平行线等分线段定理
平行线等分线段定理及证明
平行线等分线段定理及证明
附图
定理内容
如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边
经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰
第二条定理也做：三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。
也称“一二三定理”。
第二第三条即常说的“中位线定理”。
定理证明过程
证明如下：
已知：AB∥CD∥EF,GI,JL交AB,CD,EF于点G,J,H,K,I,L.（如右图) 求证：GH:HI=JK:KL
证明：。
平行线等分线段定理
求证: AE=EC 证明： 因为AD=BD,DE//BC
A DE
根据平行线等分线段定理，得：
B
C
AE=EC.
能推出
思
什么结论？
考
知识要 点
平行线等分线段定理
推论1：经过三角形一边的中点与另一边 平行的直线必平分第三边.
小练习
已知：梯形ABCD,E是AB的中点，
求证:CF=DF.
A
C
证明： 因为AE=BE,AC//BD E
难点
灵活应用定理和推论解决相关几何问题.
研讨
l
A1 A2 A3
l’
B1 l1 B2 l2
B3 l3
l1//l2//l3, l//l
A1A2=A2A3
思考…
B1B2 = B2B3
研讨
l
A1 A2 A3
l’
B1 B2
l1 l2
B3 l3
l1//l2//l3, l,l不平行 A1A2=A2A3
B1B2 = B2B3
F
B
根据平行线等分线段定理，得：
D
CF=DF.
同样能推 出什么结论？
知识要 点
平行线等分线段定理
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底
边平行的直线必平分另一腰.
体会
定理 推论
小练习
如图△ABC中点D、E三等分AB， DF∥EG∥BC，DF、EG分别交AC于点F、G，则 AF,FG,GC的关系.
A
根据平行线等分线段定理，得：
D、E 分别是△ABC中AB边和AC边的中点.
求证:DE//BC且 DE 1 BC.
2
作DE//BC
E与E重合
A
1.1 平行线等分线段定理 课件(人教A选修4-1)
证明：延长AC到D，
使CD＝CF，连接DB， 在Rt△ACF与Rt△BCD中， ∵CD＝CF，AC＝BC， ∴Rt△ACF≌Rt△BCD. 返回
∴∠CAF＝∠CBD.
∵∠ACB＝90°，CN⊥AF， ∴∠NCF＝∠CAF＝∠CBD. ∴DB∥CN. ∵EM⊥AF，∴EM∥CN. ∴EM∥CN∥DB.又CD＝CF＝CE， ∴MN＝NB.
所以 OA＝OC，BC＝AD. 又因为 AB∥DC，OE∥AB， 所以 DC∥OE∥AB. 又因为 AD＝BC＝6，且 OA＝OC， 1 所以 BE＝EC＝ BC＝3. 2
返回
[研一题] [例3] 如图，梯形ABCD中，AD
∥BC，DC⊥BC，E为AB的中点． 求证：EC＝ED 分析：本题考查平行线等分线段
定理及推论的应用，解答本题需要将证明EC＝ED转化为
证明△ECD为等腰三角形或EC、ED所在的某两个三角形 全等． 返回
证明：过E点作EF∥BC交DC于F. 在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AD∥EF∥BC.
∵E是AB的中点，∴F是DC的中点． ∵∠BCD＝90°，∴∠DFE＝90°. ∴EF⊥DC于F.又F是DC的中点， ∴DF＝CF.∴Rt△DEF≌Rt△CEF，
返回
[研一题] [例2] 已知：如图，在直角梯形AB
CD中，∠C＝90°，AD∥BC，AD＋BC＝ AB，E是CD的中点，且AD＝2，BC＝8， 求BE的长度． 分析：本题考查平行线等分线段定理及其推论的应
用．解答本题需将BE放在Rt△BCE中求解，因为BC＝8
为已知，故可考虑如何求CE. 返回
解：过E作EF∥BC，交AB于F，过B作BG∥CD，交EF
D′，O′；求证：A′D′＝B′C′.
