高三单元滚动检测卷数学

高三单元滚动检测卷·数学
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
单元检测九 平面解析几何
第Ⅰ卷
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)
1．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积最大时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α的值为________．
2．(·南京模拟)已知点P (x ，y )在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q (x ′，y ′)＝(x ＋y ，xy )的轨迹是__________．
3．(·西安质检)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1
2，则C 的方程是
___________．
4．(·镇江模拟)已知双曲线x 24－y 2
12＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值
为________．
5．若AB 是过椭圆x 225＋y 2
16＝1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为________．
6．(·武汉调研)已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为________．
7．(·北京海淀区期末练习)双曲线C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰好为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________．
8．点M (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2内异于圆心的一点，则直线ax ＋by －r 2＝0与圆的交点的个数是________．
9．(·福州质检)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，若双曲线左支上
存在一点P 与点F 2关于直线y ＝bx
a
对称，则该双曲线的离心率为______．
10．设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，则动点Q 的轨迹是______________．
11．已知三个数2，m,8构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2
2＝1的离心率为________．
12．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且AB ＝16
3，则α
＝________.
13．(·南通模拟)已知椭圆C ：x 29＋y 2
4＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对
称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN ＋BN ＝________.
14．(·江西)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，
若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．
第Ⅱ卷
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(14分)(·安徽六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．
(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．
16．(14分)(·扬州模拟)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为1
2，其一个顶点
是抛物线x 2＝－43y 的焦点． (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．
17.(14分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为1
2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2M B →
，求直线l 的方程．
18．(16分)(·泰州模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 是椭
圆E 上的点，线段F 1P 的中点在y 轴上，PF 1→·PF 2→
＝116a 2.倾斜角等于π3的直线l 经过F 1，与椭
圆E 交于A ，B 两点． (1)求椭圆E 的离心率；
(2)设△F 1PF 2的周长为2＋3，求△ABF 2的面积S 的值．
19.(16分)(·江西百所重点中学诊断)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，
F 2，点P 在椭圆上，△PF 1F 2的周长为16，直线2x ＋y ＝4经过椭圆的上顶点． (1)求椭圆C 的方程；
(2)直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆同时被直线l 1：10x －5y －21＝0与l 2：10x －15y －33＝0平分，求直线l 的方程．
20．(16分)如图，已知点F (a,0)(a >0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为动点，且PM →·PF →＝0，PN →＋PM →＝0.
(1)求点N 的轨迹C ；
(2)过点F (a,0)的直线l (不与x 轴垂直)与曲线C 交于A 、B 两点，设K (－a,0)，KA →与KB →
的夹角为θ，求证：0<θ<π
2.
答案解析
1.3π4
解析 若方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0表示圆， 则有k 2＋4－4k 2＞0，解得0≤k 2＜4
3
，
而此时圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝1
2
－3k 2＋4，
要使圆的面积最大，只需r 最大，即当k ＝0时，r 取得最大值1，此时直线方程为y ＝－x ＋2， 由倾斜角与斜率的关系知，k ＝tan α＝－1， 又因为α∈[0，π)，所以α＝3π
4
. 2．抛物线
解析 设P 在以原点为圆心，1为半径的圆上，
则P (x 0，y 0)，有x 20＋y 2
0＝1，∵Q (x ′，y ′)＝(x ＋y ，xy )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝x 0＋y 0，y ′＝x 0·y 0. ∴x ′2＝x 20＋y 20＋2x 0y 0
＝1＋2y ′， 即Q 点的轨迹方程为y ′＝12x ′2－12，
∴Q 点的轨迹是抛物线． 3.x 24＋y 2
3
＝1 解析 依题意，所求椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝1
2⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，
因此其方程是x 24＋y 2
3＝1.
4.116
解析 依题意得双曲线中a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝4，
∴e ＝c a ＝2，抛物线方程为y 2＝12p x ，
故18p ＝2，得p ＝116. 5．12
解析 如图，设A 的坐标为(x ，y )，则根据对称性得B (－x ，－y )，
则△F 1AB 面积S ＝1
2×OF 1×|2y |＝c |y |.∴当|y |最大时，△F 1AB 面积最大，
由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其△F 1AB 面积最大， 则△F 1AB 面积的最大值为cb ＝25－16×4＝12. 6．2 3
解析 因为抛物线C ：y 2＝42x 的准线方程是x ＝－2， 所以由PF ＝42得x p ＝32， 代入抛物线方程得y p ＝±26，
所以△POF 的面积为12·OF ·|y p |＝12×2×26＝2 3.
