高三单元滚动检测卷数学
高三新课标数学(理)一轮复习：滚动测试(15份)滚动测试
滚动测试(一)时间：120分钟 满分150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分．）1．设全集U 是实数集R ，，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．2．设原命题：“若，则中至少有一个不小于1”。
则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题3．给定下列结论：其中正确的个数是（ ） ①用20cm 长的铁丝折成的矩形最大面积是25；②命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”；③函数与函数的图象关于直线对称．A ．0B ．1C ．2D ．34．已知（其中i 为虚数单位），,11lg |⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+==x x y x N ，则以下关系中正确的是 （ ）A ．B ．C ．D ． 5．若，则是方程表示双曲线的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：①“若a,b ”类比推出“若a,b ”； ②“若a,b,c,d d b c a di c bi a ==⇒+=+∈,,R 则复数”类比推出“若a,b,c,d 则d b c a d c b a ==⇒+=+,22”；③“若a,b b a b a R >⇒>-∈0,则” 类比推出“若a,b b a b a C >⇒>-∈0,则”；其中类比结论正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 7．已知不等式成立的一个充分非必要条件是，则实数的取值范围是( )A.；B.；C.；D..8．某个命题与正整数有关，若时该命题成立，那么可推得时该命题也成立，现在已知当时该命题不成立，那么可推得A.当时，该命题不成立B.当时，该命题成立C.当时，该命题不成立D.当时，该命题成立9．若集合2{|540}A x x x =-+<，，则“”是“”的（ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10．设集合，2{|440Q x mx mx =+-<对任意的实数恒成立，则下列关系中成立的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．定义集合运算:{|,,}y A B z z x A y B x ÷==∈∈，设,则集合的真子集个数为 （ ）A ．B ．C ．D ． .12．设集合M=()(){}93,22=+-y x y x ,集合N=()(){},42,22=+-y x y x 则M 和N 的关系是（ ） A.N B. C. D.第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为 .14．已知全集}8,3{},53,6,3{2+=++=k A k k U ，则 ．15．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是 .16．已知是的充分条件而不是必要条件，是的必要条件，是的充分条件，是的必要条件。
步步高高中数学一轮复习《单元滚动检测卷》综合检测
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。
3．本次考试时间120分钟，满分150分。
综合检测第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知1－b i1＋2i ＝a ＋i (a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．4C ．－10D ．102．(2015·宜昌调研)下列说法中，正确的是( ) A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．命题“存在x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“对任意的x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件3．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2 (n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝12n －1C ．a n ＝12n －1D ．a n ＝13n －14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．85．现有2门不同的考试要安排在连续的5天之内进行，每天最多考一门，且不能连续两天有考试，则不同的安排方案有( ) A ．6种 B ．8种 C ．12种 D ．16种6．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( ) A.9π4 B.94π C.4π9D.49π7．如果执行如图的算法框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a n ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a n 的和 B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a n 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a n 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a n 中最小的数和最大的数8．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径r ＝2Sl ”类比可得“若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径r＝3VS ”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a ，b ，则其外接圆半径r ＝a 2＋b 22”；类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a 、b 、c ，则其外接球半径r ＝a 2＋b 2＋c 23”，这两位同学类比得出的结论( ) A ．两人都对 B ．甲错、乙对 C ．甲对、乙错D ．两人都错9．设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”：x 1]x *a ))的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分10．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)．关于函数f (x )＝(e x )*1e x 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0]． 其中所有正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．311．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 展开式中x 2项的系数为( ) A ．11 B ．20 C ．15 D ．1612．(2015·延安模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎝⎛⎭⎫13，12∪⎝⎛⎭⎫12，1第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．用黑白两种颜色的正方形地砖依照图中的规律拼成若干图形，则按此规律第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．14．若m ＝ʃ20(2x －e x )d x ，则“a ＝m ＋e 2－214”是“函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点”的________条件(从“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中选填)．15．如图，在△OAB 中，C 为OA 上的一点，且OC →＝23OA →，D 是BC 的中点，过点A 的直线l ∥OD ，P 是直线l 上的动点，若OP →＝λ1OB →＋λ2OC →，则λ1－λ2＝______.16．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的离心率为1＋52，圆C 是以坐标原点O 为圆心，实轴为直径的圆．过双曲线第一象限内的任一点P (x 0，y 0)作圆C 的两条切线，其切点分别为A ，B .若直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M ，N 两点，则b 22|OM |2－a 22|ON |2的值为______．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2015·福州质检)如图，函数f (x )＝3sin x 2·cos x 2＋cos 2x2＋m 的图像过点⎝⎛⎭⎫5π6，0.(1)求实数m 的值及f (x )的单调递增区间；(2)设y ＝f (x )的图像与x 轴、y 轴及直线x ＝t ⎝⎛⎭⎫0<t <2π3所围成的曲边四边形的面积为S ，求S 关于t 的函数S (t )的解析式．18．(12分)围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x m ，修建此矩形场地围墙的总费用为y 元． (1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用．19．(12分)(2015·淄博模考)中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)．进入总决赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，假设每场比赛的结果互相独立．现已赛完两场，乙队以2∶0暂时领先． (1)求甲队获得这次比赛胜利的概率；(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和均值EX .20．(12分)(2015·珠海摸底)在边长为4 cm 的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，M ，N 分别为AB ，CF 的中点，现沿AE ，AF ，EF 折叠，使B ，C ，D 三点重合，构成一个三棱锥．(1)请判断MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； (2)证明：AB ⊥平面BEF ；(3)求平面MEF 与平面BEF 夹角的余弦值．21．(12分)若函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x －2x .(1)求函数φ(x )＝g (x )－kf (x )(k >0)的单调区间；(2)若对所有的x ∈[e ，＋∞)，都有xf (x )≥ax －a 成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)(2015·广州普通高中毕业班综合测试)已知椭圆C 1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线C 2：x 22－y 2＝1的顶点，直线x ＋2y ＝0与椭圆C 1交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(－2，1)，点P 是椭圆C 1上异于点A ，B 的任意一点，点Q 满足AQ →·AP →＝0，BQ →·BP →＝0，且A ，B ，Q 三点不共线． (1)求椭圆C 1的方程； (2)求点Q 的轨迹方程；(3)求△ABQ 面积的最大值及此时点Q 的坐标．答案解析1．A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.C 11.C 12.D 13．503503603 14.充分不必要 15.－32 16.5＋1417．解 方法一 (1)f (x )＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x2＋m＝32sin x ＋12cos x ＋12＋m ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋12＋m . 因为f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫5π6，0，所以sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋π6＋12＋m ＝0，解得m ＝－12. 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由－π2＋2k π≤x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π，k ∈Z .(2)由(1)得f (x )＝32sin x ＋12cos x . 所以S ＝ʃt 0⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－32cos x ＋12sin x t 0＝⎝⎛⎭⎫－32cos t ＋12sin t －⎝⎛⎭⎫－32cos 0＋12sin 0＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3＋32. 所以S (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3＋32 ⎝⎛⎭⎫0<t <2π3. 方法二 (1)因为函数f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫5π6，0， 所以f ⎝⎛⎭⎫56π＝0.又f ⎝⎛⎭⎫56π＝3sin 512πcos 512π＋cos 2512π＋m ＝32sin 56π＋12cos 56π＋12＋m ＝34－34＋12＋m ＝12＋m . 所以12＋m ＝0，解得m ＝－12.以下同方法一．(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 所以S ＝ʃt 0sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6d x ＝－cos⎪⎪⎝⎛⎭⎫x ＋π6t0＝－cos ⎝⎛⎭⎫t ＋π6＋32. 所以S (t )＝－cos ⎝⎛⎭⎫t ＋π6＋32 (0<t <2π3)． 18．解 (1)如图，设矩形中与旧墙垂直的边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知得xa ＝360，得a ＝360x .∴y ＝225x ＋3602x －360(x >2)．(2)∵x >2， ∴225x ＋3602x ≥2225x ·3602x＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x 时，等号成立．即当x ＝24时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元．19．解 (1)设甲队获胜为事件A ，则甲队获胜包括甲队以4∶2获胜和甲队以4∶3获胜两种情况．设甲队以4∶2获胜为事件A 1， 则P (A 1)＝⎝⎛⎫234＝1681；设甲队以4∶3获胜为事件A 2， 则P (A 2)＝C 14×13×⎝⎛⎭⎫233×23＝64243， 则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝1681＋64243＝112243.(2)随机变量X 可能的取值为4,5,6,7.P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫132＝19.P (X ＝5)＝C 12×13×23×13＝427. P (X ＝6)＝C 13×13×⎝⎛⎭⎫232×13＋⎝⎛⎭⎫234＝2881. P (X ＝7)＝C 14×13×⎝⎛⎭⎫233＝3281， 则X 的分布列为EX ＝4×19＋5×427＋6×2881＋7×3281＝48881.20．(1)解 MN ∥平面AEF .证明：由题意可知点M ，N 在折叠前后都分别是AB ，CF 的中点(折叠后B ，C 两点重合)， 所以MN ∥AF . 因为⎩⎪⎨⎪⎧MN 平面AEF ，AF 平面AEF ，MN ∥AF ，所以MN ∥平面AEF .(2)证明 由题意可知AB ⊥BE 的关系在折叠前后都没有改变． 因为在折叠前AD ⊥DF ，由于折叠后AD 与AB 重合，点D 与B 重合， 所以AB ⊥BF .因为⎩⎪⎨⎪⎧AB ⊥BE ，AB ⊥BF ，BE 平面BEF ，BF 平面BEF ，BE ∩BF ＝B ，所以AB ⊥平面BEF .(3)解 记EF 的中点为G ，连接ME ，MF，BG ，MG . 因为BE ＝BF ，ME ＝MF ，所以BG ⊥EF 且MG ⊥EF ， 所以∠MGB 是平面MEF 与平面BEF 的夹角． 因为AB ⊥平面BEF ，所以∠MBG ＝90°. 在△BEF 中，BG ＝2，由于MB ＝2，所以MG ＝MB 2＋BG 2＝6，于是cos ∠MGB ＝BG MG ＝26＝33.所以平面MEF 与平面BEF 夹角的余弦值为33. 21．解 (1)函数φ(x )＝x －2x －k ln x 的定义域为(0，＋∞)．φ′(x )＝1＋2x 2－k x ＝x 2－kx ＋2x 2，记函数h (x )＝x 2－kx ＋2，其判别式Δ＝k 2－8. ①当Δ＝k 2－8≤0，即0<k ≤22时，h (x )≥0恒成立， ∴φ′(x )≥0在(0，＋∞)恒成立， φ(x )在区间(0，＋∞)上递增，②当Δ＝k 2－8>0即k >22时，方程h (x )＝0有两个不等的实根x 1＝k －k 2－82>0，x 2＝k ＋k 2－82>0. 若x 1<x <x 2，则h (x )<0，∴φ′(x )<0，∴φ(x )在区间(x 1，x 2)上递减； 若x >x 2或0<x <x 1，则h (x )>0，∴φ′(x )>0，∴φ(x )在区间(0，x 1)和(x 2，＋∞)上递增． 综上可知：当0<k ≤22时， φ(x )的递增区间为(0，＋∞)；当k >22时，φ(x )的递增区间为(0，k －k 2－82)和(k ＋k 2－82，＋∞)，递减区间为(k －k 2－82，k ＋k 2－82)． (2)∵x ≥e ，∴x ln x ≥ax －a ⇔a ≤x ln xx －1.令p (x )＝x ln xx －1，x ∈[e ，＋∞)， 则p ′(x )＝x －ln x －1(x －1)2.∵当x ≥e 时，(x －ln x －1)′＝1－1x >0，∴函数y ＝x －ln x －1在[e ，＋∞)上是增函数， ∴x －ln x －1≥e －ln e －1＝e －2>0，p ′(x )>0，∴p (x )在[e ，＋∞)上是增函数，∴p (x )的最小值为p (e)＝e e －1，∴a ≤ee －1.22．解 (1)∵双曲线C 2：x 22－y 2＝1的顶点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∴椭圆C 1的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)． 设椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，∵椭圆C 1过点A (－2，1)， ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，得a ＝2. ∴b 2＝a 2－(2)2＝2.∴椭圆C 1的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设点Q (x ，y )，点P (x 1，y 1)，由A (－2，1)及椭圆C 1关于原点对称可得 B (2，－1)，∴AQ →＝(x ＋2，y －1)，AP →＝(x 1＋2，y 1－1)， BQ →＝(x －2，y ＋1)，BP →＝(x 1－2，y 1＋1)． 由AQ →·AP →＝0，得(x ＋2)(x 1＋2)＋(y －1)(y 1－1)＝0， 即(x ＋2)(x 1＋2)＝－(y －1)(y 1－1)．① 同理，由BQ →·BP →＝0，得(x －2)(x 1－2)＝－(y ＋1)(y 1＋1)．②①×②，得(x 2－2)(x 21－2)＝(y 2－1)(y 21－1)．③由于点P 在椭圆C 1上，则x 214＋y 212＝1， 得x 21＝4－2y 21，代入③式，得－2(y 21－1)(x 2－2)＝(y 2－1)(y 21－1)． 当y 21－1≠0时，有2x 2＋y 2＝5，当y 21－1＝0时，点P (－2，－1)或P (2，1)，此时点Q 对应的坐标分别为(2，1)或(－2，－1)，其坐标也满足方程2x 2＋y 2＝5. 当点P 与点A 重合时，即点P (－2，1)， 由②得y ＝2x －3.解方程组⎩⎨⎧2x 2＋y 2＝5，y ＝2x －3，得点Q 的坐标为(2，－1)或⎝⎛⎭⎫22，－2. 同理，当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为(－2，1)或⎝⎛⎭⎫－22，2. ∴点Q 的轨迹方程为2x 2＋y 2＝5，除去四个点(2，－1)，⎝⎛⎭⎫22，－2，(－2，1)，⎝⎛⎭⎫－22，2. (3)点Q 到直线AB ：x ＋2y ＝0的距离为|x ＋2y |3. △ABQ 的面积为S ＝12(2＋2)2＋(－1－1)2·|x ＋2y |3＝|x ＋2y |＝x 2＋2y 2＋22xy .而22xy ＝2×(2x )×⎝⎛⎭⎫y 2≤4x 2＋y 22(当且仅当2x ＝y 2时等号成立)， ∴S ＝x 2＋2y 2＋22xy ≤ x 2＋2y 2＋4x 2＋y 22 ＝ 5x 2＋52y 2＝522(当且仅当2x ＝y 2时，等号成立)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝y 2，2x 2＋y 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－22，y ＝－2.∴△ABQ 的面积的最大值为522，此时，点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫22，2或⎝⎛⎭⎫－22，－2.。
单元滚动检测卷 高考数学(理)
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。
3．本次考试时间120分钟，满分150分。
单元检测一集合与常用逻辑用语第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·重庆)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于()A．[－2，－1]B．[－1,1]C．[－1,2) D．[1,2)3．(2015·长春外国语学校高三期中)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|1≤2x<4}，则A∩B等于()A．{－1,0,1} B．{0,1,2}C．{0,1} D．{1,2}4．(2015·宜昌调研)下列说法中，正确的是()A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B．命题“存在x0∈R，x20－x0>0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x≤0”C．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件5．(2015·吉林三模)已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]6．已知命题p：存在x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命题q：任意x∈(0,1)，log2x<0，则下列命题为真命题的是()A ．p 且qB ．p 或(綈q )C ．(綈p )且qD ．p 且(綈q )7．(2015·赣州市十二县市期中)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]8．已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |2x ＋1e －x≤0}，则A ∩B 等于( ) A ．[12，2) B ．(－1，－12] C ．(－1，e) D ．(2，e)9．(2015·大连二模)已知集合A ＝{(x ，y )|x (x －1)＋y (y －1)≤r }，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2}，若A ⊆B ，则实数r 可以取的一个值是( ) A.2＋1 B. 3 C ．2 D ．1＋2210．(2016·黄冈中学月考)下列四种说法中，①命题“存在x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“对于任意x ∈R ，x 2－x <0”；②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2，22)，则f (4)的值等于12； ④已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，则向量a 在向量b 方向上的射影是25. 说法正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．(2015·宜春模拟)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．512．若p ：a ∈R ，|a |<1，q ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________________.14．给定两个命题，命题p ：对任意实数x 都有ax 2>－ax －1恒成立，命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是________________．15．(2015·石家庄二模)已知命题p ：x 2－3x －4≤0；命题q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若綈q 是綈 p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________________．16．(2015·河南顶级名校入学定位考试)已知有限集A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ≥2，n ∈N )．如果A 中元素a i (i ＝1,2,3，…，n )满足a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1＋52，－1－52是“复活集”；②若a 1，a 2∈R ，且{a 1，a 2}是“复活集”，则a 1a 2>4；③若a 1，a 2∈N ＋，则{a 1，a 2}不可能是“复活集”；④若a i ∈N ，则“复活集”A 有且只有一个，且n ＝3.