平行线等分线段定理
Ｆ
Ｇ
ＨＣ
Ｉ Ｊ Ｋ
Ｌ
Ｂ
２）在射线ＡＣ上顺次截取 ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。 ３）连结ＨＢ。 ４）过点Ｇ、Ｆ、Ｅ、Ｄ分别作ＨＢ的平行线 ＧＬ、ＦＫ、ＥＪ、ＤＩ，分别交ＡＢ于 点Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ。 Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ就是所求的五等分点
例２：
如图，平行四边形ABCD中， C BC与AD的中点分别为E、F， 且BF、DE、与对角线AC交于H、G。 E 求证：AH=HG=GC
AH=HG 同理CG=HG
AH=HG=CG
练习题
A 1) 如图：AD是三角形ABC的中线， E为AD的中点， BE的延长线交 （1题） AC于F， 求证：AF=1/3AC 证明 ：（一）过D做DH//BF交AC于H BD=CD DH//BF FH=CH 同理 AF=FH B AF=FH=CH D E F H C AF=1/3AC
B
C H
E
F ＡＢ＝ＧＥ ＢＣ＝ＥＨ ＡＢ＝ＢＣ
Ａ A
Ｅ E
Ｄ D
Ｆ F
Ａ A
Ｄ D B Ｂ Ｅ E ＣC
Ｂ B
Ｃ C
推论１：
经过梯形一腰中点与 底平行的直线，必平 分另一腰。
推论２： 经过三角形一边的中点与另 一边平行的直线必平分第三 边。
例题讲解：
已知：线段ＡＢ 求作：线段ＡＢ的五等分点。 作法：１）作射线ＡＣ。 Ｍ Ｄ Ａ Ｎ Ｅ
2）如图 ，已知AC AB，DB 求证：OA=AB 证明：过O做OE AB于E AC AB DB AB OE AB AE=BE OE AB AC//OE//BD OC=OD
AB，O为CD中点，
D （2题） O A E C B
OA=AB
3）如图，在梯形ABCD中，AB//DC，以AC、AD为边作 E 平行四边形ACED，DC的延长线交BE于F， 求证：EF=BF 证明： （一）连接AE交CD于O （3题）
相似中考复习平行线分线段成比例定理
F
D
E
A
C B
3.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF 的延长线交AB于点G，则AG:GD等于（ ）
A、2:1
B、3:1
C、3:2
D、4:3
A
G三、简答题：
1.如图所示，D是AB的中点，CF∥AB，G、F、 E、D在一条直线上，求证 DE DG
【变式1】如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.
D梯形ABCD中，AB∥DC,E、F分别在AD、BC上，且BF:FC=2：3，EF∥AB，交AC与点G，则 EG:DC=
.
【例2】如图，点D、E分别在△ABC的边 AB、AC上，且 AD ，AE求证 DE∥BC .
DB EC
【例3】如图，已知L1∥L2∥L3，直线AB、CD分 别与它们相交，如果AB=8cm,BN=5cm， CM=4cm，求CD的长.
（D）BD＝2，AB＝6，CE＝1，AE＝3．
（A）AD＝6，BD＝4，AE＝，CE＝；
格式：如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图3
B C 如图，四边形ABCD中，取AD边上一点E，连结BE并延长交CD的延长线于F，由以下比例式能判定FC//AB的是（ ）
说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况. E、D在一条直线上，求证
说明：由此定理可知推论1和推论2
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直 线必平分另一腰.
格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，
EF∥AD，那么DF=FC，如图2
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平 行的直线必平分第三边.
格式：如果△ABC中，D是AB的中点， DE∥BC，那么AE＝EC，如图3
平行线等分线段定理
符号语言： ∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB ∴DF=FC
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
例题讲解：
已知：线段ＡＢ
ＨＣ
Ｇ
Ｆ
Ｍ
Ｅ
Ｄ
求作：线段ＡＢ的五等分点。 作法：１）作射线ＡＣ。
Ａ ＩＪＫ Ｌ Ｂ Ｎ
２）在射线ＡＣ上顺次截取 ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。
∴AP=PQ=QB，
∴AP= —31 AB.
