第五章线性系统的根轨迹法5.1根轨迹的基本概念5.2根轨迹
自动控制原理第5章根轨迹分析法

04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ,从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统,根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制,以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统,根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素,决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响,主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式,通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合,利用状态空间法描述系统的动态行为,从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合,通过优化系统的性能指标,提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法,其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值,计算对应的极点,然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐,但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件,如MATLAB/Simulink等,可以方便地绘制根轨迹图,并分析系统的动态特性。
根轨迹的概念和系统分析

,
此时,系统的闭环极点与开环零点相同(重合),
我们把开环零点称为根轨迹的终点,它对应于
开环根轨迹K增r益
。
下面分三种情况讨沦。
1.当m=n时,即开环零点数与极点数相同时, 根轨迹的起点与终点均有确定的值。
2.当m<n时,即开环零点数小于开环极点 数时,除有m条根轨迹终止于开环零点(称为 有限零点)外,还有n-m条根轨迹终止于无穷 远点(称为无限零点)。如例6-1。
允许范围
动态性能
0 当
Kr
1
时,所有闭环极点均位于实轴上,
系过K程统r 。为1 当过阻尼系统,其单位阶跃 时,特征方程的两个相等
响 负
应 实
为 根
单 ,
调 系
上 统
升 为
的
K
临
非周 r界阻1
期 尼
系 时
统 ,
,特单征位方阶程跃为响一应对为共响轭应复速根度,最系快统的为非欠周阻K期r尼过系程统。,当单
通常系统的开环零、极点是已知的,因此建
立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系,有助
于闭环系统根轨迹的绘制,并由此引导出根轨迹方
程。设控制系统如(s)图6-2所G示(s,) 闭环传递函数为
1 G(s)H(s)
(6-1)
R(s)
C(s) G(s)
H(s)
-图6-2 控制系
前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数 H(s)可分别表示
益 当 方
程根的复变量S在平面上的变化也是连续的,
因此,根轨迹是n条连续的曲线。
由于实际的物理系统的参数都是实数,如 果特征方程有复数根,一定是对称于实轴的 共轭复根,因此,根轨迹总是对称于实轴的。
自动控制第五章根轨迹法

15
绘制根轨迹的规则
【例5-2】已知负反馈系统的开环传递函数为:
解:(1)根轨迹的分支数和对称性 开环极点分别为: 系统的根轨迹有三条分支 (2)根轨迹的起点与终点 起始于系统的三个开环极点,并趋向于无穷远处
K1 Kb
j Kc
K1
(3)根轨迹的渐近线
Kc K1
16
绘制根轨迹的规则
闭环特征根s1,s2 随着K1值得 改变而变化。
(1) K1= 0:s1 = 0,s2 = 2,是根轨迹的起点,用“”表示。 j K1 (2) 0 < K1<1 :s1 ,s2 均是负实数。 K1 s1 ,s2 。 s1从坐标原点开 始沿负实轴向左移动; s2从(2, K1= 0 K1= 0 K1=1 j0)点开始沿负实轴向右移动。 1 0 2 (3) K1= 1: s1 = s2 = 1,重根。
+
﹣
K s(0.5s+1)
C(s)
式中,K为系统的开环比例系数。 K1 = 2K 称为系统的开环 根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为:
K1 ( s) 2 s 2s K1
系统的闭环特征方程为: s2 + 2s + 2K1 = 0
4
一、根轨迹
用解析法求得系统的两个闭环特征根为:
s1,2 1 1 K1
K1
分离角为:
Kb
Kc K1
17
绘制根轨迹的规则
一般情况下,如果根轨迹位于实轴上相邻的开环极点之间, 则在这两个极点之间至少存在一个分离点;同样,如果根 轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间(其中一个可在 无穷远处),则这两个零点之间至少存在一个汇合点。
线性系统的根轨迹法实验报告

