量子光学试题解答

3、二能级原子与单模光场发生共振相互作用，系统的哈密顿量为

()a a H ++−+=σσλℏ。如果原子t=0时刻处于激发态|e>，而光场处于相

干态|α>，计算任意时刻t 原子处于基态|g>的概率P g (t)，并作出图形（横坐标表示时间，纵坐标为概率。为方便取α=1）。解：用光子数态可将|α>展开为

()∑∞

=〉

=〉0n ||n n F α其中：n!

2||-exp n F n

2αα）（）

（=为光子数的统计分布在相干态|ɑ>中，观察到n 个光子的概率P（n）满足泊松分布：

()(

)

2

2exp !

α

α

−=

n n P n

在t=0时原子处于激发态|e>,所以系统在0时刻的态矢可以表示为：

()()∑∞

=〉

=〉〉=〉0n n e |n e ||0|，F αψ在t 时刻，由于光场与原子之间的相互作用，假设系统的态矢演化为：

()()()()[]

∑∞

=+++=0n 11,,a n t n g t b n e t F n n ψ由薛定谔方程()()t H t i ψψ=（取1=ℏ），根据初始条件

()()⎩⎨

⎧==+001

01

n n b a 易解得系数为：()(

)

()(

)

⎩⎨

⎧+−=+=+1

sin 1cos 1n t i t b n t t a n n λλ处于基态|g>的概率为：

()()

(()

2

2

n 20

2

10

2

1sin )n!2||-exp ()(+==∑∑∞

=+∞

=n t t b n F t P n n n g λαα）（

作图：

取λ=0.1，ɑ=1用mathematics作图如下

取λ=1，ɑ=1用mathematics作图如下

取λ=1，ɑ=5用mathematics作图如下

取λ=1，ɑ=10用mathematics作图如下

23、压缩态的另一种定义：|α>g =D(α)S(ξ)|0>。.我们学过的压缩态为|β>g =S(ξ)D(β)|0>。若|α>g =|β>g ，利用它们关于X 1=1/2(a+a +)和X 2=-i/2(a-a +

)的涨落图，求出α和β的关系。解：平移算符为：

()()a a D *exp ααα−=+其中φααi e =()()

a a D *exp βββ−=+其中ϕ

ββi e =压缩算符为：

()⎟

⎠

⎞

⎜⎝⎛−=+22*2121exp a a S ξξξ其中θ

ξi e r =由压缩相干态的两种定义可知：

()()0ξααS D g

=()()0

βξβ

D S g

=其中

()()()

n

n n r e r

S n n n

i g

22!!2tanh cosh 100

02

1

∑

∞

=−==θξ()()()

)()k m n k m n m n n n r e r

e

D n

m k k

m

n n n

i g

g +−−−−==∑∑=∞=∞

=−2!!2!!22!!2tanh cosh 10

200

212

1

2

αααα

θα()∑∞

=−==0

2

1

!0n n

n n e

D αββ

α()()()∑∑∞

==⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛+

−−⎟⎟⎠

⎞⎜

⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝⎛==020

cosh 2sinh 21

2

1g

!

2!sinh ·cosh 22!)1(cosh sinh )cosh !(2

*

2

n m i m r

r e n i n

m n m r e r n e

r r e r n S i πθ

ββθβ

β

ξβ

θ

定义两个厄米算符：

X 1=1/2(a+a +)X 2=-i/2(a-a +

)

X 1，X 2是描述光场的两个正交分量的振幅，且有：

[]2

,21i

X X =计算求得光场g α、β和g β的X 1，X 2分量的量子涨落和期望值分别为：

()⎟⎠

⎞

⎜

⎝

⎛+=∆−2sin 2

cos 412

22221θθr r e e X ()⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=∆−2cos 2

sin 41222222θθr r e e X φαααα

cos 11==g

g X X φ

αα

ααsin 22==g

g X X ϕββββ

cos 111==X

X ϕββββ

sin 212==X X ()[]r hr X X g

g sinh cos cos cos 11ϕθϕββββ

−−==()[]

r hr X X g

g sinh sin cos sin 22

ϕθϕββ

ββ−−==用图像描述压缩相干态的产生过程如下：

1

1