量子光学试题解答

3、二能级原子与单模光场发生共振相互作用，系统的哈密顿量为
()a a H ++−+=σσλℏ。

如果原子t=0时刻处于激发态|e>，而光场处于相
干态|α>，计算任意时刻t 原子处于基态|g>的概率P g (t)，并作出图形（横坐标表示时间，纵坐标为概率。

为方便取α=1）。

解：用光子数态可将|α>展开为
()∑∞
=〉
=〉0n ||n n F α其中：n!
2||-exp n F n
2αα）（）
（=为光子数的统计分布在相干态|ɑ>中，观察到n 个光子的概率P（n）满足泊松分布：
()(
)
2
2exp !
α
α
−=
n n P n
在t=0时原子处于激发态|e>,所以系统在0时刻的态矢可以表示为：
()()∑∞
=〉
=〉〉=〉0n n e |n e ||0|，F αψ在t 时刻，由于光场与原子之间的相互作用，假设系统的态矢演化为：
()()()()[]
∑∞
=+++=0n 11,,a n t n g t b n e t F n n ψ由薛定谔方程()()t H t i ψψ=（取1=ℏ），根据初始条件
()()⎩⎨
⎧==+001
01
n n b a 易解得系数为：()(
)
()(
)
⎩⎨
⎧+−=+=+1
sin 1cos 1n t i t b n t t a n n λλ处于基态|g>的概率为：
()()
(()
2
2
n 20
2
10
2
1sin )n!2||-exp ()(+==∑∑∞
=+∞
=n t t b n F t P n n n g λαα）（
作图：
取λ=0.1，ɑ=1用mathematics作图如下
取λ=1，ɑ=1用mathematics作图如下
取λ=1，ɑ=5用mathematics作图如下
取λ=1，ɑ=10用mathematics作图如下
23、压缩态的另一种定义：|α>g =D(α)S(ξ)|0>。

.我们学过的压缩态为|β>g =S(ξ)D(β)|0>。

若|α>g =|β>g ，利用它们关于X 1=1/2(a+a +)和X 2=-i/2(a-a +
)的涨落图，求出α和β的关系。

解：平移算符为：
()()a a D *exp ααα−=+其中φααi e =()()
a a D *exp βββ−=+其中ϕ
ββi e =压缩算符为：
()⎟
⎠
⎞
⎜⎝⎛−=+22*2121exp a a S ξξξ其中θ
ξi e r =由压缩相干态的两种定义可知：
()()0ξααS D g
=()()0
βξβ
D S g
=其中
()()()
n
n n r e r
S n n n
i g
22!!2tanh cosh 100
02
1
∑
∞
=−==θξ()()()
)()k m n k m n m n n n r e r
e
D n
m k k
m
n n n
i g
g +−−−−==∑∑=∞=∞
=−2!!2!!22!!2tanh cosh 10
200
212
1
2
αααα
θα()∑∞
=−==0
2
1
!0n n
n n e
D αββ
α()()()∑∑∞
==⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+
−−⎟⎟⎠
⎞⎜
⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛==020
cosh 2sinh 21
2
1g
!
2!sinh ·cosh 22!)1(cosh sinh )cosh !(2
*
2
n m i m r
r e n i n
m n m r e r n e
r r e r n S i πθ
ββθβ
β
ξβ
θ
定义两个厄米算符：
X 1=1/2(a+a +)X 2=-i/2(a-a +
)
X 1，X 2是描述光场的两个正交分量的振幅，且有：
[]2
,21i
X X =计算求得光场g α、β和g β的X 1，X 2分量的量子涨落和期望值分别为：
()⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=∆−2sin 2
cos 412
22221θθr r e e X ()⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=∆−2cos 2
sin 41222222θθr r e e X φαααα
cos 11==g
g X X φ
αα
ααsin 22==g
g X X ϕββββ
cos 111==X
X ϕββββ
sin 212==X X ()[]r hr X X g
g sinh cos cos cos 11ϕθϕββββ
−−==()[]
r hr X X g
g sinh sin cos sin 22
ϕθϕββ
ββ−−==用图像描述压缩相干态的产生过程如下：
1
1
因为g α=g β，所以g α和g β的期望值相等，即：
⎪⎩⎪⎨⎧==β
α
βα2
2
1
1X X X X 即：
()[]()[]
⎩⎨
⎧−−=−−=r r r r sinh sin cosh sin sin sinh cos cosh cos cos ϕθϕβφαϕθϕβφα因为φαφααsin i cos +=，将上式代入，有：
()[]()[]
r r r r sinh sin cosh sin i sinh cos cosh cos ϕθϕβϕθϕβα−−+−−=可化为：
r
e i sinh coshr *θββα−=。