7．1＋ 2
解析 依题意可知，点A (1，±2)，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，AF 1＝22＋22＝22，AF 2＝F 1F 2＝2， 双曲线C 的离心率为e ＝F 1F 2AF 1－AF 2＝2
22－2＝2＋1.
8．0
解析 因为点M (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2内异于圆心的一点，所以0<a 2＋b 2<r 2， 所以0<a 2＋b 2<r ， 则圆心(0,0)到直线ax ＋by －r 2＝0
的距离d ＝r 2
a 2＋
b 2
>r ，所以直线ax ＋by －r
2＝0与圆x 2＋y 2
＝r 2无交点． 9. 5
解析 记线段PF 2与直线y ＝b
a
x 的交点为M ，
依题意，直线y ＝b
a x 是已知双曲线的一条渐近线，M 是PF 2的中点，且PF 2＝2MF 2＝2
b ；
又点O 是F 1F 2的中点，因此有PF 1＝2OM ＝2a ；
由点P 在双曲线的左支上得PF 2＝PF 1＋2a ＝4a ＝2b ，b ＝2a ， 该双曲线的离心率是e ＝ 1＋(b
a
)2＝ 5.
10．两条平行直线
解析 设P (1，a )，Q (x ，y )．
以点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，
ay
x ×1
＝－1，x ＝－ay ， ∵OP ＝OQ ，∴1＋a 2＝x 2＋y 2＝a 2y 2＋y 2＝(a 2＋1)y 2， 而a 2＋1>0，∴y 2＝1，∴y ＝1或y ＝－1， ∴动点Q 的轨迹是两条平行于x 轴的直线． 11.
2
2
或 3 解析 ∵2，m,8成等比数列，∴m 2＝16，m ＝±4， 当m ＝4时，e ＝c a ＝22；
当m ＝－4时，e ＝c
a ＝ 3.
12．60°或120°
解析 当α＝90°时，AB ＝4不成立；当α≠90°时，设直线方程为y ＝tan α(x －1)，与抛物线方程联立得：(tan α)2x 2－[2(tan α)2＋4]x ＋(tan α)2＝0， ∴由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝2(tan α)2＋4(tan α)2，
∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2(tan α)2＋4(tan α)2＋2＝16
3，
∴tan α＝±3，∴α＝60°或120°. 13．12
解析 取MN 的中点G ，G 在椭圆上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ， 故有GF 1＝12AN ，GF 2＝1
2BN ，
所以AN ＋BN ＝2(GF 1＋GF 2)＝4a ＝12. 14.
22
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)
b 2＝0，
根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－1
2，
所以2a 2＋2b 2×(－1
2)＝0，
得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)， 整理得a 2＝2c 2得c a ＝22，
所以e ＝
22
.
15．解 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －4，
y ＝x －1
得圆心C (3,2)， ∵圆C 的半径为1，
∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1， 显然切线的斜率一定存在，
设所求圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 即kx －y ＋3＝0，∴|3k －2＋3|
k 2＋1＝1，
∴|3k ＋1|＝k 2＋1， ∴2k (4k ＋3)＝0， ∴k ＝0或k ＝－3
4
，
∴所求圆C 的切线方程为y ＝3或y ＝－3
4x ＋3，
即y ＝3或3x ＋4y －12＝0.
(2)∵圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上， ∴设圆心C 为(a,2a －4)，
则圆C 的方程为(x －a )2＋[y －(2a －4)]2＝1. 又∵MA ＝2MO ，
∴设M (x ，y ), 则x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，设为圆D ，
∴点M 既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点， ∴2－1≤a 2＋[(2a －4)－(－1)]2≤2＋1， 解得a 的取值范围为[0，12
5
]．
16．解 (1)设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
由题意得b ＝3，c a ＝1
2，
解得a ＝2，c ＝1.
故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2
3＝1，y ＝k (x －2)＋1
得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，
所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12
.
所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－1
2x ＋2.