一、填空题3： 已知AD∥EF∥BC， E是AB的中点，
则DG= BG ， H是 AC 的中点，
F是 CD 的中点. A
D
EG HF
B
C
一、填空题4： 已知△ABC中，AB=AC， AD⊥BC，
M是AD的中点，
A
CM交AB于P，
DN∥CM交AB于N， P
如果AB=6厘米，
.M
则PN= 2 厘米.
N
∟
B
D
C
一、填空题5：
已知△ABC中，CD平分∠ACB，
AE⊥CD交BC于E，
DF∥CB交AB于F，
A
AF=4厘米，
则AB= 8 厘米.
FD
B
E
C
二、判断题1： 若AB∥CD∥EF，
AC=CE，
则 BD=DF=AC=CE.
(× )
A
B
C
D
E
F
二、判断题2：
∵D是BC的中点，∴E是AB的中点，
∴AB=2CE.
三、证明题2：
已知：□ABCD中，E、F分别是AB、DC的
中点， CE、AF A
. 分别交BD于M、N， E
平行线等分线段定理 课件
图 1－1－4
【思路探究】
【自主解答】 在△AEC 中， ∵AF＝FC，GF∥EC， ∴AG＝GE. ∵CE∥FB， ∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E. 又 BD＝DC， ∴△BDG≌△CDE. 故 DG＝DE，即 GE＝2DE， 因此 AG＝2DE.
1．如果已知条件中出现中点，往往运用三角形的中位 线定理来解决问题．
图 1－1－3
【证明】 ∵▱ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a， ∴AA′∥OO′∥CC′. ∴O′A′＝O′C′， 同理：O′D′＝O′B′， ∴A′D′＝B′C′.
如图 1－1－4，在△ABC 中，AD，BF 为中线， AD，BF 交于 G，CE∥FB 交 AD 的延长线于 E.
2．有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构 造平行线等分线段定理的推论 2 的基本图形，进而进行几何 证明或计算．
如图 1－1－7，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC＝2AD， E，F 分别是 AB，CD 的中点，EF 交 BD 于 G，交 AC 于 H. 求证：EG＝GH＝HF.
图 1－1－7
平行线等分线段定理
1．平行线等分线段定理 (1)文字语言：如果一组平行线在 一条直线 上截得的线 段相等，那么在 其他直线 上截得的线段也 相等 ．
(2)图形语言
图 1－1－1 如图 1－1－1，l1∥l2∥l3，l 分别交 l1，l2，l3 于 A， B，C，l′分别交 l1，l2，l3 于 A1，B1，C1，若 AB＝BC， 则 A1B1＝B1C1 .
1．本题中由 AC⊥AB，DB⊥AB 知 AC∥DB，联想到作 OE⊥AB，再根据平行线等分线段定理证明点 E 是 AB 的中点．
初中数学—平行线等分线段定理
求证: B1B2=B2B3. 证明: (1) 当 l//l 时 (如图), ∵l1//l2//l3,
l l
A1 B1
l1
∴ A1A2B2B1, A2A3B3B2
A2 B2
l2
都是平行四边形, ∴ A1A2=B1B2, A2A3=B2B3,
A3
B3
l3
又∵A1A2=A2A3, ∴B1B2=B2B3.
思想: 借助平行四
每两个相邻的小孔中心的距离相等, 如果只有圆规和
无刻度直尺, 应当怎样确定小孔的中心位置?
画法: (1) 连接 AB; (2) 在钢板上另作一射线
AC; (3) 在 AC 上取 AD=DE
=EF=FG;
B PQ R A DE F G C
(4) 连接 GB;
(5) 分别过点 D, E, F 作 GB 的平行线, 交 AB
通过证明
例 1. 如图, 要在一块钢板上的 A、B 两个小孔
间再钻三个小孔, 使这些小孔都在直线 AB 上, 并且
每两个相邻的小孔中心的距离相等, 如果只有圆规和
无刻度直尺, 应当怎样确定小孔的中心位置?