线性系统的根轨迹法实验报告实验二线性系统的根轨迹法一,实验目的1,掌握matlab绘制根轨迹的方法。
2,观察k值变化对系统稳定性的影响。
3,掌握系统临界稳定情况下k值得求取。
4,了解增设零点对系统稳定的影响以及改善系统稳定性的方法。
二,实验原理根轨迹的概念:所谓根轨迹就是当开环系统某一参数从零变到无穷大时,闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。
根轨迹与系统性能:有了根轨迹就可以分析系统的各种性能了,稳定性的判定,当开环增益从零变到无穷大时,根轨迹不会越过虚轴进入s平面的右半平面,此时K的范围为系统稳定的范围,根轨迹与虚轴的交点处的K值,为系统的临界开环增益,开根轨迹进入s平面的右半平面时所对应的K值为系统不稳定的情况。
三,实验内容A、设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s*(s+1)(s+5)) (1) 绘制系统的根轨迹,并将手工绘制结果与实验绘制结果比较; (2) 从实验结果上观察系统稳定的K 值范围;(3) 用simulink 环境观察系统临界稳定时的单位阶跃响应分析:绘制根轨迹的matlab文本为clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 5]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹1,得到如图的根轨迹图:2,用鼠标点击根轨迹与虚轴处的交点可得到临界稳定的开环增益K=30,所以系统稳定的K值范围为0―30。
3,在simulink环境下按下图连接电路:取增益为30的时候在示波器下观察单位节约响应,输出波形为:由图可以看出单位阶跃响应的输出为等幅的震荡输出,所以此时系统为临界稳定状态。
当改变开环增益为50和20时观察示波器,得到输出波形分别为:由图可知当增益K为50时输出为不稳定的震荡输出,此时系统不稳定,当增益K为20时输出的波形震荡越来越缓慢,最后趋于稳定,所以此时的系统是稳定的。
B,设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(S)=K(s+3)/s(s+1)(s+2)(1) 仿照上题绘制系统的根轨迹,并判断系统的稳定性; 参照第一题得到matlab命令文本为:clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 2]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹得到如图的根轨迹图:1,由图可知根轨迹没有进入s平面右半平面,所以系统在K=0到K=?都是稳定的。
第五章根轨迹法

s平面上的分布,用作图的方法求得闭环传递函数在s平面内随开
环传递函数的某个参数变化而变化的轨迹。
5.1.1根轨迹
开环系统(传递函数)的某一个参数从零变化到 无穷大时,闭环系统特征方程的根在 s 平面上随之连 续变化而形成的轨迹称为根轨迹。
若闭环系统不存在零点与极点相消,闭环特征方程 的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。
为了用图解法确定所有闭环极点,令闭环传递函数表达式 分母为零,得特征方程(根轨迹方程)为:
Ds 1 G(s)H (s) 0
m
(s zj)
其中: GsH s K*
j1 n
(s pi )
i1
K*为前向通路根轨迹增益,从0→∞
Zj 为开环传函零点 pi为开环传函极点
m
(s zj)
Ds 1 K*
①无论k怎样变化,“х”均位于虚轴左侧,系统是稳定 的
② 0<k<1 系统特征根为实根,系统处于过阻尼状态 ③ k=1 ,闭环两个实数极点重合,系统处于临界阻尼
状态
④ k>1,闭环极点为共轭复数极点,系统处于欠阻尼状 态
5.1.2 根轨迹方程
根轨迹是系统所有闭环极点的集合。
(s) G(s) 1 G(s)H (s)
规则3:根轨迹渐近线 当开环有限极点数n大于有限零点数m时,有n-m条根轨迹分支沿着
与实轴交角为 a ,交点为 a 的一组渐进线趋于无穷远处,且有
5.2 根轨迹绘制的基本法则
5.2.1绘制根轨迹的一般法则
规则1:根轨迹的起点和终点:
根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点。
简要证明: ①起点
n
m
根轨迹法

绘制根迹的数学依据:
绘制根轨迹的基本法则:
1参数根轨迹 2多回路系统的根轨迹 3正反馈回路根轨迹 4非最小相位系统根轨迹
参数根轨迹:
前面讨论系统根轨迹的绘制方法时,都是以开环增
益K为可变参数,这是在实际上最常见的情况。上 述以开环增益K 为可变参量绘制的根轨迹称为常规 根轨迹。从理论上讲,可变参量可以选择为系统的 任何参数,如开环零、极点,时间常数和反馈系数 等,这种以K以外的系统其他参量作为可变参量绘 制的根轨迹,称作参数根轨迹,又称广义根轨迹。 用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数,如开环 零、极点,时间常数和反馈系数等对于系统性能的 影响。 G(s)=5/s(s+a)
多回路系统的根轨迹:
前面介绍单环系统根迹,不仅适合单环,而
且也适合多环系统。
正反馈回路根轨迹:
前面介绍的绘制根迹的依据、法则,都是针
对负反馈系统的。对于正反馈,前面的依据、 规则,需要作些修改,修改以后的规则,可 被用来画正反馈回路的根迹
非最小相位系统根轨迹:
所谓非最小相位系统:
如果系统的所有极点和零点均位于s左半平面,
根轨迹法
经典控制理论有三种基本分析方法:
1. 时域分析法 2. 根轨迹分析法 3. 频域分析法
根轨迹法定义:
定义1948年,W.R.Evans提出了 一种求特征根的简单方法,并且 在控制系统的分析与设计中得到 广泛的应用。这一方法不直接求 解特征方程,用作图的方法表示 特征方程的根与系统某一参数的 全部数值关系,当这一参数取特 定值时,对应的特征根可在上述 关系图中找到。这种方法叫根轨 迹法。根轨迹法具有直观的特点, 利用系统的根轨迹可以分析结构 和参数已知的闭环系统的稳定性 和瞬态响应特性,还可分析参数 变化对系统性能的影响。在设计 线性控制系统时,可以根据对系 统性能指标的要求确定可调整参 数以及系统开环零极点的位置, 即根轨迹法可以用于系统的分析 与综合。
根轨迹法的基本概念

