有限元分析期末考试题目

W { e }T {Q}e { }T {Q} .
结构总势能：
e
1 1 U W { e }T [k ]{ e } { e }T {Q} { }T [ K ]{ } { }T {Q} 2 e 1 2
m
由最小势能原理 i 0
1、 试说明有限单元法解题的主要步骤
网格划分： 先将弹性体划分为有限个单元组成的离散体， 单元之间通过单元节点相连接； 单元分析：建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式； 整体分析：对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移之间的关系 式，以求解结点位移。
2、 单刚和总刚各有什么特征
度矩阵：
[k s ]
则局部做标下平面刚架的单刚为：
EA 1 1 l 1 1
EA 0 l 12 EJ Ti 0 l3 q 6 EJ i 0 mi l2 EA T j qj l 12 EJ m j 3 l 6 EJ l2

fi qi
i
mi
j Tj
fj qj
j T
mj


T
有材料力学可知，轴向位移 只与轴向力 T 有关，弯曲位移 f 、 只与弯曲力 q 、 m 有关， 由直梁的弯曲变形关系，弯曲部分的节点位移与节点力关系为：
qi fi mi b e i [ k ] qj fj m j j
同理， M 为一个相当大的数（如 M 10 ） ，则解出有
30
i
MK ii i (相对小量) i MK ii MK ii
步骤:引入约束条件后，结构的整体刚阵 [ K ] 和载荷列阵 {Q} 都在相应节点的元素进行改变 乘以一个相当大的数 M 10 ，但其体积及编号不变，仍可记为 [ K ]{ } {Q} 。
ik ik
(i, j , m轮换)
（2）在单元内任意点上，三个形函数之和等于 1，即
Ni N j N m 1
（3）三角形任意单元一条边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关，在 ij 边上：
N i ( x, y ) 1
x xi x xi ， N j ( x, y ) ， N m ( x, y) 0 x j xi x j xi
bl 1 B 0 2 cl
0 cl bl
bm 0 cm
0 cm bm
bn 0 cn
0 cn bn

bi E b [ Si ] i 2(1 2 ) 1 ci 2
V
ci 1 bi 2
ci
5、 为了满足收敛性条件，位移模式满足哪些条件
（1）相容性：所选定的函数在整个求解域内有一定的连续性，即形状函数在单元内都是 连续的，因为连续性要求只反映在单元之间； （2）完备性：为能实现求解函数的的任意可变性，选定的试验函数在在整个求解域内应 能表现出任意可能的变化形式，即要求试验函数是完备的。 （3）几何对称性：单元内的插值函数选定是应满足函数形式上的几何对称性。
bm
cm
an
xl xm
bn
cn
1 xl 1 xm
13、上题，试分析其单元收敛性
（1）相容性： 1）单元内的形状函数都是 x 、 y 的连续函数 有 12 题中的形状函数方程可以看出， N l 、 N m 、 N n 均是 x 、 y 的一次函数，于是可 得形状函数都是 x 、 y 的连续函数 2）相邻单元交界面上，两单元应有相同的位移 形状函数是连续的，设相邻单元（1）和（2）的节点号分别为 a 、 b 、 c 和 a 、 d 、 b ， 则 ab 为交界边，变形前 ab 为一直线。变形后，移至 a ' 、 b' 、 c ' 、 d ' 。由于单元内位移采 用线性插值，单元（1）变形后仍是一条直线 a' b' ；单元（2）变形后也是一条直线 a' b' ，由 于同一节点的位移式一样的，有两点确定一条直线可知两个单元的 a' b' 边是重合的。 （2）完备性：该位移模式能反映出此单元的三种独立的刚体位移及三种常应变形式，因 此这种单元满足完备性要求。 综上所述，该单元是收敛的。
平面刚架 i 节点的载荷列阵可表示为
e
12 6l 6l 2l 2 12 6l 6l 4l 2
{Qi } [ X i Yi
M i ]T ，而 e 单元的 6 个节点位移分量和 6 个节点力分量均以列阵表示为
{ ' }e i { p ' }e Ti
0 6 EJ l2 4 EJ l

