离之和的最小值为 ____________那么V ・ 的最大值为 ___________10. （3分）若关于x 的方程71^2= I K -a I -a 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 _______ .n v 2n一一11. （3分）已知直线I : ax+by = 0与椭圆 寸+士-二L 交于A, B 两点，若C （ 5,5），则口^（^的取值范围是 _______ .12. （3分）在平面直角坐标系中， 已知圆C : x 2+y 2= r 2与曲线X=V3 1/1交于两点M ，N （M在第一象限），与y 轴正半轴交于P 点，若QT =ikOM （rTi>0），点Q （7，- 2），则当m 和7. （3分）设P , Q 分别为直线（t 为参数，t CR ）和曲线:（09. （3分）如果M 为椭圆 cr2 2:二一上的动点,2 2N 为圆上的动点,r变化时，|TP|+|NQ|的最小值为_________ .二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13. （4分）方程3x2- 8xy+2y2= 0所表示的曲线的对称性是（）A .关于x轴对称B .关于y轴对称C .关于y= x轴对称D .关于原点对称14.（4分）已知点（a, b）是圆x2+y2= r2外的一点，贝U直线ax+by= r2与圆的位置关系（）A .相离B .相切C .相交且不过圆心D .相交且过圆心15. （4分）已知0 R，由所有直线L : xcos 0+ （y - 2）sin 1组成的集合记为M，则下列命题中的假命题是（）A .存在一个圆与所有直线相交B .存在一个圆与所有直线不相交C .存在一个圆与所有直线相切D . M中的直线所能围成的正三角形面积都相等16. （4分）双曲线x2- y2= 1的左右焦点分别为F1, F2，若P是双曲线左支上的一个动点，则厶PF1F2的内切圆的圆心可能是（）A . （- 1 , 2）B. *）C.（寺1）D. （- 2, 1）三、解答题（本大题共5题，共48分）17. 已知圆C的圆心在直线x+y- 8= 0,并且圆C与直线11: y= 2x- 21和12：y= 2x- 11 都相切.（1）求圆C的方程；（2）若直线l: 2x+ay+6a= ax+14与圆C有两个不同的交点MN长的最小值.18. 已知曲线C是到两定点F1 （- 2, 0）、F2 （2, 0 ）的距离之差的绝对值等于定长2a的点的集合.（1 ）若a = . ■:,求曲线C的方程；（2）若直线l过（0, 1 ）点，且与（1）中曲线C只有一个公共点，求直线方程；（3）若a = 1,是否存在一直线y= kx+2与曲线C相交于两点A、B,使得OA丄OB,若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.19. 轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有A,B ,C 三个无线电发射台，其中 A 在陆地上，B 在海上，C 在某国海岸线上，(该国这段 海岸线可以近似地看作直线的一部分)，如下图，已知 A , B 两点距离10千米，C 是AB的中点，海岸线与直线 AB 的夹角为45。
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2018-2019学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷•填空题（本大题共 12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5 分）（4 分）已知全集 U = { - 1 , 0, 1 , 2, 3},集合 A = {0,1, 2）, B = { - 1, 0, 1},则（？U A ）n B =./,八、” I C A /3+I ）8 （&+8i ）,（4分）化简|「 = ________ .（4+41/（4分）从集合{ - 1, 1, 2, 3}随机取一个为m ,从集合{ - 2,- 1 , 1 , 2}随机取一个为2 2n ,则方程—，——=1可以表示 __________ 个不同的双曲线. m n（4分）在（亠-肿）6的展开式中，第4项的二项式系数是（用数字作答）（4分）已知a, B 表示两个不同的平面， m 为平面a 内的一条直线，则“ a, B 构成直二 面角”是“ m 丄B 的 ____________ 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不 充分也不必要”）（4分）若直线 x - 2y+5 = 0与直线2x+my - 6= 0互相垂直，则实数 m = __________ . （5分）复数i 1 x 10+i 2!x 9+…+i 10!X 1的虚部是 __________ .（5分）已知经停某站的高铁列车有 100个车次，随机从中选取了 40个车次进行统计，统计结果为：10个车次的正点率为 0.97, 20个车次的正点率为 0.98, 10个车次的正点率 为0.99,则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为 ____________________ （精确到0.001） 「山豐圧A（5分）设A,B 是实数集R 的两个子集，对于x€R ，定义：m =a 诋心若对任意x€R , m+n = 1，贝U A , B , R 满足的关系式为 _________ ..（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱柱）高为4,体积为16,则这个球的表面积是 ___________ .（参考公式：球的表面积S = 4uR 2） .（5分）6月12日，上海市发布了《上海市生活垃圾分类投放指南》，将人们生活中产生的大部分垃圾分为七大类.