K*
s1,2 1
1 K*
令K*(由0到∞ )变动,s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能)
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件: (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件: K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点:
根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点;如果开环零点个数少于 开环极点个数,则有(n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点: K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点: K* s zi j 1, 2, m
例题:单位反馈系统的开环传递函数为:G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解: 1、开环零点z1=-1,开环极点p1=0,p2=-2,p3=-3, 根轨迹分支数为3条,有两个无穷远的零点。
自动控制理论 线性系统的根轨迹法

z1
p3
3
1
p2
s2
s1
p1 s3
4
z2
2
p4
先看试验点s1点: ①成对出现的共轭极点p3、 p4对实轴上任意 试探点构成的两个向量的相角之和为0°; ②成对出现的共轭零点z1、 z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的 相角之和为0°; ③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0°; ④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180°; 所以s1点满足根轨迹相角条件,于是[-p2 ,-p1]为实轴上的根轨迹。 再看s2点:不满足根轨迹相角条件,所以不是根轨迹上的点。
2、根轨迹的对称性
一般物理系统特征方程的系数是实数,其根必为实根或共 轭复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。
3、根轨迹的支数、起点和终点: n阶特征方程有n个根。当 K* 从0到无穷大变化时,n个根
在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统 阶数。
线性系统的根轨迹法>>根轨迹绘制的基本法则
j 1
i 1
n
d ln (s p j )
d ln m (s zi )
j1
i1
ds
ds
d
n j 1
ln(s
p j )
d
m i 1
ln(s
zi )
ds
ds
n d ln(s p j ) m d ln(s zi )
j 1
ds
i 1
ds
n
1
m
1
j1 s p j i1 s zi
设 K* Kgd 时,特征方程有重根 d ,则必同时满足
F(d ) 0 和 F'(d ) 0
线性系统的根轨迹法

法则7. 根轨迹与虚轴的交点
交点和临界根轨迹增益的求法:
解: 方法一
例8.
,试求根轨迹与虚轴的交点。
K*=0 w =0 舍去(根轨迹的起点)
与虚轴的交点:
闭环系统的特征方程为:
s=jw
劳斯表:
01
s2的辅助方程:
02
K* =30
03
当s1行等于0时,特征方程可能出现纯虚根。
04
等效的开环传递函数为:
参数根轨迹簇
二、附加开环零、极点的作用
试验点s1点
例1.设系统的开环传递函数为: 试求实轴上的根轨迹。
解:
零极点分布如下:
p1=0,p2=-3,p3=-4,z1=-1,z2=-2
实轴上根轨迹为:[-1,0]、[-3,-2]和 (- ∞ ,-4]
jw
-2
-1
1
2
-1
-2
s
.
.
.
.
.
.
.
.
三、闭环零极点与开环零极点的关系
反馈通路传函:
前向通路传函:
典型闭环系统结构图
KG*--前向通路根轨迹增益 KH*--反馈通路根轨迹增益
K*--开环系统根轨迹增益
1
闭环传递函数:
2
开环传递函数:
01
04
02
03
闭环系统根轨迹增益,等于开环系统前向通路根轨迹增益。 对于单位反馈系统,闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。
(5)用(s-s1)去除Q(s),得到余数R2 ;
(6)计算s2 =s1-R1/R2 ;
(7)将s2 作为新的试探点重复步骤(4)~(6)。
例4.试用牛顿余数定理法确定例3的分离点。
第五章 控制系统计算机辅助分析——根轨迹与频域分析