其中正确的结论有________．(填上你认为正确的所有结论的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数m 的值组成的集合．18．(12分)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．19．(12分)(2015·宿迁剑桥国际学校上学期期中)已知集合A ＝{x |y ＝1－2x ＋1x ＋1}，B ＝{x |[x －(a ＋1)][x －(a ＋4)]<0}．(1)若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ≠∅，求a 的取值范围．20．(12分)设函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ,函数g (x )＝3－|x |的定义域为集合B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，C ⊆B ，求实数m 的取值范围．21．(12分)(2015·潍坊高三质检)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}．命题p ：A ∩B ≠∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 且q 为真命题，求实数a 的取值范围．22．(12分)(2015·湖北省教学合作联考)已知集合U ＝R ，集合A ＝{x |(x －2)(x －3)<0}，函数y＝lg x －(a 2＋2)a －x的定义域为集合B . (1)若a ＝12，求集合A ∩(∁U B )； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．答案解析1．D [由于2∈A,2∈B,3∈A,3∈B,1∈A,1∉B ，故A ，B ，C 均错，D 是正确的，选D.]2．A [A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，选A.]3．C [B ＝{x |1≤2x <4}＝{x |0≤x <2}，则A ∩B ＝{0,1}，故选C.]4．B [对于A ，当m ＝0时，逆命题不正确；对于B ，由特称命题与全称命题的关系知显然正确；命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 中至少有一个是真命题，不一定全为真命题，故C 不正确；“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，D 不正确．选B.]5．A [设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1，故选A.]6．C [命题p ：存在x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0为假命题，命题q ：任意x ∈(0,1)，log 2x <0为真命题，所以(綈p )且q 为真命题．]7．B [∵3x ＋1<1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1<0， 即(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，∵p 是q 的充分不必要条件，∴k >2，故选B.]8．B [由A 中的函数y ＝ln(－x 2＋x ＋2)，得到－x 2＋x ＋2>0，即x 2－x －2<0， 整理得：(x －2)(x ＋1)<0，即－1<x <2，∴A ＝(－1,2)，由B 中的不等式变形得：(2x ＋1)(e －x )≤0，且e －x ≠0，即(2x ＋1)(x －e)≥0，且x ≠e ，解得：x ≤－12或x >e ， 即B ＝(－∞，－12]∪(e ，＋∞)， 则A ∩B ＝(－1，－12]．故选B.] 9．A [A ＝{(x ，y )|(x －12)2＋(y －12)2≤r ＋12}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2}，由于A ，B 都表示圆上及圆内的点的坐标，要满足A ⊆B ，则两圆内切或内含．故圆心距满足22≤|r |－r ＋12，将四个选项中的数分别代入，可知只有A 选项满足，故选A.]10．A [①命题“存在x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“对于任意x ∈R ，x 2－x ≤0”，故①不正确；②命题“p 且q 为真”，则命题p 、q 均为真，所以“p 或q 为真”．反之“p 或q 为真”，则p 、q 不见得都真，所以不一定有“p 且q 为真”，所以命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2，22)，所以2α＝22，所以α＝－12，所以幂函数为f (x )＝x －12， 所以f (4)＝4－12＝12，所以命题③正确； ④向量a 在向量b 方向上的射影是|a |cos θ＝a ·b |b |＝25＝255，θ是a 和b 的夹角，故④错误．故选A.]11．B [当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12； 当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12； 当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12； 当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12. 故P *Q ＝{0，－12，12}，该集合中共有3个元素．] 12．A [p ：a ∈R ，|a |<1⇔－1<a <1⇒a －2<0，可知满足q 的方程有两根，且两根异号，条件充分；条件不必要，如a ＝1时，方程的一个根大于零，另一个根小于零．也可以把命题q 中所有满足条件的a 的范围求出来，再进行分析判断，实际上一元二次方程两根异号的充要条件是两根之积小于0，对于本题就是a －2<0，即a <2.]13．{1,2,5}解析 由A ∩B ＝{2}可得：log 2(a ＋3)＝2，∴a ＝1，∴b ＝2，∴A ∪B ＝{1,2,5}．14．(－∞，0)∪(14，4) 解析 若p 为真命题，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，即0≤a <4；若q 为真命题，则(－1)2－4a ≥0，即a ≤14. 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以p ，q 中有且仅有一个为真命题．若p 真q 假，则14<a <4；若p 假q 真，则a <0. 综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(14，4)． 15．(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析 綈q 是綈p 的充分不必要条件，等价于p 是q 的充分不必要条件．由题意可得p ： －1≤x ≤4，q ：(x －3＋m )(x －3－m )≤0.当m ＝0时，显然不符合题意；当m >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m <－1，3＋m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m ≤－1，3＋m >4⇒m ≥4； 当m <0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋m <－1，3－m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≤－1，3－m >4 ⇒m ≤－4.综上，m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．16．①③④解析 ∵－1＋52×－1－52＝－1＋52＋－1－52＝－1，故①是正确的．②不妨设a 1＋a 2＝a 1a 2＝t ，则由一元二次方程根与系数的关系，知a 1，a 2是一元二次方程x 2－tx ＋t ＝0的两个根，由Δ>0，可得t <0或t >4，故②错．③不妨设A 中a 1<a 2<a 3<…<a n ，由a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n <na n ，得a 1a 2…a n －1<n ，当n ＝2时，即有a 1<2，∴a 1＝1，于是1＋a 2＝a 2，无解，即不存在满足条件的“复活集”A ，故③正确．当n ＝3时，a 1a 2<3，故只能a 1＝1，a 2＝2，解得a 3＝3，于是“复活集”A 只有一个，为{1,2,3}．当n ≥4时，由a 1a 2…a n －1≥1×2×3×…×(n －1)，得n >1×2×3×…×(n －1)，也就是说“复活集”A 存在的必要条件是n >1×2×3×…×(n －1)，事实上，1×2×3×…×(n －1)≥(n －1)(n －2)＝n 2－3n ＋2＝(n －2)2－2＋n >n ，矛盾，∴当n ≥4时不存在“复活集”A ，故④正确．17．解 A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .①当m ＝0时，B ＝∅，B ⊆A ，故m ＝0；②当m ≠0时，由mx ＋1＝0，得x ＝－1m. ∵B ⊆A ，∴－1m ＝2或－1m ＝3，得m ＝－12或m ＝－13. ∴实数m 的值组成的集合为{0，－12，－13}． 18．解 因为y ＝(x －34)2＋716，x ∈[34，2]，所以y ∈[716，2]．又因为A ⊆B ，所以1－m 2≤716.解得m ≥34或m ≤－34. 19．解 若x ∈A ，则1－2x ＋1x ＋1≥0，即－x x ＋1≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)≤0，x ＋1≠0，解得－1<x ≤0，所以A ＝{x |－1<x ≤0}；若x ∈B ，则[x －(a ＋1)]·[x －(a ＋4)]<0，解得a ＋1<x <a ＋4，所以B ＝{x |a ＋1<x <a ＋4}．(1)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤－1，a ＋4>0，解得－4<a ≤－2. (2)若A ∩B ＝∅，则a ＋4≤－1或a ＋1≥0，即a ≤－5或a ≥－1，所以若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是(－5，－1)．20．解 (1)要使函数f (x )有意义，则x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．要使g (x )有意义，则3－|x |≥0，解得－3≤x ≤3，即B ＝{x |－3≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |x >2或x <－1}∩{x |－3≤x ≤3}＝{x |－3≤x <－1或2<x ≤3}．(2)若C ＝∅，则m ≤－2，C ⊆B 恒成立；若m >－2，要使C ⊆B 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >－2，m －1≥－3，2m ＋1≤3，解得－2<m ≤1. 综上，m ≤1.即实数m 的取值范围是(－∞，1]．21．解 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，(1)由命题p 为假命题可得A ∩B ＝∅，∴a －1>2，∴a >3.(2)∵命题p 且q 为真命题，∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ≠∅且A ⊆C .∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得0≤a ≤3.22．解 (1)因为集合A ＝{x |2<x <3}，又a ＝12， 所以函数y ＝lg x －(a 2＋2)a －x ＝lg x －9412－x ， 由x －9412－x >0，可得集合B ＝{x |12<x <94}， ∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}， 故A ∩(∁U B )＝{x |94≤x <3}． (2)因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A ⊆B ， 由A ＝{x |2<x <3}，而集合B 应满足x －(a 2＋2)a －x>0， 因为a 2＋2－a ＝(a －12)2＋74>0， 故B ＝{x |a <x <a 2＋2}，依题意就有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3，即a ≤－1或1≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[1,2]．。
最新届人教A版高三数学理科一轮复习滚动检测试卷(四)含答案.docx
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测四第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]∪[1，＋∞) B ．(－1,0)C ．[－1,0]D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)3．(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1， 且f (a )＝－3，则f (6－a )等于( ) A ．－74B ．－54C ．－34D ．－144．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ等于( )A.12B.23C.56D.7126．(2015·荆州中学模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝4，S 3＝9，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋2 C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋17．(2015·上饶一模)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c 若A ＝π3，b ＝2a cosB ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.36D.388．(2015·河南中原名校高三期中)已知数列{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且满足：a 1 003＋a 1 013＝π，b 6·b 9＝2，则tan a 1＋a 2 0151＋b 7b 8等于( )A ．1B ．－1 C.33D. 39．关于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4与函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )和g (x )的图象有一个交点在y 轴上 B ．函数f (x )和g (x )的图象在区间(0，π)内有3个交点 C ．函数f (x )和g (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．函数f (x )和g (x )的图象关于原点(0,0)对称10．已知{a n }为等差数列，0<d <1，a 5≠k π2，sin 2a 3＋2sin a 5·cos a 5＝sin 2a 7，S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ≥S 10对一切n ∈N *都成立，则首项a 1的取值范围是( ) A ．[－98π，－π)B ．[－98π，－π]C ．(－54π，－98π]D ．[－54π，－98π]11．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f (32)等于( )A.32 B ．1 C ．2D.1212．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝lg⎝⎛⎭⎫1＋2n 2＋3n ，n ＝1,2，…，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 等于( ) A ．0 B ．lg n ＋1n ＋3＋lg 3C ．lgnn ＋2＋lg 2 D ．lgn －1n ＋1＋lg 3 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________________________________________________________________________．14．(2015·河南十校联考)设数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，记数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，则a 7＋a 5b 7＋b 5＝________. 15．(2015·南阳质检)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是________． 16．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.18．(12分)设f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω>0. (1)求函数y ＝f (x )的值域；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值．19.(12分)已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数．20．(12分)(2016·安徽八校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )，且p ∥q . (1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos 2C 1＋tan C ＋1的取值范围．21.(12分)已知数列{a n }满足：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n －a n ，其中n ∈N *. (1)求证：数列{a n －1}是等比数列；(2)令b n ＝(2－n )(a n －1)，求数列{b n }的最大项．22．(12分)(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x .(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数．答案解析1．C 2.C3．A [若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3,2a －1＝－1(无解)； 若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7， ∴f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.]4．A [由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，所以f (2x －1)<f (13)等价于f (|2x －1|)<f (13)．再根据f (x )的单调性，得|2x －1|<13，解得13<x <23.]5．C [∵AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋μDC →， ∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋μDC →) ＝AB →·AD →＋μAB →·DC →＋λBC →·AD →＋λμBC →·DC → ＝2×2×(－12)＋4μ＋4λ＋2×2×(－12)λμ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1. ∴2(λ＋μ)－λμ＝32.①∵CE →·CF →＝(1－λ)CB →·(1－μ)CD → ＝(λμ－λ－μ＋1)CB →·CD → ＝2×2×(－12)(λμ－λ－μ＋1)＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－23，∴λμ－(λ＋μ)＋1＝13，即λμ－(λ＋μ)＝－23.②由①②解得λ＋μ＝56.]6．C [设数列的公差为d ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d －a 1－d ＝4，3a 1＋3d ＝9，解得d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.故选C.]7．B [由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ， 故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.] 8．D [因为数列{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且满足：a 1 003＋a 1 013＝π，b 6·b 9＝2，所以a 1＋a 2 015＝a 1 003＋a 1 013＝π，b 7·b 8＝b 6·b 9＝2， 所以tan a 1＋a 2 0151＋b 7b 8＝tan π3＝ 3.故选D.]9．D [g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－π2＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，与f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象关于原点对称，故选D.] 10．D [由sin 2a 3＋2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7， 得1－cos 2a 32＋sin 2a 5＝1－cos 2a 72⇒2sin 2a 5＝cos 2a 3－cos 2a 7 ＝cos 2(a 5－2d )－cos 2(a 5＋2d ) ＝2sin 2a 5sin 4d .因为a 5≠k π2，所以sin 4d ＝1，所以4d ＝2k π＋π2⇒d ＝k π2＋π8，k ∈Z ，又因为0<d <1，所以d ＝π8.因为S n ≥S 10对一切n ∈N *都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 10≤0a 11≥0⇒⎩⎨⎧a 1＋9d ＝a 1＋9π8≤0a 1＋10d ＝a 1＋10π8≥0⇒⎩⎨⎧a 1≤－9π8a 1≥－5π4，即首项a 1的取值范围是[－54π，－98π]．故选D.]11．B [∵f (x )是周期为2的函数，∴f (32)＝f (－12＋2)＝f (－12)＝－4×(－12)2＋2＝1.]12．B [a n ＝lg n 2＋3n ＋2n (n ＋3)＝lg(n 2＋3n ＋2)－lg [n (n ＋3)]＝[lg(n ＋1)－lg n ]－[lg(n ＋3)－lg(n ＋2)]，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝[lg(n ＋1)－lg n ]＋[lg n －lg(n －1)]＋…＋(lg 2－lg 1)－{[lg(n ＋3)－lg(n ＋2)]＋[lg(n ＋2)－lg(n ＋1)]＋…＋(lg 4－lg 3)}＝[lg(n ＋1)－lg 1]－[lg(n ＋3)－lg 3]＝lg n ＋1n ＋3＋lg 3.] 13.62解析 由题图可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.又2πω＝T ，∴ω＝2ππ＝2. 根据函数图象可得2×π3＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－23π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3，则f (x )＝2sin(2x ＋π3)，∴f (0)＝2sin π3＝62.14．－513解析 由S 7－S 5＝4(T 6－T 4)得，a 6＋a 7＝4(b 5＋b 6)， 又a 5＝b 5，a 6＝b 6，所以a 6＋a 7＝4(a 5＋a 6)， 所以6a 1＋25d ＝0，所以a 1＝－256d ，又q ＝b 6b 5＝a 6a 5＝－256d ＋5d －25d6＋4d ＝－5，所以a 7＋a 5b 7＋b 5＝2a 6b 5(q 2＋1)＝2b 6b 5(q 2＋1)＝2q q 2＋1＝－513.15．4解析 ∵b a ＋ab ＝6cos C ，∴a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，∴a 2＋b 2＝32c 2.∴tan C tan A ＋tan Ctan B ＝sin C cos C (cos A sin A ＋cos Bsin B ) ＝sin C cos C ·sin Csin A sin B＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2 ＝2c 232c 2－c 2＝4. 16．(0，12)解析 作出函数y ＝f (x )在[－3,4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0<a <12.17．(1)解 由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)证明 由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1， 所以13n －1≤12×3n －1.即1a n ＝23n －1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32(1－13n )<32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.18．解 (1)f (x )＝4⎝⎛⎭⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos 2ωx＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1. 因为－1≤sin 2ωx ≤1，所以函数y ＝f (x )的值域为[1－3，1＋ 3 ]．(2)因为y ＝sin x 在每个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上为增函数，故f (x )＝3sin 2ωx ＋1(ω>0)在每个闭区间⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω(k ∈Z )上为增函数． 