将k ＝－1
2代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，
故切点M 的坐标为(1，3
2
)．
17．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
因为c ＝1，c a ＝1
2，所以a ＝2，b ＝3，
所以椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)由题意得直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 则由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋1，x 24＋y 23
＝1
得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则由AM →＝2M B →
得x 1＝－2x 2. 又⎩⎪⎨⎪⎧ x 1
＋x 2
＝－8k 3＋4k 2
，x 1
·x 2
＝－8
3＋4k
2
，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2
＝－8k 3＋4k 2
，－2x 2
2
＝－8
3＋4k
2
，
消去x 2，得(8k 3＋4k 2)2＝4
3＋4k 2
，
解得k 2＝14，k ＝±1
2
，
所以直线l 的方程为y ＝±1
2x ＋1，
即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.
18．解 (1)∵F 1，F 2分别是椭圆E 的左，右焦点，P 是椭圆E 上的点，线段F 1P 的中点在y 轴上，
∴PF 2⊥x 轴，∴PF 2＝b 2
a
.
又∵PF 1→·PF 2→
＝116a 2，∴PF 22＝116a 2， 即b 2a ＝1
4a ，∴a 2＝4b 2， 即a 2＝4(a 2－c 2)， 化简得：3a 2＝4c 2， ∴c a ＝32
. ∴椭圆E 的离心率为
32
. (2)∵△F 1PF 2的周长等于2＋3， ∴2a ＋2c ＝2＋ 3.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋2c ＝2＋3，c a ＝3
2，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1，c ＝32. ∴
b 2＝1
4
，
∴椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由已知得直线l 的方程为y ＝3(x ＋3
2
)， 即23x －2y ＋3＝0， ∴F 2(
32，0)到直线l 的距离d ＝32
. 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3(x ＋32)，
x 2＋4y 2＝1
得13x 2＋123x ＋8＝0.
∴⎩⎨⎧
x 1
＋x 2＝－12313
，x 1x 2
＝8
13.
∴AB ＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝813，
∴S ＝12·AB ·d ＝613，
∴△ABF 2的面积S 的值等于
6
13
. 19．解 (1)设椭圆的半焦距为c ， 则由题设得⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＝4，2a ＋2
c ＝16，
a 2＝
b 2＋
c 2，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
c ＝3，
故椭圆C 的方程为x 225＋y 2
16＝1.
(2)设AB 的中点为M (x ，y )，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
10x －5y －21＝0，10x －15y －33＝0，解得M (32，－65)．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 2，
依题意有⎩⎨⎧
x 2125＋y 21
16
＝1，x 22
25＋y
22
16＝1，
两式相减得x 21－x 2225＋y 21－y 22
16
＝0，
∴
(x 1＋x 2)(x 1－x 2)25＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)
16
＝0，
又AB 的中点为M (32，－6
5)，
∴x 1＋x 2＝3，y 1＋y 2＝－12
5，
∴325(x 1－x 2)＝3
20(y 1－y 2)，y 1－y 2x 1－x 2＝45， 即直线l 的斜率为45
，
故直线l 的方程为y ＋65＝45(x －3
2)，
即4x －5y －12＝0.
第11页 共11页 20．(1)解 设N (x ，y )，∵PN →＋PM →＝0， ∴M (－x,0)，P (0，y 2)．
PM →＝(－x ，－y 2)，PF →＝(a ，－y 2)，
∵PM →·PF →＝0，∴PM →·PF →＝－ax ＋y 24＝0，
∴y 2＝4ax .
故点N 的轨迹为以F 为焦点的抛物线．
(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴直线l ：y ＝k (x －a )，
KA →＝(x 1＋a ，y 1)，KB →＝(x 2＋a ，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －a )，y 2＝4ax
消去x 得ky 2－4ay －4ka 2＝0，
∴y 1＋y 2＝4a k ，y 1y 2＝－4a 2，
x 1x 2＝a 2，x 1＋x 2＝2
a (k 2＋2)
k 2，
∴KA →·KB →＝(x 1＋a )(x 2＋a )＋y 1y 2
＝x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＋y 1y 2
＝2a 2＋2a 2(k 2＋2)
k 2－4a 2＝2a 2(k 2＋2)
k 2－2a 2
＝2a 2(1＋2
k 2－1)＝4a 2
k 2>0，∴cos θ>0，
∵θ∈[0，π]，∴θ∈(0，π2)．。