拉索及吊杆张力振动测量方法研究

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第十届全国振动理论及应用学术会议论文集(2011)
3.8 3.7 3.6 数值解 拟合值
16.8 16.6 16.4
数值解 拟合值
η1
η5
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
3.5 3.4
16.2 16.0
3.3 3.2 3.1
15.8 15.6
0
0.001
0.002
0.003
m 为拉索或吊杆单位长度质量。
令 y = Y ( x) ⋅ e
iω t
， ω 为拉索或吊杆振动的圆频率，代入式(1)得
∂ 4Y ∂ 2Y EI 4 − T 2 − mω 2Y = 0 ∂x ∂x
式(2)的通解为
(2)
Y ( x) = C1 cosh(λ1 x) + C2 sinh(λ1 x) + C3 cos(λ2 x) + C4 sin(λ2 x)
基金项目：江苏省自然科学基金攀登计划资助项目(No.BK2008046)；国家自然科学基金(No.10902051)
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第十届全国振动理论及应用学术会议论文集(2011) 支一端固支梁振型函数作为索的近似振型函数，运用能量方法导出索力、抗弯刚度与固有 频率间的关系式。张广成[10]等采用振动法测量锅炉吊杆拉力时将边界条件处理为一端固支 一端简支，迭代计算出的吊杆载荷较接近实际载荷，误差可控制在 5%左右。 本文从拉索或吊杆的横向振动方程出发，拟合出张力与抗弯刚度、长度、线密度及振 动频率之间的数值关系，由此得出了更加适用于一端固定一端简支拉索及吊杆张力振动测 试的实用计算公式，并讨论了拉索和吊杆抗弯刚度取值对索力计算精度的影响。
(10)
n
1
n n

EI
2 4 mn L
(11)
表 1 二次多项式拟合结果 Tab.1 Two-order polynomial fitting results 阶数 n 1 2 3 4 5
An
10.40131 44.19045 103.11648 179.37043 275.1983
754
(7)
第九部分
结构动力学
当 时，即有 T 0 ，此时式(7)为不受轴向拉力作用的一端固定一端简支梁横向 自由振动特征解[11]。在式(7)中，对于确定的 ， 有多重根(记 的第 n 重根为 n ，对应 的 称为 n )， n 随 n 的增大而递减并收敛于 n 。 由式(4)、(5)有
第九部分
结构动力学
拉索及吊杆张力振动测量方法研究
刘志军，芮筱亭
（南京理工大学发射动力学研究所，南京 210094） 摘要:为提高索力振动测量精度，基于拉索及吊杆的横向振动方程，在找出自由振动解的规律之后，拟合 出张力与抗弯刚度、长度、线密度及振动频率之间的数值关系，由此得出适用于一端固定一端简支拉索及 吊杆张力振动测试的计算公式， 并实现了与两端简支拉索计算公式的统一。 针对拉索及吊杆抗弯刚度难以 准确识别的问题， 讨论了抗弯刚度取值对该公式计算结果的影响， 结果表明该公式具有良好的精度和适用 范围，可以满足现场拉索及吊杆张力测试计算简单、快速和可靠的要求。 关键词: 索；吊杆；边界条件；抗弯刚度；张力；频率 中图分类号: U443.38
Fra Baidu bibliotek
1
φnηn
，代人式(7)得到一个关于η n
的非线性方程，采用区间搜索法求 ηn 数值解。将η n 与 φn 之间进行拟合，可得
ηn = nπ + Anφn + Bnφn2
( n = 1, 2,3 )
(12)
其中系数 An 和 Bn 值及式(12)中相应 φn 最大取值如表 1 所示，其中 φn 最大取值决定了 相应公式的适用范围。图 1~2 给出了 n = 1,5 时的拟合情形。由表 1 和图 1~2 可以看出，决 定系数 R > 0.999 ，拟合效果相当好，保证了式(10)计算结果和式(6)数值求解结果之间误
2
差很小。 在式(12)中，若取 An = Bn = 0 ，此时即有η n = nπ ，于是式(10)变为
2 2 ⎛ f ⎞ n π EI T = 4mL ⎜ n ⎟ − L2 ⎝ n⎠ 2 2
(13)
式(13)即为两端简支拉索或吊杆自由振动方程解。 若不考虑拉索或吊杆抗弯刚度 EI 对其张力 T 的影响，即取 EI = 0 ，则 φn = 0 ，

m 2 L4 EI TL2 EI
(8)
2 2
(9)
令 和 T 为未知量，取拉索或吊杆横向自由振动的第 n 阶圆频率 n ， n 2 f n ， 将式(8)、(9)联立解得
T 4 2 mL2
为确定式(10)中的参数 n ，令