依题意知⎣⎡⎦⎤－3π2，π2⊆⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k ∈Z 成立，由ω>0知，此时必有k ＝0，于是⎩⎨⎧－3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，ω>0，解得0<ω≤16，故ω的最大值为16.19．解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. 又∵a >0，f (x )＝a [(x －1)2－4]≥－4， 且f (1)＝－4a ，∴f (x )min ＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3. (2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x＝x －3x －4ln x －2 (x >0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2.x ，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下表：当0<g (x )在(3，＋∞)上单调递增 g (3)＝－4 ln 3<0，取x ＝e 5>3，又g (e 5)＝e 5－3e 5－20－2>25－1－22＝9>0.故函数g (x )只有1个零点，且零点x 0∈(3，e 5)． 20．解 (1)∵p ＝(2b －c ，cos C )，q ＝(2a,1)，且p ∥q ，∴2b －c ＝2a cos C ，由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ， 又∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32. (2)－2cos 2C 1＋tan C ＋1＝1－2(cos 2C －sin 2C )1＋sin C cos C＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin 2C －cos 2C ＝2sin(2C －π4)，∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π，∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤ 2，即三角函数式－2cos 2C1＋tan C ＋1的取值范围为(－1，2]．21．(1)证明 ∵当n ＝1时，a 1＝1－a 1，∴a 1＝12.又∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝n ＋1－a n ＋1， ∴a n ＋1＝1－a n ＋1＋a n ，即2a n ＋1＝1＋a n ， ∴a n ＋1－1＝12(a n －1)，又a 1－1＝－12，∴数列{a n －1}是首项为－12，公比为12的等比数列．(2)解 由(1)知，a n －1＝(－12)×(12)n －1＝－(12)n ，∴b n ＝(2－n )(a n －1)＝n －22n ，∴b n ＋1－b n ＝n ＋1－22n ＋1－n －22n ＝n －1－2(n －2)2n ＋1＝3－n2n ＋1.当n <3时，b n ＋1－b n >0，即b 1<b 2<b 3； 当n ＝3时，b 4＝b 3；当n >3时，b n ＋1－b n <0，即b 4>b 5>b 6>…， ∴数列{b n }的最大项是b 4＝b 3＝18.22．解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)， 则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0，解得x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线．(2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0，故h (x )在(1，＋∞)内无零点．当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x )的零点；若a <－54，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点．当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0,1)内的零点个数．(ⅰ)若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)内无零点，故f (x )在(0,1)单调．而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)内有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)没有零点．(ⅱ)若－3<a <0，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a 3内单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a 3，1内单调递增，故在(0,1)内，当x ＝－a3时，f (x )取得最小值，最小值为 f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝2a 3 －a 3＋14. ①若f ⎝⎛⎭⎫－a 3>0，即－34<a <0，f (x )在(0,1)内无零点； ②若f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0,1)内有唯一零点；③若f ⎝⎛⎭⎫－a 3<0，即－3<a <－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54<a <－34时，f (x )在(0,1)内有两个零点；当－3<a ≤－54时，f (x )在(0,1)内有一个零点．综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54<a <－34时，h (x )有三个零点．。
人教A版高三数学文科一轮复习滚动检测试卷(五)含答案
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同根函数”是() A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)3．若命题p：函数y＝lg(1－x)的值域为R；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)4．(·河南名校联考)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则2tan A·tan Btan C(tan A＋tan B)的值为()C ．2 015D ．2 0165．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布( ) A ．110尺 B ．90尺 C ．60尺D ．30尺6．(·渭南模拟)已知椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1，P 2，…，P n ，且椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11 000的等差数列，则n 的最大值为( ) A ．2 001 B ．2 000 C ．1 999D ．1 9987．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，其导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极大值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1639．(·滨州一模)若对任意的x ＞1，x 2＋3x －1≥a 恒成立，则a 的最大值是( )A ．4B ．610．定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( ) A ．－8 B ．8 C ．－8或8D ．611．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或712．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( )A ．[0,1－2lg 2]B ．[1，52]C ．[12，lg 2]D ．[－lg 2,1－2lg 2]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α；②若m ∥β，α∥β，则m ∥α；③若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α；④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α.其中正确命题的个数是________．14．已知圆锥底面半径与球的半径都是1 cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为________ cm.15．设f (x )＝－cos x －sin x ，f ′(x )是其导函数，若命题“∀x ∈[π2，π]，f ′(x )<a ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．16．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且A B →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z，则f (x ，y ，z )的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．18．(12分)(·咸阳模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n ＜12.19.(12分)如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上，AB 、A 1B 1分别为圆O 、圆 O 1的直径且AA 1⊥平面P AB . (1)求证：BP ⊥A 1P ；(2)若圆柱OO 1的体积V ＝12π，OA ＝2，∠AOP ＝120°，求三棱锥A 1－APB 的体积．20．(12分)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极植．21.(12分)如图，已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是直角梯形，AB ⊥BC ，AB ∥CD ，E ，F 分别是棱BC ，B 1C 1上的动点，且EF ∥CC 1，CD ＝DD 1＝1，AB ＝2，BC ＝3.(1)证明：无论点E 怎样运动，四边形EFD 1D 都是矩形； (2)当EC ＝1时，求几何体A －EFD 1D 的体积．22．(12分)已知向量a ＝(1,1)，向量a 与向量b 的夹角为3π4，且a ·b ＝－1.(1)求向量b ；(2)若向量b 与q ＝(1,0)共线，向量p ＝(2cos 2C2，cos A )，其中A ，B ，C 为△ABC 的内角，且A ，B ，C 依次成等差数列，求|b ＋p |的取值范围．答案解析1．C 2.A 3.A 4.C 5.B6．B [由椭圆方程知a ＝2，c ＝1，因为|P n F |min ＝a －c ＝1，|P n F |max ＝a ＋c ＝3，所以公差d ＝|P n F |－|P 1F |n －1≤3－1n －1＝2n －1，n －1≤2d <2 000，故n <2 001.因为n ∈N ＋，所以n max ＝2 000.故选B.] 7．B 8.C9．B [a ≤x 2＋3x －1对x ∈(1，＋∞)恒成立，即a ≤(x 2＋3x －1)min ，x 2＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋2，∵x ＞1，∴(x －1)＋4x －1＋2≥2(x －1)·4x －1＋2＝6，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时取“＝”，∴a ≤6，∴a 的最大值为6，故选B.]10．B [由|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6， 可得2×5cos θ＝－6⇒cos θ＝－35.又θ∈[0，π]，所以sin θ＝45.从而|a ×b |＝2×5×45＝8.]11．A [因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x30)，则在该点处的切线斜率为k＝3x20，所以切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)，即y＝3x20x－2x30.又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝32.当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋154x－9相切，可得a＝－2564，当x0＝32时，由y＝274x－274与y＝ax2＋154x－9相切，可得a＝－1.]12．A[如图所示，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤3x－2，x－2y＋1≤0，2x＋y≤8确定的可行域．因为lg(y＋1)－lg x＝lgy＋1x，设t＝y＋1x，显然，t的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点E(0，－1)连线的斜率．由图可知，点P在点B处时，t取得最小值；点P在点C处时，t取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＋1＝0，2x＋y＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝2，即B(3,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y＝3x－2，2x＋y＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝4，即C(2,4)．故t 的最小值为k BE ＝2－(－1)3＝1，t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝52，所以t ∈[1，52]．又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数， 所以lg t ∈[0，lg 52]，即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 52]．而lg 52＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2，所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg 2]． 故选A.] 13．4解析 对①，根据线面平行的判定定理知，m ∥α；对②，如果直线m 与平面α相交，则必与β相交，而这与m ∥β矛盾，故m ∥α； 对③，在平面α内取一点A ，设过A 、m 的平面γ与平面α相交于直线b . 因为n ⊥α，所以n ⊥b ， 又m ⊥n ，所以m ∥b ，则m ∥α； 对④，设α∩β＝l ，在α内作m ′⊥β， 因为m ⊥β，所以m ∥m ′，从而m ∥α. 故四个命题都正确． 14.17解析 由题意可知球的体积为4π3×13＝4π3，圆锥的体积为13×π×12×h ＝π3h ，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等， 所以4π3＝π3h ，所以h ＝4，圆锥的母线长为12＋42＝17.15．(2，＋∞)解析 f ′(x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，π4≤x －π4≤3π4，最大值为2，a > 2.16．36解析 由题意得A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos ∠BAC ＝23，则|A B →|·|A C →|＝4，∴△ABC 的面积为12|A B →|·|A C →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4(x ＋y ＋z )y ＋9(x ＋y ＋z )z ＝14＋(y x ＋4x y )＋(9x z ＋z x )＋(4zy ＋9y z )≥14＋4＋6＋12＝36(当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立)． 17．解 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1， 将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)， 而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．18．(1)解 ∵a n 是S n 和1的等差中项， ∴S n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a na n －1＝2，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.设{b n }的公差为d ，b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7， ∴d ＝2，∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)证明 c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， ∵n ∈N *，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12，T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0，∴数列{T n }是一个递增数列， ∴T n ≥T 1＝13，综上所述，13≤T n ＜12.19．(1)证明 易知AP ⊥BP ， 由AA 1⊥平面P AB ，得AA 1⊥BP ， 且AP ∩AA 1＝A ，所以BP ⊥平面P AA 1， 又A 1P ⊂平面P AA 1，故BP ⊥A 1P .(2)解 由题意得V ＝π·OA 2·AA 1＝4π·AA 1＝12π，解得AA 1＝3. 由OA ＝2，∠AOP ＝120°， 得∠BAP ＝30°，BP ＝2，AP ＝23， ∴S △P AB ＝12×2×23＝23，∴三棱锥A 1－APB 的体积V ＝13S △P AB ·AA 1＝13×23×3＝2 3. 20．解 (1)对f (x ) 求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x， 由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ， 知f ′(1)＝－34－a ＝－2， 解得a ＝54. (2)由(1)知，f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5，因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数， 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.21．(1)证明 (1)在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DD 1∥CC 1， ∵EF ∥CC 1，∴EF ∥DD 1，又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面ABCD ∩平面EFD 1D ＝ED ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面EFD 1D ＝FD 1，∴ED ∥FD 1，∴四边形EFD 1D 为平行四边形，∵侧棱DD 1⊥底面ABCD ，又DE ⊂平面ABCD ，∴DD 1⊥DE ，∴四边形EFD 1D 为矩形．(2)解 连接AE ，∵四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，∴侧棱DD 1⊥底面ABCD ，又AE ⊂平面ABCD ，∴DD 1⊥AE ，在Rt △ABE 中，AB ＝2，BE ＝2，则AE ＝22， 在Rt △CDE 中，EC ＝1，CD ＝1，则DE ＝ 2. 在直角梯形ABCD 中，AD ＝BC 2＋(AB －CD )2＝10. ∴AE 2＋DE 2＝AD 2，即AE ⊥ED ，又∵ED ∩DD 1＝D ，∴AE ⊥平面EFD 1D ， 由(1)可知，四边形EFD 1D 为矩形，且DE ＝2，DD 1＝1， ∴矩形EFD 1D 的面积为SEFD 1D ＝DE ·DD 1＝2， ∴几何体A －EFD 1D 的体积为VA －EFD 1D ＝13SEFD 1D ·AE ＝13×2×22＝43. 22．解 (1)设b ＝(x ，y )，则a ·b ＝x ＋y ＝－1，① 又向量b 与向量a 的夹角为3π4，∴x 2＋y 2＝1，② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴b ＝(－1,0)或b ＝(0，－1)．(2)由向量b 与q ＝(1,0)共线知b ＝(－1,0)，由2B ＝A ＋C 得B ＝π3，A ＋C ＝2π3，0＜A ＜2π3， ∵b ＋p ＝(cos C ，cos A )，∴|b ＋p |2＝cos 2C ＋cos 2A ＝1＋cos 2A 2＋1＋cos 2C 2 ＝1＋12[cos 2A ＋cos(4π3－2A )] ＝1＋12cos(2A ＋π3)． ∵0＜A ＜2π3，π3＜2A ＋π3＜5π3， ∴－1≤cos(2A ＋π3)＜12，∴12≤1＋12cos(2A＋π3)＜54，即|b＋p|2∈[12，5 4)，∴|b＋p|∈[22，52)．。
高三单元滚动测试卷数学
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，那么f(-1)的值为（）A. -5B. -1C. 1D. 52. 若等差数列{an}中，a1 = 2，d = 3，那么a10的值为（）A. 29B. 30C. 31D. 323. 已知等比数列{bn}中，b1 = 3，q = 2，那么b5的值为（）A. 48B. 96C. 192D. 3844. 函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且a > 0，b = 0，那么该函数的顶点坐标为（）A. (0, c)B. (0, -c)C. (b/2a, c)D. (b/2a, -c)5. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，那么向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/56. 若直线y = kx + b与圆(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1相切，那么k和b的值分别为（）A. k = 1，b = 1B. k = 1，b = 3C. k = -1，b = 1D. k = -1，b = 37. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，那么f(-1)的值为（）A. 0B. 1/2C. 1D. 28. 若函数y = e^x在x = 0处的切线斜率为2，那么该函数的解析式为（）A. y = 2e^xB. y = e^2xC. y = 2x + eD. y = 2x - e9. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|，那么f(0)的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 若复数z = a + bi（a，b为实数），且|z| = 5，那么a和b的取值范围为（）A. a^2 + b^2 = 25B. a^2 - b^2 = 25C. a^2 + b^2 = 0D. a^2 -b^2 = 0二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，那么f(2)的值为______。
六盘水市重点中学2024届高三高考总复习单元同步滚动测试卷数学试题
六盘水市重点中学2024届高三高考总复习单元同步滚动测试卷数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞，B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，2．已知复数21z i =+ ，其中i 为虚数单位，则z =（ ） ABC ．2D3．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 4．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．32D ．15．已知函数2()sin cos444f x x x x πππ=，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（ ）A ．2018B ．1009C ．1010D ．20206．设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（ ） A ．480种B ．360种C ．240种D ．120种8．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()UA B =（ ）A ．()0,3B ．[)2,3C ．()0,2D ．()0,∞+9．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biē naò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )A ．90π平方尺B ．180π平方尺C ．360π平方尺D ．13510π平方尺 10．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ） A ．﹣3∈A B ．3∉B C ．A∩B=B D ．A ∪B=B 12．如图，在ABC ∆中， 13AN AC =，P 是BN 上的一点，若23mAC AP AB =-，则实数m 的值为（ ）A ．13B ．19C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021《单元滚动检测卷》高考复习数学(理)(北师大全国)精练二 函数概念与基本初等函数Ⅰ
高三单元滚动检测卷·数学考生留意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。
3．本次考试时间120分钟，满分150分。