某幢楼前有四个垃圾桶，分别标有“可回收物”、“有害垃圾”、 “湿垃圾”、“干垃圾”，小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害 垃圾）、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中，若每种垃圾投放到每个桶中都是等可 能的，那么随机事件“ 4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是 ____________________ .（5分）对于无理数 X ,用V x >表示与x 最接近的整数，如V n>= 3,<叨2>= 2,设 第1页（共18页）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. &9. 10 11 12 %应,，我们知道，若m€N ,n€N*（m W n ）和r €N* （r < n ）,则有以下两个恒等式成立： ①？ n m = ?n n - m ；②C n+1r = ?n 「+?n rj 那么对于正整数 n 和两个无理数 m € （0, n ） , r € （1, n ）, 序号是①？ n m = ?n n -m ；② C n+1r = ?!+?「 二、选择题（本大题共 4题，每题5分，共20分）的斜率为 「:，则该双曲线的方程为（C .ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，AB = BC = 1 , AA 匚 ：；，则异面直线 AD 1 与15. （ 5分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理 在A 层班级，生物在 B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）1B .返C .逅D •冏5 6 5)A . 13. （5分）已知双曲线 2 2—b>0）的一个焦点为F （0,- 2）, 一条渐近线以下两个等式依然成立的 14.（ 5分）在长方体 DB 1所成角的余弦值为（第节 第二节 地理B 层2班 化学A 层3班 生物A 层1班 化学B 层2班 物理A 层1班 生物A 层3班 物理B 层2班 生物B 层1班 政治1班物理A 层3班A . 8种B . 10 种 第三节 第四节 地理A 层1班 化学A 层4班 生物B 层2班 历史B 层1班 物理A 层2班 生物A 层4班 物理B 层1班 物理A 层4班 政治2班政治3班 C . 12 种 D . 14 种 n€N*，对于区间（-丄.的无理数X,定义C占〉16. （5分）已知两个复数Z1、Z2的实部和虚部都是正整数，关于代数式有以下判断：①最大值为2;②无最大值；③最小值为④无最小值，其中正确判断的序P.曰（号是（三、解答题(本大题共 5题，共76分)17. (14分)如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ADEF 丄平面 ABCD ，四边形 ADEF 为正方 形，四边形 ABCD 为梯形，且 AD // BC ,/ BAD = 90°, AB = AD = 1, BC = 3.(I)求证：AF 丄CD ;(H)求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；(川)线段BD 上是否存在点 M ，使得直线CE //平面AFM ?若存在，求二二的值；若不BD18. (14 分)已知正整数 n >2, f (x ) = ( x+3) n = a n x n +a n -i x ° 1+ …+a i x+a o .(1 )若f (x )的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大992，求n 的值;(2) 若n = 2019，且a k 是a n , a n -j …a , a o 中的最大值，求k 的值. 19. (14 分)设 z€C .(1 )若z = ' _，且z 是实系数一元二次方程 x 2+bx+c = 0的一根，求b 和c 的值;1+21(2 )若一 是纯虚数，已知z = Z 0时，八取得最大值，求z 0;Z'4(3) 肖同学和谢同学同时独立地解答第( 2)小题，已知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9，求该题能被正确解答的概率.好是面积为4的正方形.(1)求椭圆E 的方程;BC 与x 轴交于点M ，若直线BC , AM 的斜率分别为k 1, k 2，试判断k 1+2k 2是否为定值, 若是，求出该定值；若不是，说明理由.第3页(共18页)21. （18 分）对于集合 A = {a 1, a 2, ........... , a n }, B = {b 1, b 2,…，b n },n€N* , m €N*，定B .①④C .②④D .②③(a >b > 0)的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰(2)若(x , y )是椭圆 E 上的动点，求 2x+y 的取值范围; (3)直线 I : y = kx+m (km z 0)与椭圆E 交于异于椭圆顶点的 A , B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E的另一个交点为 C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线20. (16分)已知以椭圆 E :=l义A+B= {x+y|x3, y€B}.集合A中的元素个数记为|A|.规定：若集合A满足|A+A| =□ 缶+l），则称集合A具有性质T.2（1 ）已知集合A= {1 , 3, 5, 7}, B = ■{丄.