思路: 工具中直尺无刻度,
B
不便于度量 AB 的长度.
因为平行线可以等分线段, A
所以考虑过 A 作一条不与 AB 重合的射线 AC, 在 AC 上则可
交
A1 A2
又∴∵∠AB11AB22=CA1=2A∠3,B2B3C2; ③ A3
∴由B①1C②1=③B得2C△2. B1C①1B2≌△B2C2B3,
l3于C2.
l l 思想B1: l1
为平变行CC1非.2 B平B2 3行ll23
∴B1B2=B2B3.
结论: 如果一条直线被三条平行直线截得的线段相等, 那么这三条平行线截其他直线所得的线段也相等.
平行线分线段成比例定理
如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均为水泥 如图，有一块形状为直角梯形的草地， 直道，两个拐角A 处均为直角， 直道，两个拐角A、B处均为直角，草地中间另有一条水泥 直道EF垂直于AB 垂足为E.已知AE EF垂直于AB， E.已知AE长 EB长 DF长 直道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长a米，EB长b米，DF长 c米.求CF.
要熟悉该定理的几种基本图形
A B C D B C A E F E D D E F C A B B C C E D B A E F A B E D
F D
C A
16 16 8 CF = DE = , BF = 8= . 3 3 3
B
F
C
例2:三角形内角平分线分对边成两线 三角形内角平分线分对边成两线 这两线段和相邻的两边成比例. 段,这两线段和相邻的两边成比例 这两线段和相邻的两边成比例
A
4 3
E
已知： 是 已知：AD是△ABC中∠A的平 中 的平 分线， 分线， BD AB 求证： 求证：DC
课 堂 小 结
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系？ 定理有何联系？
A B D E
AB 当 =1 BC AB 当 ≠1 BC
A B
D E
C
F
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！ 结论：后者是前者的一种特殊情况！ 平行线分线段成比例定理： 平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 对应线段成比例 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
l4
l5
问题二 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 如何不通过测量，运用所学知识， 子分成两部分，使这两部分之比是2:3? 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理（Parallel Line Midpoint Theorem）是指：如果两条平行线分别与一条直线相交，那么它们所
分割的那条直线上的两个线段的长度相等。
具体表述为：如果直线l与平行线m和n相交，交点分别
为A和B，则AB所分割的l上的两个线段的长度相等，即AB=AB'。
这个定理可以通过平行线的定义和线段等分的定义进行证明。
假设AB=CD且l与AB和CD相交于点E和F，由于l 与m平行，所以∠AEB=∠CDF，同理，l与n平行，所以
∠BAE=∠DCF。
根据直角三角形的性质可知，
∠AEB=∠DCF，∠BAE=∠CDF，所以三角形AEB与三角形DCF相似。
根据相似三角形的性质可知，
AE/DC=EB/CF=AB/CD=1。
因此，AB=CD。
这个定理在几何证明和计算中都有广泛应用，可以用来证明角相等、线段相等等几何性质。
平行线等分线段定理讲义
BF=FC =DE D B
E
E′
F
C
练习4
如图：已知有块三角形菜地,分配给张、王、
李三家农户耕种.已知张、王、李三家人口分
别为2人、4人、6人,菜地分配按人口比例,并
要求每户土地均有一部分靠近水渠AB.P处是三
家合用的肥料仓库,是三家菜地的交界处. P
要求：用尺规在图中作出
各家菜地的分界线.