单元检测二 函数概念与基本初等函数Ⅰ第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2021·重庆)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)2．(2021·北京)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x 3．(2021·慈溪联考)函数y ＝x 2lg x －2x ＋2的图像( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于y 轴对称4．(2021·江西省师大附中联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <1，f (x －1)，x ≥1，则f (log 25)等于( )A.516B.58C.54D.525．(2021·山东)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)6．下列各式中错误的是( ) A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1 D ．lg 1.6>lg 1.47．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，(12)x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，138]C ．(－∞，2]D ．[138，2)8．(2021·山东19所名校联考)函数y ＝x ln|x ||x |的图像可能是( )9．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,4]时，f (x )＝x －2，则( ) A ．f (sin 1)<f (cos 1) B ．f (sin π3)>f (cos π3)C ．f (sin 12)<f (cos 12)D ．f (sin 32)>f (cos 32)10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋a ，x <0，f (x －1)，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－1,0)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )A ．(0,1] B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0,2]D ．[0,1)12．(2021·蚌埠模拟)已知函数f (x ) (x ∈R )是以4为周期的奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln(x 2－x ＋b )．若函数f (x )在区间[－2,2]上有5个零点，则实数b 的取值范围是( ) A ．－1<b ≤1 B.14≤b ≤54C ．－1<b <1或b ＝54D.14<b ≤1或b ＝54 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 015)＋f (2 016)的值为________．14．(2021·湖南浏阳一中联考)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f (3x ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．卡车以x 千米/小时的速度匀速行驶130千米路程，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时42元．(1)这次行车总费用y 关于x 的表达式为___________________________________； (2)当x ＝________时，这次行车总费用最低．16．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－x ，则给出下列结论： ①2是f (x )的周期；②f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增； ③f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(12)x －3.其中正确结论的序号是________．(写出全部正确结论的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3·2－x . (1)当x <0时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )＝12，求x 的值．18．(12分)已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．19．(12分)(2021·赣州市十二县(市)联考)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f (x )＝g (x )x .(1)求a 、b 的值；(2)若不等式f (2x )－k ·2x ≥0在x ∈[－1,1]上有解，求实数k 的取值范围．20．(12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完． (1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21．(12分)(2021·余姚联考)已知函数f (x )＝x 2＋a |x －1|，a 为常数． (1)当a ＝2时，求函数f (x )在[0,2]上的最小值和最大值；(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．22．(12分)(2021·北京第六十六中学上学期期中)已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)<0，且f(1)＝－2.(1)推断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)在区间[－3,3]上的最大值；(3)解关于x的不等式f(ax2)－2f(x)<f(ax)＋4.答案解析1．D[需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]2．B[由f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，可知A为奇函数，B为偶函数，C定义域不关于原点对称，D 为非奇非偶函数．]3．B[∵y＝x2lgx－2x＋2，∴其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∴f(－x)＝x2lgx＋2x－2＝－x2lgx－2x＋2＝－f(x)，∴函数为奇函数，∴函数的图像关于原点对称，故选B.]4．C[∵2<log25<3，∴f(log25)＝2log25－2＝2log25·2－2＝54，故选C.]5．C[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a，整理得(1－a)(2x＋1)＝0，∴a＝1，∴f(x)＞3即为2x＋12x－1＞3，化简得(2x－2)(2x－1)＜0，∴1＜2x＜2，∴0＜x＜1.]6．C[对于A，构造幂函数y＝x3，为增函数，故A对；对于B、D，构造对数函数y＝log0.5x为减函数，y＝lg x为增函数，B、D都正确；对于C，构造指数函数y＝0.75x，为减函数，故C错．]7．B[由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a－2<0，(a－2)×2≤(12)2－1，由此解得a≤138，即实数a 的取值范围为(－∞，138]，故选B.]8．B [函数y ＝x ln|x ||x |的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称．当x >0时，y ＝x ln|x ||x |＝x ln xx ＝lnx ；当x <0时，y ＝x ln|x ||x |＝x ln (－x )－x＝－ln(－x )，此时函数图像与当x >0时函数y ＝ln x 的图像关于原点对称．故选B.]9．A [由f (x )＝f (x ＋2)得到周期为2，当x ∈[3,4]时，f (x )＝x －2为增函数，且是定义在R 上的偶函数，则f (x )在[0,1]上为减函数，由于sin 1>cos 1，所以 f (sin 1)<f (cos 1)．故选A.]10．C [当x ≥0时，f (x －1)＝f (x )，此时函数f (x )是周期为1的周期函数；当x <0时，f (x )＝－x 2－2x ＋a ＝－(x ＋1)2＋1＋a ，对称轴为x ＝－1，顶点为(－1,1＋a )，若a ≥0，则y ＝f (x )－x 在(－∞，0)上有1个零点，在[0，＋∞)上有2个零点，满足题意；若－1<a <0，则y ＝f (x )－x 在(－∞，－1]，(－1,0)，[0，＋∞)上各有1个零点，满足题意；若a ＝－1，则y ＝f (x )－x 在(－∞，－1]，(－1,0)上各有1个零点，x ＝0也是零点，在(0，＋∞)上无零点，满足题意；若a <－1，则至多有2个零点，不满足题意．所以实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．]11．D [g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．]12．D [本题可以接受排解法．若b ＝0，则f (x )＝ln(x 2－x )，x ∈(0,2)，当x ＝12∈(0,2)时，f (x )无意义，故b ≠0，所以排解A ，C ；若b ＝14，则f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x 2－x ＋14，x ∈(0,2)，当x ＝12∈(0,2)时，f (x )无意义，故b ≠14，所以排解B ，所以选D.] 13．－1解析 由于f (x )是奇函数，且周期为2，所以f (－2 015)＋f (2 016)＝－f (2 015)＋f (2 016)＝－f (1)＋f (0)，又当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，所以f (－2 015)＋f (2 016)＝－1＋0＝－1. 14．(－∞，－5]解析 由于当x ≥0时，f (x )＝x 2，所以f (x )是[0，＋∞)上的增函数，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )是R 上的增函数，所以若对任意x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f (3x ＋1)恒成立，即对任意x ∈[a ，a ＋2]，x ＋a ≥3x ＋1⇒a ≥2x ＋1.由于函数2x ＋1是[a ，a ＋2]上的增函数，所以2x ＋1有最大值2a ＋5，所以a ≥2a ＋5⇒a ≤－5.15．(1)y ＝7 020x ＋136x ，x ∈[50,100] (2)1810解析 (1)由题意知行车所用时间t ＝130x 小时，则这次行车总费用y 关于x 的表达式为y ＝130x ×6×(2＋x 2360)＋42×130x ，x ∈[50,100]，即y ＝7 020x ＋136x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝7 020x ＋136x ≥7810，当且仅当7 020x ＝136x ，即x ＝1810时等号成立，故当x ＝1810时，这次行车总费用最低． 16．①②④解析 ①∵对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)－1]＝f (x )，即2是f (x )的周期，①正确；②∵当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－x ＝2x －1为增函数，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (x )在区间[－1,0]上单调递减，又其周期T ＝2，∴f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，②正确；③由②可知，f (x )max ＝f (1)＝21－1＝20＝1，f (x )min ＝f (0)＝20－1＝12，③错误；④当x ∈(3,4)时，4－x ∈(0,1)，∴f (4－x )＝(12)1－(4－x )＝(12)x －3，又f (x )是周期为2的偶函数，∴f (4－x )＝f (x )＝(12)x －3，④正确．综上所述，正确结论的序号是①②④.17．解 (1)当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x －3·2x ， 又f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝2－x －3·2x ，即当x <0时，f (x )＝－2－x ＋3·2x .(2)当x <0时，由－2－x ＋3·2x ＝12，得6·22x －2x －2＝0， 解得2x ＝23或2x ＝－12(舍去)，∴x ＝1－log 23；当x >0时，由2x －3·2－x ＝12，得2·22x －2x －6＝0，解得2x ＝2或2x ＝－32(舍去)，∴x ＝1.综上，x ＝1－log 23或x ＝1.18．解 (1)由于f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增， 所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)， 递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a ，使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，即⎩⎨⎧a >0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.19．解 (1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ，由于a >0，所以g (x )在区间[2,3]上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)＝1，g (3)＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.(2)由已知可得f (x )＝x ＋1x－2，所以f (2x )－k ·2x ≥0可化为2x ＋12x －2≥k ·2x ，化为1＋(12x )2－2·12x ≥k ，令t ＝12x ，则k ≤t 2－2t ＋1，由于x ∈[－1,1]，故t ∈[12，2]，记h (t )＝t 2－2t ＋1，由于t ∈[12，2]，故h (t )max ＝1，所以k 的取值范围是(－∞，1]． 20．解 (1)当0<x <80，x ∈N ＋时， L (x )＝500×1 000x 10 000－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80，x ∈N ＋时，L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－(x ＋10 000x)，∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80，x ∈N ＋)，1 200－(x ＋10 000x)(x ≥80，x ∈N ＋).(2)当0<x <80，x ∈N ＋时， L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950.当x ≥80，x ∈N ＋时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000， ∴当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值L (100)＝1 000>950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．21．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －2，x ≥1，x 2－2x ＋2，x ≤1＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2－3，x ≥1，(x －1)2＋1，x <1，所以当x ∈[1,2]时，[f (x )]max ＝6，[f (x )]min ＝1， 当x ∈[0,1]时，[f (x )]max ＝2，[f (x )]min ＝1， 所以f (x )在[0,2]上的最大值为6，最小值为1.(2)由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －a ，x ≥1，x 2－ax ＋a ，x <1，＝⎩⎨⎧(x ＋a 2)2－a 24－a ，x ≥1，(x －a 2)2－a24＋a ，x <1，而f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以当x ≥1时，f (x )必单调递增，得－a2≤1即a ≥－2，当0≤x <1时，f (x )亦必单调递增，得a2≤0即a ≤0，且12＋a －a ≥12－a ＋a 恒成立． 即a 的取值范围是{a |－2≤a ≤0}． 22．解 (1)取x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝2f (0)， ∴f (0)＝0.取y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立， ∴函数f (x )为奇函数．(2)任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0.∴f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)<－f (－x 1)．又∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴对任意x ∈[－3,3]，恒有f (x )≤f (－3)． ∵f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1) ＝－2×3＝－6， ∴f (－3)＝－f (3)＝6， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为6. (3)∵f (x )为奇函数，∴整理原不等式得f (ax 2)＋f (－2x )<f (ax )＋f (－2)， 进一步可得f (ax 2－2x )<f (ax －2)．∵f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax 2－2x >ax －2， 即(ax －2)(x －1)>0.∴当a ＝0时，x ∈(－∞，1)； 当a ＝2时，x ∈{x |x ≠1且x ∈R }； 当a <0时，x ∈{x |2a <x <1}；当0<a <2时，x ∈{x |x >2a 或x <1}；当a >2时，x ∈{x |x <2a 或x >1}．综上所述，当a ＝0时，x ∈(－∞，1)； 当a ＝2时，x ∈{x |x ≠1且x ∈R }；当a<0时，x∈{x|2a<x<1}；或x<1}；当0<a<2时，x∈{x|x>2a当a>2时，x∈{x|x<2或x>1}．a。
高三数学单元滚动检测卷-数列
高三数学单元滚动检测卷-数列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(·黄冈中学期中)已知{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－2，a 3＝2，则{a n }的公差d 等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3D ．－42．(·福建)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ． 8D ．93．(·青岛模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋a (n ∈N *)，则实数a 的值是( ) A ．－3 B ．3 C ．－1D ．14．已知数列{a n }是等差数列，若a 2 016＋a 2 017<0，a 2 016·a 2 017<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时，n 等于( ) A ．4 029 B ．4 030 C ．4 031D ．4 0325．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，a n >0，则数列{log 2a n }的前n 项和为( ) A.n (n －1)2B.(n －1)22C.n (n ＋1)2D.(n ＋1)226．(·重庆模拟)已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝(n ＋1n )n －1C ．a n ＝n 2D ．a n ＝n7．(·浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞08．(·天津模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a n n ≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4}9．设函数f (x )＝2x －cos x ，{a n }是公差为π8的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π，则[f (a 3)]2－a 1a 5等于( ) A ．0 B.116π2 C.18π2 D.1316π2 10．(·黄冈中学月考)若数列{a n }满足1a n ＋1－pa n ＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列{1b n }为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．811．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q 等于( ) A ．1 B.12 C ．－1D ．－212．(·重庆模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列b n ＝3n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和为( ) A ．5－0 B ．5－3n ＋52nC ．5－3n －52nD ．5－3n ＋52n －1第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．14．(·江苏)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．15．在数列{a n }中，a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，S n 为{a n }的前n 项和．记R n ＝82S n －S 2n a n ＋1，则数列{R n }的最大项为第________项．16．(·杭州严州中学阶段测试)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n .若对任意的自然数n ≥4，恒有32<a n <2，则a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(·福建)等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．18．(12分)已知a 2、a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{a n }是递增的等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－12b n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .19.(12分)(·北京西城区期末)已知数列{a n }满足a 2＝5，且其前n 项和S n ＝pn 2－n . (1)求p 的值和数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }为等比数列，公比为p ，且其前n 项和T n 满足T 5<S 5，求b 1的取值范围．20．(12分)(·淄博一模)在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，则S n ＝a n ＋1－12，(n ∈N *)．(1)求a n ，S n ；(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n >2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值．21.(12分)(·山东省实验中学模拟)为了综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2015年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用．同时每年投放10万辆的机动车牌号．只有摇号获得指标的机动车才能上牌，经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．(1)问：到2019年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；(2)根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解，问：至少需要多少年可以实现这一目标．(参考数据：0.954＝0.81,0.955＝0.77，lg 0.75＝－0.13，lg 0.95＝－0.02)22．(12分)已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝(4－a n)q n－1(q≠0，n∈N*)，求数列{b n}的前n项和S n.答案解析1．C [由a 1＋a 7＝2a 4＝－2得a 4＝－1，a 3＝2，d ＝－3，故选C.]2．D [由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有：a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2a ＝b －2解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.]3．C [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋a ，因为{a n }是等比数列，所以有3＋a ＝2，解得a ＝－1.故选C.] 4．C [∵数列{a n }的前n 项和S n 有最大值， ∴数列{a n }是递减的等差数列． 