rlocus:求系统根轨迹。
rlocfind:计算给定一组根的根轨迹增益。 sgrid:在连续系统根轨迹图和零极点图中绘制出阻 尼系数和自然频率栅格。
1、零极点图绘制 MATLAB提供了函数pzmap()来绘制系统的零极点图, 其用法如下:
[p,z]=pzmap(a,b,c,d):返回状态空间描述系统的极点矢量和 零点矢量,而不在屏幕上绘制出零极点图。 [p,z]=pzmap(num,den):返回传递函数描述系统的极点矢量 和零点矢量,而不在屏幕上绘制出零极点图。
2、根轨迹图绘制 rlocus()
(2) 返回参数,不直接绘图
r=rlocus(num,den,k) [r,k]=rlocus(num,den) : 不在屏幕上直接绘出系统的根轨迹图,而根据开环增益 变化矢量k , 返回闭环系统特征方程1+k*num(s)/den(s)=0的根r, 它有length(k)行,length(den)-1列,每行对应某个k值时 的所有闭环极点。或者同时返回k与r。
4、sgrid()函数
sgrid:在现存的屏幕根轨迹或零极点图上绘制 出自然振荡频率wn、阻尼比矢量z对应的格线。 sgrid(‘new’):是先清屏,再画格线。 sgrid(z,wn):则绘制由用户指定的阻尼比矢量 z、自然振荡频率wn的格线。
五. 实例
已知某单位反馈系统的开环传递函数为:
三. 绘制根轨迹的基本规则
1. 根轨迹的连续性和对称性 根轨迹是连续的并且对称于实轴。 2. 根轨迹的分支数、起点和终点 n阶系统有n支根轨迹。 n支根轨迹分别起始于n个开环极点,其中m支终止于有 限的开环零点,另外n-m支将趋向于无穷远处。
三. 绘制根轨迹的基本规则
根轨迹法PPT课件

W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹,它是开环系统某一参数从零变到无穷
时,闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。
解: n 3,m 0
① p1 0,p2 1,p3 2 为根轨迹的起点;
开环无零点,故三个分支终点均趋向无穷远。
②
a
(2q 1)
nm
(2q 1)
3
60、180、300
(q 0,1,2)
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
3 0 1 3
③ 实轴上根轨迹:
( ,2],[1,0]
j
p3 2
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道,闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的,分析系统性能时往往要求确
对于实轴上0至1线段的实数根而言,其对应的K*值在
b 点为极大值。
可以证明,当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时,
分离角为 (2k 1) l .
k 0,1, ,l -1
例4-3:求上例中 b 点的坐标。
[规则3] 根轨迹的渐进线
当开环有限极点数 n大于有限零点数时,有 (n m)
条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a的一组
自动控制理论第五章

kg K 2K s (0.5s 1) s ( s 2) s ( s 2)
k g 2K
开环有两个极点: p1= 0, p2=-2 开环没有零点。 闭环特征方程为: D(s) = s2 +2s + kg = 0 s 解得闭环特征根(亦即闭环极点) s1 1 1 k g ;2 1 1 k g 可见,当kg 变化,两个闭环极点也随之连续变化。 当kg 从0→∞变化时,直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹
(1)当 kg = 0时,s1 = 0、s2 = -2,此时闭环极点 就是开环极点。 (2)当0<kg<1时,s1、s2均为负实数,且位于负 实轴的(-2,0) 一段上。 (3)当kg = 1时,s1 = s2 = -1,两个负实数闭环极 点重合在一起。 (4)当1<kg<∞时,s1,2 =-1± j k g 1 ,两个闭 环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随kg 变化,其位于过(-1,0)点且平行于虚袖的直线 上。 (5)当kg=∞时, s1 = -1+ j∞、s2 = -1-j∞, 此时s1、s2将趋于无限远处。
例:求上例中根轨迹上
s2 (0.5, j1)
点对应的kg 。
k 解 :g s2 p1 s2 p2 0.5 j 0 0.5 j 1 1.118 1.118 1.25 s2 p1 、 s2 p2 也可以用直尺测量向量的长度。
5.2 绘制根轨迹的基本规则
不符合相角条件, s1不在根轨迹上。
满足相角条件, s2在根轨迹上。
2. 用幅植条件确定kg的值 幅值条件:
n
kg
s p
j 1 m i 1
j
s zi
根轨迹的基本概念

0.1
0.113
0.887
0.25
0.5
0.5
0.5 j0.5
0.5 j
0.5
0.5 j0.5
0.5 j
由于系统的闭环极点是连续变化的,将它们表示在s平面上就是该系统的根 轨迹,如图所示
图中箭头方向表示当开环增益K增大时闭环极点移动的方向,开环极点用
“ ”来表示,开环零点用“ ”来表示(该系统没有开环零点),粗实线即
设系统的开环传递函数为 m
K* (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
(s pj )
j 1
式中 K* ——根轨迹增益;
zi ——开环零点;
p j ——开环极点。
则系统的根轨迹方程(及闭环特征方程)为
1 G(s)H (s) 0
所以 G(s)H (s) 1 ,即根轨迹方程为
m
K* (s zi )
例如,系统的特征方程为 (0.5s 1)(Ts 1) 10(1 s) 0
即
Ts(0.5s 1) (11 9.5s) 0
方程的两边除以其中不含T的项,得
1 Ts(0.5s 1) 0 11 9.5s
该方程可进一步改写成
1 T *s(s 2) 0 s 11 9.5
其中,T *
i 1 n
1
(s pj )
j 1
显然,满足上式的复变量s为系统的闭环特征根,也就是根轨迹上的点。当 K*
从0到 变化时,n个特征根将随之变化出n条轨迹。这n条轨迹就是系统的根轨迹。
根轨迹方程可分解为相角方程和幅值方程,其中相角方程为
m
n
(s zi ) (s p j ) (2k 1)180 (k 0 ,1,2 )
线性控制系统的根轨迹分析法