A
张 E王
A1A2B2B1
A1A2=B1B2
图1
A2A3B3B2
A2A3=B2B3
B1B2=B2B3
A1A2=A2A3
已知：直线l1∥l2∥l3,l与l′不平行,A1A2=A2A3
求证:B1B2=B2B3
分析：
l l′
A1 A2 A3
B1
C2
B2 B3
C3
l1 l2
l3
图2 “角角边”
B1C2//B2C3
△B1C2B2≌△B2C3B3
l′
B1 B2
l1 l2
B3 l3
图2
l1//l2//l3，l//l
l1//l2A3
A1A2=A2A3 B1B2 = B2B3
已知：直线l1∥l2∥l3,l∥l ′,A1A2=A2A3
求证:B1B2=B2B3 分析:
l
A1 A2 A3
l′
B1 l1 B2 l2
B3 l3
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相 等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
两相邻平 行线间的 距离相等
①
②
推论1
经过三角形一边的中点与另一边平行的直 线必平分第三边.
推论2
经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 平分另一腰.
八年级上册数学-平行线等分线段
. .
B
D F . . H
G
A
例 3：
证 D 明 如图，在三角形ABC中，在CA的延 长线上取一点D，使DA=1/2CA，E 为BC的中点，DE交AB于F，过F引 FG垂直于DE与CB的延长线交于G。 求证：GD=GE
G B
A F H
E
C
证明： 四边形ABCD是平行四边形 AD//BC AD=BC DF=1/2AD BE=1/2BC 四边形FDEB是平行四边形 AH=HG 同理CG=HG BF//DE AF=DF
a
b
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段相等，那么在其它直线上截 得的线段也相等。
思考：我们学过有关平行线的那些知识？
1 ）平行线的三线八角
。
2）平行线间的平行线段
。
已知：直线a//b//c,AB=BC. 求证：DE=EF D E F H
分析过程：
ＤＥ＝ＥＦ
G
a b c
A B C
ＥＧ＝ＥＨ
ＡＢ＝ＧＥ ＢＣ＝ＥＨ ＡＢ＝ＢＣ
Ａ A Ｅ E Ｂ B
Ｄ D Ｆ F Ｃ C
Ａ A Ｄ D B Ｂ Ｅ E ＣC
推论１： 经过梯ห้องสมุดไป่ตู้一腰中点与 底平行的直线，必平 分另一腰。
推论２： 经过三角形一边的中点与另 一边平行的直线必平分第三 边。
ＨＣ
例题讲解：
已知：线段ＡＢ 求作：线段ＡＢ的五等分点。 作法：１）作射线ＡＣ。 Ｍ Ｄ Ａ Ｎ Ｅ
求证：OA=AB 证明：过O做OE AB于E AC AB DB AB AC//OE//BD OC=OD
AB，O为CD中点，
D
（2题） O
平行线等分线段定理三角形梯形的中位线(含答案)
平行线等分线段定理，三角形、梯形的中位线重点与难点：三角形、梯形中位线的综合运用 一、知识点（1）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截取的线段也相等。
推论1：经过梯形一腰与底平行的直线，必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边。
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
（3）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
二、例题：例1、下列图形是不是中心对称图形？若是，请指出对称中心。
（1）线段；（2）直线；（3）平行四边形；（4）圆解： （1）线段是中心对称图形，对称中心是线段的中点；（2）直线是中心对称图形，对称中心是直线上的任意一点；（3）平行四边形（当然也就包括了矩形、菱形、正方形）是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；（4）圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
例2、判断下列说法是否正确：（1）矩形的对边关于对角线交点对称。
（ ） （2）圆上任意两点关于圆心对称。
（ ）（3）两个全等三角形必关于某一点中心对称。
（ ） （4）成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等。
（ ） 解：（1）（4）正确（2）（3）错误例3、在下列图形中既是轴对称图菜，又是中心对称图形的是（ ）①任意平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤正三角形；⑥等腰直角三角形 解：①②③例4、下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） ①平行四边形；②一条线段；③一个角；④圆 解：①＊例5、在△ABC 中，∠A≠90°，作既是轴对称又是中心对称的四边形ADEF ，使D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 上，这样的四边形可以作（ ）个D C FEBDCF B A3DCEB A21DCF B A解：如图：因为四边形ADEF 是中心对称图形， 所以它一定是平行四边形； 因为四边形ADEF 是轴对称图形， 所以它的对角线互相垂直。
一-平行线等分线段定理
1、如图△ABC中点D、E三等分AB，
D
DF∥EG∥BC，DF、EG分别交AC于点 E
F、G，则点F、G三等分AC ( ) B
2、四边形ABCD中，点M、N分别在AB、
CD上若AM=BM、DN=CN 则
A
AD∥MN∥BC ( )
M
F G C D
N
3、一组平行线，任意相邻的两平行线间 B
的距离都相等，则这组平行线能等分线
段。 ( )
A
4、如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么
B
AB=BC=DE=EF ( )
C
C
D l1
E l2 F l3
例 如图,要在一块钢板上 的A、B两个小孔间再钻 三个小孔，使这些小孔 都在直线AB上，并且每 两个小孔中心的距离相 等.如果只有圆规和无刻 度直尺,应当怎样确定小 孔的中心位置?