又∵a 2 016＋a 2 017<0，a 2 016·a 2 017<0， ∴a 2 016>0，a 2 017<0，∴数列的前2 016项为正数，从第2 017项开始为负数， 由求和公式和性质可得S 4 031＝4 031a 2 016>0，S 4 032＝2 016(a 2 016＋a 2 017)<0， ∴S n 取最小正值时n ＝4 031.] 5．A [设等比数列{a n }的公比为q .∵a 2＝2，a 4＝8，a n >0，∴a 1q ＝2，a 1q 3＝8， 解得q ＝2，a 1＝1.∴a n ＝2n －1.∴数列{log 2a n }的前n 项和log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝log 2(1×2×22×…×2n －1) ＝(1)22log 2n n -＝n (n －1)2.故选A.]6．D [因为a n ＝n (a n ＋1－a n )， 所以a n ＋1a n ＝n ＋1n，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×32×21×1＝n .]7．B [∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，整理得a 1＝－53d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d3，∴dS 4＝－2d 23＜0，故选B.]8．B [因为S n ＝2a n －1， 所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1， 整理得a n ＝2a n －1，又因为a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，所以{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. 而a n n ≤2，即2n －1≤2n ， 所满足的正整数n ＝1,2,3,4.]9．D [∵{a n }是公差为π8的等差数列，∴a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝2a 3，且a 1＝a 3－π4，a 2＝a 3－π8，a 4＝a 3＋π8，a 5＝a 3＋π4.∵f (x )＝2x －cos x ，∴f (a 1)＋f (a 5)＝2a 1－cos a 1＋2a 5－cos a 5 ＝2(a 1＋a 5)－(cos a 1＋cos a 5)＝4a 3－⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫a 3－π4＋cos ⎝⎛⎭⎫a 3＋π4 ＝4a 3－2cos a 3cos π4＝4a 3－2cos a 3，f (a 2)＋f (a 4)＝2a 2－cos a 2＋2a 4－cos a 4 ＝2(a 2＋a 4)－(cos a 2＋cos a 4)＝4a 3－⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫a 3－π8＋cos ⎝⎛⎭⎫a 3＋π8 ＝4a 3－2cos a 3cos π8.∴f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＋f (a 5) ＝10a 3－cos a 3－(2＋2cos π8)cos a 3＝10a 3－⎝⎛⎭⎫1＋2＋2cos π8cos a 3＝5π，∴a 3＝π2，∴f (a 3)＝2×π2－cos π2＝π.∴a 1＝π2－π4＝π4，a 5＝π2＋π4＝34π.∴[f (a 3)]2－a 1a 5＝π2－34π×π4＝1316π2.]10．B [依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列．又b 1b 2b 3…b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2.b 8＋b 92≥2b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92，即该数列为常数列时取等号．] 11．A [设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ， a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1， ∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1.]12．B [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n ， 又a 1＝S 1＝21＋1－2＝2＝21，也满足上式， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . 设T n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b na n＝221＋522＋823＋…＋3n －12n ， 2T n ＝2＋521＋822＋…＋3n －12n －1，两式相减得T n ＝2＋321＋322＋…＋32n －1－3n －12n ，T n ＝2＋32⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－3n －12n ＝5－3n ＋52n .]13．10 100解析 由x 2－x <2nx (n ∈N *)得0<x <2n ＋1， 因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列， 所以S 100＝100×(2＋200)2＝10 100.14.2011解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(2＋n )(n －1)2，即a n ＝n (n ＋1)2，令b n ＝1a n，故b n ＝2n (n ＋1)＝2⎣⎡⎦⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎣⎡⎦⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 15．4解析 ∵a 1≠0，a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是等比数列．∴R n＝2112182(13)(13)(13n n na a a ---•＝2222(3)82(3)813(1n n n -+-＝11－3×2281(382)3nn +-≤11－3(281－82) ＝643－1. 当且仅当23n ＝2813n ⇒3n ＝81⇒n ＝4时等号成立．所以数列{R n }的最大项为第4项． 16．(0，＋∞)解析 a 1＝a ，a 2＝1＋1a ＝a ＋1a ，a 3＝1＋aa ＋1＝2a ＋1a ＋1，a 4＝3a ＋22a ＋1.由题意对任意的自然数n≥4，恒有32<a n <2，所以32<1＋1a n －1<2⇒1<a n －1<2，要使n ≥4都成立，只需32<a 4<2成立，所以32<3a ＋22a ＋1<2， 解得a >0.17．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.18．解 (1)由题意得a 2＝3，a 5＝9， 公差d ＝a 5－a 25－2＝2，所以a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1， 由S n ＝1－12b n 得，当n ＝1时b 1＝23，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝12b n －1－12b n ，得b n ＝13b n －1，所以数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列，所以b n ＝23n .(2)c n ＝a n ·b n ＝4n －23n ，T n ＝4×1－231＋4×2－232＋4×3－233＋…＋4×(n －1)－23n －1＋4n －23n ， 3T n ＝4×1－230＋4×2－231＋4×3－232＋…＋4×(n －1)－23n －2＋4n －23n －1， 两式相减得：2T n ＝2＋431＋432＋…＋43n －1－4n －23n＝4－4n ＋43n ，所以T n ＝2－2n ＋23n .19．解 (1)由题意，得S 1＝p －1，S 2＝4p －2. 因为a 2＝5，S 2＝a 1＋a 2，所以S 2＝4p －2＝p －1＋5，解得p ＝2. 所以S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1，得a n ＝(2n 2－n )－[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 验证知n ＝1时，a 1符合上式，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)，得T n ＝b 1(1－2n )1－2＝b 1(2n －1)． 因为T 5<S 5，所以b 1(25－1)<2×52－5，解得b 1<4531.又因为b 1≠0， 所以b 1的取值范围是(－∞，0)∪(0，4531)． 20．解 (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －12(n ≥2)， 两式作差得：a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1a n＝2(n ≥2)， 又a 1＝S 1＝a 2－12，得a 2＝1， ∴a 2a 1＝2， ∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列， 则a n ＝12·2n －1＝2n －2， S n ＝a n ＋1－12＝2n －1－12. (2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n －2＝n －2， ∴c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ， 即c n (n ＋1)(n ＋2)＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2， c n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋2n －2＝1n ＋1－1n ＋2＋2n －2， T n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)＋(2－1＋20＋…＋2n －2) ＝12－1n ＋2＋12(1－2n )1－2＝12－1n ＋2－12＋2n －1 ＝2n －1－1n ＋2. 由4T n >2n ＋1－1504，得 4(2n －1－1n ＋2)>2n ＋1－1504，即4n ＋2<1504，n >2 014. ∴使4T n >2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值为2 015. 21．解 (1)设2015年年初机动车保有量为a 1万辆，以后各年年初机动车保有量依次为a 2万辆，a 3万辆，…，每年新增机动车10万辆， 则a 1＝600，a n ＋1＝0.95a n ＋10.又a n ＋1－200＝0.95(a n －200)，且a 1－200＝600－200＝400， 所以数列{a n －200}是以400为首项，0.95为公比的等比数列． 所以a n －200＝400·0.95n －1，即a n ＝400·0.95n －1＋200.所以2019年初机动车保有量为a 5＝400×0.954＋200＝524万辆．(2)由题意可知，a n ＝400·0.95n －1＋200<500，即0.95n －1<0.75，所以n >lg 0.75lg 0.95＋1＝7.5， 故至少需要8年的时间才能实现目标．22．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. 故a n ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n .(2)由(1)得，b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.若q ≠1，将上式两边同乘以q 有qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n . 两式相减得到(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1＝nq n －q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1. 于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2. 若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n (n ＋1)2，q ＝1，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.。
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高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测三第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·长春质量检测)已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＋1x －2≥0，则P ∩(∁R Q )等于( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，－1] C ．(－1,0)D ．[0,2]2．(2015·长春质量检测)已知命题p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，命题q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2015·深圳三模)已知函数g (x )是偶函数，f (x )＝g (x －2)，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足(x －2)f ′(x )>0.若1<a <3，则( ) A ．f (4a )<f (3)<f (log 3a ) B ．f (3)<f (log 3a )<f (4a ) C ．f (log 3a )<f (3)<f (4a ) D ．f (log 3a )<f (4a )<f (3)4．(2015·韶关调研)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数g (x )＝sin(2x＋φ)(0<φ<π2)的图象，则φ等于( )A.π3B.π4C.π6D.π125．(2015·潍坊高三质检)在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则三角形外接圆的半径为( ) A. 3 B ．2 C ．2 3D ．46．(2015·黄冈中学月考)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝1 B ．m ＋n ＝－1 C ．mn ＝1D ．mn ＝－17．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( ) A.33 B.36 C.63D.668．(2015·浏阳一中模拟)已知A (1,0)，曲线C ：y ＝e ax (a ∈Z )恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB →·AP →的最小值为2，则a 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．2D ．19．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π210．如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →的值是( ) A.32 B.52 C ．2 D ．311．(2015·烟台质检)△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n ，则cos A 等于( )A.12B.13C.16D.3312.对于向量P A i →(i ＝1,2，…，n )，把使得|P A 1→|＋|P A 2→|＋…＋|P A n →|取到最小值的点P 称为A i (i ＝1,2，…，n )的“平衡点”．如图，矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，延长BC 至点E ，使BC ＝CE ，连接AE ，分别交BD ，CD 于F ，G 两点，连接DE ，则下列结论中正确的是( ) A ．A ，C 的“平衡点”必为OB ．D ，C ，E 的“平衡点”为DE 的中点 C ．A ，F ，G ，E 的“平衡点”存在且唯一D ．A ，B ，E ，D 的“平衡点”必为F第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2015·池州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x <0，(x －1)2，x ≥0，若f (f (－2))>f (k )，则实数k 的取值范围为________________________________________________________________________ ________________.14．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间[π6，π2]上具有单调性，且f (π2)＝f (2π3)＝－f (π6)，则f (x )的最小正周期为________．15．(2015·湖北省教学合作联考)点O 是锐角△ABC 的外心，AB ＝8，AC ＝12，A ＝π3，若AO →＝xAB →＋yAC →，则2x ＋3y ＝________.16．(2015·青岛模拟)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是__________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2015·湖北十校联考)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．18．(12分)(2015·赣州市十二县联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)－cos 2x ＋a (a ∈R ，a 为常数)．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域．19.(12分)(2016·郑州质检)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数表达式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．20．(12分)(2015·怀化一模)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，向量b ＝(cos x ，－sin x )，f (x )＝a ·b . (1)求函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 的最小正周期和对称轴方程； (2)若x 是第一象限角且3f (x )＝－2f ′(x )，求tan(x ＋π4)的值．21.(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos(A ＋B )＋cos 2C ＝－32，c＝39，且a ＋b ＝9. (1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．22．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．答案解析1．D [由题意可知Q ＝{x |x ≤－1或x >2}，则∁R Q ＝{x |－1<x ≤2}，又因为P ＝{x |x ≥0}，所以P ∩(∁R Q )＝{x |0≤x ≤2}，故选D.]2．C [由p 成立，得a ≤1，所以綈p 成立时a >1.由q 成立，得a >1，则綈p 是q 的充要条件，故选C.]3．B [∵(x －2)f ′(x )>0，∴x >2时，f ′(x )>0，x <2时，f ′(x )<0.∴f (x )在(2，＋∞)上递增，在(－∞，2)上递减．∵g (x )是偶函数，∴g (x －2)关于x ＝2对称，即f (x )关于x ＝2对称． ∵1<a <3，∴f (3)<f (log 3a )<f (4a )．]4．C [由题意知g (x )＝sin 2(x ＋π12)＝sin(2x ＋π6)．又∵g (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π2)，∴φ＝π6.故选C.]5．B [在△ABC 中，∵b ＝2，A ＝120°， 三角形的面积S ＝3＝12bc ·sin A ＝c ·32，∴c ＝2＝b ，故B ＝12(180°－A )＝30°.再由正弦定理可得b sin B ＝2R ＝csin 30°＝4，∴三角形外接圆的半径R ＝2，故选B.] 6．C [由AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1， 且A 、B 、D 三点共线，所以存在非零实数λ，使AB →＝λAD →， 即i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，所以⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝1，m ＝λ，所以mn ＝1.]7．D [设BD ＝1，则AB ＝AD ＝32，BC ＝2. 在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝13，所以sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A ，得sin C ＝66，故选D.] 8．D [根据题意得B (0,1)，设P (x ，e ax )，则AB →·AP →＝(－1,1)·(x －1，e ax )＝－x ＋1＋e ax ≥2⇒e ax －x －1≥0，即函数f (x )＝e ax －x －1有最小值0.因为f ′(x )＝a e ax －1，所以当a ≤0时f (x )无最小值；当a >0时，有x ＝－ln a a 使f (x )＝0，即1a ＋ln a a －1＝0⇒ln a ＝a －1，显然a ＝1是此方程的解，故选D.]9．B [∵α，β∈(0，π2)，∴－β∈(－π2，0)，α－β∈(－π2，π2)．∵tan α＝1＋sin βcos β，∴sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β－cos αsin β＝cos α. 化简，得sin(α－β)＝cos α. ∵α∈(0，π2)，∴cos α>0，sin(α－β)>0.∴α－β∈(0，π2)，得α－β＋α＝π2，即2α－β＝π2，故选B.]10．B [取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，则OD ⊥BC ，AD →＝12(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，所以AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC → ＝AD →·BC →＋DO →·BC → ＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →) ＝12(AC →2－AB →2)＝12×(32－22)＝52. 故选B.]11．C [∵m ∥n ，∴(3c －b )c ＝(a －b )(3a ＋3b )， 即bc ＝3(b 2＋c 2－a 2)， ∴b 2＋c 2－a 2bc ＝13，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝16.]12．D [根据“平衡点”的定义可知，A ，C 的“平衡点”为线段AC 上的任意一点，故A 错误；假设DC ＝3，CE ＝4，则DE ＝5，此时DE 的中点到D ，C ，E 的距离之和为152，点C到D ，C ，E 的距离之和为7,7<152，所以DE 的中点不是D ，C ，E 的“平衡点”，故B 错误；A ，F ，G ，E 的“平衡点”是线段FG 上的任意一点，故C 错误；A ，B ，E ，D 的“平衡点”必为F ，故D 正确．] 13．(log 129,4)解析 ∵f (f (－2))＝f (4)＝9， ∴f (k )<9.当k <0时，(12)k <9，解得log 129<k <0；当k ≥0时，(k －1)2<9，解得0≤k <4. 综上k ∈(log 129,4)．14．π解析 结合图象得T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，即T ＝π.15.53解析 如图，O 点在AB ，AC 上的射影是点D ，E ，它们分别为AB ，AC 的中点，依题意有AB →·AO →＝xAB →2＋yAC →·AB →＝64x ＋48y ＝32， 即4x ＋3y ＝2，同理AC →·AO →＝xAB →·AC →＋yAC →2＝48x ＋144y ＝72， 即2x ＋6y ＝3，综上，将两式相加可得：6x ＋9y ＝5，即2x ＋3y ＝53.16．(－∞，2ln 2－2]解析 由原函数有零点，可转化为方程e x －2x ＋a ＝0有解，即方程a ＝2x －e x 有解． 令函数g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x .令g ′(x )>0，得x <ln 2，令g (x )′<0，得x >ln 2.所以g (x )在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g (x )的最大值为g (ln 2)＝2ln 2－2.因为a 的取值范围就是函数g (x )的值域，所以a 的取值范围为(－∞，2ln 2－2]．17．解 (1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝(12)x ＋(13)x ，则g (x )在(－∞，1]上单调递减，∴m≤g(x)min＝g(1)＝12＋13＝56，故所求实数m的取值范围是(－∞，56]．18．解 (1)∵f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)－cos 2x ＋a ＝3sin 2x －cos 2x ＋a ＝2sin(2x －π6)＋a .∴f (x )的最小正周期T ＝π.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(2)当x ∈[0，π2]时，则2x －π6∈[－π6，5π6]，∴sin(2x －π6)∈[－12，1]，∴f (x )值域为[a －1，a ＋2]．19．解 (1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2； 当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52，故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设鱼的年生长量为f (x )千克/立方米， 依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20，当0<x ≤4时，f (x )为增函数， 故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋1008，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米． 20．解 (1)∵g (x )＝f (x )＋sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)，∴函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 最小正周期T ＝2π2＝π.当2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )时，x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．∴函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 的对称轴方程为x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．(2)由3f (x )＝－2f ′(x )，得3cos 2x ＝4sin 2x . 3cos 2x －3sin 2x －8sin x cos x ＝0. (3cos x ＋sin x )(cos x －3sin x )＝0. 又x 是第一象限角， ∴cos x ＝3sin x ，故tan x ＝13.∴tan(x ＋π4)＝tan x ＋tanπ41－tan x tan π4＝1＋131－13＝2.21．解 (1)由已知得－2cos C ＋2cos 2C －1＝－32，所以4cos 2C －4cos C ＋1＝0， 解得cos C ＝12，所以C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即39＝a 2＋b 2－ab ，①又a ＋b ＝9，所以a 2＋b 2＋2ab ＝81，② 由①②得ab ＝14，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×14×32＝732.22．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23－1， 解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c .则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ， 有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立． 只要h (2)≥0，解得c ≥11， 所以c 的取值范围是[11，＋∞)．。