f n2
2 n

EI 2 n L2
Bn
40.64319 -215.67774 -2305.12826 -7184.91064 -16980.53546
nmax
0.05 0.02 0.02 0.01 0.005
残差平方和 RSS 3.62146E-4 0.00176 0.00268 0.0016 0.00131
决定系数 R2 0.99977900 0.99934871 0.99952125 0.99967612 0.99965775
2 拉索及吊杆自由振动方程及求解
考虑抗弯刚度影响取拉索或吊杆微元体进行受力分析可导出拉索或吊杆自由振动方 程
[7]
EI
∂4 y ∂2 y ∂2 y − T + m =0 ∂x 4 ∂x 2 ∂t 2
(1)
式中 T 为张力， EI 为抗弯刚度， y 为拉索或吊杆的振幅， x 为轴向坐标， t 为时间，
式中 C1 、 C2 、 C3 、 C4 均为待定常数，且
(3)
λ1 = λ2 =
T ⎛ T ⎞ 2 m + ⎜ ⎟ +ω EI 2 EI ⎝ 2 EI ⎠ T ⎛ T ⎞ 2 m − ⎜ ⎟ +ω EI 2 EI ⎝ 2 EI ⎠
2
2
(4)
(5)
一端固定一端简支拉索或吊杆的频率方程
λ1 tan ( λ2l ) = λ2 tanh ( λ1l )
(6)
式(6)为超越函数方程，一端固定一端简支拉索或吊杆的自由振动解为隐式表示，测得 拉索或吊杆自振频率 ω 后要获得张力值 T ，可采用区间搜索法或迭代法求式(6)数值解。
3 实用索力计算公式
令 λ1 L = ζ ， λ2 L = η ，则式(6)可写为
ζ sin (η ) cosh (ζ ) − η sinh (ζ ) cos (η ) = 0
T2 、T3 和 T4 。由表 3 的计算结果可知，由式(10)求得的各拉索或吊杆的计算张力与给定张
力值相差均不超过 0.5% 。
表 2 拉索或吊杆参数 Tab.2 Parameters of Cables or suspenders 拉索或 吊杆编号 1 2 3 4 5 6 长度 L/m 2 5 10 20 50 100 直径 D/cm 3 4.5 5.1 5.5 8.5 11.5 长细比 L/D 66.67 111.11 196.08 363.64 588.24 869.57 线密度 m/(kg/m) 5.51 12.41 15.93 18.53 44.26 81.02 抗弯刚度 EI/(kN·m2) 8.19 41.47 68.41 92.53 527.85 1768.60 给定张力 T0/(kN) 300 600 800 950 2000 4000
Key words: cable; suspender; boundary condition; flexural rigidity; tension; frequency
1 引言
拉索及吊杆作为结构或设备的重要承载构件在工程中得到了广泛应用，拉索及吊杆张 力测试的准确与否直接关系到结构或设备的安全。在工程实践中，常用的张力测量方法主 要有压力表法、压力传感器法和振动法以及磁通量法等，其中振动法应用较为普遍，特别 是拉索及吊杆张力复测，振动法几乎成了惟一的选择[1-6]。振动法测量拉索及吊杆张力需要 准确描述张力与自振频率的关系。在工程现场测试时，必须即时快速确定张力值，因而长 期以来，人们都在不断改进振动法。Zui[5]等以考虑挠曲刚度的斜拉索方程的高精度近似解 为基础得到一组估算拉索张力的实用公式。任伟新[6]等采用能量法和曲线拟合方法，建立 了分别考虑索垂度和抗弯刚度影响由基频计算索力的实用公式。这些公式多数以分段的形 式给出，在分段处不具连续性，有些在求解索力时则需要进行迭代，有些仅适用于特定的 边界条件，使用起来不是十分方便。抗弯刚度对拉索及吊杆振动特性的影响随长度减小而 递增[7]，同时抗弯刚度对索力测量的影响程度还取决于边界条件的不同。方志[8]等通过拟 合轴向拉力与抗弯刚度及振动频率之间的数值关系得到两端固结拉索和吊杆张力测试的计 算公式，但未明确指出公式适用范围，且公式中计及的拉索和吊杆抗弯刚度的真实值往往 很难求得。拉索及吊杆较短时边界条件对张力振动测量有显著影响。孟少平[9]等将一端铰
ηn = nπ 。于是式(10)变为
⎛ f ⎞ T = 4mL2 ⎜ n ⎟ ⎝ n⎠
2
(14)
式(14)即为弦自由振动方程解。 因此式(12)更具一般性且实现了一端固定一端简支索、两端简支索和弦三种模型间的 连续过渡。 756
第九部分
结构动力学
4 误差分析
在测得拉索或吊杆的第 n 阶频率后，由式(11)得到 n ，然后代入式(12)得到 n ，最后 可由式(10)计算得到张力。为验证张力计算公式的精度与实用性，结合实际工程选取具有 代表性的拉索或吊杆进行对比分析，分析对象的参数见表 2。在给定张力 T0 的情况下利用 式(6)解出前四阶频率 i i 1, 2,3, 4 ，求解相应频率下拉索或吊杆的张力分别记为 T1 、
0.004
0.005
φ1
φ5
η1 的拟合曲线 Fig.1 Fitting curve of η1
图1
η 5 的拟合曲线 Fig.2 Fitting curve of η 5
图2
对于一根具体的拉索或吊杆而言，其长度、线密度和抗弯刚度是确定的，在测得其自 由振动的各阶频率之后，即可确定 φn 。已知 φn ，则 ζ n =
Abstract: In order to improve measurement accuracy of cable tension, based on the transverse vibration
equation of a cable or suspender and its free vibration solution, a practical uniform formula used to easily determine a clamped-simply supported cable or suspender is proposed by means of curve fitting, and it can be further described as a simple expression for the simply-supported cables. It is difficult to accurately identify flexural rigidity of a cable or suspender, the influence of the value selection of flexural rigidity on the computational results is investigated. The results from case studies demonstrate the formula is suitable for cable tension measurement and can meet the requirements of the field testing.
Research on Tension Measurement of Cables and Suspenders by Vibration Method
LIU Zhijun, RUI Xiaoting
(Institute of Launch Dynamics, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)