B1B2=B2B3
其它情况
图1
图2
图3
图4
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相 等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
两相邻平 行线间的 距离相等
② ①
推论1
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边.
推论2
经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 平分另一腰.
A
分析：过M点作ME∥AD交AB
于又点∵E在梯形ABCD中，MD有=M线C段A 中点时E ，常B过
该点作平行线，构造
∴AE=EB
平行线等分线段定理
易证ME是AB的垂直平分线及推论的基本图形。
做一做 利用平行线等分线段定理证明三角形中位线定理
D、E 分别是△ABC中AB边和AC边的中点. 求证:DE//BC且 DE 1 BC
(3)平行线等分线段定理
E
.
M B C
.F
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB∥DC； ∵E、F分别是AB、DC的中点，∴AE=FC， ∴四边形AECF是平行四边形，∴EC∥AF, ∴BM=MN, MN=ND, 即BM=MN=ND.
例题讲解：
2.已知：梯形ABCD中，AD∥BC， E是AB边的中点， E EF∥DC，交BC于F， 求证：DC=2EF. 证明： 作EM∥BC交DC于M， B ∵E是梯形ABCD的腰AB的中点，
符号语言：
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
判断题：
小试牛刀
(
AC=CE， 1.若AB∥CD∥EF， 则 BD=DF=AC=CE. A
×)
B D F
C E
填空题：
小试牛刀
E是AB的中点， 2.已知AD∥EF∥BC， 则DG= BG H是 的中点 AC 的中点，
平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么 在其他直线上截得的线段也相等.
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3， AB=BC
求证： A1B1=B1C1 证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于 点E、F
l1 l2 l3
A B
A1 B1
3 1 2 4
E
C
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1 ∴EB1 =AB ，B1F=BC ∵AB=BC ∴EB1=B1F 又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1
A
.