—一-L. —}，写出|A+A|, |B+B| 的值；3 3 3 3（2 ）已知集合A={Z, C-）2,（2）3,…，（£）n}，其中n > 3,证明：A具有性质\3 3 [3] 3T；（3）已知n = m= 2019，且集合A, B均有性质T,求|A+B|的最小值.2018-2019学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析•填空题（本大题共 12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5 分）1. (4 分)已知全集 U = { - 1 , 0, 1 , 2, 3},集合 A = {0 , 1, 2), B = { - 1, 0, 1},则(?U A ) n B ={- 1}.【分析】根据集合的基本运算即可求 u A 和结果；【解答】解：全集 U = { - 1, 0, 1 , 2 , 3}，集合 A = {0, 1 , 2) , B = { - 1 , 0 , 1}, 则?U A = { - 1 , 3}(U A )n B = { - 1}故答案为{ -1}.【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础. 2（4八、化简]粥竝严值世i ） ] [5 2. （4 分）化间 ||=—-—.【分析】直接利用乘积的模等于模的乘积求解.故答案为：H【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题.3. （ 4分）从集合｛ - 1, 1, 2, 3｝随机取一个为m ,从集合｛ - 2,- 1 , 1 , 2｝随机取一个为 2 2n ,则方程 —■ ---- = 1可以表示 8 个不同的双曲线.m n【分析】方程「-——=1表示双曲线，得 mn v 0，从而求出方程=1表示双曲HL nm n线个数即可.【解答】解：•••从集合｛ - 1, 1, 2, 3｝随机取一个为 m ,从集合｛ - 2, - 1, 1, 2｝随机 取一个为n ,戈 2■——=1 ,••• mn v 0, n【解答】解:(4+41)4| (4+41)4 |•••方程 [R2 2•••方程二卜= 1表示双曲线的个数M = 3X 2+1 X 2= 8,in n故答案为：&【点评】本题考查考查双曲线的简单性质的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.4. （4分）在（二_/）6的展开式中，第4项的二项式系数是20 （用数字作答）【分析】第四项的二项式系数为C M = 20.6【解答】解：第四项的二项式系数为C- = 20.6故答案为：20【点评】本题考查了二项式定理，属基础题.5. （4分）已知a, B表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，则“ a, B构成直二面角”是“ m丄B的必要不充分条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.【解答】解：已知a, B表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，贝a, B构成直二面角”不能推出“ m丄3；若“ m丄3, m为平面a内的一条直线，则“ a丄3,能推出“ a , 3构成直二面角；由充要条件定义可知： a , 3表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线,则“ a , 3构成直二面角”是“ m丄3的：必要不充分条件；故答案为：必要不充分【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.6. （4分）若直线x- 2y+5 = 0与直线2x+my- 6= 0互相垂直，则实数m= 1 .【分析】求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为- 1,列出方程求出m的值.【解答】解：直线x- 2y+5= 0的斜率为二22直线2x+ my - 6= 0的斜率为-二m •••两直线垂直解得m= 1故答案为：1【点评】本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为- 1.7. （5 分）复数i1x 10+i2! x 9+ …+i10! X 1 的虚部是10 .【分析】根据i4= 1知，要求复数Fx 10+i2!x 9+…+ i10!x 1的虚部，只需求出i1!x 10+i2! x 9+i3! x 8的虚部.【解答】解：••• i4= 1,故i4! x 7+i5! x 6+…+i10x 1均为实数，•••要求复数i1x 10+i2! x 9+…+ i10! x 1的虚部，只需求出i1!x 10+i2! x 9+i3x 8的虚部.••• i1! x 10+i2! x 9+i3! x 8= 10i+9i2+8i6=- 17+10i.•复数i1! x 10+i2! x 9+ …+i10! x 1 的虚部是10.故答案为：10.【点评】本题考查复数幕的运算，考查了虚数单位i的性质，属基础题.& （5分）已知经停某站的高铁列车有100个车次，随机从中选取了40个车次进行统计，统计结果为：10个车次的正点率为0.97, 20个车次的正点率为0.98, 10个车次的正点率为0.99，则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为0.007 （精确到0.001）【分析】根据题意计算加权平均数和标准差即可.【解答】解：经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99,所以经停该站高铁列车所有车次的x( 10x 0.97+20 x 0.98+10 x 0.99)= 0.98;平均正点率为ILO+20HO经停该站的所有高铁列车正点率的标准差为s=｛爲％[10*（7・01）'吃0><於+10><0・0严]=^ x°.。