2007年考研数学一真题及答案解析

2007年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）当x →+0时，与x 等价的无穷小量是（ ）
. (D) ３.
[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，
)24
)(x f 处连续，下列命题错误的是（0)0(=f
存在，则0)0(=f (C) 若x
x f x )(lim 0→存在，则0)0('
=f 存在
(D) 若x
x f x f x )()(lim 0--→存在，则0)0('
=f 存.
（5）设函数)(x f 在（0，+∞）上具有二阶的导数，且0)0(>''f 令)2,1)((Λ==n n f u n ，则下列
结论正确的是（ ）
(A) 若,21u u >则{}n u 必收敛。

(B) 若,21u u >则{}n u 必发散。

(C) 若,21u u <则{}n u 必收敛。

(D) 若,21u u <则{}n u 必发散。

（6）设曲线L ：),((1),(y x f y x f =具有一阶的连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和Ⅳ象限内的点N ，Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分小于零的是（ ）
(A)
.),(⎰
Γ
dx y x f (B)
.),(⎰
Γ
dy y x f
(C) .),(⎰
Γ
ds y x f . (D)
.),(),(⎰
Γ
'+'dy y x f dx y x f y x
（７）设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）
(A),,,133221a a a a a a --- (B) ,,,133221a a a a a a +++ (C) ,2,2,2133221a a a a a a ---. (D) ,2,2,2133221a a a a a a +++.
（８）设矩阵，，⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=000010001211121112B A 则Ａ与Ｂ（ ）
(A) 合同，且相似 (B) 合同但不相似
(C) 不和同，但相似. (D) 既不合同，也不相似
（９）某人向同一目标独立的重复射击，每次射击命中目标的概率为p （)10(<<p ，则此人第４次射击恰好第２次命中的概率为（ ）
(A)2)1(3p p - (B) 2
)1(6p p - (C) 2
2
)1(3p p -. (D) 2
2)1(6p p -
（１０）设随机变量（Ｘ，Ｙ）服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，)(),(y f x f y X 分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的条件概率密度)|(|Y X f Y X 为（ ） (A) )(x f X (B) )(y f y (C) )()(y f x f y X . (D).
)
()
(y f x f Y X
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （11）
1
2
31
x e dx x
=⎰
１ （12） 设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y
x
z f x y =，则
z
x
∂=∂ （13） 二阶常系数非齐次线性方程2432x y y y e '''-+=的通解为y ＝
(20) （本题满分10分）
设幂级数
n
n n a x
∞
=∑在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足
240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===
(Ⅰ)证明22
,1,2,;1
n n a a n n +=
=+L (Ⅱ)求()y x 的表达式 (21) （本题满分11分） 设线性方程组
1231232
12302040
x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩
与方程
12321x x x a ++=-
有公共的解,求a 的值及所有的公共解.
(22) （本题满分11分）
.设三阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T
a λλλ===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记5
3
4B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵.
(Ⅰ) 验证1a 是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值的特征向量; (Ⅱ) 求矩阵B.
(23) （本题满分11分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
2,
01,01,(,)0
x y x y f x y --<<<<⎧=⎨
⎩其他
(Ⅰ) 求{}P X>2Y ;
(Ⅱ) 求z X Y =+的概率密度()z f z (24)（本题满分11分）
设总体X 的概率密度为
1
,
0,21
(;)1,2(1),0x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩
其他,
其中参数(01)θθ<<未知.12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本,X 是样本均值.
(Ⅰ) 求参数θ的矩估计量ˆθ
4X是否为2θ的无偏估计量，并说明理由。

(Ⅱ) 判断2。