EA l 0 0

6 EJ l2 2 EJ l
EA l
i fi 6 EJ 2 EJ i 2 l l j f j 12 EJ 6 EJ 2 j l3 l 6 EJ 4 EJ 2 l l 0 12 EJ 3 l 0 6 EJ l2
其中 M 为一个相当大的数（如 M 10 ） ，则解出有
30
i
(相对小量) 0 MK ii
（2）强迫约束：2n 个位移分量中第 i 号位移分量 i i ， 载荷列阵 {Q} 中对应项的未知约 束改为 Qi MK i ，则第 i 行方程式改为
MKii i ( Ki11 Ki 2 2 ... Ki 2n 2n ) MKii i
Ti s e i 式 中 的 [k ] [k ] ， 对 于 轴 向 变 形 [ k ] ， 由 刚 度 矩 阵 的 物 理 意 义 ， 当
b e e
T j
j
EA EA s s s s T k , T k i ii j ji i 1, j 0 时， l l ，同理可求得 [kij ]和[k jj ] ，则轴向变形刚
单刚 [k ] 是对称的，反映出单元抵抗这种变形的能力，里面的每一个元素 k ij 表示的含义 为：当 j 号节点位移分量为 1，且其他节点位移分量皆为零时，对应的 i 号节点力分量。 总刚 [ K ]
e
[k ]
e 1
m
e
是各单元刚度的总和（叠加） ，也是对称的，并且是稀疏的，呈带状
分布。即整体刚阵内有很多的零元素，且非零元素都集中在对角线附近。它反映出整个结构 抵抗这种变形的能力。
节点三角形单元的位移模式中最高项为 x 、 y 的一次项，进行一次偏导后，应变值为常数， 而如果单元是均质的，应力也将是常应力。
12、平面三节点三角形单元，一次多项式位移模式
u a1 a2 x a3 y
v a4 a5 x a6 y
e
试写出 [ N ] [ B] [ S ] [k ] 的表达式
e T T e T T W e { } [ N ] { p}d e { } [ N ] {T }d e T e e T e { } {Q p } { } {QT }


其中 {Q p }e

e
[ N ]T { p}d,{QT }e e [ N ]T {T }d ，则整个结构的外力功
6、 位移模式中哪些项反映单元的刚体位移和常应变
（1）平面问题：位移模式：u a1 a2 x a3 y, v a4 a5 x a6 y 中的常数项反映 单元的刚体位移，一次项反映刚体的常应变。 （2）薄板弯曲问题：位移模式
w a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x3 a8 x 2 y a9 xy 2 a10 y 3 a11x3 y a12 xy 3
30
8、用最小势能原理推导 [ K ]{ } {Q}
1 T { } [ D]{ }hd ，而 { } [ B]{ }e ，代入有 2 T 1 1 U e e { }e [ B]T [ D][ B]{ }e hd { e }T [k ]e { }e ，其中 [k ]e e [ B]T [ D][ B]hd 2 2
11、平面三节点三角形单元应力应变和位移有什么特征？为什么？
平面三节点三角形单元的位移是连续线性变化的，应变是常应变，如果单元是均质的， 应力也是常应力。 因为位移模式的选取为 u a1 a2 x a3 y, v a4 a5 x a6 y ，而单元应变的求解
0 x [ N ]{ }e ，应力求解方程为 { } [ D]{ } ，而 u [ N ][ ]e ，三 { } 0 方程为： y v y x
v( x, y) a4 x 2 a5 xy a6 y 2
均不能选取上述方程为位移模式， 因为均不满足位移模式的收敛性条件， 这样无法得出正确 的结果。
10、已知直梁单元单刚为 [k ] （课本第 7 页） 。试推导局部坐标下平面刚架的单 刚
6l 12 6l 4l 2 EJ e [k ] 3 l 12 6l 2l 2 6l
N
Nl 0
0 Nl
Nm 0
0 Nm
Nn 0
0 Nn
al bl x cl y 2 a bm x cm y 其中 N m m ， 为三角形单元的面积； 2 an bn x cn y Nn 2 Nl
多项式中的前三项反映出中面平板无弯曲的刚体位移。 三个二次项经二阶微分后反映出中面
变形的 3 中应变形式。
7、 试述边界条件处理的大数法原理和步骤
以平面问题为例 （1）固定约束： 2n 个位移分量中第 i 号位移分量 i 为 0，则对应的方程被改为