PART 01
引言
线性控制系统简介
线性控制系统是由线性微分方程描述 的一类控制系统,其特点是系统的输 出和输入之间存在线性关系。
线性控制系统广泛应用于工程领域, 如航空航天、化工、电力等,用于实 现各种控制目标,如稳定性、快速性 和准确性。
根轨迹分析法的定义和重要性
根轨迹分析法是一种通过分析线性控制系统闭环极点的变化来研究系统性能的方法。
系统校正与改进
通过根轨迹分析,可以找到系统性 能不足的原因,进而对系统进行校 正或改进设计。
PART 04
根轨迹分析法的限制和挑 战
参数变化对根轨迹的影响
01
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化,从而影响 系统的稳定性和性能。
02
参数变化可能使系统从稳定状态变为不稳定状态,或反之。
03
参数变化可能影响系统的动态响应,如调节时间和超调量。
分析系统动态特性
通过根轨迹分析,可以了 解系统在不同参数下的动 态特性,如超调和调节时 间等。
控制系统性能优化
1 2 3
优化系统性能指标
通过调整系统参数,利用根轨迹分析优化控制系 统的性能指标,如减小超调量、缩短调节时间等。
提高系统抗干扰能力
通过根轨迹分析,可以找到提高系统抗干扰能力 的参数设置,使系统在受到扰动时仍能保持良好 的性能。
分支性
当参数变化超过一定阈值 时,根轨迹可能出现分支, 表示系统出现多解或不稳 定。
PART 03
根轨迹分析法的应用
控制系统稳定性分析
判断系统稳定
通过根轨迹分析,可以判 断线性控制系统的稳定性, 即系统在受到扰动后是否 能恢复稳定状态。
确定系统临界状态
根轨迹分析可以确定系统 临界状态,即系统在某一 特定参数下从稳定状态变 为不稳定状态。
线性系统的根轨迹法

➢根轨迹的基本概念 ➢绘制根轨迹的基本法则 ➢控制系统的根轨迹分析
▪ 对高阶系统而言,采用因式分解求取系统的闭环特征方程根 (即闭环极点)一般是极为困难的。
▪ 在控制系统的设计中,经常需要考察系统某一参数(如开环根 增益)改变时,闭环极点的位置改变情况,以便于根据控制系 统的性能要求,确定这些参数。
是恒包络,而且当码组的变化为0→1,或者 1→0时, 会产生π的最大相位跳变。这种相 位跳变会引起带限滤波后的数字调相信号 包络起伏,甚至出现“0”包络现象,如图9 -1所示。为了消除 π的相位跳变,在 QPSK 的基础上提出 OQPSK。
▪ 图9-1 QPSK 信号限带滤波前、后的波形
每个码元的前一比特为同相分量I(t),后一 比特 为正交分量Q(t),然后利用同相分量和 正交分量分别对两个正交的载波进行2PSK 调制, 最后将两路调制结果叠加,得到 QPSK 信号。在当前任意相位,下一时刻的 相位均有四种 可能取值,因而相位跳变量 可能为0,±π/2或π,如图9- 2(a)所示,当两 个比特同时发生 极性翻转时,将产生π的相 移,经过带通滤波器之后所形成的包络起伏 必然达到最大。
数字高清晰度电视的图像信息速率接 近1GB/s,要在实际信道中传输,除应采用高 效 的信源压缩编码技术、先进的信道编码 技术之外,采用高效的数字调制技术来提高 单位频 带的数据传送速率也是极为重要的。
地提 高数字电视覆盖率,根据数字电视信 道的特点,要进行地面信道、卫星信道、有 线信道的编 码调制后,才能进行传输。由 于数字电视系统中传送的是数字电视信号, 因此必须采用高 速数字调制技术来提高频 谱利用率,从而进一步提高抗干扰能力,以 满足数字高清晰度电 视系统的传输要求。
自动控制原理根轨迹分析知识点总结