数学高三滚动测试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为（）A. -5B. -2C. 1D. 42. 下列不等式中，正确的是（）A. 3x > 2x + 1B. 3x ≤ 2x + 1C. 3x ≥ 2x + 1D. 3x < 2x + 13. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 2，a3 = 8，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1 = 3，b3 = 27，则q的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 125. 若复数z满足|z - 2| = 3，则z的取值范围是（）A. z = 5B. z = 1C. z = 0D. z = -16. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴为（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 47. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 2，S5 = 50，则公差d为（）A. 4B. 5C. 6D. 78. 已知函数f(x) = |x - 2|，则f(x)在x = 2处的导数为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在9. 若复数z满足|z - 1| = 2，则z的取值范围是（）A. z = 3B. z = 1C. z = 0D. z = -110. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，则f(x)在x = 1处的切线斜率为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 3，a4 = 11，则d的值为______。
12. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1 = 4，b3 = 64，则q的值为______。
13. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3)的值为______。
14. 已知复数z满足|z - 1| = 2，则z的取值范围是______。
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高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝∅C ．M ⊇ND ．M ∪N ＝R2．(2015·广东阳东一中联考)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC →<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )A ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x <2B ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0≤2C ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x ≤2D ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0<25．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( ) A ．6 B ．－6 C ．0D ．126．(2014·上海)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]7．(2015·呼伦贝尔二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( ) A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)8．(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )等于( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－149．(2015·广东广雅中学联考)对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }，已知M ＝{x |a <x <b }，N ＝{x |c <x <d }，其中a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0，则M N 等于( )A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a ]∪[b ，d )C ．(a ，c ]∪[d ，b )D ．(c ，a )∪(d ，b )10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－1,0) C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)11．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－4,3]B ．[－1,6]C ．[－1,4)D ．[－4,6]12．(2015·重庆模拟)对于函数f (x )＝4x －m ·2x ＋1，若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≤12B ．m ≥12C ．m ≤1D ．m ≥1第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f (294)＋f (416)＝________. 14．(2015·江苏时杨中学月考)已知m ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．15．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．16．(2015·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________； (2)若f (x )恰有2个零点，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2015·珠海六校第二次联考)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}． (1)求集合A 和∁R B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．18．(12分)(2015·福建八县(市)一中联考)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19.(12分)(2015·德州第一中学月考)已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )．(1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．20．(12分)设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )·(x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．21．(12分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f (t )(万人)与时间t (天)的函数关系近似地满足f (t )＝4＋1t ，人均消费g (t )(元)与时间t (天)的函数关系近似地满足g (t )＝115－|t －15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N )的函数关系式； (2)求该城市的旅游日收益的最小值．22．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋2是奇函数．(1)求b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性并证明；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．答案解析1．D [集合M 是函数y ＝lg(2－x )的定义域，所以M ＝(－∞，2)，集合N 为函数y ＝2x －1的值域，所以N ＝(0，＋∞)，所以M ∪N ＝R .]2．C [∵⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，∴x >－1且x ≠1，所以C 为正确选项，故选C.]3．A [由于在△ABC 中，AB →·AC →<0，可得A 为钝角，故△ABC 是钝角三角形，反之不成立，可能是B ，C 之一为钝角．故p 是q 的充分不必要条件．]4．C [特称命题的否定是全称命题，改量词并否定结论，所以C 正确．] 5．B [作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－a2]上单调递减，在[－a2，＋∞)上单调递增．又已知函数f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)， 所以－a2＝3，解得a ＝－6.]6．D [∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2， 又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0. 当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2， 即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2， ∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.]7．C [设函数h (x )＝f (x )＋x ，当x ≤0时，h (x )＝x 是增函数，此时h (x )的值域是(－∞，0]； 当x >0时，h (x )＝e x ＋x 是增函数，此时h (x )的值域(1，＋∞)．综上，h (x )的值域是(－∞，0]∪(1，＋∞)．函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，即方程f (x )＋x －m ＝0有解，也即方程m ＝f (x )＋x 有解．故m 的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．]8．A [若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3,2a －1＝－1(无解)； 若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7， f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.]9．C [由新定义的概念可知当a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0时，a <c <d <b .再由题意可知M N ＝(a ，c ]∪[d ，b )，根据选项可知应为C.故选C.]10．B [函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点等价于函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x <0，－x 2－x ＋1，x ≥0的图象与直线y ＝－a 有3个不同的交点，作出图象，如图所示，可得当0<－a ≤1时，满足题意，故－1≤a <0.故选B.]11．B [由p ：－4<x －a <4成立，得a －4<x <a ＋4； 由q ：(x －2)(3－x )>0成立，得2<x <3，所以綈p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，綈q ：x ≤2或x ≥3，又綈p 是綈q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6，故答案为[－1,6]．]12．B [若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)， 则4－x 0－m ·2－x 0＋1＝－4x 0＋m ·2x 0＋1， 整理得：2m (2x 0＋2－x 0)＝4x 0＋4－x 0， 2m ＝4x 0＋4－x 02x 0＋2－x 0＝(2x 0＋2－x 0)2－22x 0＋2－x 0＝2x 0＋2－x 0－22x 0＋2－x 0，设2x 0＋2－x 0＝t (t ≥2)，2m ＝t －2t ，其在[2，＋∞)上为增函数，当t ＝2时，2m ＝1，m ＝12，所以m ≥12.]13.516解析 因为函数f (x )的周期是4， 则f (294)＝f (8－34)＝f (－34)，∵f (x )是奇函数，∴f (－34)＝－f (34)＝－34×14＝－316，f (416)＝f (8－76)＝f (－76)＝－f (76)＝－sin 7π6 ＝sin π6＝12，则f (294)＋f (416)＝－316＋12＝516.14．8或－83解析 若m >0，则f (2－m )＝3(2－m )－m ＝6－4m ，f (2＋m )＝－(2＋m )－2m ＝－2－3m ，∴6－4m ＝－2－3m ，解得m ＝8.若m <0，则f (2－m )＝－(2－m )－2m ＝－2－m ，f (2＋m )＝3(2＋m )－m ＝6＋2m ，∴－2－m ＝6＋2m ，解得m ＝－83.15．[－8，－6]解析 设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6.16．(1)－1 (2)⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1,1)， 当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2) ＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )min ＝－1.(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点． 因此a ≥2满足题意．当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2.17．解 (1)∵|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤2＋a ， ∴集合A ＝{x |－2＋a ≤x ≤2＋a }， ∵lg(x 2＋6x ＋9)>0，∴x 2＋6x ＋9>1，∴集合B ＝{x |x <－4或x >－2}． ∴∁R B ＝[－4，－2]．(2)由A ⊆B ，得2＋a <－4或者－2<－2＋a . 解得a <－6或a >0，所以a 的取值范围为{a |a <－6或a >0}．18．解 (1)当a ＝1时，由x 2－4ax ＋3a 2<0，解得1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是(1,3)；由x －3x －2<0，解得2<x <3，即q 为真时，实数x 的取值范围是(2,3)．若p ∧q 为真，则p为真且q 为真，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0.当a >0时，p ：a <x <3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥3，解得1≤a ≤2；当a <0时，p ：3a <x <a ，而⎩⎨⎧3a ≤2，a ≥3无解，不合题意．所以实数a 的取值范围是[1,2]．19．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－2<x －1<2，－2<3－2x <2，解得12<x <52，∴函数g (x )的定义域为(12，52)．(2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0， ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．∵f (x )是奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)． 又∵f (x )在(－2,2)上单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x －1<2，－2<2x －3<2，x －1≥2x －3.解得12<x ≤2，∴g (x )≤0的解集为(12，2]．20．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0得－4<x <2， 即A ＝(－4,2)，∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)． y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x ＋1>0，即x >－1时y ≥2－1＝1， 此时x ＝0，符合要求；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3， 此时x ＝－2，符合要求． 所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， 所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)(ax －1a )(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2. 当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a 2}，不可能C ⊆∁R A ； 当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a 2}， 若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12， ∴－22≤a <0.故a 的取值范围为[－22，0)． 21．解 (1)由题意得，ω(t )＝f (t )·g (t )＝(4＋1t)(115－|t －15|)(1≤t ≤30，t ∈N )， 即ω(t )＝⎩⎨⎧ (4＋1t )(t ＋100)(1≤t <15，t ∈N )，(4＋1t )(130－t )(15≤t ≤30，t ∈N ).(2)①当1≤t <15，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t)(t ＋100) ＝4(t ＋25t )＋401≥4×225＋401＝441，当且仅当t ＝25t，即t ＝5时取等号，此时ω(t )取最小值，为441；②当15≤t ≤30，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(130－t )＝519＋(130t－4t )，易知ω(t )在[15,30]上单调递减，所以当t ＝30时，ω(t )取最小值，为40313. 因为40313<441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元． 22．解 (1)∵f (x )在定义域R 上是奇函数，∴f (0)＝0，即b －12＋2＝0，∴b ＝1. (2)由(1)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1. 设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12x 1＋1－12x 2＋1＝2x 2－2x 1(2x 1＋1)(2x 2＋1).∵函数y ＝2x 在R 上是增函数且x 1<x 2，∴2x 2－2x 1>0.又(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)∵f (x )是奇函数，∴不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∵f (x )为减函数，由上式推得t 2－2t >k －2t 2.即对一切t ∈R,3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13. ∴k 的取值范围是(－∞，－13)．。
滚动测试卷高三数学单元二
一、选择题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1在x=1处的切线斜率为：A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = Sn - Sn-1，则数列{an}是：A. 等差数列B. 等比数列C. 等差数列或等比数列D. 非等差数列且非等比数列3. 下列函数中，在其定义域内为增函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = 2^xC. f(x) = log2(x)D. f(x) = |x|4. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (3, -1)，则向量a·b的值为：A. 9B. 6C. -9D. -65. 圆的标准方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 4，则圆心坐标为：A. (2, 1)B. (2, -1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)6. 下列不等式中，恒成立的是：A. x^2 + 2x + 1 > 0B. x^2 - 2x + 1 > 0C. x^2 + 2x - 1 > 0D. x^2 - 2x - 1 > 07. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项a10的值为：A. 23B. 25C. 27D. 298. 已知等比数列{bn}的首项b1=1，公比q=2，则第5项b5的值为：A. 32B. 16C. 8D. 49. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x的图像与x轴的交点个数为：A. 1B. 2C. 3D. 410. 下列方程组中，无解的是：A. x + y = 2B. 2x - y = 4C. x + 2y = 6D. 3x - 4y = 8二、填空题（每题5分，共50分）11. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在x=2处的切线方程为________。
12. 数列{an}的前n项和为Sn，若an = Sn - Sn-1，则数列{an}的通项公式为________。
