2007年考研数学一真题及答案解析

2007年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）当x →+0时，与x 等价的无穷小量是（ ）

. (D) ３.

[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，

)24

)(x f 处连续，下列命题错误的是（0)0(=f

存在，则0)0(=f (C) 若x

x f x )(lim 0→存在，则0)0('

=f 存在

(D) 若x

x f x f x )()(lim 0--→存在，则0)0('

=f 存.

（5）设函数)(x f 在（0，+∞）上具有二阶的导数，且0)0(>''f 令)2,1)((Λ==n n f u n ，则下列

结论正确的是（ ）

(A) 若,21u u >则{}n u 必收敛。 (B) 若,21u u >则{}n u 必发散。 (C) 若,21u u <则{}n u 必收敛。 (D) 若,21u u <则{}n u 必发散。

（6）设曲线L ：),((1),(y x f y x f =具有一阶的连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和Ⅳ象限内的点N ，Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分小于零的是（ ）

(A)

.),(⎰

Γ

dx y x f (B)

.),(⎰

Γ

dy y x f

(C) .),(⎰

Γ

ds y x f . (D)

.),(),(⎰

Γ

'+'dy y x f dx y x f y x

（７）设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）

(A),,,133221a a a a a a --- (B) ,,,133221a a a a a a +++ (C) ,2,2,2133221a a a a a a ---. (D) ,2,2,2133221a a a a a a +++.

（８）设矩阵，，⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=000010001211121112B A 则Ａ与Ｂ（ ）

(A) 合同，且相似 (B) 合同但不相似

(C) 不和同，但相似. (D) 既不合同，也不相似

（９）某人向同一目标独立的重复射击，每次射击命中目标的概率为p （)10(<

(A)2)1(3p p - (B) 2

)1(6p p - (C) 2

2

)1(3p p -. (D) 2

2)1(6p p -

（１０）设随机变量（Ｘ，Ｙ）服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，)(),(y f x f y X 分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的条件概率密度)|(|Y X f Y X 为（ ） (A) )(x f X (B) )(y f y (C) )()(y f x f y X . (D).

)

()

(y f x f Y X

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （11）

1

2

31

x e dx x

=⎰

１ （12） 设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y

x

z f x y =，则

z

x

∂=∂ （13） 二阶常系数非齐次线性方程2432x y y y e '''-+=的通解为y ＝

(20) （本题满分10分）

设幂级数

n

n n a x

∞

=∑在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足

240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===

(Ⅰ)证明22

,1,2,;1

n n a a n n +=

=+L (Ⅱ)求()y x 的表达式 (21) （本题满分11分） 设线性方程组

1231232

12302040

x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪

++=⎨⎪++=⎩

与方程

12321x x x a ++=-

有公共的解,求a 的值及所有的公共解.

(22) （本题满分11分）

.设三阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T

a λλλ===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记5

3

4B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵.

(Ⅰ) 验证1a 是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值的特征向量; (Ⅱ) 求矩阵B.

(23) （本题满分11分）

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

2,

01,01,(,)0

x y x y f x y --<<<<⎧=⎨

⎩其他

(Ⅰ) 求{}P X>2Y ;

(Ⅱ) 求z X Y =+的概率密度()z f z (24)（本题满分11分）

设总体X 的概率密度为

1

,

0,21

(;)1,2(1),0x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩

其他,

其中参数(01)θθ<<未知.12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本,X 是样本均值.