自动控制原理根轨迹分析知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统的基本理论和方法的学科,而根轨迹分析是自动控制原理中的一项重要内容。
本文将对根轨迹分析的知识点进行总结,帮助读者更好地理解和运用这一分析方法。
一、根轨迹分析的基本概念根轨迹是描述控制系统传递函数的极点随参数变化而在复平面上运动的轨迹。
通过绘制根轨迹图,可以直观地了解系统的稳定性、动态响应和频率特性等重要信息。
二、根轨迹的性质1. 根轨迹图是在复平面上绘制的闭合曲线,其中包含了系统的所有极点。
2. 根轨迹出发点(即开环传递函数极点)的数量等于根轨迹终止点(即闭环传递函数极点)的数量。
3. 根轨迹关于实轴对称,即系统的实部极点只存在于实轴的左半平面或右半平面上。
4. 根轨迹通过传递函数零点的个数和位置来确定。
三、根轨迹的画法1. 确定系统的开环传递函数。
2. 根据传递函数的表达式,求得系统的特征方程。
3. 计算特征方程的根,即极点的位置。
4. 绘制根轨迹图,显示系统极点随参数变化的轨迹。
四、根轨迹的稳定性分析1. 若根轨迹通过左半平面(实部为负)的点的个数为奇数,则系统是不稳定的。
2. 若根轨迹通过左半平面的点的个数为偶数,则系统是稳定的。
五、根轨迹的频率特性分析1. 根轨迹的形状和分布可以判断系统的阻尼比、振荡频率和衰减时间等性能指标。
2. 根轨迹与系统的频率响应曲线之间存在一一对应的关系。
六、根轨迹的应用1. 根据根轨迹可以设计和优化控制系统的参数,使系统具有所需的动态性能。
2. 利用根轨迹可以直观地观察到系统的稳定性和动态响应,便于故障诊断和故障排除。
七、根轨迹分析的注意事项1. 在绘制根轨迹图时,应注意传递函数的极点和零点的位置,以及参数的范围。
2. 在分析根轨迹时,应考虑系统的稳定性、动态响应和频率特性等综合因素。
以上就是自动控制原理根轨迹分析的知识点总结。
根轨迹分析作为自动控制原理中的一项重要内容,对于理解和设计控制系统具有重要意义。
自动控制原理根轨迹规划知识点总结

自动控制原理根轨迹规划知识点总结自动控制原理是研究将系统的输入、输出和功能关系用数学模型表示,并利用控制理论方法分析和设计自动控制系统的学科。
而根轨迹规划是自动控制原理中的重要内容,用于描述系统的稳定性和动态性能。
本文将对自动控制原理中的根轨迹规划知识进行总结,包括根轨迹的概念、绘制方法、性质以及应用等方面。
一、根轨迹的概念根轨迹是指在特定范围内改变系统的参数,并以参数为变量绘制出的所有系统传递函数零点或极点的轨迹。
通过观察根轨迹可以直观地了解系统的稳定性和动态性能。
根轨迹通常绘制在复平面内,横坐标表示实部,纵坐标表示虚部。
二、根轨迹的绘制方法1. 绘制根轨迹的步骤a) 通过给定系统的传递函数,确定系统的极点和零点。
b) 根据系统的极点和零点的数量和位置,确定根轨迹的起点和终点。
c) 确定根轨迹在实轴和虚轴上的对称性。
d) 确定根轨迹的趋近线和远离线。
e) 根据根轨迹的特性进行绘制。
2. 根轨迹的特性a) 以实负轴和虚轴上的极点、零点为轴心的圆形称为拐点圆。
b) 根轨迹在实轴上的起点和终点分别由零点和极点所决定。
c) 根轨迹不可交叉,且对称于实轴。
d) 根轨迹的趋近线和远离线的夹角决定了系统的快速响应性能。
三、根轨迹的性质1. 根轨迹的边界a) 根轨迹上的极点和零点均在左半平面时,根轨迹边界为实轴。
b) 根轨迹上存在部分极点或零点位于虚轴上时,根轨迹边界沿离心线和连接极点的径线绘制。
2. 根轨迹与系统稳定性和动态性能的关系a) 系统稳定性:若根轨迹上的极点都在左半平面,则系统是稳定的。
b) 系统动态性能:可通过根轨迹的形状和位置来评估系统的超调量、上升时间、稳态误差等指标。
四、根轨迹的应用根轨迹广泛应用于自动控制系统的分析与设计中。
在系统分析方面,可以通过根轨迹来判断系统的稳定性和动态响应特性。
在系统设计方面,可以根据根轨迹的要求和设计指标进行参数调整和优化,以满足系统的性能需求。
结语:本文对自动控制原理中的根轨迹规划知识进行了总结。
自动控制原理-线性系统的根轨迹法 (2)