新高考高三滚动测试卷数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的图像与x轴的交点个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 9，S6 = 36，则该数列的公差d 为（）A. 2B. 3C. 4D. 63. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 不确定4. 下列函数中，在定义域内是单调递增的是（）A. f(x) = x^2 - 2x + 1B. f(x) = 2x - 3C. f(x) = x^3D. f(x) = -x^2 + 4x5. 已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则该数列的第5项a5为（）A. 18B. 54C. 162D. 4866. 若log2(3x - 1) = log2(4 - x)，则x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/58. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[1, 3]上单调递减，则该函数的对称轴为（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 49. 已知函数f(x) = log2(x - 1) + log2(3 - x)，则该函数的定义域为（）A. (1, 3)B. (1, 2)C. (2, 3)D. (2, 4)10. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 400，则该数列的首项a1为（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 2，则f(x)的最小值为______。
12. 已知等比数列{an}的首项a1 = 3，公比q = 2，则该数列的第4项a4为______。
步步高《单元滚动检测卷》高考数学(理,京津地区)精练：滚动检测一(含答案解析)
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝∅C ．M ⊇ND ．M ∪N ＝R2．(2015·广东阳东一中联考)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC →<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )A ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x <2B ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0≤2C ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x ≤2D ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0<25．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( ) A ．6 B ．－6 C ．0D ．126．(2015·呼伦贝尔二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( ) A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)7．(2015·广东广雅中学联考)对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }，已知M ＝{x |a <x <b }，N ＝{x |c <x <d }，其中a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0，则M N 等于( ) A ．(a ，d )∪(b ，c ) B ．(c ，a ]∪[b ，d ) C ．(a ，c ]∪[d ，b )D ．(c ，a )∪(d ，b )8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－1,0) C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______________．10．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．11．(2015·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.12．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f (294)＋f (416)＝________. 13．(2015·江苏时杨中学月考)已知m ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．14．(2015·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)(2015·珠海六校第二次联考)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}． (1)求集合A 和∁R B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．16．(13分)(2015·福建八县(市)一中联考)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.(13分)(2015·德州第一中学月考)已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )．(1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．18．(13分)设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )·(x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．19．(14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f (t )(万人)与时间t (天)的函数关系近似地满足f (t )＝4＋1t ，人均消费g (t )(元)与时间t (天)的函数关系近似地满足g (t )＝115－|t －15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N )的函数关系式； (2)求该城市的旅游日收益的最小值．20．(14分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋2是奇函数．(1)求b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性并证明；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．答案解析1．D [集合M 是函数y ＝lg(2－x )的定义域，所以M ＝(－∞，2)，集合N 为函数y ＝2x －1的值域，所以N ＝(0，＋∞)，所以M ∪N ＝R .]2．C [∵⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，∴x >－1且x ≠1，所以C 为正确选项，故选C.]3．A [由于在△ABC 中，AB →·AC →<0，可得A 为钝角，故△ABC 是钝角三角形，反之不成立，可能是B ，C 之一为钝角．故p 是q 的充分不必要条件．]4．C [特称命题的否定是全称命题，改量词并否定结论，所以C 正确．] 5．B [作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－a2]上单调递减，在[－a2，＋∞)上单调递增．又已知函数f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)， 所以－a2＝3，解得a ＝－6.]6．C [设函数h (x )＝f (x )＋x ，当x ≤0时，h (x )＝x 是增函数，此时h (x )的值域是(－∞，0]； 当x >0时，h (x )＝e x ＋x 是增函数，此时h (x )的值域(1，＋∞)． 综上，h (x )的值域是(－∞，0]∪(1，＋∞)．函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，即方程f (x )＋x －m ＝0有解，也即方程m ＝f (x )＋x 有解．故m 的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．]7．C [由新定义的概念可知当a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0时，a <c <d <b .再由题意可知M N ＝(a ，c ]∪[d ，b )，根据选项可知应为C.故选C.]8．B [函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点等价于函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x <0，－x 2－x ＋1，x ≥0的图象与直线y ＝－a 有3个不同的交点，作 出图象，如图所示，可得当0<－a ≤1时，满足题意，故－1≤a <0.故选B.] 9．[－1,6]解析 由p ：－4<x －a <4成立，得a －4<x <a ＋4； 由q ：(x －2)(3－x )>0成立，得2<x <3，所以綈p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，綈q ：x ≤2或x ≥3，又綈p 是綈q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6，故答案为[－1,6]．10．[－8，－6]解析 设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6. 11．－74解析 若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3,2a －1＝－1(无解)；若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7， f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.12.516解析 因为函数f (x )的周期是4， 则f (294)＝f (8－34)＝f (－34)，∵f (x )是奇函数，∴f (－34)＝－f (34)＝－34×14＝－316，f (416)＝f (8－76)＝f (－76)＝－f (76)＝－sin 7π6 ＝sin π6＝12，则f (294)＋f (416)＝－316＋12＝516.13．8或－83解析 若m >0，则f (2－m )＝3(2－m )－m ＝6－4m ，f (2＋m )＝－(2＋m )－2m ＝－2－3m ，∴6－4m ＝－2－3m ，解得m ＝8.若m <0，则f (2－m )＝－(2－m )－2m ＝－2－m ，f (2＋m )＝3(2＋m )－m ＝6＋2m ，∴－2－m ＝6＋2m ，解得m ＝－83.14．(1)－1 (2)⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1,1)， 当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )min ＝－1.(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点． 因此a ≥2满足题意．当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2.15．解 (1)∵|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤2＋a ， ∴集合A ＝{x |－2＋a ≤x ≤2＋a }， ∵lg(x 2＋6x ＋9)>0，∴x 2＋6x ＋9>1，∴集合B ＝{x |x <－4或x >－2}． ∴∁R B ＝[－4，－2]．(2)由A ⊆B ，得2＋a <－4或者－2<－2＋a . 解得a <－6或a >0，所以a 的取值范围为{a |a <－6或a >0}．16．解 (1)当a ＝1时，由x 2－4ax ＋3a 2<0，解得1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是(1,3)；由x －3x －2<0，解得2<x <3，即q 为真时，实数x 的取值范围是(2,3)．若p ∧q 为真，则p 为真且q 为真，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0.当a >0时，p ：a <x <3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥3，解得1≤a ≤2；当a <0时，p ：3a <x <a ，而⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥3无解，不合题意．所以实数a 的取值范围是[1,2]．17．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－2<x －1<2，－2<3－2x <2，解得12<x <52，∴函数g (x )的定义域为(12，52)．(2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0，∴f (x －1)≤－f (3－2x )．∵f (x )是奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)． 又∵f (x )在(－2,2)上单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x －1<2，－2<2x －3<2，x －1≥2x －3.解得12<x ≤2，∴g (x )≤0的解集为(12，2]．18．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0得－4<x <2， 即A ＝(－4,2)，∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)． y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1， 当x ＋1>0，即x >－1时y ≥2－1＝1， 此时x ＝0，符合要求；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3， 此时x ＝－2，符合要求． 所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， 所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)(ax －1a )(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2.当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a 2}，不可能C ⊆∁R A ；当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a 2}，若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12，∴－22≤a <0.故a 的取值范围为[－22，0)． 19．解 (1)由题意得，ω(t )＝f (t )·g (t )＝(4＋1t)(115－|t －15|)(1≤t ≤30，t ∈N )，即ω(t )＝⎩⎨⎧(4＋1t)(t ＋100)(1≤t <15，t ∈N )，(4＋1t )(130－t )(15≤t ≤30，t ∈N ).(2)①当1≤t <15，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t)(t ＋100)＝4(t ＋25t )＋401≥4×225＋401＝441，当且仅当t ＝25t ，即t ＝5时取等号，此时ω(t )取最小值，为441；②当15≤t ≤30，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(130－t )＝519＋(130t －4t )，易知ω(t )在[15,30]上单调递减，所以当t ＝30时，ω(t )取最小值，为40313.因为40313<441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元．20．解 (1)∵f (x )在定义域R 上是奇函数， ∴f (0)＝0，即b －12＋2＝0，∴b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1. 设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12x 1＋1－12x 2＋1＝2x 2－2x 1(2x 1＋1)(2x 2＋1). ∵函数y ＝2x 在R 上是增函数且x 1<x 2， ∴2x 2－2x 1>0.又(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)∵f (x )是奇函数，∴不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∵f (x )为减函数，由上式推得t 2－2t >k －2t 2.即对一切t ∈R,3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.∴k 的取值范围是(－∞，－13)．。
2021《单元滚动检测卷》高考复习数学(理)(北师大全国)精练十 统计与统计案例
高三单元滚动检测卷·数学考生留意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。
3．本次考试时间120分钟，满分150分。
单元检测十 统计与统计案例第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．为规范学校办学，省训练厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名同学，现将该班同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为( ) A ．13 B ．19 C ．20 D ．512．从N 个编号中抽取n 个号码入样，若接受系统抽样方法进行抽取，则分段间隔应为( ) A.Nn B ．n C ．[N n]D ．[Nn]＋13．已知一组数据：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7构成公差为d 的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d 等于( ) A ．±14B ．±12C ．±128D ．无法求解4．高二其次学期期中考试，依据甲、乙两个班级同学数学考试成果优秀和不优秀统计后，得到如下列联表： 班级与成果列联表优秀 不优秀 总计 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计197190则随机变量χ2的值约为( )A ．0.600B ．0.828C ．2.712D ．6.0045．从某项综合力气测试中抽取100人的成果，统计如下表，则这100人成果的标准差为( )分数 5 4 3 2 1 人数2010303010A. 3 B ．3 C.2105 D.856.如图是一次选秀节目上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为85，则a 2＋b 2的最小值是( )A ．24B ．32C ．36D ．487．(2022·重庆)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．y ＝0.4x ＋2.3 B ．y ＝2x －2.4 C ．y ＝－2x ＋9.5D ．y ＝－0.3x ＋4.48．某校为了争辩同学的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有多大的把握认为“同学性别与支持该活动有关系．”( ) 附：P (χ2≥k 0)0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 02.7063.8415.0246.63510.828A.0.1% B ．1% C ．99%D ．99.9%9．一个频率分布表(样本容量为30)不当心被损坏了一部分(如图)，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估量样本分别在[40,50)，[50,60)上的数据个数可能是( )A ．7和6B ．6和9C ．8和9D ．9和1010．对四组数据进行统计，获得图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 311．(2021·驻马店模拟)中心电视台为了调查近三年的春晚节目中各类节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从2011年至2021年春晚的50个歌舞类节目，40个戏曲类节目，30个小品类节目中抽取样本进行调查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有27个，则样本容量为( ) A ．36 B ．35 C ．32 D ．30 12．(2021·蚌埠模拟)给出以下命题： ①若p 或q 为假命题，则p 与q 均为假命题；②对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i ) (i ＝1,2，…，8)，其线性回归方程是y ＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ＝14；③对于分类变量X 与Y 的随机变量χ2来说，χ2越小，“X 与Y 有关联”的把握程度越大； ④已知x －12－x ≥0，则函数f (x )＝2x ＋1x 的最小值为16.其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．从某中学高一班级中随机抽取100名同学，将他们的成果(单位：分)数据绘制成频率分布直方图(如图)．则这100名同学成果的平均数，中位数分别为________．14．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3 000件，依据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别 A B C 产品数量(件) 1 300 样本容量(件)130由于不当心，表格中A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，依据以上信息，可得C 产品的数量是________件．15．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：时间x 1 2 3 4 5 命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，猜想小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．16．关于统计数据的分析，有以下几个结论： ①一组数不行能有两个众数；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；③调查剧院中观众观看感受时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查，属于分层抽样； ④一组数据的方差确定是正数；⑤如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段大路时的时速频率分布直方图，依据这个直方图，可以得到时速在[50,60)的汽车大约是60辆，则这五种说法中错误的是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2021·济南模拟)从某高校高三班级800名男生中随机抽取50名同学测量其身高，据测量，被测同学的身高全部在155 cm 到195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，其次组[160,165)，…，第八组[190,195]，下图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数相同，第七组与第六组的人数差恰好为第八组与第七组的人数差．求下列频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图．频率分布表：分组频数频率频率/组距…………[180,185)x y z[185,190)m n p…………18．(12分)(2021·江西八所重点中学联考)“双节”期间，高速大路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速大路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估量值；(2)若从车速在[60,70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65,70)内的车辆恰有一辆的概率．19．(12分)(2022·课标全国Ⅱ)某地区2007年至2021年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120222021年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化状况，并猜想该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估量公式分别为:b＝∑i＝1n(t i－t)(y i－y)∑i＝1n(t i－t)2，a＝y－b t.20．(12分)为使同学更好地了解中华民族宏大复兴的历史学问，某校组织了一次以“我的梦，中国梦”为主题的学问竞赛，每班选25名同学参与竞赛，成果分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某班级的一班和二班的成果整理并绘制成统计图：请依据以上供应的信息解答下列问题：(1)把一班竞赛成果统计图补充完整；(2)写出下表中a，b，c的值.平均数(分)中位数(分)众数(分)一班a b90二班87.680c(3)①从平均数和中位数方面来比较一班和二班的成果；②从平均数和众数方面来比较一班和二班的成果；③从B级以上(包括B级)的人数方面来比较一班和二班的成果．21．(12分)某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x之间的一组数据如下：已知：∑7i ＝1x 2i ＝280，∑7i ＝1y 2i ＝45 309，∑i ＝1x i y i ＝3 487. (1)求x ，y ；(2)推断纯利润y 与每天销售件数x 之间是否线性相关，假如线性相关，求出线性回归方程．22．(12分)(2021·沈阳质量监测二)在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题状况进行统计，如下表：(1)以得到如下2×2列联表：(2)在原统计结果中，假如不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈，已知这名学委和两名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中． (i)求在这名学委被选中的条件下，两名数学课代表也被选中的概率； (ii)记抽取到数学课代表的人数为X ，求X 的分布列及均值EX . 下面临界值表仅供参考：(参考公式：χ2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ))答案解析1．