F
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
篇一：1平行线等分线段定理平行线等分线段定理【知识点精析】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
理解这个定理要注意的是：（1）必须有一组平行线存在，平行线至少有三条；（2）在某一条直线上截得的线段相等。
满足上述两个条件，才能保证这组平行线在其他直线上截得的线段相等．2．平行线等分线段定理的几个基本图形平行线等分线段定理的几个基本图形如图所示，若已知l1∥l2∥l3，ab = bc，根据定理可直接得到a1b1 = b1c1．即被平行线组所截的两条直线的相对位置，不影响定理的结论．3．定理的两个推论推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行直线必平分第三边．4．应用平行线等分线段定理，可以等分任意一条线段．【例题】1．如图，直线l1∥l2∥l3，ab = bc．求证：a1b1 = b1c1． a1 l1 b1 l2l32．已知：线段ab．求作：线段ab的五等分点．ab3．如图，直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，m是cd的中点．求证：ma = mb．4．如图，在△abc中，ad是bc边上的中线，m是ad的中点，bm的延长线交ac于n．求证：an =1cn． 2思考题：如图，梯形abcd中，ad∥bc，dc⊥bc，∠b = 60°，ab = bc，e为ab的中点．求证：△ecd为等边三角形．【练习与作业】一、填空题1．△abc中，∠c =90°，d为ab的中点，de⊥bc交bc于e，则ceeb．2．已知三条直线ab∥cd∥ef，它们之间的距离分别是2cm，作一直线mn分别与三条平行线交于30°角，且与ab、cd、ef分别交于m、n、p，则mn = cm，np = cm．3．如图，f是ab的中点，fg∥bc，eg∥cd，则ag = ae =4．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，a1b1 = b1c1 = c1d1 = d1e1，则a2b2 = = = ，a2c2 = = ．5．直角梯形abcd中，ad ∥bc，∠a = 90°，ef是ab的垂直平分线交ab于e，cd于f，则df = ．6．如图，已知ab∥cd∥ef，af、be交于o，若ao = od = df，be = 10cm，则bo = ．7．如图，已知ad∥ef∥bc，e是ab中点，则dg = h是f是中点．8．如图，已知ce是△abc的中线，cd =若cd = 5cm，则af= cm．9．如图，在ad两旁作ab∥cd，a1、a2为ab的两个三等分点，c1、c2为cd的两个三等分点，连a1c、a2c1、bc2，则把ad分成四条线段的长度（填相等或不相等）．第3题第4题第6题第7题第8题第9题1ad，ef∥bd，eg∥ac，若ef = 10cm，则bg = cm，2二、选择题10．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是（）c d a b 11．右图，ab∥cd∥ef，且ao = od = df，oe = 6，则be =（）a．9 b．10c．11 d．1212．ad是△abc的高，dc =bc于f，则fc =（）a．1bd，m，n在ab上，且am = mn = nb，me⊥bc于e，nf⊥32bd 3 c． 2bc 3 b．3bc 4 d．3bd 41ac． 3三、解答题 13．△abc中，ab = ac，ad⊥bc，p是ad中点，延长bp交ac于点n．求证：an =14．如图，m、n分别是yabcd中ab、cd的中点．求证：be = ef = fd．15．如图△abc中，ch是∠acb的平分线，ad⊥ch于d，de∥bc交ab于e．求证：ae = eb．16．如图，等腰直角△abc，∠acb = 90°，ce = cd，ef⊥bd交ab于f，cg⊥bd交ab于g．求证：ag = gf．17．如图，△abc中，ad、bf为中线，ad、bf交于g，ce∥fb交ad延长线于e．求证：ag = 2de．18．如图，abcd为梯形，ab∥dc，adbe是平行四边形，ab交ec于f．求证：ef = fc．19．已知△abc中，ad⊥bc于d，e为ab中点，ef⊥bc于f，且dc = a，bd = 8a．求fc 的长．篇二：《平行线等分线段定理》教学设计《平行线等分线段定理》教学设计执教李裕达【教学内容】人教版初中《几何》第二册4.9平行线等分线段定理（课本p176 ~ p178）【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算； 3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。
【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用【教学难点】平行线等分线段定理的证明【教学方法】引导·探究·发现法【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等【教学设计】一、实际问题，导入新课1．问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？2．折法：（教师演示，学生动手）·先将矩形（abcd）纸对折，得折痕mn（如图1）；·再把b点叠在折痕mn上， n 得到rt△bep（如图2）；n·最后沿ep折叠，便可得到b cfb c （如图1）等边△bef（如图2）。