閉環控制系統的動態性能與閉環極點在S平面上的 分佈位置是密切相關的,分析系統的性能時,往往要求 確定系統閉環極點的位置.另一方面,在分析和設計系 統時,經常需要研究一個或幾個參量變化時,對系統的 極點和系統性能的影響。
採用分解因式的古典方法求特徵方程式的根通常不容 易,特別是當某一參量發生變化(靈敏度)時,需要反復進 行計算,這時採用上述方法就顯得十分煩瑣,難以在實際 中應用。
K=0.5 K=0
該系統對於所有的K都是穩定的 穩態性能:
-1 0
原點處有一個極點 Ⅰ型系統
根軌跡上的K值就 是靜態誤差係數
0 K 0.5 : 过阻尼系 ,階统 躍回應為非週期過程
動態 K=0.5:临界阻尼 ,階系 躍回统應為非週期過程
性能:
K
0.5:欠阻尼,階系躍统 回應為阻上尼頁振盪下過頁程
返回
根據相角條件,在同一分離點分離的各條根軌跡 分支,它們的切線將均分360度。2條根軌跡在分離 點相隔180度,4條根軌跡在分離點相隔90度。
分離點的座標為:
m
1
n
1
i1 d zi
j1 d p j
分離角:根軌跡進入分離點的切線方向與離開分離點的切 線方向之間的夾角
(2k 1)
l
l-進入並立即離開分離點的 根軌跡條數
根軌跡:當系統某一參數在規定範圍內變化時,相應的系
統閉環特徵方程根在s平面上的位置也隨之變化移動,一個
根形成一條軌跡。
系統特徵根的圖解方法!!!
廣義根軌跡:系統的任意一變化參數形成根軌跡。
狹義根軌跡(通常情況):
變化參數為開環增益K,且其變化取值範圍為0到∞。
自動控制原理
一 根軌跡的概念
根軌跡法:系統某一參數變化時,繪製特徵方程的根在 S平面的位置變化軌跡的圖解方法。 根軌跡法的優點: 1:從已知的開環零、極點的位置及某一變化參數來求 取閉環極點的分佈,即解決閉環特徵式的求根問題。
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K* 0
K1
K1
K*
分离点 Re
0 K* 0
K1 0
0
K*
分离点
K* 0
K1
K1
K1 0 北京科技大学自动化学院自动化系
Im
Re K1 0
21
例5-3
绘制开环系统传函数为
Gk (s)
s(s
kg 1)(s
2)
的单位负反馈系统的(180°)根轨迹。
解 1)此系统无开环零点,有三个开环极点,分别为: 2)渐近线: p1 0 p2 1 p3 2
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2
5.1 根轨迹的基本概念
一、一个例子
例5-1 一单位负反馈系统的开环传递函数为:
Gk
s
kg s(s
2)
试分析该系统的特征方程的根随系统参数
k
的变化在S平面
g
上的分布情况。
解 系统的闭环特征方程: s2 2s kg 0
特征方程的根是: s1,2 1 1 k g 设 k的g 变化范围是〔0, ∞﹚
s1
z1
0 Re
p2
p2
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规则五 渐近线
当开环极点数 n大于开环零点数m时, 系统有n-m条根轨 迹终止于S平面的无穷远处,这n-m条根轨迹变化趋向的直线 叫做根轨迹的渐近线,因此渐近线也有n-m条, 且它们交于实 轴上的一点。
渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角 分别为:
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规则三 根轨迹的分支数、连续性和对称性
根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特 征方程的根(即闭环极点) 在s平面上的分布,那么,根轨迹 的分支数就应等于系统特征方程的阶数。
由例5-1 看出,系统开环根轨迹增益k(g 实变量)与复变量 s有一一对应的关系。
D(s) - (s p1)(s p2 )L L (s pn )
即
d [ln N (s)] 1 1 L L 1
ds
s z1 s z2
s zm
所以
d
1
1
1
[ln D(s)]
L L
ds
s p1 s p2
s pn
m
1
n
1
i1 s zi j1 s p j
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第五章 线性系统的根轨迹法
5.1 根轨迹的基本概念 5.2 根轨迹的绘制规则 5.3 广义根轨迹 5.4 零度根轨迹 5.5 系统性能分析
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1
本章重点
➢ 根轨迹的概念、幅值条件、 相角条件 ➢ 根轨迹的基本绘制规则 ➢ 等效传递函数的概念 ➢ 根轨迹的简单应用
π 180(k 1)
渐近线如图所示。
1800
-4 -3 -2 -1
300 0
0
60 0
C
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规则六 根轨迹的分离点、会(汇)合点
K1
K1 0
K1
K1 K1 0
K1 0
会合点 K1 0
s zj s pi
得到
ma na 180o(2k 1)
所以渐近线的倾角:a
180o(2k 1) nm
,
k 0,1, 2,L , n m 1
因共有(n-m)条渐近线,所以只要取(n-m)个不同的倾角即可。
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(2)渐近线与实轴的交点
幅值条件:
K* s p1 L L s pn s z1 L L s zm
当 K* ,则对应于 s ,此时 s zi s pi ,上式可写成:
(s p1)(s (s z1)(s
p2 )L z2 )L
L L
(s pn ) (s zm )
(s
a
)nm
上式左边展开:s nm [( p1 p2 pn ) (z1 z2 zm )]s nm1
规则一 根轨迹的起点
m
由根轨迹的幅值条件可知: s z j j 1 n s pi
1 kg
i1
当 kg 0 ,必有 s pi (i 1, 2,L , n)
此时系统的闭环极点与开环极点相同(重合),把开环极点 称为根轨迹的起点。
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规则二 根轨迹的终点
N s Ds
0
即:
N (s) D(s)
1
kg
n
(s zi )
i 1
n
(s pj)
j1
zi 开环的零点
pi
开环的极点
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根轨迹图是闭环系统特征方程的根(闭环极点)随开环系 统某一参数由0变化到∞时在S平面上留下的轨迹。
由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为:
19
事实上,分离点还可由下式确定
因为
m
1
n
1
i1 s zi j1 s p j
D(s)N(s) D(s)N(s) 0
即 其中
N (s) D(s) N (s) D(s)
d [ln N (s)] d [ln D(s)]
ds
ds
N(s) (s z1)(s z2 )L L (s zm )
幅值条件:
n
n
1 kg
(s zi )
i 1
n
(s pj)
(s zi )
i 1
n
(s pj)
j1
j1
相角条件:
m
n
(s zi ) (s pi ) (1 2k) , k 0,1, 2, 3....
i 1
j1
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我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成: 凡是满足幅值条件和相角条件的s值称为特征方程 的根——即闭环极点。
根据规则可知,系统根轨迹有三条分支,当 kg 0分别从
开环极点 p1、p2、p3出发,kg 时趋向无穷远处,其渐
近线夹角为:
2k 1
600 ,1800
n m
k 0,1, 2,L ,n m 1
渐近线与实轴的交点为
n
m
Pi Z j
i1
j1 1
nm
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一般来说: 如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点( 零点)之间;则出现分离点(会合点) 。如果根轨迹位于 实轴上一个开环极点与一个开环零点之间,则或者既 不存在分离点,也不存在会合点,或者既存在分离点 ,又存在会合点。
四重分离点
复数分离点
K* K* 0
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Im
K1 0
K1
分离点
根轨迹在s平面上相遇,表明系统有相同的根。即在分离点
和会合点处必有闭环特征重根,令闭环特征方程为:
F(s) kg N(s) D(s) (s d ) (s 1)(s 2)L (s n ) 0
如果令
dF (s) ds
(s d )
d ds
[(s
1
)(s
2
)L
(s n )]
动态性能 当0 kg 1 时, 所有闭环极点均位于实轴上,系统为过
阻尼系统,其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。
当 kg 1 时,特征方程的两个相等负实根,系统为临界阻尼
系统,单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。
当 kg 1 时,特征方程为一对共轭复根系统为欠阻尼系统,
单位阶跃响应为阻尼振荡过程,振荡幅度或超调量随K g值的 增加而加大,但调节时间不会有显著变化。
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三、根轨迹的概念
设系统的开环传递函数为:
Gk
s
kg N (s) D(s)
k g为根轨迹增益(或根轨迹的放大系数)
其中:
n
N (s) (s z j ),
n
D(s) (s pj )
j 1
j 1
可得到系统的闭环特征方程式为:
1 Gk
s
0
1
kg
(s d ) 1[(s 1)(s 2 )L (s n )] 0
即可求得 dF (s) 0 ds
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故在重根处有:
dF (s) ds
d (kg
N
(s) ds
D(s))
kg
N
'(s)
D
'(s)
0
D(s)
因为: kg N (s)
所以: D(s) N '(s) D '(s) 0
n
m
Pi Z j
i1
j1
nm
2k 1 ,k 0,1, 2,L , n m 1
nm
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(1)根轨迹渐近线的倾角
根据幅角条件:
m
(s
z
j
)
n
(s
pi
)
180o(2k
1),
k 0, 1, 2,L
j 1
i 1
当 s 时,零点 z j 、极点 pi 与 s 矢量复角可近似看成相等