C [抽样间隔为46－33＝13，故另一位同学的编号为7＋13＝20，选C.] 2．C3．B [这组数据的平均数为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 77＝7a 47＝a 4.又由于这组数据的方差等于1，所以17[(a 1－a 4)2＋(a 2－a 4)2＋(a 3－a 4)2＋(a 4－a 4)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 4)2＋(a 7－a 4)2]＝(－3d )2＋(－2d )2＋(－d )2＋0＋(d )2＋(2d )2＋(3d )27＝1.即4d 2＝1， 解得d ＝±12.]4．A [由题意知a ＝11，b ＝34，c ＝8，d ＝37，n ＝90， 则χ2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )的值约为0.600，故选A.]5．C [x ＝20×5＋10×4＋30×3＋30×2＋10×1100＝3，s ＝1100[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2] ＝1100(80＋10＋30＋40)＝ 160100＝41010＝2105.] 6．B [依据题意，得4＋a ＋6＋b ＋75＝5，得a ＋b ＝8.方法一 由b ＝8－a ，得a 2＋b 2＝a 2＋(8－a )2＝2a 2－16a ＋64， 其中a ，b 满足0≤a ≤9,0≤b ≤9， 所以0≤a ≤9,0≤8－a ≤9， 即0≤a ≤8且a 是整数，设函数f (a )＝2a 2－16a ＋64，分析知当a ＝4时， f (a )取得最小值32，所以a 2＋b 2的最小值是32.故选B.方法二 由a ＋b ＝8，且a ，b ≥0， 得8≥2ab ，故ab ≤16，则a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥64－32＝32， 当且仅当a ＝b ＝4时等号成立， 所以a 2＋b 2的最小值是32.]7．A [由于变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排解选项C 和D.由于样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)分别代入选项A 和B 中的直线方程进行检验，可以排解B ，故选A.]8．C [由于7.069与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“同学性别与支持该活动有关系”，选C.] 9．B [因样本中数据在[20,60)上的频率为0.8， 则样本中数据在[20,60)上的频数为30×0.8＝24. 又由于样本中数据在[20,40)上的频数为4＋5＝9， 所以样本在[40,60)上的数据的个数为24－9＝15. 由选项知B 符合．]10．A [易知题中图(1)与图(3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线四周，则r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1.]11．A [设从30个小品类节目中抽取x 个，则有x 30＝2750＋40，解得x ＝9.则27＋9＝36，所以样本容量为36.]12．B [①正确．②中a ＝18，所以②不正确．③中χ2越小，“X 与Y 有关联”的把握程度越小，所以③不正确．由x －12－x ≥0可得1≤x <2，由于f (x )＝2x ＋1x ≥22＝4，当且仅当x ＝1时取等号，所以④不正确．]13．125,124解析 由图可知(a ＋a －0.005)×10＝1－(0.010＋0.015＋0.030)×10，解得a ＝0.025， 则x ＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125. 中位数在120～130之间，设为x ，则0.01×10＋0.03×10＋0.025×(x －120)＝0.5，解得x ＝124. 14．800解析 设C 产品的数量为x ，C 产品的样本容量为a ， 则A 产品的数量为1 700－x ， A 产品的样本容量为10＋a ，由分层抽样的定义可知：1 700－x a ＋10＝x a ＝1 300130，∴x ＝800.15．0.5 0.53解析 平均投篮命中率y ＝15(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，而x ＝3.∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝(－2)×(－0.1)＋(－1)×0＋0×0.1＋1×0.1＋2×(－0.1)＝0.1，∑i ＝15(x i －x )2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10，于是b ＝0.01，a ＝y －b x ＝0.47，∴y ＝0.01x ＋0.47，令x ＝6，得y ＝0.53. 16．①③④解析 一组数中可以有两个众数，故①错误；依据方差的计算法可知②正确；③属于简洁随机抽样，错误；④错误，由于方差可以是零；⑤正确．17．解 由频率分布直方图可知前五组的频率和是 (0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82， 第八组的频率是0.008×5＝0.04，所以第六、七组的频率和是1－0.82－0.04＝0.14，所以第八组的人数为50×0.04＝2，第六、七组的总人数为50×0.14＝7. 由已知得x ＋m ＝7，m －x ＝2－m ， 解得x ＝4，m ＝3.所以y ＝0.08，n ＝0.06，z ＝0.016，p ＝0.012.补充完成频率分布直方图如图所示．18．解 (1)众数的估量值为77.5，设中位数的估量值为x ，则0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(x －75)＝0.5，解得x ＝77.5，即中位数的估量值为77.5.(2)从题图中可知，车速在[60,65)内的车辆数为0.01×5×40＝2，车速在[65,70)内的车辆数为0.02×5×40＝4，记车速在[60,65)内的两辆车为a ，b ，车速在[65,70)内的四辆车为c ，d ，e ，f ，则全部基本大事有 (a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )， (b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )， (c ，d )，(c ，e )，(c ，f )， (d ，e )，(d ，f )， (e ，f )， 共15个，其中车速在[65,70)内的车辆恰有一辆的大事有：(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，共8个．所以若从车速在[60,70)内的车辆中任抽取2辆，则车速在[65,70)内的车辆恰有一辆的概率为P ＝815.19．解 (1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑i ＝17(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝1428＝0.5， a ＝y －bt ＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求线性回归方程为 y ＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2007年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2021年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ＝0.5×9＋2.3＝6.8，故猜想该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元． 20．解 (1)25－6－12－5＝2(人)．(2)a ＝87.6，b ＝90，c ＝100.(3)①一班和二班平均数相等，一班的中位数大于二班的中位数，故一班的成果好于二班． ②一班和二班平均数相等，一班的众数小于二班的众数，故二班的成果好于一班； ③B 级以上(包括B 级)一班18人，二班12人， 故一班的成果好于二班．21．解 (1)x ＝17(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，y ＝17(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.(2)依据已知∑7i ＝1x 2i ＝280，∑7i ＝1y 2i ＝45 309， ∑7i ＝1x i y i ＝3 487，得相关系数r ＝3 487－7×6×79.86(280－7×62)(45 309－7×79.862)≈0.973.由于0.973>0.75，所以纯利润y 与每天销售件数x 之间具有显著的线性相关关系． 利用已知数据可求得线性回归方程为 y ＝4.75x ＋51.36. 22．解 (1)由题意得 χ2＝42×(16×12－8×6)224×18×20×22＝25255≈4.582>3.841. 所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关． (2)由题意可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学． (i)令大事A 为“这名学委被选中”；大事B 为“两名数学课代表被选中”， 则P (A ∩B )＝C 33C 318，P (A )＝C 217C 318.所以P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝C 33C 217＝217×16＝1136.另解：令大事A 为“在这名学委被选中的条件下，两名数学课代表也被选中”，则P (A )＝C 22C 217＝217×16＝1136.(ii)由题意知X 的可能取值有0,1,2， 依题意P (X ＝0)＝C 316C 318＝3551，P (X ＝1)＝C 216C 12C 318＝517，P (X ＝2)＝C 116C 22C 318＝151.从而X 的分布列为于是EX ＝0×3551＋1×517＋2×151＝1751＝13.。
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高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测九 平面解析几何第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积最大时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α的值为________．2．(·南京模拟)已知点P (x ，y )在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q (x ′，y ′)＝(x ＋y ，xy )的轨迹是__________．3．(·西安质检)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是___________．4．(·镇江模拟)已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为________．5．若AB 是过椭圆x 225＋y 216＝1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为________．6．(·武汉调研)已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为________．7．(·北京海淀区期末练习)双曲线C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰好为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________．8．点M (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2内异于圆心的一点，则直线ax ＋by －r 2＝0与圆的交点的个数是________．9．(·福州质检)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y ＝bxa对称，则该双曲线的离心率为______．10．设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，则动点Q 的轨迹是______________．11．已知三个数2，m,8构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 22＝1的离心率为________．12．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且AB ＝163，则α＝________.13．(·南通模拟)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN ＋BN ＝________.14．(·江西)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(14分)(·安徽六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．16．(14分)(·扬州模拟)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．17.(14分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2M B →，求直线l 的方程．18．(16分)(·泰州模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 是椭圆E 上的点，线段F 1P 的中点在y 轴上，PF 1→·PF 2→＝116a 2.倾斜角等于π3的直线l 经过F 1，与椭圆E 交于A ，B 两点． (1)求椭圆E 的离心率；(2)设△F 1PF 2的周长为2＋3，求△ABF 2的面积S 的值．19.(16分)(·江西百所重点中学诊断)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，△PF 1F 2的周长为16，直线2x ＋y ＝4经过椭圆的上顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆同时被直线l 1：10x －5y －21＝0与l 2：10x －15y －33＝0平分，求直线l 的方程．20．(16分)如图，已知点F (a,0)(a >0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为动点，且PM →·PF →＝0，PN →＋PM →＝0.(1)求点N 的轨迹C ；(2)过点F (a,0)的直线l (不与x 轴垂直)与曲线C 交于A 、B 两点，设K (－a,0)，KA →与KB →的夹角为θ，求证：0<θ<π2.答案解析1.3π4解析 若方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0表示圆， 则有k 2＋4－4k 2＞0，解得0≤k 2＜43，而此时圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝12－3k 2＋4，要使圆的面积最大，只需r 最大，即当k ＝0时，r 取得最大值1，此时直线方程为y ＝－x ＋2， 由倾斜角与斜率的关系知，k ＝tan α＝－1， 又因为α∈[0，π)，所以α＝3π4. 2．抛物线解析 设P 在以原点为圆心，1为半径的圆上，则P (x 0，y 0)，有x 20＋y 20＝1，∵Q (x ′，y ′)＝(x ＋y ，xy )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 0＋y 0，y ′＝x 0·y 0. ∴x ′2＝x 20＋y 20＋2x 0y 0＝1＋2y ′， 即Q 点的轨迹方程为y ′＝12x ′2－12，∴Q 点的轨迹是抛物线． 3.x 24＋y 23＝1 解析 依题意，所求椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1.4.116解析 依题意得双曲线中a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝4，∴e ＝c a ＝2，抛物线方程为y 2＝12p x ，故18p ＝2，得p ＝116. 5．12解析 如图，设A 的坐标为(x ，y )，则根据对称性得B (－x ，－y )，则△F 1AB 面积S ＝12×OF 1×|2y |＝c |y |.∴当|y |最大时，△F 1AB 面积最大，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其△F 1AB 面积最大， 则△F 1AB 面积的最大值为cb ＝25－16×4＝12. 6．2 3解析 因为抛物线C ：y 2＝42x 的准线方程是x ＝－2， 所以由PF ＝42得x p ＝32， 代入抛物线方程得y p ＝±26，所以△POF 的面积为12·OF ·|y p |＝12×2×26＝2 3.7．1＋ 2解析 依题意可知，点A (1，±2)，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，AF 1＝22＋22＝22，AF 2＝F 1F 2＝2， 双曲线C 的离心率为e ＝F 1F 2AF 1－AF 2＝222－2＝2＋1.8．0解析 因为点M (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2内异于圆心的一点，所以0<a 2＋b 2<r 2， 所以0<a 2＋b 2<r ， 则圆心(0,0)到直线ax ＋by －r 2＝0的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r ，所以直线ax ＋by －r2＝0与圆x 2＋y 2＝r 2无交点． 9. 5解析 记线段PF 2与直线y ＝bax 的交点为M ，依题意，直线y ＝ba x 是已知双曲线的一条渐近线，M 是PF 2的中点，且PF 2＝2MF 2＝2b ；又点O 是F 1F 2的中点，因此有PF 1＝2OM ＝2a ；由点P 在双曲线的左支上得PF 2＝PF 1＋2a ＝4a ＝2b ，b ＝2a ， 该双曲线的离心率是e ＝ 1＋(ba)2＝ 5.10．两条平行直线解析 设P (1，a )，Q (x ，y )．以点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，ayx ×1＝－1，x ＝－ay ， ∵OP ＝OQ ，∴1＋a 2＝x 2＋y 2＝a 2y 2＋y 2＝(a 2＋1)y 2， 而a 2＋1>0，∴y 2＝1，∴y ＝1或y ＝－1， ∴动点Q 的轨迹是两条平行于x 轴的直线． 11.22或 3 解析 ∵2，m,8成等比数列，∴m 2＝16，m ＝±4， 当m ＝4时，e ＝c a ＝22；当m ＝－4时，e ＝ca ＝ 3.12．60°或120°解析 当α＝90°时，AB ＝4不成立；当α≠90°时，设直线方程为y ＝tan α(x －1)，与抛物线方程联立得：(tan α)2x 2－[2(tan α)2＋4]x ＋(tan α)2＝0， ∴由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝2(tan α)2＋4(tan α)2，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2(tan α)2＋4(tan α)2＋2＝163，∴tan α＝±3，∴α＝60°或120°. 13．12解析 取MN 的中点G ，G 在椭圆上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ， 故有GF 1＝12AN ，GF 2＝12BN ，所以AN ＋BN ＝2(GF 1＋GF 2)＝4a ＝12. 14.22解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×(－12)＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)， 整理得a 2＝2c 2得c a ＝22，所以e ＝22.15．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1得圆心C (3,2)， ∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1， 显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 即kx －y ＋3＝0，∴|3k －2＋3|k 2＋1＝1，∴|3k ＋1|＝k 2＋1， ∴2k (4k ＋3)＝0， ∴k ＝0或k ＝－34，∴所求圆C 的切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)∵圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上， ∴设圆心C 为(a,2a －4)，则圆C 的方程为(x －a )2＋[y －(2a －4)]2＝1. 又∵MA ＝2MO ，∴设M (x ，y ), 则x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，设为圆D ，∴点M 既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点， ∴2－1≤a 2＋[(2a －4)－(－1)]2≤2＋1， 解得a 的取值范围为[0，125]．16．解 (1)设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)＋1得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为(1，32)．17．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则由AM →＝2M B →得x 1＝－2x 2. 又⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k 3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2，得(8k 3＋4k 2)2＝43＋4k 2，解得k 2＝14，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.18．解 (1)∵F 1，F 2分别是椭圆E 的左，右焦点，P 是椭圆E 上的点，线段F 1P 的中点在y 轴上，∴PF 2⊥x 轴，∴PF 2＝b 2a.又∵PF 1→·PF 2→＝116a 2，∴PF 22＝116a 2， 即b 2a ＝14a ，∴a 2＝4b 2， 即a 2＝4(a 2－c 2)， 化简得：3a 2＝4c 2， ∴c a ＝32. ∴椭圆E 的离心率为32. (2)∵△F 1PF 2的周长等于2＋3， ∴2a ＋2c ＝2＋ 3.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋2c ＝2＋3，c a ＝32，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝32. ∴b 2＝14，∴椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由已知得直线l 的方程为y ＝3(x ＋32)， 即23x －2y ＋3＝0， ∴F 2(32，0)到直线l 的距离d ＝32. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x ＋32)，x 2＋4y 2＝1得13x 2＋123x ＋8＝0.∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－12313，x 1x 2＝813.∴AB ＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝813，∴S ＝12·AB ·d ＝613，∴△ABF 2的面积S 的值等于613. 19．解 (1)设椭圆的半焦距为c ， 则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，2a ＋2c ＝16，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝3，故椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)设AB 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧10x －5y －21＝0，10x －15y －33＝0，解得M (32，－65)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 2，依题意有⎩⎨⎧x 2125＋y 2116＝1，x 2225＋y2216＝1，两式相减得x 21－x 2225＋y 21－y 2216＝0，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)25＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，又AB 的中点为M (32，－65)，∴x 1＋x 2＝3，y 1＋y 2＝－125，∴325(x 1－x 2)＝320(y 1－y 2)，y 1－y 2x 1－x 2＝45， 即直线l 的斜率为45，故直线l 的方程为y ＋65＝45(x －32)，即4x －5y －12＝0.第11页 共11页 20．(1)解 设N (x ，y )，∵PN →＋PM →＝0， ∴M (－x,0)，P (0，y 2)．PM →＝(－x ，－y 2)，PF →＝(a ，－y 2)，∵PM →·PF →＝0，∴PM →·PF →＝－ax ＋y 24＝0，∴y 2＝4ax .故点N 的轨迹为以F 为焦点的抛物线．(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴直线l ：y ＝k (x －a )，KA →＝(x 1＋a ，y 1)，KB →＝(x 2＋a ，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －a )，y 2＝4ax消去x 得ky 2－4ay －4ka 2＝0，∴y 1＋y 2＝4a k ，y 1y 2＝－4a 2，x 1x 2＝a 2，x 1＋x 2＝2a (k 2＋2)k 2，∴KA →·KB →＝(x 1＋a )(x 2＋a )＋y 1y 2＝x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＋y 1y 2＝2a 2＋2a 2(k 2＋2)k 2－4a 2＝2a 2(k 2＋2)k 2－2a 2＝2a 2(1＋2k 2－1)＝4a 2k 2>0，∴cos θ>0，∵θ∈[0，π]，∴θ∈(0，π2)．。