（如图2） 3．导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。
二、复习引导，发现定理1．复习提问（1）你能用尺规作图将一条线段2等分吗？4等分呢？你还会将一条线段几等分？（2）你能用尺规作图将一条线段3等分吗？能否将一条线段任意等分呢？师：为了回答第2个问题，让我们先来做一个实验。
2．操作实验请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验：（1）画一条与这组平行线垂直的直线l1，则直线l1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？（2）任意画一条与这组平行线相交的直线l2，量一量直线l2被这组平行线截得的线段是否相等。
3．引导猜想引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
4．验证猜想教师用《几何画板》验证同学们刚才做实验得出的结论（猜想）。
三、归纳探究，证明定理1．归纳：如果以3条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1写出“已知”和“求证”吗？已知：直线a // b // c，ab = bc（如图1）求证：ab = bc。
2．探究：（1）不添加辅助线能直接证明吗？（2）四边形acca 是什么四边形？（3）在梯形中常作什么样的辅助线？ 3．证明：根据学生提供的证明方法，完成证明。
证法一：（略）参见课本p176的证法。
证法二：过a、b 点作ac的平行线，分别交直线b、c 于d、e（如图2）。
（以下证明略）〖注1〗结论与直线ac 的位置无关；cc〖注2〗对于3条以上的平行线组，可用同样的方法证明（说明证法二更具一般性）。
4平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
推理形式：∵a // b // c，ab = bc，∴ab = bc。
四、图形变式，引出推论1．隐线变式，得推论1在图1中，隐藏直线a、b、c，得梯形acca（如图3）。
这时定理的条件、结论各是什么？条件：在梯形acca中，ab=bc，aa // bb // cc。
结论：ab = bc。
推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。
ccc（图3）（图4）（图5）（图6） 2．运动变式，得推论2既然定理的结论与被截直线的位置无关，将直线ac 平行向左移动，得到变式图形4。
这时定理在△acc 中的条件、结论各是什么？条件：在△acc 中，bb //cc，ab=bc。
结论：ab = bc。
推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。
3．变换图形，深化理解如果将直线ac 继续向左平行移动（如图5、6），这时定理的条件、结论有什么变化？五、运用新知，解决问题1．应用定理，等分线段b （1）已知线段ab，你能它三等分吗？依据是什么？（图7）已知：线段ab（如图7）。
求作：线段ab的三等分点。
作法：（略。
见图8）（师生同步完成作图过程）〖注〗作图题虽不要求写作法，但最后的结论一定要写出。
（2）你还能将已知线段几等分呢？能任意等分吗？（图8） 2．应用推论，分解图形例1．已知：如图9，在□abcd中，m、n分别是ab、cdcm、am分别交bd于e、f。
求证：be = ef = fd。
cb分析：（1）根据条件，你能得到哪些平行线？（图9）（2）在图9中，有哪些与推论有关的基本图形？证明：（略。
过程由学生自己完成）例2．已知：如图10，□abcd的对角线ac、bd交于点o，过点a、b、c、d、o分别作直线a的垂线，垂足分别为a、b、c、d、o。
求证：ad = bc。
分析：（1）你能在图10中找到几个与推论有关的基本图形？（图10）（2）在直线a上，有哪些线段是相等的？根据是什么？证明：（略。
过程由学生自己完成）思考：若去掉条件“ac、bd交于点o”，结论是否成立？3．你能运用今天所学知识，解决本课开始提出的“折等边三角形”问题吗？六、课堂小结，提炼升华1．理解一个定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
2．掌握两个推论推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。
3．了解三种思想化归思想——定理证明是通过作辅助线，将问题转化为平行四边形和三角形全等的知识解决；两个例题也是将问题转化为两种基本图形来解决。
运动思想——两个推论是通过定理图形运动到特殊位置得到的，因此推论是定理的特殊表现形式。
辩证思想——定理是由特殊（三条平行线）推广到一般；应用定理则是将一般情况运用到特殊（具体）问题之中。
七、达标检测，回授效果1．已知：如图11，在梯形abcd中，ab//cd，e是cd的中点，ef//bc交ab于f，fg// bd交ad于g。
求证：ag = dg。
2．如图12，在△abc中，d是ab的中点，de//bc交ac于e，（图11） ef//ab交bc于f。
（1）求证：bf=cf；（2）图中与de相等的线段有；（3）图中与ef相等的线段有；（4）若连结df，则df与ac的位置关系是，数量关系是。